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\section{Les triangles}

\subsection{Définition des  triangles \tkzcname{tkzDefTriangle}}
Les macros suivantes  vont permettre de définir ou de construire un triangle à partir \tkzname{au moins} de deux points.

 Pour le moment, il est possible de définir les triangles suivants :
 \begin{itemize}
\item  \tkzname{two angles}  détermine un triangle connaissant deux angles,
\item  \tkzname{equilateral}  détermine un triangle équilatéral,
\item \tkzname{half} détermine un triangle rectangle tel que le rapport des mesures des deux côtés adjacents à l'angle droit soit égal à $2$,
\item \tkzname{pythagore} détermine un triangle rectangle dont les mesures des côtés sont proportionnelles à 3, 4 et 5,
\item \tkzname{school} détermine un triangle rectangle dont les angles sont 30, 60 et 90 degrés,
\item \tkzname{golden} détermine un triangle rectangle tel que le rapport des mesures des deux côtés adjacents à l'angle droit soit égal $\Phi=1,618034$, J'ai choisi comme dénomination « triangle doré » car il rpovient du rectangle d'or et j'ai conservé la dénomination « triangle d'or »  ou encore « triangle d'Euclide » pour le triangle isocèle dont les angles à la base sont de 72 degrés,

\item \tkzname{gold} ou \tkzname{euclide} pour le triangle d'or,

\item \tkzname{cheops} détermine un troisième point tel que le triangle soit isocèle  dont les mesures des côtés sont proportionnelles à $2$, $\Phi$ et $\Phi$.
\end{itemize}

\begin{NewMacroBox}{tkzDefTriangle}{\oarg{local options}\parg{A,B}}
les points sont ordonnés car le triangle est construit en suivant le sens direct du cercle trigonométrique. Cette macro est soit utilisée en partenariat  avec \tkzcname{tkzGetPoint} soit en utilisant \tkzname{tkzPointResult} s'il n'est pas nécessaire de conserver le nom.


\medskip
\begin{tabular}{lll}
\toprule
options             & default & definition                        \\
\midrule
\TOline{two angles= \#1 and \#2}{no defaut}{triangle connaissant deux angles}
\TOline{equilateral} {no defaut}{triangle équilatéral }
\TOline{pythagore}{no defaut}{proportionnel au triangle de pythagore 3-4-5}
\TOline{school} {no defaut}{ angles de 30, 60 et 90 degrés }
\TOline{gold}{no defaut}{ angles de 72, 72 et 36 degrés, $A$ est le sommet }
\TOline{euclide} {no defaut}{identique au précédent mais $[AB]$ est la base}
\TOline{golden} {no defaut}{rectangle en B et $AB/AC = \Phi$}
\TOline{cheops} {no defaut}{AC=BC, AC et BC sont proportionnels à $2$ et $\Phi$.}
\end{tabular}

\medskip
\tkzcname{tkzGetPoint} permet de stocker le point sinon \tkzname{tkzPointResult} permet une utilisation immédiate.
\end{NewMacroBox}

\subsubsection{triangle doré (golden)}
\begin{tkzexample}[latex=6 cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\tkzInit[xmax=5,ymax=3] \tkzClip[space=.5]
  \tkzDefPoint(0,0){A}      \tkzDefPoint(4,0){B}
  \tkzDefTriangle[golden](A,B)\tkzGetPoint{C}
  \tkzDrawPolygon(A,B,C) \tkzDrawPoints(A,B,C)
  \tkzLabelPoints(A,B) \tkzDrawBisector(A,C,B)
  \tkzLabelPoints[above](C)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{triangle équilatéral}\label{def_equilateral}
\begin{tkzexample}[latex=7 cm,small]
\begin{tikzpicture}
  \tkzDefPoint(0,0){A}
  \tkzDefPoint(4,0){B}
  \tkzDefTriangle[equilateral](A,B)
  \tkzGetPoint{C}
  \tkzDrawPolygon(A,B,C)
  \tkzDefTriangle[equilateral](B,A)
  \tkzGetPoint{D}
  \tkzDrawPolygon(B,A,D)
  \tkzDrawPoints(A,B,C,D)
  \tkzLabelPoints(A,B,C,D)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{triangle d'or  (euclide)}
\begin{tkzexample}[latex=7 cm,small]
\begin{tikzpicture}
 \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,0){B}
 \tkzDefTriangle[euclide](A,B)\tkzGetPoint{C}
 \tkzDrawPolygon(A,B,C)
 \tkzDrawPoints(A,B,C)
 \tkzLabelPoints(A,B)
 \tkzLabelPoints[above](C)
 \tkzDrawBisector(A,C,B)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\newpage
\subsection{Tracé des  triangles}
 \begin{NewMacroBox}{tkzDrawTriangle}{\oarg{local options}\parg{A,B}}
Macro semblable à la macro précédente mais les côtés sont tracés.

