diff options
author | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2022-10-10 20:27:56 +0000 |
---|---|---|
committer | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2022-10-10 20:27:56 +0000 |
commit | 173e50adff06226f453fec2369a316af10632bf0 (patch) | |
tree | db65c26902336b1371157e116f1736920b243806 /Master/texmf-dist | |
parent | 41b909e1d5b61ee631d8d275ad550fbb2bf3fe18 (diff) |
japanese-mathformulas (10oct22)
git-svn-id: svn://tug.org/texlive/trunk@64678 c570f23f-e606-0410-a88d-b1316a301751
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist')
5 files changed, 1256 insertions, 725 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/README.txt b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/README.txt index 8f5c0199b82..adab40bf2ca 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/README.txt +++ b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/README.txt @@ -1,5 +1,5 @@ japanese-mathformulas - mathematical formula using amsmath and tikz================================== -version 1.0.1 +version 1.0.2 Licence---------------------------------------------------------------------------------------------- lppl1.3c @@ -12,7 +12,7 @@ http://www.latex-project.org/lppl.txt and version 1.3 or later is part of all distributions of LaTeX version 2005/12/01 or later. Description------------------------------------------------------------------------------------------ -This is a style file for compiling basic math formulas. \NewDocumentCommand allows you to specify whether the formula should be used within a sentence or on a new line. The main packages used are amsmath, amssymb, siunitx, ifthen, xparse, tikz, mathtools, graphics. +This is a style file for compiling basic math formulas. \NewDocumentCommand allows you to specify whether the formula should be used within a sentence or on a new line. The main packages used are mathtools(loading amsmath), amssymb, siunitx, ifthen, xparse, tikz, graphics. Contents--------------------------------------------------------------------------------------------- japanese-mathformulas.sty the main file diff --git a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas-sample.tex b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas-sample.tex index 4eb0ec70a20..08786e5a34f 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas-sample.tex +++ b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas-sample.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \usepackage{iwona}% \usepackage{bookmark,xurl} -\usepackage{japanese-mathformulas,ascolorbox,enumerate,environ,tcolorbox,color}% +\usepackage{mathformula,ascolorbox,enumerate,environ,tcolorbox,color}% \usepackage[hiragino-pron,deluxe,expert,bold]{luatexja-preset}% \usepackage[usetype1]{uline--} \usepackage[margin=15mm]{geometry} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.pdf b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.pdf Binary files differindex 8514e8de6a1..06d3dcd74c5 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.pdf +++ b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.tex b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.tex index 7c68dffbd7a..d8384164446 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.tex +++ b/Master/texmf-dist/doc/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.tex @@ -1,14 +1,12 @@ \documentclass[fleqn]{ltjsarticle}% !lualatex +\usepackage{mathformulas,framed}% \usepackage[hiragino-pron,deluxe,expert,bold]{luatexja-preset}% -\usepackage{japanese-mathformulas,framed,comment}% \usepackage[usetype1]{uline--}% -\title{\LARGE\uline{japanese-mathformulas.sty}\Large\\manual