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author | Norbert Preining <norbert@preining.info> | 2019-09-02 13:46:59 +0900 |
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committer | Norbert Preining <norbert@preining.info> | 2019-09-02 13:46:59 +0900 |
commit | e0c6872cf40896c7be36b11dcc744620f10adf1d (patch) | |
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diff --git a/support/chklref/test/test21.tex b/support/chklref/test/test21.tex new file mode 100644 index 0000000000..00f5d8f918 --- /dev/null +++ b/support/chklref/test/test21.tex @@ -0,0 +1,119 @@ +\section{Options d'échange} + +\subsubsection*{Définition du modèle} + +On considère un modèle de \BS\ en dimension $2$. On pose $S_{t}=\left(S_{t}^{1}, + S_{t}^{2}\right)$ le vecteur des cours des actifs. Soit $\left(W_{t}^1, + W_t^2\right)_{t\ge 0}$ $2$ mouvements Browniens standards de matrice de +corrélation $\Gamma = \begin{pmatrix} + 1 & \rho \\ + \rho & 1 +\end{pmatrix}$, avec $-1 < \rho < 1$ et de racine carrée $L$, obtenue par +factorisation de Cholesky par exemple. Soit $r$ le taux d'intérêt (supposé +constant), $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_d)$ le vecteur des volatilités et +$S_{0}:=\left(S_{0}^{1},S_{0}^{2}\right)$ le vecteur des valeurs initiales des +actifs (supposées déterministes). La dynamique du cours de l'actif $i$ est +donnée par +\begin{equation} + \label{eq:dS_u_v} + dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r\,dt + \sigma_{i} \, d W_t^i\right), +\end{equation} +ou de manière équivalente par +\begin{equation*} + dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r \,dt + \sigma_{i} \,L_i d B_t\right), +\end{equation*} +avec $B$ un M.B en dimension $2$ et $L_i$ la $i^{eme}-$ligne de la +matrice $L$. On note $\cf=\sigma(W)=\sigma(B)$. + +On souhaite calculer le prix de l'option d'échange de payoff $(S_T^1 - S_T^2)_+$ +donné par +\begin{equation} + \label{eq:prix_echange} + \expp{-r T} \espbracket{(S_T^1 - S_T^2)_+}. +\end{equation} + +\subsubsection*{Travail demandé} + +\begin{itemize} +\item Donner une formule fermée pour le prix~\eqref{eq:prix_echange}. +\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte + Carlo classique. +\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte + Carlo utilisant une technique de réduction de variance basée sur le conditionnement. +\item Comparer les variances empiriques obtenues pour chacun des deux estimateurs. +\end{itemize} + + +\section{Pricing des options asiatiques par méthode de Monte Carlo et méthodes + d'arbre} + +On s'intéresse au pricing du call asiatique à strike fixe de payoff +\begin{align*} + \left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+ +\end{align*} +dans le modèle de Black Scholes +\begin{itemize} +\item Implémenter une méthode de Monte Carlo simple pour évaluer le prix du call + asiatique + \begin{equation} + \label{eq:prix_asiatique} + C=\espbracket{e^{-rT}\left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+}. + \end{equation} +\item Implémenter la technique de réduction de variance de Kemna et Vorst vue + dans le cours MAE51. +\item Implémenter le calcul du prix dans le modèle d'arbre CRR. On approche le + sous-jacent $S$ par l'arbre binômial à $N$ pas de temps suivant + \begin{align*} + S_{n+1}=\left\{ + \begin{array}{cl} + S_n e^{\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }p\\ + S_n e^{-\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }1-p + \end{array}\right. + \end{align*} où $h=\frac{T}{N}$ et $p=\frac{e^{\sigma + \sqrt{h}}-e^{rh}}{e^{\sigma \sqrt{h}}-e^{-\sigma \sqrt{h}}}$. On approche + $C$ défini par l'équation~\eqref{eq:prix_asiatique} par + \begin{align*} + C^N_0=(1+R)^{-N}\espbracket{\frac{1}{N}\left(\sum_{j=1}^{N-1} + S_j+\frac{S_0+S_N}{2}\right)}, + \end{align*} + où $R$ est tel que $1+R=e^{rh}$. + On rappelle que $C^N_n$, le prix du call asiatique à l'instant $n$, peut + s'écrire comme $C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)$. On rappelle aussi que puisque le + prix actualisé de l'option est une martingale, on a + \begin{align*} + C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)=\frac{1}{1+R}&\left(p + C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{-\sigma \sqrt{h}})\right.\\ + &\left.+(1-p)C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{\sigma \sqrt{h}})\right). + \end{align*} + On notera $\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1} + S_j+\frac{S_0+S_n}{2}\right)$ la valeur approchée de l'intégrale + $\displaystyle\frac{1}{nh}\int_0^{nh} S_u du$, et on montrera que + \begin{align*} + I_{n+1}=\frac{n}{n+1}I_n+\frac{S_n+S_{n+1}}{2}. + \end{align*} +\item Comparer les 3 méthodes. +\end{itemize} + +\section{Pricing des options barrières par formule fermée et par ponts + Browniens} + +On considère une option barrière call down and In dans le modèle de +Black Scholes, c'est à dire de payoff + + +\input{test22.tex} + +\begin{align} + (S_T-K)_+\ind{\exists u \le T \,:\, S_u \le L}. +\end{align} + + +\begin{itemize} +\item En utilisant la loi du couple $(W_T,\inf_{u\le T} W_u)$ rappelée en annexe + donner une formule fermée pour le prix du Call Down and In. +\item Implémenter une méthode de Monte Carlo pour calculer le prix. +\item Utiliser les ponts Browniens pour estimer la probabilité de franchement de + la barrière entre deux instants de discrétisation et implémenter la méthode de + Monte Carlo améliorée ainsi obtenue. +\end{itemize} + |