\medskip
\begin{tabular}{lll}
\toprule
options             & default & definition                        \\
\midrule
\TOline{two angles= \#1 and \#2}{no defaut}{triangle connaissant deux angles}
\TOline{equilateral} {no defaut}{triangle équilatéral }
\TOline{pythagore}{no defaut}{proportionnel au triangle de pythagore 3-4-5}
\TOline{school} {no defaut}{les angles sont 30, 60 et 90 degrés }
\TOline{gold}{no defaut}{les angles sont 72, 72 et 36 degrés, $A$ est le sommet }
\TOline{euclide} {no defaut}{identique au précédent mais $[AB]$ est la base}
\TOline{golden} {no defaut}{rectangle en B et $AB/AC = \Phi$}
\TOline{cheops} {no defaut}{isocèle en C et $AC/AB = \frac{\Phi}{2}$}
\bottomrule
 \end{tabular}

\medskip
Dans toutes ses définitions, les dimensions du triangle dépendent des deux points de départ.
\end{NewMacroBox}


\subsubsection{triangle de Pythagore}
Ce triangle a des côtés dont les longueurs sont proportionnelles à 3, 4 et 5.

\begin{tkzexample}[latex=6 cm,small]
\begin{tikzpicture}
 \tkzDefPoint(0,0){A}
 \tkzDefPoint(4,0){B}
 \tkzDrawTriangle[pythagore,fill=blue!30](A,B)
 \tkzMarkRightAngles(A,B,tkzPointResult)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}


 \subsubsection{triangle 30 60 90 (school)}
 Les angles font 30, 60 et 90 degrés.

\begin{tkzexample}[latex=6 cm,small]
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[ymin=-2.5,ymax=0,xmin=-5,xmax=0]
\tkzClip[space=.5]
\begin{scope}[rotate=-180]
  \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,0){B}
  \tkzDrawTriangle[school,fill=red!30](A,B)
  \tkzMarkRightAngles(B,A,tkzPointResult)  
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}


\section{Triangles spécifiques avec \tkzcname{tkzDefSpcTriangle}}

Les centres de certains triangles ont été définis dans la section "points", ici il s'agit de déterminer les trois sommets de triangles spécifiques.

\begin{NewMacroBox}{tkzDefSpcTriangle}{\oarg{local options}\parg{A,B,C}}
The order of the points is important!


\medskip
\begin{tabular}{lll}
\toprule
options             & default & definition                        \\
\midrule
\TOline{in or incentral}{centroid}{triangle connaissant deux angles}
\TOline{ex or excentral} {centroid}{triangle équilatéral }
\TOline{extouch}{centroid}{proportionnel au triangle de pythagore 3-4-5}
\TOline{intouch or contact} {centroid}{ angles de 30, 60 et 90 degrés }
\TOline{centroid or medial}{centroid}{ angles de 72, 72 et 36 degrés, $A$ est le sommet }
\TOline{orthic} {centroid}{identique au précédent mais $[AB]$ est la base}
\TOline{feuerbach} {centroid}{rectangle en B et $AB/AC = \Phi$}
\TOline{euler} {centroid}{AC=BC, AC et BC sont proportionnels à $2$ et $\Phi$.}
\TOline{tangential} {centroid}{AC=BC, AC et BC sont proportionnels à $2$ et $\Phi$.}
\TOline{name} {no defaut}{AC=BC, AC et BC sont proportionnels à $2$ et $\Phi$.}
\midrule
\end{tabular}