pdf\\(mainly for Japanese, lulatex)}% +\title{\LARGE\uline{japanese-mathformulas.sty}\Large\\manual pdf\\(mainly for Japanese, Lua\LaTeX)}% \author{\Large Hugh / Ponkichi}% \date{\today} \def\texttt#1{{\gtfamily #1}} -%\def\auto#1#2{\ascboxB{#2}} -%\def\auto#1#2{\bf{\u{● #2}}} \def\auto#1#2{\noindent\leftline{\uline{\textgt{#2}}}} \makeatletter @@ -184,7 +182,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{二次式因数分解} %\begin{description} \auto{9}{\detokenize{\二次式因数分解{公式A}[i]}} @@ -222,7 +220,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{平方根} %\begin{description} \auto{17}{\detokenize{\平方根{定義}[i]}} @@ -278,7 +276,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{一次不等式} %\begin{description} \auto{29}{\detokenize{\一次不等式{性質A}[i]}} @@ -311,7 +309,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{集合} %\begin{description} \auto{35}{\detokenize{\集合{積集合}[i]}} @@ -341,7 +339,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{対偶} %\begin{description} \auto{41}{\detokenize{\対偶{定理}[i]}} @@ -361,7 +359,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{背理法} %\begin{description} \auto{42}{\detokenize{\背理法}} @@ -370,7 +368,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{二次関数} %\begin{description} \auto{43}{\detokenize{\二次関数{標準形}[i]}} @@ -409,7 +407,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{二次方程式の解の公式} %\begin{description} \auto{51}{\detokenize{\二次方程式の解の公式{公式}[i]}} @@ -431,7 +429,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + \auto{52}{\detokenize{\三角比の定義{定義A}[i]}} \三角比の定義{定義A}[i] @@ -475,7 +473,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{正弦定理} %\begin{description} \auto{59}{\detokenize{\正弦定理{公式}[i]}} @@ -493,7 +491,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{余弦定理} %\begin{description} \auto{61}{\detokenize{\余弦定理{公式}[i]}} @@ -510,24 +508,52 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{三角形の面積} %\begin{description} -\auto{63}{\detokenize{\三角形の面積{公式}[i]}} +\auto{63}{\detokenize{\三角比の三角形の面積公式{公式}[i]}} + +\三角比の三角形の面積公式{公式}[i] + +\auto{64}{\detokenize{\三角比の三角形の面積公式{公式}[b]}} + +\三角比の三角形の面積公式{公式}[b] + +\auto{63}{\detokenize{\三角比の三角形の面積公式{証明}}} + +\三角比の三角形の面積公式{証明} + +\auto{63}{\detokenize{\ヘロンの公式{公式}[i]}} -\三角形の面積{公式}[i] +\ヘロンの公式{公式}[i] -\auto{64}{\detokenize{\三角形の面積{公式}[b]}} +\auto{63}{\detokenize{\ヘロンの公式{公式}[b]}} -\三角形の面積{公式}[b] +\ヘロンの公式{公式}[b] -\auto{63}{\detokenize{\三角形の面積{証明}}} +\auto{63}{\detokenize{\ヘロンの公式{証明}}} -\三角形の面積{証明} +\ヘロンの公式{証明} + +\auto{63}{\detokenize{\外接円の半径と三角形の面積{公式}[i]}} + +\外接円の半径と三角形の面積{公式}[i] + +\auto{63}{\detokenize{\外接円の半径と三角形の面積{公式}[b]}} + +\外接円の半径と三角形の面積{公式}[b] + +\auto{63}{\detokenize{\外接円の半径と三角形の面積{証明}}} + +\外接円の半径と三角形の面積{証明} + +\auto{64}{\detokenize{\三角形の面積公式}} + +\三角形の面積公式 %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{場合の数と確率} %\begin{description} \auto{65}{\detokenize{\場合の数と確率{和集合の要素の個数}[i]}} @@ -714,9 +740,22 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{図形の性質} %\begin{description} + +\auto{105}{\detokenize{\平行線と線分比の性質{公式A}}} + +\平行線と線分比の性質{公式A} + +\auto{105}{\detokenize{\平行線と線分比の性質{公式B}}} + +\平行線と線分比の性質{公式B} + +\auto{105}{\detokenize{\平行線と線分比の性質{証明}}} + +\平行線と線分比の性質{証明} + \auto{105}{\detokenize{\図形の性質{内心}}} \図形の性質{内心} @@ -1939,19 +1978,42 @@ Now, here are the actual