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diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/README b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/README new file mode 100644 index 00000000000..e24d7a85ec4 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/README @@ -0,0 +1,27 @@ +Tango is a LaTeX document class for use by mathematics teachers. It requires lualatex, some LaTeX packages (see the complete documentation for details), and a recent version of LaTeX (see paragraph 4 below). + +1 Version +This version number is 0.7.1 + +2 Licence +Tango is released under Latex public project licence (LPPL), version 1.3c +See https://www.latex-project.org/lppl/lppl-1-3c/ + +3 Installation +Just put the tango.cls file in a latex directory of a texmf tree, for example: +TEXMF/tex/latex/tango/tango.cls + +4 Usage +\documentclass[<options>]{tango} +The tango document class requires recent versions of LaTeX and lualatex. At my home it runs on TeXLive 2024, TeXLive 2023 and on the last update of TeXlive 2022. + +5 About examples +Example files are provided for testing the tango document class and for learning how to adapt margins, headings &Co. + +The files to typeset are: + +book-mathematics.tex +handout-euler.tex +handout-polynomes-deg2.tex +schoolwork.tex +candide.tex (the result is best in the two-pages mode of your pdf viewer).
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-1-15.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-1-15.tex new file mode 100644 index 00000000000..4f3d7984d14 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-1-15.tex @@ -0,0 +1,1312 @@ +\chapter[Comment \bname{Candide} fut élevé…] +{Comment \bname{Candide} fut élevé dans un\\ beau château,\\ et comment il fut +chassé d’icelui} + + +\lettrine{I}{l y avait} en \bname{Westphalie}, dans le château de M.~le baron de +Thunder-ten-tronckh, un jeune garçon à qui la nature avait donné les +mœurs les plus douces. Sa physionomie annonçait son âme. Il avait le +jugement assez droit, avec l’esprit le plus simple; c’est, je crois, +pour cette raison qu’on le nommait \bname{Candide}. Les anciens domestiques de +la maison soupçonnaient qu’il était fils de la sœur de M.~le +baron et d’un bon et honnête gentilhomme du voisinage, que cette +demoiselle ne voulut jamais épouser parce qu’il n’avait pu prouver que +soixante et onze quartiers, et que le reste de son arbre généalogique +avait été perdu par l’injure du temps. + +M. le baron était un des plus puissants seigneurs de la +\bname{Westphalie}, car son château avait une porte et des fenêtres. Sa grande +salle même était ornée d’une tapisserie. Tous les chiens de ses +basses-cours composaient une meute dans le besoin; ses palefreniers +étaient ses piqueurs; le vicaire du village était son grand-aumônier. +Ils l’appelaient tous \bname{Monseigneur}, et ils riaient quand il faisait des +contes. + +M\up{me} la baronne, qui pesait environ trois cent cinquante livres, +s’attirait par là une très grande considération, et faisait les honneurs +de la maison avec une dignité qui la rendait encore plus respectable. +Sa fille \bname{Cunégonde}, âgée de dix-sept ans, était haute en couleur, +fraîche, grasse, appétissante. Le fils du baron paraissait en tout +digne de son père. Le précepteur \bname{Pangloss} était l’oracle de la +maison, et le petit \bname{Candide} écoutait ses leçons avec toute la bonne foi +de son âge et de son caractère. + + + + +\bname{Pangloss} enseignait la métaphysico-théologo-cosmo\-lo\-ni\-go\-logie. Il +prouvait admirablement qu’il n’y a point d’effet sans cause, et que, +dans ce meilleur des mondes possibles, le château de monseigneur le +baron était le plus beau des châteaux, et madame la meilleure des +baronnes possibles. + + + +\frquote{Il est démontré, disait-il, que les choses ne peuvent être autrement; +car tout étant fait pour une fin, tout est nécessairement pour la +meilleure fin. Remarquez bien que les nez ont été faits pour porter des +lunettes; aussi avons-nous des lunettes. Les jambes sont visiblement +instituées pour être chaussées, et nous avons des chausses. Les pierres +ont été formées pour être taillées et pour en faire des châteaux; aussi +monseigneur a un très beau château: le plus grand baron de la province +doit être le mieux logé; et les cochons étant faits pour être mangés, +nous mangeons du porc toute l’année: par conséquent, ceux qui ont +avancé que tout est bien ont dit une sottise; il fallait dire que tout +est au mieux.} + + + +\bname{Candide} écoutait attentivement, et croyait innocemment; car il trouvait +M\up{lle}~\bname{Cunégonde} extrêmement belle, quoiqu’il ne prît jamais la +hardiesse de le lui dire. Il concluait qu’après le bonheur d’être né +baron de Thunder-ten-tronckh, le second degré de bonheur était d’être +M\up{lle}~\bname{Cunégonde}; le troisième, de la voir tous les jours; et le +quatrième, d’entendre maître \bname{Pangloss}, le plus grand philosophe de la +province, et par conséquent de toute la terre. + + +Un jour \bname{Cunégonde}, en se promenant auprès du château, dans le petit +bois qu’on appelait \emph{parc}, vit entre des broussailes le docteur +\bname{Pangloss} qui donnait une leçon de physique expérimentale à la femme de +chambre de sa mère, petite brune très jolie et très docile. Comme +M\up{lle}~\bname{Cunégonde} avait beaucoup de dispositions pour les sciences, +elle observa, sans souffler, les expériences réitérées dont elle fut +témoin; elle vit clairement la raison suffisante du docteur, les effets +et les causes, et s’en retourna tout agitée, toute pensive, toute +remplie du désir d’être savante, songeant qu’elle pourrait bien être la +raison suffisante du jeune \bname{Candide},\linebreak qui pouvait aussi être la sienne. + +Elle rencontra \bname{Candide} en revenant au château, et rougit: \bname{Candide} +rougit aussi. Elle lui dit bonjour d’une voix entrecoupée; et \bname{Candide} +lui parla sans savoir ce qu’il disait. Le lendemain, après le dîner, +comme on sortait de table, \bname{Cunégonde} et \bname{Candide} se trouvèrent derrière +un paravent; \bname{Cunégonde} laissa tomber son mouchoir, \bname{Candide} le ramassa; +elle lui prit innocemment la main; le jeune homme baisa innocemment la +main de la jeune demoiselle avec une vivacité, une sensibilité, une +grâce toute particulière; leurs bouches se rencontrèrent, leurs yeux +s’enflammèrent, leurs genoux tremblèrent, leurs mains s’égarèrent. +M.~le baron de Thunder-ten-tronckh passa auprès du paravent, et voyant +cette cause et cet effet, chassa \bname{Candide} du château à grands coups de +pied dans le derrière. \bname{Cunégonde} s’évanouit: elle fut souffletée par +M\up{me}~la baronne dès qu’elle fut revenue à elle-même; et tout fut +consterné dans le plus beau et le plus agréable des châteaux possibles. + + + + +\chapter{Ce que devint \bname{Candide} parmi les Bulgares} + + +\lettrine{C}{andide}, chassé du paradis terrestre, marcha longtemps sans savoir où, +pleurant, levant les yeux au ciel, les tournant souvent vers le plus +beau des châteaux qui renfermait la plus belle des baronnettes; il se +coucha sans souper au milieu des champs entre deux sillons; la neige +tombait à gros flocons. \bname{Candide}, tout transi, se traîna le lendemain +vers la ville voisine, qui s’appelle Valdberghoff-trarbk-dikdorff, +n’ayant point d’argent, mourant de faim et de lassitude. Il s’arrêta +tristement à la porte d’un cabaret. Deux hommes habillés de bleu le +remarquèrent: «Camarade, dit l’un, voilà un jeune homme très bien fait, +et qui a la taille requise.» Ils s’avancèrent vers \bname{Candide} et le +prièrent à dîner très civilement. «Messieurs, leur dit \bname{Candide} avec une +modestie charmante, vous me faites beaucoup d’honneur, mais je n’ai pas +de quoi payer mon écot. — Ah! monsieur, lui dit un des bleus, les +personnes de votre figure et de votre mérite ne paient jamais rien: +n’avez-vous pas cinq pieds cinq pouces de haut? — Oui, messieurs, c’est +ma taille, dit-il en faisant la révérence. — Ah! monsieur, mettez-vous à +table; non seulement nous vous défraierons, mais nous ne souffrirons +jamais qu’un homme comme vous manque d’argent; les hommes ne sont faits +que pour se secourir les uns les autres. — Vous avez raison, dit \bname{Candide}; +c’est ce que M. \bname{Pangloss} m’a toujours dit, et je vois bien que tout est +au mieux.» On le prie d’accepter quelques écus, il les prend et veut +faire son billet; on n’en veut point, on se met à table. «N’aimez-vous +pas tendrement?… — Oh! oui, répond-il, j’aime tendrement M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. — Non, dit l’un de ces messieurs, nous vous demandons si vous +n’aimez pas tendrement le roi des Bulgares? — Point du tout, dit-il, car +je ne l’ai jamais vu. — Comment! c’est le plus charmant des rois, et il +faut boire à sa santé. — Oh! très volontiers, messieurs.» Et il boit. «C’en +est assez, lui dit-on, vous voilà l’appui, le soutien, le défenseur, le +héros des Bulgares; votre fortune est faite, et votre gloire est +assurée.» On lui met sur-le-champ les fers aux pieds, et on le mène au +régiment. On le fait tourner à droite, à gauche, hausser la baguette, +remettre la baguette, coucher en joue, tirer, doubler le pas, et on lui +donne trente coups de bâton; le lendemain, il fait l’exercice un peu +moins mal, et il ne reçoit que vingt coups; le surlendemain, on ne lui +en donne que dix, et il est regardé par ses camarades comme un prodige. + + +\bname{Candide}, tout stupéfait, ne démêlait pas encore trop bien comment il +était un héros. Il s’avisa un beau jour de printemps de s’aller +promener, marchant tout droit devant lui, croyant que c’était un +privilège de l’espèce humaine, comme de l’espèce animale, de se servir +de ses jambes à son plaisir. Il n’eut pas fait deux lieues que voilà +quatre autres héros de six pieds qui l’atteignent, qui le lient, qui le +mènent dans un cachot. On lui demanda juridiquement ce qu’il aimait le +mieux d’être fustigé trente-six fois par tout le régiment, ou de +recevoir à-la-fois douze balles de plomb dans la cervelle. Il eut beau +dire que les volontés sont libres, et qu’il ne voulait ni l’un ni +l’autre, il fallut faire un choix; il se détermina, en vertu du don de +Dieu qu’on nomme \textit{liberté}, à passer trente-six fois par les baguettes; +il essuya deux promenades. Le régiment était composé de deux mille +hommes; cela lui composa quatre mille coups de baguette, qui, depuis la +nuque du cou jusqu’au cul, lui découvrirent les muscles et les nerfs. +Comme on allait procéder à la troisième course, \bname{Candide}, n’en pouvant +plus, demanda en grâce qu’on voulût bien avoir la bonté de lui casser +la tête; il obtint cette faveur; on lui bande les yeux; on le fait +mettre à genoux. Le roi des Bulgares passe dans ce moment, s’informe du +crime du patient; et comme ce roi avait un grand génie, il comprit, par +tout ce qu’il apprit de \bname{Candide}, que c’était un jeune métaphysicien +fort ignorant des choses de ce monde, et il lui accorda sa grâce avec +une clémence qui sera louée dans tous les journaux et dans tous les +siècles. Un brave chirurgien guérit \bname{Candide} en trois semaines avec les +émollients enseignés par \bname{Dioscoride}. Il avait déjà un peu de peau et +pouvait marcher, quand le roi des Bulgares livra bataille au roi des +Abares. + + + +\chapter[Comment \bname{Candide} se sauva…]{Comment \bname{Candide} se sauva d’entre\\ les Bulgares, et ce qu’il devint} + + +\lettrine{R}{ien} n’était si beau, si leste, si brillant, si bien ordonné que les +deux armées. Les trompettes, les fifres, les hautbois, les tambours, +les canons, formaient une harmonie telle qu’il n’y en eut jamais en +enfer. Les canons renversèrent d’abord à peu près six mille hommes de +chaque côté; ensuite la mousqueterie ôta du meilleur des mondes environ +neuf à dix mille coquins qui en infectaient la surface. La baïonnette +fut aussi la raison suffisante de la mort de quelques milliers +d’hommes. Le tout pouvait bien se monter à une trentaine de mille âmes. +\bname{Candide}, qui tremblait comme un philosophe, se cacha du mieux qu’il put +pendant cette boucherie héroïque. + +Enfin, tandis que les deux rois faisaient chanter des \textit{Te Deum}, chacun +dans son camp, il prit le parti d’aller raisonner ailleurs des effets +et des causes. Il passa par-dessus des tas de morts et de mourants, et +gagna d’abord un village voisin; il était en cendres: c’était un +village abare que les Bulgares avaient brûlé, selon les lois du droit +public. Ici des vieillards criblés de coups regardaient mourir leurs +femmes égorgées, qui tenaient leurs enfants à leurs mamelles +sanglantes; là des filles éventrées après avoir assouvi les besoins +naturels de quelques héros, rendaient les derniers soupirs; d’autres à +demi brûlées criaient qu’on achevât de leur donner la mort. Des +cervelles étaient répandues sur la terre à côté de bras et de jambes +\bname{coupés}. + +\bname{Candide} s’enfuit au plus vite dans un autre village: il appartenait à +des Bulgares, et les héros abares l’avaient traité de même. \bname{Candide}, +toujours marchant sur des membres palpitants ou à travers des ruines, +arriva enfin hors du théâtre de la guerre, portant quelques petites +provisions dans son bissac, et n’oubliant jamais M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. Ses provisions lui manquèrent quand il fut en \bname{Hollande}; mais +ayant entendu dire que tout le monde était riche dans ce pays-là, et +qu’on y était chrétien, il ne douta pas qu’on ne le traitât aussi bien +qu’il l’avait été dans le château de M.~le baron, avant qu’il en eût +été chassé pour les beaux yeux de M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. + +Il demanda l’aumône à plusieurs graves personnages, qui lui répondirent +tous que, s’il continuait à faire ce métier, on l’enfermerait dans une +maison de correction pour lui apprendre à vivre. + +Il s’adressa ensuite à un homme qui venait de parler tout seul une +heure de suite sur la charité dans une grande assemblée. Cet orateur le +regardant de travers lui dit: «Que venez-vous faire ici? y êtes-vous +pour la bonne cause? — Il n’y a point d’effet sans cause, répondit +modestement \bname{Candide}; tout est enchaîné nécessairement et arrangé pour +le mieux. Il a fallu que je fusse chassé d’auprès de M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, que j’aie passé par les baguettes, et il faut que je demande +mon pain, jusqu’à ce que je puisse en gagner; tout cela ne pouvait être +autrement. — Mon ami, lui dit l’orateur, croyez-vous que le pape soit +l’antechrist? — Je ne l’avais pas encore entendu dire, répondit \bname{Candide}: +mais qu’il le soit, ou qu’il ne le soit pas, je manque de pain. — Tu ne +mérites pas d’en manger, dit l’autre: va, coquin, va, misérable, ne +m’approche de ta vie.» La femme de l’orateur ayant mis la tête à la +fenêtre, et avisant un homme qui doutait que le pape fût antechrist, +lui répandit sur le chef un plein… Ô ciel! à quel excès se porte le +zèle de la religion dans les dames! + +Un homme qui n’avait point été baptisé, un bon anabaptiste, nommé +Jacques, vit la manière cruelle et +ignominieuse dont on traitait ainsi +un de ses frères, un être à deux pieds sans plumes, qui avait une âme; +il l’amena chez lui, le nettoya, lui donna du pain et de la bière, lui +fit présent de deux florins, et voulut même lui apprendre à travailler +dans ses manufactures aux étoffes de Perse qu’on fabrique en \bname{Hollande}. +\bname{Candide} se prosternant presque devant lui, s’écriait: «Maître \bname{Pangloss} +me l’avait bien dit que tout est au mieux dans ce monde, car je suis +infiniment plus touché de votre extrême générosité que de la dureté de +ce monsieur à manteau noir, et de madame son épouse.» + +Le lendemain, en se promenant, il rencontra un gueux tout couvert de +pustules, les yeux morts, le bout du nez rongé, la bouche de travers, +les dents noires, et parlant de la gorge, tourmenté d’une toux +violente, et crachant une dent à chaque effort. + + + + + +\chapter[Comment \bname{Candide} rencontra…]{Comment \bname{Candide} rencontra son ancien maître de\\ philosophie, le docteur +\bname{Pangloss}, et ce qui en advint} + + +\lettrine{C}{andide}, plus ému encore de compassion que d’horreur, donna à cet +épouvantable gueux les deux florins qu’il avait reçus de son honnête +anabaptiste Jacques. \textls[-10]{Le fantôme le regarda fixement, versa des larmes, +et sauta à son cou. \bname{Candide} effrayé recule. «Hélas! dit le misérable à +l’autre misérable, ne reconnaissez-vous plus votre cher \bname{Pangloss}? +— Qu’entends-je? vous, mon cher maître! vous, dans cet état horrible! +Quel malheur vous est-il donc arrivé? Pourquoi n’êtes-vous plus dans le +plus beau des châteaux? qu’est devenue M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, la perle +des filles, le chef-d’œuvre de la nature? — Je n’en peux plus, dit +\bname{Pangloss}.» Aussitôt \bname{Candide} le mena dans l’étable de l’anabaptiste, où +il lui fit manger un peu de pain; et quand \bname{Pangloss} fut refait: «Eh +bien! lui dit-il, \bname{Cunégonde}? — Elle est morte, reprit l’autre.»} \bname{Candide} +s’évanouit à ce mot: son ami rappela ses sens avec un peu de mauvais +vinaigre qui se trouva par hasard dans l’étable. \bname{Candide} rouvre les +yeux. «\bname{Cunégonde} est morte! Ah! meilleur des mondes, où êtes-vous? Mais +de quelle maladie est-elle morte? ne serait-ce point de m’avoir vu +chasser du beau château de monsieur son père à grands coups de pied? +— Non, dit \bname{Pangloss}, elle a été éventrée par des soldats bulgares, après +avoir été violée autant qu’on peut l’être; ils ont cassé la tête à +M. le baron qui voulait la défendre; M\up{me}~la baronne a été +coupée en morceaux; mon pauvre pupille traité précisément comme sa +sœur; et quant au château, il n’est pas resté pierre sur pierre, pas +une grange, pas un mouton, pas un canard, pas un arbre; mais nous avons +été bien vengés, car les Abares en ont fait autant dans une baronnie +voisine qui appartenait à un seigneur bulgare.» + +À ce discours, \bname{Candide} s’évanouit encore; mais revenu à soi, et ayant +dit tout ce qu’il devait dire, il s’enquit de la cause et de l’effet, +et de la raison suffisante qui avait mis \bname{Pangloss} dans un si piteux +état. «Hélas! dit l’autre, c’est l’amour: l’amour, le consolateur du +genre humain, le conservateur de l’univers, l’âme de tous les êtres +sensibles, le tendre amour. — Hélas! dit \bname{Candide}, je l’ai connu cet +amour, ce souverain des cœurs, cette âme de notre âme; il ne m’a +jamais valu qu’un baiser et vingt coups de pied au cul. Comment cette +belle cause a-t-elle pu produire en vous un effet si abominable?» + +\bname{Pangloss} répondit en ces termes: «Ô mon cher \bname{Candide}! vous avez connu +\bname{Paquette}, cette jolie suivante de notre auguste baronne: j’ai goûté +dans ses bras les délices du paradis, qui ont produit ces tourments +d’enfer dont vous me voyez dévoré; elle en était infectée, elle en est +peut-être morte. \bname{Paquette} tenait ce présent d’un cordelier très savant +qui avait remonté à la source, car il l’avait eu d’une vieille +comtesse, qui l’avait reçu d’un capitaine de cavalerie, qui le devait à +une marquise, qui le tenait d’un page, qui l’avait reçu d’un jésuite, +qui, étant novice, l’avait eu en droite ligne d’un des compagnons de +Christophe Colomb. Pour moi, je ne le donnerai à personne, car je me +meurs. + + +— Ô \bname{Pangloss}! s’écria \bname{Candide}, voilà une étrange généalogie! n’est-ce pas +le diable qui en fut la souche? — Point du tout, répliqua ce grand homme; +c’était une chose indispensable dans le meilleur des mondes, un +ingrédient nécessaire; car si \bname{Colomb} n’avait pas attrapé dans une île +de \mbox{l’Amérique} cette maladie qui empoisonne la source de la +génération, + qui souvent même empêche la génération, et qui est +évidemment l’opposé du grand but de la nature, nous n’aurions ni le +chocolat ni la cochenille; il faut encore observer que +jusqu’aujourd’hui, dans notre continent, cette maladie nous est +particulière, comme la controverse. Les \bname{Turcs}, les \bname{Indiens}, les +\bname{Persans}, les \bname{Chinois}, les \bname{Siamois}, les \bname{Japonais}, ne la connaissent pas +encore; mais il y a une raison suffisante pour qu’ils la connaissent à +leur tour dans quelques siècles. En attendant elle a fait un +merveilleux progrès parmi nous, et surtout dans ces grandes armées +composées d’honnêtes stipendiaires bien élevés, qui décident du destin +des états; on peut assurer que, quand trente mille hommes combattent en +bataille rangée contre des troupes égales en nombre, il y a environ +vingt mille vérolés de chaque côté. + +— Voilà qui est admirable, dit \bname{Candide}; mais il faut vous faire guérir. +— Et comment le puis-je? dit \bname{Pangloss}; je n’ai pas le sou, mon ami, et +dans toute l’étendue de ce globe on ne peut ni se faire saigner, ni +prendre un lavement sans payer, ou sans qu’il y ait quelqu’un qui paie +pour nous.» + +\looseness=-1 +Ce dernier discours détermina \bname{Candide}; il alla se jeter aux pieds de +son charitable anabaptiste Jacques, et lui fit une peinture si +touchante de l’état où son ami était réduit, que le bonhomme n’hésita +pas à recueillir le docteur \bname{Pangloss}; il le fit guérir à ses dépens. +\bname{Pangloss}, dans la cure, ne perdit qu’un œil et une oreille. Il +écrivait bien, et savait parfaitement l’arithmétique. L’anabaptiste +Jacques en fit son teneur de livres. Au bout de deux mois, étant obligé +d’aller à \bname{Lisbonne} pour les affaires de son commerce, il mena dans son +vaisseau ses deux philosophes. \bname{Pangloss} lui expliqua comment tout était +on ne peut mieux. Jacques n’était pas de cet avis. «Il faut bien, +disait-il, que les hommes aient un peu corrompu la nature, car ils ne +sont point nés loups, et ils sont devenus loups. Dieu ne leur a donné +ni canons de vingt-quatre, ni baïonnettes, et ils se sont fait des +baïonnettes et des canons pour se détruire. Je pourrais mettre en ligne +de compte les banqueroutes, et la justice qui s’empare des biens des +banqueroutiers pour en frustrer les créanciers. — Tout cela était +indispensable, répliquait le docteur borgne, et les malheurs +particuliers font le bien général; de sorte que plus il y a de malheurs +particuliers, et plus tout est bien.» Tandis qu’il raisonnait, l’air +s’obscurcit, les vents soufflèrent des quatre coins du monde, et le +vaisseau fut assailli de la plus horrible tempête, à la vue du port de +\bname{Lisbonne}. + + + + + +\chapter[Tempête, naufrage, tremblement de terre…]{Tempête, naufrage, tremblement de terre,\\et ce qui advint du docteur +\bname{Pangloss}, de \bname{Candide},\\et de l’anabaptiste Jacques} + + +\lettrine[findent=-3pt,nindent=0.6em]{L}{a moitié} +des passagers affaiblis, expirants de ces angoisses +inconcevables que le roulis d’un vaisseau porte dans les nerfs et dans +toutes les humeurs du corps agitées en sens contraires, n’avait pas +même la force de s’inquiéter du danger. L’autre moitié jetait des cris +et faisait des prières; les voiles étaient déchirées, les mâts brisés, +le vaisseau entr’ouvert. Travaillait qui pouvait, personne ne +s’entendait, personne ne commandait. L’anabaptiste aidait un peu à la +manœuvre; il était sur le tillac; un matelot furieux le frappe +rudement et l’étend sur les planches; mais du coup qu’il lui donna, il +eut lui-même une si violente secousse, qu’il tomba hors du vaisseau, la +tête la première. Il restait suspendu et accroché à une partie de mât +rompu. Le bon Jacques court à son secours, l’aide à remonter, et de +l’effort qu’il fait, il est précipité dans la mer à la vue du matelot, +qui le laissa périr sans daigner seulement le regarder. \bname{Candide} +approche, voit son bienfaiteur qui reparaît un moment, et qui est +englouti pour jamais. Il veut se jeter après lui dans la mer: le +philosophe \bname{Pangloss} l’en empêche, en lui prouvant que la rade de +\bname{\bname{Lisbonne}} avait été formée exprès pour que cet anabaptiste s’y noyât. +Tandis qu’il le prouvait \textit{a priori}, le vaisseau s’entr’ouvre, tout +périt à la réserve de \bname{Pangloss}, de \bname{Candide}, et de ce brutal de +matelot +qui avait noyé le vertueux anabaptiste; le coquin nagea heureusement +jusqu’au rivage, où \bname{Pangloss} et \bname{Candide} furent portés sur une planche. + +Quand ils furent revenus un peu à eux, ils marchèrent vers \bname{Lisbonne}; il +leur restait quelque argent, avec lequel ils espéraient se sauver de la +faim après avoir échappé à la \bname{tempête}. + + +À peine ont-ils mis le pied dans la ville, en pleurant la mort de leur +bienfaiteur, qu’ils sentent la terre trembler sous leurs pas; la mer +s’élève en bouillonnant dans le port, et brise les vaisseaux qui sont à +l’ancre. Des tourbillons de flammes et de cendres couvrent les rues et +les places publiques; les maisons s’écroulent, les toits sont renversés +sur les fondements, et les fondements se dispersent; trente mille +habitants de tout âge et de tout sexe sont écrasés sous des ruines. Le +matelot disait en sifflant et en jurant: «Il y aura quelque chose à +gagner ici. — Quelle peut être la raison suffisante de ce phénomène? +disait \bname{Pangloss}. — Voici le dernier jour du monde!» s’écriait \bname{Candide}. Le matelot court incontinent au milieu des débris, affronte la mort pour +trouver de l’argent, en trouve, s’en empare, s’enivre, et ayant cuvé +son vin, achète les faveurs de la première fille de bonne volonté qu’il +rencontre sur les ruines des maisons détruites, et au milieu des +mourants et des morts. \bname{Pangloss} le tirait cependant par la manche: «Mon +ami, lui disait-il, cela n’est pas bien, vous manquez à la raison +universelle, vous prenez mal votre temps. — Tête et sang, répondit +l’autre, je suis matelot et né à Batavia; j’ai marché quatre fois sur +le crucifix dans quatre voyages au Japon; tu as bien trouvé ton +homme avec ta \linebreak raison universelle!» + + +Quelques éclats de pierre avaient blessé \bname{Candide}; il était étendu dans +la rue et couvert de débris. Il disait à \bname{Pangloss}: «Hélas! procure-moi +un peu de vin et d’huile; je me meurs. — Ce tremblement de terre n’est +pas une chose nouvelle, répondit \bname{Pangloss}; la ville de Lima éprouva les +mêmes secousses en Amérique l’année passée; mêmes causes, mêmes effets; +il y a certainement une traînée de soufre sous terre depuis Lima +jusqu’à \bname{Lisbonne}. — Rien n’est plus probable, dit \bname{Candide}; mais, pour +Dieu, un peu d’huile et de vin. — Comment probable? répliqua le +philosophe, je soutiens que la chose est démontrée.» \bname{Candide} perdit +connaissance, et \bname{Pangloss} lui apporta un peu d’eau d’une fontaine +voisine. + +\textls[-10]{Le lendemain, ayant trouvé quelques provisions de bouche en se glissant +à travers des décombres,} ils réparèrent un peu leurs forces. Ensuite +ils travaillèrent comme les autres à soulager les habitants échappés à +la mort. Quelques citoyens, secourus par eux, leur donnèrent un aussi +bon dîner qu’on le pouvait dans un tel désastre: il est vrai que le +repas était triste; les convives arrosaient leur pain de leurs larmes; +mais \bname{Pangloss} les consola, en les assurant que les choses ne pouvaient +être autrement: «Car, dit-il, tout ceci est ce qu’il y a de mieux; car +s’il y a un volcan à \bname{Lisbonne}, il ne pouvait être ailleurs; car il est +impossible que les choses ne soient pas où elles sont, car tout est +bien.» + + +Un petit homme noir, familier de l’inquisition, lequel était à côté de +lui, prit poliment la parole et dit: «Apparemment que monsieur ne croit +pas au péché originel; car si tout est au mieux, il n’y a donc eu ni +chute ni punition. + +— Je demande très humblement pardon à votre excellence, répondit \bname{Pangloss} +encore plus poliment, car la chute de l’homme et la malédiction +entraient nécessairement dans le meilleur des mondes possibles. +— \bname{Monsieur} ne croit donc pas à la liberté? dit le familier. — Votre +excellence m’excusera, dit \bname{Pangloss}; la liberté peut subsister avec la +nécessité absolue; car il était nécessaire que nous fussions libres; +car enfin la volonté déterminée…» \bname{Pangloss} était au milieu de sa +phrase, quand le familier fit un signe de tête à son estafier qui lui +servait à boire du vin de Porto ou d’Oporto. + + + + + +\chapter[Comment on fit un bel auto-da-fé…]{Comment on fit un bel auto-da-fé pour empêcher les\\tremblements de +terre, et comment \bname{Candide} fut fessé} + + +\lettrine{A}{près} le tremblement de terre qui avait détruit les trois quarts de +\bname{Lisbonne}, les sages du pays n’avaient pas trouvé un moyen plus efficace +pour prévenir une ruine totale que de donner au peuple un bel +auto-da-fé; il était décidé par l’université de Coïmbre que le +spectacle de quelques personnes brûlées à petit feu, en grande +cérémonie, est un secret infaillible pour empêcher la terre de +trembler. + +On avait en conséquence saisi un Biscayen convaincu d’avoir épousé sa +commère, et deux Portugais qui en mangeant un poulet en avaient arraché +le lard: on vint lier après le dîner le docteur \bname{Pangloss} et son +disciple \bname{Candide}, l’un pour avoir parlé, et l’autre pour l’avoir écouté +avec un air d’approbation: tous deux furent menés séparément dans des +appartements d’une extrême fraîcheur, dans lesquels on n’était jamais +incommodé du soleil: huit jours après ils furent tous deux +revêtus d’un +\emph{san-benito}, et on orna leurs têtes de mitres de papier: la mitre et le +san-benito de \bname{Candide} étaient peints de flammes renversées, et de +diables qui n’avaient ni queues ni griffes; mais les diables de +\bname{Pangloss} portaient griffes et queues, et les flammes étaient droites. +Ils marchèrent en procession ainsi vêtus, et entendirent un sermon très +pathétique, suivi d’une belle musique en faux-bourdon. \bname{Candide} fut +fessé en cadence, pendant qu’on chantait; le Biscayen et les deux +hommes qui n’avaient point voulu manger de lard furent +brûlés, et +\bname{Pangloss} fut pendu, quoique ce ne soit pas la coutume. Le même jour la +terre trembla de nouveau avec un fracas épouvantable. + +\bname{Candide} épouvanté, interdit, éperdu, tout sanglant, tout palpitant, se +disait à lui-même: «Si c’est ici le meilleur des mondes possibles, que +sont donc les autres? passe encore si je n’étais que fessé, je l’ai été +chez les Bulgares; mais, ô mon cher \bname{Pangloss}! le plus grand des +philosophes, faut-il vous avoir vu pendre, sans que je sache pourquoi! +ô mon cher anabaptiste! le meilleur des hommes, faut-il que vous ayez +été noyé dans le port! Ô mademoiselle~\bname{Cunégonde}! la perle des filles, +faut-il qu’on vous ait fendu le ventre!» + +Il s’en retournait, se soutenant à peine, prêché, fessé, absous, et +béni, lorsqu’une vieille l’aborda, et lui dit: «Mon fils, prenez +courage, suivez-moi.» + + + + + + +\chapter[Comment une vieille prit soin de \bname{Candide}…]{Comment une vieille prit soin de \bname{Candide},\\et comment il retrouva ce +qu’il aimait} + +\lettrine{C}{andide} ne prit point courage, mais il suivit la vieille dans une +masure: elle lui donna un pot de pommade pour se frotter, lui laissa à +manger et à boire; elle lui montra un petit lit assez propre; il y +avait auprès du lit un habit complet. «Mangez, buvez, dormez, lui +dit-elle, et que Notre-Dame d’Atocha, M\up{gr} saint Antoine de +Padoue, et M\up{gr} saint Jacques de Compostelle prennent soin de +vous! je reviendrai demain.» \bname{Candide}, toujours étonné de tout ce qu’il +avait vu, de tout ce qu’il avait souffert, et encore plus de la charité +de la vieille, voulut lui baiser la main. «Ce n’est pas ma main qu’il +faut baiser, dit la vieille; je reviendrai demain. Frottez-vous de +pommade, mangez et dormez.» + + + +\bname{Candide}, malgré tant de malheurs, mangea et dormit. Le lendemain la +vieille lui apporte à déjeuner, visite son dos, le frotte elle-même +d’une autre pommade: elle lui apporte ensuite à dîner: elle revient sur +le soir et apporte à souper. Le surlendemain elle fit encore les mêmes +cérémonies. «Qui êtes-vous? lui disait toujours \bname{Candide}; qui vous a +inspiré tant de bonté? quelles grâces puis-je vous rendre?» La bonne +femme ne répondait jamais rien. Elle revint sur le soir, et n’apporta +point à souper: «Venez avec moi, dit-elle, et ne dites mot.» Elle le +prend sous le bras, et marche avec lui dans la campagne environ un +quart de mille: ils arrivent à une maison isolée, entourée de jardins +et de canaux. La vieille frappe à une petite porte. On ouvre; elle mène +\bname{Candide}, par un escalier dérobé, dans un cabinet doré, le laisse sur un +canapé de brocart, referme la porte, et s’en va. \bname{Candide} croyait rêver, +et regardait toute sa vie comme un songe funeste, et le moment présent +comme un songe agréable. + +\textls[-5] +{La vieille reparut bientôt; elle soutenait avec peine une femme +tremblante, d’une taille majestueuse, brillante de pierreries, et +couverte d’un voile. «Ôtez ce voile», dit la vieille à \bname{Candide}. Le jeune +homme approche; il lève le voile d’une main timide. Quel moment! quelle +surprise! il croit voir M\up{lle}~\bname{Cunégonde}; il la voyait en effet, +c’était elle-même. La force lui manque, il ne peut proférer une parole, +il tombe à ses pieds. \bname{Cunégonde} tombe sur le canapé. La vieille les +accable d’eaux spiritueuses, ils reprennent leurs sens, ils se parlent: +ce sont d’abord des mots entrecoupés, des demandes et des réponses qui +se croisent, des soupirs, des larmes, des cris. La vieille leur +recommande de faire moins de bruit, et les laisse en liberté. «Quoi! +c’est vous, lui dit \bname{Candide}, vous vivez! Je vous retrouve en Portugal! +On ne vous a donc pas violée? on ne vous a point fendu le ventre, comme +le philosophe \bname{Pangloss} me l’avait assuré?» — Si fait, dit la belle +\bname{Cunégonde}; mais on ne meurt pas toujours de ces deux accidents. — Mais +votre père et votre mère ont-ils été tués? — Il n’est que trop vrai, dit +\bname{Cunégonde} en pleurant. — Et votre frère? — Mon frère a été tué aussi. — Et +pourquoi êtes-vous en Portugal? et comment avez-vous su que j’y étais? +et par quelle étrange aventure m’avez-vous fait conduire dans cette +maison? — Je vous dirai tout cela, répliqua la dame; mais il faut +auparavant que vous m’appreniez tout ce qui vous est arrivé depuis le +baiser innocent que vous me donnâtes, et les coups de pied que vous +reçûtes.»} + + + +\bname{Candide} lui obéit avec un profond respect; et quoiqu’il fût interdit, +quoique sa voix fût faible et tremblante, quoique l’échine lui fît +encore un peu mal, il lui raconta de la manière la plus naïve tout ce +qu’il avait éprouvé depuis le moment de leur séparation. \bname{Cunégonde} +levait les yeux au ciel: elle donna des larmes à la mort du bon +anabaptiste et de \bname{\bname{Pangloss}}; après quoi elle parla en ces termes à +\bname{Candide}, qui ne perdait pas une parole, et qui la dévorait des yeux. + + + + + + +\chapter{Histoire de Cunégonde} + + +\lettrine[ante={«}]{J'}{étais} dans mon lit et je dormais profondément, quand il plut au ciel +d’envoyer les Bulgares dans notre beau château de Thunder-ten-tronckh; +ils égorgèrent mon père et mon frère, et coupèrent ma mère par +morceaux. Un grand Bulgare, haut de six pieds, voyant qu’à ce spectacle +j’avais perdu connaissance, se mit à me violer; cela me fit revenir, je +repris mes sens, je criai, je me débattis, je mordis, j’égratignai, je +voulais arracher les yeux à ce grand Bulgare, ne sachant pas que tout +ce qui arrivait dans le château de mon père était une chose d’usage: le +brutal me donna un coup de couteau dans le flanc gauche dont je porte +encore la marque. — Hélas! j’espère bien la voir, dit le naïf \bname{Candide}. +— Vous la verrez, dit \bname{Cunégonde}; mais continuons. — Continuez», dit \bname{Candide}. + +{\parfillskip=1em +Elle reprit ainsi le fil de son histoire: «Un capitaine bulgare entra, +il me vit toute sanglante, et le soldat ne se dérangeait pas. Le +capitaine se mit en colère du peu de respect que lui témoignait, ce +brutal, et le tua sur mon corps. Ensuite il me fit panser, et m’emmena +prisonnière de guerre dans son quartier. Je blanchissais le peu de +chemises qu’il avait, je faisais sa cuisine; il me trouvait fort jolie, +il faut l’avouer; et je ne nierai pas qu’il ne fût très bien fait, et +qu’il n’eût la peau blanche et douce; d’ailleurs peu d’esprit, peu de +philosophie: on voyait bien qu’il n’avait pas été élevé par le docteur +\bname{Pangloss}. Au bout de trois mois, ayant perdu tout son argent, et +s’étant dégoûté de moi, il me vendit à un Juif nommé don Issachar, qui +trafiquait en \bname{Hollande} et en Portugal, et qui aimait passionnément les +femmes. Ce Juif s’attacha beaucoup à ma personne, mais il ne pouvait en +triompher; je lui ai mieux résisté qu’au soldat bulgare. Une personne +d’honneur peut être violée une fois, mais sa vertu s’en affermit. Le +Juif, pour m’apprivoiser, me mena dans cette maison de campagne que +vous voyez. J’avais cru jusque-là qu’il n’y avait rien sur la terre de +si beau que le château de Thunder-ten-tronckh; j’ai été détrompée. + +} + +«Le grand inquisiteur m’aperçut un jour à la messe; il me lorgna +beaucoup, et me fit dire qu’il avait à me parler pour des affaires +secrètes. Je fus conduite à son palais; je lui appris ma naissance; il +me représenta combien il était au-dessous de mon rang d’appartenir à un +Israélite. On proposa de sa part à don Issachar de me céder à +monseigneur. Don Issachar, qui est le banquier de la cour, et homme de +crédit, n’en voulut rien faire. L’inquisiteur le menaça d’un +auto-da-fé. Enfin mon Juif intimidé conclut un marché par lequel la +maison et moi leur appartiendraient à tous deux en commun; que le Juif +aurait pour lui les lundis, mercredis, et le jour du sabbat, et que +l’inquisiteur aurait les autres jours de la semaine. Il y a six mois +que cette convention subsiste. Ce n’a pas été sans querelles; car +souvent il a été indécis si la nuit du samedi au dimanche appartenait à +l’ancienne loi ou à la nouvelle. Pour moi, j’ai résisté jusqu’à présent +à toutes les deux; et je crois que c’est pour cette raison que j’ai +toujours été aimée. + +«Enfin, pour détourner le fléau des tremblements de terre, et pour +intimider don Issachar, il plut à \bname{monseigneur} l’inquisiteur de célébrer +un auto-da-fé. Il me fit l’honneur de m’y inviter. Je fus très bien +placée; on servit aux dames des rafraîchissements entre la messe et +l’exécution. Je fus, à la vérité, saisie d’horreur en voyant brûler ces +deux Juifs et cet honnête Biscayen qui avait épousé sa commère: mais +quelle fut ma surprise, mon effroi, mon trouble, quand je vis dans un +san-benito, + et sous une mitre, une figure qui ressemblait à celle de +\bname{Pangloss}! Je me +frottai les yeux, je regardai attentivement, je le vis +pendre; je tombai en faiblesse. À peine reprenais-je mes sens, que je +vous vis dépouillé tout nu; ce fut là le comble de l’horreur, de la +consternation, de la douleur, du désespoir. Je vous dirai, avec vérité, +que votre peau est encore plus blanche, et d’un incarnat plus parfait +que celle de mon capitaine des Bulgares. Cette vue redoubla tous les +sentiments qui m’accablaient, qui me dévoraient. Je m’écriai, je voulus +dire, «Arrêtez, barbares!» mais la voix me manqua, et mes cris auraient +été inutiles. Quand vous eûtes été bien fessé: \frquote{\localleftbox{« }Comment se peut-il +faire, disais-je, que l’aimable \bname{Candide} et le sage \bname{Pangloss} se trouvent +à \bname{Lisbonne}, l’un pour recevoir cent coups de fouet, et l’autre pour +être pendu par l’ordre de \bname{Monseigneur} l’inquisiteur, dont je suis la +bien-aimée? \bname{Pangloss} m’a donc bien cruellement trompée, quand il me +disait que tout va le mieux du monde!}\localleftbox{} + +«Agitée, éperdue, tantôt hors de moi-même, et tantôt prête de mourir de +faiblesse, j’avais la tête remplie du massacre de mon père, de ma mère, +de mon frère, de l’insolence de mon vilain soldat bulgare, du coup de +couteau qu’il me donna, de ma servitude, de mon métier de cuisinière, +de mon capitaine bulgare, de mon vilain don~\bname{Issachar}, de mon abominable +inquisiteur, de la pendaison du docteur \bname{Pangloss}, de ce grand \emph{Miserere} +en faux-bourdon pendant lequel on vous fessait, et surtout du baiser +que je vous avais donné derrière un paravent, le jour que je vous avais +vu pour la dernière fois. Je louai Dieu, qui vous ramenait à moi par +tant d’épreuves. Je recommandai à ma vieille d’avoir soin de vous, et +de vous amener ici dès qu’elle le pourrait. Elle a très bien exécuté ma +commission; j’ai goûté le plaisir inexprimable de vous revoir, de vous +entendre, de vous parler. Vous devez avoir une faim dévorante; j’ai +grand appétit; commençons par souper.» + +Les voilà qui se mettent tous deux à table; et, après le souper, ils se +replacent sur ce beau canapé dont on a déjà parlé; ils y étaient quand +le signor don Issachar, l’un des maîtres de la maison, arriva. C’était +le jour du sabbat. Il venait jouir de ses droits, et expliquer son +tendre amour. + + + + + +\chapter[Ce qui advint de Cunégonde, de Candide…]{Ce qui advint de \bname{Cunégonde}, de \bname{Candide},\\du grand inquisiteur, et d’un +Juif} + + +\lettrine{C}{et} Issachar était le plus colérique Hébreu qu’on eût vu dans Israël, +depuis la captivité en Babylone. «Quoi! dit-il, chienne de galiléenne, +ce n’est pas assez de M. l’inquisiteur? il faut que ce coquin +partage aussi avec moi?» En disant cela il tire un long poignard dont il +était toujours pourvu, et, ne croyant pas que son adverse partie eût +des armes, il se jette sur \bname{Candide}; mais notre bon Westphalien avait +reçu une belle épée de la vieille avec l’habit complet. Il tire son +épée, quoiqu’il eût les mœurs fort douces, et vous étend l’Israélite +roide mort sur le carreau, aux pieds de la belle \bname{Cunégonde}. + +«Sainte Vierge! s’écria-t-elle, qu’allons-nous devenir? un homme tué +chez moi! si la justice vient, nous sommes perdus. — Si \bname{Pangloss} n’avait +pas été pendu, dit \bname{Candide}, il nous donnerait un bon conseil dans cette +extrémité, car c’était un grand philosophe. À son défaut, consultons la +vieille.» Elle était fort prudente, et commençait à dire son avis quand +une autre petite porte s’ouvrit. Il était une heure après minuit, +c’était le commencement du dimanche. Ce jour appartenait à monseigneur +l’inquisiteur. Il entre et voit le fessé \bname{Candide}, l’épée à la main, un +mort étendu par terre, \bname{Cunégonde} effarée, et la vieille donnant des +conseils. + +Voici dans ce moment ce qui se passa dans l’âme de \bname{Candide}, et comment +il raisonna: «Si ce saint homme appelle du secours, il me fera +infailliblement brûler, il pourra en faire autant de \bname{Cunégonde}; il m’a +fait fouetter impitoyablement; il est mon rival; je suis en train de +tuer; il n’y a pas à balancer.» Ce raisonnement fut net et rapide; et, +sans donner le temps à l’inquisiteur de revenir de sa surprise, il le +perce d’outre en outre, et le jette à côté du Juif. «En voici bien d’une +autre, dit \bname{Cunégonde}; il n’y a plus de rémission; nous sommes +excommuniés, notre dernière heure est venue! Comment avez-vous fait, +vous qui êtes né si doux, pour tuer en deux minutes un Juif et un +prélat? — Ma belle demoiselle, répondit\bname{Candide}, quand on est amoureux, +jaloux, et fouetté par l’inquisition, on ne se connaît plus.» + +La vieille prit alors la parole, et dit: «Il y a trois chevaux andalous +dans l’écurie, avec leurs selles et leurs brides, que le brave \bname{Candide} +les prépare; madame a des moyadors et des diamants, montons vite à +cheval, quoique je ne puisse me tenir que sur une fesse, et allons à +Cadix; il fait le plus beau temps du monde, et c’est un grand plaisir +de voyager pendant la fraîcheur de la nuit.» + +Aussitôt \bname{Candide} selle les trois chevaux; \bname{Cunégonde}, la vieille, et +lui, font trente milles d’une traite. Pendant qu’ils s’éloignaient, la +Sainte-Hermandad arrive dans la maison, on enterre monseigneur dans une +belle église, on jette Issachar à la voirie. + +\bname{Candide}, \bname{Cunégonde}, et la vieille, étaient déjà dans la petite ville +\bname{d’Avacéna}, au milieu des montagnes de la Sierra Morena; et ils +parlaient ainsi dans un cabaret. + + + + +\chapter[Dans quelle détresse Candide…]{Dans quelle détresse \bname{Candide}, \bname{Cunégonde},\\et la vieille, arrivent à +Cadix, et leur embarquement} + + +\lettrine[ante={«}]{Q}{ui a donc} pu me voler mes pistoles et mes diamants? disait en pleurant +\bname{Cunégonde}; de quoi vivrons-nous? comment ferons-nous? où trouver des +inquisiteurs et des Juifs qui m’en donnent d’autres? — Hélas! dit la +vieille, je soupçonne fort un révérend père cordelier, qui coucha hier +dans la même auberge que nous à \bname{Badajos}; Dieu me garde de faire un +jugement téméraire! mais il entra deux fois dans notre chambre, et il +partit longtemps avant nous. — Hélas! dit \bname{Candide}, le bon \bname{Pangloss} +m’avait souvent prouvé que les biens de la terre sont communs à tous +les hommes, que chacun y a un droit égal. Ce cordelier devait bien, +suivant ces principes, nous laisser de quoi achever notre voyage. Il ne +vous reste donc rien du tout, ma belle \bname{Cunégonde}? — Pas un maravédis, +dit-elle. — Quel parti prendre? dit \bname{Candide}. — Vendons un des chevaux, dit +la vieille; je monterai en croupe derrière mademoiselle, quoique je ne +puisse me tenir que sur une fesse, et nous arriverons à Cadix.» + +Il y avait dans la même hôtellerie un prieur de bénédictins; il acheta +le cheval bon marché. \bname{Candide}, \bname{Cunégonde}, et la vieille, passèrent par +Lucena, par Chillas, par Lebrixa, et arrivèrent enfin à Cadix. On y +équipait une flotte, et on y assemblait des troupes pour mettre à la +raison les révérends pères jésuites du Paraguay, qu’on accusait d’avoir +fait révolter une de leurs hordes contre les rois d’Espagne et de +Portugal, auprès de la ville du Saint-Sacrement. \bname{Candide}, ayant +servi chez les Bulgares, fit l’exercice bulgarien devant le général de +la petite armée avec tant de grâce, de célérité, d’adresse, de fierté, +d’agilité, qu’on lui donna une compagnie d’infanterie à commander. Le +voilà capitaine; il s’embarque avec M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, la vieille, +deux valets, et les deux chevaux andalous qui avaient appartenu à M. le +grand inquisiteur de Portugal. + +\looseness=-1 +Pendant toute la traversée ils raisonnèrent beaucoup sur la philosophie +du pauvre \bname{Pangloss}. «Nous allons dans un autre univers, disait \bname{Candide}; +c’est dans celui-là, sans doute, que tout est bien: car il faut avouer +qu’on pourrait gémir un peu de ce qui se passe dans le nôtre en +physique et en morale. — Je vous aime de tout mon cœur, disait +\bname{Cunégonde}; mais j’ai encore l’âme tout effarouchée de ce que j’ai vu, +de ce que j’ai éprouvé. — Tout ira bien, répliquait \bname{Candide}; la mer de ce +nouveau monde vaut déjà mieux que les mers de notre Europe; elle est +plus calme, les vents plus constants. C’est certainement le +nouveau monde qui est le meilleur des univers possibles. — Dieu le +veuille! disait \bname{Cunégonde}: mais j’ai été si horriblement malheureuse +dans le mien, que mon cœur est presque fermé à l’espérance. — Vous vous +plaignez, leur dit la vieille; hélas! vous n’avez pas éprouvé des +infortunes telles que les miennes.» \bname{Cunégonde} se mit presque à rire, et +trouva cette bonne femme fort plaisante de prétendre être plus +malheureuse qu’elle. «Hélas! lui dit-elle, ma bonne, à moins que vous +n’ayez été violée par deux Bulgares, que vous n’ayez reçu deux coups de +couteau dans le ventre, qu’on n’ait démoli deux de vos châteaux, qu’on +n’ait égorgé à vos yeux deux mères et deux pères, et que vous n’ayez vu +deux de vos amants fouettés dans un auto-da-fé, je ne vois pas que vous +puissiez l’emporter sur moi; ajoutez que je suis née baronne avec +soixante et douze quartiers, et que j’ai été cuisinière. — Mademoiselle, +répondit la vieille, vous ne savez pas quelle est ma naissance; et si +je vous montrais mon derrière, vous ne parleriez pas comme vous faites, +et vous suspendriez votre jugement.» Ce discours fit naître une extrême +curiosité dans l’esprit de \bname{Cunégonde} et de \bname{Candide}. La vieille leur +parla en ces termes.\quad\null + + +\chapter{Histoire de la vieille} + + +\lettrine[ante=«]{J}{e n’ai} pas eu toujours les yeux éraillés et bordés d’écarlate; mon nez +n’a pas toujours touché à mon menton, et je n’ai pas toujours été +servante. Je suis la fille du pape \bname{Urbain}~X et de la princesse de +\bname{Palestrine}. +On m’éleva jusqu’à quatorze ans dans un palais auquel +tous les châteaux de vos barons allemands n’auraient pas servi +d’écurie; et une de mes robes valait mieux que toutes les magnificences +de la \bname{Westphalie}. Je croissais en beauté, en grâces, en talents, au +milieu des plaisirs, des respects, et des espérances: j’inspirais déjà +de l’amour; ma gorge se formait; et quelle gorge! blanche, ferme, +taillée comme celle de la Vénus de \bname{Médicis}; et quels yeux! quelles +paupières! quels sourcils noirs! quelles flammes brillaient dans mes +deux prunelles, et effaçaient la scintillation des étoiles! comme me +disaient les poètes du quartier. Les femmes qui m’habillaient et qui me +déshabillaient tombaient en extase en me regardant par-devant et +par-derrière; et tous les hommes auraient voulu être à leur place. + + +«Je fus fiancée à un prince souverain de Massa-Carrara: quel prince! +aussi beau que moi, pétri de douceur et d’agréments, brillant d’esprit +et brûlant d’amour; je l’aimais comme on aime pour la première fois, +avec idolâtrie, avec emportement. Les noces furent préparées: c’était +une pompe, une magnificence inouïe; c’étaient des fêtes, des +carrousels, des opéra-buffa continuels; et toute l’Italie fit pour moi +des sonnets dont il n’y eut pas un seul de passable. Je touchais au +moment +de mon bonheur, quand une vieille marquise, qui avait été +maîtresse de mon prince, l’invita à prendre du chocolat chez elle; il +mourut en moins de deux heures avec des convulsions épouvantables; mais +ce n’est qu’une bagatelle. Ma mère au désespoir, et bien moins affligée +que moi, voulut s’arracher pour quelque temps à un séjour si funeste. +Elle avait une très belle terre auprès de Gaète: nous nous embarquâmes +sur une galère du pays, dorée comme l’autel de Saint-Pierre de Rome. +Voilà qu’un corsaire de Salé fond sur nous et nous aborde: nos soldats +se défendirent comme des soldats du pape; ils se mirent tous à genoux +en jetant leurs armes, et en demandant au corsaire une absolution \emph{in +articulo mortis}. + +«Aussitôt on les dépouilla nus comme des singes, et ma mère aussi, nos +filles d’honneur aussi, et moi aussi. C’est une chose admirable que la +diligence avec laquelle ces messieurs déshabillent le monde; mais ce +qui me surprit davantage, c’est qu’ils nous mirent à tous le doigt dans +un endroit où nous autres femmes nous ne nous laissons mettre +d’ordinaire que des canules. Cette cérémonie me paraissait bien +étrange: voilà comme on juge de tout quand on n’est pas sorti de son +pays. J’appris bientôt que c’était pour voir si nous n’avions pas caché +là quelques diamants; c’est un usage établi de temps immémorial parmi +les nations policées qui courent sur mer. J’ai su que messieurs les +religieux chevaliers de Malte n’y manquent jamais quand ils prennent +des Turcs et des Turques; c’est une loi du droit des gens à laquelle on +n’a jamais dérogé. + +«Je ne vous dirai point combien il est dur pour une jeune princesse +d’être menée esclave à Maroc avec sa mère: vous concevez assez tout ce +que nous eûmes à souffrir dans le vaisseau corsaire. Ma mère était +encore très belle: nos filles d’honneur, nos simples femmes de chambre +avaient plus de charmes qu’on n’en peut trouver dans toute l’Afrique. +Pour moi, j’étais ravissante, j’étais la beauté, la grâce même, et +j’étais pucelle: je ne le fus pas longtemps; cette fleur, qui avait +été réservée pour le beau prince de Massa-Carrara, me fut ravie par le +capitaine corsaire; c’était un nègre abominable, qui croyait encore me +faire beaucoup d’honneur. Certes il fallait que M\up{me} la princesse de +\bname{Palestrine} et moi fussions bien fortes pour résister à tout ce que nous +éprouvâmes jusqu’à notre arrivée à Maroc! Mais passons; ce sont des +choses si communes, qu’elles ne valent pas la peine qu’on en parle. + +«Maroc nageait dans le sang quand nous arrivâmes. Cinquante fils de +l’empereur Muley-Ismaël avaient chacun leur parti; ce qui produisait +en effet cinquante guerres civiles, de noirs contre noirs, de noirs +contre basanés, de basanés contre basanés, de mulâtres contre mulâtres: +c’était un carnage continuel dans toute l’étendue de l’empire. + + + +«À peine fûmes-nous débarquées, que des noirs d’une faction ennemie de +celle de mon corsaire se présentèrent pour lui enlever son butin. Nous +étions, après les diamants et l’or, ce qu’il avait de plus précieux. Je +fus témoin d’un combat tel que vous n’en voyez jamais dans vos climats +d’Europe. Les peuples septentrionaux n’ont pas le sang assez ardent; +ils n’ont pas la rage des femmes au point où elle est commune en +Afrique. Il semble que vos Européens aient du lait dans les veines; +c’est du vitriol, c’est du feu qui coule dans celles des habitants du +mont Atlas et des pays voisins. On combattit avec la fureur des lions, +des tigres, et des serpents de la contrée, pour savoir qui nous aurait. +Un Maure saisit ma mère par le bras droit, le lieutenant de mon +capitaine la retint par le bras gauche; un soldat maure la prit par une +jambe, un de nos pirates la tenait par l’autre. Nos filles se +trouvèrent presque toutes en un moment tirées ainsi à quatre soldats. +Mon capitaine me tenait cachée derrière lui; il avait le cimeterre au +poing, et tuait tout ce qui s’opposait à sa rage. Enfin je vis toutes +nos Italiennes et ma mère déchirées, coupées, massacrées par les +monstres qui se les disputaient. Les captifs, mes compagnons, ceux qui +les avaient pris, soldats, matelots, noirs, basanés, blancs, mulâtres, +et enfin mon capitaine, tout fut tué, et je demeurai mourante sur un +tas de morts. Des scènes pareilles se passaient, comme on sait, dans +l’étendue de plus de trois cents lieues, sans qu’on manquât aux cinq +prières par jour ordonnées par Mahomet. + +«Je me débarrassai avec beaucoup de peine de la foule de tant de +cadavres sanglants entassés, et je me traînai sous un grand oranger au +bord d’un ruisseau voisin; j’y tombai d’effroi, de lassitude, +d’horreur, de désespoir, et de faim. Bientôt après, mes sens accablés se +livrèrent à un sommeil qui tenait plus de l’évanouissement que du +repos. J’étais dans cet état de faiblesse et d’insensibilité, entre la +mort et la vie, quand je me sentis pressée de quelque chose qui +s’agitait sur mon corps; j’ouvris les yeux, je vis un homme blanc et de +bonne mine qui soupirait, et qui disait entre ses dents: \emph{O che +sciagura d’essere senza coglioni!} + + + + +\chapter{Suite des malheurs de la vieille} + + +\lettrine[ante=«]{É}{tonnée} et ravie d’entendre la langue de ma patrie, et non moins +surprise des paroles que proférait cet homme, je lui répondis qu’il y +avait de plus grands malheurs que celui dont il se plaignait; je +l’instruisis en peu de mots des horreurs que j’avais essuyées, et je +retombai en faiblesse. Il m’emporta dans une maison voisine, me fit +mettre au lit, me fit donner à manger, me servit, me consola, me +flatta, me dit qu’il n’avait rien vu de si beau que moi, et que jamais +il n’avait tant regretté ce que personne ne pouvait lui rendre. \frquote{\localleftbox{« }Je suis +né à Naples, me dit-il; on y chaponne deux ou trois mille enfants tous +les ans; les uns en meurent, les autres acquièrent une voix plus belle +que celle des femmes, les autres vont gouverner des états. On me fit +cette opération avec un très grand succès, et j’ai été musicien de la +chapelle de M\up{me} la princesse de \bname{Palestrine}. — De ma mère! m’écriai-je. +— De votre mère! s’écria-t-il en pleurant. Quoi! vous seriez cette jeune +princesse que j’ai élevée jusqu’à l’âge de six ans, et qui promettait +déjà d’être aussi belle que vous êtes? — C’est moi-même; ma mère est à +quatre cents pas d’ici coupée en quartiers sous un tas de morts…}\localleftbox{} + + + + +«Je lui contai tout ce qui m’était arrivé; il me conta aussi ses +aventures, et m’apprit comment il avait été envoyé chez le roi de Maroc +par une puissance chrétienne, pour conclure avec ce monarque un traité +par lequel on lui fournirait de la poudre, des canons, et des +vaisseaux, pour l’aider à exterminer le commerce des autres chrétiens. +\frquote{\localleftbox{« }Ma mission est faite, dit cet honnête eunuque; je vais m’embarquer à +Ceuta, et je vous ramènerai en Italie. \emph{Ma che sciagura d’essere senza +coglioni!