\medskip
\tkzcname{tkzGetPoint} permet de stocker le point sinon \tkzname{tkzPointResult} permet une utilisation immédiate.
\end{NewMacroBox}

\subsubsection{\tkzcname{tkzDefSpcTriangle} option "medial" ou "centroid"}
The geometric centroid  of the polygon vertices of a triangle is the point $G$ (sometimes also denoted $M$) which is also the intersection of the triangle's three triangle medians. The point is therefore sometimes called the median point. The centroid is always in the interior of the triangle.\\
\href{http://mathworld.wolfram.com/TriangleCentroid.html}{Weisstein, Eric W. "Centroid triangle" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}

In the following example, we obtain the Euler circle which passes through the previously defined points.

\begin{tkzexample}[latex=7cm,small]
\begin{tikzpicture}[rotate=90,scale=.75]
 \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0.8/4/C}
 \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C)
        \tkzGetPoint{M}
 \tkzDefSpcTriangle[medial,name=M](A,B,C){_A,_B,_C}
 \tkzDrawPolygon[color=blue](A,B,C)
 \tkzDrawSegments[dashed,red](A,M_A B,M_B C,M_C)
 \tkzDrawPolygon[color=red](M_A,M_B,M_C)
 \tkzDrawPoints(A,B,C,M)
 \tkzDrawPoints[red](M_A,M_B,M_C)
\tkzAutoLabelPoints[center=M,font=\scriptsize]%
(A,B,C,M_A,M_B,M_C)
 \tkzLabelPoints[font=\scriptsize](M)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{Option : "in" ou "incentral"}
The Incentral triangle is the triangle whose vertices are determined by
the intersections of the reference triangle’s angle bisectors with the
respective opposite sides.\\
\href{http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html}{Weisstein, Eric W. "Incentral triangle" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}


\begin{tkzexample}[latex=7cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=1]
  \tkzDefPoints{ 0/0/A,5/0/B,1/3/C}
  \tkzDefSpcTriangle[in,name=I](A,B,C){a,b,c}
  \tkzInCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{I}
  \tkzDrawPolygon[red](A,B,C)
  \tkzDrawPolygon[blue](Ia,Ib,Ic)
  \tkzDrawPoints(A,B,C,I,Ia,Ib,Ic)
  \tkzDrawCircle[in](A,B,C)
  \tkzDrawSegments[dashed](A,Ia B,Ib C,Ic)
 \tkzAutoLabelPoints[center=I,blue,font=\scriptsize]%
(Ia,Ib,Ic)
 \tkzAutoLabelPoints[center=I,red,font=\scriptsize]%
(A,B,C)
(A,B,C,Ia,Ib,Ic)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{Option : "ex" ou "Excentral"}
The excentral triangle of a triangle $ABC$ is the triangle $JaJbJc$ with vertices corresponding to the excenters of $ABC$.

\begin{tkzexample}[latex=7cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=.6]
 \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0.8/4/C}
 \tkzDefSpcTriangle[excentral,name=J](A,B,C){a,b,c}
 \tkzDefSpcTriangle[extouch,name=T](A,B,C){a,b,c}
 \tkzDrawPolygon[blue](A,B,C)
 \tkzDrawPolygon[red](Ja,Jb,Jc)
 \tkzDrawPoints(A,B,C)
 \tkzDrawPoints[red](Ja,Jb,Jc)
 \tkzLabelPoints(A,B,C)
 \tkzLabelPoints[red](Jb,Jc)
 \tkzLabelPoints[red,above](Ja)
 \tkzClipBB \tkzShowBB 
 \tkzDrawCircles[gray](Ja,Ta Jb,Tb Jc,Tc) 
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}