examples! \不定積分の定義{定義}[b] +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式A}[i]}} + +\不定積分の性質{公式A}[i] + +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式A}[b]}} + +\不定積分の性質{公式A}[b] + +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式B}[i]}} + +\不定積分の性質{公式B}[i] + +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式B}[b]}} + +\不定積分の性質{公式B}[b] + +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式C}[i]}} + +\不定積分の性質{公式C}[i] + +\auto{316}{\detokenize{\不定積分の性質{公式C}[b]}} + +\不定積分の性質{公式C}[b] %\end{description} %\end{simplesquarebox} %\begin{simplesquarebox}{べき乗関数の不定積分} %\begin{description} -\auto{317}{\detokenize{\べき乗関数の不定積分{公式}[i]}} +%\auto{317}{\detokenize{\べき乗関数の不定積分{公式}[i]}} -\べき乗関数の不定積分{公式}[i] +%\べき乗関数の不定積分{公式}[i] -\auto{318}{\detokenize{\べき乗関数の不定積分{公式}[b]}} +%\auto{318}{\detokenize{\べき乗関数の不定積分{公式}[b]}} -\べき乗関数の不定積分{公式}[b] +%\べき乗関数の不定積分{公式}[b] %\end{description} @@ -1962,7 +2024,6 @@ Now, here are the actual examples! %\auto{319}{\texttt{\textbackslash 不定積分の性質\h{-0.1mm}$\lbrace$\h{公式A}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式A}[i] -} \不定積分の性質{公式A}[i] @@ -1970,14 +2031,12 @@ Now, here are the actual examples! %\auto{320}{\texttt{\textbackslash 不定積分の性質\h{-0.1mm}$\lbrace$\h{公式A}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式A}[b] -} \不定積分の性質{公式A}[b] %\auto{321}{\texttt{\textbackslash 不定積分の性質\h{-0.1mm}$\lbrace$\h{公式B}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式B}[i] -} \不定積分の性質{公式B}[i] @@ -1985,14 +2044,12 @@ Now, here are the actual examples! %\auto{322}{\texttt{\textbackslash 不定積分の性質\h{-0.1mm}$\lbrace$\h{公式B}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式B}[b] -} \不定積分の性質{公式B}[b] %\auto{323}{\texttt{\textbackslash 不定積分の性質\h{-0.1mm}$\lbrace$\h{公式C}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式C}[i] -} \不定積分の性質{公式C}[i] @@ -2001,7 +2058,6 @@ Now, here are the actual examples! %\不定積分の性質{公式C}\h{-0.1mm}$\rbrace$\kakkokukuri[[]{i}}} \auto[1]{\不定積分の性質{公式C}[b] -} \不定積分の性質{公式C}[b] @@ -2689,7 +2745,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{複素数の絶対値} %\begin{description} \auto{458}{\detokenize{\複素数の絶対値{定義}[i]}} @@ -2718,7 +2774,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{極形式} %\begin{description} \auto{464}{\detokenize{\極形式{定義}[i]}} @@ -2748,7 +2804,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{偏角} %\begin{description} \auto{470}{\detokenize{\偏角{定義}[i]}} @@ -2842,7 +2898,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{楕円} %\begin{description} \auto{488}{\detokenize{\楕円{定義}[i]}} @@ -2881,7 +2937,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{双曲線} %\begin{description} \auto{496}{\detokenize{\双曲線{定義}[i]}} @@ -2928,7 +2984,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{連続な関数} %\begin{description} \auto{506}{\detokenize{\連続な関数{公式}[i]}} @@ -2941,7 +2997,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{中間値の定理} %\begin{description} \auto{508}{\detokenize{\中間値の定理{公式}[i]}} @@ -2967,7 +3023,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{微分} %\begin{description} \auto{512}{\detokenize{\微分{定義}[i]}} @@ -3084,7 +3140,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{接線の方程式} %\begin{description} \auto{538}{\detokenize{\接線の方程式{公式}[i]}} @@ -3097,7 +3153,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{法線の方程式} %\begin{description} \auto{540}{\detokenize{\法線の方程式{公式}[i]}} @@ -3110,7 +3166,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{不定積分} %\begin{description} \auto{542}{\detokenize{\不定積分{定義}[i]}} @@ -3189,7 +3245,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{定積分} %\begin{description} \auto{560}{\detokenize{\定積分{定義}[i]}} @@ -3215,7 +3271,7 @@ Now, here are the actual examples! %\end{description} %\end{simplesquarebox} - + %\begin{simplesquarebox}{体積の積分} %\begin{description} \auto{564}{\detokenize{\体積の積分{公式}[i]}} diff --git a/Master/texmf-dist/tex/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.sty