}}\localleftbox{} + + +«Je le remerciai avec des larmes d’attendrissement; et au lieu de me +mener en Italie, il me conduisit à Alger, et me vendit au dey de cette +province. À peine fus-je vendue, que cette peste qui a fait le tour de +l’Afrique, de l’Asie, de l’Europe, se déclara dans Alger avec fureur. +«Vous avez vu des tremblements de terre; mais, mademoiselle, avez-vous +jamais eu la peste? — Jamais, répondit la baronne. + +%\looseness=1 +— Si vous l’aviez eue, reprit la vieille, vous avoueriez qu’elle est bien +au-dessus d’un tremblement de terre. Elle est fort commune en Afrique; +j’en fus attaquée. Figurez-vous quelle situation pour la fille d’un +pape, âgée de quinze ans, qui en trois mois de temps avait éprouvé la +pauvreté, l’esclavage, avait été violée presque tous les jours, avait +vu couper sa mère en quatre, avait essuyé la faim et la guerre, et +mourait pestiférée dans Alger! Je n’en mourus pourtant pas; mais mon +eunuque et le dey, et presque tout le sérail \linebreak d’Alger périrent. + + + +«Quand les premiers ravages de cette épouvantable peste furent passés, +on vendit les esclaves du dey. Un marchand m’acheta, et me mena à +Tunis; il me vendit à un autre marchand qui me revendit à Tripoli; de +Tripoli je fus revendue à Alexandrie, d’Alexandrie revendue à Smyrne; +de Smyrne à Constantinople. J’appartins enfin à un aga des janissaires, +qui fut bientôt commandé pour aller défendre Azof contre les Russes qui +l’assiégeaient. + +«L’aga, qui était un très galant homme, mena avec lui tout son sérail, +et nous logea dans un petit fort sur les Palus-Méotides, gardé par deux +eunuques noirs et vingt soldats. On tua prodigieusement de Russes, mais +ils nous le rendirent bien: Azof fut mis à feu et à sang, et on ne +pardonna ni au sexe, ni à l’âge; il ne resta que notre petit fort; les +ennemis voulurent nous prendre par famine. Les vingt janissaires +avaient juré de ne se jamais rendre. Les extrémités de la faim où ils +furent réduits les contraignirent à manger nos deux eunuques, de peur +de violer leur serment. Au bout de quelques jours ils résolurent de +manger les femmes. + + +«Nous avions un iman très pieux et très compatissant, qui leur fit un +beau sermon par lequel il leur persuada de ne nous pas tuer +tout-à-fait. \frquote{\localleftbox{« }Coupez, dit-il, seulement une fesse à chacune de ces +dames, vous ferez très bonne chère; s’il faut y revenir, vous en aurez +encore autant dans quelques jours; le ciel vous saura gré d’une action +si charitable, et vous serez secourus.}\localleftbox{} + +«Il avait beaucoup d’éloquence; il les persuada: on nous fit cette +horrible opération; l’iman nous appliqua le même baume qu’on met aux +enfants qu’on vient de circoncire: nous étions toutes à la mort. + + +«À peine les janissaires eurent-ils fait le repas que nous leur avions +fourni, que les Russes arrivent sur des bateaux plats; pas un +janissaire ne réchappa. Les Russes ne firent aucune attention à l’état +où nous étions. Il y a partout des chirurgiens français: un d’eux qui +était fort adroit prit soin de nous, il nous guérit; et je me +souviendrai toute ma vie, que quand mes plaies furent bien fermées, il +me fit des propositions. Au reste, il nous dit à toutes de nous +consoler; il nous assura que dans plusieurs sièges pareille chose était +arrivée, et que c’était la loi de la guerre. + + +«Dès que mes compagnes purent marcher, on les fit aller à Moscou; +j’échus en partage à un boyard qui me fit sa jardinière, et qui me +donnait vingt coups de fouet par jour; mais ce seigneur ayant été roué +au bout de deux ans avec une trentaine de boyards pour quelque +tracasserie de cour, je profitai de cette aventure; je m’enfuis; je +traversai toute la Russie; je fus longtemps servante de cabaret à +Riga, puis à Rostock, à Vismar, à Leipsick, à Cassel, à Utrecht, à +Leyde, à La Haye, à Rotterdam: j’ai vieilli dans la misère et dans +l’opprobre, n’ayant que la moitié d’un derrière, me souvenant toujours +que j’étais fille d’un pape; je voulus cent fois me tuer, mais j’aimais +encore la vie. Cette faiblesse ridicule est peut-être un de nos +penchants les plus funestes; car y a-t-il rien de plus sot que de +vouloir porter continuellement un fardeau qu’on veut toujours jeter par +terre; d’avoir son être en horreur, et de tenir à son être; enfin de +\bname{caresser} le serpent qui nous dévore, jusqu’à ce qu’il nous ait \linebreak mangé le +cœur? + + + +«J’ai vu dans les pays que le sort m’a fait parcourir, et dans les +cabarets où j’ai servi, un nombre prodigieux de personnes qui avaient +leur existence en exécration; mais je n’en ai vu que douze qui aient +mis volontairement fin à leur misère, trois nègres, quatre Anglais, +quatre Genevois, et un professeur allemand nommé Robeck. J’ai fini +par être servante chez le Juif don Issachar; il me mit auprès de vous, +ma belle demoiselle; je me suis attachée à votre destinée, et j’ai été +plus occupée de vos aventures que des miennes. Je ne vous aurais même +jamais parlé de mes malheurs, si vous ne m’aviez pas un peu piquée, et +s’il n’était d’usage, dans un vaisseau, de conter des histoires pour se +désennuyer. Enfin, mademoiselle, j’ai de l’expérience, je connais le +monde; donnez-vous un plaisir, engagez chaque passager à vous conter +son histoire, et s’il s’en trouve un seul qui n’ait souvent maudit sa +vie, qui ne se soit souvent dit à lui-même qu’il était le plus +malheureux des hommes, jetez-moi dans la mer la tête la première.» + + + + +\chapter[Comment Candide fut obligé de se séparer…]{Comment \bname{Candide} fut obligé de se séparer\\de la belle \bname{Cunégonde} et de la +vieille} + + +\lettrine{L}{a belle} \bname{Cunégonde}, ayant entendu l’histoire de la vieille, lui fit +toutes les politesses qu’on devait à une personne de son rang et de son +mérite. Elle accepta la proposition; elle engagea tous les passagers, +l’un après l’autre, à lui conter leurs aventures. \bname{Candide} et elle +avouèrent que la vieille avait raison. C’est bien dommage, disait +\bname{Candide}, que le sage \bname{Pangloss} ait été pendu contre la coutume dans un +auto-da-fé; il nous dirait des choses admirables sur le mal physique et +sur le mal moral qui couvrent la terre et la mer, et je me sentirais +assez de force pour oser lui faire respectueusement quelques +objections. + +À mesure que chacun racontait son histoire, le vaisseau avançait. On +aborda dans \bname{Buenos} Aires. \bname{Cunégonde}, le capitaine \bname{Candide}, et la +vieille, allèrent chez le gouverneur don \bname{Fernando} \bname{d’Ibaraa}, y Figueora, +y \bname{Mascarenes}, y \bname{Lampourdos}, y Souza. Ce seigneur avait une fierté +convenable à un homme qui portait tant de noms. Il parlait aux hommes +avec le dédain le plus noble, portant le nez si haut, élevant si +impitoyablement la voix, prenant un ton si imposant, affectant une +démarche si altière, que tous ceux qui le saluaient étaient tentés de +le battre. Il aimait les femmes à la fureur. \bname{Cunégonde} lui parut ce +qu’il avait jamais vu de plus beau. La première chose qu’il fit fut de +demander si elle n’était point la femme du capitaine. L’air dont il fit +cette question alarma \bname{Candide}: il n’osa pas dire qu’elle était sa +femme, parce qu’en effet elle ne l’était point; il n’osait pas dire que +c’était sa sœur, parce qu’elle ne l’était pas non plus; et quoique ce +mensonge officieux eût été autrefois très à la mode chez les +anciens, et qu’il pût être utile aux modernes, son âme était trop +pure pour trahir la vérité. «M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, dit-il, doit me +faire l’honneur de m’épouser, et nous supplions Votre Excellence de +daigner faire notre noce.» + +Don Fernando d’Ibaraa, y Figueora, y Mascarenes, y \bname{Lampourdos}, y Souza, +relevant sa moustache, sourit amèrement, et ordonna au \mbox{capitaine} +\bname{Candide} d’aller faire la revue de sa compagnie. \bname{Candide} obéit; le +gouverneur demeura avec M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. Il lui déclara sa +passion, lui protesta que le lendemain il l’épouserait à la face de +l’Église, ou autrement, ainsi qu’il plairait à ses charmes. \bname{Cunégonde} +lui demanda un quart d’heure pour se recueillir, pour consulter la +vieille, et pour se déterminer. + +La vieille dit à \bname{Cunégonde}: «Mademoiselle, vous avez soixante et douze +quartiers et pas une obole; il ne tient qu’à vous d’être la femme du +plus grand seigneur de l’Amérique méridionale, qui a une très belle +moustache; est-ce à vous de vous piquer d’une fidélité à toute épreuve? +Vous avez été violée par les Bulgares; un Juif et un inquisiteur ont eu +vos bonnes grâces: les malheurs donnent des droits. J’avoue que si +j’étais à votre place, je ne ferais aucun scrupule d’épouser M.~le gouverneur, et de faire la fortune de M.~le capitaine \bname{Candide}.» +Tandis que la vieille parlait avec toute la prudence que l’âge et +l’expérience donnent, on vit entrer dans le port un petit vaisseau; il +portait un alcade et des alguazils, et voici ce qui était arrivé. + +La vieille avait très bien deviné que ce fut un cordelier à la grande +manche qui vola l’argent et les bijoux de \bname{Cunégonde} dans la ville de +\bname{Badajos}, lorsqu’elle fuyait en hâte avec \bname{Candide}. Ce moine voulut +vendre quelques unes des +pierreries +à un joaillier. Le marchand les +reconnut pour celles du grand-inquisiteur. Le cordelier, avant d’être +pendu, avoua qu’il les avait volées: il indiqua les personnes, et la +route qu’elles prenaient. La fuite de \bname{Cunégonde} et de \bname{Candide} était +déjà connue. On les suivit à Cadix: on envoya, sans perdre de temps, un +vaisseau à leur poursuite. Le vaisseau était déjà dans le port de +\bname{Buenos} Aires. Le bruit se répandit qu’un alcade allait débarquer, et +qu’on poursuivait les meurtriers de monseigneur le grand inquisiteur. +La prudente vieille vit dans l’instant tout ce qui était à faire. «Vous +ne pouvez fuir, dit-elle à \bname{Cunégonde}, et vous n’avez rien à craindre; +ce n’est pas vous qui avez tué monseigneur, et d’ailleurs le +gouverneur, qui vous aime, ne souffrira pas qu’on vous maltraite; +demeurez.» Elle court sur-le-champ à \bname{Candide}: «Fuyez, dit-elle, ou dans +une heure vous allez être brûlé. Il n’y avait pas un moment à perdre»; +mais comment se séparer de \bname{Cunégonde}, et où se réfugier? + + + + +\chapter[Comment Candide et \bname{Cacambo} furent reçus…]{Comment \bname{Candide} et \bname{Cacambo} furent reçus\\chez les jésuites du Paraguay} + + +\lettrine{C}{andide} avait amené de Cadix un valet tel qu’on en trouve beaucoup sur +les côtes d’Espagne et dans les colonies. C’était un quart \bname{d’Espagnol}, +né d’un métis dans le Tucuman; il avait été enfant de chœur, +sacristain, matelot, moine, facteur, soldat, laquais. Il s’appelait +\bname{Cacambo}, et aimait fort son maître, parce que son maître était un fort +bon homme. Il sella au plus vite les deux chevaux andalous. «Allons, mon +maître, suivons le conseil de la vieille, partons, et courons sans +regarder derrière nous.» \bname{Candide} versa des larmes: «Ô ma chère \bname{Cunégonde}! +faut-il vous abandonner dans le temps que M. le gouverneur va +faire nos noces! \bname{Cunégonde} amenée de si loin, que deviendrez-vous? — Elle +deviendra ce qu’elle pourra, dit \bname{Cacambo}; les femmes ne sont jamais +embarrassées d’elles; Dieu y pourvoit; courons. — Où me mènes-tu? où +allons-nous? que ferons-nous sans \bname{Cunégonde}? disait \bname{Candide}. — Par saint +Jacques de Compostelle, dit \bname{Cacambo}, vous alliez faire la guerre aux +jésuites, allons la faire pour eux; je sais assez les chemins, je vous +mènerai dans leur royaume, ils seront charmés d’avoir un capitaine qui +fasse l’exercice à la bulgare; vous ferez une fortune prodigieuse; +quand on n’a pas son compte dans un monde, on le trouve dans un autre. +C’est un très grand plaisir de voir et de faire des choses nouvelles. + + +— Tu as donc été déjà dans le Paraguay? dit \bname{Candide}. — Eh vraiment oui! dit +\bname{Cacambo}; j’ai été cuistre dans le collège de l’Assomption, et je +connais le gouvernement de Los Padres comme je connais les rues de +Cadix. C’est une chose admirable que ce gouvernement. Le royaume a déjà +plus de trois cents lieues de diamètre; il est divisé en trente +provinces. Los Padres y ont tout, et les peuples rien; c’est le +chef-d’œuvre de la raison et de la justice. Pour moi, je ne vois rien +de si divin que Los Padres, qui font ici la guerre au roi d’Espagne et +au roi de Portugal, et qui en Europe confessent ces rois; qui tuent ici +des Espagnols, et qui à Madrid les envoient au ciel; cela me ravit; +avançons: vous allez être le plus heureux de tous les hommes. Quel +plaisir auront Los Padres, quand ils sauront qu’il leur vient un +capitaine qui sait l’exercice bulgare!» + + + +Dès qu’ils furent arrivés à la première barrière, \bname{Cacambo} dit à la +garde avancée qu’un capitaine demandait à parler à monseigneur le +commandant. On alla avertir la grande garde. Un officier paraguain +courut aux pieds du commandant lui donner part de la nouvelle. \bname{Candide} +et \bname{Cacambo} furent d’abord désarmés; on se saisit de leurs deux chevaux +andalous. Les deux étrangers sont introduits au milieu de deux files de +soldats; le commandant était au bout, le bonnet à trois cornes en tête, +la robe retroussée, l’épée au côté, l’esponton à la main. Il fit un +signe; aussitôt vingt-quatre soldats entourent les deux nouveaux venus. +Un sergent leur dit qu’il faut attendre, que le commandant ne peut leur +parler, que le révérend père provincial ne permet pas qu’aucun Espagnol +ouvre la bouche qu’en sa présence, et demeure plus de trois heures dans +le pays. «Et où est le révérend père provincial? dit \bname{Cacambo}. — Il est à +la parade après avoir dit sa messe, répondit le sergent, et vous ne +pourrez baiser ses éperons que dans trois heures. — Mais, dit \bname{Cacambo}, +M. le capitaine, qui meurt de faim comme moi, n’est point +espagnol, il est allemand; ne pourrions-nous point déjeuner en +attendant Sa Révérence?» + +Le sergent alla sur-le-champ rendre compte de ce discours au +commandant. «Dieu soit béni! dit ce seigneur, puisqu’il est allemand, je +peux lui parler; qu’on le mène dans ma feuillée.» Aussitôt on conduit +\bname{Candide} dans un cabinet de verdure, orné d’une très jolie colonnade de +marbre vert et or, et de treillages qui renfermaient des perroquets, +des colibris, des oiseaux-mouches, des pintades, et tous les oiseaux +les plus rares. Un excellent déjeuner était préparé dans des vases +d’or; et tandis que les Paraguains mangèrent du maïs dans des écuelles +de bois, en plein champ, à l’ardeur du soleil, le révérend père +commandant entra dans la feuillée. + +C’était un très beau jeune homme, le visage plein, assez blanc, haut en +couleur, le sourcil relevé, l’œil vif, l’oreille rouge, les lèvres +vermeilles, l’air fier, mais d’une fierté qui n’était ni celle d’un +Espagnol ni celle d’un jésuite. On rendit à \bname{Candide} et à \bname{Cacambo} leurs +armes, qu’on leur avait saisies, ainsi que les deux +chevaux + andalous; +\bname{Cacambo} leur fit manger l’avoine auprès de la feuillée, ayant toujours +l’œil sur eux, crainte de surprise. + + +\bname{Candide} baisa d’abord le bas de la robe du commandant, ensuite ils se +mirent à table. «Vous êtes donc allemand? lui dit le jésuite en cette +langue. — Oui, mon +Révérend +Père», dit \bname{Candide}. L’un et l’autre, en +prononçant ces paroles, se regardaient avec une extrême surprise, et +une émotion dont ils n’étaient pas les maîtres. «Et de quel pays +d’Allemagne êtes-vous? dit le jésuite. — De la sale province de +\bname{Westphalie}, dit \bname{Candide}: je suis né dans le château de +Thunder-ten-tronckh. — Ô ciel! est-il possible! s’écria le commandant. +— Quel miracle! s’écria \bname{Candide}. — Serait-ce vous? dit le commandant. — Cela +n’est pas possible», dit \bname{Candide}. Ils se laissent tomber tous deux à la +renverse, ils s’embrassent, ils versent des ruisseaux de larmes. «Quoi! +serait-ce vous, mon Révérend Père? vous, le frère de la belle +\bname{Cunégonde}! vous qui fûtes tué par les Bulgares! vous le fils de +M. le baron! vous jésuite au Paraguay! Il faut avouer que ce +monde est une étrange chose. Ô \bname{Pangloss}! \bname{Pangloss}! que vous seriez aise +si vous n’aviez pas été pendu!» + + +Le commandant fit retirer les esclaves nègres et les \bname{Paraguains} qui +servaient à boire dans des gobelets de cristal de roche. Il remercia +Dieu et saint Ignace mille fois; il serrait \bname{Candide} entre ses bras, +leurs visages étaient baignés de pleurs. «Vous seriez bien plus étonné, +plus attendri, plus hors de vous-même, dit \bname{Candide}, si je vous disais +que M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, votre sœur, que vous avez crue éventrée, +est pleine de santé. — Où? — Dans votre voisinage, chez M.~le gouverneur de +\bname{Buenos} \bname{Aires}; et je venais pour vous faire la guerre.» Chaque mot qu’ils +prononcèrent dans cette longue conversation accumulait prodige sur +prodige. Leur âme tout entière volait sur leur langue, était attentive +dans leurs oreilles, et étincelante dans leurs yeux. Comme ils étaient +Allemands, ils tinrent table longtemps, en attendant le révérend père +provincial; et le commandant parla ainsi à son cher \bname{Candide}. + + + + +\chapter[Comment \bname{Candide} tua le frère…]{Comment \bname{Candide} tua le frère de sa chère \bname{Cunégonde}} + + +\lettrine[ante=«]{J’}{aurai} toute ma vie présent à la mémoire le jour horrible où je vis +tuer mon père et ma mère, et violer ma sœur. \textls[-5]{Quand les Bulgares furent +retirés, on ne trouva point cette sœur adorable, et on mit dans une +charrette ma mère, mon père, et moi, deux servantes et trois petits +garçons égorgés, pour nous aller enterrer dans une chapelle de +jésuites, à deux lieues du château de mes pères. Un jésuite nous jeta +de l’eau bénite; elle était horriblement salée; il en entra quelques +gouttes dans mes yeux; le père s’aperçut que ma paupière faisait un +petit mouvement: il mit la main sur mon cœur, et le sentit palpiter; +je fus secouru, et au bout de trois semaines il n’y paraissait pas. +Vous savez, mon cher \bname{Candide}, que j’étais fort joli; je le devins +encore davantage; aussi le révérend père Croust, supérieur de la +maison, prit pour moi la plus tendre amitié; il me donna l’habit de +novice; quelque temps après je fus envoyé à Rome. Le père général avait +besoin d’une recrue de jeunes jésuites allemands. Les +souverains +du +Paraguay reçoivent le moins qu’ils peuvent de jésuites espagnols; ils +aiment mieux les étrangers, dont ils se croient plus maîtres. Je fus +jugé propre par le révérend père général pour aller travailler dans +cette vigne. +Nous partîmes, un Polonais, un Tyrolien, et moi. Je fus +honoré, en arrivant, du sous-diaconat et d’une lieutenance: je suis +aujourd’hui colonel et prêtre. Nous recevrons vigoureusement les +troupes du roi d’Espagne; je vous réponds qu’elles seront excommuniées +et battues. La Providence vous envoie ici pour nous seconder. Mais +est-il bien vrai que ma chère sœur \bname{Cunégonde} soit dans le voisinage, +chez le gouverneur de \bname{Buenos} Aires?» \bname{Candide} l’assura par serment que +rien n’était plus vrai. Leurs larmes recommencèrent à couler.} + + +Le baron ne pouvait se lasser d’embrasser \bname{Candide}; il l’appelait son +frère, son sauveur. «Ah! peut-être, lui dit-il, nous pourrons ensemble, +mon cher \bname{Candide}, entrer en vainqueurs dans la ville, et reprendre ma +sœur \bname{Cunégonde}. — C’est tout ce que je souhaite, dit \bname{Candide}; car je +comptais l’épouser, et je l’espère encore. — Vous, insolent! répondit le +baron, vous auriez l’impudence d’épouser ma sœur qui a soixante et +douze quartiers! Je vous trouve bien effronté d’oser me parler d’un +dessein si téméraire!» \bname{Candide}, pétrifié d’un tel discours, lui +répondit: «Mon Révérend Père, tous les quartiers du monde n’y font rien; +j’ai tiré votre sœur des bras d’un Juif et d’un inquisiteur; elle m’a +assez d’obligations, elle veut m’épouser. Maître \bname{Pangloss} m’a toujours +dit que les hommes sont égaux; et assurément je l’épouserai. — C’est ce +que nous verrons, coquin!» dit le jésuite baron de Thunder-ten-tronckh; +et en même temps il lui donna un grand coup du plat de son épée sur le +visage. \bname{Candide} dans l’instant tire la sienne, et l’enfonce jusqu’à la +garde dans le ventre du baron jésuite; mais en la retirant toute +fumante, il se mit à pleurer: «Hélas! mon Dieu! dit-il, j’ai tué mon +ancien maître, mon ami, mon beau-frère; je suis le meilleur homme du +monde, et voilà déjà trois hommes que je tue; et dans ces trois il y a +deux prêtres.» + +\bname{Cacambo}, qui faisait sentinelle à la porte de la feuillée, accourut. «Il +ne nous reste qu’à vendre cher notre vie, lui dit son maître; on va, +sans doute, entrer dans la feuillée; il faut mourir les armes à la +main.» \bname{Cacambo}, qui en avait bien vu d’autres, ne perdit point la tête; +il prit la robe de jésuite que portait le baron, la mit sur le corps de +\bname{Candide}, lui donna le bonnet carré du mort, et le fit monter à cheval. +Tout cela se fit en un clin d’œil. «Galopons, mon maître; tout le monde +vous prendra pour un jésuite qui va donner des ordres; et nous aurons +passé les frontières avant qu’on puisse courir après nous.» Il volait +déjà en prononçant ces paroles, et en criant en espagnol: «Place, place +pour le révérend père colonel!» + +\endinput + + diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-16-30.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-16-30.tex new file mode 100644 index 00000000000..ca52af53a82 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/Ch-16-30.tex @@ -0,0 +1,2061 @@ + + +\chapter[Ce qui advint aux deux voyageurs…]{Ce qui advint aux deux voyageurs avec deux filles,\\ deux singes, et les +sauvages nommés Oreillons} + + +\lettrine{C}{andide} et son valet furent au-delà des barrières, et personne ne +savait encore dans le camp la mort du jésuite allemand. Le vigilant +\bname{Cacambo} avait eu soin de remplir sa valise de pain, de chocolat, de +jambon, de fruits, et de quelques mesures de vin. Ils s’enfoncèrent +avec leurs chevaux andalous dans un pays inconnu où ils ne découvrirent +aucune route. Enfin une belle prairie entrecoupée de ruisseaux se +présenta devant eux. Nos deux voyageurs font repaître leurs montures. +\bname{Cacambo} propose à son maître de manger, et lui en donne l’exemple. +«Comment veux-tu, disait \bname{Candide}, que je mange du jambon, quand j’ai tué +le fils de M.~le baron, et que je me vois condamné à ne revoir la +belle \bname{Cunégonde} de ma vie? à quoi me servira de prolonger mes +misérables jours, puisque je dois les traîner loin d’elle dans les +remords et dans le désespoir? et que dira le Journal de Trévoux?» + + +En parlant ainsi, il ne laissa pas de manger. Le soleil se couchait. +Les deux égarés entendirent quelques petits cris qui paraissaient +poussés par des femmes. Ils ne savaient si ces cris étaient de douleur +ou de joie; mais ils se levèrent précipitamment avec cette inquiétude +et cette alarme que tout inspire dans un pays inconnu. Ces clameurs +partaient de deux filles toutes nues qui couraient légèrement au bord +de la prairie, tandis que deux singes les suivaient en leur mordant les +fesses. \bname{Candide} fut touché de pitié; il avait appris à tirer chez les +Bulgares, et il aurait abattu une noisette dans un buisson sans toucher +aux feuilles. Il prend son fusil espagnol à deux coups, tire, et tue +les deux singes. «Dieu soit loué, mon cher \bname{Cacambo}! j’ai délivré d’un +grand péril ces deux pauvres créatures: si j’ai commis un péché en +tuant un inquisiteur et un jésuite, je l’ai bien réparé en sauvant la +vie à deux filles. Ce sont peut-être deux demoiselles de condition, et +cette aventure nous peut procurer de très grands avantages dans le +pays.» + + +Il allait continuer, mais sa langue devint percluse quand il vit ces +deux filles embrasser tendrement les deux singes, fondre en larmes sur +leurs corps, et remplir l’air des cris les plus douloureux. «Je ne +m’attendais pas à tant de bonté d’âme», dit-il enfin à \bname{Cacambo}; lequel +lui répliqua: «Vous avez fait là un beau chef d’œuvre, mon maître; vous +avez tué les deux amants de ces demoiselles. — Leurs amants! serait-il +possible? vous vous moquez de moi, \bname{Cacambo}; le moyen de vous croire? +— Mon cher maître, repartit \bname{Cacambo}, vous êtes toujours étonné de tout; +pourquoi trouvez-vous si étrange que dans quelques pays il y ait des +singes qui obtiennent les bonnes grâces des dames? Ils sont des quarts +d’homme, comme je suis un quart d’Espagnol. — Hélas! reprit \bname{Candide}, je +me souviens d’avoir entendu dire à maître \bname{Pangloss} qu’autrefois pareils +accidents étaient arrivés, et que ces mélanges avaient produit des +égypans, des faunes, des satyres; que plusieurs grands personnages de +l’antiquité en avaient vu; mais je prenais cela pour des fables. — Vous +devez être convaincu à présent, dit \bname{Cacambo}, que c’est une vérité, et +vous voyez comment en usent les personnes qui n’ont pas reçu une +certaine éducation; tout ce que je crains, c’est que ces dames ne nous +fassent quelque méchante affaire.» + +Ces réflexions solides engagèrent \bname{Candide} à quitter la prairie, et à +s’enfoncer dans un bois. Il y soupa avec \bname{Cacambo}; et tous deux, après +avoir maudit l’inquisiteur de Portugal, le gouverneur de \bname{Buenos} Aires, +et le baron, s’endormirent sur de la mousse. À leur réveil, ils +sentirent qu’ils ne pouvaient remuer; la raison en était que pendant la +nuit les Oreillons, habitants du pays, à qui les deux dames les avaient +dénoncés, les avaient garrottés avec des cordes d’écorces d’arbre. +Ils étaient entourés d’une cinquantaine d’Oreillons tout nus, armés de +flèches, de massues, et de haches de caillou: les uns faisaient bouillir +une grande chaudière; les autres préparaient des broches, et tous +criaient: «C’est un jésuite, c’est un jésuite! nous serons vengés, et +nous ferons bonne chère; mangeons du jésuite, mangeons du jésuite!» + +«Je vous l’avais bien dit, mon cher maître, s’écria tristement \bname{Cacambo}, +que ces deux filles nous joueraient d’un mauvais tour.» \bname{Candide} +apercevant la chaudière et les broches s’écria: «Nous allons +certainement être rôtis ou bouillis. Ah! que dirait maître \bname{Pangloss}, +s’il voyait comme la pure nature est faite? Tout est bien; soit, mais +j’avoue qu’il est bien cruel, d’avoir perdu M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, et +d’être mis à la broche par des Oreillons.» \bname{Cacambo} ne perdait jamais la +tête. «Ne désespérez de rien, dit-il au désolé \bname{Candide}; j’entends un peu +le jargon de ces peuples, je vais leur parler. — Ne manquez pas, dit +\bname{Candide}, de leur représenter quelle est l’inhumanité affreuse de faire +cuire des hommes, et combien cela est peu chrétien.» + +«Messieurs, dit \bname{Cacambo}, vous comptez donc manger aujourd’hui un +jésuite : c’est très bien fait; rien n’est plus juste que de traiter +ainsi ses ennemis. En effet le droit naturel nous enseigne à tuer notre +prochain, et c’est ainsi qu’on en agit dans toute la terre. Si nous +n’usons pas du droit de le manger, c’est que nous avons d’ailleurs de +quoi faire bonne chère; mais vous n’avez pas les mêmes ressources que +nous: certainement il vaut mieux manger ses ennemis que +d’abandonner + aux corbeaux et aux corneilles le fruit de sa victoire. Mais, +messieurs, vous ne voudriez pas manger vos amis. Vous croyez aller +mettre un jésuite en broche, et c’est votre défenseur, c’est l’ennemi +de vos ennemis que vous allez rôtir. Pour moi, je suis né dans votre +pays; monsieur que vous voyez est mon maître, et bien loin d’être +jésuite, il vient de tuer un jésuite, il en porte les dépouilles; voilà +le sujet de votre méprise. Pour vérifier ce que je vous dis, prenez sa +robe, portez-la à la première barrière du royaume de Los Padres; +informez-vous si mon maître n’a pas tué un officier jésuite. Il vous +faudra peu de temps; vous pourrez toujours nous manger, si vous trouvez +que je vous ai menti. Mais, si je vous ai dit la vérité, vous +connaissez trop les principes du droit public, les mœurs, et les lois, +pour ne nous pas faire grâce.» + +Les Oreillons trouvèrent ce discours très raisonnable; ils députèrent +deux notables pour aller en diligence s’informer de la vérité; les deux +députés s’acquittèrent de leur commission en gens d’esprit, et +revinrent bientôt apporter de bonnes nouvelles. Les Oreillons délièrent +leurs deux prisonniers, leur firent toutes sortes de civilités, leur +offrirent des filles, leur donnèrent des rafraîchissements, et les +reconduisirent jusqu’aux confins de leurs états, en criant avec +allégresse: «Il n’est point jésuite, il n’est point jésuite!» + +\bname{Candide} ne se lassait point d’admirer le sujet de sa délivrance. «Quel +peuple! disait-il, quels hommes! quelles mœurs! si je n’avais pas eu +le bonheur de donner un grand coup d’épée au travers du corps du frère +de M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, j’étais mangé sans rémission. Mais, après +tout, la pure nature est bonne, puisque ces gens-ci, au lieu de me +manger, m’ont fait mille honnêtetés, dès qu’ils ont su que je n’étais +pas jésuite.» + + + +\chapter[Arrivée de \bname{Candide} et de son valet…]{Arrivée de \bname{Candide} et de son valet\\au pays d’Eldorado, et ce qu’ils y +virent} + + +\lettrine{Q}{uand} ils furent aux frontières des Oreillons: «Vous voyez, dit \bname{Cacambo} +à \bname{Candide}, que cet hémisphère-ci ne vaut pas mieux que l’autre; +croyez-moi, retournons en Europe par le plus court chemin. — Comment y +retourner, dit \bname{Candide}; et où aller? Si je vais dans mon pays, les +Bulgares et les Abares y égorgent tout; si je retourne en Portugal, j’y +suis brûlé; si nous restons dans ce pays-ci, nous risquons à tout +moment d’être mis en broche. Mais comment se résoudre à quitter la +partie du monde que M\up{lle}~\bname{Cunégonde} habite? + + — Tournons vers la Cayenne, dit \bname{Cacambo}, nous y trouverons des Français +qui vont par tout le monde; ils pourront nous aider. Dieu aura +peut-être pitié de nous.» + +Il n’était pas facile d’aller à la Cayenne: ils savaient bien à peu +près de quel côté il fallait marcher; mais des montagnes, des fleuves, +des précipices, des brigands, des sauvages, étaient partout de +terribles obstacles. Leurs +chevaux + moururent de fatigue; leurs +provisions furent consumées; ils se nourrirent un mois entier de fruits +sauvages, et se trouvèrent enfin auprès d’une petite rivière bordée de +cocotiers qui soutinrent leur vie et leurs espérances. + +\bname{Cacambo}, qui donnait toujours d’aussi bons conseils que la vieille, dit +à \bname{Candide}: «Nous n’en pouvons plus, nous avons assez marché; j’aperçois +un canot vide sur le rivage, emplissons-le de cocos, jetons-nous dans +cette petite barque, laissons-nous aller au courant; une rivière mène +toujours à quelque endroit habité. Si nous ne trouvons pas des choses +agréables, nous trouverons du moins des choses nouvelles. — Allons, dit +\bname{Candide}, recommandons-nous à la \bname{Providence}.» + + +Ils voguèrent quelques lieues entre des bords, tantôt fleuris, tantôt +arides, tantôt unis, tantôt escarpés. La rivière s’élargissait +toujours; enfin elle se perdait sous une voûte de rochers épouvantables +qui s’élevaient jusqu’au ciel. Les deux voyageurs eurent la hardiesse +de s’abandonner aux flots sous cette voûte. Le fleuve resserré en cet +endroit les porta avec une rapidité et un bruit horrible. Au bout de +vingt-quatre heures ils revirent le jour; mais leur canot se fracassa +contre les écueils; il fallut se traîner de rocher en rocher pendant +une lieue entière; enfin ils découvrirent un horizon immense, bordé de +montagnes inaccessibles. Le pays était cultivé pour le plaisir comme +pour le besoin; partout l’utile était agréable: les chemins étaient +couverts ou plutôt ornés de voitures d’une forme et d’une matière +brillante, portant des hommes et des femmes d’une beauté singulière, +traînés rapidement par de gros moutons rouges qui surpassaient en +vitesse les plus beaux chevaux d’\bname{Andalousie}, de \bname{Tétuan}, et de \bname{Méquinez}. + + + + +«Voilà pourtant, dit \bname{Candide}, un pays qui vaut mieux que la \bname{Westphalie}.» +Il mit pied à terre avec \bname{Cacambo} auprès du premier village qu’il +rencontra. Quelques enfants du village, couverts de brocarts d’or tout +déchirés, jouaient au palet à l’entrée du bourg; nos deux hommes de +l’autre monde s’amusèrent à les regarder: leurs palets étaient d’assez +larges pièces rondes, jaunes, rouges, vertes, qui jetaient un éclat +singulier. Il prit envie aux voyageurs d’en ramasser quelques uns; +c’était de l’or, c’était des émeraudes, des rubis, dont le moindre +aurait été le plus grand ornement du trône du Mogol. «Sans doute, dit +\bname{Cacambo}, ces enfants sont les fils du roi du pays qui jouent au petit +palet.» Le magister du village parut dans ce moment pour les faire +rentrer à l’école. «Voilà, dit \bname{Candide}, le précepteur de la famille +royale.» + +Les petits gueux quittèrent aussitôt le jeu, en laissant à terre leurs +palets, et tout ce qui avait servi à leurs divertissements.\bname{Candide} les +ramasse, court au précepteur et les lui présente humblement, lui faisant +entendre par signes que leurs altesses royales avaient oublié leur or +et leurs pierreries. Le magister du village, en souriant, les jeta par +terre, regarda un moment la figure de \bname{Candide} avec beaucoup de +surprise, et continua son chemin. + + +Les voyageurs ne manquèrent pas de ramasser l’or, les rubis, et les +émeraudes. «Où sommes-nous? s’écria \bname{Candide}. Il faut que les enfants des +rois de ce pays soient bien élevés, puisqu’on leur apprend à mépriser +l’or et les pierreries.» \bname{Cacambo} était aussi surpris que \bname{Candide}. Ils +approchèrent enfin de la première maison du village; elle était bâtie +comme un palais d’Europe. Une foule de monde s’empressait à la porte, +et encore plus dans le logis; une musique très agréable se faisait +entendre, et une odeur délicieuse de cuisine se faisait sentir. \bname{Cacambo} +s’approcha de la porte, et entendit qu’on parlait péruvien; c’était sa +langue maternelle; car tout le monde sait que \bname{Cacambo} était né au +Tucuman, dans un village où l’on ne connaissait que cette langue. «Je +vous servirai d’interprète, dit-il à \bname{Candide}; entrons, c’est ici un +cabaret.» + +Aussitôt deux garçons et deux filles de l’hôtellerie, vêtus de drap +d’or, et les cheveux renoués avec des rubans, les invitent à se mettre +à la table de l’hôte. On servit quatre potages garnis chacun de deux +perroquets, un contour bouilli qui pesait deux cents livres, deux +singes rôtis d’un goût excellent, trois cents colibris dans un plat, et +six cents oiseaux-mouches dans un autre; des ragoûts exquis, des +pâtisseries délicieuses; le tout dans des plats d’une espèce de cristal +de roche. Les garçons et les filles de l’hôtellerie versaient plusieurs +liqueurs faites de cannes de sucre. + +Les convives étaient pour la plupart des marchands et des voituriers, +tous d’une politesse extrême, qui firent quelques questions à \bname{Cacambo} +avec la discrétion la plus circonspecte, et qui répondirent aux siennes +d’une manière à le satisfaire. + +Quand le repas fut fini, \bname{Cacambo} crut, ainsi que \bname{Candide}, bien payer +son écot, en jetant sur la table de l’hôte deux de ces larges pièces +d’or qu’il avait ramassées; l’hôte et l’hôtesse éclatèrent de rire, et +se tinrent longtemps les côtés. Enfin ils se remirent. «Messieurs, dit +l’hôte, nous voyons bien que vous êtes des étrangers; nous ne sommes +pas accoutumés à en voir. Pardonnez-nous si nous nous sommes mis à rire +quand vous nous avez offert en paiement les cailloux de nos grands +chemins. Vous n’avez pas sans doute de la monnaie du pays, mais il +n’est pas nécessaire d’en avoir pour dîner ici. Toutes les hôtelleries +établies pour la commodité du commerce sont payées par le gouvernement. +Vous avez fait mauvaise chère ici, parce que c’est un pauvre village, +mais partout ailleurs vous serez reçus comme vous méritez de l’être.» +\bname{Cacambo} expliquait à \bname{Candide} tous les discours de l’hôte, et \bname{Candide} +les écoutait avec la même admiration et le même égarement que son ami +\bname{Cacambo} les rendait. «Quel est donc ce pays, disaient-ils l’un et +l’autre, inconnu à tout le reste de la terre, et où toute la nature est +d’une espèce si différente de la nôtre? C’est probablement le pays où +tout va bien; car il faut absolument qu’il y en ait un de cette espèce. +Et, quoi qu’en dît maître \bname{Pangloss}, je me suis souvent aperçu que tout +allait assez mal en \bname{Westphalie}.» + + +\chapter{Ce qu’ils virent dans le pays d’Eldorado} + + + +\lettrine{C}{acambo} témoigna à son hôte toute sa curiosité; l’hôte lui dit: «Je suis +fort ignorant, et je m’en trouve bien; mais nous avons ici un vieillard +retiré de la cour qui est le plus savant homme du royaume, et le plus +communicatif.» \textls[5]{Aussitôt il mène \bname{Cacambo} chez le vieillard. \bname{Candide} ne +jouait plus que le second personnage, et accompagnait son valet. Ils +entrèrent dans une maison fort simple, car la porte n’était que +d’argent, et les lambris des appartements n’étaient que d’or, mais +travaillés avec tant de goût, que les plus riches lambris ne +l’effaçaient pas. L’antichambre n’était à la vérité incrustée que de +rubis et d’émeraudes; mais l’ordre dans lequel tout était arrangé +réparait bien cette extrême simplicité. + +Le vieillard reçut les deux étrangers sur un sofa matelassé de plumes +de colibri, et leur fit présenter des liqueurs dans des vases de +diamant; après quoi il satisfit à leur curiosité en ces termes: + + +«Je suis âgé de cent soixante et douze ans, et j’ai appris de feu mon +père, écuyer du roi, les étonnantes révolutions du Pérou dont il avait +été témoin. Le royaume où nous sommes est l’ancienne patrie des Incas, +qui en sortirent très imprudemment pour aller subjuguer une partie du +monde, et qui furent enfin détruits par les Espagnols. + +«Les princes de leur famille qui restèrent dans leur pays natal furent +plus sages; ils ordonnèrent, du consentement de la nation, qu’aucun +habitant ne sortirait jamais de notre petit royaume; et c’est ce qui +nous a conservé notre innocence et notre félicité. Les Espagnols ont eu +une connaissance confuse de ce pays, ils l’ont appelé El Dorado; et un +\bname{Anglais}, nommé le chevalier Raleigh, en a même approché il y a environ +cent années; mais, comme nous sommes entourés de rochers inabordables +et de précipices, nous avons toujours été jusqu’à présent à l’abri de +la rapacité des nations de l’Europe, qui ont une fureur inconcevable +pour les cailloux et pour la fange de notre terre, et qui, pour en +avoir, nous tueraient tous jusqu’au dernier.» + +La conversation fut longue; elle roula sur la forme du gouvernement, +sur les mœurs, sur les femmes, sur les spectacles publics, sur les +arts. Enfin \bname{Candide}, qui avait +toujours + du goût pour la métaphysique, +fit demander par \bname{Cacambo} si dans le pays il y avait une religion. + +%\looseness=1 +Le vieillard rougit un peu. «Comment donc! dit-il, en pouvez-vous +douter? Est-ce que vous nous prenez pour des ingrats?» \bname{Cacambo} demanda +humblement quelle était la religion d’Eldorado. Le vieillard rougit +encore: «Est-ce qu’il peut y avoir deux religions? dit-il. Nous avons, +je crois, la religion de tout le monde; nous adorons Dieu du soir +jusqu’au matin. — N’adorez vous qu’un seul Dieu? dit \bname{Cacambo}, qui servait +toujours d’interprète aux doutes de \bname{Candide}. — Apparemment, dit le +vieillard, qu’il n’y en a ni deux, ni trois, ni quatre. Je vous avoue +que les gens de votre monde font des questions bien singulières.» +\bname{Candide} ne se lassait pas de faire interroger ce bon vieillard; il +voulut savoir comment on priait Dieu dans Eldorado. «Nous ne le prions +point, dit le bon et respectable sage; nous n’avons rien à lui +demander, il nous a donné tout ce qu’il nous faut; nous le remercions +sans cesse.» \bname{Candide} eut la curiosité de voir des prêtres; il fit +demander où ils étaient. Le bon vieillard sourit. «Mes amis, dit-il, +nous sommes tous prêtres; le roi et tous les chefs de famille chantent +des +cantiques d’actions de grâces solennellement tous les matins, et +cinq ou six mille musiciens les accompagnent. + +— Quoi! vous n’avez point +de moines qui enseignent, qui disputent, qui gouvernent, qui cabalent, +et qui font brûler les gens qui ne sont pas de leur avis? — Il faudrait +que nous fussions fous, dit le vieillard; nous sommes tous ici du même +avis, et nous n’entendons pas ce que vous voulez dire avec vos moines.» +\bname{Candide} à tous ces discours demeurait en extase, et disait en lui-même: +«Ceci est bien différent de la \bname{Westphalie} et du château de monsieur le +baron: si notre ami \bname{Pangloss} avait vu Eldorado, il n’aurait plus dit +que le château de Thunder-ten-tronckh était ce qu’il y avait de mieux +sur la terre; il est certain qu’il faut voyager.» + + +Après cette longue conversation, le bon vieillard fit atteler un +carrosse à six moutons, et donna douze de ses domestiques aux deux +voyageurs pour les conduire à la cour. «Excusez-moi, leur dit-il, si mon +âge me prive de l’honneur de vous accompagner. Le roi vous recevra +d’une manière dont vous ne serez pas mécontents, et vous pardonnerez +sans doute aux usages du pays, s’il y en a quelques uns qui vous +déplaisent.» + + +\bname{Candide} et \bname{Cacambo} montent en carrosse; les six moutons volaient, et en +moins de quatre heures on arriva au palais du roi, situé à un bout de +la capitale. Le portail était de deux cent vingt pieds de haut, et de +cent de large; il est impossible d’exprimer quelle en était la matière. +On voit assez quelle supériorité prodigieuse elle devait avoir sur ces +cailloux et sur ce sable que nous nommons \emph{or} et {pierreries}. + + +Vingt belles filles de la garde reçurent \bname{Candide} et \bname{Cacambo} à la +descente du carrosse, les conduisirent aux bains, les vêtirent de robes +d’un tissu de duvet de colibri; après quoi les grands officiers et les +grandes officières de la couronne les +menèrent à l’appartement de Sa +Majesté au milieu de deux files, chacune de mille musiciens, selon +l’usage ordinaire. Quand ils approchèrent de la salle du trône, \bname{Cacambo} +demanda à un grand officier comment il fallait s’y prendre pour saluer +Sa Majesté: si on se jetait à genoux ou ventre à terre; si on mettait +les mains sur la tête ou sur le derrière; si on léchait la poussière de +la salle: en un mot, quelle était la cérémonie. «L’usage, dit le +grand-officier, est d’embrasser le roi et de le baiser des deux côtés.» +\bname{Candide} et \bname{Cacambo} sautèrent au cou de Sa Majesté, qui les reçut avec +toute la grâce imaginable, et qui les pria poliment à souper. + + +En attendant, on leur fit voir la ville, les édifices publics élevés +jusqu’aux nues, les marchés ornés de mille colonnes, les fontaines +d’eau pure, les fontaines d’eau rose, celles de liqueurs de canne de +sucre qui coulaient continuellement dans de grandes places pavées d’une +espèce de pierreries qui répandaient une odeur semblable à celle du +girofle et de la cannelle. \bname{Candide} demanda à voir la cour de justice, +le parlement; on lui dit qu’il n’y en avait point, et qu’on ne plaidait +jamais. Il s’informa s’il y avait des prisons, et on lui dit que non. +Ce qui le surprit davantage, et qui lui fit le plus de plaisir, ce fut +le palais des sciences, dans lequel il vit une galerie de deux mille +pas, toute pleine d’instruments de mathématiques et de physique.} + + +Après avoir parcouru toute l’après-dinée à peu près la millième partie +de la ville, on les ramena chez le roi. \bname{Candide} se mit à table entre Sa +\bname{Majesté}, son valet \bname{Cacambo}, et plusieurs dames. Jamais on ne fit +meilleure chère, et jamais on n’eut plus d’esprit à souper qu’en eut Sa +\bname{Majesté}. \bname{Cacambo} expliquait les bons mots du roi à \bname{Candide}, et quoique +traduits, ils paraissaient toujours des bons mots. De tout ce qui +étonnait \bname{Candide}, ce n’était pas ce qui l’étonna le moins. + +Ils passèrent un mois dans cet hospice. \bname{Candide} ne cessait de dire à +\bname{Cacambo}: «Il est vrai, mon ami, encore une fois, que le château où je +suis né ne vaut pas le pays où nous sommes; mais enfin M\up{lle}~\bname{Cunégonde} n’y est pas, et vous avez sans doute quelque maîtresse en +Europe. Si nous restons ici, nous n’y serons que comme les autres; au +lieu que si nous retournons dans notre monde, seulement avec douze +moutons chargés de cailloux d’Eldorado, nous serons plus riches que +tous les rois ensemble, nous n’aurons plus d’inquisiteurs à craindre, +et nous pourrons aisément reprendre M\up{lle}~\bname{Cunégonde}.» + +Ce discours plut à \bname{Cacambo}; on aime tant à courir, à se faire valoir +chez les siens, à faire parade de ce qu’on a vu dans ses voyages, que +les deux heureux résolurent de ne plus l’être, et de demander leur +congé à Sa Majesté. + +«Vous faites une sottise, leur dit le roi: je sais bien que mon pays est +peu de chose; mais, quand on est passablement quelque part, il faut y +rester. Je n’ai pas assurément le droit de retenir des étrangers; c’est +une tyrannie qui n’est ni dans nos mœurs ni dans nos lois; tous les +hommes sont libres; partez quand vous voudrez, mais la sortie est bien +difficile. Il est impossible de remonter la rivière rapide sur laquelle +vous êtes arrivés par miracle, et qui court sous des voûtes de rochers. +Les montagnes qui entourent tout mon royaume ont dix mille pieds de +hauteur, et sont droites comme des murailles: elles occupent chacune en +largeur un espace de plus de dix lieues; on ne peut en descendre que +par des précipices. Cependant, puisque vous voulez absolument partir, +je vais donner ordre aux intendants des machines d’en faire une qui +puisse vous transporter commodément. Quand on vous aura conduits au +revers des montagnes, personne ne pourra vous accompagner; car mes +sujets ont fait vœu de ne jamais sortir de leur enceinte, et ils sont +trop sages pour rompre leur vœu. Demandez-moi d’ailleurs tout ce qu’il +vous plaira. — Nous ne demandons à Votre Majesté, dit \bname{Cacambo}, que +quelques moutons chargés de vivres, de cailloux, et de la boue du pays.» +Le roi rit: «Je ne conçois pas, dit-il, quel goût vos gens d’Europe ont +pour notre boue jaune: mais emportez-en tant que vous voudrez, et grand +bien vous fasse.» + +Il donna l’ordre sur-le-champ à ses ingénieurs de faire une machine +pour guinder ces deux hommes extraordinaires hors du royaume. Trois +mille bons physiciens y travaillèrent; elle fut prête au bout de quinze +jours, et ne coûta pas plus de vingt millions de livres sterling, +monnaie du pays. On mit sur la machine \bname{Candide} et \bname{Cacambo}; il y avait +deux grands moutons rouges sellés et bridés pour leur servir de monture +quand ils auraient franchi les montagnes, vingt moutons de bât chargés +de vivres, trente qui portaient des présents de ce que le pays a de +plus curieux, et cinquante chargés d’or, de pierreries, et de diamants. +Le roi embrassa tendrement les deux vagabonds. + +Ce fut un beau spectacle que leur départ, et la manière ingénieuse dont +ils furent hissés eux et leurs moutons au haut des montagnes. Les +physiciens prirent congé d’eux après les avoir mis en sûreté, et +\bname{Candide} n’eut plus d’autre désir et d’autre objet que d’aller présenter +ses moutons à M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. «Nous avons, dit-il, de quoi payer +le gouverneur de \bname{Buenos} Aires, si M\up{lle}~\bname{Cunégonde} peut être mise +à prix. Marchons vers la Cayenne, embarquons-nous, et nous verrons +ensuite quel royaume nous pourrons acheter.» + + + + +\chapter[Ce qui leur arriva à Surinam…]{Ce qui leur arriva à Surinam, et comment \bname{Candide} fit connaissance avec +\bname{Martin}} + + +\lettrine{L}{a première} journée de nos deux voyageurs fut assez agréable. Ils +étaient encouragés par l’idée de se voir possesseurs de plus de trésors +que l’Asie, \bname{l’Europe}, et l’Afrique, n’en pouvaient rassembler. \bname{Candide} +transporté écrivit le nom de \bname{Cunégonde} sur les arbres. À la seconde +journée deux de leurs moutons s’enfoncèrent dans des marais, et y +furent abîmés avec leurs charges; deux autres moutons moururent de +fatigue quelques jours après; sept ou huit périrent ensuite de faim +dans un désert; d’autres tombèrent au bout de quelques jours dans des +précipices. Enfin, après cent jours de marche, il ne leur resta que +deux moutons. \bname{Candide} dit à \bname{Cacambo}: «Mon ami, vous voyez comme les +richesses de ce monde sont périssables; il n’y a rien de solide que la +vertu et le bonheur de revoir M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. — Je l’avoue, dit +\bname{Cacambo}; mais il nous reste encore deux moutons avec plus de trésors +que n’en aura jamais le roi d’Espagne; et je vois bien de loin une +ville que je soupçonne être Surinam, appartenante aux Hollandais. Nous +sommes au bout de nos peines et au commencement de notre félicité.» + +%\looseness=1 +En approchant de la ville, ils rencontrèrent un nègre étendu par terre, +n’ayant plus que la moitié de son habit, c’est-à-dire d’un caleçon de +toile bleue; il manquait à ce pauvre homme la jambe gauche et la main +droite. «Eh! mon Dieu! lui dit \bname{Candide} en hollandais, que fais-tu là, +mon ami, dans l’état horrible où je te vois? — J’attends mon maître, M.~\bname{Vanderdendur}, le fameux négociant, répondit le nègre. — Est-ce M.~\bname{Vanderdendur}, dit \bname{Candide}, qui t’a traité ainsi? — Oui, monsieur, dit le +nègre, c’est l’usage. On nous donne un caleçon de toile pour tout +vêtement deux fois l’année. Quand nous travaillons aux sucreries, et +que la meule nous attrape le doigt, on nous coupe la main: quand nous +voulons nous enfuir, on nous coupe la jambe: je me suis trouvé dans les +deux cas. C’est à ce prix que vous mangez du sucre en Europe. +Cependant, lorsque ma mère me vendit dix écus patagons sur la côte de +Guinée, elle me disait: \frquote{\localleftbox{« }Mon cher enfant, bénis nos fétiches, adore-les +toujours, ils te feront vivre heureux; tu as l’honneur d’être esclave +de nos seigneurs les blancs, et tu fais par là la fortune de ton père +et de ta mère.}\localleftbox{} Hélas! je ne sais pas si j’ai fait leur fortune, mais +ils n’ont pas fait la mienne. Les chiens, les singes, et les +perroquets, sont mille fois moins malheureux que nous: les fétiches +hollandais qui m’ont converti me disent tous les dimanches que nous +sommes tous enfants d’Adam, blancs et noirs. Je ne suis pas +généalogiste; mais si ces prêcheurs disent vrai, nous sommes tous +cousins issus de germain. Or vous m’avouerez qu’on ne peut pas en user +avec ses parents d’une manière \linebreak plus horrible. + + +— Ô \bname{Pangloss}! s’écria \bname{Candide}, tu n’avais pas deviné cette abomination; +c’en est fait, il faudra qu’à la fin je renonce à ton optimisme. +— Qu’est-ce qu’optimisme? disait \bname{Cacambo}. — Hélas! dit \bname{Candide}, c’est la +rage de soutenir que tout est bien quand on est mal»; et il versait des +larmes en regardant son nègre; et en pleurant, il entra dans \bname{Surinam}. + +La première chose dont ils s’informent, c’est s’il n’y a point au port +quelque vaisseau qu’on pût envoyer à \bname{Buenos} Aires. Celui à qui ils +s’adressèrent était justement un patron espagnol qui s’offrit à faire +avec eux un marché honnête. Il leur donna rendez-vous dans un cabaret. +\bname{Candide} et le fidèle \bname{Cacambo} allèrent l’y attendre avec leurs deux +moutons. + + +\bname{Candide}, qui avait le cœur sur les lèvres, conta à \bname{l’Espagnol} toutes +ses aventures, et lui avoua qu’il voulait enlever mademoiselle +\bname{Cunégonde}. «Je me garderai bien de vous passer à \bname{Buenos} Aires, dit le +patron: je serais pendu, et vous aussi; la belle \bname{Cunégonde} est la +maîtresse favorite de monseigneur.» Ce fut un coup de foudre pour +\bname{Candide}, il pleura longtemps; enfin il tira à part \bname{Cacambo}. «Voici, mon +cher ami, lui dit-il, ce qu’il faut que tu fasses. Nous avons chacun +dans nos poches pour cinq ou six millions de diamants, tu es plus +habile que moi; va prendre M\up{lle}~\bname{Cunégonde} à \bname{Buenos} Aires. Si le +gouverneur fait quelque difficulté, donne-lui un million: s’il ne se +rend pas, donne-lui-en deux; tu n’as point tué d’inquisiteur, on ne se +défiera point de toi. J’équiperai un autre vaisseau, j’irai t’attendre +à \bname{Venise}: c’est un pays libre où l’on n’a rien à craindre ni des +Bulgares, ni des Abares, ni des Juifs, ni des inquisiteurs.» \bname{Cacambo} +applaudit, à cette sage résolution. Il était au désespoir de se séparer +d’un bon maître devenu son ami intime; mais le plaisir de lui être +utile l’emporta sur la douleur de le quitter. Ils s’embrassèrent en +versant des larmes: \bname{Candide} lui recommanda de ne point oublier la bonne +vieille. \bname{Cacambo} partit dès le jour même: c’était un très bon homme que +ce \bname{Cacambo}. + +\bname{Candide} resta encore quelque temps à Surinam, et attendit qu’un autre +patron voulût le mener en Italie lui et les deux moutons qui lui +restaient. Il prit des domestiques, et acheta tout ce qui lui était +nécessaire pour un long voyage; enfin M.