\subsubsection{Option :   "intouch"}
The contact triangle of a triangle ABC, also called the intouch triangle, is the triangle  formed by the points of tangency of the incircle of $ABC$ with $ABC$.\\
\href{http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html}{Weisstein, Eric W. "Contact triangle" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}

We obtain the intersections of the bisectors with the sides.
\begin{tkzexample}[latex=7cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
 \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0.8/4/C}					 
 \tkzDefSpcTriangle[intouch,name=x](A,B,C){a,b,c}
 \tkzInCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{I}
 \tkzDrawPolygon[red](A,B,C)
 \tkzDrawPolygon[blue](xa,xb,xc)
 \tkzDrawPoints[red](A,B,C)
 \tkzDrawPoints[blue](xa,xb,xc)
 \tkzDrawCircle[in](A,B,C)
 \tkzAutoLabelPoints[center=I,blue,font=\scriptsize]%
(xa,xb,xc)
 \tkzAutoLabelPoints[center=I,red,font=\scriptsize]%
(A,B,C)
\end{tikzpicture} 
\end{tkzexample}

\subsubsection{Option :   "extouch"}
The extouch triangle  $TaTbTc$ is the triangle formed by the points of tangency of a triangle $ABC$ with its excircles $Ja$, $Jb$, and $Jc$. The points  $Ta$, $Tb$, and $Tc$ can also be constructed as the points which bisect the perimeter of $A_1A_2A_3$ starting at $A$, $B$, and $C$.\\
\href{http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html}{Weisstein, Eric W. "Extouch triangle" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}

We obtain the points of contact of the exinscribed circles as well as the triangle formed by the centres of the exinscribed circles.

\begin{tkzexample}[latex=8cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0.8/4/C}
\tkzDefSpcTriangle[excentral,
                 name=J](A,B,C){a,b,c}
\tkzDefSpcTriangle[extouch,
                  name=T](A,B,C){a,b,c}
\tkzDefTriangleCenter[nagel](A,B,C)
\tkzGetPoint{Na}
\tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C)
\tkzGetPoint{G}
\tkzDrawPoints[blue](Ja,Jb,Jc)
\tkzClipBB \tkzShowBB
\tkzDrawCircles[gray](Ja,Ta Jb,Tb Jc,Tc)
\tkzDrawLines[add=1 and 1](A,B B,C C,A)
\tkzDrawSegments[gray](A,Ta B,Tb C,Tc)
\tkzDrawSegments[gray](Ja,Ta Jb,Tb Jc,Tc)
\tkzDrawPolygon[blue](A,B,C)
\tkzDrawPolygon[red](Ta,Tb,Tc)
\tkzDrawPoints(A,B,C,Na)
\tkzLabelPoints(Na)
\tkzAutoLabelPoints[center=Na,blue](A,B,C)
\tkzAutoLabelPoints[center=G,red,
                         dist=.4](Ta,Tb,Tc)
\tkzMarkRightAngles[fill=gray!15](Ja,Ta,B
 Jb,Tb,C Jc,Tc,A)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{Option :  "feuerbach"}
The Feuerbach triangle is the triangle formed by the three points of tangency of the nine-point circle with the excircles.\\
\href{http://mathworld.wolfram.com/FeuerbachTriangle.html}{Weisstein, Eric W. "Feuerbach triangle" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}

 The points of tangency define the Feuerbach triangle.