b/Master/texmf-dist/tex/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.sty index 5038049b596..8664e026ffc 100644 --- a/Master/texmf-dist/tex/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.sty +++ b/Master/texmf-dist/tex/lualatex/japanese-mathformulas/japanese-mathformulas.sty @@ -1,12 +1,13 @@ -\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}% +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}% lualatex -\ProvidesPackage{japanese-mathformulas}[2022/10/3,Version 1.0.1]% +\ProvidesPackage{mathformula}%[2022/10/5,Version 1.0.2]% \RequirePackage{luatexja}% \RequirePackage{luatexja-fontspec}% \RequirePackage{luatexja-otf}% %\RequirePackage[hiragino-pron,deluxe,expert,bold]{luatexja-preset}% -\RequirePackage{amsmath,amssymb,siunitx,ifthen,xparse,tikz,mathtools,graphics}% +\RequirePackage{mathtools,amssymb,ifthen,xparse,tikz,graphics}% +\usepackage[b]{esvect}% \usetikzlibrary{arrows,shapes,intersections,calc,angles,decorations.shapes,arrows.meta,quotes,through,decorations.text}% \newcommand{\空行}{\vskip0.00001\baselineskip}% @@ -26,16 +27,43 @@ \newcommand{\証明開始}{\noindent\textgt{【証明】}\par}% \newcommand{\証明終了}{\@rightalign{\ (Q.E.D.)}\par}% \newcommand{\数式カンマスペース}{,\ }% +\let\original@sqrt\sqrt% +\NewDocumentCommand\@@sqrt{ O{} m }% + {\ifthenelse{\equal{#1}{}}{\ensuremath{\original@sqrt{\vphantom{b}#2}}}{\ensuremath{\original@sqrt[#1]{\vphantom{b}#2}}}}% +\def\sqrt{\@@sqrt}% \NewDocumentCommand\根号{ O{} m }% - {\ifthenelse{\equal{#1}{}}{\sqrt{#2\,}}{\sqrt[#1]{#2\,}}}% -\newcommand{\ベクトル}[1]{\vec{\mathstrut #1}}% -\newcommand{\overrightarrowtext}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}% + {\ifthenelse{\equal{#1}{}}{\ensuremath{\original@sqrt{\vphantom{b}#2\,}}}{\ensuremath{\original@sqrt[#1]{\vphantom{b}#2\,}}}}% +\newcommand{\ベクトル}[1]{\vv{\mathstrut#1}}% +\newcommand{\階乗}{\ensuremath{\mkern1mu!\mkern1mu}}% +\newcommand{\実数入り}{\ensuremath{\in\mathbb{R}}}% +\newcommand{\共役}[1]{\ensuremath{\overline{\mathstrut#1}}}% +\def\相似sizeratio#1{\Mulself\sz@s{#1}\Mulself\sz@r{#1}\ignorespaces}% +\edef\sz@s{1.4}% +\edef\sz@r{.33}% +\def\souzisizeratio#1{\Mulself\sz@s{#1}\Mulself\sz@r{#1}\ignorespaces}% +\DeclareRobustCommand\相似{\@ifnextchar[{\@相似}{\@相似[\empty]}}% +\def\@相似[#1]{% + \ifx\empty #1\else + \Mulself\sz@s{#1}% + \Mulself\sz@r{#1}% + \fi + \mathrel{\hbox{\chgfontsizeratio{\sz@s}\raisebox{-\sz@r ex}{∽}\!\!}}% +}% +\def\chgfontsizeratio#1{\setlength{\@tempdima@math}{\f@size pt}% + \setlength{\@tempdima@math}{#1\@tempdima@math}% + \@tempdimb@math=\@tempdima@math\advance\@tempdimb@math2\p@ + \def\@tmp@size{% + \@setfontsize\@tmp@size{\strip@pt\@tempdima@math}{\strip@pt\@tempdimb@math}}% + \@tmp@size\ignorespaces +}% +\def\平行{\mathrel{/\kern-.25em/}}% +\newcommand{\vvtext}[1]{\ensuremath{\vv{\text{#1}}}}% \newcommand{\overarc}[1]% {% - \tikz[baseline = (N.base),every node/.style={}]% + \tikz[baseline=(N.base),every node/.style={}]% {% - \node[inner sep = 0pt](N){\text{#1}};% - \draw[line width = 0.4pt] plot [smooth, tension=1.3]coordinates% + \node[inner sep=0pt](N){\text{#1}};% + \draw[line width=0.4pt]plot[smooth,tension=1.3]coordinates% {($(N.north west)+(0.1ex,0)$)($(N.north)+(0,0.5ex)$)($(N.north east)+(0,0)$)};% }% }% @@ -51,7 +79,7 @@ \newcommand{\Tzettaiti}[1]{\left|\,#1\,\right|}% \def\shikimaru#1{\text{\quad$\cdots\cdots$\,\ajMaru{#1}}} \let\originalbigtriangleup\bigtriangleup -\def\bigtriangleup#1{\originalbigtriangleup{\mathrm{#1}}} +\def\bigtriangleup#1{\originalbigtriangleup{\text{#1}}} \DeclareRobustCommand\bunsuu{\@ifstar{\bunsuu@}{\@@bunsuu}} \def\@@bunsuu#1#2{% \dfrac{\lower.44ex\hbox{$\,#1\,$}}{\lower-.1ex\hbox{$\,#2\,$}}}% @@ -64,7 +92,6 @@ \def\@EMvphantom[#1]{\@ifnextchar[{\@@EMvphantom[#1]}{% \@@EMvphantom[#1][#1]}} \def\@@EMvphantom[#1][#2]#3{{% -% \edef\apnd@ht{#1}\edef\apnd@dp{#2}% \@ifundefined{hakobanpush}{% \@@@EMvphantom{#3}\ignorespaces }{% @@ -96,7 +123,7 @@ \long\def\@icolonforloop#1:#2\@@#3#4{\def#3{#1}\ifx #3\@nnil \expandafter\@fornoop \else #4\relax\expandafter\@icolonforloop\fi#2\@@#3{#4}}% -\def\phrases@math{\renewcommand{\arraystretch}{1}\@ifnextchar<{\@phrases@math}{\@phrases@math<lr>}} +\def\phrasesmath{\renewcommand{\arraystretch}{1}\@ifnextchar<{\@phrases@math}{\@phrases@math<lr>}} \def\@phrases@math<#1>{\@ifnextchar[{\@@phrases@math<#1>}{\@@phrases@math<#1>[l]}} \def\@@phrases@math<#1>[#2]{\@ifnextchar({\@@@phrases@math<#1>[#2]}{\@@@phrases@math<#1>[#2](c)}} \def\@@@phrases@math<#1>[#2](#3){\@ifnextchar|{\@@@@phrases@math<#1>[#2](#3)}{\@@@phrases@math<#1>[#2](#3)|0pt|}} @@ -136,7 +163,7 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a-b}^2=a^2-2ab+b^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{a-b}^2=a^2-2ab+b^2\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{a-b}^2=a^2-2ab+b^2\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{x-a}\Ttyuukakko{x+a}=x^2-a^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}} @@ -153,52 +180,52 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^2+2ab+b^2=\Ttyuukakko{a+b}^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a^2+2ab+b^2=\Ttyuukakko{a+b}^2\]}{\relax}% + {\[a^2+2ab+b^2=\Ttyuukakko{a+b}^2\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^2-2ab+b^2=\Ttyuukakko{a-b}^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a^2-2ab+b^2=\Ttyuukakko{a-b}^2\]}{\relax}% + {\[a^2-2ab+b^2=\Ttyuukakko{a-b}^2\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$x^2-a^2=\Ttyuukakko{x-a}\Ttyuukakko{x+a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}} - {\[x^2-a^2=\Ttyuukakko{x-a}\Ttyuukakko{x+a}\]}{\relax}% + {\[x^2-a^2=\Ttyuukakko{x-a}\Ttyuukakko{x+a}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$x+\Ttyuukakko{a+b}x+ab=\Ttyuukakko{x+a}\Ttyuukakko{x+b}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {\[x+\Ttyuukakko{a+b}x+ab=\Ttyuukakko{x+a}\Ttyuukakko{x+b}\]}{\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\平方根}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a$は実数として,$\根号{a^2}=\Tzettaiti{a}$}% + {$a$は実数として,\,\,$\sqrt{a^2}=\Tzettaiti{a}$}% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a$は実数として,% \[\根号{a^2}=\Tzettaiti{a}\]% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% {% $a\geqq0$のとき,% $\Ttyuukakko{\根号{a}}^2=\Ttyuukakko{-\根号{a}}^2=a\数式カンマスペース\根号{a}\leqq0$% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a\leqq0$のとき,% - \[\Ttyuukakko{\根号{a}}^2=\Ttyuukakko{-\根号{a}}^2=a\数式カンマスペース\根号{a}\leqq0\]% +\[\Ttyuukakko{\根号{a}}^2=\Ttyuukakko{-\根号{a}}^2=a\数式カンマスペース\根号{a}\leqq0\]% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\根号{a}=\Tzettaiti{a}$}% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {\[\根号{a}=\Tzettaiti{a}\]}% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% {% $a>0\数式カンマスペース b>0\数式カンマスペース a\neq b$のとき,% @@ -208,7 +235,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース b>0\数式カンマスペース a\neq b$のとき,% - \[\根号{a}\根号{b}=\根号{ab}\]% +\[\根号{a}\根号{b}=\根号{ab}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質D}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -223,36 +251,39 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{性質E}\AND\equal{#2}{b}}% {\[\根号{k^2a}=k\根号{a}\]}% {\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\一次不等式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a<b$のとき\数式カンマスペース $a+c<b+c$}{\relax}% + {$a<b$のとき\数式カンマスペース $a+c<b+c$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a<b$のとき\数式カンマスペース % - \[a+c<b+c\]% +\[a+c<b+c\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$c>0$のとき,$ac<bc$}{\relax}% + {$c>0$のとき,$ac<bc$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $c>0$のとき,% - \[ac<bc\]% +\[ac<bc\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$c<0$のとき,$ac>bc$}{\relax}% + {$c<0$のとき,$ac>bc$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $c<0$のとき,% - \[ac>bc\]% +\[ac>bc\]% + }% {\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\集合}{ m O{i} }% @@ -260,44 +291,54 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{積集合}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{A\cap B}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{積集合}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和集合}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{A\cup B}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和集合}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{A\cup B}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{A\cup B}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{補集合}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\Ttyuukakko{\overline{A}}$}{\relax}% + {$\Ttyuukakko{\共役{A}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{補集合}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\overline{A}}\]}{\relax}% - }% + {\[\Ttyuukakko{\共役{A}}\]}{\relax}% + }% \NewDocumentCommand{\対偶}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定理}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $P$ならば$Q$の命題において,\par% - 逆は$Q$ならば$P$\par% - 裏は$P$でないならば$Q$でない\par% - 対偶は$Q$でないならば$P$でない\par% + $P$ならば$Q$の命題において,% + + 逆は$Q$ならば$P$% + + 裏は$P$でないならば$Q$でない% + + 対偶は$Q$でないならば$P$でない% + 対偶と元の命題の真偽は一致する。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定理}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $P$ならば$Q$の命題において,\par% - 逆は$Q$ならば$P$\par% - 裏は$P$でないならば$Q$でない\par% - 対偶は$Q$でないならば$P$でない\par% + $P$ならば$Q$の命題において,% + + 逆は$Q$ならば$P$% + + 裏は$P$でないならば$Q$でない% + + 対偶は$Q$でないならば$P$でない% + 対偶と元の命題の真偽は一致する。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - 命題を「$p$ならば$q$」とし$p$の真理集合を$P$\数式カンマスペース $q$の真理集合を$Q$とする。\par% - 「$p$ならば$q$」が真のとき,$Q\subset P\Leftrightarrow\overline{P}\subset\overline{Q}$より対偶命題「$q$でないならば$p$でない」は真。\par% - 「$p$ならば$q$」が偽のとき,$Q\not\subset P\Leftrightarrow\overline{P}\not\subset\overline{Q}$より対偶命題「$q$でないならば$p$でない」は偽。\par + 命題を「$p$ならば$q$」とし,$p$の真理集合を$P$\数式カンマスペース $q$の真理集合を$Q$とする。% + + 「$p$ならば$q$」が真のとき,$Q\subset P\Leftrightarrow\共役{P}\subset\共役{Q}$より対偶命題「$q$でないならば$p$でない」は真。% + + 「$p$ならば$q$」が偽のとき,$Q\not\subset P\Leftrightarrow\共役{P}\not\subset\共役{Q}$より対偶命題「$q$でないならば$p$でない」は偽。\par 従って,対偶命題と元の命題の真偽は一致する。% \証明終了% }% @@ -313,7 +354,7 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{標準形}\AND\equal{#2}{i}}% {$y=a\Ttyuukakko{x-p}^2+q$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{標準形}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[y=a\Ttyuukakko{x-p}^2+q\]}{\relax}% + {\[y=a\Ttyuukakko{x-p}^2+q\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般形}\AND\equal{#2}{i}}% {$y=ax^2+bx+c$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般形}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -321,26 +362,28 