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\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\addtolength{\textwidth}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\parindent}{0mm}
\setlength{\parskip}{.5\baselineskip}
\usepackage{tabvar}
%\usepackage[FlechesPS]{tabvar}
%\usepackage[FlechesMP]{tabvar}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\IfFileExists{lmodern.sty}{\usepackage{lmodern}}{}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries Exemples de tableaux de variations avec \texttt{tabvar}
\end{center}
Un exemple simple :
$\displaystyle f(x)=\frac{x^3+2}{2x} \qquad f'(x)=\frac{x^3-1}{x^2}$.
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline
x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & 0 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & & - & & - & \dbarre & - & 0 & + &
\\ \hline
\niveau{3}{3}f(x)
&+\infty &\decroit
&0 &\decroit
&\discont{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Le codage du tableau est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline
x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & &0 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &- & &- &\dbarre &- & 0 &+ &
\\ \hline
\niveau{3}{3}f(x)
&+\infty &\decroit
&0 &\decroit
&\discont{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
L'argument optionnel de \verb|\discont| n'a pas été utilisé, on obtiendrait
une meilleure présentation en lui donnant la valeur~1, ce qui écarterait
d'un interligne les valeurs $+\infty$ et~$-\infty$, mettant ainsi
les trois valeurs~$+\infty$ sur la même ligne.
D'autre part, $f(x)$ est placé au niveau~3 par la commande \verb|\niveau|.
Si on souhaitait que $f(x)$ soit placé plus bas, au niveau~2 par exemple,
il faudrait coder :\\
\verb|\niveau{2}{3}f(x)} &\niveau{3}{3}+\infty}|
Voici le résultat obtenu avec ces deux modifications :
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline
x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & &0 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &- & &- &\dbarre &- & 0 &+ &
\\ \hline
\niveau{2}{3}f(x)
&\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&0 &\decroit
&\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Une présentation plus traditionnelle du tableau de variations serait la
suivante (on renonce à l'utilisation de \verb|\discont| et on remplace
la colonne \texttt{C} par trois colonnes \texttt{LCR}, la colonnne
centrale contenant une double barre). On ajoute également des filets
verticaux pour les valeurs remarquables de la fonction ou de sa dérivée
grâce à la commande \verb|\barre{}|%
\footnote{Cette commande n'est disponible que depuis la version 1.1 (mai~2007)
de \texttt{tabvar}.}
(argument \emph{obligatoire}, éventuellement vide).
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCLCRCCCC|} \hline
x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &- & \barre{} &- & &\dbarre & &- & \barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{2}{3}f(x)
&\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{0} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Le codage est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCLCRCCCC|} \hline
x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &- & \barre{} &- & &\dbarre & &- & \barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{2}{3}f(x)
&\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{0} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
Noter la présence de la seconde commande \verb|\niveau| pour
positionner le terme \verb|+\infty| au niveau~3 après la discontinuité.
\newpage
Un exemple de courbe paramétrée :
$\displaystyle x(t)= t + \frac{1}{t}\qquad y(t) = t + \frac{1}{2t^2}$.
\[
\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & 0 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ & 0 & - & \dbarre & - & 0 & + &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&-2 &\decroit
&\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit
&2 &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 & + & \dbarre & - & 0 &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}
\]
Le codage est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & 0 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ & 0 & - & \dbarre & - & 0 & + &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&-2 &\decroit
&\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit
&2 &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 & + & \dbarre & - & 0 &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
\newpage
Le même tableau de variations en présentation \og traditionnelle \fg.
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ &\barre{0}
&- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&\barre{-2} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Le codage est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ &\barre{0}
&- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&\barre{-2} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
Noter que le type de la colonne $t=-1$ a dû être changé de \texttt{R} à
\texttt{C} pour permettre l'ajout du filet vertical.
\newpage
Il est possible de choisir entre quatre types de flèches grâce aux commandes
\verb+\FlechesPS1+ (flèches « à moustaches » obtenues par défaut) \dots{}
\verb+\FlechesPS4+.