~\bname{Vanderdendur}, maître d’un gros +vaisseau, vint se présenter à lui. «Combien voulez-vous, demanda-t-il à +cet homme, pour me mener en droiture à \bname{Venise}, moi, mes gens, mon +bagage, et les deux moutons que voilà?» Le patron s’accorda à dix mille +piastres: \bname{Candide} n’hésita pas. + + +«Oh! oh! dit à part soi le prudent Vanderdendur, cet étranger donne dix +mille piastres tout d’un coup! il faut qu’il soit bien riche.» Puis +revenant un moment après, il signifia qu’il ne pouvait partir à moins +de vingt mille. «Eh bien! vous les aurez, dit \bname{Candide}. + +«Ouais, se dit tout bas le marchand, cet homme donne vingt mille +piastres aussi aisément que dix mille.» Il revint encore, et dit qu’il +ne pouvait le conduire à \bname{Venise} à moins de trente mille piastres. «Vous +en aurez donc trente mille», répondit \bname{Candide}. + +«Oh! oh! se dit encore le marchand hollandais, trente mille piastres ne +coûtent rien à cet homme-ci; sans doute les deux moutons portent des +trésors immenses; n’insistons pas davantage: faisons-nous d’abord payer +les trente mille piastres, et puis nous verrons.» \bname{Candide}, vendit deux +petits diamants, dont le moindre valait plus que tout l’argent que +demandait le patron. Il le paya d’avance. Les deux moutons furent +embarqués. \bname{Candide} suivait dans un petit bateau pour joindre le +vaisseau à la rade; le patron prend son temps, met à la voile, démarre; +le vent le favorise. \bname{Candide} éperdu et stupéfait le perd bientôt de +vue. «Hélas! cria-t-il, voilà un tour digne de l’Ancien Monde.» Il +retourne au rivage, abîmé dans la douleur; car enfin il avait perdu de +quoi faire la fortune de vingt monarques. + +Il se transporte chez le juge hollandais; et, comme il était un peu +troublé, il frappe rudement à la porte; il entre, expose son aventure, +et crie un peu plus haut qu’il ne convenait. Le juge commença par lui +faire payer dix mille piastres pour le bruit qu’il avait fait: ensuite +il l’écouta patiemment, lui promit d’examiner son affaire sitôt que le +marchand serait revenu, et se fit payer dix mille autres piastres pour +les frais de l’audience. + +Ce procédé acheva de désespérer \bname{Candide}; il avait à la vérité essuyé +des malheurs mille fois plus douloureux; mais le sang froid du juge, et +celui du patron dont il était volé, alluma sa bile, et le plongea dans +une noire +mélancolie. La méchanceté des hommes se présentait à son +esprit dans toute sa laideur, il ne se nourrissait que d’idées tristes. +Enfin un vaisseau français étant sur le point de partir pour Bordeaux, +comme il n’avait plus de moutons chargés de diamants à embarquer, il +loua une chambre du vaisseau à juste prix, et fit signifier dans la +ville qu’il paierait le passage, la nourriture, et donnerait deux mille +piastres à un honnête homme qui voudrait faire le voyage avec lui, à +condition que cet homme serait le plus dégoûté de son état, et le plus +malheureux de la province. + + +Il se présenta une foule de prétendants qu’une flotte n’aurait pu +contenir. \bname{Candide}, voulant choisir entre les plus apparents, il +distingua une vingtaine de personnes qui lui paraissaient sociables, et +qui toutes prétendaient mériter la préférence. Il les assembla dans son +cabaret, et leur donna à souper, à condition que chacun ferait serment +de raconter fidèlement son histoire, promettant de choisir celui qui +lui paraîtrait le plus à plaindre et le plus mécontent de son état, à +plus juste titre, et de donner aux autres quelques gratifications. + +La séance dura jusqu’à quatre heures du matin. \bname{Candide}, en écoutant +toutes leurs aventures, se ressouvenait de ce que lui avait dit la +vieille en allant à \bname{Buenos} Aires, et de la gageure qu’elle avait faite, +qu’il n’y avait personne sur le vaisseau à qui il ne fût arrivé de très +grands malheurs. Il songeait à \bname{Pangloss} à chaque aventure qu’on lui +contait. Ce \bname{Pangloss}, disait-il, serait bien embarrassé à démontrer son +système. Je voudrais qu’il fût ici. Certainement si tout va bien, c’est +dans Eldorado, et non pas dans le reste de la terre. Enfin il se +détermina en faveur d’un pauvre savant qui avait travaillé dix ans pour +les libraires à Amsterdam. Il jugea qu’il n’y avait point de métier au +monde dont on dût être plus dégoûté. + +Ce savant, qui était d’ailleurs un bon homme, avait été volé par sa +femme, battu par son fils, et abandonné de sa fille, qui s’était fait +enlever par un Portugais. Il venait d’être privé d’un petit emploi +duquel il subsistait; et les prédicants de Surinam le persécutaient, +parce qu’ils le prenaient pour un socinien. Il faut avouer que les +autres étaient pour le moins aussi malheureux que lui; mais \bname{Candide} +espérait que le \bname{savant} le désennuierait dans le voyage. Tous ses autres +rivaux trouvèrent que \bname{Candide} leur faisait une grande injustice; mais il +les apaisa en leur donnant à chacun cent piastres. + + + +\chapter{Ce qui arriva sur mer à \bname{Candide} et à \bname{Martin}} + + +\lettrine{L}{e vieux} savant, qui s’appelait \bname{Martin}, s’embarqua donc pour Bordeaux +avec \bname{Candide}. L’un et l’autre avaient beaucoup vu et beaucoup souffert; +et quand le vaisseau aurait dû faire voile de Surinam au Japon par le +cap de Bonne-Espérance, ils auraient eu de quoi s’entretenir du mal +moral et du mal physique pendant tout le voyage. + + +Cependant \bname{Candide} avait un grand avantage sur \bname{Martin}, c’est qu’il +espérait toujours revoir M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, et que \bname{Martin} n’avait +rien à espérer; de plus il avait de l’or et des diamants; et, quoiqu’il +eût perdu cent gros moutons rouges chargés des plus grands trésors de +la terre, quoiqu’il eût toujours sur le cœur la friponnerie du patron +hollandais, cependant quand il songeait à ce qui lui restait dans ses +poches, et quand il parlait de \bname{Cunégonde}, surtout à la fin du repas, il +penchait alors pour le système de \bname{Pangloss}. + + +«Mais vous, monsieur \bname{Martin}, dit-il au savant, que pensez-vous de tout +cela? quelle est votre idée sur le mal moral et le mal physique? +— Monsieur, répondit \bname{Martin}, mes prêtres m’ont accusé d’être socinien; +mais la vérité du fait est que je suis manichéen. — Vous vous moquez +de moi, dit \bname{Candide}; il n’y a plus de manichéens dans le monde. — Il y a +moi, dit \bname{Martin}: je ne sais qu’y faire; mais je ne peux penser +autrement. — Il faut que vous ayez le diable au corps, dit \bname{Candide}. — Il se +mêle si fort des affaires de ce monde, dit \bname{Martin}, qu’il pourrait bien +être dans mon corps, comme partout ailleurs; mais je vous avoue qu’en +jetant la vue sur ce globe, ou plutôt sur ce globule, je pense que Dieu +l’a abandonné à quelque être malfaisant; j’en excepte toujours +Eldorado. Je n’ai guère vu de ville qui ne désirât la ruine de la ville +voisine, point de famille qui ne voulût exterminer quelque autre +famille. Partout les faibles ont en exécration les puissants devant +lesquels ils rampent, et les puissants les traitent comme des troupeaux +dont on vend la laine et la chair. Un million d’assassins enrégimentés, +courant d’un bout de \bname{l’Europe} à + l’autre, exerce le meurtre et le +brigandage avec discipline pour gagner son pain, parce qu’il n’a pas de +métier plus honnête; et dans les villes qui paraissent jouir de la +paix, et où les arts fleurissent, les hommes sont dévorés de plus +d’envie, de soins, et d’inquiétudes, qu’une ville assiégée n’éprouve de +fléaux. Les chagrins secrets sont encore plus cruels que les misères +publiques. En un mot j’en ai tant vu et tant éprouvé, que \linebreak je suis +manichéen. + + + +— Il y a pourtant du bon, répliquait \bname{Candide}. — Cela peut être, disait +\bname{Martin}; mais je ne le connais pas.» + + + +Au milieu de cette dispute, on entendit un bruit de canon. Le bruit +redouble de moment en moment. Chacun prend sa lunette. On aperçoit deux +vaisseaux qui combattaient à la distance d’environ trois milles: le +vent les amena l’un et l’autre si près du vaisseau français, qu’on eut +le plaisir de voir le combat tout à son aise. Enfin l’un des deux +vaisseaux lâcha à l’autre une bordée si bas et si juste, qu’il le coula +à fond. \bname{Candide} et \bname{Martin} aperçurent distinctement une centaine +d’hommes sur le tillac du vaisseau qui s’enfonçait; ils levaient tous +les mains au ciel, et jetaient des clameurs effroyables; en un moment +tout fut englouti. + +Eh bien! dit \bname{Martin}, voilà comme les hommes se traitent les uns les +autres. Il est vrai, dit \bname{Candide}, qu’il y a quelque chose de diabolique +dans cette affaire. En parlant ainsi, il aperçut je ne sais quoi d’un +rouge éclatant, qui nageait auprès de son vaisseau. On détacha la +chaloupe pour voir ce que ce pouvait être; c’était un de ses moutons. +\bname{Candide} eut plus de joie de retrouver ce mouton, qu’il n’avait été +affligé d’en perdre cent tous chargés de gros diamants d’Eldorado. + +Le capitaine français aperçut bientôt que le capitaine du vaisseau +submergeant était espagnol, et que celui du vaisseau submergé était un +pirate hollandais; c’était celui-là même qui avait volé \bname{Candide}. Les +richesses immenses dont ce scélérat s’était emparé furent ensevelies +avec lui dans la mer, et il n’y eut qu’un mouton de sauvé. «Vous voyez, +dit \bname{Candide} à \bname{Martin}, que le crime est puni quelquefois; ce coquin de +patron hollandais a eu le sort qu’il méritait. — Oui, dit \bname{Martin}; mais +fallait-il que les passagers qui étaient sur son vaisseau périssent +aussi? Dieu a puni ce fripon, le diable a noyé \linebreak les autres.» + +Cependant le vaisseau français et l’espagnol continuèrent leur route, +et \bname{Candide} continua ses conversations avec \bname{Martin}. Ils disputèrent +quinze jours de suite, et au bout de quinze jours ils étaient aussi +avancés que le premier. Mais enfin ils parlaient, ils se communiquaient +des idées, ils se consolaient. \bname{Candide} caressait son mouton. «Puisque je +t’ai retrouvé, dit-il, je pourrai bien retrouver \bname{Cunégonde}.» + + + +\chapter[Candide et \bname{Martin} approchent des côtes…]{Candide et \bname{Martin} approchent des côtes\\ de France, et raisonnent.} + + +\lettrine{O}{n aperçut} enfin les côtes de France. «Avez-vous jamais été en France, +monsieur \bname{Martin}? dit \bname{Candide}. — Oui, dit \bname{Martin}, j’ai parcouru plusieurs +provinces. Il y en a où la moitié des habitants est folle, quelques +unes où l’on est trop rusé, d’autres où l’on est communément assez doux +et assez bête, d’autres où l’on fait le bel esprit; et, dans toutes, la +principale occupation est l’amour, la seconde, de médire; et la +troisième, de dire des sottises. — Mais, monsieur \bname{Martin}, avez-vous vu +Paris? — Oui, j’ai vu Paris; il tient de toutes ces espèces-là; c’est un +chaos, c’est une presse dans laquelle tout le monde cherche le plaisir, +et où presque personne ne le trouve, du moins à ce qu’il m’a paru. J’y +ai séjourné peu; j’y fus volé, en arrivant, de tout ce que j’avais, par +des filous, à la foire Saint-Germain; on me prit moi-même pour un +voleur, et je fus huit jours en prison; après quoi je me fis correcteur +d’imprimerie pour gagner de quoi retourner à pied en \bname{Hollande}. Je +connus la canaille écrivante, la canaille cabalante, et la canaille +convulsionnaire. On dit qu’il y a des gens fort polis dans cette +ville-là: je le veux croire. + +— Pour moi, je n’ai nulle curiosité de voir la France, dit \bname{Candide}; vous +devinez aisément que quand on a passé un mois dans Eldorado, on ne se +soucie plus de rien voir sur la terre que M\up{lle}~\bname{Cunégonde}; je +vais l’attendre à \bname{Venise}; nous +traverserons + la France pour aller en +Italie; ne m’accompagnerez-vous pas? — Très volontiers, dit \bname{Martin}: on +dit que \bname{Venise} n’est bonne que pour les nobles Vénitiens, mais que +cependant on y reçoit très bien les étrangers quand ils ont beaucoup +d’argent; je n’en ai point; vous en avez, je vous suivrai partout. — À +propos, dit \bname{Candide}, pensez-vous que la terre ait été originairement +une mer, comme on l’assure dans ce gros livre qui appartient au +capitaine du vaisseau? — Je n’en crois rien du tout, dit \bname{Martin}, non +plus que de toutes les rêveries qu’on nous débite depuis quelque temps. +— Mais à quelle fin ce monde a-t-il donc été formé? dit \bname{Candide}. — Pour +nous faire enrager, répondit \bname{Martin}. — N’êtes-vous pas bien étonné, +continua \bname{Candide}, de l’amour que ces deux filles du pays des Oreillons +avaient pour ces deux singes, et dont je vous ai conté l’aventure? +— Point du tout, dit \bname{Martin}, je ne vois pas ce que cette passion a +d’étrange; j’ai tant vu de choses extraordinaires, qu’il n’y a plus +rien d’extraordinaire pour moi. — Croyez-vous, dit \bname{Candide}, que les +hommes se soient toujours mutuellement massacrés comme ils font +aujourd’hui? qu’ils aient toujours été menteurs, fourbes, perfides, +ingrats, brigands, faibles, volages, lâches, envieux, gourmands, +ivrognes, avares, ambitieux, sanguinaires, calomniateurs, débauchés, +fanatiques, hypocrites, et sots? — Croyez-vous, dit \bname{Martin}, que les +éperviers aient toujours mangé des pigeons quand ils en ont trouvé? +— Oui, sans doute, dit \bname{Candide}. — Eh bien! dit \bname{Martin}, si les éperviers ont +toujours eu le même caractère, pourquoi voulez-vous que les hommes +aient changé le leur? — Oh! dit \bname{Candide}, il y a bien de la différence, +car le libre arbitre…» En raisonnant ainsi, ils arrivèrent à Bordeaux. + + + +\chapter[Ce qui arriva en France…]{Ce qui arriva en France à Candide et à \bname{Martin}} + + + +\lettrine{C}{andide} ne s’arrêta dans Bordeaux qu’autant de temps qu’il en fallait +pour vendre quelques cailloux du \bname{Dorado}, et pour s’accommoder d’une +bonne chaise à deux places; car il ne pouvait plus se passer de son +philosophe \bname{Martin}; il fut seulement très fâché de se séparer de son +mouton, qu’il laissa à l’académie des sciences de Bordeaux, laquelle +proposa pour le sujet du prix de cette année de trouver pourquoi la +laine de ce mouton était rouge; et le prix fut adjugé à un savant du +Nord, qui démontra par A, plus B, moins C divisé par Z, que le mouton +devait être rouge, et mourir de la clavelée. + + + +Cependant tous les voyageurs que \bname{Candide} rencontra dans les cabarets de +la route lui disaient: «Nous allons à Paris.» Cet empressement général +lui donna enfin l’envie de voir cette capitale; ce n’était pas beaucoup +se détourner du chemin de \bname{Venise}. + +Il entra par le faubourg Saint-Marceau, et crut être dans le plus +vilain village de la \bname{Westphalie}. + + +À peine \bname{Candide} fut-il dans son auberge, qu’il fut attaqué d’une +maladie légère, causée par ses fatigues. Comme il avait au doigt un +diamant énorme, et qu’on avait aperçu dans son équipage une cassette +prodigieusement pesante, il eut aussitôt auprès de lui deux médecins +qu’il n’avait pas mandés, quelques amis intimes qui ne le quittèrent +pas, et deux dévotes qui faisaient chauffer ses bouillons. \bname{Martin} +disait: «Je me souviens d’avoir été malade aussi à Paris dans mon +premier voyage; j’étais fort pauvre: aussi n’eus-je ni amis, ni +dévotes, ni médecins, et je guéris.» + +Cependant, à force de médecines et de saignées, la maladie de \bname{Candide} +devint sérieuse. Un habitué du quartier vint avec douceur lui demander +un billet payable au porteur pour l’autre monde: \bname{Candide} n’en voulut +rien faire; les dévotes l’assurèrent que c’était une nouvelle mode: +\bname{Candide} répondit qu’il n’était point homme à la mode. \bname{Martin} voulut +jeter l’habitué par les fenêtres. Le clerc jura qu’on n’enterrerait +point \bname{Candide}. \bname{Martin} jura qu’il enterrerait le clerc, s’il continuait +à les importuner. La querelle s’échauffa: \bname{Martin} le prit par les +épaules, et le chassa rudement; ce qui causa un grand scandale, dont on +fit un procès-verbal. + +\bname{Candide} guérit; et pendant sa convalescence il eut très bonne compagnie +à souper chez lui. On jouait gros jeu. \bname{Candide} était tout étonné que +jamais les as ne lui vinssent; et \bname{Martin} ne s’en étonnait pas. + +Parmi ceux qui lui faisaient les honneurs de la ville, il y avait un +petit abbé périgourdin, l’un de ces gens empressés, toujours alertes, +toujours serviables, effrontés, caressants, accommodants, qui guettent +les étrangers à leur passage, leur content l’histoire scandaleuse de la +ville, et leur offrent des plaisirs à tout prix. Celui-ci mena d’abord +\bname{Candide} et \bname{Martin} à la comédie. On y jouait une tragédie nouvelle. +\bname{Candide} se trouva placé auprès de quelques beaux esprits. Cela ne +l’empêcha pas de pleurer à des scènes jouées parfaitement. Un des +raisonneurs qui étaient à ses côtés lui dit dans un entr’acte: «Vous +avez grand tort de pleurer, cette actrice est fort mauvaise; l’acteur +qui joue avec elle est plus mauvais acteur encore; la pièce est encore +plus mauvaise que les acteurs; l’auteur ne sait pas un mot d’arabe, et +cependant la scène est en \bname{Arabie}; et, de plus, c’est un homme qui ne +croit pas aux idées innées; je vous apporterai demain vingt +brochures +contre lui. — Monsieur, combien avez-vous de pièces de théâtre en +France?» dit \bname{Candide} à l’abbé; lequel répondit: «Cinq ou six mille. — C’est +beaucoup, dit \bname{Candide}: combien y en a-t-il de bonnes? —Quinze ou seize, +répliqua l’autre. — C’est beaucoup», dit \bname{Martin}. + + + +\bname{Candide} fut très content d’une actrice qui faisait la reine Élisabeth, +dans une assez plate tragédie, que l’on joue quelquefois. «Cette +actrice, dit-il à \bname{Martin}, me plaît beaucoup; elle a un faux air de +M\up{lle}~\bname{Cunégonde}; je serais bien aise de la saluer.» L’abbé +périgourdin s’offrit à l’introduire chez elle. \bname{Candide}, élevé en +\bname{Allemagne}, demanda quelle était l’étiquette, et comment on traitait en +France les reines d’Angleterre. «Il faut distinguer, dit l’abbé: en +province, on les mène au cabaret; à Paris, on les respecte quand elles +sont belles, et on les jette à la voirie quand elles sont mortes. — Des +reines à la voirie! dit \bname{Candide}. — Oui vraiment, dit \bname{Martin}; monsieur +l’abbé a raison; j’étais à Paris quand M\up{lle}~Monime passa, +comme on dit, de cette vie à l’autre; on lui refusa, ce que ces gens-ci +appellent les \emph{honneurs de la sépulture}, c’est-à-dire de pourrir avec +tous les gueux du quartier dans un vilain cimetière; elle fut enterrée +toute seule de sa bande au coin de la rue de Bourgogne; ce qui dut lui +faire une peine extrême, car elle pensait très noblement. — Cela est bien +impoli, dit \bname{Candide}. — Que voulez-vous? dit \bname{Martin}; ces gens-ci sont +ainsi faits. Imaginez toutes les contradictions, toutes les +incompatibilités possibles, vous les verrez dans le gouvernement, dans +les tribunaux, dans les églises, dans les spectacles de cette drôle de +nation. — Est-il vrai qu’on rit toujours à Paris? dit \bname{Candide}. — Oui, dit +l’abbé, mais c’est en enrageant; car on s’y plaint de tout avec de +grands éclats de rire; même on y fait en riant les actions les plus +\linebreak détestables. + + + +— Quel est, dit \bname{Candide}, ce gros cochon qui me disait tant de mal de la +pièce où j’ai tant pleuré, et des acteurs qui m’ont fait tant de +plaisir? — C’est un mal-vivant, répondit l’abbé, qui gagne sa vie à dire +du mal de toutes les pièces et de tous les livres; il hait quiconque +réussit, comme les eunuques haïssent les jouissants; c’est un de ces +serpents de la littérature qui se nourrissent de fange et de venin; +c’est un folliculaire. — Qu’appelez-vous folliculaire? dit \bname{Candide}. +— C’est, dit l’abbé, un faiseur de feuilles, un \emph{Fréron}.» + +C’est ainsi que \bname{Candide}, \bname{Martin}, et le Périgourdin, raisonnaient sur +l’escalier, en voyant défiler le monde au sortir de la pièce. «Quoique +je sois très empressé de revoir M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, dit \bname{Candide}, je +voudrais pourtant souper avec M\up{lle}~Clairon, car elle m’a paru +admirable.» + +L’abbé n’était pas homme à approcher de M\up{lle}~\bname{Clairon}, qui ne +voyait que bonne compagnie. «Elle est engagée pour ce soir, dit-il; mais +j’aurai l’honneur de vous mener chez une dame de qualité, et là vous +connaîtrez Paris comme si vous y aviez été quatre ans.» + +\bname{Candide}, qui était naturellement curieux, se laissa mener chez la dame, +au fond du faubourg Saint-Honoré; on y était occupé d’un pharaon; douze +tristes pontes tenaient chacun en main un petit livre de cartes, +registre cornu de leurs infortunes. Un profond silence régnait, la +pâleur était sur le front des pontes, l’inquiétude sur celui du +banquier; et la dame du logis, assise auprès de ce banquier +impitoyable, remarquait avec des yeux de lynx tous les parolis, tous +les sept et le va de campagne, dont chaque joueur cornait ses cartes; +elle les faisait décorner avec une attention sévère, mais polie, et ne +se fâchait point, de peur de perdre ses pratiques. La dame se faisait +appeler la marquise de Parolignac. Sa fille, âgée de quinze ans, était +au nombre des pontes, et avertissait d’un clin d’œil des friponneries +de ces pauvres gens qui tâchaient de réparer les cruautés du sort. +L’abbé périgourdin, \bname{Candide}, et \bname{Martin}, entrèrent; personne ne se leva, +ni les salua, ni les regarda; tous étaient profondément occupés de +leurs cartes. «M\up{me} la baronne de Thunder-ten-tronckh était plus +civile», dit \bname{Candide}. + +Cependant l’abbé s’approcha de l’oreille de la marquise, qui se leva à +moitié, honora \bname{Candide} d’un sourire gracieux, et \bname{Martin} d’un air de +tête tout-à-fait noble; elle fit donner un siège et un jeu de cartes à +\bname{Candide}, qui perdit cinquante mille francs en deux tailles: après quoi +on soupa très gaiement; et tout le monde était étonné que \bname{Candide} ne +fût pas ému de sa perte; les laquais disaient entre eux, dans leur +langage de laquais: «Il faut que ce soit quelque milord anglais.» Le +souper fut comme la plupart des soupers de Paris, d’abord du silence, +ensuite un bruit de paroles qu’on ne distingue point, puis des +plaisanteries dont la plupart sont insipides, de fausses nouvelles, de +mauvais raisonnements, un peu de politique, et beaucoup de médisance; +on parla même de livres nouveaux. «Avez-vous vu, dit l’abbé périgourdin, +le roman du sieur Gauchat, docteur en théologie? — Oui, répondit un des +convives, mais je n’ai pu l’achever. Nous avons une foule d’écrits +impertinents; mais tous ensemble n’approchent pas de l’impertinence de +\bname{Gauchat}, docteur en théologie; je suis si rassasié de cette +immensité de détestables livres qui nous inondent, que je me suis mis à +ponter au pharaon. — Et les \emph{\bname{Mélanges}} de l’archidiacre Trublet, qu’en +dites-vous? dit l’abbé. — Ah! dit M\up{me} de Parolignac, l’ennuyeux +mortel! comme il vous dit curieusement ce que tout le monde sait! comme +il discute pesamment ce qui ne vaut pas la peine d’être remarqué +légèrement! comme il s’approprie, sans esprit, l’esprit des autres! +comme il gâte ce qu’il pille! comme il me dégoûte! mais il ne me +dégoûtera plus; c’est assez d’avoir lu quelques pages de l’archidiacre.» + + +Il y avait à table un homme savant et de goût qui appuya ce que disait +la marquise. On parla ensuite de +tragédies; + la dame demanda pourquoi il +y avait des tragédies qu’on jouait quelquefois, et qu’on ne pouvait +lire. L’homme de goût expliqua très bien comment une pièce pouvait +avoir quelque intérêt, et n’avoir presque aucun mérite; il prouva en +peu de mots que ce n’était pas assez d’amener une ou deux de ces +situations qu’on trouve dans tous les romans, et qui séduisent toujours +les spectateurs; mais qu’il faut être neuf sans être bizarre, souvent +sublime et toujours naturel, connaître le cœur humain et le faire +parler; être grand poète, sans que jamais aucun personnage de la pièce +paraisse poète; savoir parfaitement sa langue, la parler avec pureté, +avec une harmonie continue, sans que jamais la rime coûte rien au sens. +«\bname{Quiconque}, ajouta-t-il, +n’observe + pas toutes ces règles, peut faire une +ou deux tragédies applaudies au théâtre, mais il ne sera jamais compté +au rang des bons écrivains; il y a très peu de bonnes tragédies: les +unes sont des idylles en dialogues bien écrits et bien rimés; les +autres, des raisonnements politiques qui endorment, ou des +amplifications qui rebutent; les autres, des rêves d’énergumène, en +style barbare, des propos interrompus, de longues apostrophes aux +dieux, parce qu’on ne sait point parler aux hommes, des maximes fausses, +des lieux communs ampoulés.» + + +\bname{Candide} écouta ce propos avec attention, et conçut une grande idée du +discoureur; et, comme la marquise avait eu soin de le placer à côté +d’elle, il s’approcha de son oreille, et prit la liberté de lui +demander qui était cet homme qui parlait si bien. «C’est un savant, dit +la dame, qui ne ponte point, et que l’abbé m’amène quelquefois à +souper; il se connaît parfaitement en tragédies et en livres, et il a +fait une tragédie sifflée, et un livre dont on n’a jamais vu hors de la +boutique de son libraire qu’un exemplaire qu’il m’a dédié. — Le grand +homme! dit \bname{Candide}, c’est un autre \bname{Pangloss}.» + +Alors se tournant vers lui, il lui dit: «Monsieur, vous pensez, sans +doute, que tout est au mieux dans le monde physique et dans le moral, +et que rien ne pouvait être autrement? — Moi, monsieur, lui répondit le +savant, je ne pense rien de tout cela; je trouve que tout va de travers +chez nous; que personne ne sait ni quel est son rang, ni quelle est sa +charge, ni ce qu’il fait, ni ce qu’il doit faire, et qu’excepté le +souper, qui est assez gai, et où il paraît assez d’union, tout le reste +du temps se passe en querelles impertinentes; jansénistes contre +molinistes, gens du parlement contre gens d’église, gens de lettres +contre gens de lettres, courtisans contre courtisans, financiers contre +le peuple, femmes contre maris, parents contre parents; c’est une +guerre éternelle.» + + +\bname{Candide} lui répliqua: «J’ai vu pis; mais un sage, qui depuis a eu le +malheur d’être pendu, m’apprit que tout cela est à merveille; ce sont +des ombres à un beau tableau. — Votre pendu se moquait du monde, dit +\bname{Martin}; vos ombres sont des taches horribles. — Ce sont les hommes qui +font les taches, dit \bname{Candide}, et ils ne peuvent pas s’en dispenser. — Ce +n’est donc pas leur faute», dit \bname{Martin}. La plupart des pontes, qui +n’entendaient rien à ce langage, buvaient; et \bname{Martin} raisonna avec le +savant, et \bname{Candide} raconta une partie de ses aventures à la dame du +logis. + +Après souper, la marquise mena \bname{Candide} dans son cabinet, et le fit +asseoir sur un canapé. «Eh bien! lui dit-elle, vous aimez donc toujours +éperdument M\up{lle}~\bname{Cunégonde} de Thunder-ten-tronckh? — Oui, madame, +répondit \bname{Candide}.» La marquise lui répliqua avec un souris tendre: «Vous +me répondez comme un jeune homme de \bname{Westphalie}; un Français m’aurait +dit: Il est vrai que j’ai aimé M\up{lle}~\bname{Cunégonde}; mais en vous +voyant, madame, je crains de ne la plus aimer. — Hélas! madame, dit +\bname{Candide}, je répondrai comme vous voudrez. — Votre passion pour elle, dit +la marquise, a commencé en ramassant son mouchoir; je veux que vous +ramassiez ma jarretière. — De tout mon cœur, dit \bname{Candide}; et il la +ramassa. — Mais je veux que vous me la remettiez», dit la dame; et \bname{Candide} +la lui remit. «Voyez-vous, dit la dame, vous êtes étranger; je fais +quelquefois languir mes amants de Paris quinze jours, mais je me rends +à vous dès la première nuit, parce qu’il faut faire les honneurs de son +pays à un jeune homme de \bname{Westphalie}.» La belle ayant aperçu deux énormes +diamants aux deux mains de son jeune étranger, les loua de si bonne +foi, que des doigts de \bname{Candide} ils passèrent aux doigts de la marquise. + +\looseness=1 +\bname{Candide}, en s’en retournant avec son abbé périgourdin, sentit quelques +remords d’avoir fait une infidélité à M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. M. l’abbé +entra dans sa peine; il n’avait qu’une légère part aux cinquante mille +livres perdues au jeu par \bname{Candide}, et à la valeur des deux brillants +moitié donnés, moitié extorqués. Son dessein était de profiter, autant +qu’il le pourrait, des avantages que la connaissance de \bname{Candide} pouvait +lui procurer. Il lui parla beaucoup de \bname{Cunégonde}; et \bname{Candide} lui dit +qu’il demanderait bien pardon à cette belle de son infidélité, quand il +la verrait à \bname{ \bname{Venise}}. + +Le Périgourdin redoublait de politesses et d’attentions, et prenait un +intérêt tendre à tout ce que \bname{Candide} disait, à tout ce qu’il faisait, à +tout ce qu’il voulait faire. + +«Vous avez donc, monsieur, lui dit-il, un rendez-vous à \bname{Venise}? — Oui, +monsieur l’abbé, dit \bname{Candide}; il faut absolument que j’aille trouver +M\up{lle}~\bname{Cunégonde}.» Alors, engagé par le plaisir de parler de ce +qu’il aimait, il conta, selon son usage, une partie de ses aventures +avec cette illustre \bname{Westphalienne}. + + +«Je crois, dit l’abbé, que M\up{lle}~\bname{Cunégonde} a bien de l’esprit, et +qu’elle écrit des lettres charmantes. — Je n’en ai jamais reçu, dit +\bname{Candide}; car, figurez-vous qu’ayant été chassé du château pour l’amour +d’elle, je ne pus lui écrire; que bientôt après j’appris qu’elle était +morte, qu’ensuite je la retrouvai, et que je la perdis, et que je lui +ai envoyé à deux mille cinq cents lieues d’ici un exprès dont j’attends +la réponse.» + +L’abbé écoutait attentivement, et paraissait un peu rêveur. Il prit +bientôt congé des deux étrangers, après les avoir tendrement embrassés. +Le lendemain \bname{Candide} reçut à son réveil une lettre conçue en ces +termes: +\par\vspace{\baselineskip}\par +{\itshape Monsieur mon très cher amant, il y a huit jours que je suis malade en +cette ville; j’apprends que vous y êtes. Je volerais dans vos bras si +je pouvais remuer. J’ai su votre passage à Bordeaux; j’y ai laissé le +fidèle \bname{Cacambo} et la vieille, qui doivent bientôt me suivre. Le +gouverneur de \bname{Buenos} Aires a tout pris, mais il me reste votre cœur. +Venez; votre présence me rendra la vie ou me fera mourir de plaisir. + +} +\par\vspace{\baselineskip}\par +Cette lettre charmante, cette lettre inespérée, transporta \bname{Candide} +d’une joie inexprimable; et la maladie de sa chère \bname{Cunégonde} l’accabla +de douleur. Partagé entre ces deux sentiments, il prend son or et ses +diamants, et se fait conduire avec \bname{Martin} à l’hôtel où +mademoiselle +\bname{Cunégonde} demeurait. Il entre en tremblant d’émotion, son cœur +palpite, sa voix sanglote; il veut ouvrir les rideaux du lit; il veut +faire apporter de la lumière. «Gardez-vous-en bien, lui dit la suivante; +la lumière la tue»; et soudain elle referme le rideau. «Ma chère +\bname{Cunégonde}, dit \bname{Candide} en pleurant, comment vous portez-vous? si vous +ne pouvez me voir, parlez-moi du moins. — Elle ne peut parler», dit la +suivante, la dame alors tire du lit une main potelée que \bname{Candide} arrose +longtemps de ses larmes, et qu’il remplit ensuite de diamants, en +laissant un sac plein d’or sur le fauteuil. + + +Au milieu de ses transports arrive un exempt suivi de l’abbé +périgourdin et d’une escouade. «Voilà donc, dit-il, ces deux étrangers +suspects?» Il les fait incontinent saisir, et ordonne à ses braves de +les traîner en prison. «Ce n’est pas ainsi qu’on traite les voyageurs +dans Eldorado, dit \bname{Candide}. — Je suis plus manichéen que jamais, dit +\bname{Martin}. — Mais, monsieur, où nous menez-vous? dit \bname{Candide}. — Dans un cul de +basse-fosse», dit l’exempt. + +\bname{Martin}, ayant repris son sang froid, jugea que la dame qui se +prétendait \bname{Cunégonde} était une friponne, M. l’abbé périgourdin un +fripon, qui avait abusé au plus vite de +l'innocence + de \bname{Candide}, et +l’exempt un autre fripon dont on pouvait aisément se débarrasser. + + +Plutôt que de s’exposer aux procédures de la justice, \bname{Candide}, éclairé +par son conseil, et d’ailleurs toujours impatient de revoir la +véritable \bname{Cunégonde}, propose à l’exempt trois petits diamants d’environ +trois mille pistoles chacun. — Ah! monsieur, lui dit l’homme au bâton +d’ivoire, eussiez-vous commis tous les crimes imaginables, vous êtes le +plus honnête homme du monde; trois diamants! chacun de trois mille +pistoles! Monsieur! je me ferais tuer pour vous, au lieu de vous mener +dans un cachot. On arrête tous les étrangers, mais laissez-moi faire; +j’ai un frère à Dieppe en Normandie; je vais vous y mener; et si vous +avez quelque diamant à lui donner, il aura soin de vous comme moi-même. + +— Et pourquoi arrête-t-on tous les étrangers? dit \bname{Candide}. L’abbé +périgourdin prit alors la parole, et dit: «C’est parce qu’un gueux du +pays d’Atrébatie a entendu dire des sottises; cela seul lui a fait +commettre un parricide, non pas tel que celui de 1610 au mois de +mai, mais tel que celui de 1594 au mois de décembre, et tel que +plusieurs autres commis dans d’autres années et dans d’autres mois par +d’autres gueux qui avaient entendu dire des sottises.» + + + +L’exempt alors expliqua de quoi il s’agissait. «Ah! les monstres! +s’écria \bname{Candide}; quoi! de telles horreurs chez un peuple qui danse et +qui chante! Ne pourrai-je sortir au plus vite de ce pays où des singes +agacent des tigres? J’ai vu des ours dans mon pays; je n’ai vu des +hommes que dans le Dorado. Au nom de Dieu, monsieur l’exempt, menez-moi +à \bname{Venise}, où je dois attendre M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. — Je ne peux vous +mener qu’en Basse-Normandie, dit le barigel.» Aussitôt il lui fait +ôter ses fers, dit qu’il s’est mépris, renvoie ses gens, emmène à +Dieppe \bname{Candide} et \bname{Martin}, et les laisse entre les mains de son frère. +Il y avait un petit vaisseau hollandais à la rade. Le Normand, à l’aide +de trois autres diamants, devenu le plus serviable des hommes, embarque +\bname{Candide} et ses gens dans le vaisseau qui allait faire voile pour +Portsmouth en Angleterre. Ce n’était pas le chemin de \bname{Venise}; mais +\bname{Candide} croyait être délivré de l’enfer; et il comptait bien reprendre +la route de \bname{Venise} à la première occasion. + + + + + +\chapter[Candide et \bname{Martin} vont sur les côtes…]{Candide et \bname{Martin} vont sur les côtes d’Angleterre;\\ ce qu’ils y voient} + + +\lettrine[ante=«]{A}{h! \bname{Pangloss}!} \bname{Pangloss}! Ah! \bname{Martin}! \bname{Martin}! Ah! ma chère \bname{Cunégonde}! +qu’est-ce que ce monde-ci?» disait \bname{Candide} sur le vaisseau hollandais. +— Quelque chose de bien fou et de bien abominable, répondait \bname{Martin}. — Vous +connaissez l’Angleterre; y est-on aussi fou qu’en France? — C’est une +autre espèce de folie, dit \bname{Martin}. Vous savez que ces deux nations sont +en guerre pour quelques arpents de neige vers le Canada, et qu’elles +dépensent pour cette belle guerre beaucoup plus que tout le Canada ne +vaut. +De vous dire précisément s’il y a plus de gens à lier dans un +pays que dans un autre, c’est ce que mes faibles lumières ne me +permettent pas; je sais seulement qu’en général les gens que nous +allons voir sont fort atrabilaires.» + + +En causant ainsi ils abordèrent à Portsmouth; une multitude de peuple +couvrait le rivage, et regardait attentivement un assez gros homme qui +était à genoux, les yeux bandés, sur le tillac d’un des vaisseaux de la +flotte; quatre soldats, postés vis-à-vis de cet homme, lui tirèrent +chacun trois balles dans le crâne, le plus paisiblement du monde; et +toute l’assemblée s’en retourna extrêmement satisfaite. «Qu’est-ce +donc que tout ceci? dit \bname{Candide}; et quel démon exerce partout son +empire?» Il demanda qui était ce gros homme qu’on venait de tuer en +cérémonie. +«C’est un amiral, lui répondit-on. — Et pourquoi tuer cet +amiral? — C’est, lui dit-on, parce qu’il n’a pas fait tuer assez de monde; +il a livré un combat à un amiral français, et on a trouvé qu’il n’était +pas assez près de lui. — Mais, dit \bname{Candide}, l’amiral français était aussi +loin de l’amiral anglais que celui-ci l’était de l’autre! — Cela est +incontestable, lui répliqua-t-on; mais dans ce pays-ci il est bon de +tuer de temps en temps un amiral pour encourager les autres.» + + +\bname{Candide} fut si étourdi et si choqué de ce qu’il voyait et de ce qu’il +entendait, qu’il ne voulut pas seulement mettre pied à terre, et qu’il +fit son marché avec le patron hollandais (dût-il le voler comme celui +de Surinam), pour le conduire sans délai à \bname{Venise}. + +Le patron fut prêt au bout de deux jours. On côtoya la France; on passa +à la vue de Lisbonne, et \bname{Candide} frémit. On entra dans le détroit et +dans la \bname{Méditerranée}, enfin on aborda à \bname{Venise}. «Dieu soit loué! dit +\bname{Candide}, en embrassant \bname{Martin}; c’est ici que je reverrai la belle +\bname{Cunégonde}. Je compte sur \bname{Cacambo} comme sur moi-même. Tout est bien, +tout va bien, tout va le mieux qu’il soit possible.» + + +\chapter{De \bname{Paquette}, et de frère Giroflée} + + +\lettrine{D}{ès} qu’il fut à \bname{Venise}, il fit chercher \bname{Cacambo} dans tous les cabarets, +dans tous les cafés, chez toutes les filles de joie, et ne le trouva +point. Il envoyait tous les jours à la découverte de tous les vaisseaux +et de toutes les barques: nulles nouvelles de \bname{Cacambo}. «Quoi! disait-il +à \bname{Martin}, j’ai eu le temps de passer de Surinam à Bordeaux, d’aller de +Bordeaux à Paris, de Paris à Dieppe, de Dieppe à Portsmouth, de côtoyer +le Portugal et l’Espagne, de traverser toute la Méditerranée, de passer +quelques mois à \bname{Venise}; et la belle \bname{Cunégonde} n’est point venue! Je +n’ai rencontré au lieu d’elle qu’une drôlesse et un abbé périgourdin! +\bname{Cunégonde} est morte, sans doute; je n’ai plus qu’à mourir. Ah! il +valait mieux rester dans le paradis du Dorado que de revenir dans cette +maudite Europe. Que vous avez raison, mon cher \bname{Martin}! tout n’est +qu’illusion et calamité.» + +Il tomba dans une mélancolie noire, et ne prit aucune part à l’opéra +\emph{alla moda}, ni aux autres divertissements du carnaval; pas une dame ne +lui donna la moindre +tentation. \bname{Martin} lui dit: «Vous êtes bien simple, +en vérité, de vous figurer qu’un valet métis, qui a cinq ou six +millions dans ses poches, ira chercher votre maîtresse au bout du +monde, et vous l’amènera à \bname{Venise}. Il la prendra pour lui, s’il la +trouve; s’il ne la trouve pas, il en prendra une autre: je vous +conseille d’oublier votre valet \bname{Cacambo} et votre maîtresse \bname{Cunégonde}.» +\bname{Martin} n’était pas consolant. La mélancolie de \bname{Candide} augmenta, et +\bname{Martin} ne cessait de lui prouver qu’il y avait peu de vertu et peu de +bonheur sur la terre; excepté peut-être dans Eldorado, où personne +ne pouvait aller. + + + +En disputant sur cette matière importante, et en attendant \bname{Cunégonde}, +\bname{Candide} aperçut un jeune théatin dans la place Saint-Marc, qui tenait +sous le bras une fille. Le théatin paraissait frais, potelé, vigoureux; +ses yeux étaient brillants, son air assuré, sa mine haute, sa démarche +fière. La fille était très jolie, et chantait; elle regardait +amoureusement son théatin, et de temps en temps lui pinçait ses grosses +joues. «Vous m’avouerez du moins, dit \bname{Candide} à \bname{Martin}, que ces gens-ci +sont heureux. Je n’ai trouvé jusqu’à présent dans toute la terre +habitable, excepté dans Eldorado, que des infortunés; mais pour cette +fille et ce théatin, je gage que ce sont des créatures très heureuses. +«Je gage que non, dit \bname{Martin}. — Il n’y a qu’à les prier à dîner, dit +\bname{Candide}, et vous verrez si je me trompe.» + +Aussitôt il les aborde, il leur fait son compliment, et les invite à +venir à son hôtellerie manger des macaronis, des perdrix de Lombardie, +des œufs d’esturgeon, et à boire du vin de Montepulciano, du +lacryma-christi, du chypre, et du samos. La demoiselle rougit, le +théatin accepta la partie, et la fille le suivit en regardant \bname{Candide} +avec des yeux de surprise et de confusion, qui furent obscurcis de +quelques larmes. À peine fut-elle entrée dans la chambre de \bname{Candide}, +qu’elle lui dit: «Eh quoi! monsieur \bname{Candide} ne reconnaît plus \bname{Paquette}!» +À ces mots \bname{Candide}, qui ne l’avait pas considérée jusque-là avec +attention, parce qu’il n’était occupé que de \bname{Cunégonde}, lui dit: «Hélas! +ma pauvre enfant, c’est donc vous qui avez mis le docteur \bname{Pangloss} dans +le bel état où je l’ai vu? + + +— Hélas! monsieur, c’est moi-même, dit \bname{Paquette}; je vois que vous êtes +instruit de tout. J’ai su les malheurs +épouvantables + arrivés à toute la +maison de M\up{me} la baronne et à la belle \bname{Cunégonde}. Je vous jure que +ma destinée n’a guère été moins triste. J’étais fort innocente quand +vous m’avez vue. Un cordelier, qui était mon confesseur, me séduisit +aisément. Les suites en furent affreuses; je fus obligée de sortir du +château quelque temps après que M.~le baron vous eut renvoyé à grands +coups de pied dans le derrière. Si un fameux médecin n’avait pas pris +pitié de moi, j’étais morte. Je fus quelque temps par reconnaissance la +maîtresse de ce médecin. Sa femme, qui était jalouse à la rage, me +battait tous les jours impitoyablement; c’était une furie. Ce médecin +était le plus laid de tous les hommes, et moi la plus malheureuse de +toutes les créatures d’être battue continuellement pour un homme que je +n’aimais pas. Vous savez, monsieur, combien il est dangereux pour une +femme acariâtre d’être l’épouse d’un médecin. Celui-ci, outré des +procédés de sa femme, lui donna un jour, pour la guérir d’un petit +rhume, une médecine si efficace, qu’elle en mourut en deux heures de +temps dans des convulsions horribles. Les parents de madame intentèrent +à monsieur un procès criminel; il prit la fuite, et moi je fus mise en +prison. Mon innocence ne m’aurait pas sauvée, si je n’avais été un peu +jolie. Le juge m’élargit à condition qu’il succéderait au médecin. Je +fus bientôt supplantée par une rivale, chassée sans récompense, et +obligée de continuer ce métier abominable qui vous paraît si plaisant à +vous autres hommes, et qui n’est pour nous qu’un abîme de misère. +J’allai exercer la profession à \bname{Venise}. Ah! monsieur, si vous pouviez +vous imaginer ce que c’est que d’être obligée de caresser +indifféremment un vieux marchand, un avocat, un moine, un gondolier, un +abbé; d’être exposée à toutes les insultes, à toutes les avanies; +d’être souvent réduite à emprunter une jupe pour aller se la faire +lever par un homme dégoûtant; d’être volée par l’un de ce qu’on a gagné +avec l’autre; d’être rançonnée par les officiers de justice, et de +n’avoir en perspective qu’une vieillesse affreuse, un hôpital, et un +fumier, vous concluriez que je suis une des plus malheureuses créatures +du monde.» + +\bname{Paquette} ouvrait ainsi son cœur au bon \bname{Candide}, dans un cabinet, en +présence de \bname{Martin}, qui disait à \bname{Candide}: «Vous voyez que j’ai déjà +gagné la moitié de la gageure.» + + +Frère Giroflée était resté dans la salle à manger, et buvait un coup en +attendant le dîner. «Mais, dit \bname{Candide} à \bname{Paquette}, vous aviez l’air si +gai, si content, quand je vous ai rencontrée; vous chantiez, vous +caressiez le théatin avec une complaisance naturelle; vous m’avez paru +aussi heureuse que vous prétendez être infortunée. — Ah! monsieur, +répondit \bname{Paquette}, c’est encore là une des misères du métier. J’ai été +hier volée et battue par un officier, et il faut aujourd’hui que je +paraisse de bonne humeur pour plaire à un moine.» + +\bname{Candide} n’en voulut pas davantage; il avoua que \bname{Martin} avait raison. On +se mit à table avec \bname{Paquette} et le théatin; le repas fut assez amusant, +et sur la fin on se parla avec quelque confiance. «Mon père, dit \bname{Candide} +au moine, vous me paraissez jouir d’une destinée que tout le monde doit +envier; la fleur de la santé brille sur votre visage, votre physionomie +annonce le bonheur; vous avez une très jolie fille pour votre +récréation, et vous paraissez très content de votre état de théatin. + + +— Ma foi, monsieur, dit frère Giroflée, je voudrais que tous les théatins +fussent au fond de la mer. J’ai été tenté cent fois de mettre le feu au +couvent, et d’aller me faire turc. Mes parents me forcèrent, à l’âge de +quinze ans, d’endosser cette détestable robe, pour laisser plus de +fortune à un maudit frère aîné, que Dieu confonde! La jalousie, la +discorde, la rage, habitent dans le couvent. Il est vrai que j’ai +prêché quelques mauvais sermons qui m’ont valu un peu d’argent dont le +prieur me vole la moitié; le reste me sert à entretenir des filles: +mais quand je rentre le soir dans le monastère, je suis prêt à me +casser la tête contre les murs du dortoir; et tous mes confrères sont +dans le même cas.» + +\bname{Martin} se tournant vers \bname{Candide} avec son sang froid ordinaire: «Eh bien! +lui dit-il, n’ai-je pas gagné la gageure tout entière?» \bname{Candide} donna +deux mille piastres à \bname{Paquette}, et mille piastres à frère Giroflée. «Je +vous réponds, dit-il, qu’avec cela ils seront heureux. — Je n’en crois +rien du tout, dit \bname{Martin}; vous les rendrez peut-être avec ces piastres +beaucoup plus malheureux encore. — Il en sera ce qui pourra, dit \bname{Candide}: +mais une chose me console, je vois qu’on retrouve souvent les gens +qu’on ne croyait jamais retrouver; il se pourra bien faire qu’ayant +rencontré mon mouton rouge et \bname{Paquette}, je rencontre aussi \bname{Cunégonde}. +— Je souhaite, dit \bname{Martin}, qu’elle fasse un jour votre bonheur; mais +c’est de quoi je doute fort. — Vous êtes bien dur, dit \bname{Candide}. — C’est que +j’ai vécu, dit \bname{Martin}. + +— Mais regardez ces gondoliers, dit \bname{Candide}: ne +chantent-ils pas sans cesse? — Vous ne les voyez pas dans leur ménage, +avec leurs femmes et leurs marmots d’enfants, dit \bname{Martin}. Le doge a ses +chagrins, les gondoliers ont les leurs. Il est vrai qu’à tout prendre +le sort d’un gondolier est préférable à celui d’un doge; mais je crois +la différence si médiocre, que cela ne vaut pas la peine d’être +examiné. + +— On parle, dit \bname{Candide}, du sénateur \bname{Pococurante}, qui demeure dans ce +beau palais sur la Brenta, et qui reçoit assez bien les étrangers. On +prétend que c’est un homme qui n’a jamais eu de chagrin. — Je voudrais +voir une espèce si rare, dit \bname{Martin}.» \bname{Candide} aussitôt fit demander au +seigneur \bname{Pococurante} la permission de venir le voir le lendemain. + + + +\chapter[Visite chez le seigneur \bname{Pococurante}…]{Visite chez le seigneur \bname{Pococurante}, noble vénitien} + + +\lettrine{C}{andide} et \bname{Martin} allèrent en gondole sur la Brenta, et arrivèrent au +palais du noble \bname{Pococurante}. Les jardins étaient bien entendus, et +ornés de belles statues de marbre; le palais d’une belle architecture. +Le maître du logis, homme de soixante ans, fort riche, reçut très +poliment les deux curieux, mais avec très peu d’empressement, ce qui +déconcerta \bname{Candide}, et ne déplut point à \bname{Martin}. + + + D’abord deux filles jolies et proprement mises servirent du chocolat, +qu’elles firent très bien mousser. \bname{Candide} ne put s’empêcher de les +louer sur leur beauté, sur leur bonne grâce, et sur leur adresse. «Ce +sont d’assez bonnes créatures, dit le sénateur \bname{Pococurante}; je les fais +quelquefois coucher dans mon lit; car je suis bien las des dames de la +ville, de leurs coquetteries, de leurs jalousies, de leurs querelles, +de leurs humeurs, de leurs petitesses, de leur orgueil, de leurs +sottises, et des sonnets qu’il faut faire ou commander pour elles; +mais, après tout, ces deux filles commencent fort à m’ennuyer.» + + +\bname{Candide}, après le déjeuner, se promenant dans une longue galerie, fut +surpris de la beauté des tableaux. Il demanda de quel maître étaient +les deux premiers. «Ils sont de \bname{Raphaël}, dit le sénateur; je les achetai +fort cher par vanité, il y a quelques années; on dit que c’est ce qu’il +y a de plus beau en Italie, mais ils ne me plaisent point du tout: la +couleur en est très rembrunie, les figures ne sont pas assez arrondies, +et ne sortent point assez; les draperies ne ressemblent en rien à une +étoffe: en un mot, quoi qu’on en dise, je ne trouve point là une +imitation vraie de la nature. Je n’aimerai un tableau que quand je +croirai voir la nature elle-même: il n’y en a point de cette espèce. +J’ai beaucoup de tableaux, mais je ne les regarde plus.» + +\bname{Pococurante}, en attendant le dîner, se fit donner un concerto. \bname{Candide} +trouva la musique délicieuse. «Ce bruit, dit \bname{Pococurante}, peut amuser +une demi-heure; mais s’il dure plus long-temps, il fatigue tout le +monde, quoique personne n’ose l’avouer. La musique aujourd’hui n’est +plus que l’art d’exécuter des choses difficiles, et ce qui n’est que +difficile ne plaît point à la longue. + +«J’aimerais peut être mieux l’opéra, si on n’avait pas trouvé le secret +d’en faire un monstre qui me révolte. Ira voir qui voudra de mauvaises +tragédies en musique, où les scènes ne sont faites que pour amener très +mal à propos deux ou trois chansons ridicules qui font valoir le gosier +d’une actrice; se pâmera de plaisir qui voudra ou qui pourra, en voyant +un châtré fredonner le rôle de \bname{César} et de \bname{Caton}, et se promener d’un +air gauche sur des planches: pour moi, il y a long-temps que j’ai +renoncé à ces pauvretés qui font aujourd’hui la gloire de l’Italie, et +que des souverains paient si chèrement.» \bname{Candide} disputa un peu, mais +avec discrétion. \bname{Martin} fut entièrement de l’avis du sénateur. + + +On se mit à table; et, après un excellent dîner, on entra dans la +bibliothèque. \bname{Candide}, en voyant un Homère magnifiquement relié, loua +l’illustrissime sur son bon goût. «Voilà, dit-il, un livre qui faisait +les délices du grand \bname{Pangloss}, le meilleur philosophe de l’Allemagne. +— Il ne fait pas les miennes, dit froidement \bname{Pococurante}: on me fit +accroire autrefois que j’avais du plaisir en le lisant; mais cette +répétition continuelle de combats qui se ressemblent tous, ces dieux +qui agissent toujours pour ne rien faire de décisif, cette Hélène qui +est le sujet de la guerre, et qui à peine est une actrice de la pièce; +cette Troie qu’on assiège et qu’on ne prend point; tout cela me causait +le plus mortel ennui. J’ai demandé quelquefois à des savants s’ils +s’ennuyaient autant que moi à cette lecture: tous les gens sincères +m’ont avoué que le livre leur tombait des mains, mais qu’il fallait +toujours l’avoir dans sa bibliothèque, comme un monument de +l’antiquité, et comme ces médailles rouillées qui ne peuvent être de +commerce. + +— Votre excellence ne pense pas ainsi de Virgile? dit \bname{Candide}. — Je +conviens, dit \bname{Pococurante}, que le second, le quatrième, et le sixième +livre de son Énéide, sont excellents; mais pour son pieux Énée, et le +fort Cloanthe, et l’ami Achates, et le petit Ascanius, et l’imbécile +roi \bname{Latinus}, et la bourgeoise Amata, et l’insipide Lavinia, je ne crois +pas qu’il y ait rien de si froid et de plus désagréable. J’aime mieux +le Tasse et les contes à dormir debout de l’Arioste. + + +— Oserais-je vous demander, monsieur, dit \bname{Candide}, si vous n’avez pas un +grand plaisir à lire Horace? — Il y a des maximes, dit \bname{Pococurante}, dont +un homme du monde peut faire son profit, et qui, étant resserrées dans +des vers énergiques, se gravent plus aisément dans la mémoire: mais je +me soucie fort peu de son voyage à Brindes, et de sa description d’un +mauvais dîner, et de la querelle de crocheteurs entre je ne sais quel +Pupilus dont les paroles, dit-il, \emph{étaient pleines de pus}, et un +autre dont les paroles \emph{étaient du vinaigre}. Je n’ai lu qu’avec un +extrême dégoût ses vers grossiers contre des vieilles et contre des +sorcières; et je ne vois pas quel mérite il peut y avoir à dire à son +ami Mæcenas que, s’il est mis par lui au rang des poètes lyriques, il +frappera les astres de son front sublime. Les sots admirent tout +dans un auteur estimé. Je ne lis que pour moi; je n’aime que ce qui est +à mon usage.» \bname{Candide}, qui avait été élevé à ne jamais juger de rien par +lui-même, était fort étonné de ce qu’il entendait; et \bname{Martin} trouvait +la façon de penser de \bname{Pococurante} assez raisonnable. + + +\looseness=1 +«Oh! voici un Cicéron, dit \bname{Candide}: pour ce grand homme-là, je pense que +vous ne vous lassez point de le lire. +% +— Je ne le lis jamais, répondit le +Vénitien. Que m’importe qu’il ait plaidé pour Rabirius ou pour +Cluentius? J’ai bien assez des procès que je juge; je me serais mieux +accommodé de ses œuvres philosophiques; mais quand j’ai vu qu’il +doutait de tout, j’ai conclu que j’en savais autant que lui, et que je +n’avais besoin de personne pour être ignorant. + + + +— Ah! voilà quatre-vingts volumes de recueils d’une académie des +sciences, s’écria \bname{Martin}; il se peut qu’il y ait là du bon. — Il y en +aurait, dit \bname{Pococurante}, si un seul des auteurs de ces fatras avait +inventé seulement l’art de faire des épingles; mais il n’y a dans tous +ces livres que de vains systèmes, et pas une seule chose utile. + +— Que de pièces de théâtre je vois là, dit \bname{Candide}, en italien, en +espagnol, en français! — Oui, dit le sénateur, il y en a trois mille, et +pas trois douzaines de bonnes. Pour ces recueils de sermons, qui tous +ensemble ne valent pas une page de Sénèque, et tous ces gros volumes de +théologie, vous pensez bien que je ne les ouvre jamais, ni moi ni +personne.» + + + +\bname{Martin} aperçut des rayons chargés de livres anglais. «Je crois, dit-il, +qu’un républicain doit se plaire à la plupart de ces ouvrages écrits si +librement. — Oui, répondit \bname{Pococurante}, il est beau d’écrire ce qu’on +pense; c’est le privilège de l’homme. Dans toute notre Italie, on +n’écrit que ce qu’on ne pense pas; ceux qui habitent la patrie des +Césars et des \bname{Antonins} n’osent avoir une idée sans la permission d’un +jacobin. Je serais content de la liberté qui inspire les génies +anglais, si la passion et l’esprit de parti ne corrompaient pas tout ce +que cette précieuse liberté a d’estimable.» + +\looseness=1 +\bname{Candide} apercevant un Milton, lui demanda s’il ne regardait pas cet +auteur comme un grand homme. «Qui? dit \bname{Pococurante}, ce barbare, qui fait +un long commentaire du premier chapitre de la Genèse, en dix livres de +vers durs? ce grossier imitateur des Grecs, qui défigure la création, +et qui, tandis que Moïse représente l’Être éternel produisant le monde +par la parole, fait prendre un grand compas par le Messiah dans une +armoire du ciel pour tracer son ouvrage? Moi, j’estimerais celui qui a +gâté l’enfer et le diable du Tasse; qui déguise Lucifer tantôt en +crapaud, tantôt en pygmée; qui lui fait rebattre cent fois les mêmes +discours; qui le fait disputer sur la théologie; qui, en imitant +sérieusement l’invention comique des armes à feu de l’Arioste, fait +tirer le canon dans le ciel par les diables? Ni moi, ni personne en +Italie n’a pu se plaire à toutes ces tristes extravagances. Le mariage +du péché et de la mort et les couleuvres dont le péché accouche, font +vomir tout homme qui a le goût un peu délicat; et sa longue description +d’un hôpital n’est bonne que pour un fossoyeur. Ce poème obscur, +bizarre, et dégoûtant, fut méprisé à sa naissance; je le traite +aujourd’hui comme il fut traité dans sa patrie par les +contemporains. Au reste je dis ce que je pense, et je me soucie fort +peu que les autres pensent comme moi.» \bname{Candide} était affligé de ces +discours; il respectait Homère, il aimait un peu Milton. «Hélas! dit-il +tout bas à \bname{Martin}, j’ai bien peur que cet homme-ci n’ait un souverain +mépris pour nos poètes allemands. — Il n’y aurait pas grand mal à cela, +dit \bname{Martin}. — Oh! quel homme supérieur! disait encore \bname{Candide} entre ses +dents, quel grand génie que ce \bname{Pococurante}! rien ne peut lui plaire. + + + +Après avoir fait ainsi la revue de tous les livres, ils descendirent +dans le jardin. \bname{Candide} en loua toutes les beautés. «Je ne sais rien de +si mauvais goût, dit le maître; nous n’avons ici que des colifichets: +mais je vais dès demain en faire planter un d’un dessin plus noble.» + + +Quand les deux curieux eurent pris congé de son excellence: «Or çà, dit +\bname{Candide} à \bname{Martin}, vous conviendrez que voilà le plus heureux de tous +les hommes, car il est au-dessus de tout ce qu’il possède. — Ne +voyez-vous pas, dit \bname{Martin}, qu’il est dégoûté de tout ce qu’il possède? +Platon a dit, il y a long-temps, que les meilleurs estomacs ne sont pas +ceux qui rebutent tous les aliments. — Mais, dit \bname{Candide}, n’y a-t-il pas +du plaisir à tout critiquer, à sentir des défauts où les autres hommes +croient voir des +beautés? — C’est-à-dire, reprit \bname{Martin}, qu’il y a du +plaisir à n’avoir pas de plaisir? — Oh bien! dit \bname{Candide}, il n’y a donc +d’heureux que moi, quand je reverrai M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. — C’est +toujours bien fait d’espérer, dit \bname{Martin}. + +Cependant les jours, les semaines, s’écoulaient; \bname{Cacambo} ne revenait +point, et \bname{Candide} était si abîmé dans sa douleur, qu’il ne fit pas même +réflexion que \bname{Paquette} et frère Giroflée n’étaient pas venus seulement +le remercier. + + +\chapter[D’un souper que Candide et Martin firent…]{D’un souper que \bname{Candide} et \bname{Martin} firent\\avec six étrangers, et qui ils +étaient} + + +\lettrine{U}{n soir} que \bname{Candide}, suivi de \bname{Martin}, allait se mettre à table avec les +étrangers qui logeaient dans la même hôtellerie, un homme à visage +couleur de suie l’aborda par derrière, et, le prenant par le bras, lui +dit: «Soyez prêt à partir avec nous, n’y manquez pas.» Il se retourne, et +voit \bname{Cacambo}. Il n’y avait que la vue de \bname{Cunégonde} qui pût l’étonner et +lui plaire davantage. Il fut sur le point de devenir fou de joie. Il +embrasse son cher ami. «\bname{Cunégonde} est ici, sans doute? où est-elle? +Mène-moi vers elle, que je meure de joie avec elle. — \bname{Cunégonde} n’est +point ici, dit \bname{Cacambo}, elle est à Constantinople. — Ah ciel! à +Constantinople! mais fût-elle à la Chine, j’y vole, partons. — Nous +partirons après souper, reprit \bname{Cacambo}; je ne peux vous en dire +davantage; je suis esclave, mon maître m’attend; il faut que j’aille le +servir à table: ne dites mot, soupez, et tenez-vous prêt.» + +\bname{Candide}, partagé entre la joie et la douleur, charmé d’avoir revu son +agent fidèle, étonné de le voir esclave, plein de l’idée de retrouver +sa maîtresse, le cœur agité, l’esprit bouleversé, se mit à table avec +\bname{Martin}, qui voyait de sang froid toutes ces aventures, et avec six +étrangers, qui étaient venus passer le carnaval à \bname{Venise}. + + +\bname{Cacambo}, qui versait à boire à l’un de ces six étrangers, s’approcha de +l’oreille de son maître, sur la fin du repas, et lui dit: «Sire, Votre +Majesté partira quand elle voudra, le