\begin{tkzexample}[latex=8cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=1]
  \tkzDefPoint(0,0){A}
  \tkzDefPoint(3,0){B}
  \tkzDefPoint(0.5,2.5){C}
  \tkzDefCircle[euler](A,B,C) \tkzGetPoint{N}
  \tkzDefSpcTriangle[feuerbach,
                       name=F](A,B,C){_a,_b,_c}
  \tkzDefSpcTriangle[excentral,
                       name=J](A,B,C){_a,_b,_c}
  \tkzDefSpcTriangle[extouch,
                        name=T](A,B,C){_a,_b,_c}
  \tkzDrawPoints[blue](J_a,J_b,J_c,F_a,F_b,F_c,A,B,C)
  \tkzClipBB \tkzShowBB
  \tkzDrawCircle[purple](N,F_a)
  \tkzDrawPolygon(A,B,C)
  \tkzDrawPolygon[blue](F_a,F_b,F_c)
  \tkzDrawCircles[gray](J_a,F_a J_b,F_b J_c,F_c)
  \tkzAutoLabelPoints[center=N,dist=.3,
   font=\scriptsize](A,B,C,F_a,F_b,F_c,J_a,J_b,J_c)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\subsubsection{Option Triangle  "tangential"} 
The tangential triangle is the triangle $T_AT_BT_C $formed by the lines tangent to the circumcircle of a given triangle ABC at its vertices. It is therefore antipedal triangle of ABC with respect to the circumcenter O.\\ 
\href{http://mathworld.wolfram.com/TangentialTriangle.html}{Weisstein, Eric W. "Tangential Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. }


\begin{tkzexample}[latex=8cm,small]
\begin{tikzpicture}[scale=.5,rotate=80]
  \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,1.8/4/C}           
  \tkzDefSpcTriangle[tangential,
    name=T](A,B,C){a,b,c}
  \tkzDrawPolygon[red](A,B,C)
  \tkzDrawPolygon[blue](Ta,Tb,Tc)
  \tkzDrawPoints[red](A,B,C)
  \tkzDrawPoints[blue](Ta,Tb,Tc)
  \tkzDefCircle[circum](A,B,C)  
  \tkzGetPoint{O} 
  \tkzDrawCircle(O,A)
  \tkzLabelPoints[red](A,B,C)
  \tkzLabelPoints[blue](Ta,Tb,Tc)
\end{tikzpicture} 
\end{tkzexample} 

 \subsubsection{Option Triangle  "euler"}
The Euler triangle of a triangle ABC is the triangle $E_AE_BE_C$ whose vertices are the midpoints of the segments joining the orthocenter H with the respective vertices. The vertices of the triangle are known as the Euler points, and lie on the nine-point circle.

\begin{tkzexample}[latex=7cm,small]
\begin{tikzpicture}[rotate=90,scale=1.25]
 \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0.8/4/C}
 \tkzDefSpcTriangle[medial,
     name=M](A,B,C){_A,_B,_C}
 \tkzDefTriangleCenter[euler](A,B,C)
     \tkzGetPoint{N} % I= N nine points
 \tkzDefTriangleCenter[ortho](A,B,C)
        \tkzGetPoint{H}
 \tkzDefMidPoint(A,H) \tkzGetPoint{E_A}
 \tkzDefMidPoint(C,H) \tkzGetPoint{E_C}
 \tkzDefMidPoint(B,H) \tkzGetPoint{E_B}
 \tkzDefSpcTriangle[ortho,name=H](A,B,C){_A,_B,_C}
 \tkzDrawPolygon[color=blue](A,B,C)
 \tkzDrawCircle(N,E_A)
 \tkzDrawSegments[blue](A,H_A B,H_B C,H_C)
 \tkzDrawPoints(A,B,C,N,H)
 \tkzDrawPoints[red](M_A,M_B,M_C)
 \tkzDrawPoints[blue]( H_A,H_B,H_C)
 \tkzDrawPoints[green](E_A,E_B,E_C)
 \tkzAutoLabelPoints[center=N,font=\scriptsize]%
(A,B,C,M_A,M_B,M_C,H_A,H_B,H_C,E_A,E_B,E_C)
\tkzLabelPoints[font=\scriptsize](H,N)
\tkzMarkSegments[mark=s|,size=3pt,
  color=blue,line width=1pt](B,E_B E_B,H)
   \tkzDrawPolygon[color=red](M_A,M_B,M_C)
\end{tikzpicture}
\end{tkzexample}


\endinput