Voici le même tableau avec des flèches assorties à la police Fourier
(\verb+\FlechesPS2+) :
\FlechesPS2
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ &\barre{0}
&- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&\barre{-2} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Une autre variante (\verb+\FlechesPS3+) \FlechesPS3 :
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ &\barre{0}
&- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&\barre{-2} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
et une dernière (\verb+\FlechesPS4+) \FlechesPS4 :
\[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ &\barre{0}
&- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&\barre{-2} &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&\barre{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\barre{\frac{3}{2}} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\newpage
Le même tableau encore, mais cette fois on utilise les flèches dessinées en
MetaPost. Celles-ci sont conservées uniquement pour préserver la compatibilité
ascendante, l'utilisation des flèches PostScript est de loin préférable (les
flèches MetaPost sont des \emph{dessins}, leur couleur ne change pas avec la
couleur du texte contrairement aux flèches PostScript qui sont des
\emph{caractères}).
Le flèches MetaPost sont obtenues avec
\verb|\usepackage[FlechesMP]{tabvar}|
ou la commande \verb|\FlechesMPtrue| placée dans le préambule ou dans le
fichier \texttt{tabvar.cfg}.
\begingroup
\newsavebox{\arup}%
\newsavebox{\ardown}%
\newsavebox{\arhor}%
\sbox{\arup}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.1}}%
\sbox{\ardown}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.2}}%
\sbox{\arhor}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.3}}%
\makeatletter
\renewcommand{\FlecheC}{%
\TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\arup}}}}%
\renewcommand{\FlecheD}{%
\TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\ardown}}}}%
\renewcommand{\FlecheH}{%
\TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\arhor}}}}%
\makeatother
\[\begin{tabvar}{|C|CCRCRCLCCCC|} \hline
t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty
\\ \hline
x'(t) & &+ & 0 & - & &\dbarre & & - & 0 & + &
\\ \hline
\niveau{1}{3}
x(t) &-\infty &\croit
&-2 &\decroit
&-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit
&2 &\croit
&+\infty
\\ \hline
\niveau{1}{3}
y(t) &-\infty &\croit
&-\frac{1}{2} &\croit
&+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit
&\frac{3}{2} &\croit
&+\infty
\\ \hline
y'(t) & &+ &2 & + & & \dbarre & & - & 0 &+ &
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\endgroup
Un exemple de fonction non définie partout :
$\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$.
\[\begin{tabvar}{|C|CCRNLCC|} \hline
x &-\infty & &-1 &\hspace*{15mm} & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & & + & & &+\infty & + &
\\ \hline
\niveau{1}{2}
f(x) &1 &\croit &+\infty &
&\niveau{1}{2}0 &\croit & 1
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Le codage est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCRNLCC|} \hline
x &-\infty & &-1 &\hspace*{15mm} & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &+ & & &+\infty &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{2}
f(x) &1 &\croit &+\infty &
&\niveau{1}{2}0 &\croit & 1
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
La largeur de la colonne grisée est fixée à~15mm par le \verb|\hspace*{15mm}|
placé dans une ligne quelconque du tableau. Certains visualiseurs
(Xdvi par exemple) n'affichent pas correctement les couleurs ;
en cas de doute, vérifier sur une sortie PostScript ou PDF.
Noter l'emploi d'une seconde commande \verb|\niveau{1}{2}| pour positionner
la valeur de~$f$ au point~1 (sans celle-ci, cette valeur serait placée
au niveau de la valeur précédente, ici~$+\infty$.
Si on prolongeait la définition de $f$ en posant $f(x)=0$ sur $[-1,1]$
on aurait le tableau suivant :
\[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCC|} \hline
x &-\infty & & &-1 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &+ & &\dbarre & 0 &+\infty &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{2}
f(x) &1 &\croit &+\infty &\niveau{1}{2}0
&\constante &0 &\croit & 1
\\ \hline
\end{tabvar}\]
Le codage est le suivant :
\begin{verbatim}
\[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCC|} \hline
x &-\infty & & &-1 & & 1 & &+\infty
\\ \hline
f'(x) & &+ & &\dbarre & 0 &+\infty &+ &
\\ \hline
\niveau{1}{2}
f(x) &1 &\croit &+\infty &\niveau{1}{2}0
&\constante &0 &\croit & 1
\\ \hline
\end{tabvar}\]
\end{verbatim}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% coding: latin-1
%%% End:
|