vaisseau est prêt.» Ayant dit ces +mots, il sortit. Les convives étonnés se regardaient sans proférer une +seule parole, lorsqu’un autre domestique s’approchant de son maître, +lui dit: «Sire, la chaise de Votre Majesté est à Padoue, et la barque +est prête.» Le maître fit un signe, et le domestique partit. Tous les +convives se regardèrent encore, et la surprise commune redoubla. Un +troisième valet s’approchant aussi d’un troisième étranger, lui dit: +«Sire, croyez-moi, Votre Majesté ne doit pas rester ici plus longtemps, +je vais tout préparer»; et aussitôt il disparut. + +\bname{Candide} et \bname{Martin} ne doutèrent pas alors que ce ne fût une mascarade du +carnaval. Un quatrième domestique dit au quatrième maître: «Votre +Majesté partira quand elle voudra», et sortit comme les autres. Le +cinquième valet en dit autant au cinquième maître. Mais le sixième +valet parla différemment au sixième étranger qui était auprès de +\bname{Candide}; il lui dit: «Ma foi, sire, on ne veut plus faire crédit à Votre +Majesté ni à moi non plus, et nous pourrions bien être coffrés cette +nuit vous et moi; je vais pourvoir à mes affaires: adieu.» + +Tous les domestiques ayant disparu, les six étrangers, \bname{Candide}, et +\bname{Martin}, demeurèrent dans un profond silence. Enfin \bname{Candide} le rompit: +«Messieurs, dit-il, voilà une singulière plaisanterie. Pourquoi +êtes-vous tous rois? pour moi, je vous avoue que ni moi ni \bname{Martin} nous +ne le sommes.» + +Le maître de \bname{Cacambo} prit alors gravement la parole, et dit en italien: +«Je ne suis point plaisant, je m’appelle Achmet III; j’ai été +grand-sultan plusieurs années; je détrônai mon frère; mon neveu m’a +détrôné; on a coupé le cou à mes vizirs; j’achève ma vie dans le vieux +sérail; mon neveu le grand-sultan Mahmoud me permet de voyager +quelquefois pour ma santé; et je suis venu passer le carnaval à \bname{Venise}.» + +Un jeune homme qui était auprès d’Achmet parla après lui, et dit: «Je +m’appelle Ivan; j’ai été empereur de toutes les Russies; j’ai été +détrôné au berceau; mon père et ma mère ont été enfermés; on m’a élevé +en prison; j’ai quelquefois la permission de voyager, accompagné de +ceux qui me gardent; et je suis venu passer le carnaval à \bname{Venise}.» + + + +Le troisième dit: «Je suis Charles-Édouard, roi \bname{d’Angleterre}; + mon +père m’a cédé ses droits au royaume; j’ai combattu pour les soutenir; +on a arraché le cœur à huit cents de mes partisans, et on leur en a +battu les joues; j’ai été mis en prison; je vais à Rome faire une +visite au roi mon père, détrôné ainsi que moi et mon grand-père; et je +suis venu passer le carnaval à \bname{Venise}.» + + + +Le quatrième prit alors la parole et dit: «Je suis roi des Polaques; le +sort de la guerre m’a privé de mes états héréditaires; mon père a +éprouvé les mêmes revers; je me résigne à la Providence comme le sultan +Achmet, l’empereur Ivan, et le roi Charles-Édouard, à qui Dieu donne +une longue vie; et je suis venu passer le carnaval à \bname{Venise}.» + + + +Le cinquième dit: «Je suis aussi roi des Polaques; j’ai perdu mon +royaume deux fois; mais la Providence m’a donné un autre état dans +lequel j’ai fait plus de bien que tous les rois des Sarmates ensemble +n’en ont jamais pu faire sur les bords de la Vistule. Je me résigne +aussi à la Providence; et je suis venu passer le carnaval à \bname{Venise}.» + + + +Il restait au sixième monarque à parler. «Messieurs, dit-il, je ne suis +pas si grand seigneur que vous; mais enfin j’ai été roi tout comme un +autre; je suis Théodore; on m’a élu roi en Corse; on m’a appelé +\textit{Votre Majesté}, et à présent à peine m’appelle-t-on \textit{monsieur}; j’ai +fait frapper de la monnaie, et je ne possède pas un denier; j’ai eu +deux secrétaires d’état, et j’ai à peine un valet; je me suis vu sur un +trône, et j’ai longtemps été à Londres en prison sur la paille; j’ai +bien peur d’être traité de même ici, quoique je sois venu, comme Vos +Majestés, passer le carnaval à \bname{Venise}.» + + +Les cinq autres rois écoutèrent ce discours avec une noble compassion. +Chacun d’eux donna vingt sequins au roi \bname{Théodore} pour avoir des habits +et des chemises; \bname{Candide} lui fit présent d’un diamant de deux mille +sequins. «Quel est donc, disaient les cinq rois, cet homme qui est en +état de donner cent fois autant que chacun de nous, et qui le donne? +Êtes-vous roi aussi, monsieur? — Non, messieurs, et n’en ai nulle envie.» + +Dans l’instant qu’on sortait de table, il arriva dans la même +hôtellerie quatre altesses sérénissimes qui avaient aussi perdu leurs +états par le sort de la guerre, et qui venaient passer le reste du +carnaval à \bname{Venise}; mais \bname{Candide} ne prit pas seulement garde à ces +nouveaux venus. Il n’était occupé que d’aller trouver sa chère +\bname{Cunégonde} à \bname{Constantinople}. + + + +\chapter{Voyage de \bname{Candide} à Constantinople} + + +\lettrine{L}{e fidèle} \bname{Cacambo} avait déjà obtenu du patron turc qui allait +reconduire le sultan Achmet à Constantinople qu’il recevrait \bname{Candide} et +\bname{Martin} sur son bord. L’un et l’autre s’y rendirent après s’être +prosternés devant Sa misérable Hautesse. \bname{Candide}, chemin faisant, disait +à \bname{Martin}: «Voilà pourtant six rois détrônés avec qui nous avons soupé! +et encore dans ces six rois il y en a un à qui j’ai fait l’aumône. +Peut-être y a-t-il beaucoup d’autres princes plus infortunés. Pour moi, +je n’ai perdu que cent moutons, et je vole dans les bras de \bname{Cunégonde}. +Mon cher \bname{Martin}, encore une fois, \bname{Pangloss} avait raison, tout est bien. +— Je le souhaite, dit \bname{Martin}. — Mais, dit \bname{Candide}, voilà une aventure bien +peu vraisemblable que nous avons eue à \bname{Venise}. On n’avait jamais vu ni +ouï conter que six rois détrônés soupassent ensemble au cabaret. — Cela +n’est pas plus extraordinaire, dit \bname{Martin}, que la plupart des choses +qui nous sont arrivées. Il est très commun que des rois soient +détrônés; et à l’égard de l’honneur que nous avons eu de souper avec +eux, c’est une bagatelle qui ne mérite pas notre attention.» +% Qu’importe avec qui l’on soupe, pourvu qu’on fasse bonne chère?» + +À peine \bname{Candide} fut-il dans le vaisseau, qu’il sauta au cou de son +ancien valet, de son ami \bname{Cacambo}. «Eh bien! lui dit-il, que fait +\bname{Cunégonde}? est-elle toujours un prodige de beauté? m’aime-t-elle +toujours? comment se porte-t-elle? Tu lui as, sans doute, acheté un +palais à Constantinople? + + + +— Mon cher maître, répondit \bname{Cacambo}, \bname{Cunégonde} lave les écuelles sur le +bord de la Propontide, chez un prince qui a très peu d’écuelles; elle +est esclave dans la maison d’un ancien souverain, nommé \bname{Ragotski}, à +qui le Grand-Turc donne trois écus par jour dans son asile; mais, ce +qui est bien plus triste, c’est qu’elle a perdu sa beauté, et qu’elle +est devenue horriblement laide. — Ah! belle ou laide, dit \bname{Candide}, je +suis honnête homme, et mon devoir est de l’aimer toujours. Mais comment +peut-elle être réduite à un état si abject avec les cinq ou six +millions que tu avais emportés? — Bon, dit \bname{Cacambo}, ne m’en a-t-il pas +fallu donner deux au senor don \bname{Fernando} d’Ibaraa, y Figueora, y +Mascarenès, y \bname{Lampourdos}, y Souza, gouverneur de \bname{Buenos} Aires, pour +avoir la permission de reprendre M\up{lle}~\bname{Cunégonde}? et un pirate +ne nous a-t-il pas bravement dépouillés de tout le reste? Ce pirate ne +nous a-t-il pas menés au cap de Matapan, à Milo, à Nicarie, à Samos, à +Petra, aux \bname{Dardanelles}, à Marmara, à \bname{Scutari}? \bname{Cunégonde} et la vieille +servent chez ce prince dont je vous ai parlé, et moi je suis esclave du +sultan détrôné. — Que d’épouvantables calamités enchaînées les unes aux +autres! dit \bname{Candide}. Mais, après tout, j’ai encore quelques diamants; +je délivrerai aisément \bname{Cunégonde}. C’est bien dommage qu’elle soit +devenue si laide.» + + + +Ensuite, se tournant vers \bname{Martin}: «Que pensez-vous, dit-il, qui soit le +plus à plaindre, de l’empereur Achmet, de l’empereur Ivan, du roi +Charles-Édouard, ou de moi? — Je n’en sais rien, dit \bname{Martin}; il faudrait +que je fusse dans vos cœurs pour le savoir. — Ah! dit \bname{Candide}, si +\bname{Pangloss} était ici, il le saurait, et nous l’apprendrait. — Je ne sais, +dit \bname{Martin}, avec quelles balances votre \bname{Pangloss} aurait pu peser les +infortunes des hommes, et apprécier leurs douleurs. Tout ce que je +présume c’est qu’il y a des millions d’hommes sur la terre cent fois +plus à plaindre que le roi Charles-Édouard, l’empereur Ivan, et le +sultan Achmet. — Cela pourrait bien être», dit \bname{Candide}. + +On arriva en peu de jours sur le canal de la mer Noire. \bname{Candide} +commença par racheter \bname{Cacambo} fort cher; et, sans perdre de temps, il +se jeta dans une galère, avec ses compagnons, pour aller sur le rivage +de la Propontide chercher \bname{Cunégonde}, quelque laide qu’elle pût être. + + +Il y avait dans la chiourme deux forçats qui ramaient fort mal, et à +qui le levanti patron appliquait de temps en temps quelques coups de +nerf de bœuf sur leurs épaules nues; \bname{Candide}, par un mouvement +naturel, les regarda plus attentivement que les autres galériens, et +s’approcha d’eux avec pitié. Quelques traits de leurs visages défigurés +lui parurent avoir un peu de ressemblance avec \bname{Pangloss} et avec ce +malheureux jésuite, ce baron, ce frère de M\up{lle}~\bname{Cunégonde}. Cette +idée l’émut et l’attrista. Il les considéra encore plus attentivement. +«En vérité, dit-il à \bname{Cacambo}, si je n’avais pas vu pendre maître +\bname{Pangloss}, et si je n’avais pas eu le malheur de tuer le baron, je +croirais que ce sont eux qui rament dans cette galère.» + + +Au nom du baron et de \bname{Pangloss} les deux forçats poussèrent un grand +cri, s’arrêtèrent sur leur banc, et laissèrent tomber leurs rames. Le +levanti patron accourait sur eux, et les coups de nerf de bœuf +\bname{redoublaient}. «Arrêtez! arrêtez! seigneur, s’écria \bname{Candide}; je vous +donnerai tant d’argent que vous voudrez. — Quoi! c’est \bname{Candide}! disait +l’un des forçats; — quoi! c’est \bname{Candide}! disait l’autre. — Est-ce un songe? +dit \bname{Candide}; veillé-je? suis-je dans cette galère? Est-ce là M. +le baron, que j’ai tué? est-ce là maître \bname{Pangloss}, que j’ai vu pendre? + + +— C’est nous-mêmes, c’est nous-mêmes, répondaient-ils. — Quoi! c’est là ce +grand philosophe? disait \bname{Martin}. — Eh! monsieur le levanti patron, dit +\bname{Candide}, combien voulez-vous d’argent pour la rançon de M. de +Thunder-ten-tronckh, un des premiers barons de l’empire, et de M.~\bname{Pangloss}, le plus profond métaphysicien d’Allemagne? — Chien de chrétien, +répondit le levanti patron, puisque ces deux chiens de forçats +chrétiens sont des barons et des métaphysiciens, ce qui est sans doute +une grande dignité dans leur pays, tu m’en donneras cinquante mille +sequins. — Vous les aurez, monsieur; ramenez-moi comme un éclair à +Constantinople, et vous serez payé sur-le-champ. Mais non, menez-moi +chez M\up{lle}~\bname{Cunégonde}.» Le levanti patron, sur la première offre +de \bname{Candide}, avait déjà tourné la proue vers la ville, et il faisait +ramer plus vite qu’un oiseau ne fend les airs. + +\bname{Candide} embrassa cent fois le baron et \bname{Pangloss}. «Et comment ne vous +ai-je pas tué, mon cher baron? et mon cher \bname{Pangloss}, comment êtes-vous +en vie, après avoir été pendu? et pourquoi êtes-vous tous deux aux +galères en Turquie? — Est-il bien vrai que ma chère sœur soit dans ce +pays? disait le baron. — Oui, répondait \bname{Cacambo}. — Je revois donc mon cher +\bname{Candide}! s’écriait \bname{Pangloss}.» \bname{Candide} leur présentait \bname{Martin} et \bname{Cacambo}. +Ils s’embrassaient tous; ils parlaient tous à-la-fois. La galère +volait, ils étaient déjà dans le port. On fit venir un Juif, à qui +\bname{Candide} vendit pour cinquante mille sequins un diamant de la valeur de +cent mille, et qui lui jura par Abraham qu’il n’en pouvait donner +davantage. Il paya incontinent la rançon du baron et de \bname{Pangloss}. +Celui-ci se jeta aux pieds de son libérateur, et les baigna de larmes; +l’autre le remercia par un signe de tête, et lui promit de lui rendre +cet argent à la première occasion. «Mais est-il bien possible que ma +sœur soit en Turquie? disait-il. — Rien n’est si possible, reprit +\bname{Cacambo}, puisqu’elle écure la vaisselle chez un prince de \bname{Transylvanie}.» +On fit aussitôt venir deux Juifs; \bname{Candide} vendit encore des diamants; +et ils repartirent tous dans une autre galère pour aller délivrer +\bname{Cunégonde}. + + +\chapter[Ce qui arriva à Candide, à Cunégonde…]{Ce qui arriva à \bname{Candide}, à \bname{Cunégonde},\\à \bname{Pangloss}, à \bname{Martin}, etc.} + + +\lettrine[findent=1pt,ante=«]{P}{ardon}, encore une fois, dit \bname{Candide} au baron; pardon, mon Révérend +Père, de vous avoir donné un grand coup d’épée au travers du corps. +— N’en parlons plus, dit le baron; je fus un peu trop vif, je l’avoue; +mais puisque vous voulez savoir par quel hasard vous m’avez vu aux +galères, je vous dirai qu’après avoir été guéri de ma blessure par le +frère apothicaire du collège, je fus attaqué et enlevé par un parti +espagnol; on me mit en prison à \bname{Buenos} Aires dans le temps que ma sœur +venait d’en partir. Je demandai à retourner à Rome auprès du père +général. Je fus nommé pour aller servir d’aumônier à Constantinople +auprès de M. l’ambassadeur de France. Il n’y avait pas huit jours +que j’étais entré en fonction, quand je trouvai sur le soir un jeune +icoglan très bien fait. Il faisait fort chaud: le jeune homme voulut se +baigner; je pris cette occasion de me baigner aussi. Je ne savais pas +que ce fût un crime capital pour un chrétien d’être trouvé tout nu avec +un jeune musulman. Un cadi me fit donner cent coups de bâton sous la +plante des pieds, et me condamna aux galères. Je ne crois pas qu’on ait +fait une plus horrible injustice. Mais je voudrais bien savoir pourquoi +ma sœur est dans la cuisine d’un souverain de \bname{Transylvanie} réfugié +chez les Turcs. + + +— Mais vous, mon cher \bname{Pangloss}, dit \bname{Candide}, comment se peut-il que je +vous revoie? — Il est vrai, dit \bname{Pangloss}, que vous m’avez vu pendre; je +devais naturellement être brûlé mais vous vous souvenez qu’il plut à +verse lorsqu’on allait me cuire: l’orage fut si violent qu’on désespéra +d’allumer le feu; je fus pendu, parce qu’on ne put mieux faire: un +chirurgien acheta mon corps, m’emporta chez lui, et me disséqua. Il me +fit d’abord une incision cruciale depuis le nombril jusqu’à la +clavicule. On ne pouvait pas avoir été plus mal pendu que je l’avais +été. L’exécuteur des hautes œuvres de la sainte inquisition, lequel +était sous-diacre, brûlait à la vérité les gens à merveille, mais il +n’était pas accoutumé à pendre: la corde était mouillée et glissa mal, +elle fut mal nouée; enfin je respirais encore: l’incision cruciale me +fit jeter un si grand cri, que mon chirurgien tomba à la renverse; et +croyant qu’il disséquait le diable, il s’enfuit en mourant de peur, et +tomba encore sur l’escalier en fuyant. Sa femme accourut au bruit d’un +cabinet voisin: elle me vit sur la table étendu avec mon incision +cruciale; elle eut encore plus de peur que son mari, s’enfuit, et tomba +sur lui. Quand ils furent un peu revenus à eux, j’entendis la +chirurgienne qui disait au chirurgien: \frquote{\localleftbox{« }Mon bon, de quoi vous +avisez-vous aussi de disséquer un hérétique? ne savez-vous pas que le diable est toujours dans le corps de ces gens-là? je vais vite chercher un prêtre pour l’exorciser.}\localleftbox{} +Je frémis à ce propos, et je ramassai le +peu de forces qui me restaient pour crier: «Ayez pitié de moi!» Enfin le +barbier portugais s’enhardit: il recousit ma peau; sa femme même eut +soin de moi; je fus sur pied au bout de quinze jours. Le barbier me +trouva une condition, et me fit laquais d’un chevalier de Malte qui +allait à \bname{Venise}: mais mon maître n’ayant pas de quoi me payer, je me +mis au service d’un marchand vénitien, et je le suivis à +Constantinople. + + +«Un jour il me prit fantaisie d’entrer dans une mosquée; il n’y avait +qu’un vieil iman et une jeune dévote très jolie qui disait ses +patenôtres; sa gorge était toute découverte: elle avait entre ses deux +tétons un beau bouquet de tulipes, de roses, d’anémones, de renoncules, +d’hyacinthes, et d’oreilles d’ours: elle laissa tomber son +bouquet; je +le ramassai, et je le lui remis avec un empressement très respectueux. +Je fus si longtemps à le lui remettre, que l’iman se mit en colère, et +voyant que j’étais chrétien, il cria à l’aide. On me mena chez le cadi, +qui me fit donner cent coups de latte sous la plante des pieds, et +m’envoya aux galères. Je fus enchaîné précisément dans la même galère +et au même banc que M.~le baron. Il y avait dans cette galère +quatre jeunes gens de Marseille, cinq prêtres napolitains, et deux +moines de Corfou, qui nous dirent que de pareilles aventures arrivaient +tous les jours. M.~le baron prétendait qu’il avait essuyé une +plus grande injustice que moi: je prétendais, moi, qu’il était beaucoup +plus permis de remettre un bouquet sur la gorge d’une femme que d’être +tout nu avec un icoglan. Nous disputions sans cesse, et nous recevions +vingt coups de nerf de bœuf par jour, lorsque l’enchaînement des +événements de cet univers vous a conduit dans notre galère, et que vous +nous avez rachetés. + +— Eh bien! mon cher \bname{Pangloss}, lui dit \bname{Candide}, quand vous avez été pendu, +disséqué, roué de coups, et que vous avez ramé aux galères, avez-vous +toujours pensé que tout allait le mieux du monde? — Je suis toujours de +mon premier sentiment, répondit \bname{Pangloss}; car enfin je suis philosophe; +il ne me convient pas de me dédire, Leibnitz ne pouvant pas avoir tort, +et l’harmonie préétablie étant d’ailleurs la plus belle chose du monde, +aussi bien que le plein et la matière subtile.» + + + +\chapter{Comment \bname{Candide} retrouva \bname{Cunégonde} et la vieille} + + +\lettrine{P}{endant} que \bname{Candide}, le baron, \bname{Pangloss}, \bname{Martin}, et \bname{Cacambo}, contaient +leurs aventures, qu’ils raisonnaient sur les événements contingents ou +non contingents de cet univers, qu’ils disputaient sur les effets et +les causes, sur le mal moral et sur le mal physique, sur la liberté et +la nécessité, sur les consolations que l’on peut éprouver lorsqu’on est +aux galères en Turquie, ils abordèrent sur le rivage de la Propontide, +à la maison du prince de \bname{Transylvanie}. Les premiers objets qui se +présentèrent furent \bname{Cunégonde} et la vieille, qui étendaient des +serviettes sur des ficelles pour les faire sécher. + +Le baron pâlit à cette vue. Le tendre amant \bname{Candide} en voyant sa belle +\bname{Cunégonde} rembrunie, les yeux éraillés, la gorge sèche, les joues +ridées, les bras rouges et écaillés, recula trois pas, saisi d’horreur, +et avança ensuite par bon procédé. Elle embrassa \bname{Candide} et son frère: +on embrassa la vieille: \bname{Candide} les racheta toutes deux. + +Il y avait une petite métairie dans le voisinage; la vieille proposa à +\bname{Candide} de s’en accommoder, en attendant que toute la troupe eût une +meilleure destinée. \bname{Cunégonde} ne savait pas qu’elle était enlaidie, +personne ne l’en avait avertie: elle fit souvenir \bname{Candide} de ses +promesses avec un ton si absolu, que le bon \bname{Candide} n’osa pas la +refuser. Il signifia donc au baron qu’il allait se marier avec sa +sœur. «Je ne souffrirai jamais, dit le baron, une telle bassesse de sa +part, et une telle insolence de la vôtre; cette infamie ne me sera +jamais reprochée: les enfants de ma sœur ne pourraient entrer dans les +chapitres d’Allemagne. Non, jamais ma sœur n’épousera qu’un baron de +l’empire.» \bname{Cunégonde} se jeta à ses pieds, et les baigna de larmes; il +fut inflexible. «Maître fou, lui dit \bname{Candide}, je t’ai réchappé des +galères, j’ai payé ta rançon, j’ai payé celle de ta sœur; elle lavait +ici des écuelles, elle est laide, j’ai la bonté d’en faire ma femme; et +tu prétends encore t’y opposer! je te retuerais si j’en croyais ma +colère. — Tu peux me tuer encore, dit le baron, mais tu n’épouseras pas +ma sœur de mon vivant.» + + + + +\chapter{Conclusion} + + +\lettrine{C}{andide}, dans le fond de son cœur, n’avait aucune envie d’épouser +\bname{Cunégonde}; mais l’impertinence extrême du baron le déterminait à +conclure le mariage; et \bname{Cunégonde} le pressait si vivement qu’il ne +pouvait s’en dédire. Il consulta \bname{Pangloss}, \bname{Martin}, et le fidèle +\bname{Cacambo}. \bname{Pangloss} fit un beau mémoire par lequel il prouvait que le +baron n’avait nul droit sur sa sœur, et qu’elle pouvait, selon toutes +les lois de l’empire, épouser \bname{Candide} de la main gauche. \bname{Martin} conclut +à jeter le baron dans la mer; \bname{Cacambo} décida qu’il fallait le rendre au +levanti patron, et le remettre aux galères, après quoi on l’enverrait à +Rome au père général par le premier vaisseau. L’avis fut trouvé fort +bon; la vieille l’approuva; on n’en dit rien à sa sœur; la chose fut +exécutée pour quelque argent, et on eut le plaisir d’attraper un +jésuite, et de punir l’orgueil d’un baron allemand. + + +Il était tout naturel d’imaginer qu’après tant de désastres, \bname{Candide} +marié avec sa maîtresse, et vivant avec le philosophe \bname{Pangloss}, le +philosophe \bname{Martin}, le prudent \bname{Cacambo}, et la vieille, ayant d’ailleurs +rapporté tant de diamants de la patrie des anciens Incas, mènerait la +vie du monde la plus agréable; mais il fut tant friponné par les Juifs, +qu’il ne lui resta plus rien que sa petite métairie; sa femme devenant +tous les jours plus laide devint acariâtre et insupportable: la vieille +était infirme, et fut encore de plus mauvaise humeur que \bname{Cunégonde}. +\bname{Cacambo}, qui travaillait au jardin, et qui allait vendre des \bname{légumes} à +Constantinople, était excédé de travail, et maudissait sa destinée. +\bname{Pangloss} était au désespoir de ne pas briller dans quelque université +d’Allemagne. Pour \bname{Martin}, il était fermement persuadé qu’on est +également mal partout; il prenait les choses en patience. \bname{Candide}, +\bname{Martin}, et \bname{Pangloss}, disputaient quelquefois de métaphysique et de +morale. On voyait souvent passer sous les fenêtres de la métairie des +bateaux chargés d’effendis, de bachas, de cadis, qu’on envoyait en exil +à Lemnos, à Mytilène, à Erzeroum: on voyait venir d’autres cadis, +d’autres bachas, d’autres effendis, qui prenaient la place des +expulsés, et qui étaient expulsés à leur tour: on voyait des têtes +proprement empaillées qu’on allait présenter à la sublime Porte. Ces +spectacles faisaient redoubler les dissertations; et quand on ne +disputait pas, l’ennui était si excessif, que la vieille osa un jour +leur dire: «Je voudrais savoir lequel est le pire, ou d’être violée cent +fois par des pirates nègres, d’avoir une fesse coupée, de passer par +les baguettes chez les \bname{Bulgares}, d’être fouetté et pendu dans un +auto-da-fé, d’être disséqué, de ramer en galère, d’éprouver enfin +toutes les misères par lesquelles nous avons tous passé, ou bien de +rester ici à ne rien faire? — C’est une grande question», dit \bname{Candide}. + + + + + + +Ce discours fit naître de nouvelles réflexions, et \bname{Martin} surtout +conclut que l’homme était né pour vivre dans les convulsions de +l’inquiétude, ou dans la léthargie de l’ennui. \bname{Candide} n’en convenait +pas, mais il n’assurait rien. \bname{Pangloss} avouait qu’il avait toujours +horriblement souffert; mais ayant soutenu une fois que tout allait à +merveille, il le soutenait toujours, et n’en croyait rien. + +Une chose acheva de confirmer \bname{Martin} dans ses détestables principes, de +faire hésiter plus que jamais \bname{Candide} et d’embarrasser \bname{Pangloss}. C’est +qu’ils virent un jour aborder dans leur métairie \bname{Paquette} et le frère +Giroflée, qui étaient dans la plus extrême misère; ils avaient bien +vite mangé leurs trois mille piastres, s’étaient quittés, s’étaient +raccommodés, s’étaient brouillés, avaient été mis en +prison; s’étaient +enfuis, et enfin frère Giroflée s’était fait turc. \bname{Paquette} continuait +son métier partout, et n’y gagnait plus rien. «Je l’avais bien prévu, +dit \bname{Martin} à \bname{Candide}, que vos présents seraient bientôt dissipés, et ne +les rendraient que plus misérables. Vous avez regorgé de millions de +piastres, vous et \bname{Cacambo}, et vous n’êtes pas plus heureux que frère +Giroflée et \bname{Paquette}. — Ah! ah! dit \bname{Pangloss} à \bname{Paquette}, le ciel vous +ramène donc ici parmi nous. Ma pauvre enfant! savez-vous bien que vous +m’avez coûté le bout du nez, un œil, et une oreille? Comme vous voilà +faite! Eh! qu’est-ce que ce monde!» Cette nouvelle aventure les engagea +à philosopher plus que jamais. + +Il y avait dans le voisinage un derviche très fameux qui passait pour +le meilleur philosophe de la Turquie; ils allèrent le consulter; +\bname{Pangloss} porta la parole, et lui dit: «Maître, nous venons vous prier de +nous dire pourquoi un aussi étrange animal que l’homme a été formé. + + + + + + +— De quoi te mêles-tu? lui dit le derviche; est-ce là ton affaire? — Mais, +mon Révérend Père, dit \bname{Candide}, il y a horriblement de mal sur la +terre. — Qu’importe, dit le derviche, qu’il y ait du mal ou du bien? +quand Sa Hautesse envoie un vaisseau en Égypte, s’embarrasse-t-elle si +les souris qui sont dans le vaisseau sont à leur aise ou non? — Que +faut-il donc faire? dit \bname{Pangloss}. — Te taire, dit le derviche. — Je me +flattais, dit \bname{Pangloss}, de raisonner un peu avec vous des effets et des +causes, du meilleur des mondes possibles, de l’origine du mal, de la +nature de l’âme, et de l’harmonie préétablie.» Le derviche, à ces mots, +leur ferma la porte au nez. + + + +Pendant cette conversation, la nouvelle s’était répandue qu’on venait +d’étrangler à Constantinople deux vizirs du banc et le muphti, et qu’on +avait empalé plusieurs de leurs amis. Cette catastrophe faisait partout +un grand bruit pendant quelques heures. \bname{Pangloss}, \bname{Candide}, et \bname{Martin}, +en retournant à la petite métairie, rencontrèrent un bon vieillard qui +prenait le frais à sa porte sous un berceau d’orangers. \bname{Pangloss}, qui +était aussi curieux que raisonneur, lui demanda comment se nommait le +muphti qu’on venait d’étrangler. «Je n’en sais rien, répondit le +bonhomme, et je n’ai jamais su le nom d’aucun muphti ni d’aucun vizir. +J’ignore absolument l’aventure dont vous me parlez; je présume qu’en +général ceux qui se mêlent des affaires publiques périssent quelquefois +misérablement, et qu’ils le méritent; mais je ne m’informe jamais de ce +qu’on fait à Constantinople; je me contente d’y envoyer vendre les +fruits du jardin que je cultive.» Ayant dit ces mots, il fit entrer les +étrangers dans sa maison; ses deux filles et ses deux fils leur +présentèrent plusieurs sortes de sorbets qu’ils faisaient eux-mêmes, du +kaïmak piqué d’écorces de cédrat confit, des oranges, des citrons, des +limons, des ananas, des dattes, des pistaches, du café de Moka qui +n’était point mêlé avec le mauvais café de Batavia et des îles. Après +quoi les deux filles de ce bon musulman parfumèrent les barbes de +\bname{Candide}, de \bname{Pangloss}, et de \bname{Martin}. + + + +«Vous devez avoir, dit \bname{Candide} au Turc, une vaste et magnifique terre? +— Je n’ai que vingt arpents, répondit le Turc; je les cultive avec mes +enfants; le travail éloigne de nous trois grands maux, l’ennui, le +vice, et le besoin.» + + +\bname{Candide} en retournant dans sa métairie fit de profondes réflexions sur +le discours du Turc. Il dit à \bname{Pangloss} et à \bname{Martin}: «Ce bon vieillard me +paraît s’être fait un sort bien préférable à celui des six rois avec +qui nous avons eu l’honneur de souper. — Les grandeurs, dit \bname{Pangloss}, +sont fort dangereuses, selon le rapport de tous les philosophes; car +enfin Églon, roi des Moabites, fut assassiné par Aod; \bname{Absalon} fut pendu +par les cheveux et percé de trois dards; le roi \bname{Nadab}, fils de +\bname{Jéroboam}, fut tué par \bname{Baasa}; le roi Éla, par \bname{Zambri}; \bname{Ochosias}, par +\bname{Jéhu}; \bname{Athalie}, par \bname{Joïada}; les rois \bname{Joachim}, \bname{Jéchonias}, \bname{Sédécias}, +furent esclaves. Vous savez comment périrent \bname{Crésus}, \bname{Astyage}, \bname{Darius}, +\bname{Denys} de \bname{Syracuse}, \bname{Pyrrhus}, \bname{Persée}, \bname{Annibal}, \bname{Jugurtha}, \bname{Arioviste}, +\bname{César}, \bname{Pompée}, \bname{Néron}, \bname{Othon}, \bname{Vitellius}, \bname{Domitien}, \bname{Richard}~II +\bname{d’Angleterre}, \bname{Édouard}~II, \bname{Henri}~VI, \bname{Richard}~III, \mbox{Marie Stuart}, Charles~I\up{er}, les trois \bname{Henri} de France, l’empereur \bname{Henri}~IV? Vous savez… — Je +sais aussi, dit \bname{Candide}, qu’il faut cultiver notre jardin. — Vous avez +raison, dit \bname{Pangloss}; car, quand l’homme fut mis dans le jardin d’Éden, +il y fut mis \emph{ut operaretur eum}, pour qu’il travaillât; ce qui prouve +que l’homme n’est pas né pour le repos. — Travaillons sans raisonner, dit +\bname{Martin}, c’est le seul moyen de rendre la vie supportable. + +Toute la petite société entra dans ce louable dessein; chacun se mit à +exercer ses talents. La petite terre rapporta beaucoup. \bname{Cunégonde} +était, à la vérité, bien laide; mais elle devint une excellente +pâtissière; \bname{Paquette} broda; la vieille eut soin du linge. Il n’y eut +pas jusqu’à frère Giroflée qui ne rendît service; il fut un très bon +menuisier, et même devint honnête homme: et \bname{Pangloss} disait quelquefois +à \bname{Candide}: «Tous les événements sont enchaînés dans le meilleur des +mondes possibles; car enfin si vous n’aviez pas été chassé d’un beau +château à grands coups de pied dans le derrière pour l’amour de +M\up{lle}~\bname{Cunégonde}, si vous n’aviez pas été mis à l’inquisition, si +vous n’aviez pas couru l’Amérique à pied, si vous n’aviez pas donné un +bon coup d’épée au baron, si vous n’aviez pas perdu tous vos moutons du +bon pays d’Eldorado, vous ne mangeriez pas ici des cédrats confits et +des pistaches. — Cela est bien dit, répondit \bname{Candide}, mais il faut +cultiver notre jardin.» + + +\endinput + + + diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/book-mathematics.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/book-mathematics.tex new file mode 100644 index 00000000000..cbcebe1ae45 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/book-mathematics.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +\documentclass[french,PubliClass=book,ColorTheme=Steel,FontSize=11pt, +StylisticSet={parallelslant,leqslant}]{tango} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{calc,through,arrows} +\tgosmartlists +\AtBeginDocument{% +\RenewCommandCopy{\setminus}{\smallsetminus} +} +\NewDocumentCommand\N{}{\ensuremath{\symbb{N}}} +\NewDocumentCommand\Z{}{\ensuremath{\symbb{Z}}} +\NewDocumentCommand\Q{}{\ensuremath{\symbb{Q}}} +\NewDocumentCommand\R{}{\ensuremath{\symbb{R}}} +\NewDocumentCommand\C{}{\ensuremath{\symbb{C}}} +\NewDocumentCommand\Pt{m}{\ensuremath{\symfrak{P}(#1)}} +\NewDocumentCommand\rond{}{\mathrel{\circ}} +\NewDocumentCommand\mesalg{m}{\overline{#1}} +\NewDocumentCommand\Vector{m}{\overrightarrow{#1}} +\DeclareMathOperator{\cl}{cl} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\newcounter{prop} +\newstatement{prop}{prop}{Propriété} +\newfixedcaption{\figcaption}{figure} +%% +\includeonly{rel-bin,recurrence,polynome-deg2,euler,puissance-cercle} +%\includeonly{polynome-deg2} +%% +%\tangoSmartLists +\begin{document} +\frontmatter +\tableofcontents +\mainmatter +%\tgosetup{ColorTheme=Framboise} +\part{Algèbre} +\include{rel-bin} +\include{recurrence} +\include{polynome-deg2} +%\tgosetup{ColorTheme=Sapin} +\part{Géométrie} +\include{euler} +\include{puissance-cercle} +\backmatter +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/candide.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/candide.tex new file mode 100644 index 00000000000..bd3432e7bf5 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/candide.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +% +\documentclass[french,Output=SmallTablet,PubliClass=book,twoside,Numbers=OldStyle,FontSize=9pt]{tango} + +\geometry{paperheight=18.5cm,paperwidth=11.2cm,heightrounded,top=1.2cm,bottom=2.8cm,headheight=14pt,headsep=12pt,footskip=13pt,inner=1.2cm,outer=2cm,} +% +\titleformat{\chapter}[display]{\filcenter\large\itshape\addfontfeature{RawFeature={-onum}}} +{\normalfont\Large\scshape\addfontfeature{RawFeature={+c2sc}} \chaptername\space\thechapter}{1em}{} +\titleformat{name=\chapter,numberless}[display]{\filcenter\large\itshape\addfontfeature{RawFeature={-onum}}} +{}{0em}{}% +\titlespacing{\chapter}{0pt}{20pt plus 8pt}{20pt plus 8pt}% +% +\newpagestyle{candide}{% + \sethead + [\addfontfeature{RawFeature=+onum}\thepage] +[\addfontfeature{RawFeature=+c2sc}\MakeUppercase\chaptertitlename\space\thechapter][] % even + {}{\addfontfeature{RawFeature=+c2sc}\MakeUppercase\chaptertitle} + {\addfontfeature{RawFeature=+onum}\thepage} % odd + } + \newpagestyle{candidetoc}{% + \sethead + [\addfontfeature{RawFeature=+onum}\thepage] +[\addfontfeature{RawFeature=+c2sc}\MakeUppercase\frenchcontentsname][] % even + {}{\addfontfeature{RawFeature=+c2sc}\MakeUppercase\frenchcontentsname} + {\addfontfeature{RawFeature=+onum}\thepage} % odd + } + + \renewcommand\thechapter{\Roman{chapter}} + \titlecontents{chapter} + [3.5em] % ie, 1.5em (chapter) + 2.3em + {\normalfont} + {\contentslabel{3.5em}} + {\hspace*{-1.5em}} + {\titlerule*[1pc]{.}\contentspage} + + %%%%%%%%%%%% +\pagestyle{candide} +% + +\usepackage{lettrine} + + +\includeonly{Ch-1-15, Ch-16-30} + +\hypersetup{pdfpagelayout=TwoPageRight} + +\begin{document} + + + +\include{Ch-1-15} +\include{Ch-16-30} +\backmatter +\pagestyle{candidetoc} +\tableofcontents + +\end{document} + + + + diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/euler.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/euler.tex new file mode 100644 index 00000000000..4d3ea545715 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/euler.tex @@ -0,0 +1,512 @@ + +\tgotitle{Droite et cercle d'Euler} +\tgoshorttoc +\section{Cercle circonscrit à un triangle} +\subsection{Un résultat préliminaire} +On sait depuis le collège que la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Nous précisons ce résultat à l'aide d'un théorème qui nous sera utile par la suite (voir figure \ref{figmilieux}). + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=right:$C$](C) at (4,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!38:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!105:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B); +\draw (A)--(C); +\coordinate [label=right:$B'$] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$C'$] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\draw[>=stealth,->,semithick](B)--(C); +\draw[>=stealth,->,semithick](C')--(B'); +\foreach \point in {A,B,C,C',B'} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figmilieux} +\end{figure} + +\begin{thm} +Soit un triangle $ABC$ et soit $B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$. Alors +les droites $(BC)$ et $(C'B')$ sont parallèles et $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{C'B'}$. +\label{thmilieux} +\end{thm} + +\begin{proof} +La relation de Chasles permet d'écrire +\begin{align*} +\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC},\\ +\intertext{puis, en utilisant une caractérisation vectorielle du milieu,} +\overrightarrow{BC}&=2\overrightarrow{C'A}+2\overrightarrow{AB'},\\ +\overrightarrow{BC}&=2\left(\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{AB'}\right),\\ +\overrightarrow{BC}&=2\overrightarrow{C'B'}.\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + +\subsection{Médiatrices des côtés d'un triangle} +%%%%% Version 1 + La médiatrice d'un segment est par définition la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Nous admettrons que la médiatrice d'un segment est aussi l'ensemble des points qui sont équidistants des extrémités de ce segment (voir figure \ref{figcerccir}). Nous formulons alors le théorème suivant : +%%%%%% +%%%%%% +%%%%%% +%%%%% Version 2 +%La médiatrice d'un segment est par définition l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Il est clair que le milieu du segment appartient à la médiatrice. On a même : +% % +%\begin{thm} +%La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. +%\end{thm}\label{caracmed} +% +%\begin{proof} +%Soit un segment $[AB]$ et $I$ son milieu. Notons $\symcal{E}$ la médiatrice de $[AB]$ et $\symcal{D}$ la droite perpendiculaire à $[AB]$ en $I$. Montrons que $\symcal{E}=\symcal{D}$ par double inclusion. +%Soit un point $M$ appartenant à la médiatrice $\symcal{E}$ de $[AB]$. On a $IA=IB$ et $MA=MB$ par définition de la médiatrice. Les triangles $MIA$ et $MIB$ sont donc superposables. Si $\alpha$ et $\beta$ sont les mesures respectives de $\widehat{MIA}$ et $\widehat{MIB}$, on en déduit que $\alpha=\beta$. L'angle $\widehat{AIB}$ et plat de mesure $\alpha+\beta$ : +%\[\left.\begin{aligned} \alpha=\beta&\\\alpha+\beta=180\degre\end{aligned}\right\}\implies \alpha=\beta=90\degre.\] +%Le point $M$ appartient donc à la droite $\symcal{D}$ : $\symcal{E}\subset\symcal{D}$. +% +%Réciproquement, supposons que $M\in\symcal{D}$. Considérons la réflexion $s$ d'axe $\symcal{D}$ : on a $s(A)=B$ et $s(M)=M$ (car l'ensemble des points invariants de $s$ est la droite $\symcal{D}$). Par conservation des distances, on a $MA=s(M)s(A)=MB$. Donc $M$ appartient à $\symcal{E}$ : $\symcal{E}\subset\symcal{D}$. +% +%On a donc bien $\symcal{E}=\symcal{D}$. +%\end{proof} +% +% + +\begin{thm} +Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets et centre de l'unique cercle passant par ces derniers. +\end{thm} + +\vspace{1ex} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=right:$C$](C) at (4,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!38:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!105:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:$B'$] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$C'$] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate [label=above:$O${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}](O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\draw(C')--(O); +\draw (B')--(O); +\draw[dotted,semithick](A')--(O); +\node [draw] at (O) [circle through={(C)}] {}; +\draw[gray](O)--(A); +\draw[gray](O)--(B); +\draw[gray](O)--(C); +\foreach \point in {A,B,C,C',A',B',O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figcerccir} +\end{figure} + + + +\begin{proof} +Reprenons la figure \ref{figmilieux} et nommons $A'$ le milieu de $[BC]$. Les médatrices des côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont sécantes en un point $O$. (On rappelle qu'un triangle est la donnée de trois points non alignés, autrement dit, un triangle aplati ne peut être considéré comme un triangle : cela assure que les deux médiatrices sont bien sécantes.) Le point $O$ se trouve à la fois sur la médiatrice de $[AB]$ et sur la médiatrice de $[AC]$ : il est donc à la fois équidistant de $A$ et $B$ ($OA=OB$) et équidistant de $A$ et $C$ ($OA=OC$). On a donc finalement $OB=OC$, ce qui assure que la médiatrice de $[BC]$ passe par $O$. Les trois médiatrices sont donc concourantes en $O$, point équidistant des trois sommets du triangle et par conséquent centre d'un cercle passant par ces sommets. Pour établir l'unicité d'un tel cercle, il suffit de remarquer que le centre d'un cercle passant par les sommets est nécessairement équidistant des sommets donc point de concours des médiatrices. +\end{proof} + +Le cercle en question est le \emph{cercle circonscrit} au triangle. + +\subsection{Un cas particulier} +Le cas du cercle circonscrit au triangle rectangle est bien connu (voir figure \ref{figtrec}). + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=right:$C$](C) at (4,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!30:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!120:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$B'${\rule{1.3mm}{0mm}}] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:{\rule{1.3mm}{0mm}}$C'$] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate(O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\draw(C')--(O); +\draw (B')--(O); +\draw[dotted,semithick](A')--(O); +\node [draw] at (O) [circle through={(C)}] {}; +\draw[gray](O)--(A); +\draw[gray](O)--(B); +\draw[gray](O)--(C); +\foreach \point in {A,B,C,C',A',B',O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figtrec} +\end{figure} + + +\begin{thm} +Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse qui est donc un diamètre du cercle. Réciproquement si le cercle circonscrit à un triangle admet l'un des côtés comme diamètre, alors ce triangle est rectangle et admet le côté en question pour hypoténuse. +\label{diamtrrec} +\end{thm} + +\begin{proof} +Supposons le triangle $ABC$ rectangle en $A$. La droite $(AB)$ est alors perpendiculaire à la droite $(AC)$. +D'après le théorème \ref{thmilieux} on sait que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{B'A'}$ et en particulier que les droites $(AB)$ et $(B'A')$ sont parallèles. On en déduit que les droites $(B'A')$ et $(AC)$ sont perpendiculaires: +\[\left.\begin{aligned} &(AB)\parallel(A'B')\\ +\text{et}&\\ +&(AB)\perp(AC)\end{aligned}\right\}\implies (A'B')\perp(AC). +\] + +La droite $(B'A')$, perpendiculaire au segment $[AC]$ en son milieu, en est la médiatrice. De même, $(C'A')$ est la médiatrice du segment $[AB]$. Le point $A'$, milieu de $[BC]$, est commun à ces deux médiatrices : il est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. + + + +Réciproquement, supposons que le milieu $A'$ de $[BC]$ soit le centre du cercle circonscrit. Ce point est alors équidistant de $A$ et $C$, donc est un point de la médiatrice du segment $[AC]$; il en est de même pour $B'$, milieu de ce segment. La droite $(A'B')$ est donc la médiatrice du segment $[AC]$ et lui est perpendiculaire. Cette droite est aussi parallèle à $(AB)$, en vertu du théorème \ref{thmilieux}. De la même façon que précédemment, on en déduit que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$. +\end{proof} + +\begin{remark} La situation représentée sur la figure \ref{figcerccir} est celle d'un triangle acutangle. On comprend assez rapidement (mais ceci ne constitue pas une démonstration) que le centre du cercle circonscrit est intérieur au triangle si les trois angles sont aigus et extérieur dans le cas où l'un des angles est obtus (voir figure \ref{figtrobtu}). Le cas du triangle rectangle constitue en quelque sorte une situation limite… +\end{remark} + + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=right:$C$](C) at (4,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!25:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!140:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=above:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$B'${\rule{1.3mm}{0mm}}] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:{\rule{1.3mm}{0mm}}$C'$] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate [label=below:$O${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}](O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\draw(C')--(O); +\draw (B')--(O); +\draw[dotted,semithick](A')--(O); +\node [draw] at (O) [circle through={(C)}] {}; +\draw[gray](O)--(A); +\draw[gray](O)--(B); +\draw[gray](O)--(C); +\foreach \point in {A,B,C,C',A',B',O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figtrobtu} +\end{figure} + + + +\section{Centre de gravité d'un triangle} +Il est connu que les médianes d'un triangle sont concourantes en un point situé aux deux tiers de chacune d'elles à partir du sommet. C'est à cette propriété que nous allons maintenant nous intéresser, sous un angle vectoriel (voir figure \ref{figmedianes}). + + +\begin{thm}\label{thgravit}% +Soit un triangle $ABC$ et soit $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$. +Les médianes de ce triangle sont concourantes en un point $G$, nommé centre de gravité du triangle et qui est l'unique point du plan à vérifier les relations vectorielles suivantes : +\begin{gather} +\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\,,\label{eqisobar}\\ +\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AA'}\,,\quad\overrightarrow{BG}=\frac23\overrightarrow{BB'}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{CG}=\frac23\overrightarrow{CC'}\,.\label{eqGmediane} +\end{gather}% +\end{thm} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=below:$C$](C) at (4,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!36:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!107:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:$B'$](B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate[label=left:$C'$](C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate (O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\coordinate[label=above:$G${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}] (G) at ($(A')!0.333!(A)$); +\coordinate (H) at ($(O)!3!(G)$); +\draw (A)--(A'); +\draw[dotted,semithick] (B)--(B'); +\draw[dotted,semithick] (C)--(C'); +\foreach \point in {A,B,C,A',G,C',B'} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figmedianes} +\end{figure} + + + +\begin{proof} +Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur +\[ +\overrightarrow{v(M)}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}. +\] + + Nous nous proposons de prouver qu'il existe un point $M$ et un seul pour lequel ce vecteur est nul : cet unique point $M$ sera le point $G$ que nous cherchons. À cet effet nous allons transformer le vecteur $\overrightarrow{v(M)}$, en faisant notamment intervenir un des milieux, ici $A'$, grâce à la relation de Chasles. Nous rappelons que ce milieu est caractérisé par $\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\vec{0}$. +%\DinoXiPhoneCommand{% +\begin{align*} +\overrightarrow{v(M)}&= +(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'A})+ +(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'B})+ +(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'C}),\\ +&= +3\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'A}+\underbrace{\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}}_{\vec{0}}. +\end{align*} + +Nous transformons alors le vecteur $\overrightarrow{MA'}$ en faisant intervenir le point $A$ grâce à la relation de Chasles : +\begin{align*} +\overrightarrow{v(M)}&=3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA'})+\overrightarrow{A'A},\\ +\intertext{puis, en développant et en remarquant que $\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{AA'}$,} +\overrightarrow{v(M)}&=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AA'}. +\end{align*}%} +%\DinoiPhoneCommand{% +%\begin{multline*} +%\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= +%(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'A})\\ +%+(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'B})+ +%(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'C}),\end{multline*} +%soit +%\begin{align*} +%\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&= +%3\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'A}+\underbrace{\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}}_{\vec{0}},\\ +%&=3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'A},\\ +%&=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AA'}. +%\end{align*}} +En tenant compte de $\overrightarrow{v(M)}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$, + \begin{align}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0} + &\iff 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AA'}=\vec{0},\notag\\ + &\iff 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AA'},\notag\\ + &\iff\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AA'}.\label{caraccg}\end{align} + +La relation \eqref{caraccg} définit l'unique point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Ce point est par définition le centre de gravité du triangle $ABC$ et on le note traditionnellement $G$. Le calcul vectoriel ci-dessus aurait tout aussi bien pu être mené en utilisant $B'$ ou $C'$ plutôt que $A'$. On en déduit les trois relations annoncées en \eqref{eqGmediane}. +\end{proof} + +\section{Orthocentre et droite d'Euler} +\subsection{Orthocentre d'un triangle} +\begin{thm} +Les hauteurs issues des trois sommets de tout triangle sont concourantes en un point $H$ nommé orthocentre de ce triangle. +\end{thm} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=below:$C$](C) at (5,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!36:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!107:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate [label=above:$O$](O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\coordinate[label=above:$G${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}] (G) at ($(A')!0.333!(A)$); +\coordinate[label=below:$H$] (H) at ($(O)!3!(G)$); +\draw (A')--(O)--(H)--(A); +\draw (A)--(A'); +\foreach \point in {A,B,C,A',O,G,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figeuler} +\end{figure} + + +\begin{proof} +Nous en restons aux notations utilisées précédemment. +Si le triangle $ABC$ est équilatéral, la hauteur, la médiane et la médiatrice relatives à chaque côté sont confondues, les points $O$, centre du cercle circonscrit, et $G$, centre de gravité de $ABC$ le sont également. Ce point unique est évidemment aussi point de concours des hauteurs. Nous supposerons désormais que le triangle $ABC$ n'est pas équilatéral. + +La démonstration repose alors sur la remarque qui suit. +\begin{remark}[Remarque préliminaire] +La hauteur issue de $A$ et la médiatrice de $[BC]$ sont deux droites parallèles, car perpendiculaires à une même troisième. +L'observation de la figure \ref{figeuler} nous incite alors à prolonger la droite $(OG)$ et à fabriquer ainsi une configuration de Thales. Comme nous savons, de par la position de $G$ aux deux tiers de la médiane $[AA']$, que $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA'}$ nous allons introduire un point $H$ défini par $\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}$ pour ensuite ensuite établir (en exploitant de façon vectorielle notre configuration de Thales) que les vecteurs $ \overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{OA'}$ sont colinéaires, ce qui établira, sauf cas particulier, que la médiatrice $(OA')$ et la droite $(AH)$ sont parallèles donc que $(AH)$ est la hauteur issue de $A$. +\end{remark} + +Soit donc le point $H$ défini par $\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}$. +De l'égalité \eqref{eqGmediane}, nous déduisons que $3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AA'}$, puis que $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GA'}$. Par conséquent : +\[\begin{split} \overrightarrow{AH}&=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH},\\ +&=2\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{OG},\\ +&=2(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA'}),\\ +&=2\overrightarrow{OA'}. +\end{split} +\] +Les vecteurs $\overrightarrow{OA'}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont donc colinéaires. + +\begin{alert} +Si le triangle $ABC$ est rectangle, les points $O$ et $A'$ (et par conséquent les points $A$ et $H$) sont confondus. On ne peut parler des droites $(OA')$ et $(AH)$ : ce cas sera examiné plus tard. +\end{alert} +Supposons provisoirement que le triangle $ABC$ \emph{n'est pas} rectangle : le point $O$, centre du cercle circonscrit n'est pas confondu avec $A'$ (cf. théorème \ref{diamtrrec}) ou encore $\overrightarrow{OA'}\neq\vec{0}$. On peut dire alors que la droite $(AH)$ est parallèle à la droite $(OA')$, elle même perpendiculaire au côté $[BC]$, en tant que médiatrice. La droite $(AH)$ est donc perpendiculaire à $[BC]$ : c'est la hauteur issue de $A$. + + +Le raisonnement qui vient d'être fait tient toujours si l'on remplace les points $A$ et $A'$ par $B$ et $B'$ ou par $C$ et $C'$. Le point $H$ quant à lui est fixe (il ne dépend que de $O$ et $G$) : il appartient donc à chacune des trois hauteurs. On a donc démontré que les trois hauteurs sont concourantes en $H$ : ce point $H$ est \emph{l'orthocentre} du triangle $ABC$. +\begin{alert} +Si maintenant le triangle est rectangle, par exemple en $A$ : les hauteurs issues de $B$ et $C$ sont respectivement $(BA)$ et $(CA)$ : les hauteurs sont concourantes en $A$. L'orthocentre $H$ est alors confondu avec $A$ de même que le centre du cercle circonscrit $O$ est confondu avec $A'$. La relation $\overrightarrow{GH} = -2\overrightarrow{GO}$ est toujours vérifiée.\qedhere +\end{alert} +\end{proof} +\subsection{Droite d'Euler} + + + +Nous avons en fait montré un peu plus que ce que nous avions annoncé. +La relation vectorielle liant $O$, $G$ et $H$ montre que si le triangle $ABC$ n'est pas équilatéral ces trois points sont alignés. La droite support est la \emph{droite d'Euler}. Résumons-nous maintenant : +\begin{thm} +Le centre $O$ du cercle circonscrit, le centre de gravité $G$ et l'orthocentre $H$ d'un triangle $ABC$ vérifient la relation vectorielle +\begin{equation}\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}\,.\label{eulerposition}\end{equation} +Ces trois points sont confondus si $ABC$ est équilatéral. Dans le cas contraire, ils sont alignés sur une droite nommée droite d'Euler. +\label{eulerprecis} +\end{thm} + +\section{Cercle d'Euler} +\subsection{Neuf points remarquables} +Le cercle d'Euler est également connu comme cercle des neuf points ou encore cercle de Feuerbach (voir figure \ref{figcercleuler}). + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=below:$C$](C) at (5,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!61:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!130:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:$B'${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$C'$] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate(O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\coordinate (G) at ($(A')!0.333!(A)$); +\coordinate[label=below:$H$] (H) at ($(O)!3!(G)$); +\draw[dashed] (A)--(H); +\draw[dashed] (B)--(H); +\draw[dashed] (C)--(H); +\coordinate[label=below:$D$](D) at at (intersection of A--H and B--C); +\coordinate[label=right:$E${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}](E) at at (intersection of B--H and A--C); +\coordinate[label=left:$F$](F) at at (intersection of C--H and B--A); +\coordinate [label=left:$A''$] (A'') at ($(A)!0.5!(H)$); +\coordinate [label=below:$B''$] (B'') at ($(B)!0.5!(H)$); +\coordinate [label=below:$C''$] (C'') at ($(C)!0.5!(H)$); +\draw (A')--(C')--(A'')--(C'')--cycle ; +\draw (B')--(C')--(B'')--(C'')--cycle ; +\coordinate (O') at ($(O)!1.5!(G)$); +\node [draw,dotted,semithick] at (O') [circle through={(A')}] {\rule{2.2cm}{0mm}$\symcal{C}$}; +\foreach \point in {A,B,C,B',C',A',H,D,E,F,A'',B'',C''} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figcercleuler} +\end{figure} + + +\begin{thm} +Pour tout triangle, les pieds des hauteurs, les milieux des côtés et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets sont situés sur un même cercle. +\end{thm} +\begin{remark} +Suivant les configurations, certains de ces points peuvent être confondus. +\end{remark} +\begin{proof} Soit un triangle $ABC$ d'orthocentre $H$, $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$, $D$, $E$ et $F$ les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$, $B$ et $C$ et $A''$, $B''$ et $C''$ les milieux respectifs des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$. + +En vertu du théorème \ref{thmilieux}, appliqué successivement aux triangles $ABC$ et $HBC$ +\XSmartphoneCommand{% +\begin{equation} +\left.\begin{aligned} +\overrightarrow{C'B'}=\frac12\overrightarrow{BC}&\\ +\overrightarrow{B''C''}=\frac12\overrightarrow{BC}& +\end{aligned}\right\}\implies \overrightarrow{C'B'}=\overrightarrow{B''C''}\text{ et }(C'B')\parallel(B''C'')\parallel(BC).\label{parallelBC} +\end{equation}} +\SmartphoneCommand{ +\begin{equation} +\left.\begin{aligned} +\overrightarrow{C'B'}=\frac12\overrightarrow{BC}&\\ +\overrightarrow{B''C''}=\frac12\overrightarrow{BC}& +\end{aligned}\right\}\implies \left\{\begin{aligned}&\overrightarrow{C'B'}=\overrightarrow{B''C''}\\ \text{et}&\\(&C'B')\parallel(B''C'')\parallel(BC).\end{aligned}\right.