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\section{Options d'échange}

\subsubsection*{Définition du modèle}

On considère un modèle de \BS\ en dimension $2$. On pose $S_{t}=\left(S_{t}^{1},
  S_{t}^{2}\right)$ le vecteur des cours des actifs. Soit $\left(W_{t}^1,
  W_t^2\right)_{t\ge 0}$ $2$ mouvements Browniens standards de matrice de
corrélation $\Gamma = \begin{pmatrix}
  1 & \rho \\
  \rho & 1
\end{pmatrix}$, avec $-1 < \rho < 1$ et de racine carrée $L$, obtenue par
factorisation de Cholesky par exemple. Soit $r$ le taux d'intérêt (supposé
constant), $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_d)$ le vecteur des  volatilités et
$S_{0}:=\left(S_{0}^{1},S_{0}^{2}\right)$ le vecteur des valeurs initiales des
actifs (supposées déterministes). La dynamique du cours de l'actif $i$ est
donnée par
\begin{equation}
  \label{eq:dS_u_v}
  dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r\,dt + \sigma_{i} \, d W_t^i\right),
\end{equation}
ou de manière équivalente par
\begin{equation*}
  dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r \,dt + \sigma_{i} \,L_i d B_t\right),
\end{equation*}
avec $B$ un M.B en dimension $2$ et $L_i$ la $i^{eme}-$ligne de la
matrice $L$. On note $\cf=\sigma(W)=\sigma(B)$.

On souhaite calculer le prix de l'option d'échange de payoff $(S_T^1 - S_T^2)_+$
donné par
\begin{equation}
  \label{eq:prix_echange}
  \expp{-r T} \espbracket{(S_T^1 - S_T^2)_+}.
\end{equation}

\subsubsection*{Travail demandé}

\begin{itemize}
\item Donner une formule fermée pour le prix~\eqref{eq:prix_echange}.
\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
  Carlo classique.
\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
  Carlo utilisant une technique de réduction de variance basée sur le conditionnement.
\item Comparer les variances empiriques obtenues pour chacun des deux estimateurs.
\end{itemize}


\section{Pricing des options asiatiques par méthode de Monte Carlo et méthodes
  d'arbre}

On s'intéresse au pricing du call asiatique à strike fixe de payoff
\begin{align*}
  \left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+
\end{align*}
dans le modèle de Black Scholes
\begin{itemize}
\item Implémenter une méthode de Monte Carlo simple pour évaluer le prix du call
  asiatique
  \begin{equation}
    \label{eq:prix_asiatique}
    C=\espbracket{e^{-rT}\left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+}.
  \end{equation}
\item Implémenter la technique de réduction de variance de Kemna et Vorst vue
  dans le cours MAE51.
\item Implémenter le calcul du prix dans le modèle d'arbre CRR. On approche le
  sous-jacent $S$ par l'arbre binômial à $N$ pas de temps suivant
  \begin{align*}
    S_{n+1}=\left\{
      \begin{array}{cl}
        S_n e^{\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }p\\
        S_n e^{-\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }1-p
      \end{array}\right.
  \end{align*} où $h=\frac{T}{N}$ et $p=\frac{e^{\sigma
      \sqrt{h}}-e^{rh}}{e^{\sigma \sqrt{h}}-e^{-\sigma \sqrt{h}}}$. On approche
  $C$ défini par l'équation~\eqref{eq:prix_asiatique} par
  \begin{align*}
    C^N_0=(1+R)^{-N}\espbracket{\frac{1}{N}\left(\sum_{j=1}^{N-1}
        S_j+\frac{S_0+S_N}{2}\right)},
  \end{align*}
  où $R$ est tel que $1+R=e^{rh}$.
  On rappelle que $C^N_n$, le prix du call asiatique à l'instant $n$, peut
  s'écrire comme $C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)$. On rappelle aussi que puisque le
  prix actualisé de l'option est une martingale, on a
  \begin{align*}
    C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)=\frac{1}{1+R}&\left(p
      C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{-\sigma \sqrt{h}})\right.\\
    &\left.+(1-p)C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{\sigma \sqrt{h}})\right).
  \end{align*}
  On notera $\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1}
    S_j+\frac{S_0+S_n}{2}\right)$ la valeur approchée de l'intégrale
  $\displaystyle\frac{1}{nh}\int_0^{nh} S_u du$, et on montrera que
  \begin{align*}
    I_{n+1}=\frac{n}{n+1}I_n+\frac{S_n+S_{n+1}}{2}.
  \end{align*}
\item Comparer les 3 méthodes.
\end{itemize}

\section{Pricing des options barrières par formule fermée et par ponts
  Browniens}

On considère une option barrière call down and In dans le modèle de
Black Scholes, c'est à dire de payoff


\input{test22.tex}

\begin{align}
  (S_T-K)_+\ind{\exists u \le T \,:\, S_u \le L}.
\end{align}


\begin{itemize}
\item En utilisant la loi du couple $(W_T,\inf_{u\le T} W_u)$ rappelée en annexe
  donner une formule fermée pour le prix du Call Down and In.
\item Implémenter une méthode de Monte Carlo pour calculer le prix.
\item Utiliser les ponts Browniens pour estimer la probabilité de franchement de
  la barrière entre deux instants de discrétisation et implémenter la méthode de
  Monte Carlo améliorée ainsi obtenue.
\end{itemize}