\label{parallelBC} +\end{equation}} + +De même, en appliquant ce même théorème aux triangles $BAH$ et $CAH$ +\XSmartphoneCommand{% +\begin{equation} +\left.\begin{aligned} +\overrightarrow{C'B''}=\frac12\overrightarrow{AH}&\\ +\overrightarrow{B'C''}=\frac12\overrightarrow{AH}& +\end{aligned}\right\}\implies \overrightarrow{C'B''}=\overrightarrow{B'C''}\text{ et }(C'B'')\parallel(B'C'')\parallel(AH).\label{parallelAH} +\end{equation}} +\SmartphoneCommand{% +\begin{equation} +\left.\begin{aligned} +\overrightarrow{C'B''}=\frac12\overrightarrow{AH}&\\ +\overrightarrow{B'C''}=\frac12\overrightarrow{AH}& +\end{aligned}\right\}\implies\left\{\begin{aligned}&\overrightarrow{C'B''}=\overrightarrow{B'C''}\\ \text{et}&\\(&C'B'')\parallel(B'C'')\parallel(AH).\end{aligned}\right.\label{parallelAH} +\end{equation}} + +À ce stade nous avons établi que $B'C'B''C''$ est un parallélogramme. Nous savons également que $(AH)$, en tant que hauteur du triangle, est perpendiculaire à $(BC)$. Grâce à cette remarque et aux relations de parallélisme avec $(BC)$ et $(AH)$ établies ci-dessus dans les implications \eqref{parallelBC} et \eqref{parallelAH}, nous pouvons affirmer que $B'C'B''C''$ est un rectangle. Ce rectangle est inscriptible dans le cercle admettant $[B'B'']$ et $[C'C'']$ pour diamètres. + +On montre de la même façon que $A'C'A''C''$ est un rectangle inscriptible dans le même cercle de diamètres $[C'C'']$ et $[A'A'']$. Les six points $A'$, $A''$, $B'$, $B''$, $C'$ et $C''$ appartiennent donc au cercle $\symcal{C}$ de diamètre, par exemple, $[A'A'']$. + +Considérons alors le point $D$ : si le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, il est confondu avec $A'$ et appartient donc au cercle $\symcal{C}$. Sinon $D$ et $A'$ sont distincts et le triangle $ADA'$ est rectangle en $D$ : d'après le théorème \ref{diamtrrec}, $D$ appartient au cercle $\symcal{C}$ de diamètre $[AA']$. On montre de la même façon que les points $E$ et $F$ appartiennent à $\symcal{C}$. +\end{proof} +\begin{remark} Le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle des milieux $A'B'C'$. +\end{remark} +% +\subsection{Centre du cercle d'Euler} +Nous allons préciser la remarque précédente (voir figure \ref{centreeuler}). +\begin{thm} +Soit un triangle $ABC$ et soit $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. +Soit $O$ le centre du cercle circonscrit à $ABC$, $G$ son centre de gravité et $H$ son orthocentre : +\begin{itemize} +\item le point $O$ est l'orthocentre du triangle $A'B'C'$ ; +\item le point $G$ est le centre de gravité du triangle $A'B'C'$ ; +\item le centre $O'$ du cercle circonscrit au triangle $A'B'C'$ appartient à la droite d'Euler et vérifie la relation vectorielle +\[\overrightarrow{GO'}=-\frac12\overrightarrow{GO}.\] +\end{itemize} +\end{thm} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$B$](B) at (0,0); +\coordinate[label=below:$C$](C) at (5,0); +\coordinate (T) at ($(B)!1!32:(C)$); +\coordinate (S) at ($(C)!1!100:(B)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at at (intersection of C--S and B--T); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle; +\coordinate [label=below:$A'$] (A') at ($(B)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=right:$B'${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}] (B') at ($(A)!0.5!(C)$); +\coordinate [label=left:$C'${\rule[-1mm]{0mm}{1mm}}] (C') at ($(A)!0.5!(B)$); +\coordinate (X) at ($(C')!1!90:(B)$); +\coordinate (Y) at ($(B')!1!90:(C)$); +\coordinate[label=above:$O$] (O) at (intersection of C'--X and B'--Y); +\coordinate [label=above:$G$] (G) at ($(A')!0.333!(A)$); +\coordinate[label=below:$H$] (H) at ($(O)!3!(G)$); +\draw (A)--(B)--(C)--cycle ; +\coordinate[label=above:$O'$] (O') at ($(O)!1.5!(G)$); +\draw [dotted,semithick](A')--(B')--(C')--cycle; +\draw (O)--(H); +\foreach \point in {A,B,C,B',C',A',O,O',G,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{centreeuler} +\end{figure} + + +%%\DinoiPadAirCommand{\pagebreak} + +\begin{proof} +\begin{itemize} +\item La droite $(A'O)$, médiatrice de $[BC]$, est perpendiculaire à la droite $(BC)$, donc également à la droite $(C'B')$ parallèle à $(BC)$ d'après le théorème \ref{thmilieux}. Dans le triangle $A'B'C'$, le point $O$ appartient donc à la hauteur issue de $A'$. On montre de la même façon que $O$ appartient à la hauteur issue de $B'$. Le point $O$ est donc l'orthocentre de $A'B'C'$. +\item Grâce à la relation \eqref{eqGmediane} du théorème \ref{thgravit}, on obtient +\[\overrightarrow{GA'}=-\frac12\overrightarrow{GA},\quad \overrightarrow{GB'}=-\frac12\overrightarrow{GC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{GC'}=-\frac12\overrightarrow{GC}.\] +On en déduit +\begin{align*} +\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}&=-\frac12\Bigl(\,\underbrace{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}_{\vec{0}}\,\Bigr),\\ +\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}&=\vec{0}, +\end{align*} +qui prouve que $G$ est le centre de gravité de $A'B'C'$. +\item Si l'on applique la relation \eqref{eulerposition} du théorème \ref{eulerprecis} au triangle $A'B'C'$, on obtient $\overrightarrow{GO}=-2\overrightarrow{GO'}$. On en déduit la relation +\[\overrightarrow{GO'}=-\frac12\overrightarrow{GO}.\qedhere\]\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{remark} +La configuration des points $(O, O', G, H)$ est remarquable. On dit qu'ils sont en \emph{division harmonique} ; cette notion fera l'objet d'une prochaine parution de la \emph{Mathematica dinosaurorum}. +\end{remark} +\endinput diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-euler.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-euler.tex new file mode 100644 index 00000000000..533d96b9047 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-euler.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +\documentclass[french,ColorTheme=Tannen,FontSize=11pt, +StylisticSet={parallelslant,leqslant},Numbers=OldStyle]{tango} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{calc,through,arrows} +\tgosmartlists +\AtBeginDocument{% +\RenewCommandCopy{\setminus}{\smallsetminus} +} +\NewDocumentCommand\N{}{\ensuremath{\symbb{N}}} +\NewDocumentCommand\Z{}{\ensuremath{\symbb{Z}}} +\NewDocumentCommand\Q{}{\ensuremath{\symbb{Q}}} +\NewDocumentCommand\R{}{\ensuremath{\symbb{R}}} +\NewDocumentCommand\C{}{\ensuremath{\symbb{C}}} +\NewDocumentCommand\Pt{m}{\ensuremath{\symfrak{P}(#1)}} +\NewDocumentCommand\rond{}{\mathrel{\circ}} +\NewDocumentCommand\mesalg{m}{\overline{#1}} +\NewDocumentCommand\Vector{m}{\overrightarrow{#1}} +\DeclareMathOperator{\cl}{cl} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\newcounter{prop} +\newstatement{prop}{prop}{Propriété} +\newfixedcaption{\figcaption}{figure} +%% +%\tangoSmartLists +\begin{document} +\include{euler} +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-polynomes-deg2.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-polynomes-deg2.tex new file mode 100644 index 00000000000..3e260be4a98 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/handout-polynomes-deg2.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +\documentclass[french,ColorTheme=BlackAndWhite,FontSize=11pt]{tango} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{calc,through,arrows} +\tgosmartlists +\AtBeginDocument{% +\RenewCommandCopy{\setminus}{\smallsetminus} +} +\NewDocumentCommand\N{}{\ensuremath{\symbb{N}}} +\NewDocumentCommand\Z{}{\ensuremath{\symbb{Z}}} +\NewDocumentCommand\Q{}{\ensuremath{\symbb{Q}}} +\NewDocumentCommand\R{}{\ensuremath{\symbb{R}}} +\NewDocumentCommand\C{}{\ensuremath{\symbb{C}}} +\NewDocumentCommand\Pt{m}{\ensuremath{\symfrak{P}(#1)}} +\NewDocumentCommand\rond{}{\mathrel{\circ}} +\NewDocumentCommand\mesalg{m}{\overline{#1}} +\NewDocumentCommand\Vector{m}{\overrightarrow{#1}} +\DeclareMathOperator{\cl}{cl} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\newcounter{prop} +\newstatement{prop}{prop}{Propriété} +\newfixedcaption{\figcaption}{figure} +%% +\begin{document} +\input{polynome-deg2} +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/polynome-deg2.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/polynome-deg2.tex new file mode 100644 index 00000000000..bf91400a55a --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/polynome-deg2.tex @@ -0,0 +1,557 @@ +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +%\renewcommand*{\DinoThmLogo}{\textcolor{ColorOne}{\oldpilcrowfour}\ignorespaces} +%\renewcommand*{\DinoThmLogo}{\hspace*{\DinoTitleIndent-3pt}\ignorespaces} + +%\textcolor{ColorOne}{\oldpilcrowfour}\ignorespaces + +%%%%%% quelques figures, le début arrive ensuite +\newcommand{\paraone}{ +\begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-3.5) rectangle (3.5,3); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-2.5) grid (3.5,3); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=15mm,left=4mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-2.5) -- (-1.9,3) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5,label=left:$\symcal{C}_P$] plot (\x,{0.5(\x+1)*(\x-2)}); + \draw [fill=white] (-1,0) circle (1.2pt) node[below=2mm,left] {$\beta$}; +\draw [fill=white] (2,0) circle (1.2pt) node[below=2mm,right] {$\alpha$}; +\node[below] at (.75,-2.5){$\Delta>0\;\text{ et }\; a>0$}; + \end{tikzpicture} +} +\newcommand{\paratwo}{ + \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-4) rectangle (3.5,2.5); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-3) grid (3.5,2.5); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=12mm,left=8mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-3) -- (-1.9,2.5) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5,label=left:$\symcal{C}_P$] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)}); + \draw [fill=white] (-1,0) circle (1.2pt) node[above=2mm,left] {$\alpha$}; +\draw [fill=white] (2,0) circle (1.2pt) node[above=2mm,right] {$\beta$}; +\draw[fill=white,white] (-2,-4) rectangle (3.5,-3); +\node[below] at (.75,-3){$\Delta>0\;\text{ et }\; a<0$}; + \end{tikzpicture} +} + +\newcommand{\parathree}{ +\begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-1.5) rectangle (3.5,5); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-.5) grid (3.5,5); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-.5) -- (-1.9,5) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)+2.25}); + \draw [fill=white] (0.5,0) circle (1.2pt) node[above=1mm] {$\frac{-b}{2a}$}; +\node[below] at (.75,-0.5){$\Delta=0\;\text{ et }\; a>0$}; + \end{tikzpicture} +} + +\newcommand{\parafour}{ +\begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-6) rectangle (3.5,0.5); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-5) grid (3.5,.5); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[below=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-5) -- (-1.9,.5) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)-2.25}); + \draw [fill=white] (0.5,0) circle (1.2pt) node[below=1mm] {$\frac{-b}{2a}$}; +\draw[fill=white,white] (-2,-6) rectangle (3.5,-5); +\node[below] at (.75,-5){$\Delta=0\;\text{ et }\; a<0$}; + \end{tikzpicture} +} + +\newcommand{\parafive}{ +\begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-1.5) rectangle (3.5,5); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-.5) grid (3.5,5); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-.5) -- (-1.9,5) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)+2.75}); +\node[below] at (.75,-.5){$\Delta<0\;\text{ et }\; a>0$}; + \end{tikzpicture} +} + +\newcommand{\parasix}{ + \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] + \clip (-2,-6) rectangle (3.5,0.5); + \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-5) grid (3.5,.5); + \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[below=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; + \draw[->] (-1.9,-5) -- (-1.9,.5) node[above] {}; + \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)-2.75}); +\draw[fill=white,white] (-2,-6) rectangle (3.5,-5); +\node[below] at (.75,-5){$\Delta<0\;\text{ et }\; a<0$}; + \end{tikzpicture} +} +%%%% +\tgotitle{Polynômes du second degré} +\tgoshorttoc +\section{Généralités} +\subsection{Fonction polynôme du second degré} +On dit qu'une fonction $P$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et à valeurs dans $\R$, est une fonction polynôme du second degré s'il existe un réel $a$ non nul ainsi que deux réels $b$ et $c$ tels que +\[\forall x\in\R,\; P(x)=ax^2+bx+c.\] +On convient alors de dire que $ax^2+bx+c$ est un polynôme du second degré. + +\begin{remark} +Cette définition n'entraîne évidemment pas qu'une fonction polynôme de degré 2 donnée ne puisse pas s'écrire sous une forme différente. Par exemple : +\begin{itemize} +\item Cas de $P : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-3x+2$ : $\forall\,x\in\R$, $P(x)=(x-1)(x-2)$. +\item Cas de $Q : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-1$ : $\forall\,x\in\R$, + \[Q(x)=\frac{x^4-1}{x^2+1}.\] + \item Cas de $R : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-2x+5$ : $\forall\,x\in\R$, $R(x)=\left(\left({x-1}\right)^2\right)+4$. +\end{itemize} +\end{remark} +\subsection{Écriture unique} +Il existe cependant un certaine unicité de l'écriture d'un polynôme de degré~2, qui concerne plus précisément ses \emph{coefficients} $a$, $b$ et $c$. +\begin{thm} +Soit $(a,a')\in\R^*\times\R^*$, $(b,b')\in\R\times\R$ et $(c,c')\in\R\times\R$ tels que +\[\forall x\in\R,\; ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c',\] +alors $a=a'$, $b=b'$ et $c=c'$. +\label{thunicite} +\end{thm} +\begin{proof} +L'égalité entre les deux expressions étant vraie pour tout $x\in\R$, elle l'est en particulier pour $x=0$. On en déduit que $c=c'$ et par conséquent +\begin{align*} +\forall x\in\R,\; ax^2+bx&=a'x^2+b'x,\\ +\forall x\in\R,\; x(ax+b)&=x(a'x+b'),\\ +\intertext{Soit, en simplifiant par $x\neq0$} +\forall x\in\R^*,\;ax+b&=a'x+b'. +\end{align*} + +En donnant alors successivement à $x$ les valeurs $1$ et $2$, on obtient : +\[\left\{\begin{aligned} +(a-a')+(b-b')&=0\\ +2(a-a')+(b-b')&=0 +\end{aligned}\right.\;,\] +dont la résolution amène à $a-a'=0$ et $b-b'=0$, c.-à-d. : $a=a'$ et $b=b'$. +\end{proof} + +\section{Forme canonique} +\subsection{Méthode de complétion au carré}\label{sec2-1} +Fixons nous un réel $m$. On rappelle que, pour tout $x\in\R$, $(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$. Ou encore : +\begin{equation} +\forall x\in\R, \; x^2+2mx=\left(x+m\right)^2-m^2. +\end{equation} + +Dans le cas de $P : \R\rightarrow\R, x\mapsto x^2+2mx+p$, on remarque que l'on peut alors écrire +\begin{equation} +x^2+2mx+p=\left(x+m\right)^2-m^2+p.\label{eqfcreduite} +\end{equation} + +Cette remarque fonde la \emph{méthode de complétion au carré}. + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item \label{explefactor} +On souhaite résoudre l'équation $x^2-6x+7=0$. On remarque que \[x^2-6x+7=(x-3)^2-9+7\] et on se ramène ainsi à +\begin{align*} +(x-3)^2-2&=0,\\ +(x-3)^2-\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2&=0,\\ +\intertext{puis en employant une identité remarquable} +\bigl(x-3+\sqrt{2}\bigr)\bigl(x-3-\sqrt{2}\bigr)&=0. +\end{align*} +D'où l'on déduit que l'ensemble des solutions de $x^2-6x+7=0$ est +\[ +\symcal{S}=\bigl\{3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}\bigr\}. +\] +\item Démontrer que $x^2+x+1$ est strictement positif pour tout $x\in\R$. +On écrit +\begin{align*} +x^2+x+1&=x^2+2\times\frac12x+1,\\ +&=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14+1,\\ +&=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\,. +\end{align*} + +On en déduit que, pour tout $x\in\R$, +\[x^2+x+1≥\frac34\:.\] +On a donc finalement : $\forall x\in\R,\; x^2+x+1>0$. +\end{enumerate} +\end{example} +\subsection{Cas général} +En factorisant $a$ dans $P(x)$, on obtient le théorème suivant : +\begin{thm} +Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On a +\begin{equation} +\forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\vphantom{\frac{b^2}{4a^2}}\right),\label{eqformcan} +\end{equation} +où $\Delta$, que l'on nomme \emph{discriminant} du polynôme $P(x)$, vaut $\Delta=b^2-4ac$. +\label{thformcan} +\end{thm} +\begin{proof} +On commence par factoriser $a$ dans $P(x)$ : +\[P(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right),\] +puis on utilise l'égalité \eqref{eqfcreduite} avec $m=b/(2a)$ et $p=c/a$. On obtient +\[P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right). +\] +%D'où le résultat annoncé. +Une réduction au même dénominateur amène alors au résultat annoncé. +\end{proof} + +\subsubsection{Discriminant réduit} +Dans le cas où $b$ se met agréablement sous la forme $2b'$ (par exemple, lorsque $b$ est un entier pair) on peut remarquer que $b/2a=b'/a$ et que $\Delta=4b'^2-4ac$. + On est alors amené à poser $\Delta'=b'^2-ac$ et l'on obtient +\begin{equation} +\forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b'}{a}\right)^2-\frac{\Delta'}{a^2}\vphantom{\frac{b^2}{4a^2}}\right). +\end{equation} +Le nombre $\Delta'$ est souvent nommé \emph{discriminant réduit} + +\subsubsection{Extrémums} +La forme canonique de la fonction $P$ met en évidence l'existence d'un extrémum dont la nature dépend du signe de $a$. +\begin{thm} +Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. +\XSmartphoneCommand{\vspace{\baselineskip}} + +La fonction $P$ admet en\SmartphoneCommand{\\} $-\dfrac{b}{2a}\left\{\begin{aligned} +\text{un \emph{minimum} égal à $\smash{-\dfrac{\Delta}{4a}}$}\; &\text{si $a>0$,}\\[2.5ex] +\text{un \emph{maximum} égal à $\smash{-\dfrac{\Delta}{4a}}$}\; &\text{si $a<0$.} +\end{aligned}\right.$ +\vspace{1ex}\par +\label{thextrem} +\end{thm} + +\begin{proof} +On voit tout d'abord que +\[\forall x\in\R,\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2≥0, +\] +donc que +\[ +\forall x\in\R,\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}≥-\frac{\Delta}{4a^2}, +\] +l'égalité n'étant atteinte que si le carré est nul, donc si $x=-b/(2a)$. On fait alors apparaître $P(x)$ (compte tenu de l'égalité \eqref{eqformcan} du théorème \ref{thformcan}) en multipliant chaque membre de cette inégalité par $a\neq0$, ce qui change ou non son sens, selon que a est positif ou négatif. Il vient alors : +\begin{itemize} +\item si $a>0$, +\[ +\forall x\in\R,\; P(x)≥-\frac{\Delta}{4a}\;; +\] +\item et si $a<0$, +\[ +\forall x\in\R,\; P(x)≤-\frac{\Delta}{4a}\,. +\] +\end{itemize} +On sait de plus que dans les deux cas, l'égalité est atteinte si et seulement si $x=-b/(2a)$. +\end{proof} + +\section{Factorisation} +\subsection{Théorème de factorisation} +La méthode vue dans l'exemple \ref{explefactor} de la section \ref{sec2-1} se généralise, pourvu que $\Delta$ soit positif. Précisément, on a le théorème +\begin{thm}\label{thfactor}% +Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. Si le discriminant $\Delta$ de $P$ est positif ($\Delta≥0$), alors +\begin{align*} +\forall x \in\R,\;P(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\ +\text{où}\quad\alpha=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{ et }\beta=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. +\end{align*} +\end{thm} +\begin{remark} +Le cas où $\Delta=0$ est particulier, puisque l'on a alors +\[ +\alpha=\beta=\frac{-b}{2a}\quad\text{soit :}\quad\forall x\in\R,\;P(x)=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2. +\] +\end{remark} + +\begin{proof} +On remarque que si $\Delta≥0$, on peut écrire +\[ +\frac{\Delta}{4a^2}=\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2. +\] + +En reportant dans l'égalité \eqref{eqformcan} du théorème \ref{thformcan}, on obtient +\[ +\forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right). +\] + +On obtient alors le résultat annoncé en factorisant la différence de deux carrés grâce à l'identité remarquable $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$. +\end{proof} + +\subsection{Racines} +Soit $P$ une fonction polynôme du second degré. +On dit que $P$ est factorisable par $(x-x_0)$ s'il existe $m\in\R^*$ et $p\in\R$ tels que +\begin{equation}\forall x\in\R,\;P(x)=(x-x_0)(mx+p).\label{eqfactorx0}\end{equation} +On dit qu'un réel $x_0$ est une racine de $P$ si $P(x_0)=0$ : une racine de $P$ n'est donc rien d'autre qu'une solution de l'équation $P(x)=0$. + +Nous pouvons maintenant formuler le théorème qui suit : +\begin{thm} +Soit $P$ une fonction polynôme du second degré et $x_0\in\R$. Le réel $x_0$ est une racine de $P$ si et seulement si $P$ est factorisable par $(x-x_0)$. +\end{thm} + +\begin{proof} +Tout d'abord, si $P$ est factorisable par $x_0$, il suffit de calculer $P(x_0)$ en utilisant l'égalité \eqref{eqfactorx0} pour constater que $P(x_0)=0$, donc que $x_0$ est une racine de $P$. + +Réciproquement supposons que $x_0$ est une racine de $P$, donc que $P(x_0)=0$. Soit alors $a$, $b$ et $c$ les coefficients de $P(x)$ : on a +\[ax_0^2+bx_0+c=P(x_0)=0,\] + d'où $c=-ax_0^2-bx_0$. Et en substituant cette écriture de $c$ dans l'expression de $P(x)$ : +\begin{align*} +P(x)&=ax^2+bx+c\\ +&= ax^2+bx-ax_0^2-bx_0,\\ +&= a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0),\\ +&= a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0),\\ +&=(x-x_0)(ax+ax_0+b). +\end{align*} + +On en arrive à $P(x)=(x-x_0)(mx+p)$, en prenant $m=a$ et $p=ax_0+b$. +\end{proof} + +\subsubsection{Racines et équation du second degré} +Nous faisons ici le point sur les racines de $P$, autrement dit sur la résolution de l'équation +$P(x)=0$. + + +\begin{itemize} +\item \textit{Si $\Delta<0$,} nous reprenons le théorème \ref{thextrem} : dans ce cas, la fonction $P$ possède un minimum strictement positif si $a>0$ ou un maximum strictement négatif si $a<0$. Dans chaque cas, si $\Delta<0$, l'équation $P(x)=0$ ne possède pas de solution, autrement dit $P$ n'admet aucune racine. + +\item \textit{Si maintenant $\Delta=0$,} la remarque qui suit le théorème \ref{thfactor} prouve que l'équation $P(x)=0$ équivaut à +\[ +\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2=0 +\] + et admet $-b/(2a)$ pour seule solution, ou encore que ce nombre est la seule racine de $P$. Dans la mesure où le facteur $x-(-b/(2a))$ intervient par son carré, on parle alors de \emph{racine double}. + + \item \textit{Enfin si $\Delta>0$,} d'après le théorème \ref{thfactor}, $P(x)=0$ équivaut à $(x-\alpha)(x-\beta)=0$. +%\DinoXiPadminiCommand{$(x-\alpha)(x-\beta)=0$.} +%\DinoiPadminiCommand{\[(x-\alpha)(x-\beta)=0.\]} + Cette équation admet donc deux solutions, ou encore $P$ admet deux racines qui sont + \[ + \alpha=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. + \] +\end{itemize} + + +\begin{remark} +Dons le cas où l'on a posé $b=2b'$ et utilisé le discriminant réduit $\Delta'$, il est facile de vérifier que les racines s'expriment comme suit : +\[ +\alpha=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}. +\] +\end{remark} + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Résoudre l'équation $3x^2-5x+1=0$ : calculons $\Delta=25-12=13$. L'équation a deux solutions qui sont les racines de $3x^2-5x+1$ : +\[ +\alpha=\frac{5+\sqrt{13}}{6}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{5-\sqrt{13}}{6}. +\] +L'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\{\alpha,\beta\}$. +\item Factoriser si possible $-2x^2+3x+2$ : on calcule $\Delta=9+16=5^2$. Il existe deux racines qui sont $2$ et $-1/2$ ; d'où +\[ +\forall x\in\R,\;-2x^2+3x+2=-2(x-2)\left(x+\frac12\right). +\] +\item Factoriser si possible $A(x)=2x^2-8$ : utilisons l'identité remarquable +\[ +a^2-b^2=(a+b)(a-b). +\] +\[\forall x\in\R,\;2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2).\] +Dans un cas de ce genre, il est bien sûr inutile de calculer $\Delta$. En revanche, l'existence de deux racines distinctes nous prouve que $\Delta>0$. +\item Résoudre l'équation $3x^2+2=0$. La fonction polynôme $x\mapsto3x^2+2$ admet un minimum strictement positif égal à $2$. Il n'y a aucune solution, l'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\emptyset$. +\item Factoriser $9x^2-6x+1=0$. On pourrait envisager de calculer $\Delta$, mais en observant l'expression, on reconnait un membre d'identité remarquable : +\[\forall x\in\R,\;9x^2-6x+1=(3x-1)^2.\] +\item Résoudre $x^2+2x=0$. La factorisation est immédiate : +\[x^2+2x=0\iff x(x+2)=0\iff x=0\text{ ou }x+2=0.\] +L'ensemble des solutions de cette équation est donc $\symcal{S}=\{0,-2\}$. +\end{enumerate} +\end{example} +% +% + +\subsection{Problème de signe} +Nous rappelons ici que la fonction \emph{signe} est définie sur $\R$ comme suit : +\[\forall x \in \R,\; \sgn(x)=\begin{cases} +-1 &\text{si $x<0$,}\\ +0 &\text{si $x=0$,}\\ +1 &\text{si $x>0$.} +\end{cases} +\] +Cette définition est beaucoup plus pertinente que l'usage des symboles ${+}$ et ${-}$, ne serait-ce que parce qu'elle rend exacte et claire une formulation comme \emph{le signe du produit est le produit des signes}. +\begin{thm} +Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. +\begin{itemize} +\item Si $\Delta<0$, le signe de $P(x)$ est égal à celui de $a$ en tout $x$ réel. +\item Si $\Delta=0$, le signe de $P(x)$ est égal au signe de $a$ en tout $x$ réel différent de $-b/(2a)$ et s'annule en $-b/(2a)$. +\item Si $\Delta>0$, le signe de $P(x)$ est égal au signe de $-a$ en tout $x$ intérieur à l'intervalle des racines, au signe de $a$ en tout $x$ extérieur à l'intervalle des racines et s'annule aux racines. +\end{itemize} +\label{thsgn} +\end{thm} + +Ces résultats s'interprètent sur la représentation graphique $\symcal{C}_P$ de $P$, selon les signes de $\Delta$ et $a$ (voir figure \ref{figracines}). +\afterpage{\clearpage\begin{figure}[H]\centering +\AfourCommand{% +\noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null +\par +\noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null +} +\BigTabletCommand{% +\noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null +\par +\noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null +} +\TabletCommand{% +\noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null +\par +\noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null +} +\SmartphoneCommand{% +\noindent\hfill\paraone\hfill\paratwo\hfill\null +\par +\noindent\hfill\parathree\hfill\parafour\hfill\null +\par +\noindent\hfill\parafive\hfill\parasix\hfill\null +} +\SmallTabletCommand{% +\vspace*{1.5cm}\par +\noindent\hfill\paraone\hfill\paratwo\hfill\null +\par +\noindent\hfill\parathree\hfill\parafour\hfill\null +\par +\noindent\hfill\parafive\hfill\parasix\hfill\null +} +\figcaption{}\label{figracines} +\end{figure} +} + +\begin{proof} +Examinons successivement les trois cas du théorème. +\begin{itemize} +\item Si $\Delta<0$, le résultat provient d'une remarque déjà faite : dans ce cas, la fonction $P$ possède un minimum strictement positif si $a>0$ ou un maximum strictement négatif si $a<0$. +\item Si $\Delta=0$, on a +\[ +P(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2. +\] +% La fonction $P$ admet donc $0$ pour minimum lorsque $a>0$ ou pour maximum lorsque $a>0$. Dans les deux cas cet extrémum n'est atteint qu'une fois en $-b/(2a)$. +Le résultat annoncé se déduit du tableau de signes +\[\begin{array}{c|ccccc} +\hline +x&-\infty&&-b/(2a)&&\infty\\ +\hline +\sgn\bigl(\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigr)^2\bigr)&&1&0&1&\\ +\hline +\sgn(P(x))&&\sgn(a)&0&\sgn(a)&\\ +\hline +\end{array}\] +\item Si $\Delta>0$, on constate, en se référant à l'expression des racines $\alpha$ et $\beta$ dans théorème \ref{thfactor}, que $\alpha$ est la plus grande des deux racines si $a>0$ et la plus petite si $a<0$. En posant +\begin{align*}\alpha'=\min(\alpha,\beta)&\text{ et }\beta'=\max(\alpha,\beta),\\ +\intertext{on obtient} +P(x)=a(x-\alpha')(x-\beta'),\quad&\text{ avec $\alpha'<\beta'$}. +\end{align*} +On établit alors le tableau de signes +{\SmartphoneCommand{\small} +\[\begin{array}{c|ccccccc} +\hline +x&-\infty&&\alpha'&&\beta'&&\infty\\ +\hline +\sgn(x-\alpha')&&-1&0&1&1&1&\\ +\hline +\sgn(x-\beta')&&-1&-1&-1&0&1&\\ +\hline +\sgn(P(x))&&\sgn(a)&0&\sgn(-a)&0&\sgn(a)&\\ +\hline +\end{array} +\]} +Le résultat annoncé s'en déduit.\qedhere +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Résoudre $x^2-x-6≤0$ : le discriminant vaut $\Delta=1+24=25$. Il existe deux racines qui sont $-2$ et $3$. On veut que $x^2-x-6$ soit négatif donc nul ou du signe de~$-a$ : cela se produit aux racines ou à l'intérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est $\symcal{S}=[-2,3]$. + +On aurait pu également, une fois les racines calculées, utiliser la forme factorisée du polynôme $P(x)=x^2-x-6$. Ainsi $P(x)=(x+2)(x-3)$, d'où le tableau de signes : +\[\begin{array}{c|ccccccc} +\hline +x&-\infty&&\quad-2\quad&&\quad3\quad&&\infty\\ +\hline +\sgn(x+2)&&-1&0&1&1&1&\\ +\hline +\sgn(x-3)&&-1&-1&-1&0&1&\\ +\hline +\sgn(P(x))&&1&0&-1&0&1&\\ +\hline +\end{array} +\] +On retrouve la solution donnée par la première méthode. + +\item Résoudre $(2x-6)^2>0$ : ce carré est positif pour tout $x\in\R$ et s'annule si et seulement si $x=3$. Par conséquent, l'ensemble des solutions de cette inéquation est $\symcal{S}=\R\smallsetminus\{3\}$. Si l'on avait eu la très mauvaise idée de développer pour calculer le discriminant, on aurait trouvé $\Delta=0$ et une racine double égale à $3$. +\item Résoudre $3x^2-4x-1≥0$ : c'est l'occasion d'utiliser le discriminant réduit. + +On trouve $\Delta'=4+3=7$. +Il existe deux racines : +\[ +\alpha=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{2-\sqrt{7}}{3}. +\] +On veut que $3x^2-4x-1$ soit positif, donc nul ou du signe de $a$ : cela se produit aux racines ou à l'extérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est donc +\[ +\symcal{S}=\left]-\infty, \beta\right] \cup \left[\alpha, \infty\right[. +\] +\item Résoudre $5x-2x^2>0$. La factorisation se fait à vue : +\[ +5x-2x^2=-2x\left(x-\frac52\right), +\] + il y a donc deux racines : $\alpha=0$ et $\beta=5/2$. + +On peut ensuite soit faire un tableau de signes, soit utiliser le théorème \ref{thsgn}, ce que nous ferons ici. +On veut que $5x-2x^2$ soit strictement positif, donc du signe de $-a$ : cela se produit si et seulement si $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est donc +$\symcal{S}=\left]0,\, 5/2\right[$. +\item Résoudre $x^2-x+1>0$ : on trouve $\Delta=-3$. Il n'y a pas de racines, donc $x^2-x+1$ admet pour signe $1$ pour tout $x\in\R$. Tout $x$ réel est donc solution : l'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\R$. +\end{enumerate} +\end{example} +\section{Somme et produit des racines} +\subsection{Expression de la somme et du produit des racines} +On suppose ici que $\Delta≥0$, c'est-à-dire que le polynôme $P$ deux racines $\alpha$ et $\beta$, confondues en une racine double au cas où $\Delta=0$. On a le théorème suivant: +\begin{thm}\label{thsomprod}% +Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. Si le discriminant $\Delta$ de $P$ est positif, la somme et le produit des racines de $P$ sont données par +\[ +\alpha+\beta=-\frac{b}{a} \quad\text{et}\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\:. +\] +\end{thm} + +\begin{remark} +On sait que si $\Delta=0$, on a $\alpha=\beta=-b/(2a)$. On retrouve bien +\[\alpha+\beta=2\times\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{b}{a}\;;\] +on remarque également que, puisque $\Delta=0$, on a $b^2=4ac$ et par conséquent +\[ +\alpha\beta=\left(-\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\:. +\] +\end{remark} + +\begin{proof}On utilise la forme factorisée de $P(x)$ : +\begin{align*} +\forall x\in\R,\;P(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta),\\ +&=a(x^2-\alpha x-\beta x +\alpha\beta),\\ +&=a\left(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right),\\ +&=ax^2-a(\alpha+\beta)x +a\alpha\beta. +\end{align*} + +D'après le théorème \ref{thunicite}, on peut identifier les coefficients : $-a(\alpha+\beta)=b$ et $a\alpha\beta=c$. Le résultat annoncé en découle immédiatement. +\end{proof} +\subsubsection{Racine apparente ou connue} +On dit que $\alpha$ est une \frquote{racine apparente} (on dit également \frquote{évidente}) du polynôme $P$ lorsqu'un simple calcul à vue permet de montrer que $P(\alpha)=0$. On parle de racine connue lorsqu'un calcul antérieur a permis d'établir cette égalité. Dans une telle situation, il est facile de déterminer $\beta$, l'autre racine de $P$, grâce à la somme ou au produit : +\[ + \beta=-\frac{b}{a}-\alpha \quad \text{ou (dans le cas où $\alpha\neq0$)}\quad\beta=\frac{c}{a\alpha}. +\] +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Factoriser le polynôme $P$, défini sur $\R$ par $P(x)=3x^2+9x+6$. Un calcul immédiat montre que $P(-1)=0$ : le réel $-1$ est donc racine de $P$, tandis que l'autre racine $\beta$ vérifie~\mbox{$-1\times\beta=6/3=2$}. D'où $\beta=-2$ et la factorisation : \[P(x)=3(x+1)(x+2).\] +\item On pose $Q(x)=2x^2-13x+15$. Calculer $Q(5)$ et résoudre l'équation $Q(x)=0$. On trouve $Q(5)=0$ : le réel $5$ est donc racine de $Q$. L'autre racine vérifie $5+\beta=6{,}5$, d'où $\beta=1{,}5$ : l'ensemble des solutions de l'équation proposée est \[\symcal{S}=\left\{5, \frac32\right\}\,.\] + +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsection{Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit} + +\begin{thm} +Deux réels $s$ et $p$ étant donnés, il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ dont la somme vaut $s$ et le produit $p$ si et seulement si le nombre $\Delta=s^2-4p$ est positif. Dans ce cas, les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont les racines de la fonction polynôme de degré $2$ définie par $P(x)=x^2-sx+p$, de discriminant $\Delta$. +\end{thm} +\begin{proof} +\begin{itemize} +\item Tout d'abord, si $s^2-4p≥0$, la fonction polynôme $P$, de discriminant $\Delta=s^2-4p$ admet deux racines dont la somme est $s$ et le produit $p$ d'après le théorème \ref{thsomprod}. + +\item Réciproquement, s'il existe deux nombres $\alpha$ et $\beta$ tels que +\[ +\alpha+\beta=s \quad\text{et}\quad \alpha\beta=p, +\] +on a, d'après la première équation, $\beta=s-\alpha$, puis en substituant dans la seconde +\[\alpha(s-\alpha)=p\quad\text{soit}\quad\alpha^2-s\alpha+p=0,\] +c'est-à-dire $P(\alpha)=0$. + +Il est donc nécessaire que $\alpha$ soit une racine de $P$, ce qui entraîne que le discriminant $s^2-4p$ soit positif. Enfin, la relation $\beta=s-\alpha$ entraîne que $\beta$ est alors la seconde racine de $P$.\qedhere +\end{itemize} +\end{proof} +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Trouver deux nombres dont la somme vaut $1$ et le produit $-12$. Ces deux nombres doivent être racines de $x^2+x-12$ dont le discriminant est $49$ et qui admet $-3$ et $4$ pour racines. Les deux nombres cherchés sont donc $-3$ et $4$. +\item Trouver deux nombres dont la somme vaut $6$ et le produit $9$. On forme le polynôme $x^2-6x+9$, égal à $(x-3)^2$, dont le discriminant est nul et qui admet $3$ pour racine double : les nombres $\alpha$ et $\beta$ dont le produit vaut $9$ et la somme $6$ sont tous deux égaux à $3$. +\item Trouver deux nombres dont la somme vaut $s=5$ et le produit $p=8$. On calcule $s^2-4p=-7$ : le problème n'a pas de solution (tout comme le polynôme $x^2-5x+8$ n'admet pas de racines). +\end{enumerate} +\end{example} +\endinput + diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/puissance-cercle.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/puissance-cercle.tex new file mode 100644 index 00000000000..0263bcb20f5 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/puissance-cercle.tex @@ -0,0 +1,713 @@ +\tgotitle{Puissance d'un point par rapport à un cercle} + +\section{Mesure algébrique} +On définit la mesure algébrique d'un bipoint~$(A,B)$ dans un repère de la droite~$(AB)$ comme la différence des abscisses $x_B-x_A$ (voir figure~\ref{figmesalg}). Dans le contexte euclidien qui nous intéresse ici, les repères des droites sont normés : la mesure algébrique ne dépend que de l'orientation de la droite (elle est définie \frquote{au signe près}). On notera cependant que le produit ou le quotient de deux mesures algébriques sont quant à eux indépendants du choix du repère, puisqu'en cas de changement d'orientation les signes des deux quantités considérées changent simultanément. + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=above:$A$] (A) at (-1.3,0); +\coordinate [label=below:$x_A$] (xA) at (-1.3,0); +\coordinate[label=above:$B$] (B) at (1.7,0); +\coordinate [label=below:$x_B$] (xB) at (1.7,0); +\coordinate (Z) at ($(A)!1.1!(B)$); +\coordinate (T) at ($(B)!1.1!(A)$); +\draw (Z)--(T); +\node[below] at ($(A)!0.5!(B)$){$\mesalg{AB}=x_B-x_A$}; +\foreach \point in {A,B} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figmesalg} +\end{figure} + +De la définition qui vient d'être donnée, on déduit immédiatement que : +\begin{itemize} +\item Pour tout point $A$, $\mesalg{AA}=0$. +\item Pour tout couple de points $A$ et $B$, $\mesalg{BA}$ et $\mesalg{AB}$ sont deux nombres opposés. +\end{itemize} +Plus généralement, on peut énoncer le +\begin{thm}\label{thchasles}% +Soit $A$, $B$ et $C$ trois points donnés sur une droite dans un ordre quelconque. On a l'égalité suivante (relation de Chasles pour les mesures algébriques) +\[\mesalg{AC}=\mesalg{AB}+\mesalg{BC}.\] +\end{thm} + +\begin{proof} La vérification est immédiate. +\begin{align*}\mesalg{AB}+\mesalg{BC}&=(x_B-x_A)+(x_C-x_B),\\ +&=x_C-x_A,\\ +&=\mesalg{AC}.\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + +Nous donnons maintenant deux compléments sur la notion de mesure algébrique, qui faciliteront la compréhension de la suite. + +\begin{remark}[Lien avec le produit d'un vecteur par un réel] +La notion de mesure algébrique est fortement liée à celle de produit d'un vecteur par un réel. Si $O$ et $A$ sont deux points distincts, $\lambda$ un réel et $M$ un point quelconque du plan, on a l'équivalence +\[ +(\Vector{OM}=\lambda\Vector{OA})\iff(M\in (OA) \text{ et }\mesalg{OM}=\lambda\mesalg{OA}). +\] +Il s'en déduit que le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ peut être caractérisé par des relations entre mesures algébriques, qu'il est parfois intéressant de substituer aux égalités vectorielles correspondantes : +\begin{align} +I \text{ est le milieu de }[AB]&\iff \mesalg{AI}=\mesalg{IB}=\frac12\mesalg{AB},\\ +&\iff\mesalg{IA}+\mesalg{IB}=0.\label{eqcaracmilieu} +\end{align} +\end{remark} + +\begin{remark}[Lien avec le produit scalaire] +La mesure algébrique peut également intervenir dans l'expression du cosinus d'un angle et du produit scalaire. Précisément, si $A$ et $B$ sont deux points tous deux distincts du point $O$, le produit scalaire $\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}$ peut être défini par +\begin{equation}\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=OA\times OB\times \cos(\widehat{AOB}).\label{pscal1} +\end{equation} +%\[ +%\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=OA\times OB\times \rho([OA),[OB)), +%\] +%où $\rho([OA),[OB))$ désigne le rapport de projection orthogonale de la demi-droite $[OB)$ sur la demi-droite $[OA)$. + +On désigne par $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la \emph{droite} $(OA)$. +La définition~\eqref{pscal1} permet d'affirmer que le produit scalaire $\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}$ est de même signe que $\cos(\widehat{AOB})$, soit positif, si l'angle $\widehat{AOB}$ est aigu et négatif si cet angle est obtus. Le point $H$ appartient dans ce dernier cas à la demi-droite opposée à $[OA)$ (voir figure~\ref{figpscal0}). On a donc : +\begin{equation*} +\cos(\widehat{AOB})= +\begin{cases} +\hphantom{-}OH/OB&\text{si $\widehat{AOB}$ est aigu},\\ +-OH/OB&\text{si $\widehat{AOB}$ est obtus}.\\ +\end{cases} +\end{equation*} + +%\[\cos(\widehat{AOB})=\frac{\mesalg{OH}}{\mesalg{OB}}.\] +En reportant dans~\eqref{pscal1} et en simplifiant par $OB$, on obtient une autre expression du produit scalaire : +\begin{equation*} +\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}= +\begin{cases} +\hphantom{-}OA\times OH&\text{si $\widehat{AOB}$ est aigu},\\ +-OA\times OH&\text{si $\widehat{AOB}$ est obtus}. +\end{cases}%\label{pscal0} +\end{equation*} + + + +On remarque alors que les demi-droites $[OA)$ et $[OH)$ sont de même sens si $\widehat{AOB}$ est aigu, et de sens contraire si $\widehat{AOB}$ est obtus. D'où une expression du produit scalaire utilisant les mesures algébriques : +\begin{equation} +\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=\mesalg{OA}\times\mesalg{OH}.\label{pscal0} +\end{equation} + +%\dinofig{\figcaption{}\label{figpscal0}} +\XSmartphoneCommand{ +\begin{figure}[ht] +\hfill +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$O$] (O) at (0,0); +\coordinate(X) at (1,0); +\coordinate[label=below:$B$](B) at ($(O)!3!350:(X)$); +\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$); +\coordinate[label=above:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$); +\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1.3!(H)$); +\draw[semithick,->] (O)--(B); +\draw[semithick,->] (O)--(A); +\draw[dashed](B)--(H); +\foreach \point in {O,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\hfill\hfill +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0); +\coordinate(X) at (1,0); +\coordinate[label=above:$B$](B) at ($(O)!2.9!160:(X)$); +\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$); +\coordinate[label=below:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$); +\coordinate(Z) at ($(O)!1.2!(H)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at ($(O)!-0.6!(H)$); +\draw[semithick,->] (O)--(B); +\draw[semithick,->] (O)--(A); +\draw(O)--(Z); +\draw[dashed](B)--(H); +\foreach \point in {O,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\hfill\null +\figcaption{}\label{figpscal0} +\end{figure} +} +\SmartphoneCommand{ +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$O$] (O) at (0,0); +\coordinate(X) at (1,0); +\coordinate[label=below:$B$](B) at ($(O)!3!350:(X)$); +\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$); +\coordinate[label=above:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$); +\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1.3!(H)$); +\draw[semithick,->] (O)--(B); +\draw[semithick,->] (O)--(A); +\draw[dashed](B)--(H); +\foreach \point in {O,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\\[1ex] +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0); +\coordinate(X) at (1,0); +\coordinate[label=above:$B$](B) at ($(O)!2.9!160:(X)$); +\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$); +\coordinate[label=below:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$); +\coordinate(Z) at ($(O)!1.2!(H)$); +\coordinate[label=above:$A$](A) at ($(O)!-0.6!(H)$); +\draw[semithick,->] (O)--(B); +\draw[semithick,->] (O)--(A); +\draw(O)--(Z); +\draw[dashed](B)--(H); +\foreach \point in {O,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figpscal0} +\end{figure} +} +\begin{example}[Remarques] +\begin{enumerate} +\item L'angle noté $\widehat{AOB}$ est un angle \emph{non orienté} de demi-droites ; autrement dit, il n'y a pas lieu de distinguer $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOA}$. Il en découle que le produit scalaire est commutatif (le terme \frquote{symétrique} serait sans doute plus adapté). + +On aurait donc pu tout aussi bien utiliser le projeté de $A$ sur $(OB)$. +\item L'indépendance du cosinus par rapport à l'ordre des deux demi droites $[OA)$ et $[OB)$ provient de ce que $\cos(\widehat{AOB})$ est égal au rapport de projection orthogonale, noté $\rho([OA),[OB))$, de la demi-droite $[OB)$ sur la demi-droite $[OA)$. On sait en effet (c'est en général considéré comme un des axiomes de la géométrie plane) que +\[\rho([OA),[OB))=\rho([OB),[OA)).\] + + \item Lorsque les points $A$ et $B$ sont confondus, on a + \begin{align*} + \Vector{OA}\cdot\Vector{OB}&=\Vector{OA}\cdot\Vector{OA},\\ + &=OA^2\times \cos(\widehat{AOA}). + \end{align*} + L'angle $\widehat{AOA}$ est nul : on a donc $\cos(\widehat{AOA})=1$ d'où finalement + \begin{equation} +\Vector{OA}\cdot\Vector{OA}=\bigl({\Vector{OA}}\bigr)^2=OA^2.\label{eqcarres} +\end{equation} +\end{enumerate} +\end{example} +\end{remark} + +\section{Point et cercle} +\subsection{Une définition} +Étant donné un cercle $\symcal{C}$, de centre $O$ et de rayon $r$, et un point $P$ quelconque, la puissance du point $P$ par rapport au cercle $\symcal{C}$ est par définition le nombre +\[\symcal{C}(P)=OP^2-r^2 \text{ (voir figure~\ref{figdefppc})}.\] + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (3,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!3.2!15:(X)$); +\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1!312:(X)$); +\draw[semithick](P)--(O)--(A); +\node[right] at (X){$\symcal{C}(P)=OP^2-OA^2$}; +\node[right=1.3cm,below=1mm] at (X){$\text{pour tout }A\in\symcal{C}$}; +\foreach \point in {P,O,A} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figdefppc} +\end{figure} + +Par conséquent, la puissance d'un point $P$ par rapport à un cercle est : +\begin{itemize} +\item strictement positive si le point $P$ est extérieur au cercle; +\item nulle si le point $P$ appartient au cercle; +\item strictement négative et au minimum égale à $-r^2$ si le point $P$ est intérieur au cercle. +\end{itemize} + +\subsection{Avec une tangente}\label{subsectangente} +On se place ici dans le cas où le point $P$ est extérieur au cercle. Il est alors possible de s'intéresser aux tangentes issues de $P$. +\begin{thm} +Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ extérieur au cercle et $T$ le point de contact de l'une des tangentes à $\symcal{C}$ issues de $P$. La puissance de $P$ par rapport à $\symcal{C}$ vaut +\[\symcal{C}(P)=PT^2.\] +\end{thm} + + +\begin{proof} +On pourra se référer à la figure \ref{figtangente}. La droite $(PT)$ étant tangente à $\symcal{C}$, le triangle $OTP$ est rectangle en $T$. D'après le théorème de Pythagore, on a +\[\symcal{C}(P)=OP^2-OT^2=PT^2.\qedhere\] +\end{proof} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=left:$O$] (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (3.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!1.7!345:(X)$); +\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(P)$); +\node[draw,dashed] (x) at (Y) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate[label=above:$T$](T) at (intersection 2 of c and x); +\draw (P)--(T)--(O)--cycle; +\foreach \point in {P,T,O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figtangente} +\end{figure} + +\subsection{Avec une sécante}\label{subsecsecante} +Le point $P$ est cette fois-ci quelconque. On considère alors une droite sécante au cercle et passant par $P$ (voir la figure \ref{figsecante}). +\begin{thm} +Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ quelconque et une droite passant par $P$ sécante au cercle en $A$ et $B$. La puissance de $P$ par rapport à $\symcal{C}$ vaut alors +\[\symcal{C}(P)=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}.\] +\end{thm} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (3.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=left:$A$] (A) at ($(O)!1!155:(X)$); +\coordinate(A') at ($(A)!2!(O)$); +\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!1.8!35:(X)$); +\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$); +\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate[label=above:$B$](B) at (intersection 2 of c and x); +\coordinate[label=above:$I$](I) at ($(A)!0.5!(B)$); +\draw (P)--(B)--(I)--(A); +\draw(A)--(O)--(B); +\draw(P)--(O)--(I); +\foreach \point in {A,P,B,O,I} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figsecante} +\end{figure} + +\begin{proof} +Soit $I$ le milieu de $[AB]$ : $AOB$ étant isocèle en $O$, la droite $(OI)$ est la médiatrice de $[AB]$. Les triangles $OIP$ et $OIA$ sont rectangles en $I$. On a donc $OP^2=OI^2+IP^2$ et $OA^2=OI^2+IA^2$. + + Par conséquent, +\begin{align*} +\symcal{C}(P)&=PO^2-OA^2,\\ +&=(OI^2+IP^2)-(OI^2+IA^2),\\ +\intertext{soit en réduisant,} +\symcal{C}(P)&=IP^2-IA^2,\\ +\intertext{puis en utilisant une identité remarquable et les égalités~\eqref{eqcarres} et~\eqref{eqcaracmilieu}} +\symcal{C}(P)&=\mesalg{PI}^2-\mesalg{IA}^2,\\ +&=(\mesalg{PI}+\mesalg{IA})(\mesalg{PI}-\mesalg{IA}),\\ +&=(\mesalg{PI}+\mesalg{IA})(\mesalg{PI}+\mesalg{IB}),\\ +\intertext{et enfin, grâce au théorème~\ref{thchasles}} +\symcal{C}(P)&=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}.\qedhere +\end{align*} + +\end{proof} + +\begin{example}[Remarques] +\begin{enumerate} +\item Il est remarquable que la quantité $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}$ ne dépende pas de la sécante choisie : autrement dit, si deux sécantes passant par $P$ coupent le cercle respectivement en $A$ et $B$ et en $C$ et $D$, alors +\[\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\] +\item Si $P$ est intérieur au cercle, les demi-droites $[PA)$ et $[PB)$ sont de sens contraires : on retrouve le fait que $\symcal{C}(P)$ est dans ce cas négatif. +\item Une tangente issue de $P$, comme on l'a évoqué en \ref{subsectangente}, peut être considérée comme une position limite d'une sécante pivotant autour de $P$, les points $A$ et $B$ étant alors confondus en $T$ : on aura bien de ce point de vue $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=PT^2$. +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsection{Utilisation du produit scalaire} +On utilise ici la relation~\eqref{pscal0} pour donner une autre expression de la puissance d'un point par rapport à un cercle (voir figure~\ref{figpscal2}). +\begin{thm} +Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ quelconque, et deux points de $\symcal{C}$ diamétralement opposés $A_1$ et $A_2$. La puissance de $P$ par rapport à $\symcal{C}$ vaut alors +\[\symcal{C}(P)=\Vector{PA_1}\cdot\Vector{PA_2}.\] +\end{thm} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (3.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=left:$A_1$] (A) at ($(O)!1!160:(X)$); +\coordinate[label=right:$A_2$] (A') at ($(A)!2!(O)$); +\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!2.2!32:(X)$); +\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$); +\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate[label=above:$B$](B) at (intersection 2 of c and x); +\draw [semithick,->](P)--(A); +\draw[semithick,->](P)--(A'); +\draw(A')--(B); +\foreach \point in {P,B,O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figpscal2} +\end{figure} + +\begin{proof}%\sloppy +Tout d'abord, les droites $(PA_1)$ et $(PA_2)$ ne peuvent être toutes les deux tangentes à $\symcal{C}$ : en effet, deux tangentes en des points diamétralement opposés sont parallèles disjointes et ne peuvent avoir le point $P$ en commun. Quitte à permuter $A_1$ et $A_2$, il n'est donc pas restrictif de supposer que la droite $(PA_1)$ est sécante (et non tangente) à $\symcal{C}$. + +Soit alors $B$ la seconde intersection de la droite $(PA_1)$ avec le cercle. Le segment $[A_1A_2]$ étant un diamètre du cercle, le point $B$ est le projeté orthogonal de $A_2$ sur $(PA_1)$. On a donc d'après \ref{subsectangente} +\begin{align*} +\symcal{C}(P)&=\mesalg{PA_1}\times\mesalg{PB},\\ +&=\Vector{PA_1}\cdot\Vector{PA_2}.\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + + +\begin{remark} +On se persuadera facilement, en observant la figure \ref{figpscal3}, que le raisonnement précédent est indépendant de la position de $P$ par rapport au cercle. +\end{remark} +%\dinofig[-0.5]{\figcaption{}\label{figpscal3}} + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (3.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=left:$A_1$] (A) at ($(O)!1!160:(X)$); +\coordinate[label=right:$A_2$] (A') at ($(A)!2!(O)$); +\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(O)!0.6!70:(X)$); +\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$); +\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate[label=above:$B$](B) at (intersection 2 of c and x); +\draw [semithick,->](P)--(A); +\draw[semithick,->](P)--(A'); +\draw(P)--(B); +\draw(A')--(B); +\foreach \point in {P,B,O} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figpscal3} +\end{figure} + +\subsection{Dans un repère orthonormal} +On se place ici dans un repère orthonormal et l'on considère un cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$. On s'intéresse alors à l'expression de la puissance d'un point $M(x,y)$ quelconque par rapport au cercle $\symcal{C}$. +\begin{thm}\label{threp} +Soit dans le plan rapporté à un repère orthonormal un cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$. Soit un point $M(x,y)$. La puissance de $M$ par rapport à $\symcal{C}$ est +\[\symcal{C}(M) = x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2.\] +\end{thm} + +\begin{proof} +On a +\begin{align*}\symcal{C}(M)&=\Omega M^2-r^2\\ +&={(x-a)}^2+{(y-b)}^2-r^2,\\ +&=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2.\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + +De plus, en remarquant que $M\in\symcal{C}$ si et seulement si la puissance de $M$ par rapport à $\symcal{C}$ est nulle, on établit le corollaire suivant : +%\DinoAfourNBCommand{\par\pagebreak} +\begin{coro*} +Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, le cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$ admet pour équation +\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\] +où $c=a^2+b^2-r^2$. +\end{coro*} + +\section{Cocyclicité} +On dit que quatre points distincts sont cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle (un tel cercle est évidemment unique : ce que l'on affirme en disant que les points sont cocycliques est que cercle circonscrit au triangle formé par trois quelconques de ces points passe par le quatrième). On se propose d'établir le théorème suivant (voir figure~\ref{figcocy}). + +\begin{thm} Soit quatre points distincts $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient sécantes en $P$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques si et seulement si +\[\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\] +\end{thm} + +%\dinofig{\figcaption{}\label{figcocy}} +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate (O) at (2,0); +\coordinate(X) at (4,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{}; +\coordinate[label=left:$A$] (A) at ($(O)!1!140:(X)$); +\coordinate[label=below:$B$] (B) at ($(O)!1!310:(X)$); +\coordinate[label=left:$C$] (C) at ($(O)!1!210:(X)$); +\coordinate[label=above:$D$] (D) at ($(O)!1!65:(X)$); +\coordinate[label=right:$\kern3pt P$](P) at (intersection of A--B and C--D); +\draw(A)--(B); +\draw(C)--(D); +\foreach \point in {A,B,C,D,P} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figcocy} +\end{figure} + +\begin{proof} +Il s'agit de démontrer une équivalence. Nous procéderons donc classiquement en deux temps : d'abord le sens direct, puis la réciproque. + +Supposons pour commencer que les points $A$, $B$, $C$, $D$ soient sur un même cercle $\symcal{C}$. Alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ étant des sécantes au cercle contenant chacune le point $P$, on a +\[\symcal{C}(P)=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\] + +Réciproquement, supposons que $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}$. Soit alors $\symcal{C}\;$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ : il nous suffit de prouver que $D\in\symcal{C}$. La droite $(CD)$ coupe le cercle en $C$ et en un second point $M$ tel que +\begin{align*}\mesalg{PC}\times\mesalg{PM}&=\symcal{C}(P)\\ +&=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}\\ +&=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}, \text{ par hypothèse.} +\end{align*} +On en déduit que $\mesalg{PD}=\mesalg{PM}$, donc que $D=M$ ($P$ ne peut être confondu avec $C$, car alors il serait lui même confondu avec $A$ ou $B$). +\end{proof} + + +\section{Axe radical de deux cercles} + +\subsection{Définition} +On s'intéresse ici à l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à deux cercles non concentriques donnés. + +\begin{thm} +Étant donné deux cercles non concentriques $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ de centres et de rayons respectifs $(O_1,r_1)$ et $(O_2,r_2)$, l'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à chacun des cercles est une droite $\Delta$ perpendiculaire à $(O_1O_2)$, nommée \emph{axe radical} des deux cercles. +\end{thm} + +%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad0}} +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\clip (0.3,-1.3) rectangle (5.1,1.9); +\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (1,0); +\coordinate(X1) at (1.6,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{}; +\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3.8,0); +\coordinate[label=below:$I$] (I) at ($(O1)!0.5!(O2)$); +\coordinate(X2) at (5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{}; +\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$); +\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$); +\draw (Y1)--(Y2); +\coordinate(Y) at (2,-1); +\coordinate(U) at (2,0.5); +\node (x) at (Y) [circle through={(U)}]{}; +\coordinate(Z1) at (intersection 1 of c1 and x); +\coordinate(T1) at (intersection 2 of c1 and x); +\coordinate(Z2) at (intersection 1 of c2 and x); +\coordinate(T2) at (intersection 2 of c2 and x); +\coordinate[label=left:$M$](M) at (intersection of Z1--T1 and Z2--T2); +\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(M)$); +\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(M)$); +\node (w1) at (W1) [circle through={(M)}]{}; +\node(w2) at (W2) [circle through={(M)}]{}; +\coordinate[label=below:$H\kern13pt$](H) at (intersection 1 of w1 and w2); +\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(M)$); +\coordinate(V2) at ($(H)!-1.1!(M)$); +\draw[semithick](V1)--(V2); +\foreach \point in {O1,O2,I,M,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figaxerad0} +\end{figure} + +\begin{remark} +Si les deux cercles sont concentriques et distincts, aucun point $M$ du plan n'est tel que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$, c'est une conséquence immédiate de la définition de la puissance d'un point par rapport à un cercle. +\end{remark} + +\begin{proof} +Soit un point $M$ du plan et $H$ son projeté orthogonal sur la droite $(O_1O_2)$. Nous supposons que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$ ; nous allons prouver que le point $H$ occupe une position fixe (indépendante de $M$) sur $(O_1O_2)$, ce qui prouvera que $M$ appartient à la perpendiculaire en $H$ à cette droite. Pour nous éviter une réciproque fastidieuse, nous procéderons par équivalence. Désignons par $I$ le milieu de $[O_1O_2]$ et exprimons l'égalité des puissances (voir la figure~\ref{figaxerad0}). +\begin{align*} +\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &\iff O_1M^2-r_1^2=O_2M^2-r_2^2,\\ +\intertext{soit, en posant $k=r_1^2-r_2^2$,} +\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &\iff O_1M_1^2-O_2M2^2=k,\\ +&\iff (\Vector{O_1M}+\Vector{O_2M})\cdot(\Vector{O_1M}-\Vector{O_2M})=k. +\end{align*} + +On remarque alors que +\begin{equation*} +\Vector{O_1M}+\Vector{O_2M}=\hspace{-0.5em}\underbrace{\Vector{O_1I}+\Vector{O_2I}}_{\substack{\vec{0}\text{, car } I\\\text{milieu de }[O_1O_2]}}\hspace{-0.5em}+\,2\Vector{IM}=2\Vector{IM} +\end{equation*} +et que +\begin{equation*} +\Vector{O_1M}-\Vector{O_2M}=\Vector{O_1M}+\Vector{MO_2}=\Vector{O_1O_2}. +\end{equation*} + +On en déduit +\begin{align*} +\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &\iff 2\Vector{IM}\cdot\Vector{O_1O2}=k,\\ +&\iff 2(\underbrace{\Vector{IH}+\Vector{HM}}_{\Vector{IM}})\cdot\Vector{O_1O_2}=k,\\ +&\iff 2\Vector{IH}\cdot\Vector{O_1O_2}+2\underbrace{\Vector{HM}\cdot\Vector{O_1O_2}}_{\substack{0 \text{, car}\\(HM)\perp(O_1O_2)}}=k. +\end{align*} + +Puisque les points $I$, $H$, $O_1$ et $O_2$ sont sur la même droite, on peut passer aux mesures algébriques, et on obtient finalement : +\begin{align} +\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)&\iff 2\mesalg{IH}\cdot\mesalg{O_1O_2}=k,\notag\\ +&\iff\mesalg{IH}=\frac{r_1^2-r_2^2}{2\mesalg{O_1O_2}}.\label{eqposH} +\end{align} + + +On en déduit que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$ si et seulement si le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(O_1O_2)$ occupe la position (fixe) définie par la relation~\eqref{eqposH}. L'ensemble des points $M$ est donc la droite $\Delta$ perpendiculaire à $(O_1O_2)$ passant par $H$. +\end{proof} + +\subsection{Détermination pratique}\label{subsecdetprat} +On s'intéresse ici à la position relative des cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$. +\subsubsection{Cercles sécants} +Supposons que les cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$ soient sécants en deux points $A$ et $B$ (voir la figure~\ref{figaxerad1}). On a +\[\symcal{C}_1(A)=\symcal{C}_2(A)=0 \text{ et }\symcal{C}_1(B)=\symcal{C}_2(B)=0 . +\] +Les points $A$ et $B$ ont tous deux la même puissance par rapport à chacun des deux cercles : l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ est donc la droite $(AB)$. + + +%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad1}} +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (0.8,0); +\coordinate(X1) at (2,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{}; +\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3,0); +\coordinate(X2) at (4.8,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{}; +\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$); +\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$); +\draw (Y1)--(Y2); +\coordinate[label=right:$\kern2pt A$](A) at (intersection 2 of c1 and c2); +\coordinate[label=right:$\kern2pt B$](B) at (intersection 1 of c1 and c2); +\coordinate[label=below:$H\kern-13pt$](H) at (intersection of O1--O2 and A--B); +\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.7!(A)$); +\coordinate(V2) at ($(H)!1.3!(B)$); +\draw[semithick](V1)--(V2); +\foreach \point in {O1,O2,A,B,H} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figaxerad1} +\end{figure} + +\subsubsection{Cercles tangents} +Supposons que les cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$ soient tangents (intérieurement ou extérieurement) en un point $T$ (voir la figure~\ref{figaxerad2}). On a +$\symcal{C}_1(T)=\symcal{C}_2(T)=0$. +Le point $T$ a la même puissance par rapport à chacun des deux cercles : l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ est donc la droite perpendiculaire en $T$ à $(O_1O_2)$. + +%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad2}} +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (1.2,0); +\coordinate[label=below:$\kern10pt T$](T) at (3,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(T)}]{}; +\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (1.8,0); +%\coordinate(X2) at (4.8,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(T)}]{}; +\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.3!(T)$); +\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.3!(T)$); +\draw (Y1)--(Y2); +\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(T)!1!270:(O1)$); +\coordinate(V2) at ($(T)!1!90:(O1)$); +\draw[semithick](V1)--(V2); +\foreach \point in {O1,O2,T} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figaxerad2} +\end{figure} + + +\subsubsection{Cas général} +Il est toujours possible de tracer un cercle auxiliaire $\Gamma$ sécant à $\symcal{C}_1$ en $A_1$ et $B_1$, à $\symcal{C}_2$ en $A_2$ et $B_2$, et de telle sorte que les droites $(A_1B_1)$ et $(A_2B_2)$ soient elles-mêmes sécantes en un point $P$ (voir la figure~\ref{figaxerad3}). On est ainsi ramené à des constructions ans le cas de cercles sécants. + +Le point $P$ appartient à l'axe radical de $(A_1B_1)$ de $\symcal{C}_1$ et $\Gamma$, donc $\symcal{C}_1(P)=\Gamma(P)$. De même, $\symcal{C}_2(P)=\Gamma(P)$ et par conséquent $\symcal{C}_1(P)=\symcal{C}_2(P)$. Le point $P$ appartient donc à l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ : $\Delta$ est la perpendiculaire à $(O_1O_2)$ passant par $P$. + +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (0.4,0); +\coordinate(X1) at (1.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{}; +\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3.6,0); +\coordinate(X2) at (5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{}; +\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$); +\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$); +\draw (Y1)--(Y2); +\coordinate(Y) at (2,-1); +\coordinate(U) at (2,0.5); +\node[draw,label=below:$\kern10pt\Gamma$] (g) at (Y) [circle through={(U)}]{}; +\coordinate[label=left:$A_1${\rule[-8pt]{0pt}{10pt}}](A1) at (intersection 2 of c1 and g); +\coordinate[label=below:$B_1\kern10pt$](B1) at (intersection 1 of c1 and g); +\coordinate[label=right: $A_2${\rule[-8pt]{0pt}{10pt}}](A2) at (intersection 1 of c2 and g); +\coordinate[label=below:$\kern10pt B_2$](B2) at (intersection 2 of c2 and g); +\coordinate[label=left:$P$](P) at (intersection of A1--B1 and A2--B2); +\draw (P)--(B1); +\draw (P)--(B2); +\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(P)$); +\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(P)$); +\node (w1) at (W1) [circle through={(P)}]{}; +\node(w2) at (W2) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate[label=below:$H\kern13pt$](H) at (intersection 1 of w1 and w2); +\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(P)$); +\coordinate(V2) at ($(H)!-2.4!(P)$); +\draw[semithick](V1)--(V2); +\foreach \point in {O1,O2,P,H,A1,B1,A2,B2} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figaxerad3} +\end{figure} + +\subsubsection{Dans un repère orthonormal} +Soit un cercle $\symcal{C}_1$ de centre $\Omega_1(a_1,b_1)$ et de rayon $r_2$, un cercle $\symcal{C}_2$ de centre $\Omega_2(a_2,b_2)$ et de rayon $r_2$. On suppose $\Omega_1\neq\Omega_2$ et on nomme $\Delta$ l'axe radical de ces deux cercles. D'après le théorème~\ref{threp} page \pageref{threp}, l'appartenance de $M(x,y)$ à $\Delta$ se traduit par +\begin{equation*} +x^2+y^2-2a_1x-2b_1y+c_1=x^2+y^2-2a_2x-2b_2y+c_2, +\end{equation*} +où $c_1=a_1^2+b_1^2-r_1^2$ et $c_2=a_2^2+b_2^2-r_2^2$. + +\vspace\baselineskip\par Donc, après simplification : +\[P\in \Delta \iff (a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y+(c_1-c_2)/2=0.\] +L'axe radical $\Delta$ admet pour équation +\[(a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y+(c_1-c_2)/2=0,\] + où l'on constate bien que $\Delta$ admet $\Vector{\Omega_1\Omega_2}$ pour vecteur normal. + + \subsection{Centre radical} + Lorsqu'au~\ref{subsecdetprat} nous avons, pour traiter le cas général, exploité l'idée d'un cercle auxiliaire, nous avons implicitement démontré le théorème suivant (voir la figure~\ref{figcentrerad}). + \begin{thm} + Soient trois cercles $\symcal{C}_1$, $\symcal{C}_2$ et $\Gamma$ dont les centres sont distincts et non alignés. Les axes radicaux $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$, $\symcal{D}_1$ de $\symcal{C}_1$ et $\Gamma$ et finalement $\symcal{D}_2$ de $\symcal{C}_2$ et $\Gamma$ sont concourants en un point $P$ nommé \emph{centre radical} des trois cercles. + \end{thm} + +\newcommand{\figurecentrerad}{% + \begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} +\coordinate (O1) at (0.4,0); +\coordinate(X1) at (1.5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{}; +\coordinate (O2) at (3.6,0); +\coordinate(X2) at (5,0); +\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{}; +\coordinate(Y) at (2,-1); +\coordinate(U) at (2,0.5); +\node[draw,label=below:$\kern10pt\Gamma$] (g) at (Y) [circle through={(U)}]{}; +\coordinate(A1) at (intersection 2 of c1 and g); +\coordinate(B1) at (intersection 1 of c1 and g); +\coordinate(A2) at (intersection 1 of c2 and g); +\coordinate(B2) at (intersection 2 of c2 and g); +\coordinate[label=right:$\symcal{D}_1$](Y1) at ($(A1)!1.8!(B1)$); +\coordinate[label=left:$\symcal{D}_2$](Y2) at ($(A2)!1.5!(B2)$); +\coordinate[label=left:$P$](P) at (intersection of A1--B1 and A2--B2); +\draw (P)--(Y1); +\draw (P)--(Y2); +\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(P)$); +\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(P)$); +\node (w1) at (W1) [circle through={(P)}]{}; +\node(w2) at (W2) [circle through={(P)}]{}; +\coordinate(H) at (intersection 1 of w1 and w2); +\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(P)$); +\coordinate(V2) at ($(H)!-2.4!(P)$); +\draw(V1)--(V2); +\foreach \point in {P,A1,B1,A2,B2} +\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt); +\end{tikzpicture} +\figcaption{}\label{figcentrerad} +\end{figure} +} + +%\DinoiPhoneCommand{% +%\afterpage{\clearpage +%\figurecentrerad +%\par +%\vspace{0.7cm} +%{ +%\centering\LARGE\textcolor{ColorOne}\decoone + +%} +%}} + +%\DinoiPadStdCommand{\figurecentrerad} +%\DinoiPadAirCommand{\figurecentrerad} +%\DinoiPadProCommand{\figurecentrerad} +%%\DinoAfourNBCommand{\figurecentrerad} +%\DinoAfourColorCommand{\figurecentrerad} +%\DinoiPadminiCommand{\figurecentrerad} +%%\DinoSaisieCommand{\figurecentrerad} +%\DinoiPhoneCommand{\figurecentrerad} +\figurecentrerad + +\begin{proof} +On définit $P$ comme intersection de $\symcal{D}_1$ et $\symcal{D}_2$ (le fait que les centres ne soient pas alignés garantit l'existence de $P$) : +\begin{align*} +P\in \symcal{D}_1&\implies \symcal{C}_1(P)=\Gamma(P)\text{ et }\\ +P\in \symcal{D}_2&\implies \symcal{C}_2(P)=\Gamma(P), +\end{align*} +dont on déduit que $\symcal{C}_1(P)=\symcal{C}_2(P)$. Autrement dit $P\in \Delta$. +\end{proof} +%\DinoAfourColorCommand{% +%\par +%\vspace{1.5cm} +%{ +%\centering\LARGE\textcolor{ColorOne}\decoone +% +%} +%} + +\endinput
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/recurrence.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/recurrence.tex new file mode 100644 index 00000000000..ee823068c46 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/recurrence.tex @@ -0,0 +1,189 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX + +\renewcommand{\theprop}{(\ensuremath{\fnsymbol{prop}})} + +\tgotitle{Raisonnement par récurrence} +% +\section{Une propriété des entiers naturels} +La propriété énoncée dans cette section est parfois présentée comme un axiome. Il n'entre toutefois pas dans nos intentions de construire une ou des axiomatiques, ne serait-ce que parce que cette notion est délicate. On se contentera donc d'un point de vue naïf, selon lequel un axiome est un énoncé dont on admet qu'il est vrai. Le lecteur doit toutefois savoir que les énoncés de la propriété~\ref{propppe} et du théorème~\ref{threc} ont des rôles en quelque sorte interchangeables : dans les axiomatiques classiques permettant de fonder l'arithmétique, prendre l'un comme axiome permet de démontrer l'autre comme théorème. Pour cette raison, le lecteur pourra trouver ailleurs des présentations proposant un axiome (ou parfois un principe) de \emph{récurrence}, la propriété~\ref{propppe} devenant alors un théorème. +\par +\vspace{0.5\baselineskip}\par +Nous supposons donc connu l'ensemble $\N$ des entiers naturels, muni notamment d'une relation d'ordre notée ${≤}$ et nous admettons que cet ensemble possède la propriété suivante: +% +\begin{prop} +Toute partie non vide de $\N$ possède un plus petit élément.\label{propppe} +\end{prop} + +On traduit souvent cette propriété en disant que \N{} est \emph{bien ordonné}. +%x +%\par\noindent{\color{gray}\rule{\linewidth}{5pt}}\par\addvspace{-3pt}\par\nobreak + +%Cette propriété peut être considérée comme un des axiomes qui permettent de décrire l'ensemble \N{} des entiers naturels. Elle peut également se démontrer à partir d'un autre système d'axiomes, de portée équivalente (axiomes de Peano, notamment) ou de portée plus générale (Zermelo-Fraenkel, par exemple). + +%\par\noindent\hrulefill +\section{Récurrence} +\subsection{Introduction} +\label{secexplerec} +La propriété \ref{propppe} permet de formaliser une méthode consistant à établir la validité d'une assertion \frquote{de proche en proche}. Fixons-nous par exemple un réel $a$ strictement positif et, pour tout entier naturel $n$, considérons la propriété $P(n)$ +\[(1+a)^n\geq 1+na.\] + +Nous nous proposons de démontrer que cette propriété est vraie pour tout entier naturel~$n$. + +Prouvons dans un premier temps que $P(0)$ est vraie (\mbox{c.-à-d.} que si $n=0$ alors $P(n)$ est vraie) : puisqu'il est vrai que $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$, il est établi que $(1+a)^0\geq1+0\times a$, donc que $P(0)$ est vraie. + +Donnons-nous alors un entier naturel $n$ et supposons que $P(n)$ est vraie. Prouvons alors que nécessairement $P(n+1)$ est vraie : +\begin{align*} +(1+a)^n&\geq1+na,\\ +\intertext{soit, en multipliant les deux membres par $1+a$, qui est strictement positif,} +(1+a)^{n+1}&\geq(1+a)(1+na),\\ +\intertext{d'où} +(1+a)^{n+1}&\geq 1+(n+1)a+na^2,\\ +\intertext{et enfin} +(1+a)^{n+1}&\geq 1+(n+1)a,\quad \text{car $na^2\geq0$.} +\end{align*} + +Nous venons d'établir que, pour tout entier naturel $n$, si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie. En termes plus formels : +\begin{equation} +\forall n\in\N,\; P(n)\implies P(n+1). +\label{eqhered} +\end{equation} + +Nous notons maintenant $\symcal{A}$ l'ensemble des valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $P(n)$ \emph{est fausse}. Nous allons prouver \emph{par l'absurde} que $\symcal{A}$ est vide, autrement dit que $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. + +Supposons donc que $\symcal{A}$ est non vide. En vertu de la propriété \ref{propppe}, $\symcal{A}$ possède un plus petit élément que nous notons $m$. Puisque $P(0)$ est vraie, on peut affirmer que $0\notin\symcal{A}$ donc que $m>0$, ce qui nous assure que $m-1\in\N$. Le fait que $m-1<m$ nous prouve maintenant que $m-1\notin\symcal{A}$, puisque $m$ est le plus petit élément de $\symcal{A}$. Alors $P(m-1)$ est vraie, ce qui entraîne, d'après la proposition \eqref{eqhered}, que $P(m)$ est vraie également. L'entier $m$ étant élément de $\symcal{A}$ on aboutit à une contradiction. Finalement $\symcal{A}$ est vide et la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$. + +\begin{remark} +On traduit la proposition \eqref{eqhered} en disant que la propriété $P$ est \emph{héréditaire} à partir du rang $0$. +\end{remark} + +\subsection{Un théorème} +Nous souhaitons maintenant nous éviter le recours direct à la propriété \ref{propppe}, et en particulier un raisonnement par l'absurde nécessitant l'introduction un peu lourde d'une partie telle que $\symcal{A}$. Nous souhaitons également pouvoir facilement établir qu'une propriété est vraie non pas sur \N{} tout entier, mais plutôt pour tout entier supérieur à un entier $n_0$ donné. À cet effet nous formulons maintenant le \emph{théorème de récurrence}, dont la démonstration ne sera pas très différente de celle qui a été faite sur l'exemple de la section \ref{secexplerec}. +\begin{thm} +Soit un entier $n_0$ fixé et une propriété $P(n)$ dont l'énoncé dépend d'un entier $n$. Si $P(n_0)$ est vraie et si pour tout entier $n$ supérieur à $n_0$ l'implication +\[P(n)\implies P(n+1)\] +est vraie, alors la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$ supérieur à $n_0$. +\label{threc} +\end{thm} +\begin{proof}Considérons une propriété $P(n)$ vérifiant les hypothèses de notre théorème et montrons alors que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$. +Nous noterons $\symcal{A}$ l'ensemble des entiers naturels $k$ pour lesquels que $P(n_0+k)$ est fausse. Le fait que $P(n_0)$ est vrai se traduit par +\[ +0\notin\symcal{A} +\] + et plus généralement, pour $n≥n_0$, en remarquant que $n$ peut s'écrire $n_0+(n-n_0)$, + \frquote{$P(n)$ est vrai} se traduit par $(n-n_0)\notin\symcal{A}$. + En posant $k=n-n_0$, l'hypothèse + \begin{align} + \forall n≥n_0,\; P(n)&\implies P(n+1)\notag\\ + \intertext{nous assure donc que} + \forall k\in\N,\;k\notin\symcal{A}&\implies(k+1)\notin\symcal{A}. \label{eqheredA} + \end{align} + +Prouver que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$ supérieur à $n_0$ revient à prouver que $\symcal{A}$ est vide. Raisonnons par l'absurde et supposons que $\symcal{A}$ est non vide : en vertu de la propriété \ref{propppe}, $\symcal{A}$ possède alors un plus petit élément que nous notons~$m$. Nous savons que $m>0$, puisque $0\notin\symcal{A}$, et cela nous assure que $m-1\in\N$. Le fait que $m-1<m$ nous prouve maintenant que $m-1\notin\symcal{A}$, puisque $m$ est le plus petit élément de $\symcal{A}$. Alors d'après la proposition \eqref{eqheredA}, $m\notin\symcal{A}$, ce qui est en contradiction avec le fait que $m$ est le plus petit élément de $\symcal{A}$. Il est alors établi que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n≥n_0$. + \end{proof} +% +\begin{remark} +Un raisonnement par récurrence consiste donc à appliquer le théorème \ref{threc} pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$ supérieur à un certain entier $n_0$. Il se fait en trois étapes qui doivent, pour la clarté du propos, être suffisamment mises en évidence. +\begin{enumerate} +\item \textit{Initialisation :} on établit que $P(n_0)$ est vraie. +\item \textit{Preuve du caractère héréditaire de la propriété :} on démontre que +\[ +\forall n≥n_0,\; P(n)\implies P(n+1). +\] +\item \textit{Conclusion :} on a ainsi établi par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout $n≥n_0$. +\end{enumerate} +\end{remark} + +\subsection{Applications et exemples} + +\subsubsection{Une somme} +On se propose de démontrer par récurrence que la somme $S_n$ des $n$ premiers entiers non nuls est égale à $n(n+1)/2$. Par définition on a donc +\[ +S_n=\sum_{k=1}^n k\;\text{ ou si l'on préfère }\; S_n=1+2+\cdots+n-1+n. +\] +On veut démontrer par récurrence que la propriété $P(n)$, définie par +\[ +S_n=\frac{n(n+1)}{2}\;, +\] +est vraie pour tout $n≥1$. +\begin{enumerate} +\item \textit{Initialisation :} on a $S_1=1$ et pour $n=1$, $n(n+1)/2=2/2=1$. Donc $P(1)$ est vraie. +\item \textit{Hérédité :} donnons nous un entier $n≥1$ et supposons que $P(n)$ est vraie. +Montrons alors que $P(n+1)$ est vraie c'est à dire que $S_{n+1}=((n+1)(n+2))/2$. +On sait que $S_{n+1}=S_{n}+n+1$, donc +\begin{align*} +S_{n+1}&=\frac{n(n+1)}{2}+n+1,\\ +&=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\;,\\ +&=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\:. +\end{align*} +On vient d'établir que $\forall n≥1,\;P(n)\implies P(n+1)$. La propriété $P(n)$ est donc héréditaire à partir du rang $1$. +\item \textit{Conclusion :} la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n≥1$. +\[ +\forall n≥1,\;S_n=\frac{n(n+1)}{2}\:. +\] +\end{enumerate} + +\subsubsection{Une autre somme} +On se propose cette fois de démontrer par récurrence que la somme $T_n$ des carrés des $n$ premiers entiers non nuls est égale à $\bigl(n(n+1)(2n+1)\bigr)/6$. Par définition on a donc +\[ +T_n=\sum_{k=1}^n k^2\;\text{ ou si l'on préfère }\; T_n=1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2. +\] +On veut démontrer par récurrence que la propriété $P(n)$, définie par +\[ +T_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;, +\] +est vraie pour tout $n≥1$. +\begin{enumerate} +\item \textit{Initialisation :} on a $T_1=1$ et pour $n=1$, +\[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2\times3}{6}=1.\] + Donc $P(1)$ est vraie. +\item \textit{Hérédité :} donnons nous un entier $n≥1$ et supposons que $P(n)$ est vraie. +Montrons alors que $P(n+1)$ est vraie c'est à dire que +\begin{align*} +T_{n+1}&=\frac{(n+1)\bigl((n+1)+1)(2(n+1)+1\bigr)}{6}\;,\\ +&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\:. +\end{align*} +On sait que $T_{n+1}=T_{n}+(n+1)^2$, donc +\begin{align*} +T_{n+1}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2,\\ +&=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)}{6}\;,\\ +\intertext{soit, en factorisant $n+1$} +T_{n+1}&=\frac{(n+1)\bigl(n(2n+1)+6(n+1)\bigr)}{6}\;,\\ +&=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\;.\\ +\intertext{On remarque alors que $n+6n=7n$, que l'on peut aussi écrire $3n+4n$ d'où} +T_{n+1}&=\frac{(n+1)(2n^2+3n+4n+6)}{6}\;,\\ +&=\frac{(n+1)\bigl(n(2n+3)+2(2n+3)\bigr)}{6}\;,\\ +&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\:. +\end{align*} +On vient d'établir que $\forall n≥1,\;P(n)\implies P(n+1)$. La propriété $P(n)$ est donc héréditaire à partir du rang $1$. +\item \textit{Conclusion :} la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n≥1$. +\[ +\forall n≥1,\;T_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\:. +\] +\end{enumerate} + +\subsubsection{Divisibilité} +Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $n^3+2n$ est un multiple de $3$. +On veut démontrer par récurrence que la propriété $P(n)$, définie par +\[ +\exists\, k\in\N \text{ tel que }n^3+2n=3k, +\] +est vraie pour tout $n≥0$. +\begin{enumerate} +\item \textit{Initialisation :} Si $n=0$, $n^3+2n=0$ qui s'écrit aussi $3\times0$. Donc $P(0)$ est vraie. +\item \textit{Hérédité :} Donnons nous un entier naturel $n$ et supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons alors que $P(n+1)$ est vraie, c.-à-d. que $(n+1)^3+2(n+1)$ est divisible par~$3$. +\begin{align*} +(n+1)^3+2(n+1)&=n^3+3n^2+3n+1+2n+2,\\ +&=(n^3+2n)+3(n^2+n+1). +\end{align*} +L'hypothèse de récurrence nous dit que $P(n)$ est vraie, donc qu'il existe un entier $k$ tel que \mbox{$n^3+2n=3k$}. Alors +\[(n+1)^3+2(n+1)=3(k+n^2+n+1),\] +Ce qui prouve que $(n+1)^3+2(n+1)$ est un multiple de 3. + +On vient d'établir que $\forall n\in\N,\;P(n)\implies P(n+1)$. La propriété $P(n)$ est donc héréditaire à partir du rang $0$. +\item \textit{Conclusion :} la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$. +\[ +\forall n\in\N,\; n^3+2n \text{ est divisible par $3$.} +\] +\end{enumerate} + +\endinput diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/rel-bin.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/rel-bin.tex new file mode 100644 index 00000000000..ae2633e9d57 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/examples/rel-bin.tex @@ -0,0 +1,443 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +%\documentclass[ColorTheme=Red]{dino-iPhone} + +\tgotitle{Relations binaires} +\tgoshorttoc +\section*{Avertissement} +{\itshape +Ce chapitre de la \emph{Mathematica dinosaurorum} a un statut un peu particulier, dans la mesure où il regroupe des notions somme toute assez basiques et que je ne tiens pas à présenter en introduction à d'autres chapitres. Il s'agit donc d'un texte destiné à servir de référence, et pas nécessairement à être lu d'une traite. Les exemples y sont donc peu nombreux, de même que les théorèmes, car tout ceci figure ou figurera dans les chapitres qui font référence à celui-ci. + +} + +\section{Généralités} +\subsection{Produit cartésien} +Deux ensembles $E$ et $F$ étant donnés, on appelle produit cartésien de $E$ et $F$ l'ensemble noté~$E\times F$ des couples $(x,y)$ où $x\in E$ et $y\in F$ : +\[z\in E\times F \iff \exists\, x \in E, \exists\, y\in F,\;\text{tels que}\; z=(x,y).\] + +Dans le cas où $E=F$, on peut noter $E^2$ au lieu de $E\times E$. Ce cas particulier est important : par exemple, l'ensemble des couples des coordonnées des points du plan rapporté à un repère donné est~$\mathbb{R}^2$. On comprend alors que l'ordre de chaque couple est important et qu'il faut distinguer $(x,y)$ et~$(y,x)$, dans le cas de l'exemple qui vient d'être donné, mais aussi d'une façon générale. + +Cette notion se généralise à plus de deux ensembles : par exemple~$\R^3$ est l'ensemble~\mbox{$\R\times\R\times\R$} des triplets ordonnés de réels. + +\subsection{Parties d'un ensemble} +On dit qu'un ensemble $X$ est une partie d'un ensemble $E$ si tout élément de $X$ est un élément de $E$. On dit aussi que~$X$ est un sous-ensemble de $E$ ou que $X$ est inclus dans $E$, ce que l'on note $X \subset E$ : +\[X\subset E \iff \forall x,\; (x\in X\implies x\in E).\] + +L'ensemble vide $\emptyset$ et l'ensemble $E$ lui-même sont des parties de $E$, et l'on note~$\Pt{E}$ l'ensemble de toutes les parties de $E$. +\[X\in \Pt{E}\iff X\subset E.\] + +\begin{alert} +La propriété ci-dessus exprime le fait qu'une inclusion dans $E$ se traduit par une appartenance à $\Pt{E}$. Si $A$ et $B$ sont des parties de $E$, ce sont des \emph{éléments} de $\Pt{E}$, de même que~$\emptyset$ et~$E$. En revanche $\{A\}$, qui est un ensemble admettant pour seul élément la partie $A$ de $E$, est une partie de~$\Pt{E}$ de même que $\{\emptyset\}$ et $\{\emptyset, A, B,E\}$. En tant que parties de $\Pt{E}$, ce sont aussi des éléments de $\Pt{\Pt{E}}$! On notera aussi que l'ensemble vide~$\emptyset$, qui ne contient aucun élément, ne doit pas être confondu avec $\{\emptyset\}$, qui est un ensemble qui contient l'ensemble vide pour seul élément : ces deux ensembles sont des parties de $\Pt{E}$, distinctes l'une de l'autre. Enfin, il apparaît que $\emptyset$ est à la fois un élément et une partie de $\Pt{E}$… +\end{alert} + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Si $E=\{a,b\}$, $\Pt{E}=\{\emptyset,\{a\},\{b\},E\}$. +\item Si $E=\emptyset$, $\Pt{E}=\{\emptyset\}$, $\Pt{\Pt{E}}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ et \[\Pt{\Pt{\Pt{E}}}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}.\] +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsubsection{Opérations dans l'ensemble des parties} +On définit l'union (notée $\cup$) et l'intersection (notée $\cap$) de deux parties de $E$ de la façon suivante : + +\smallskip\par +\begin{itemize} +\item\textit{Union :} $x\in A\cup B \iff ((x\in A)\;\text{ou}\;(x\in B))$. +\item\textit{Intersection :} $x\in A\cap B \iff ((x\in A)\;\text{et}\;(x\in B))$. +\end{itemize} +\smallskip\par + +À propos de l'union, on notera qu'en mathématique le mot \frquote{ou} a \emph{toujours} un sens inclusif, c'est-à-dire \frquote{l'un ou l'autre ou les deux}. L'union et l'intersection de deux parties de $E$ sont elles-mêmes des parties de $E$. + +De même on définit le complémentaire d'une partie $A$ de $E$ comme étant la partie de $E$ constituée des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à~$A$. Ce complémentaire est noté $E\smallsetminus A$ ou~$\complement_{E} A$. Lorsque qu'il n'y a aucune ambiguïté concernant l'ensemble $E$, on peut même le noter~$\bar{A}$. +\smallskip\par +\begin{itemize} +\item\textit{Complémentaire :} $x\in \complement_E A \iff ((x\in E)\;\text{et}\;(x\notin A))$. +\end{itemize} + +\smallskip +Enfin on définit également la \emph{différence ensembliste} de deux parties $A$ et $B$ de $E$, notée~$A\smallsetminus B$ comme étant l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas éléments de $B$. +\smallskip\par +\begin{itemize} +\item\textit{Différence ensembliste :} $x\in A\smallsetminus B \iff ((x\in A)\;\text{et}\;(x\notin B))$. +\end{itemize} + +\subsubsection{Partition d'un ensemble} +Soit un ensemble $E$ et $\symcal{C}$ une ensemble de parties de $E$ (c'est-à-dire un sous-ensemble ou encore une partie de $\Pt{E}$), on dit que $\symcal{C}$ est une partition de $E$ si les deux conditions suivantes sont vérifiées : +\begin{enumerate} +\item Tout élément de $\symcal{C}$ est non vide. +\item Tout élément de $E$ appartient à un élément de $\symcal{C}$ et un seul.\label{cond2} +\end{enumerate} + +\begin{remark}On notera que la condition~\ref{cond2} ci-dessus peut s'expliciter en disant que les parties qui constituent $\symcal{C}$ sont deux à deux disjointes (c'est-à-dire d'intersection vide) et que leur réunion est égale à$E$. +\end{remark} + +\subsection{Relation binaire entre deux ensembles}\label{relbin} +Une \emph{relation binaire} $\symcal{R}$ entre deux ensembles $E$ et $F$ est définie par la donnée d'une partie~$\symcal{G}$ du produit cartésien~$E\times F$ (on a donc $\symcal{G}\in\Pt{E\times F}$). Cette partie, qui est donc un ensemble de couples, est le \emph{graphe} de la relation : par définition, un couple~$(x,y)$ de~$E\times F$ est lié par la relation~$\symcal{R}$ si~$(x,y)\in \symcal{G}$. Donner une relation binaire revient donc à donner son graphe. Si la relation est notée $\symcal{R}$, on écrit $x\mathrel{\symcal{R}}y$ ou $\symcal{R}(x,y)$ pour exprimer que~$x$ et~$y$, dans cet ordre, sont liés par la relation $\symcal{R}$. On a donc pour une relation~$\symcal{R}$ dont le graphe est $\symcal{G}$: +\[\forall (x,y)\in E\times F, \; x\mathrel{\symcal{R}}y\iff(x,y)\in \symcal{G}.\] + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item L'égalité est une relation binaire qui peut être définie sur tout ensemble $E$. Son graphe est ce que l'on nomme la \emph{diagonale} de $E$, c'est à dire l'ensemble des couples $(x,y)$ de~$E^2$ tels que~$x=y$. + +%\item L'ordre strict dans l'ensemble des réels est une relation binaire notée~$<$ (on aurait également pu considérer un ordre large ou l'ordre inverse). Par définition, $x<y$ traduit le fait que $y-x$ est un réel strictement positif : +%\[\forall (x,y) \in \R^2, \; x<y \iff (y-x)\in \R^{*}_+.\] +%Le graphe de cette relation peut être représenté par l'ensemble des points du plan repéré dont l'ordonnée est strictement supérieure à l'abscisse, c'est à dire les points situés strictement au dessus de la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice du repère). +%\label{ord-strict} +%On notera que la \emph{règle des signes}, reposant sur la \emph{partition} de $\R$ en trois ensembles qui sont $\R^*_-$, le singleton $\{0\}$ et $\R^*_+$, préexiste à la définition d'un ordre dans $\R$. + +\item Le relation $p$ définie entre $\R$ et $\R_+$ par +\[\forall (x,y)\in \R\times \R_+,\; p(x,y)\iff y=x^2.\] +Le graphe de $p$ peut être représenté, dans le demi-plan repéré des points d'ordonnée positive, par la parabole d'équation~$y=x^2$. On notera que cette relation est en réalité une fonction et que la notation $y=p(x)$ aurait été plus habituelle; nous y reviendrons. +\end{enumerate} +\end{example} + +% Dans le cas d'une +%relation fonctionnelle (voir \S~\ref{Rfonc} ci-dessous), pour laquelle un seul élément y de $F$ est en relation avec un élément $x$ donné dans $E$, on écrit en général $y=\symcal{R}(x)$. +% + +\section{Relations d'équivalence} +\subsection{Définition} +On dit qu'une relation $\symcal{R}$, définie sur $E$ (on se place donc dans le cas où $E=F$) est une relation d'équivalence si elle possède les trois propriétés suivantes : +\begin{enumerate} +\item Elle est \emph{réflexive}, c'est-à-dire que tout élément de $E$ est en relation avec lui même : +\[\forall x \in E,\; x\mathrel{\symcal{R}}x.\] +\item Elle est \emph{symétrique}: +\[\forall (x,y)\in E\times E,\; (x\mathrel{\symcal{R}}y \implies y\mathrel{\symcal{R}}x).\] +\item Elle est \emph{transitive} : +%\[ +%\forall (x,y,z)\in E^3,\quad \left.\begin{aligned} +%x&\mathrel{\symcal{R}}y\\ +%&\text{et}\\ +%y&\mathrel{\symcal{R}}z +%\end{aligned}\right\} +%\implies x\mathrel{\symcal{R}}z +%\] +\[ +\forall (x,y,z)\in E^3,\; \bigl((x\mathrel{\symcal{R}}y\;\text{ et }\;y\mathrel{\symcal{R}}z)\implies x\mathrel{\symcal{R}}z\bigr). +\] +\end{enumerate} + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item L'égalité est une relation d'équivalence sur tout ensemble, c'est une conséquence directe de la définition. +\item Si l'on désigne par $\symfrak{D}$ l'ensemble des droites du plan, le parallélisme est une relation d'équivalence sur $\symfrak{D}$ : c'est immédiat également, on peut noter au passage que la transitivité traduit le fait que \frquote{deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles}. +\item Pour un ensemble $E$ donné, la relation dont le graphe est $E\times E$ est une relation d'équivalence. Tous les couples d'éléments de $E$ sont donc liés par cette relation. +\item La relation $\equiv$ définie dans l'ensemble $\Z$ des entiers par +\[\forall (m,n)\in\Z\times\Z,\; m\equiv n \iff (m-n) \text{ est un entier pair.}\] +est une relation d'équivalence. + +Rappelons qu'un élément $p$ de $\Z$ est un entier pair s'il est divisible par~$2$, c'est-à-dire s'il existe $k$ appartenant à $\Z$ tel que~$p=2k$ et montrons que la relation~$\equiv$ remplit bien les conditions requises : +\begin{enumerate} +\item \emph{Réflexivité. — }Soit $m\in\Z$ un entier quelconque : $m-m=0=2\times0$. Donc~$m-m$ est pair. La relation $\equiv$ est réflexive. +\item \emph{Symétrie. — }Soit $m$ et $n$ deux entiers tels que $m\equiv n$. Alors il existe un entier~$k$ tel que~$m-n=2k$. Il suffit alors d'écrire $n-m=2\times(-k)$ pour constater que $n\equiv m$. La relation~$\equiv$ est symétrique. +\item\emph{Transitivité. — }Soit $(m,n,p)$ dans $\Z^3$ tels que $m\equiv n$ et $n\equiv p$. Il existe alors deux entiers~$k$ et~$k'$ tels que \mbox{$m-n=2k$} et $n-p=2k'$. Il suffit de remarquer que +\[m-p=(m-n)+(n-p)=2(k+k'), \text{ où $(k+k')\in\Z$}\] +pour établir que $m\equiv p$. La relation $\equiv$ est donc transitive. +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{example} +%\subsection{Exemples} + +\subsection{Classes d'équivalence} +Soit un ensemble $E$ et une relation d'équivalence $\symcal{R}$ sur$E$. On dit qu'une partie~$A$ de~$E$ est une classe d'équivalence modulo la relation~$\symcal{R}$ s'il existe un élément $x$ de~$E$ tel que~$A$ soit l'ensemble des éléments~$y$ de~$E$ pour lesquels la relation~$x\mathrel{\symcal{R}}y$ est vérifiée. On note alors~$A=\cl_{\symcal{R}} (x)$ ou~$A=\cl (x)$ s'il n'y a pas d'ambiguité. +\[y\in\cl_{\symcal{R}} (x)\iff x\mathrel{\symcal{R}}y.\] + +\begin{thm} +Soit un ensemble $E$ et une relation d'équivalence $\symcal{R}$ sur $E$. L'ensemble des classes d'équivalence modulo $\symcal{R}$ constitue une partition de $E$. +\end{thm} + +\begin{proof} +Tout d'abord la réflexivité de la relation $\symcal{R}$ entraîne que pour tout~$x$ appartenant à~$E$,~$x$ appartient à~$\cl(x)$. Par conséquent, tout $x\in E$ appartient à une classe et toute classe est non vide. Il nous reste à prouver que tout élément $x$ de $E$ appartient à une seule classe, c'est à dire que s'il existe un élément $y$ de $E$ tel que $x\in \cl(y)$, alors $\cl(x)=\cl(y)$. + +Nous allons procéder par double inclusion. +\begin{itemize} +\item Soit donc $y\in E$ tel que $x\in\cl(y)$. On sait que $y\mathrel{\symcal{R}}x$, donc, +pour tout~$z\in \cl(x)$, on a à la fois $y\mathrel{\symcal{R}}x$ et $x\mathrel{\symcal{R}}z$ : par transitivité on obtient~$y\mathrel{\symcal{R}}z$, soit~$z\in\cl(y)$ : +\[\forall z\in E, (z\in\cl(x)\implies z\in\cl(y), \text{ donc }\cl (x)\subset\cl (y).\] + \item Par symétrie de la relation d'équivalence $\symcal{R}$, on a aussi~$x\mathrel{\symcal{R}}y$. On peut alors refaire le même raisonnement que ci-dessus : + pour tout $z$ appartenant à $\cl(y)$ on a à la fois~$x\mathrel{\symcal{R}}y$ et~$y\mathrel{\symcal{R}}z$, + donc par transitivité $x\mathrel{\symcal{R}}z$, soit~\mbox{$z\in\cl(x)$} : +\[\forall z\in E, (z\in\cl(y))\implies z\in\cl(x), \text{ donc }\cl (y)\subset\cl (x).\] +\item Finalement $\cl(x)=\cl(y)$.\qedhere +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{remark} +Réciproquement, toute partition $\symcal{C}$ d'un ensemble $E$ est l'ensemble des classes d'une relation d'équivalence. Il suffit en effet de considérer la relation $\sim$ telle que pour tout~$(x,y)$ dans $E^2$, on ait \textit{$x\sim y$ si $x$ appartient au même élément de $\symcal{C}$ que~$y$}, laquelle répond à la question. +\end{remark} +%\end{document} +%\subsubsection{Notion de structure quotient} + +\section{Relations d'ordre} +\subsection{Définition} +On dit qu'une relation $\preccurlyeq$, définie sur $E$ (on se place donc ici encore dans le cas où~$E=F$) est une relation d'ordre si elle possède les trois propriétés suivantes : +\begin{enumerate} +\item Elle est \emph{réflexive}, c'est-à-dire que tout élément de $E$ est en relation avec lui même : +\[\forall x \in E,\; x\preccurlyeq x.\] +\item Elle est \emph{antisymétrique}: +\[\forall (x,y)\in E\times E,\; \bigl((x\preccurlyeq y)\text{ et }(y\preccurlyeq x)\implies x=y\bigr).\] +\item Elle est \emph{transitive} : +%\[ +%\forall (x,y,z)\in E^3,\quad \left.\begin{aligned} +%x&\mathrel{\symcal{R}}y\\ +%&\text{et}\\ +%y&\mathrel{\symcal{R}}z +%\end{aligned}\right\} +%\implies x\mathrel{\symcal{R}}z +%\] +\[ +\forall (x,y,z)\in E^3,\; \bigl((x\preccurlyeq y\;\text{ et }\;y\preccurlyeq z)\implies x\preccurlyeq z\bigr). +\] +\end{enumerate} + +\begin{remark} +La démonstration du résultat suivant est immédiate. + +Une relation d'ordre $\preccurlyeq$ sur un ensemble $E$ étant donnée, la relation~$\succcurlyeq$, définie par +\[\forall (x,y) \in E^2, x\succcurlyeq y \iff y\preccurlyeq x\,,\] +est une relation d'ordre sur $\R$ nommée \emph{ordre inverse} de $\preccurlyeq$. +\end{remark} + +%\begin{exemple}[Exemples] +%\begin{enumerate} +%\item La relation d'ordre strict sur l'ensemble $\R$ des réels, telle que nous l'avons rencontrée dans l'exemple~\ref{ord-strict} du paragraphe~\ref{relbin} n'est pas une relation d'ordre, car elle n'est pas réflexive. En revanche l'ordre large correspondant, défini par +%\[\forall (x,y) \in \R^2, \; x\leq y \iff (y-x)\in \R_+\,,\] +%est bien une relation d'ordre. En effet : +%\begin{itemize} +%\item Pour tout $x$ réel, $x-x=0$ et $0\in \R_+$, ce qui assure que la relation~$\leq$ est \emph{réflexive}. +%\item Pour tout couple de réels $(x,y)$, si $x\leq y$ et $y\leq x$ alors $x=y$. En effet, en effet, $y\leq x$ signifie que $(x-y)\in \R_+$. Le réel $(y-x)$ se retrouve donc appartenir à la fois à $\R_+$ (car $x\leq y$) et à $\R_-$ (en tant qu'opposé de $(x-y)$) ; on en déduit que $y-x=0$ donc que $x=y$. La relation~$\leq$ est donc \emph{antisymétrique}. +%\item Soit $(x,y,z)\in\R^3$, on a $z-x=(z-y)+(y-x)$. On en déduit que si $x\leq y$ et $y\leq z$, $z-x$ est élément de $\R_+$ et tant que somme de deux éléments de $\R_+$, ce qui revient à dire que $x\leq z$. Le relation~$\leq$ est donc \emph{transitive}. +%\end{itemize} +%\end{enumerate} +%\end{exemple} + +\subsection{Ordre dans les ensembles de nombres} +Les relations usuelles $<$ et $>$, définies sur les ensembles de nombres, \emph{ne sont pas} des relations d'ordre, il est facile de l'établir : ces relations \emph{ne sont pas} réflexives. Il est en revanche plus délicat de démontrer que les relations~$\leq$ et~$\geq$ sont des relations d'ordre, et même de tout simplement définir ces relations. + On pourrait songer à définir l'ordre dans $\R$ en disant que~$x\leq y$ si $(y-x)\in \R_{+}$… Mais alors il resterait à définir $\R_{+}$ sans utiliser l'ordre, ce qui ne semble nullement évident. C'est pour cette raison que nous nous contenterons d'affirmer que la relation $\leq$, telle que chacun la connaît, est bien une relation d'ordre sur $\R$ (ainsi d'ailleurs que sur $\N$, $\Z$, $\symbb{D}$ et $\Q$). + +% +\subsection{Un peu de vocabulaire} +On se donne dans ce paragraphe un ensemble $\symcal{E}$ sur lequel est définie une relation d'ordre~$\preccurlyeq$. +\subsubsection{Ordre total} + On dit que la relation $\preccurlyeq$ définit un ordre total sur $\symcal{E}$ si pour tout couple~$(x,y)$ d'éléments de~$\symcal{E}$, la proposition + \XSmartphoneCommand{$\bigl((x\preccurlyeq y)\text{ ou }(y\preccurlyeq x)\bigr)$} + \SmartphoneCommand{% + \[ + \bigl((x\preccurlyeq y)\text{ ou }(y\preccurlyeq x)\bigr) + \]% + } + est vraie. + +\subsubsection{Majorants, minorants \& C\up{ie}} +Soit maintenant $\symcal{A}$ une partie de $\symcal{E}$. + +\begin{itemize} +\item On dit qu'un élément $M$ de $\symcal{E}$ est un majorant de $\symcal{A}$, si $\forall x\in \symcal{A},\, x\preccurlyeq M$. +\item On dit qu'un élément $m$ de $\symcal{E}$ est un minorant de $\symcal{A}$, si $\forall x\in \symcal{A},\, m\preccurlyeq x$. +\item On dit que $\symcal{A}$ admet $A$ pour plus grand élément si $A\in \symcal{A}$ et si $A$ est un majorant de $\symcal{A}$. +\item On dit que $\symcal{A}$ admet $a$ pour plus petit élément si $a\in \symcal{A}$ et si $a$ est un minorant de~$\symcal{A}$. +\end{itemize} + + + +\begin{remark} +Dans un ensemble muni d'une relation d'ordre, l'existence d'un majorant, d'un minorant, d'un plus petit ou d'un plus grand élément n'est nullement assurée. On a en revanche le résutat suivant. +\end{remark} + +\begin{thm} +Soit un ensemble $\symcal{E}$ sur lequel est définie une relation d'ordre $\preccurlyeq$ et soit $\symcal{A}$ une partie de~$\symcal{E}$. Si~$\symcal{A}$ admet une plus grand élément (respectivement un plus petit élément) pour la relation $\preccurlyeq$, ce plus grand élément (respectivement ce plus petit élément) est unique. +\end{thm} +\begin{proof} +Nous proposons la démonstration dans le cas du plus petit élément, celle de l'autre cas est identique. Supposons que~$a$ et~$a'$ soient des plus petits éléments de $\symcal{A}$. D'après la définition d'un plus petit élément, on sait que pour tout~$x$ de~$\symcal{A}$, $a\preccurlyeq x$ et en particulier~\mbox{$a\preccurlyeq a'$}. Et de la même façon, on sait que pour tout $x$ de $\symcal{A}$, $a'\preccurlyeq x$ et en particulier~\mbox{$a'\preccurlyeq a$}. L'antisymétrie de la relation $\preccurlyeq$ nous assure alors que $a=a'$, d'où l'unicité du plus petit élément. +\end{proof} + +Supposons maintenant que $\symcal{A}$ admette $A$ pour plus grand élément et soit $\symcal{M}$ l'ensemble de tous les majorants de $\symcal{A}$. Il va de soi que $\symcal{A}\cap\symcal{M}=\{A\}$. L'élément $A$ apparaît ainsi également comme le plus petit élément de $\symcal{M}$. De la même façon, si $\symcal{A}$ admet un plus petit élément, ce dernier est le plus grand des minorants de $\symcal{A}$. + +\begin{alert} +Dans le cas où $\symcal{A}$ ne possède pas de plus grand élément, il n'est nullement assuré que~$\symcal{M}$ possède un plus petit élément, ni même d'ailleurs que $\symcal{M}$ soit non vide. Néanmoins il est possible que $\symcal{M}$ possède un plus petit élément, et ceci que $\symcal{A}$ possède ou non un plus grand élément. Ce plus petit élément de $\symcal{M}$ est alors par définition la \emph{borne supérieure} de~$\symcal{A}$ dans l'ensemble $\symcal{E}$ ordonné par $\preccurlyeq$. +\end{alert} + + \section{Applications, fonctions}\label{Rfonc} +%%%Fonction caractéristique, cardinal de $\symcal{P}(E)$ ou $\symfrak{P}(E)$ +\subsection{Définition} +On dit qu'une relation binaire $f$ entre deux ensembles $E$ et~$F$ est fonctionnelle ou qu'elle est une \emph{fonction} définie sur~$E$ et à valeurs dans $F$ ou encore une \emph{application} de~$E$ dans $F$ si tout élément $x$ de $E$ est en relation avec un élément~$y$ de~$F$ et un seul. Cet élément $y$ est appelé \emph{image} de~$x$ par~$f$ et noté $f(x)$ (autrement dit on écrit plus volontiers~$y=f(x)$ que~$x \mathrel{f}y$). L'ensemble $E$ est l'ensemble de départ de la fonction et l'ensemble $F$ son ensemble d'arrivée. + +Une application est donc déterminée par la donnée de son ensemble de départ, de son ensemble d'arrivée et d'un procédé décrivant une correspondance fonctionnelle entre ces deux ensembles. On note souvent : + +\begin{align*}&f\::\;E\to F\;,\quad x\longmapsto f(x)\,.\\ +\intertext{Par exemple :} +&f\::\;\left]-1,1\right[\to\R\;,\quad x \longmapsto \frac{1}{x^2-1}\;,\\ +\intertext{ou} +&g\::\;\Z\to\{0,1\}\;,\quad p\longmapsto +\begin{cases} 0&\text{ si $p$ est pair,}\\ +1&\text{ sinon.} +\end{cases} +\end{align*} + +Il n'y a pas de distinction entre fonction et application, mais le contexte peut introduire certaines nuances. En effet, lorsque $E$ est une partie de l'ensemble $\R$ des nombres réels, $f(x)$ est souvent donné par une expression, sa valeur étant le résultat d'un calcul. On emploie alors plus volontiers le vocable \emph{fonction} et dans ce cas l'ensemble de départ peut ne pas être précisé et correspond alors à l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible. On parle alors plutôt d'ensemble de définition que d'ensemble de départ. + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Soit la fonction $f$ de la variable réelle $x$, telle que +\[f(x)=\frac{x}{x^2-4}\;. +\] +Déterminons l'ensemble de définition $\symcal{D}_f$ de la fonction $f$. On a +\begin{align*} +x\in \symcal{D}_f &\iff x^2-4\neq 0\\ +&\iff x\neq -2 \text{ et } x\neq 2. +\end{align*} + +Donc $\symcal{D}_f= \R\smallsetminus\{-2,2\}$. +\item Soit la fonction $g$ telle que $g(x)=\sqrt{1-x^2}$. Déterminons l'ensemble de définition de $g$. On a +\[ +x\in \symcal{D}_g \iff 1-x^2\geq 0. +\] + +Il nous faut donc résoudre l'inéquation $1-x^2\geq0$. Le polynôme $1-x^2$ admet les nombres~$-1$ et~$1$ pour racines et le coefficient de $x^2$ est négatif :~\mbox{$1-x^2$} est donc positif dans l'intervalle des racines (on pourra consulter le volet consacré aux polynômes du second degré). + +Donc $\symcal{D}_g= \left[-1,1\right]$. +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsection{Antécédents, surjections, injections \& bijections} +\subsubsection{Notion d'antécédent} +Soit une application $f$ de $E$ dans $F$ et soit~$b$ élément de~$F$. On dit qu'un élément~$a$ de~$E$ est un \emph{antécédent} de $b$ si $f(a)=b$, autrement dit si~$b$ est l'image de~$a$ par $f$. +Alors que la définition d'une fonction entraîne que l'image d'un quelconque élément de $E$ existe et est unique, dans le cas d'une recherche d'antécédent, rien de ce genre n'est assuré. + +Considérons par exemple la fonction \emph{carré} définie par +\[f\::\;\R\to\R\;,\quad x\longmapsto f(x)=x^2 \] +et recherchons les antécédents par $f$ d'un élément~$y$ de~$\R$, c.-à-d. les solutions de l'équation d'inconnue~$x$ :~\mbox{$x^2=y$}. +\begin{itemize} +\item \textit{Si $y>0$} : $y$ admet deux antécédents qui sont $\sqrt{y}$ et $-\sqrt{y}$. +\item \textit{Si $y=0$} : le seul antécédent de $0$ est $0$. +\item \textit{Si $y<0$} : $y$ ne possède aucun antécédent. +\end{itemize} +\begin{remark} +Il faut remarquer ici que la connaissance précise des ensembles de départ et d'arrivée est indispensable à la recherche des antécédents. Considérons la fonction +\[g\::\;\R_+\to\R_+\;,\quad x\longmapsto g(x)=x^2. \] +Les expressions de $g(x)$ et de $f(x)$ sont parfaitement identiques, mais, contrairement à ce que nous venons d'étudier pour la fonction $f$, dans le cas de la fonction $g$ tout élément~$y$ de l'ensemble d'arrivée possède un antécédent unique qui est $\sqrt{y}$. +\end{remark} +\subsubsection{Surjections, injections et bijections} +\begin{remark}[Surjections] +On dit qu'une application $f$ de $E$ dans $F$ est \emph{surjective} (ou encore que~$f$ est une \emph{surjection}) si tout élément de $F$ possède au moins un antécédent dans~$E$. +\end{remark} +\begin{remark}[Injections] +On dit qu'une application $f$ de $E$ dans $F$ est \emph{injective} (ou encore que $f$ est une \emph{injection}) ou encore si deux éléments distincts quelconques de $E$, ont des images distinctes. De façon plus formelle,~\mbox{$f\::\;E\to F$} est injective si +\begin{gather}\forall(x,y)\in E\times E, \;\bigl(x\neq y\implies f(x)\neq f(y)\bigr).\label{condinj1}\\ +\intertext{Ou, par contraposition, $f\::\;E\to F$ est injective si} +\forall(x,y)\in E\times E, \;\bigl(f(x)= f(y)\implies x=y\bigr).\label{condinj2} +\end{gather} + +On peut dire également que $f$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ possède au plus un antécédent dans~$E$. +\end{remark} + +\begin{remark}[Bijections] +On dit qu'une application $f$ de $E$ dans $F$ est \emph{bijective} (ou encore que $f$ est une \emph{bijection}) si tout élément de $F$ possède un antécédent dans $E$ et un seul, autrement dit si $f$ est à la fois surjective et injective. + +Si l'application $f\::\;E\to F$ est bijective, l'application qui à tout élément de $F$ associe son unique antécédent dans $E$ est évidemment bijective : c'est la \emph{bijection réciproque} de~$f$, notée~$f^{-1}$. +\end{remark} +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item \label{phi} Soit l'application +\[ +\phi\::\;\R\smallsetminus\{1\}\to\R\,,\quad x\longmapsto \frac{2x}{x-1}\;. +\] + +Donnons-nous un réel $y$ quelconque et recherchons ses antécédents, qui sont les solutions dans $\R\smallsetminus\{1\}$ de l'équation $\phi(x)=y$, que nous résolvons ici : +\begin{align*} +\frac{2x}{x-1}=y &\iff 2x=y(x-1)\text{ et } x\neq 1\,,\\ +&\iff x(2-y)=-y\text{ et } x\neq 1\,,\\ +&\iff x(y-2)=y\text{ et } x\neq 1\,. +\end{align*} +\begin{itemize} +\item\textit{Si $y=2$}, l'équation est équivalente à $0=2$ et n'a donc pas de solution. Le réel $2$ n'a pas d'antécédent par $\phi$. +\item\textit{Si $y\neq 2$}, l'équation admet \[x=\frac{y}{y-2}\] pour unique solution (il est clair en effet que $y/(y-2)$ ne peut être égal à $1$). +\end{itemize} + + +En résumé, le réel $2$ ne possède aucun antécédent et les réels différents de $2$ possèdent un antécédent et un seul. L'application $\phi$ est donc injective, mais n'est pas surjective. +\item Soit maintenant l'application +\[ +\psi\::\;\R\smallsetminus\{1\}\to\R\smallsetminus\{2\}\,,\quad x\longmapsto \frac{2x}{x-1}\;. +\] + +On notera que les applications $\phi$ et $\psi$ ne diffèrent que par leur ensemble d'arrivée. Cependant, l'étude faite ci-dessus en \ref{phi} prouve que $\psi$ est bijective et que sa bijection réciproque est +\[ +\psi^{-1}\::\;\R\smallsetminus\{2\}\to\R\smallsetminus\{1\}\,,\quad x\longmapsto \frac{x}{x-2}\;. +\] +\item L'application $\theta$ définie par +\[ +\theta\::\;\R\to\R\,,\quad x\longmapsto x^2-1 +\] +n'est ni injective ni surjective. En effet $\theta(x)$ est nul si et seulement si $x^2=1$, c.-à-d si et seulement si $x=-1$ ou $x=1$ : le réel $0$ possède donc deux antécedents pour $\theta$. Par ailleurs, pour tout réel~$x$,~$x^2\geq0$, donc $\theta(x)\geq-1$ : le réel $-2$, par exemple, ne possède aucun antécédent par $\theta$. +\end{enumerate} +\end{example} +\subsection{Composée de deux applications} + +Soit deux applications $f\::\;E\to F$ et $g\::\;F\to G$, on appelle \emph{application composée de~$f$ par~$g$} et on note $g\rond f$ l'application de $E$ dans $G$ définie par : +\[g\rond f\::\; E\to G\,,\quad x\longmapsto g\rond f(x) = g\bigl(f(x)\bigr).\] + +Notons qu'il est important pour définir $g\rond f$ que l'ensemble d'arrivée de $f$ coïncide avec l'ensemble de départ de~$g$. + +\begin{example} +Soit +\[ +f\::\;\R^*\to\R\,,\; x\mapsto \frac1x\;\text{ et }\;g\::\:\R\to\R\,,\; x\mapsto x^2+1\,. +\] +Déterminons $g\rond f$ qui est une application de $\R^*$ dans $\R$. + +On a pour tout $x\in\R^*$, +\begin{align*} +g\rond f(x) &= g\bigl(f(x)\bigr),\\ +&={\bigl(f(x)\bigr)}^2+1,\\ +&={\left(\frac1x\right)}^2+1,\\ +\intertext{ou, en réduisant au même dénominateur,} +g\rond f(x)&= \frac{1+x^2}{x^2}\;. +\end{align*} +\begin{remark} +On notera que la même lettre $x$ intervient dans les définitions de~$f$ et~$g$. Il s'agit bien sûr d'une lettre muette, qui pourrait dans chaque cas être remplacée par n'importe quelle autre lettre (en évitant tout de même les lettres $f$ et $g$!). +\end{remark} +\end{example} + +\begin{thm}Soit deux applications $f\::\;E\to F$ et $g\::\;F\to G$. Si $f$ et $g$ sont des bijections, alors l'application composée $g\rond f$ est une bijection dont la bijection réciproque est $f^{-1}\rond g^{-1}$. +\end{thm} + +\begin{proof} +Soit deux bijections $f\::\;E\to F$ et $g\::\;F\to G$. % et un élément $a$ de $E$. +%Si $a$ est un antécédent de $b$ par $g\rond f$, on a $g\rond f(a)=c$, soit $g\bigl(f(a)\bigr)=c$. +\begin{enumerate} +\item\label{gofsurj} Donnons nous un élément $c$ quelconque de $G$. Les applications~$g$ et~$f$ étant surjectives, $c$ possède un antécédent~$b$ par $g$ et $b$ possède lui-même un antécédent $a$ par $f$. On a alors +\[g\rond f(a) =g\bigl(f(a)\bigr)=g(b)=c.\] +L'élément $c$ admet $a$ pour antécédent par $g\rond f$ qui est donc est donc application surjective. +\item Supposons maintenant qu'il existe un élément $c$ de $G$ et $a$ et $a'$ éléments de $E$ tels que~$g\rond f(a)=g\rond f(a')$. Alors $g\bigl(f(a)\bigr)=g\bigl(f(a')\bigr)$ et puisque $g$ est injective on a, d'après la proposition \eqref{condinj2} p.~\pageref{condinj2}, $f(a) = f(a')$; l'application $f$ étant elle-même injective, on obtient finalement~$a=a'$. On a donc prouvé que +\[\forall(a,a')\in E\times E, \;\bigl(g\rond f(a)= g\rond f(a')\implies a=a'\bigr),\] +autrement dit que $g\rond f$ est injective. +\item L'application $g\rond f$ est donc surjective et injective : elle est bijective. On remarque alors en employant les notations du point \ref{gofsurj} ci-dessus \mbox{que $a=f^{-1}(b)$} et $b=g^{-1}(c)$, \mbox{d'où $a=f^{-1}\bigl(g^{-1}(c)\bigr)$}, ce qui achève la démonstration en prouvant que +\[{\bigl(g\rond f\bigr)}^{-1}=f^{-1}\rond g^{-1}.\qedhere\] +\end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{remark} +La réciproque de ce théorème est fausse. Considérons par exemple les applications suivantes : +\[ +f\::\;\R_+\to\R\,,\; x\mapsto \sqrt{x}\;\text{ et }\;g\::\;\R\to\R_+\,,\; x\mapsto x^2. +\] +Pour tout réel $x$ positif, on a $g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2=x$, par définition de la racine carrée. Par conséquent, on a +\[g\rond f \::\;\R_+\to\R_+\,,\quad x\longmapsto x,\] +qui est à l'évidence une bijection. Cependant, $f$ n'est pas surjective (les nombres strictement négatifs n'ont pas d'antécédent) et $g$ n'est pas injective (deux nombres opposés non nuls ont la même image). +\end{remark} + +On a néanmoins le théorème suivant: +\begin{thm} +Soit deux applications $f\::\;E\to F$ et $g\::\;F\to G$. Si $g\rond f$ est injective, $f$ est injective. Si $g\rond f$ est surjective, $g$ est surjective. +\end{thm} + +\begin{proof} +\begin{itemize} +\item Supposons $g\rond f$ injective et soit $x$ et $y$ éléments de $E$ tels que~\mbox{$f(x)=f(y)$}. Montrons que nécessairement $x=y$, ce qui établira que~$f$ est injective. + +Puisque $f(x)=f(y)$, $g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(f(y)\bigr)$, soit $g\rond f(x)=g\rond f(y)$ : on en déduit que~$x=y$, car $g\rond f$ est injective par hypothèse. Par conséquent~$f$ est injective. +\item Supposons $g\rond f$ surjective et soit $z$ un élément de $G$. L'application~$g\rond f$ étant surjective, il existe un élément $x$ de $E$ tel que $g\rond f(x)=z$, soit~$g\bigl(f(x)\bigr)=z$. L'élément~$z$ admet donc $f(x)$ pour antécédent par $g$, ce qui prouve que~$g$ est surjective. \qedhere +\end{itemize} +\end{proof} +\endinput
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L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 5~\% chaque début d'année. + +Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021. + +Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : \og l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population \fg. + +Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse. +\end{enumerate} + + + +\exo[Thème : probablités — 4 points] + +Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7~\% des habitants sont affectés par une certaine maladie. + +Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes : +\begin{itemize} +\item Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \,\%$ des cas ; +\item Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1\,\%$ des cas. +\end{itemize} + +Une personne est choisie au hasard dans la population et testée. + +On considère les événements suivants : +\begin{itemize} +\item $M$ : \og la personne est malade \fg{} ; +\item $T$ : \og le test est positif \fg{}. +\end{itemize} + +\begin{enumerate} +\item Calculer la probabilité de l'événement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. +\item Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de $\np{0,0653}$. +\item On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. +Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$. +\item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. + +On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes. + \begin{enumerate} + \item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. + \item Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\exo[Thème : géométrie dans l'espace — 2 points] + + + +Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ , on considère les points +\[A(-1,-1,3),\qquad B(1,1,2),\qquad C(1,-1,7).\] + +On considère également la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1,6,8)$ et $E(11,- 9,2)$. + +Pour chacune des questions posées, quatre affirmations \textbf{dont une seule est correcte} sont proposées. +Entourer la bonne réponse directement sur l'énoncé. + +Aucune justification n'est attendue. + +Une réponse correcte apporte 0,5 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'enlève pas de point. + + + \begin{enumerate} + \item Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est +\medskip + +\textbf{a.} $\left\{ + \begin{aligned} + x&= -1 + 11t\\ + y&= 6 - 9t\\ + z&= 8 +2t\\ + \end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$ + \hfill +\textbf{b.} $\left\{ + \begin{aligned} + x&= -1 + 4t\\ + y&= 6 - 5t\\ + z&= 8 -2t\\ + \end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$ + \hfill +\textbf{c.} $\left\{ + \begin{aligned} + x&= 11 -t\\ + y&= - 9+6t\\ + z&= 2 +8t\\ + \end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$ + \hfill + \textbf{d.} + $\left\{ + \begin{aligned} + x&= 4 -t\\ + y&= -5 +6t\\ + z&= -2 + 8 t\\ + \end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$\hfill\null + +\bigskip + + \item Lequel de ces points appartient-il à la droite $\Delta$ ? + +\medskip + + \textbf{a.} Le point $F(-3,1,6)$ + \hfill \textbf{b.} Le point $G (5,\:-1{,}5,\:5)$ + \hfill \textbf{c.} Le point $H (10,-3,10)$ + \hfill \textbf{d.} Le point $K (12,-15,-6)$ + +\bigskip + + \item Pour savoir si les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan, il faut vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : + +\medskip + + \textbf{a.} sont colinéaires. + \hfill \textbf{b.} sont coplanaires. + \hfill \textbf{c.} ne sont pas colinéaires. + \hfill \textbf{d.} ne sont pas coplanaires. + +\bigskip + + \item La droite $\Delta$ et le plan (ABC) : + +\medskip + + \begin{tabular}{ll} + \textbf{a.} sont strictement parallèles. + &\textbf{b.} ont une infinité de points communs.\\[12pt] + \textbf{c.} sont sécants en $I(-13,21,14)$ + &\textbf{d.} sont sécants en $J(3,1,6)$ + \end{tabular} + + \bigskip + +\item Les droites $\delta$ et $\delta'$ de représentations paramétriques respectives : + + $ \delta : \left\{ + \begin{aligned} + x&= -1 + 11k\\ + y&= 6 - 9k\\ + z&= 8 +2k\\ + \end{aligned} \right.~(k \in \symbb{R})$ + \quad et\quad $\delta' : \left\{ + \begin{aligned} + x&= 11 -\ell\\ + y&= - 9+6\ell\\ + z&= 2 +8\ell\\ + \end{aligned} \right.~(\ell \in \symbb{R})$\quad sont : + + \medskip + + \begin{tabular}{ll} + \textbf{a.} sécantes au point de coordonnées $(1,1,1)$. + & \textbf{b.} sécantes au point de coordonnées $(-12,15,6)$.\\[12pt] + \textbf{c.} sécantes en un autre point + &\textbf{d.} non sécantes. + \end{tabular} + + +\end{enumerate} + +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 00000000000..17dd66dc4ec --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.tex new file mode 100644 index 00000000000..ad6693fc5ef --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-en.tex @@ -0,0 +1,743 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +\documentclass[english,ColorTheme=Red,FontSize=10pt]{tango} +%\setmonofont{Latin Modern Mono}[Scale=MatchUppercase] +\usepackage{longtable,csquotes,lipsum,tcolorbox} +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} +\newcommand\DO[1]{\textcolor{ColorOne}{\bfseries #1}} +\newcommand\TO[1]{\textsf{#1}} +%% +\NewDocumentCommand\showtheme{m} +{{\tgosetup{ColorTheme=#1} +\parbox{2.1cm}{\centering +\textsf{#1\rule[-3pt]{0pt}{10pt}}\\ +\colorbox{ColorOne}{\parbox{1.5cm}{\rule[-5pt]{0pt}{15pt}}} +\par +\colorbox{ColorTwo}{\parbox{1.5cm}{\rule[-5pt]{0pt}{15pt}}} +\par +}}} +% +%\tgosmartlists +\renewtgolabels1{\lefthand} +\definecolor{ColorThree}{rgb}{0.93,0.95,0.97} +\tcbset{colback=ColorTwo,colframe=ColorTwo,sharp corners} +\frenchspacing +%\setcounter{section}{88} +\begin{document} + +\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\title{\textcolor{ColorOne}{\floweroneleft}\,The tango document class\,\textcolor{ColorOne}{\floweroneright}} +\author{\href{mailto:michel.bovani@icloud.com}{Michel \textsc{Bovani}}} +\date{\today\\v. 0.7.1} +{\sffamily +\maketitle + +} +\thispagestyle{empty} + +\tgoshorttoc +\section{What the tango document class is} + + +Tango is a Latex document class (\verb=\documentclass[<options>]{tango}=) for use by mathematics teachers (roughly speaking, from high school to undergraduate level). It makes it possible to typeset several types of documents, from the short handout to the complete textbook. The \enquote{maths dedicated aspect} essentially consists in: +\begin{itemize} +\item loading maths packages; +\item offering dedicated commands and environments for statements (definitions, propositions, theorems…), exercises, numbering. +\end{itemize} + +Tango is reasonably configurable, even if certain choices are imposed: mandatory use of lualatex, opentype fonts and recent installation, in particular. The tango class defines eight output formats, five of which are suitable for tablets, e-readers and smartphones; a system currently under development can be used to introduce a particular input for a given output format (for example, forcing a page break for the A5 format only). Finally, the tango class can be used for projects of a more general nature than maths lessons: science courses, but even more general usage with some extra configuration effort (see the Candide directory in the examples). + +Another class of documents for presenting school work (training exercises, test or exam subjects) will soon be available, called \enquote{bravo}. + + + + +\section{Options overview} +Please note that the table below only lists the options actually managed by the tango class. Other options, if used when calling the class, can simply be passed to certain packages. This is the case, for example, with the babel language options, or the \TO{math-style} option, which is systematically passed to the \TO{unicode-math} package. + +Default values are in bold red. Bold options marked with a \TO{\textbf{star*}} can be used in the preamble and in the body of the document with the \verb=\tgosetup{}= command: for example, in order to change the colors inside the document, you can use \verb+\tgosetup{ColorTheme=Navy}+. Other options can only be mentioned when the tango class is called. + + +\begin{longtable}{p{0.23\linewidth}p{0.7\linewidth}} +\caption[]{The tango class options}\\ +\textbf{Option}&\textbf{Usage}\\ +\hline\endhead +\hline\multicolumn{2}{r}{\emph{Continued next page}}\endfoot +\hline\endlastfoot +\TO{french}&\TO{french=true/\DO{false}}. Adaptation to the French language and reserved names for the tango class (theorem gives \emph{e.g.} théorème). Mandatory use for French-speaking users. This option is also passed to the babel package.\\ +\hline +\TO{<language options>}& Tango will pass other language options to the \TO{babel} package. Note that +\begin{itemize} +\item Only English and French languages are fully implemented. +\item Even English-speaking people must pass a language option (\TO{english, british, UKenglish, USenglish} or \TO{american}) for \TO{babel} to the tango class. +\end{itemize} +See section~\ref{lang} below.\\ +\hline +\TO{no-statement}&\TO{no-statement=true/\DO{false}}. The \TO{thm}, \TO{defin}, \TO{lem}, \TO{coro}, \TO{propo} environments (for theorems, definitions, lemmas, corollaries, propositions) are defined by default. The no-statement option allows you to define them later, on request (see \verb=\newstatement= and \verb=\renewstatement= commands in section~\ref{st-section} page~\pageref{st-section}).\\ +\hline +\TO{no-hyperref}&\TO{no-hyperref=true/\DO{false}}. If you're only planning a single paper output….\\ +\hline +\TO{no-indent/indent}&\TO{no-indent=true/\DO{false}}. Indents are present by default. The option \TO{noindent} (meaning \TO{no-indent = true}) returns us to the left margin. The \TO{indent} option also exists, but is not very useful!\\ +\hline +\TO{no-titleindent}/\TO{titleindent}&Title indents are present by default only in French (because in French typography, the first paragraph after a title must be indented: so I prefer in this case the titles to be indented too). You can use no-tiltleindent in French and titleindent in English to change the default behavior. These options must be called after the language options.\\ +\hline +\TO{\textbf{ThmNamePos*}}&\TO{ThmNamePos=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{\DO{left}} or \TO{right}. The name of the statement (Theorem, Definition, etc.) is displayed to the left or right of the box.\\ +\hline +\TO{PubliClass}&\TO{PubliClass=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{\DO{article}} or \TO{book}. Indicates the base document class used (Latex standard \TO{article} document class or Latex standard \TO{book} document class.) The tango class is designed so that short handouts or monographs composed with the \TO{article} version can then be grouped together as chapters in the same volume with the \TO{book} version. See the \texttt{mathematics} directory in the \texttt{examples} documentation. With the \TO{article} version, the \verb=\part= and \verb=\tableofontents= commands are disabled. The \verb=\tgoshorttoc= command can be used to obtain a summary at the beginning of a monograph.\\ +\hline +\TO{oneside/twoside}& The option \TO{twoside} makes recto/verso, \TO{oneside} simply makes recto. The default is \TO{\DO{oneside}}. For now, there's no adjustment of inner and outer margins with twoside but it's easy to adapt it to your needs with the \verb=\geometry= command in the preamble. Note that one may prefer \TO{twoside=false} to \TO{oneside} (why not?).\\ +\hline +\TO{FontSize}&\TO{FontSize=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{9pt}, \TO{\DO{10pt}}, \TO{11pt} ou \TO{12pt}.\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorTheme*}}&\TO{ColorTheme=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{Blue, Navy, USAF, Azur, Red, Framboise, Brique, Sienne, Caramel, Olive, Tannen, \DO{GrayGray}, BlackAndWhite, Ink} or \TO{Steel}. These values are worth trying out: each defines a set of two colors, one solid (ColorOne) for titles and one very light (ColorTwo) for box backgrounds.\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorOne*}/\textbf{ColorTwo*}}& These options allow the user to define the colors of a personal theme separately; the argument must be a suitable argument for \verb=\definecolor=. See xcolor package (loaded without options by the tango class) documentation. +\begin{example}[Examples] + \begin{itemize} + \item\TO{ColorOne=}\verb={rgb}{0.75,0.1,0.05}= + \item\TO{ColorOne=}\verb={cmyk}{0,0.8,0.8,0.2}= + \item\TO{ColorTwo=}\verb={{rgb}{0.75,0.96,0.75}}= (note that external braces may be used, but are not mandatory). +\end{itemize} +\end{example} +\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorOneNamed*}} / \\ +\TO{\textbf{ColorTwoNamed*}}& +These options allow the user to define the colors of a personal theme separately; the argument must be a suitable argument for \verb=\colorlet=. See xcolor package (loaded without options by the tango class) documentation. +\begin{example}[Examples] + \begin{itemize} + \item\TO{ColorOneNamed=}\verb={red!70!blue}= +\item\TO{ColorTwoNamed=}\verb={yellow!12}= + \end{itemize} +\end{example} +If you want to use a predefined set of colors, say \TO{dvipsnames}, you may reload the \TO{xcolor} package with the \TO{dvipsnames} option in your preamble, and then use the \verb=\tgosetup= command: +\begin{itemize} +\item \verb+\tgosetup{ColorOneNamed={RedOrange!80!BrickRed}}+ + \end{itemize} +\\ +\hline +\TO{Output}&\TO{Output=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{\DO{A4paper}, Letter, A5paper, BigTablet, Tablet, SmallTablet, eReader} or \TO{Smartphone}. \TO{BigTablet}, \TO{Tablet} and \TO{SmallTablet} correspond to 13-, 11- and 8.5-inch screens respectively. \TO{eReader} is for a 6-inch e-reader. It should be noted that in the case of \TO{eReader} and \TO{Smartphone}, the requested format is larger than the actual format, so that the font sizes are much smaller than required. So the \TO{FontSize=9pt} option produces a result on their screens that may be difficult to read.\\ +\hline + \TO{Numbers}& \TO{Numbers=<value>} where \TO{<value>} can be \TO{TextOldStyle, OldStyle, MathOldStyle, FullOldstyle}. If you don't ask for anything, you get the \enquote{lining} numbers. +\begin{itemize} +\item \TO{Numbers=TextOldStyle} activates oldstyle (or lower-case) digits (like these {\olddigits 0123456789}) of the erewhon font (basic text font) for the entire document. +\item \TO{Numbers=OldStyle} activates oldsyle (or lower-case) digits for all text fonts used in the document. +\item \TO{Numbers=MathOldStyle} activates lower-case digits only in mathematics (I can't think of any good reason to do this!). +\item \TO{Numbers=FullOldStyle} activates lower-case digits for all text fonts as well as for mathematics. +\end{itemize} +It should be noted that it is always possible to switch locally from the digits selected with this option to one of their variants (for example, section titles are systematically numbered using \enquote{lining} digits, since these titles are themselves capitalized).\\ +\hline +\TO{StylisticSet}&\TO{StylisticSet=\{<value1>, <value2>,…\}} where \TO{<value1>, <value2>,} etc. are to be taken from \TO{upint, leqslant, smaller, subsetneq} and \TO{parallelslant}. These options concern the Erewhon-Math font, which is a (very) extended opentype version by Daniel \textsc{Flipo} of the math fonts of the Fourier-Gutenberg system. For more information, see the Erewhon-Math documentation (\verb=texdoc erewhon-math= in any good terminal).\\ +\hline +\TO{CharacterVariant}&\TO{CharacterVariant=\{<value1>, <value2>,…\}} where \TO{<value1>, <value2>,} etc. can be chosen from \TO{zero, hslash, emptyset, epsilon, kappa, pi, phi, rho, sigma, theta, partial, Ecal, Qcal} and \TO{Tcal}. These options concern the Erewhon-Math font, which is a (very) extended opentype version by Daniel \textsc{Flipo} of the math fonts of the Fourier-Gutenberg system. For more information, see the Erewhon-Math documentation (\verb=texdoc erewhon-math= in any good terminal).\end{longtable} + +%\medskip + +\section{Packages loaded by the tango document class} +I only mention here the packages directly loaded by the tango class. Each of these packages can in turn load others... +\begin{itemize} +\item \verb=\RequirePackage{xcolor}=. The \TO{xcolor} package is used by the tango class to define the colors of the various themes. It is called without any options, but you can reload it in the preamble of your document with options such as \TO{dvipsnames}, \TO{svgnames} or \TO{x11names}. +\item\verb=\RequirePackage{mathtools}=. The \TO{mathtools} package loads the \TO{amsmath} package, to which it adds a complement. +\item\verb=\RequirePackage{geometry}=. Used by the tango class in order to define the page design of the various outputs formats. You can use the \verb=\geometry=. command in the document preamble to modify this layout. +\item\verb=\RequirePackage{enumitem}=. Used by the tango class to configure the various \TO{list}-based environments in its own way (see section~\ref{lists}). These settings can be modified by the user in the preamble. +\item\verb=\RequirePackage{titletoc}=. Used by the tango class to fix the table of contents appearance which can be modified by the user in the preamble. +\item\verb=\RequirePackage[pagestyles,toctitles,newlinetospace,clearempty]{titlesec}=. Used by the tango class to configure the appearance of titles at different levels. This can be modified by the user in the preamble. The default English version adds the \TO{noindentafter} option. +\item\verb=\RequirePackage{ccaption,caption}=. Used by the tango class to configure the captions appearance for figures and tables. (See section~\ref{figtable}). +\item\verb=\RequirePackage{fontspec}\RequirePackage{unicode-math}=. The tango class requires \TO{lualatex}, opentype fonts, and Unicode settings. +\item\verb=\RequirePackage{fourier-orns}=. See the section~\ref{fnts} below. +\item\verb=\RequirePackage{iflang}=. Used by tango to send a class error message if no language option is given. +\item\verb=\RequirePackage{babel}=. The babel package is called without options. It is up to you to pass babel options to the tango class. See section~\ref{lang} below. +\item\verb+\RequirePackage[colorlinks,linkcolor=ColorOne,urlcolor=ColorOne]{hyperref}+. This \TO{hyperref} configuration can be modified using the \verb=\hypersetup= command in your preamble. You can also use the \TO{no-hyperref} option. +\item\verb=\RequirePackage{array,graphicx,microtype,numprint,float,afterpage}=. These packages are provided but not explicitly used by tango. +\end{itemize} + + +\section{Fonts}\label{fnts} + +\subsection{The tango font system} +Tango's main font is Erewhon, an opentype version of Utopia (a PostScript type~1 font which was designed in 1989 by Robert \textsc{Slimbach} and once donated by Adobe to the X-consortium and featured on TeXlive). Unlike Utopia, Erewhon, designed by Michael \textsc{Sharpe}, covers a large number of languages and offers a wide range of functions, available through opentype features. It should be noted that Adobe distributes a commercial opentype version of Utopia, which is less rich in glyphs than Erewhon, but has an intermediate font-weight and optical character sizes. + +The tango mathematical font is Erewhon~Math, a scientific complement to Erewhon designed by Daniel \textsc{Flipo}. Erewhon Math is in a way the opentype counterpart of Fourier-GUTenberg, the scientific complement to Utopia type~1 designed by me in 2002. Erewhon~Math offers a large number of functions made accessible by Daniel through the \TO{fourier-otf} package. The tango class does not load \TO{fourier-otf}, but uses all its functions through a system of options. + +The sans-serif font of the tango system is Noto Sans, scaled. Noto Sans is a sans-serif font for text in Latin, Cyrillic and Greek characters, with multiple weights and widths. + +The main (chapter) title font is Roboto Condensed Bold (as a condensed version of Noto Sans is not available on TeXlive). + +The monospaced font is Inconsolatazi4, scaled. + +Finally, tango calls the \TO{fourier-orns} package, a symbols and logos complement to the fourier system which has now an opentype version. + +\subsection{Replacing the tango font system} +It is, of course, possible to use the \TO{fontspec} \verb=\setmainfont=, \verb=\setsansfont= and \verb=\setmonofont= commands and the \TO{unicode-math} \verb=\setmathfont= command in the preamble in order to modify the parameters of the tango class: this is not advisable, in my humble opinion. But one day there will probably be another class in the tango distribution which will use another font system. Such a document class could be called charlie, or foxtrot or zulu…. + +\subsection{Font commands and text font commands} +Here, I call \enquote{Font commands} commands whose scope can only be limited by a group or an environment. I call \enquote{Text font commands}, on the other hand, commands whose scope is limited to their argument, which must not contain a paragraph break. For example, \verb=\bfseries= is a \enquote{font command} and \verb=\textbf= is a \enquote{text font command}. Here is what is provided by tango (see table~\ref{otfcmd}, \pageref{otfcmd}). All these commands should work with Erewhon and with Noto Sans as well. +\begin{table}[ht] +\XTabletCommand{\centering\setlength\tabcolsep{9pt}} +\TabletCommand{\centering} +\caption{Tango opentype commands}\label{otfcmd} +\ifTgoTabletOutput\begin{tabular}{l | l | l | l}% +\else +\begin{tabular}{llll}% +\fi +\hline +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Command}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Nature}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Example}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Result}}\\ +\hline +\verb=\superiors=&\textsf{font command} & \verb=M{\superiors rs}=&M{\superiors rs}\\ +\hline +\verb=\scinferiors=&\textsf{font command} &\verb={\scinferiors C6H12O3}= &{\scinferiors C6H12O3}\\ +\hline +\verb=\smartfracs=&\textsf{font command} &\verb=2{\smartfracs1/3}= &2{\smartfracs1/3} \\ +\hline +\verb=\fullsc=&\textsf{text font command} &\verb=\fullsc{Chapter}= &\fullsc{Chapter} \\ +\hline +\verb=\textsup=&\textsf{text font command} &\verb=M\textsup{rs}=&M\textsup{rs} \\ +\hline +\verb=\textscinf=&\textsf{text font command} &\verb=\textscinf{C6H12O3}= &\textscinf{C6H12O3} \\ +\hline +\verb=\smartfrac=&\textsf{text font command} &\verb=2\smartfrac{3/4}= &2\smartfrac{3/4} \\ +\hline +\verb=\olddigits=&\textsf{font command} &\verb={\olddigits01234}= &{\olddigits01234} \\ +\hline +\verb=\liningdigits=&\textsf{font command} &\verb={\olddigits01\liningdigits01}= &{\olddigits01\liningdigits01} \\ +\hline +\verb=\propdigits=&\textsf{font command} &\verb={\propdigits011\olddigits011}= &{\propdigits011\olddigits011} \\ +\hline +\verb=\tabulardigits=&\textsf{font command} &\verb={\tabulardigits011\olddigits011}= &{\tabulardigits011\olddigits011} \\ +\hline +\end{tabular} + + +\end{table} + + +\section{Using tango} + +\subsection{Generalities} +The tango interface is not so different from that of the standard \TO{article} and \TO{book} document classes. Configuration is essentially a matter of choosing options. + +For advanced use, it is useful to refer to the documentation for the various packages: first, of course, \TO{unicode-math}, \TO{fontspec}, \TO{mathtools} and \TO{amsmath}. But if you want to change the style of titles, for example, you could take a look at the \TO{titlesec} documentation, and to change the style of lists (enumerate, itemize, etc.), take a look at \TO{enumitem}. The \TO{geometry} package is essential for anyone wanting to obtain a particular layout. And so on. +\subsection{Modified standard commands} +Since documents designed with the \TO{article} option can become chapters in a book composed later with the \TO{book} option, the \verb+\part+ command inherited from the \TO{article} class has been deactivated (only for article-typeset documents) + +Similarly, the \TO{article} version benefits from a \verb+\tgotitle+ command that lets you define the main title of the document. The \verb+\tgotitle*+ version exists but does nothing more or less than the unstarred command. However, in the \TO{book} version, \verb+\tgotitle+ is an alias for \verb+\chapter+ (and \verb+\tgotitle*+ is an alias for \verb+\chapter*+), so the unnumbered title of a handout very easily becomes the numbered title of a chapter in a book. This, of course, assumes that the \verb+\includeonly+/\verb+\include+ mechanism is used... A model (currently written in French) is provided in the \TO{examples} directory. + +The command \verb+\tableofcontents+ can only be used with the \TO{book} option; it is deactivated with the \TO{article} option: in this case, you have to use \verb+\tgoshorttoc+ instead (of course \verb+\tgoshorttoc+ is in turn deactivated in the \TO{book} version). Note that, if you need multiple or partial tocs, you have to use a dedicated package. + +\subsection{Using two or more output formats} +What I'm describing here is still rudimentary and experimental. It will be developed further if it proves successful. + +For each output format, two particular commands are provided. For example, in case of the \TO{Smartphone} output option, you have \verb+\SmartphoneCommand+ and \verb+\XSmartphoneCommand+. The \verb+\SmartphoneCommand+ argument is only taken into account if \TO{Output=Smartphone} have been used. Conversely, the \verb+\XSmartphoneCommand+ argument is only taken into account if this option has not been used. +\begin{example}[Examples] +\begin{itemize} +\item \verb+\SmartphoneCommand{\pagebreak}+ asks for a page break only for the smartphone output. +\item \verb+\XSmartphoneCommand{\[< long math formula >\]}+ +\par \verb+\SmartphoneCommand{\begin{multline*}<split formula>\end{multine*}}+ +\par asks for a multline version of a formula only for the smartphone output +\end{itemize} +\end{example} + +Provided commands are: +\begin{itemize} +\item\verb+\AfourCommand+ and \verb+\XAfourCommand+ for the A4 format; +\item\verb+\LetterCommand+ and \verb+\XLetterCommand+ for the letter format; +\item\verb+\AfiveCommand+ and \verb+\XAfiveCommand+ for the A5 format; +\item\verb+\BigTabletCommand+ and \verb+\XBigTabletCommand+ for the big tablet format; +\item\verb+\TabletCommand+ and \verb+\XTabletCommand+ for the tablet format; +\item\verb+\SmallTabletCommand+ and \verb+\XSmallTabletCommand+ for the small tablet format; +\item\verb+\eReaderCommand+ and \verb+\XeReaderCommand+ for the e-reader format; +\item\verb+\SmartphoneCommand+ and \verb+\XSmartphoneCommand+ for the smartphone format. +\end{itemize} +\subsection{All the color themes} +\indent\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Blue}\hfil\showtheme{Azur}\hfil\showtheme{Navy}\hfil\showtheme{USAF}\hfil% +\showtheme{Framboise}\hfil\null +\par\bigskip\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Red}\hfil\showtheme{Brique}\hfil\showtheme{Caramel}\hfil\showtheme{Sienne}\hfil\showtheme{Olive}\hfil\null +\par\bigskip\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Tannen}\hfil\showtheme{GrayGray}\hfil\showtheme{Steel}\hfil\showtheme{Ink}\hfil\showtheme{BlackAndWhite}\hfil\null + +\section{Language settings}\label{lang} +A language option \emph{must} be passed to the \TO{babel} package via the tango class: this is true \emph{even} for English-speaking people. A class error message will be generated otherwise. If you ignore this message you will get no hyphenation patterns at all! + +For now, only the English and French languages are fully supported. With other languages, you benefit from the \TO{babel} facilities, but the \enquote{tango words} will remain defined by: +\begin{verbatim} +\newcommand\TgoTheoremName{Theorem} +\newcommand\TgoDefinitionName{Definition} +\newcommand\TgoPropositionName{Proposition} +\newcommand\TgoLemmaName{Lemma} +\newcommand\TgoCorollaryName{Corollary} +\newcommand\TgoRemarkName{Remark} +\newcommand\TgoExampleName{Example} +\newcommand\TgoContentsName{Contents} +\newcommand\TgoExerciseName{Exercise} +\newcommand\TgoExercisesSubsectionName{Exercises} +\newcommand\TgoExercisesSectionName{Exercises} +\end{verbatim} +If you want to use tango with a new language, here is what you can do: +\begin{enumerate} +\item Translate these names in your language (for now it is done only for the french language), using \verb+\renewcommand+. +\item (Better) Mail me all the necessary information (at least babel language option used and your translation of the tango names) and I will adapt the tango class to your language. +\end{enumerate} +\section{Statements}\label{st-section} + +\subsection{Predefined statements} +The environments offered by the tango document class for the statements were defined using the \verb+\newstatement+ command, whose syntax is: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newstatement{<environment>}{<counter>}{<statement-name>}[<optionnal-font-command>] +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +For example, the \TO{thm}, \TO{defin}, \TO{propo}, \TO{coro} and \TO{lem} environments have been defined using something like: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcounter{thm} \newstatement{thm}{thm}{Theorem}[\itshape] +\newcounter{defin} \newstatement{defin}{defin}{Definition} +\newcounter{propo} \newstatement{propo}{propo}{Proposition}[\itshape] +\newcounter{coro} \newstatement{coro}{coro}{Corollary} +\newcounter{lem} \newstatement{lem}{lem}{Lemma} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + + +If you type: + +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm}[pons asinorum] +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + +you will obtain: +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm}[pons asinorum] +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{thm} + +As you can see, each statement defined with \verb+\newstatement+ has an optional bracketed argument (which is displayed within parentheses after the statement name and number). Please, note that these environments should not be used inside a \TO{list}-based environment (like center, quote, enumerate, itemize…). + +For each statement defined with \verb+\newstatement+ there is also +\begin{itemize} +\item a starred form with no statement number: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{coro*} +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{coro*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{itemize} +\begin{coro*} +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{coro*} +\begin{itemize} +\item and an optional first argument delimited with \verb+< >+ to replace locally the full theorem name. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{thm*}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with +complex coefficients has at least one complex root. +\end{thm*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{itemize} +\begin{thm*}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. +\end{thm*} + +\subsection{Defining your own statements} +If you need a new statement type, say an axm environment for axioms, it's easy: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcounter{axio} \newstatement{axm}{axio}{Axiom} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +Note that it is up to you to define the counter for this new environment: if this counter does not still exist, it has to be created with \verb+\newcounter+. Of course, the counter name may be different from the environment name. If you have used the \TO{no-statement} option, you will have to define all the statements you need, with the environment names you prefer. + +\subsection{Redefining existing statements} +The \verb+\newstatement+ command has a \verb+\renewstatement+ companion to redefine existing statement environment. Precisely, you need to use \verb+\renewstatement{foo}…+ instead of \verb+\newstatement{foo}…+ if and only if the \verb+foo+ environment has already been defined. + +\begin{example}[Examples] +\begin{enumerate} +\item You can redefine the \TO{propo} environment in such a way that it uses the same counter as the \TO{thm} environment and is displayed in the upright font: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition} +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm} +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{enumerate} +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition} +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm} +The angles at the base of an isosceles triangle are equal. +\end{thm} + +\begin{enumerate}[resume] +\item If you have already written \emph{all} your algebra book in Latex, with propositions, theorems and corollaries and you realize that, \emph{now}, you want there is no more difference between propositions, theorems and corollaries: the three types of statements should be typeset in italic, named \enquote{Proposition} and numbered with the same counter, you can just use in your preamble: + +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement{coro}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{thm}{thm}{Proposition}[\itshape] +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm} +The sum of two even integers is an even integer. +\end{thm} +\begin{coro} +If two integers have the same parity, their sum is even. +\end{coro} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +and you will get + +\end{enumerate} +\renewstatement{coro}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{thm}{thm}{Proposition}[\itshape] +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm} +The sum of two even integers is an even integer. +\end{thm} +\begin{coro} +If two integers have the same parity, their sum is even. +\end{coro} + + +instead of + +\setcounter{thm}{0}\setcounter{propo}{0} +\renewstatement{thm}{thm}{Theorem}[\itshape] +\renewstatement{propo}{propo}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{coro}{coro}{Corollary} +\begin{propo} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{propo} +\begin{thm} +The sum of two even integers is an even integer. +\end{thm} +\begin{coro} +If two integers have the same parity, their sum is even. +\end{coro} +\begin{enumerate}[resume] +\item And finally \verb+\renewstatement+ and \verb+\newstatement+ have a starred form with which statement numbers are displayed \emph{before} the statement name. More, if the statement counter is the subsection or subsubsection counter, the concerned statement titles are displayed in the same form and placement as subsection or subsubsection titles; of course the placement depends on the value of \TO{notitleindent}. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement*{thm}{thm}{Theorem} +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with +complex coefficients has at least one complex root. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsection}{Theorem}[\itshape] +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with +complex coefficients has at least one complex root. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsubsection}{Theorem} +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with +complex coefficients has at least one complex root. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{enumerate} +\end{example} +\renewstatement*{thm}{thm}{Theorem} +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has +at least one complex root. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsection}{Theorem}[\itshape] +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has +at least one complex root. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsubsection}{Theorem} +\begin{thm}<D'Alembert-Gauss theorem>[fundamental theorem of algebra] +Every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has +at least one complex root. +\end{thm} + + + +\section{Exercises} +\subsection{Typesetting exercises} +Tango provides the \verb+\exo+ command which lets you typeset a numbered exercise (the counter is \TO{tgoexo}). There is a starred version, which is not numbered. As for the statements, the bracketed option provides a complementary title between parenthesis and the \enquote{\TO{< >}} marked first option provides a substitution title. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\exo +Prove that if $G$ is a finite group and $H$ a subgroup of $G$, +then the order of $H$ divides the order of $G$. +\exo[Lagrange theorem] +Prove that if $G$ is a finite group and $H$ a subgroup of $G$, +then the order of $H$ divides the order of $G$. +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\exo +Prove that if $G$ is a finite group and $H$ a subgroup of $G$, then the order of $H$ divides the order of $G$. +\exo[Lagrange theorem] +Prove that if $G$ is a finite group and $H$ a subgroup of $G$, +then the order of $H$ divides the order of $G$. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcommand\tgostar{\raisebox{-0.5ex}{\large\textborn}} +\exo*<Chinese remainder problem>[\tgostar\tgostar\tgostar] +Let $n_1,\ldots, n_k$ be integers greater than $1$ and let us denote by $N$ +the product of the $n_i$. Prove that if the $n_i are pairwise coprime, and if +$a_1,\ldots, a_k$ are any integers, then the system +\begin{align*} +x&\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ +&\!\vdots\\ +x&\equiv a_k \pmod{n_k} +\end{align*} +has a solution, and any two solutions are congruent modulo $N$. +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\newcommand\tgostar{\raisebox{-0.5ex}{\large\textborn}} +\exo*<Chinese remainder problem>[\tgostar\tgostar\tgostar] +Let $n_1,\ldots, n_k$ be integers greater than $1$ and let us denote by $N$ the product of the $n_i$. +Prove that if the $n_i$ are pairwise coprime, and if $a_1,\ldots, a_k$ are any integers, then the system +\begin{align*} +x&\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ +&\!\vdots\\ +x&\equiv a_k \pmod{n_k} +\end{align*} +has a solution, and any two solutions are congruent modulo $N$. +\subsection{The secexo and chapexo environments} +These environments are designed to present a part devoted to exercises at the end of a section (in the case of \TO{secexo}) or a chapter (in the case of \TO{chapexo}). Within these environments, you can use the command \verb+\exo+ + +The title, in capitals and centred, is \enquote{EXERCISES} by default. The optional argument in square brackets allows you to choose another. This title is added to the table of contents. + +Finally, there is a starred form (\verb+\begin{secexo*)+…\verb+\end{secexo*}+ which allows you to compose the exercises within these sections in a smaller font size (exept if the main font size is nine points). + +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{secexo*}[Example of an exercises subsection] +\exo Prove that the sum of two even integers is an even integer. +\exo Prove that the sum of two odd integers is an even integer. +\end{secexo*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{secexo*}[Example of an exercises subsection] +\exo Prove that the sum of two even integers is an even integer. +\exo Prove that the sum of two odd integers is an even integer. +\end{secexo*} + +\section{Lists}\label{lists} +\subsection{General principles} +All the horizontal motion in tango is performed in steps equal to an integer multiple of the \verb+\TgoStandardMargin+ length parameter. When the tango class is loaded, the value of this parameter is set to 1.5em, as are paragraph indentation and title indentation (unless these two values are fixed to zero). Successive labels in the enumerate and itemize environments are therefore successively positioned at 1.5em, 3em, 4.5em, etc. from the main margin. It could be unadvised to change these settings (or this should be done using the enumitem package). +\subsection{List based environments} +There are two main lists configurations. The first, active by default, is set with \verb+\tgostandardlists+; the second is set with \verb+\tgosmartlists+. +% +With \verb+\tgostandardlists+ the text corresponding to a given level is shifted to the right (by a value equal to \verb+\TgoStandardMargin+...) with respect to the corresponding label. +% +With \verb+\tgosmartlists+, conversely, the text corresponding to a given level is shifted to the left (by a value equal to \verb+\TgoStandardMargin+...) in relation to the corresponding label. +\renewtgolabels*\tgostandardlists + +Here is the default behaviour of the \TO{itemize} environment (\TO{enumerate} is not different). +\begin{itemize} +\item Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\begin{itemize} +\item Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\begin{itemize} +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. +\begin{itemize} +\item Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\end{itemize} +\item Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. +\end{itemize}\end{itemize} +\item Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\end{itemize} + +\bigskip + +And now with \verb+\tgosmartlists+ \tgosmartlists +\begin{itemize} +\item Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\begin{itemize} +\item Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\begin{itemize} +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. +\begin{itemize} +\item Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\end{itemize} +\item Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. +\end{itemize}\end{itemize} +\item Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\end{itemize} + +Note that \verb+\tgosmartlists+ seems most interesting when you use mainly the first level of these environments. +Since the \verb+\tgosmartlists+ doesn't support very well a construction like +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{enumerate} +\item\begin{enumerate}\item +… +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +that is frequent in exercises questions, +the \TO{secexo} and \TO{chapexo} environments set locally the lists to \verb+\tgostandardlists+. It is not the case with the \verb+\exo+ command which has no local context. \tgostandardlists + +\subsection{Redefining labels of itemize lists} +Tango provides a \verb+\renewtgolabels+ command which permits to modify the labels of the \TO{itemize} environment. Arguments are numbered from 1 to 4 (there is four levels of itemize lists in Latex) and must be used like in the examples below. +\begin{example}[Examples] +\begin{itemize} +\item\verb=\renewtgolabels1{\lefthand}= will replace the first label by the \verb=\lefthand= symbol. +\renewtgolabels1{\lefthand} +\item\verb=\renewtgolabels4{\textbullet}1{\openbullet}3{\textemdash}= changes the label for the first (again), the third and the fourth levels. Level 2 remains unchanged. As you can see, the order of the arguments is unimportant. \renewtgolabels4{\textbullet}1{\openbullet}3{\textemdash} +\end{itemize} +\end{example} + +There is also a starred form that restore the initial label (as at the load of the class) which are \verb=\textbullet=, \textbullet, for the level 1, \verb=\textopenbullet=, \textopenbullet, for the level 2, \verb=\starredbullet=, \starredbullet, for the level 3 and \verb=\textperiodcentered=, \textperiodcentered{} for the level 4 (note that this is the tango default, but \emph{not} the Latex default). + +\renewtgolabels* +\begin{example}[Examples] +\begin{itemize} +\item\verb=\renewtgolabels*= restore all the initial values. +\item\verb=\renewtgolabels*2{\textendash}= restore initial values except for the second level which is changed to \textendash. +\end{itemize} +\end{example} + + +\section{Other environments} +In addition to the statements environments, the tango class offers the following environments: +\subsection{The remark and example environments} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{remark} +This is a very good remark. +\end{remark} +\begin{example} +This is a very short example. +\end{example} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{remark} +This is a very good remark. +\end{remark} +\begin{example} +This is a very short example. +\end{example} + +These two environments have a bracketed optional argument which displays a replacement title. For example: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{example}[Remarks] +\begin{enumerate} +\item A first (very good) remark. +\item A second remark (which is best, if possible). +\end{enumerate} +\end{example} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{example}[Remarks] +\begin{enumerate} +\item A first (very good) remark. +\item A second remark (which is best, if possible). +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsection{The alert environment} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{alert} +You should not even try to use \verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +unless you are actually a very experimented \TeX{} user, because you could get +a terrible headhache. +\end{alert} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{alert} + You should not even try to use \verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +unless you are actually a very experimented \TeX{} user, because you could get +a terrible headhache. +\end{alert} + +The \TO{alert} environment also support an optional bracketed argument. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{alert}[\bomb] +You should not even try to use \verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +unless you are actually a very experimented \TeX{} user, because you could get +a terrible headhache. +\end{alert} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{alert}[\bomb] + You should not even try to use \verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +unless you are actually a very experimented \TeX{} user, because you could get +a terrible headhache. +\end{alert} + +\subsection{The proof environment} +The \TO{proof} environment is adapted from the \TO{amsthm} package. It also support a bracketed optional argument for a replacement title. The \verb+\qedhere+ command is also usable. +\renewstatement{thm}{thm}{Theorem}[\itshape] +\setcounter{thm}{0} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{thm} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{thm} +\begin{proof} +Let $p$ and $q$ be two odd integers. We have to prove that there +exists an integer $n$ such that $p+q=2n$. +We know that there is an integer $p_1$ and an integer $q_1$ such that +\[p=2p_1+1\text{ and } q=2q_1+1,\] +hence +\begin{align*}p+q&=(2p_1+1)+(2q_1+1)\\ +&=2\underbrace{(p_1+q_1+1)}_{n}\qedhere +\end{align*} +\end{proof} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{thm} +The sum of two odd integers is an even integer. +\end{thm} +\begin{proof} +Let $p$ and $q$ be two odd integers. We have to prove that there exists an integer $n$ such that $p+q=2n$. +We know that there is an integer $p_1$ and an integer $q_1$ such that +\[p=2p_1+1\text{ and } q=2q_1+1,\] +hence +\begin{align*}p+q&=(2p_1+1)+(2q_1+1)\\ +&=2\underbrace{(p_1+q_1+1)}_{n}\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + +\section{Figures, tables, floats and captions}\label{figtable} +Thanks to the \TO{caption} package, the following have been defined: +\begin{itemize} +\item\verb+\tgofigcaption+ (for figures); +\item and \verb+\tgotabcaption+ (for tables). +\end{itemize} +These two commands provide captions similar in appearance to what could be obtained with \verb+\caption+, but also work in the case of non-floating objects. + +In this way it is possible to include small tables and figures in a fixed position, with nothing in their appearance to distinguish them from floating objects (whose use is still recommended in most cases). + +\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 00000000000..491f9742e7f --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.tex new file mode 100644 index 00000000000..eb65bff081e --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/tango/tango-fr.tex @@ -0,0 +1,797 @@ +% !TEX TS-program = LuaLaTeX +\documentclass[french,ColorTheme=USAF,FontSize=10pt]{tango} +%\setmonofont{Latin Modern Mono}[Scale=MatchUppercase] +\usepackage{longtable,csquotes,lipsum,tcolorbox} +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} +\newcommand\DO[1]{\textcolor{ColorOne}{\bfseries #1}} +\newcommand\TO[1]{\textsf{#1}} +%% +\NewDocumentCommand\showtheme{m} +{{\tgosetup{ColorTheme=#1} +\parbox{2.1cm}{\centering +\textsf{#1\rule[-3pt]{0pt}{10pt}}\\ +\colorbox{ColorOne}{\parbox{1.5cm}{\rule[-5pt]{0pt}{15pt}}} +\par +\colorbox{ColorTwo}{\parbox{1.5cm}{\rule[-5pt]{0pt}{15pt}}} +\par +}}} +% +%\tgosmartlists +\renewtgolabels1{\lefthand} +\definecolor{ColorThree}{rgb}{0.93,0.95,0.97} +\tcbset{colback=ColorTwo,colframe=ColorTwo,sharp corners} +\frenchspacing +%\setcounter{section}{88} +\begin{document} + +\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\title{\textcolor{ColorOne}{\floweroneleft}\,La classe de documents tango\,\textcolor{ColorOne}{\floweroneright}} +\author{\href{mailto:michel.bovani@icloud.com}{Michel \textsc{Bovani}}} +\date{\today\\v. 0.7.1} +{\sffamily +\maketitle + +} +\thispagestyle{empty} + +\tgoshorttoc +\section{Qu'est-ce que la classe tango ?} + + +Tango est une classe de documents pour le système de composition Latex (au début du document source, il convient donc de saisir \verb=\documentclass[<options>]{tango}=) à l'usage des professeurs de mathématiques (\emph{grosso modo}, sur le segment bac$-3$-bac$+3$). Elle est conçue pour la composition de divers types de documents, du petit polycopié au livre complet. Pour l'essentiel, le côté \frquote{dédié aux maths} consiste à : +\begin{itemize} +\item Charger des packages dédiés (amsmath, unicode-math \&Co). +\item Proposer des commandes et des environnements pour les théorèmes, propositions, définitions, exercices, etc. +\end{itemize} + +Tango est raisonnablement configurable, même si j'ai dû imposer certains choix : utilisation obligatoire de lualatex, des fontes opentype, et d'une installation récente, notamment. La classe propose huit formats de sortie, dont cinq sont adaptés aux tablettes, liseuses ou smartphones. Un procédé encore imparfait permet d'introduire une saisie particulière pour un format de sortie donné (par exemple de forcer un saut de page pour le format A5 seulement). La classe tango peut aussi être utilisée pour des projets de portée plus générale que des cours de mathématiques : des cours de sciences, bien sûr, mais aussi des choses très différentes, si l'on est prêt à un effort de configuration supplémentaire (voir le répertoire \TO{candide} dans les exemples). + +Une autre classe Latex, conçue pour réaliser des documents support au travail scolaire (énoncés d'exercices, sujets de devoirs ou d'examens) devrait être disponible sous peu. Il est prévu qu'elle se nomme \frquote{\TO{bravo}}. + +\section{Panorama des options} +Veuillez noter que le tableau ci-dessous mentionne pour l’essentiel les options effectivement traitées par tango. D'autres options peuvent être, lorsqu’elles sont utilisées à l'appel de la classe, simplement transmises à certains packages. C'est le cas par exemple des options de langues de babel, ou de l'option \TO{math-style} passée au package unicode-math. + +Les valeurs par défaut sont présentées en bleu gras. Les options en gras, marquées d'un astérisque, peuvent être activées dans le préambule ou le corps du document à l'aide de la commande \verb+\tgosetup+ : par exemple, vous pouvez utiliser \verb+\tgosetup{ColorTheme=Navy}+ pour changer les couleurs à l'intérieur de votre document. Les autres options ne peuvent être utilisées qu'à l'appel de la classe. + +\begin{longtable}{p{0.23\linewidth}p{0.7\linewidth}} +\caption[]{Les options de la classe tango}\\ +\textbf{Option}&\textbf{Utilisation}\\ +\hline\endhead +\hline\multicolumn{2}{r}{\emph{Voir page suivante}}\endfoot +\hline\endlastfoot +\hline\endlastfoot +\TO{french}&\TO{french=true/\DO{false}}. Adaptation à la langue française et noms définis par la classe tango (\frquote{Theorem} donne par exemple \frquote{Théorème}). Usage indispensable pour les utilisateurs de langue française. Cette option est également passée au package babel.\\ +\hline +\TO{<options de langue>}& Tango transmettra au package \TO{babel} toutes les options de langue. Notez bien que : +\begin{itemize} +\item Seuls l'anglais et le français sont complètement implémentés. +\item Même les locuteurs anglais doivent passer une option de langue pour \TO{babel} (\TO{english, british, UKenglish, USenglish} ou \TO{american}) à la classe tango. +\end{itemize} +Voir la section~\ref{lang} plus loin.\\ +\hline +\TO{no-statement}&\TO{no-statement=true/\DO{false}}. Des environnements \TO{thm}, \TO{defin}, \TO{lem}, \TO{coro}, \TO{propo} (pour présenter les théorèmes, définitions, lemmes, corollaires et propositions) sont définis par défaut. L'option \DO{no-statement} vous permet de définir ces environnements vous-même avec une configuration plus personnelle (voir les commandes \verb=\newstatement= and \verb=\renewstatement= dans la section~\ref{st-section} page~\pageref{st-section}).\\ +\hline +\TO{no-hyperref}&\TO{no-hyperref=true/\DO{false}}. Si vous souhaitez vous contenter d'une sortie papier…\\ +\hline +\TO{no-indent/indent}&\TO{no-indent=true/\DO{false}}. Les retraits d'alinéa sont présents par défaut. L'option \TO{no-indent} (alias court de \TO{no-indent = true}) les supprime. Une option \TO{indent} existe également, quoiqu'elle ne soit pas très utile.\\ +\hline +\TO{no-titleindent}/\TO{titleindent}&Les retraits d'alinéa pour les titres sont présents par défaut en français uniquement. (La raison en est qu'en typographie française le premier paragraphe après un titre subit ce retrait comme les autres paragraphes, ce qui n'est pas le cas en typo anglaise : je préfère donc dans ce cas, mais cela peut être débattu, que le titre subisse lui aussi ce retrait.) Vous pouvez utiliser \TO{no-tiltleindent} en français ou \TO{titleindent} en anglais pour changer le comportement pas défaut. Ces deux options doivent être appelées \emph{après} l'option de langue.\\ +\hline +\TO{\textbf{ThmNamePos*}}&\TO{ThmNamePos=<valeur>} ou \TO{<valeur>} peut être \TO{\DO{left}} ou \TO{right}. Le nom de l'énoncé (Théorème, Définition, etc.) est affiché à gauche ou à droite de l'encadré.\\ +\hline +\TO{PubliClass}&\TO{PubliClass=<valeur>} où \TO{<valeur>} peut être \TO{\DO{article}} ou \TO{book}. Indique la classe de base souhaitée (la classe standard \TO{article} ou la classe standard \TO{book}). La classe tango est conçue de telle sorte que des petits polycopiés fabriqués au jour le jour et composés avec l'option \TO{article} puissent être regroupés et devenir les chapitres d'un même volume avec l'option \TO{book}. Voyez le répertoire \texttt{mathematics} dans la partie exemples de la documentation. Avec l'option \TO{article}, les commandes \verb=\part= et \verb=\tableofontents= sont désactivées. La commande \verb=\tgoshorttoc= peut être utilisée pour obtenir un sommaire au début d'une monographie ou d'un polycopié.\\ +\hline +\TO{oneside/twoside}& L'option \TO{twoside} est pour une sortie en recto verso, alors que \TO{oneside} est adaptée au recto simple. La valeur par défaut est \TO{\DO{oneside}}. Pour l'instant, il n'y a pas d'ajustement des marges intérieures et extérieures avec \TO{twoside} mais il est techniquement facile de réaliser des blancs tournants à votre convenance grâce à la commande \verb=\geometry= employée dans le préambule. Notez que les gens compliqués ou amateurs de détours pourront préférer \TO{twoside=false} à \TO{oneside}.\\ +\hline +\TO{FontSize}&\TO{FontSize=<valeur>} où \TO{<valeur>} peut être \TO{9pt}, \TO{\DO{10pt}}, \TO{11pt} ou \TO{12pt}.\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorTheme*}}&\TO{ColorTheme=<valeur>} où \TO{<valeur>} peut être \TO{Blue, Navy, USAF, Azur, Red, Framboise, Brique, Sienne, Caramel, Olive, Tannen, \DO{GrayGray}, BlackAndWhite, Ink} or \TO{Steel}. Chaque choix définit un ensemble de deux couleurs, une soutenue (ColorOne) pour les titres et une très claire (ColorTwo) pour le fond des encadrés.\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorOne*}/\textbf{ColorTwo*}}& Ces options permettent à l'utilisateur de définir les couleurs d'un thème personnel; dans les deux cas la valeur doit être un argument acceptable pour la commande \verb=\definecolor=. Voir la documentation du package xcolor, chargé sans option par tango. +\begin{example}[Exemples] + \begin{itemize} + \item\TO{ColorOne=}\verb={rgb}{0.75,0.1,0.05}= + \item\TO{ColorOne=}\verb={cmyk}{0,0.8,0.8,0.2}= + \item\TO{ColorTwo=}\verb={{rgb}{0.75,0.96,0.75}}= (notez que les accolades extérieures sont acceptées sans être obligatoires). +\end{itemize} +\end{example} +\\ +\hline +\TO{\textbf{ColorOneNamed*}} / \\ +\TO{\textbf{ColorTwoNamed*}}& + Ces options permettent à l'utilisateur de définir les couleurs d'un thème personnel; dans les deux cas la valeur doit être un argument acceptable pour la commande \verb=\colorlet=. Voir la documentation du package xcolor, chargé sans options par tango. +\begin{example}[Exemples] + \begin{itemize} + \item\TO{ColorOneNamed=}\verb={red!70!blue}= +\item\TO{ColorTwoNamed=}\verb={yellow!12}= + \end{itemize} +\end{example} +Si vous souhaitez utiliser un ensemble de couleurs prédéfinies, disons par exemple \TO{dvipsnames}, il vous suffit de recharger le package \TO{xcolor} avec l'option \TO{dvipsnames} dans le préambule, puis d'utiliser la commande \verb=\tgosetup= : +\begin{itemize} +\item \verb+\tgosetup{ColorOneNamed={RedOrange!80!BrickRed}}+ + \end{itemize} +\\ +\hline +\TO{Output}&\TO{Output=<valeur>} où \TO{<valeur>} peut être \TO{\DO{A4paper}, Letter, A5paper, BigTablet, Tablet, SmallTablet, eReader} ou \TO{Smartphone}. \TO{BigTablet}, \TO{Tablet} et \TO{SmallTablet} correspondent à des écrans de 13, 11 et 8.5 pouces respectivement; \TO{eReader} configurée pour une liseuse 6 pouces. Veuillez noter qu'en ce qui concerne les formats \TO{eReader} et \TO{Smartphone}, tango demande à Latex un format supérieur au format réel, si bien que les tailles des polices sont inférieures à ce que l'on pourrait attendre. Ainsi, l'option \TO{FontSize=9pt} peut fournir des résultats qui sembleront difficilement lisibles.\\ +\hline + \TO{Numbers}& \TO{Numbers=<valeur>} où \TO{<valeur>} peut être \TO{TextOldStyle, OldStyle, MathOldStyle, FullOldstyle}. Si vous ne demandez rien, vous obtenez les chiffres habituels, à hauteur d'une lettre capitale, parfois nommés \frquote{lining}. +\begin{itemize} +\item \TO{Numbers=TextOldStyle} sélectionne les chiffres bas de casse ({\olddigits 0123456789}) of de la police erewhon (fonte texte de base) pour tout. +\item \TO{Numbers=OldStyle} sélectionne les chiffres bas de casse pour toutes les fontes de texte du document. +\item \TO{Numbers=MathOldStyle} sélectionne les chiffres bas de casse uniquement pour les mathématiques (je ne vois aucune bonne raison de procéder ainsi). +\item \TO{Numbers=FullOldStyle} sélectionne les chiffres bas de casse aussi bien pour les fontes de texte que pour les mathématiques. +\end{itemize} +Remarquons qu'il est toujours possible de basculer localement des chiffres sélectionnés par cette option à une de leurs variantes (par exemple les titres de section sont numérotés à l'aide de \frquote{grands} chiffres, dans la mesure où ces titres sont eux-mêmes en capitales).\\ +\hline +\TO{StylisticSet}&\TO{StylisticSet=\{<valeur1>, <valeur2>,…\}} où \TO{<valeur1>, <valeur2>,} etc. sont à prendre parmi \TO{upint, leqslant, smaller, subsetneq} et \TO{parallelslant}. Ces options concernent la fonte Erewhon-Math, qui est une version opentype du système scientifique Fourier-Gutenberg, (très) étendue par Daniel \textsc{Flipo}. Pour plus d'informations, voir la documentation d'Erewhon-Math (\verb=texdoc erewhon-math= dans un terminal).\\ +\hline +\TO{CharacterVariant}&\TO{CharacterVariant=\{<valeur1>, <valeur2>,…\}} \TO{<valeur1>, <valeur2>,} etc. sont à prendre parmi \TO{zero, hslash, emptyset, epsilon, kappa, pi, phi, rho, sigma, theta, partial, Ecal, Qcal} et \TO{Tcal}. Ces options concernent la fonte Erewhon-Math, qui est une version opentype du système scientifique Fourier-Gutenberg, (très) étendue par Daniel \textsc{Flipo}. Pour plus d'informations, voir la documentation d'Erewhon-Math (\verb=texdoc erewhon-math= dans un terminal).\\ +\end{longtable} + +\section{Liste des packages chargés par la classe tango} +Je ne mentionne ici que les packages directement chargés par tango. Chacun d'eux peut à son tour charger d'autres packages. + +\begin{itemize} +\item \verb=\RequirePackage{xcolor}=. Le package \TO{xcolor} est utilisé par la classe tango pour définir les couleurs des différents thèmes. Il est appelé sans option, mais vous pouvez le recharger dans le préambule avec des options comme \TO{dvipsnames}, \TO{svgnames} ou \TO{x11names}. +\item\verb=\RequirePackage{mathtools}=. Le package \TO{mathtools} charge le package \TO{amsmath}. +\item\verb=\RequirePackage{geometry}=. Utilisé par tango pour définir l'empagement des différents formats de sortie. Vous pouvez utiliser la commande \verb=\geometry= dans votre préambule pour modifier ce empagement, et même la maquette entière. +\item\verb=\RequirePackage{enumitem}=. Utilisé par la classe tango pour configurer les différents environnements basés sur \TO{list} (voir la section~\ref{lists}). Ces configurations peuvent être modifiées par l'utilisateur dans le préambule. +\item\verb=\RequirePackage{titletoc}=. Utilisé par la classe tango pour fixer l'apparence de la table des matières, que l'utilisateur peut modifier dans le préambule. +\item\verb=\RequirePackage[pagestyles,toctitles,newlinetospace,clearempty,noindentafter]{titlesec}=. Utilisé par la classe tango pour modifier l'apparence des titres de différents niveaux. Ces configurations peuvent être modifiées par l'utilisateur dans le préambule. +\item\verb=\RequirePackage{ccaption,caption}=. Utilisé par la classe tango pour configurer l'apparence des légendes des figures et des tables. (voir la section~\ref{figtable}). +\item\verb=\RequirePackage{fontspec}\RequirePackage{unicode-math}=. La classe tango requiert \TO{lualatex} et les fontes opentype, y compris pour la composition des mathématiques. Voir la section~\ref{fnts} ci-dessous. +\item\verb=\RequirePackage{iflang}=. La classe tango utilise ce package pour envoyer un message d'erreur dans le cas où elle n'a reçu aucune option de langue pour \TO{babel}. +\item\verb=\RequirePackage{babel}=. Le package babel est appelé sans option. Les options de babel lui seront transmises par la classe tango. %See section~\ref{lang} below. +\item\verb+\RequirePackage[colorlinks,linkcolor=ColorOne,urlcolor=ColorOne]{hyperref}+.\par Cette configuration d'\TO{hyperref} peut être modifiée en utilisant la commande \verb=\hypersetup= dans le préambule. Vous pouvez aussi utiliser l'option \TO{no-hyperref}. +\item\verb=\RequirePackage{array,graphicx,microtype,numprint,float,afterpage}=. Ces packages sont chargés mais non explicitement utilisés par tango. +\end{itemize} + +\section{Fontes}\label{fnts} + +\subsection{Le système de fontes de tango} +La fonte principale est Erewhon, une version opentype d'Utopia (une fonte PosScript de type~1 qui fut conçue par Robert \textsc{Slimbach} en 1989, puis donnée au X-consortium par Adobe et figurant finalement sur TeXlive. Contrairement à Utopia, Erewhon, dessinée par Michael \textsc{Sharpe}, couvre un assez grand nombre de langues et offre de nombreuses possibilités accessibles à travers les fonctionnalités du format opentype. Il faut savoir également qu'Adobe commercialise une version opentype d'Utopia, moins riche en glyphes qu'Erewhon, mais pourvue d'une graisse intermédiaire et de corps optiques. + +La fonte scientifique est Erewhon~Math, un complément scientifique à Erewhon, conçu par Daniel \textsc{Flipo}. D'un certain point de vue, Erewhon est le pendant opentype de Fourier-Gutenberg, le complément scientifique d'Utopia type~1 conçu par mes soins en 2002. Erewhon~Math offre un grand nombre de fonctionnalités, rendues accessibles par Daniel à travers le package \TO{fourier-otf}. La classe tango ne charge pas le package \TO{fourier-otf} mais propose toutes ses fonctionnalités à travers son système d'options. + +La fonte sans sérif de tango est Noto Sans, mise à l'échelle. Il s'agit d'une fonte de texte, supportant les alphabets latin, grec et cyrillique, et pourvue de graisses multiples. + +La fonte utilisée pour les Titres de premier niveau (commande \verb=\tgotitle=) est Roboto Condensed Bold (puisque les graisses condensées de Noto Sans ne figurent pas sur TeXlive). + +La fonte à chasse fixe est Inconsolatazi4, mise à l'échelle. + +Enfin, tango appelle le package fourier-orns: il s'agit d'une fonte de logos et de symboles conçue par mes soins comme complément au système fourier et récemment pourvue d'une version opentype. + +\subsection{Utiliser tango avec un autre système de fontes} +Il est évidemment possible d'utiliser les commandes \verb=\setmainfont=, \verb=\setsansfont= et \verb=\setmonofont= du package \TO{fontspec}, ainsi que la commande \verb=\setmathfont= du package \TO{unicode-math} dans le préambule de votre document afin de modifier les paramètres de la classe tango. Ce ne sont pas des modifications que je recommande. En revanche, la distribution tango pourrait à l'avenir proposer une autre classe pourvue d'un autre système de fontes. Une telle classe Latex pourrait se nommer charlie, ou foxtrot ou zulu… + + +\subsection{“Font commands” et “text font commands”} +Je nomme ici “Font commands” des commandes dont la portée n'est limitée que par un groupe ou un environnement. Je nomme “Text font commands”, à l'opposé, des commandes dont la portée est limitée à leur argument, lequel ne doit contenir aucun saut de paragraphe. Par exemple, \verb=\bfseries= est une “font command” et \verb=\textbf= est une “text font command”. La raison de ces dénominations, dont j'admets qu'elles sont fort critiquables, est que \verb+\textbf+ est défini de façon interne par : +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\DeclareTextFontCommand{\textbf}{\bfseries} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + +Voici ce qui est proposé par la classe tango (voir le tableau~\ref{otfcmd}, \pageref{otfcmd}). Toutes ces commandes devraient fonctionner aussi bien avec Erewhon qu'avec Noto Sans. + +\begin{table}[ht] +\XTabletCommand{\centering\setlength\tabcolsep{9pt}} +\TabletCommand{\centering} +\caption{Les commandes opentype de la classe tango}\label{otfcmd} +\ifTgoTabletOutput\begin{tabular}{l | l | l | l}% +\else +\begin{tabular}{llll}% +\fi +\hline +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Commande}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Nature}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Exemple}}& +\multicolumn{1}{c}{\textsf{\bfseries Resultat}}\\ +\hline +\verb=\superiors=&\textsf{font command} & \verb=1{\superiors re}=&1{\superiors re}\\ +\hline +\verb=\scinferiors=&\textsf{font command} &\verb={\scinferiors C6H12O3}= &{\scinferiors C6H12O3}\\ +\hline +\verb=\smartfracs=&\textsf{font command} &\verb=2{\smartfracs1/3}= &2{\smartfracs1/3} \\ +\hline +\verb=\fullsc=&\textsf{text font command} &\verb=\fullsc{Chapitre}= &\fullsc{Chapitre} \\ +\hline +\verb=\textsup=&\textsf{text font command} &\verb=1\textsup{re}=&1\textsup{re} \\ +\hline +\verb=\textscinf=&\textsf{text font command} &\verb=\textscinf{C6H12O3}= &\textscinf{C6H12O3} \\ +\hline +\verb=\smartfrac=&\textsf{text font command} &\verb=2\smartfrac{3/4}= &2\smartfrac{3/4} \\ +\hline +\verb=\olddigits=&\textsf{font command} &\verb={\olddigits01234}= &{\olddigits01234} \\ +\hline +\verb=\liningdigits=&\textsf{font command} &\verb={\olddigits01\liningdigits01}= &{\olddigits01\liningdigits01} \\ +\hline +\verb=\propdigits=&\textsf{font command} &\verb={\propdigits011\olddigits011}= &{\propdigits011\olddigits011} \\ +\hline +\verb=\tabulardigits=&\textsf{font command} &\verb={\tabulardigits011\olddigits011}= &{\tabulardigits011\olddigits011} \\ +\hline +\end{tabular} + + +\end{table} + + + +%\medskip + + +\section{Utilisation de la classe tango} + +\subsection{Généralités} +Concernant l'interface utilisateur, tango n'est pas très différente des classes \TO{article} ou \TO{book}. La configuration se fait essentiellement à travers le choix des options. + +Les utilisateurs avancés devraient se référer à la documentation des différents packages : tout d'abord \TO{unicode-math}, \TO{fontspec}, \TO{mathtools} et \TO{amsmath}. Mais si vous souhaitez, par exemple, changer le style des titres, vous pourrez consulter la documentation \TO{titlesec} ; afin de changer le style d'une liste (enumerate, itemize, etc.), voyez plutôt \TO{enumitem}. Le package \TO{geometry} est essentiel pour quiconque souhaiterait obtenir une mise en page particulière. Et ainsi de suite. + + + +\subsection{Modification de commandes standard par la classe tango} + +Afin que des documents composés avec l'option \TO{article} puissent devenir les chapitres d'un livre composé de façon ultérieure avec l'option \TO{book}, la commande \verb+\part+, héritée de la classe \TO{article}, a été désactivée (seulement pour les documents composés avec l'option \TO{article}). + + +De même, la version \TO{article} bénéficie de la commande \verb+\tgotitle+ qui permet de définir le titre principal du document. La version étoilée \verb+\tgotitle*+ existe, mais fait exactement la même chose que la commande non étoilée. Cependant, dans la version \TO{book}, \verb+\tgotitle+ est un alias pour \verb+\chapter+ (et \verb+\tgotitle*+ est de même un alias de \verb+\chapter*+), ainsi, un titre non numéroté dans un polycopié peut facilement devenir le titre numéroté d'un chapitre de livre. Sous réserve évidemment qu'un mécanisme comme \verb+\includeonly+/\verb+\include+ ait été utilisé. Un modèle (pour l'instant en français) est fourni dans le répertoire \TO{examples}. + +La commande \verb+\tableofcontents+ ne peut être utilisée qu'avec l'option \TO{book}; elle est désactivée avec l'option \TO{article}: elle est alors remplacée par la commande \verb+\tgoshortoc+ (qui est elle-même désactivée avec l'option \TO{book}). Si vous avez besoin de tables des matières multiples et/ou partielles, il faudra vous tourner vers un package spécialisé. + +\subsection{Utiliser deux ou plusieurs formats de sortie} +Les fonctionnalités décrites ici ont un caractère rudimentaire et sont de nature expérimentale. Elles pourront, selon leur succès, être développées dans les versions ultérieures de la classe tango. + +Pour chaque format de sortie, deux commandes particulières sont fournies. Par exemple, dans le cas de l'option \TO{Output=Smartphone}, vous disposez de \verb+\SmartphoneCommand+ et \verb+\XSmartphoneCommand+. L'argument de la commande \verb+\SmartphoneCommand+ n'est pris en compte que si le format de sortie \TO{Smartphone} a été sélectionné. Inversement, l'argument de \verb+\XSmartphoneCommand+ n'est pris en compte que si ce format \emph{n'a pas été} utilisé. +\begin{example}[Exemples] +\begin{itemize} +\item \verb+\SmartphoneCommand{\pagebreak}+ crée un saut de page uniquement pour la sortie smartphone. +\item \verb+\XSmartphoneCommand{\[<longue formule de maths>\]}+ +\par \verb+\SmartphoneCommand{\begin{multline*}<formule sur plusieurs lignes>\end{multine*}}+ +\par crée une version \TO{multline} (cf. \TO{amsmath}) d'une formule pour la sortie smartphone uniquement. +\end{itemize} +\end{example} + +Les commandes proposées par tango sont : +\begin{itemize} +\item\verb+\AfourCommand+ and \verb+\XAfourCommand+ pour la sortie A4paper; +\item\verb+\LetterCommand+ and \verb+\XLetterCommand+pour la sortie letter; +\item\verb+\AfiveCommand+ and \verb+\XAfiveCommand+ pour la sortie A5paper; +\item\verb+\BigTabletCommand+ and \verb+\XBigTabletCommand+ pour la sortie BigTablet; +\item\verb+\TabletCommand+ and \verb+\XTabletCommand+ pour la sortie Tablet; +\item\verb+\SmallTabletCommand+ and \verb+\XSmallTabletCommand+ pour la sortie SmallTablet; +\item\verb+\eReaderCommand+ and \verb+\XeReaderCommand+ pour la sortie eReader; +\item\verb+\SmartphoneCommand+ and \verb+\XSmartphoneCommand+ pour la sortie Smartphone. +\end{itemize} +\subsection{Tous les thèmes de couleur} +\indent\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Blue}\hfil\showtheme{Azur}\hfil\showtheme{Navy}\hfil\showtheme{USAF}\hfil% +\showtheme{Framboise}\hfil\null +\par\bigskip\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Red}\hfil\showtheme{Brique}\hfil\showtheme{Caramel}\hfil\showtheme{Sienne}\hfil\showtheme{Olive}\hfil\null +\par\bigskip\par +\hspace*{0pt}\hfil\showtheme{Tannen}\hfil\showtheme{GrayGray}\hfil\showtheme{Steel}\hfil\showtheme{Ink}\hfil\showtheme{BlackAndWhite}\hfil\null + +\section{Sélection de la langue}\label{lang} +Il est impératif de passer une option de langue à babel par l'intermédiaire de la classe tango : cela est vrai même pour les personnes de langue anglaise. Un message d'erreur sera généré par la classe tango si celle-ci n'a reçu aucune option de langue à transmettre à \TO{babel} ; si vous ignorez ce message, vous devrez travailler sans aucun motif de césure. + +Tango possède également certains mots réservés qui sont: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcommand\TgoTheoremName{Theorem} +\newcommand\TgoDefinitionName{Definition} +\newcommand\TgoPropositionName{Proposition} +\newcommand\TgoLemmaName{Lemma} +\newcommand\TgoCorollaryName{Corollary} +\newcommand\TgoRemarkName{Remark} +\newcommand\TgoExampleName{Example} +\newcommand\TgoContentsName{Contents} +\newcommand\TgoExerciseName{Exercise} +\newcommand\TgoExercisesSubsectionName{Exercises} +\newcommand\TgoExercisesSectionName{Exercises} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + +Au chargement du français par babel (déclenché par l'option french), les traductions suivantes sont effectuées: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewcommand\TgoTheoremName{Théorème} +\renewcommand\TgoDefinitionName{Définition} +\renewcommand\TgoPropositionName{Proposition} +\renewcommand\TgoLemmaName{Lemme} +\renewcommand\TgoCorollaryName{Corollaire} +\renewcommand\TgoRemarkName{Remarque} +\renewcommand\TgoExampleName{Exemple} +\renewcommand\TgoContentsName{Sommaire} +\renewcommand\TgoExerciseName{Exercice} +\renewcommand\TgoExercisesSubsectionName{Exercices} +\renewcommand\TgoExercisesSectionName{Exercices} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + +Pour l'instant seules les langues anglaise et française sont pleinement supportées par tango. Les autres langues bénéficient des facilités offertes par babel, mais les mots réservés de tango ne sont pas traduits. +Voici donc ce que peuvent faire les utilisateurs concernés. +\begin{enumerate} +\item Utiliser \verb+\renewcommand+ pour faire ces traductions eux-mêmes. +\item (Mieux) me communiquer par mail toute l'information nécessaire (au moins l'option de langue utilisée pour babel et une traduction des mots réservés) de façon à ce que je puisse procéder aux adaptations nécessaires. +\end{enumerate} + +\section{Théorèmes et énoncés divers}\label{st-section} + +\subsection{Éléments prédéfinis} +Les environnements permettant de saisir les divers énoncés indispensables aux enseignants de mathématiques (définitions, théorèmes, propositions, etc.) sont définis grâce à la commande \verb+\newstatement+ dont la syntaxe est : +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newstatement{<environnement>}{<compteur>}{<nom-générique-de-l'énoncé>}[<font-command-optionnelle>] +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +Par exemple, les environnements, \TO{thm}, \TO{defin}, \TO{propo}, \TO{coro} et \TO{lem} ont été définis par quelque chose comme : +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcounter{thm} \newstatement{thm}{thm}{Théorème}[\itshape] +\newcounter{defin} \newstatement{defin}{defin}{Définition} +\newcounter{propo} \newstatement{propo}{propo}{Proposition}[\itshape] +\newcounter{coro} \newstatement{coro}{coro}{Corollaire} +\newcounter{lem} \newstatement{lem}{lem}{Lemme} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} + +Si vous saisissez +% +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm}[pons asinorum] +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +% +vous obtenez +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm}[pons asinorum] +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{thm} + +Comme vous pouvez le voir, chaque énoncé défini à l'aide de \verb+\newstatement+ dispose d'un argument optionnel délimité par des crochets (dont le contenu s'affiche entre parenthèses après le nom et le numéro de l'énoncé). Notez également que ces environnements ne devraient pas être utilisés à l'intérieur d'un autre environnement basé sur \TO{list} (comme \TO{center, quote, enumerate, itemize}…). + +Pour chaque type d'énoncé défini à l'aide de \verb+\newstatement+ existe également +\begin{itemize} +\item une forme étoilée non numérotée: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{coro*} +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{coro*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{itemize} +\begin{coro*} +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{coro*} +\begin{itemize} +\item un premier argument optionnel délimité par \verb+< >+ qui permet de remplacer localement le nom générique de l'énoncé. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{thm*}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes +possède au moins une racine complexe. +\end{thm*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{itemize} +\begin{thm*}<Théorème de d'Alembert-Gauss>[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. +\end{thm*} + + +\subsection{Configurer vos propres types énoncés} +Si vous avez besoin d'un nouveau type d'énoncé, disons un environnement \TO{axm} pour les axiomes, c'est tout simple: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcounter{axio} \newstatement{axm}{axio}{Axiom} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +Remarquez bien qu'il vous revient alors de définir le compteur utilisé par cet environnement : si ce compteur n'existe pas déjà, il vous faut le créer à l'aide de la commande \verb+\newcounter+. Bien sûr, le nom du compteur peut être différent de celui de l'environnement. Si vous avez utilisé l'option \TO{no-statement}, vous aurez d'ailleurs à définir tous les types d'énoncé dont vous avez besoin, avec des noms et des compteurs de votre choix. + +\subsection{Redéfinir des types d'énoncés} +La commande \verb+\newstatement+ a pour compagnon \verb+\renewstatement+ qui permet de redéfinir l'environnement associé à un type d'énoncé préexistant. Précisément, vous devez employer \verb+\renewstatement{foo}…+ plutôt que \verb+\newstatement{foo}…+ si et seulement si l'environnement \verb+foo+ a déjà été défini. + +\begin{example}[Exemples] +\begin{enumerate} +\item Vous pouvez redéfinir l'environnement \TO{propo} de telle façon qu'il utilise le même compteur que l'environnement \TO{thm} avec un contenu affiché en caractères romains: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition} +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm} +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{enumerate} +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition} +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm} +Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. +\end{thm} + +\begin{enumerate}[resume] +\item Si vous venez de terminer la saisie en Latex de \emph{l'intégralité} de votre traité d'algèbre, lequel contient propositions, théorèmes et corollaires, et que vous réalisez maintenant que ce que vous voulez c'est qu'il n'y ait plus de différence entre propositions, théorèmes et corollaires, les trois types d'énoncés devant être composés en italique, se nommer \frquote{proposition} et être numérotés avec le même compteur, vous pouvez simplement saisir dans le préambule: + +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement{coro}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{thm}{thm}{Proposition}[\itshape] +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +Alors avec +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm} +La somme de deux entiers pairs est un entier pair.\end{thm} +\begin{coro} +Si deux entiers ont la même parité, leur somme est un entier pair. +\end{coro} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +vous obtiendrez: +\end{enumerate} +\renewstatement{coro}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{propo}{thm}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{thm}{thm}{Proposition}[\itshape] +\setcounter{thm}{0} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm} +La somme de deux entiers pairs est un entier pair. +\end{thm} +\begin{coro} +Si deux entiers ont la même parité, leur somme est un entier pair. +\end{coro} +% +au lieu de +% +\setcounter{thm}{0}\setcounter{propo}{0} +\renewstatement{thm}{thm}{Théorème}[\itshape] +\renewstatement{propo}{propo}{Proposition}[\itshape] +\renewstatement{coro}{coro}{Corollaire} +\begin{propo} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{propo} +\begin{thm} +La somme de deux entiers pairs est un entier pair. +\end{thm} +\begin{coro} +Si deux entiers ont la même parité, leur somme est un entier pair. +\end{coro} +\begin{enumerate}[resume] +\item Pour finir, \verb+\renewstatement+ et \verb+\newstatement+ ont une forme étoilée qui permet d'obtenir un type d'énoncé dont le numéro est affiché avant le nom. Mieux, si le compteur utilisé pour ce type d'énoncé est \TO{subsection} ou \TO{subsubsection}, les titres de ces énoncés sont affichés avec la même apparence et le même placement que les titres de subsection ou de subsubsection; bien sûr ce placement dépend de la valeur de \TO{notitleindent}. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\renewstatement*{thm}{thm}{Theorème} +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsection}{Theorème}[\itshape] +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsubsection}{Theorème} +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\end{enumerate} +\end{example} +\renewstatement*{thm}{thm}{Theorème} +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsection}{Theorème}[\itshape] +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} +\renewstatement*{thm}{subsubsection}{Theorème} +\begin{thm}<Théorème de d'Alembert-Gauss> +[théorème fondamental de l'algèbre] +Tout polynôme non constant à coefficients complexes + possède au moins une racine complexe. +\end{thm} + + + +\section{Exercices} +\subsection{Commandes permettant la mise en forme d'exercices} +La classe tango fournit la commande \verb+\exo+ qui permet de présenter des énoncés d'exercices numérotés (le compteur est \TO{tgoexo}). Il existe une version étoilée, sans numéro. Comme pour les types d'énoncés, l'argument optionnel entre crochets permet d'obtenir un complément au titre, composé entre parenthèses et la première option, balisée par \frquote{\TO{< >}} permet d'obtenir un titre de substitution. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\exo +Démontrer que si $G$ est un groupe fini et $H$ un +sous-groupe de $G$, l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$. +\exo[théorème de Lagrange] +Démontrer que si $G$ est un groupe fini et $H$ un +sous-groupe de $G$, l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$. +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\exo +Démontrer que si $G$ est un groupe fini et $H$ un +sous-groupe de $G$, l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$. +\exo[théorème de Lagrange] +Démontrer que si $G$ est un groupe fini et $H$ un +sous-groupe de $G$, l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\newcommand\tgostar{\raisebox{-0.5ex}{\large\textborn}} +\exo*<Problème des restes chinois>[\tgostar\tgostar\tgostar] +Soit $n_1,\ldots, n_k$ $k$ entiers strictement supérieurs à $1$. Notons $N$ +le produit des $n_i$. Démontrer que si les $n_i$ sont premiers entre eux deux +à deux et si $a_1,\ldots, a_k$ sont des entiers quelconques, le système +\begin{align*} +x&\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ +&\!\vdots\\ +x&\equiv a_k \pmod{n_k} +\end{align*} +possède une solution, unique modulo $N$. +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\newcommand\tgostar{\raisebox{-0.5ex}{\large\textborn}} +\exo*<Problème des restes chinois>[\tgostar\tgostar\tgostar] +Soit $n_1,\ldots, n_k$ $k$ entiers strictement supérieurs à $1$. Notons $N$ +le produit des $n_i$. Démontrer que si les $n_i$ sont premiers entre eux deux à deux et si +$a_1,\ldots, a_k$ sont des entiers quelconques, le système +\begin{align*} +x&\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ +&\!\vdots\\ +x&\equiv a_k \pmod{n_k} +\end{align*} +possède une solution, unique modulo $N$. +\subsection{Environnements secexo et chapexo} +Ces deux environnements conçus pour présenter une partie consacrée aux exercices à la fin d'une section (dans le cas de \TO{secexo}) ou d'un chapitre (dans le cas de \TO{chapexo}). À l'intérieur de ces environnements, on utilise en principe la commande \verb+\exo+. + +Le titre, en capitales et centré, est \frquote{EXERCICES} par défaut; l'argument optionnel entre crochets vous permet d'en choisir un autre. Ce titre est ajouté à la table des matières ou au sommaire. + +Enfin, ces commandes possèdent des formes étoilées (\verb+\begin{secexo*)+…\verb+\end{secexo*}+) qui vous permettront de composer ces parties consacrées aux exercices dans un corps plus petit (excepté si la taille de la fonte principale du document est 9pt). + +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{secexo*}[Exemple d'une partie consacrée aux exercices] +\exo Démontrer que la somme de deux entiers pairs est un entier pair. +\exo Démontrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{secexo*} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{secexo*}[Exemple d'une partie consacrée aux exercices] +\exo Démontrer que la somme de deux entiers pairs est un entier pair. +\exo Démontrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{secexo*} + +\section{Listes}\label{lists} +\subsection{Principes généraux} +En ce qui concerne les marges, les déplacements horizontaux dans tango se font par pas multiples entiers de \verb+\TgoStandardMargin+. Au chargement de la classe, la valeur de ce paramètre est fixée à 1.5em, ainsi que les retraits d'alinéas et les retraits subis par les titres (à moins que ces valeurs ne soient fixées à zéro). les marqueurs successifs des environnements itemize et enumerate sont donc positionnés à 1.5em, 3em, 4.5em, etc. de la marge principale. Il n'est pas forcément recommandé de changer cette configuration (si vous souhaitez le faire, il convient d'utiliser le package \TO{enumitem}). + +\subsection{Environnements basés sur l'environnement list} +Il existe deux façons de configurer les listes dans tango. La première, active par défaut, est obtenue grâce à la commande \verb+\tgostandardlists+; la seconde grâce à la commande \verb+\tgosmartlists+. +% +Avec \verb+\tgostandardlists+, le texte correspondant à un niveau donné est décalé vers la droite (d'une quantité égale à \verb+\TgoStandardMargin+...) par rapport au marqueur correspondant. +% +Avec \verb+\tgosmartlists+, à l'inverse, le texte correspondant à un niveau donné est décalé vers la gauche (d'une quantité égale à \verb+\TgoStandardMargin+...) par rapport au marqueur correspondant. +\renewtgolabels*\tgostandardlists + +Voici le comportement par défaut de l'environnement \TO{itemize} (de ce point de vue \TO{enumerate} n'est pas différent). +\begin{itemize} +\item Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\begin{itemize} +\item Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\begin{itemize} +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. +\begin{itemize} +\item Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. +\end{itemize} +\item Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. +\end{itemize}\end{itemize} +\item Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\end{itemize} + +\bigskip + +Et maintenant, avec \verb+\tgosmartlists+ \tgosmartlists +\begin{itemize} +\item Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. +\item Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\begin{itemize} +\item Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. 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Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. +\end{itemize} + +Notez que \verb+\tgosmartlists+ peut sembler intéressant lorsque l'on utilise essentiellement le premier niveau de ces environnements. +Dans la mesure où \verb+\tgosmartlists+ supporte assez mal une construction comme +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{enumerate} +\item\begin{enumerate}\item +… +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +fréquente dans la numérotation des questions d'exercices, +les environnements \TO{secexo} et \TO{chapexo} basculent localement vers \verb+\tgostandardlists+. Cela n'est pas le cas de \verb+\exo+ qui, en en tant que commande, n'a pas de contexte propre, contrairement aux environnements. \tgostandardlists + +\subsection{Redéfinition de certains marqueurs de liste pour itemize} +La classe tango fournit la commande \verb+\renewtgolabels+ qui permet de modifier les marqueurs de l'environnement \TO{itemize}. Les arguments des quatre niveaux sont numérotés de 1 à 4 et doivent être utilisés comme ci-dessous. + +\begin{example}[Exemples] +\begin{itemize} +\item\verb=\renewtgolabels1{\lefthand}= remplace le marqueur du niveau 1 par le symbole \lefthand. +\renewtgolabels1{\lefthand} +\item\verb=\renewtgolabels4{\textbullet}1{\openbullet}3{\textemdash}= change les marqueurs des premier, troisième et quatrième niveaux. Le marquer du niveau 2 est inchangé. Comme vous le voyez, l'ordre des arguments est sans importance. \renewtgolabels4{\textbullet}1{\openbullet}3{\textemdash} +\end{itemize} +\end{example} + +Il existe également une version étoilée, qui restaure l'état initial des marqueurs (tel qu'au chargement de la classe), soit \verb=\textbullet=, \textbullet, pour le niveaul~1, \verb=\textopenbullet=, \textopenbullet, pour le niveau~2, \verb=\starredbullet=, \starredbullet, pour le niveau~3 et \verb=\textperiodcentered=, \textperiodcentered{} pour le niveau~4 (remarquez que ce sont les valeurs par défaut pour tango, mais \emph{non} pour Latex). + +\renewtgolabels* +\begin{example}[Exemples] +\begin{itemize} +\item\verb=\renewtgolabels*= restaure toutes les valeurs initiales. +\item\verb=\renewtgolabels*2{\textendash}= restaure les valeurs initiales, sauf pour le deuxième niveau qui utilisera désormais \textendash. +\end{itemize} +\end{example} + + +\section{Autres environnements} +En plus des environnements définis pour les types d'énoncés, la classe tango offre les quatre environnements suivants. + +\subsection{Environnements remark et example} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{remark} +Voici une excellente remarque. +\end{remark} +\begin{example} +Voici un très court exemple. +\end{example} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{remark} +Voici une excellente remarque. +\end{remark} +\begin{example} +Voici un très court exemple. +\end{example} + +Ces deux environnements ont un argument optionnel entre crochets qui permet de définir un titre alternatif. Par exemple: +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{example}[Remarques] +\begin{enumerate} +\item Une première (et excellente) remarque. +\item Une seconde remarque (encore meilleure, si cela est possible). +\end{enumerate} +\end{example} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{example}[Remarques] +\begin{enumerate} +\item Une première (et excellente) remarque. +\item Une seconde remarque (encore meilleure, si cela est possible). +\end{enumerate} +\end{example} + +\subsection{Environnement alert} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{alert} +Vous ne devriez pas envisager d'utiliser +\verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +à moins que vous ne soyez un utilisateur expérimenté de +\TeX{}, car vous pourriez attraper une terrible migraine. +\end{alert} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{alert} +Vous ne devriez pas envisager d'utiliser \verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +à moins que vous ne soyez un utilisateur expérimenté de \TeX{}, car vous pourriez attraper une terrible migraine. +\end{alert} + +L'environnement \TO{alert} propose lui aussi un argument optionnel entre crochets. +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{alert}[\bomb] +Vous ne devriez pas envisager d'utiliser +\verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +à moins que vous ne soyez un utilisateur expérimenté de +\TeX{}, car vous pourriez attraper une terrible migraine. +\end{alert} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{alert}[\bomb] +Vous ne devriez pas envisager d'utiliser +\verb+\expandafter\expandafter\expandafter+ +à moins que vous ne soyez un utilisateur expérimenté de +\TeX{}, car vous pourriez attraper une terrible migraine. +\end{alert} + +\subsection{Environnement proof} +L'environnement \TO{proof} est une adaptation de ce que fournit le package \TO{amsthm}. Un titre alternatif est rendu possible grâce à l'argument optionnel entre crochets. La commande \verb+\qedhere+ est également utilisable. +\renewstatement{thm}{thm}{Théorème}[\itshape] +\setcounter{thm}{0} +\begin{tcolorbox} +\begin{verbatim} +\begin{thm} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{thm} +\begin{proof} +Soit $p$ et $q$ deux entiers impairs. Nous devons +établir qu'il existe un entier $n$ tel que $p+q=2n$. +Nous connaissons l'existence d'un entier $p_1$ +et d'un entier $q_1$ tels que +\[p=2p_1+1\text{ et } q=2q_1+1,\] +par conséquent +\begin{align*}p+q&=(2p_1+1)+(2q_1+1)\\ +&=2\underbrace{(p_1+q_1+1)}_{n}\qedhere +\end{align*} +\end{proof} +\end{verbatim} +\end{tcolorbox} +\begin{thm} +La somme de deux entiers impairs est un entier pair. +\end{thm} +\begin{proof} +Soit $p$ et $q$ deux entiers impairs. Nous devons +établir qu'il existe un entier $n$ tel que $p+q=2n$. +Nous connaissons l'existence d'un entier $p_1$ +et d'un entier $q_1$ tels que +\[p=2p_1+1\text{ et } q=2q_1+1,\] +par conséquent +\begin{align*}p+q&=(2p_1+1)+(2q_1+1)\\ +&=2\underbrace{(p_1+q_1+1)}_{n}\qedhere +\end{align*} +\end{proof} + +\section{Figures, tableaux, flottants et légendes}\label{figtable} +Grâce au package \TO{caption}, les commandes suivantes ont été définies: +\begin{itemize} +\item\verb+\tgofigcaption+ (pour les figures); +\item and \verb+\tgotabcaption+ (pour les tableaux). +\end{itemize} +Ces deux commandes permettent d'obtenir des légendes de même apparence que ce que ferait la commande \verb+\caption+, mais fonctionnent également dans le cas d'objets non flottants. + +Ainsi il devient possible d'inclure des tableaux et des figures en position fixe, sans que rien ne permette de les distinguer des objets flottants (dont l'usage reste recommandé dans la plupart des cas). + +\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/tex/latex/tango/tango.cls b/Master/texmf-dist/tex/latex/tango/tango.cls new file mode 100644 index 00000000000..d80d9bab102 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/tex/latex/tango/tango.cls @@ -0,0 +1,1930 @@ +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}% +\ProvidesClass{tango}% +[2024/07/08 v0.7.1 tango document class. Michel Bovani]% % +% +% Ensure luatex engine +\RequirePackage{iftex}[2019/10/24] +\RequireLuaTeX +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newcommand\TgoTempa{} +\newcommand\TgoTempb{} +\newcommand\TgoTempc{} +\newcommand\TgoSmallerSize{} +\newcommand\TgoStatementNumberSuffix{} +\newcommand\TgoStatementNumberPrefix{} +\newcommand\TgoStatementSuffix{} +\newcommand\TgoStatementName{} +\newcommand\TgoTheoremName{Theorem} +\newcommand\TgoDefinitionName{Definition} +\newcommand\TgoPropositionName{Proposition} +\newcommand\TgoLemmaName{Lemma} +\newcommand\TgoCorollaryName{Corollary} +\newcommand\TgoRemarkName{Remark} +\newcommand\TgoExampleName{Example} +\newcommand\TgoContentsName{Contents} +\newcommand\TgoExerciseName{Exercise} +\newcommand\TgoExercisesSubsectionName{Exercises} +\newcommand\TgoExercisesSectionName{Exercises} +\newcommand\TgoPublicationClass{article} +\newcommand\TgoStatementIndent{\indent} +\newif\ifTgoFrenchLanguage +\newif\ifTgoNoStatement +\newif\ifTgoBook 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languages,%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + french.code= {% + \TgoFrenchLanguagetrue + \TgoTitleIndentZerofalse + }, + %%%%%% Default Statements %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + no-statement.if = TgoNoStatement, + %%%%%% No Hyperref %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + no-hyperref.if = TgoNoHyperref, + %%%%%% Parindentzero %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + no-indent.if = TgoParindentZero, + indent.ifnot = TgoParindentZero, +%%%%%% Parindentzero %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + no-titleindent.if = TgoTitleIndentZero, + titleindent.ifnot = TgoTitleIndentZero, + %%%%%% ThmNamePos left/right %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + ThmNamePos.choice:, + ThmNamePos / left.code:n = + { + \RenewDocumentCommand\TgoStatementNameOffset{}{} + }, + ThmNamePos / right.code:n = + { + \RenewDocumentCommand\TgoStatementNameOffset{}{\hspace*{\fill}} + }, +%%%% book or article %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +PubliClass.choice:, +PubliClass / article.code:n = +{% +\renewcommand\TgoPublicationClass{article} +\TgoBookfalse +}, +PubliClass / book.code:n = +{% +\renewcommand\TgoPublicationClass{book} +\TgoBooktrue +}, +%%%% oneside or two sides %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +oneside.if = TgoOneSide , +twoside.ifnot = TgoOneSide , +%%%% Font Size %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +FontSize.choice:, +FontSize / 9pt.code:n = +{ +\RemoveFromHook{class/article/after} +\AddToHook{class/article/after}{% +\TgoNinePointsFonts} +\RemoveFromHook{class/book/after} +\AddToHook{class/book/after}{% +\TgoNinePointsFonts} +}, +FontSize / 10pt.code:n = +{ +\RemoveFromHook{class/article/after} +\AddToHook{class/article/after}{% +\TgoTenPointsFonts} +\RemoveFromHook{class/book/after} +\AddToHook{class/book/after}{% +\TgoTenPointsFonts} +}, +FontSize / 11pt.code:n = +{ +\RemoveFromHook{class/article/after} +\AddToHook{class/article/after}{% +\TgoElevenPointsFonts} +\RemoveFromHook{class/book/after} +\AddToHook{class/book/after}{% +\TgoElevenPointsFonts} +}, +FontSize / 12pt.code:n = +{ +\RemoveFromHook{class/article/after} +\AddToHook{class/article/after}{% +\TgoTwelvePointsFonts} +\RemoveFromHook{class/book/after} +\AddToHook{class/book/after}{% +\TgoTwelvePointsFonts} +}, +FontSize / unknown.code:n = +{ + \ClassWarning{tango}{\MessageBreak Value #1 is unknown \MessageBreak + Possible choices are 9pt, 10pt, 11pt and 12pt. + \MessageBreak Selecting 10pt.} +}, +%%%% ColorTheme %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +ColorTheme.choice:, +ColorTheme / Blue.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % + \definecolor{ColorOne}{rgb}{0.08, 0.05, 0.55} + \definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.87, 0.94, 0.97} + } +}, + ColorTheme / Navy.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % + \definecolor{ColorOne}{rgb}{0.07, 0.37, 0.65} + \definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.87, 0.95, 0.97} + } + }, +ColorTheme / USAF.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % + \definecolor{ColorOne}{rgb}{0.24, 0.41, 0.54} + \definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.92, 0.94, 0.96} + } + }, + ColorTheme / Azur.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.15, 0.32, 0.75} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.88, 0.94, 0.97} +} +}, + ColorTheme / Red.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.75,0.05,0.1} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1,0.94,0.9} +} + }, + ColorTheme / Framboise.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.64, 0.25, 0.45} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1, 0.95, 0.94} +} + }, + ColorTheme / Brique.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.68, 0.1, 0.0} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1, 0.95, 0.89} +} +}, + ColorTheme / Sienne.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.55, 0.27, 0.1} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1, 0.95, 0.87} + } + }, + ColorTheme / Caramel.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.66, 0.26, 0.0} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1, 0.96, 0.86} +} +}, + ColorTheme / Olive.code:n = + {% + \RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.28, 0.43, 0.03} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.95, 0.98, 0.9} +} + }, + ColorTheme / Tannen.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.09, 0.44, 0.28} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.92, 0.97, 0.94} +} +}, + ColorTheme / GrayGray.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.25,0.25,0.25} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.95,0.95,0.95} +} +}, + ColorTheme / BlackAndWhite.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0,0,0} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{1,1,1} +} +}, + ColorTheme / Ink.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.25, 0.25, 0.33} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.94, 0.95, 0.97} +} +}, + ColorTheme / Steel.code:n = +{% +\RemoveFromHook{package/xcolor/after} + \AddToHook{package/xcolor/after}% +{ % +\definecolor{ColorOne}{rgb}{0.27, 0.25, 0.2} +\definecolor{ColorTwo}{rgb}{0.96, 0.96, 0.93} +} +}, + ColorTheme / unknown.code:n = + { + \ClassWarning{tango}{\MessageBreak “ColorTheme” #1 is unknown!\MessageBreak +Possible choices are: \MessageBreak +Blue, Navy, USAF, Azur, Red, Framboise, Brique, + \MessageBreak Sienne, Caramel, Olive, Tannen, GrayGray, BlackAndWhite, Ink and Steel. +\MessageBreak Stay in GrayGray} +}, +%%%% User defined colors %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +ColorOne.code = \AddToHook{package/xcolor/after}{\definecolor{ColorOne}#1}, +ColorTwo.code = \AddToHook{package/xcolor/after}{\definecolor{ColorTwo}#1}, +ColorOneNamed.code = \AddToHook{package/xcolor/after}{\colorlet{ColorOne}{#1}}, +ColorTwoNamed.code = \AddToHook{package/xcolor/after}{\colorlet{ColorTwo}{#1}}, +%%%% Output %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + Output.choice:, + Output / A4paper.code:n = + { +\TgoAfourPaperOutputtrue + }, +Output / Letter.code:n = +{ +\TgoLetterOutputtrue +\TgoBigTabletOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse +}, +Output / BigTablet.code:n = + { +\TgoBigTabletOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, +Output / A5paper.code:n = + { +\TgoAfivePaperOutputtrue +\TgoTabletOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, +Output / Tablet.code:n = + { +\TgoTabletOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, +Output / SmallTablet.code:n = + { +\TgoSmallTabletOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, +Output / eReader.code:n = + { +\TgoeReaderOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, +Output / Smartphone.code:n = + { +\TgoSmartphoneOutputtrue +\TgoAfourPaperOutputfalse + }, + Output / unknown.code:n = + { + \ClassWarning{tango}{\MessageBreak Value #1 is unknown \MessageBreak + Possible choices are A4paper, A5paper, Letter, BigTablet,\MessageBreak + Tablet, SmallTablet, eReader and Smartphone. + \MessageBreak Selecting A4paper.} +\TgoAfourPaperOutputtrue + }, + %%%%% Stylistic Set %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + StylisticSet.multichoice:, + StylisticSet / upint.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=+ss03}} + }, + StylisticSet / leqslant.code:n = + { +\AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=+ss04}} + }, +StylisticSet / smaller.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=+ss05}} + }, +StylisticSet / subsetneq.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=+ss06}} + }, +StylisticSet / parallelslant.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=+ss07}} + }, + %%%%%%% Character Variants %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + CharacterVariant.multichoice:, + CharacterVariant / zero.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=0}} + }, + CharacterVariant / hslash.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=1}} + }, + CharacterVariant / emptyset.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=2}} + }, + CharacterVariant / epsilon.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=3}} + }, + CharacterVariant / kappa.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=4}} + }, + CharacterVariant / pi.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=5}} + }, + CharacterVariant / phi.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=6}} + }, + CharacterVariant / rho.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=7}} + }, + CharacterVariant / sigma.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=8}} + }, + CharacterVariant / theta.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% +{ \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=9}} + }, +CharacterVariant / Theta.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=10}} + }, +CharacterVariant / partial.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + {\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=11}} + }, +CharacterVariant / Ecal.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=20}} + }, +CharacterVariant / Qcal.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=21}} + }, +CharacterVariant / Tcal.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% + { \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{CharacterVariant=22}} + }, + %%%%%%% Numbers %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + Numbers.choice:, + Numbers / MathOldStyle.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% +{\defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{Numbers=OldStyle}} + }, + Numbers / TextOldStyle.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% +{ \defaultfontfeatures+[erewhon]{Numbers=OldStyle}} + }, +Numbers / OldStyle.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% +{ \defaultfontfeatures+{Numbers=OldStyle} + \defaultfontfeatures+[Erewhon Math]{RawFeature=-onum}} + }, + Numbers / FullOldStyle.code:n = + { + \AddToHook{package/fontspec/after}% +{ \defaultfontfeatures+{Numbers=OldStyle}} + }, + %%%% usage + french.usage=load, + no-statement.usage=load, + no-hyperref.usage=load, + indent.usage=load, +no-indent.usage=load, +ThmNamePos.usage=general, +oneside.usage=load, +twoside.usage=load, +PubliClass.usage=load, +FontSize.usage=general, +ColorTheme.usage=general, +ColorOne.usage=general, +ColorTwo.usage=general, +Output.usage=load, +StylisticSet.usage=load, +CharacterVariant.usage=load, +Numbers.usage=load +} +%%%%% +\ProcessKeyOptions[tango] +%%%%% +\NewDocumentCommand\tgosetup{}{\SetKeys[tango]} +%%%%%%%% +%%%%%%% 10pt %%%%%%%%%%%%% +\NewDocumentCommand\TgoTenPointsFonts{}{% +\renewcommand\TgoSmallerSize{% +\TgoSmallerSizeCommandtrue% +\tgosetup{FontSize=9pt}% +\TgoSmallerSizeCommandfalse% +}% +\renewcommand\normalsize{% + \fontsize{10}{12.7}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip{6pt plus 3pt minus 2pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 3pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip{4.5pt plus 2.5pt minus 1.5pt}% + \setlength\belowdisplayskip{\abovedisplayskip}% + \let\@listi\@listI% + }% +\normalsize% +\ifTgoSmallerSizeCommand% +\else% +\setlength\TgoStandardMargin{1.5em}% +\fi% +\ifx\MakeRobust\@undefined \else% + \MakeRobust\normalsize% +\fi% +\DeclareRobustCommand\small{% + \fontsize{9}{11.45}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip{6pt plus 3pt minus 2pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip {0pt plus 3pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip {4pt plus 2pt minus 2pt}% + \def\@listi{\leftmargin\leftmargini% + \topsep 6\p@ \@plus2\p@ \@minus2\p@% + \parsep 2\p@ \@plus2\p@ \@minus\p@% + \itemsep \parsep}% + \setlength \belowdisplayskip {\abovedisplayskip}% + \let\@listi\@listI% + }% +\DeclareRobustCommand\footnotesize{% + \fontsize{8}{10.2}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip{6pt plus 2pt minus 4pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 1 pt}% + 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\fontsize{11}{13.9}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip {6pt plus 3pt minus 2pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 3pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip {4.5pt plus 2.5pt minus 2 pt}% + \setlength\belowdisplayskip{\abovedisplayskip}% + \let\@listi\@listI}% +\normalsize% +\ifTgoSmallerSizeCommand% +\else% +\setlength\TgoStandardMargin{1.5em}% +\fi% +\ifx\MakeRobust\@undefined \else% + \MakeRobust\normalsize% +\fi% +\DeclareRobustCommand\small{% + \fontsize{10}{12.7}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip{6pt plus 3pt minus 2pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 3pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip {4pt plus 2 pt minus 2pt}% + \def\@listi{\leftmargin\leftmargini% + \topsep 6\p@ \@plus2\p@ \@minus2\p@% + \parsep 2\p@ \@plus2\p@ \@minus\p@% + \itemsep \parsep}% + \setlength\belowdisplayskip{\abovedisplayskip}% + \let\@listi\@listI% + }% +\DeclareRobustCommand\footnotesize{% + \fontsize{9}{11.35}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip{6pt plus 2pt minus 4pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 1pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip{3pt plus 2pt minus 1pt}% + \def\@listi{\leftmargin\leftmargini% + \topsep 4\p@ \@plus2\p@ \@minus2\p@% + \parsep 2\p@ \@plus\p@ \@minus\p@% + \itemsep \parsep}% + \setlength\belowdisplayskip{\abovedisplayskip}% +}% +\DeclareRobustCommand\scriptsize{\fontsize{8}{10.2}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\tiny{\fontsize{6}{7.6}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\large{\fontsize{13}{15.85}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\Large{\fontsize{15}{18}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\LARGE{\fontsize{18}{21}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\huge{\fontsize{21}{24}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\Huge{\fontsize{24}{27}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\HUGE{\fontsize{60}{60}\selectfont}% +}% +%%%%%%% 12pt %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\NewDocumentCommand\TgoTwelvePointsFonts{}{% +\renewcommand\TgoSmallerSize{% +\TgoSmallerSizeCommandtrue% +\tgosetup{FontSize=11pt}% 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\fontsize{10}{12.7}\selectfont% + \setlength\abovedisplayskip {6pt plus 2pt minus 4pt}% + \setlength\abovedisplayshortskip{0pt plus 1pt}% + \setlength\belowdisplayshortskip{3pt plus 2pt minus 1pt}% + \def\@listi{\leftmargin\leftmargini% + \topsep 4\p@ \@plus2\p@ \@minus2\p@% + \parsep 2\p@ \@plus\p@ \@minus\p@% + \itemsep \parsep}% + \setlength\belowdisplayskip{\abovedisplayskip}% +}% +\DeclareRobustCommand\scriptsize{\fontsize{9}{11.45}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\tiny{\fontsize{7}{8.9}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\large{\fontsize{14.2}{16.85}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\Large{\fontsize{16.5}{19.2}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\LARGE{\fontsize{19.2}{22}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\huge{\fontsize{22}{25}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\Huge{\fontsize{25}{28}\selectfont}% +\DeclareRobustCommand\HUGE{\fontsize{63}{63}\selectfont}% +}% +%% +%%%%%%% 9pt %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\NewDocumentCommand\TgoNinePointsFonts{}{% 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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%%%Output Format %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% +%%%%% Afour %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% +\ifTgoAfourPaperOutput +% +\RenewDocumentCommand\AfourCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XLetterCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XBigTabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XAfiveCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XTabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XSmallTabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XeReaderCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XSmartphoneCommand{+m}{#1} + % + %% +%\ifTgoOneSide +\geometry{paperwidth=21cm,paperheight=29.7cm, +heightrounded,top=2cm,inner=2.75cm,outer=2.75cm,bottom=3.6cm, +headheight=16pt,headsep=21pt,footskip=50pt} +%\else +%\geometry{paperwidth=21cm,paperheight=29.7cm, +%heightrounded,top=2cm,inner=2.3cm,outer=3.2cm,bottom=3.6cm, +%headheight=16pt,headsep=21pt,footskip=50pt} +%\fi +% +\setlength{\TgoAfterChapterSkip}{21pt} +% 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A5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\ifTgoTabletOutput +% +\ifTgoAfivePaperOutput +\RenewDocumentCommand\AfiveCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XTabletCommand{+m}{#1} +% +\else +% +\RenewDocumentCommand\TabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XAfiveCommand{+m}{#1} +% +\fi +% +\RenewDocumentCommand\XLetterCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XAfourCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XBigTabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XSmallTabletCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XeReaderCommand{+m}{#1} +% +\RenewDocumentCommand\XSmartphoneCommand{+m}{#1} + % +% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%%%%%%%%% +% +%% +\ifTgoAfivePaperOutput +%\ifTgoOneSide +\geometry{paperwidth=14.85cm,paperheight=21cm, +heightrounded,top=1.2cm,inner=1.8cm,outer=1.8cm,bottom=2.4cm, +headheight=16pt,headsep=11pt,footskip=14pt} +%\else +%\geometry{paperwidth=14.85cm,paperheight=21cm, +%heightrounded,top=1.3cm,inner=1.5cm,outer=2.1cm,bottom=2.4cm, 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