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{切片形}\AND\equal{#2}{i}}% {$y=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{切片形}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[y=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}\]}{\relax}% + {\[y=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{平方完成}\AND\equal{#2}{i}}% - {$y=ax^2+bx+c$に対して,$y=a\Ttyuukakko{x+\bunsuu{b}{2a}}-\bunsuu{b^2-4ac}{4a}$}{\relax}% + {$y=ax^2+bx+c$に対して,$y=a\Ttyuukakko{x+\bunsuu{b}{2a}}-\bunsuu{b^2-4ac}{4a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{平方完成}\AND\equal{#2}{b}}% {% $y=ax^2+bx+c$に対して,% - \[y=a\Ttyuukakko{x+\bunsuu{b}{2a}}-\bunsuu{b^2-4ac}{4a}\]% +\[y=a\Ttyuukakko{x+\bunsuu{b}{2a}}-\bunsuu{b^2-4ac}{4a}\]% + }% {\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\二次方程式の解の公式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$ax^2+bx+c=0 \Ttyuukakko{a\neq0}$に対して,$x=\bunsuu{-b\pm\根号{b^2-4ac}}{2a}$}{\relax}% + {$ax^2+bx+c=0 \Ttyuukakko{a\neq0}$に対して,$x=\bunsuu{-b\pm\根号{b^2-4ac}}{2a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^2+bx+c=0 \Ttyuukakko{a\neq0}$に対して,% - \[x=\bunsuu{-b\pm\根号{b^2-4ac}}{2a}\]% +\[x=\bunsuu{-b\pm\根号{b^2-4ac}}{2a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明A}}% @@ -391,12 +434,13 @@ \draw pic["$\theta$",draw=black,->,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm]{angle=B--A--C};% \end{tikzpicture}% \空行% - 図の様な直角$\triangle{\text{ABC}}$において$\angle\mathrm{CAB}=\theta$のとき,% + 図の様な直角$\triangle{\text{ABC}}$において$\angle\text{CAB}=\theta$のとき,% \[% \sin\theta=\bunsuu{\text{BC}}{\text{AC}}\数式カンマスペース% \cos\theta=\bunsuu{\text{AB}}{\text{AC}}\数式カンマスペース% \tan\theta=\bunsuu{\text{BC}}{\text{AB}}% \]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義B}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -420,7 +464,8 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において% - \[\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\数式カンマスペース\tan\theta=\bunsuu{y}{x}\]% +\[\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\数式カンマスペース\tan\theta=\bunsuu{y}{x}\]% + このとき,$r=1$にしても一般性を失わない。% }% {\relax}% @@ -432,11 +477,11 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\]}{\relax}% + {\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\]}{\relax}% + {\[\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -463,21 +508,24 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において,$\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}$より% - \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{y^2+x^2}{r^2}\]% +\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{y^2+x^2}{r^2}\]% + ここで,三平方の定理より$x^2+y^2=r^2$なので% - \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{r^2}{r^2}=1\]% +\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{r^2}{r^2}=1\]% + \空行% - $\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\quad\tan\theta=\bunsuu{y}{x}$より% - \[\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\bunsuu{y}{x}=\tan\theta\]% + $\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\quad\tan\theta=\bunsuu{y}{x}$より% \[\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\bunsuu{y}{x}=\tan\theta\]% + \空行% $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の両辺を$\cos^2\theta$で割ることで,% - \[\bunsuu{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\]% +\[\bunsuu{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\]% + ここで,$\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので% - \[\tan^2\theta+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\]% +\[\tan^2\theta+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\]% \証明終了% }% {\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\ユークリッド幾何の公理}{ m O{i} }% @@ -500,9 +548,10 @@ \newcommand{\距離} {% - 空でない集合Xの元$x\数式カンマスペース y$に対して,実数値$d(x\数式カンマスペース y)$が定義され,% + 空でない集合$X$の元$x\数式カンマスペース y$に対して,実数値$d(x\数式カンマスペース y)$が定義され,% \[d(x\数式カンマスペース y)=0\Leftrightarrow x=y\数式カンマスペース\quad(x\数式カンマスペース y)=d(y\数式カンマスペース x)\数式カンマスペース\quad(x\数式カンマスペース y)\leqq d(x\数式カンマスペース y)+d(y\数式カンマスペース x)\]% - の三つの性質を満たす$d$をX上の距離といい,$(\text{X}\数式カンマスペース d)$を距離空間という。 % + + の三つの性質を満たす$d$を$X$上の距離といい,$(X\数式カンマスペース d)$を距離空間という。 % }% @@ -530,11 +579,11 @@ \draw(2,0)coordinate(B);% \draw(0,2)coordinate(C); % \draw(1,1)coordinate(D);% - \draw pic["A",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=A--D--C};% + \draw pic["A",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=A--D--C};% \draw pic["B",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=O--D--B};% \end{tikzpicture}% \空行% - 図において,$\angle\mathrm{A}$と$\angle\mathrm{B}$を対頂角という。% + 図において,$\angle\text{A}$と$\angle\text{B}$を対頂角という。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質}}% @@ -550,14 +599,14 @@ \draw(2,0)coordinate(B);% \draw(0,2)coordinate(C);% \draw(1,1)coordinate(D);% - \draw pic["A",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=A--D--C};% - \draw pic["\,C",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.3cm] {angle=B--D--A};% + \draw pic["A",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=A--D--C};% + \draw pic["\,C",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.3cm] {angle=B--D--A};% \draw pic["B",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=O--D--B};% \end{tikzpicture}% \空行% - \[180^\circ =\angle\mathrm{A}+\angle\mathrm{C}\]% - \[180^\circ=\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}\]% +\[180^\circ =\angle\text{A}+\angle\text{C}\]% + \[180^\circ=\angle\text{B}+\angle\text{C}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{A}=\angle\text{B}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -584,11 +633,11 @@ \draw pic["B\,\,\,",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.3cm] {angle=B--E--G};% \end{tikzpicture} \空行% - 図において,$\angle\mathrm{A}$と$\angle\mathrm{B}$を錯角という。% + 図において,$\angle\text{A}$と$\angle\text{B}$を錯角という。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質}}% - {直線$l\数式カンマスペース m$において,錯角が等しい$\Leftrightarrow$直線$l\数式カンマスペース m$は平行。}{\relax}% + {直線$l\数式カンマスペース m$において,錯角が等しい$\Leftrightarrow$直線$l\数式カンマスペース m$は平行}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% @@ -613,16 +662,20 @@ \item 「平行ならば錯角が等しい」の証明。% \空行% 対頂角は等しいので,% - \[\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{C}\]% - ここで,$\angle\mathrm{B}$と$\angle\mathrm{C}$は同位角なので等しいので,% - \[\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}\]% +\[\angle\text{A}=\angle\text{C}\]% + + ここで,$\angle\text{B}$と$\angle\text{C}$は同位角なので等しいので,% +\[\angle\text{A}=\angle\text{B}\]% + \item 「錯角が等しいならば平行」の証明。% \空行% 錯角が等しいので,% - \[\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}\]% +\[\angle\text{A}=\angle\text{B}\]% + 対頂角は等しいので,% - \[\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{C}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{B}\]% +\[\angle\text{A}=\angle\text{C}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{C}=\angle\text{B}\]% + 即ち,同位角が等しいので二直線は平行。% \end{enumerate}% \証明終了% @@ -650,7 +703,7 @@ \draw pic["\,\,B",draw=black,-,thin,angle eccentricity=1.4,angle radius=0.4cm] {angle=D--E--B};% \end{tikzpicture} \空行% - 図において,$\angle\mathrm{A}$と$\angle\mathrm{B}$を同位角という。 + 図において,$\angle\text{A}$と$\angle\text{B}$を同位角という。 }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公理}}% @@ -658,15 +711,91 @@ }% +\NewDocumentCommand{\平行線と線分比の性質}{ m O{i} }% + {% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}}% + {% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)--(4,2);% + \draw(1.5,2)node[left]{D};% + \draw(4,2)node[right]{E};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 図において,% +\[\text{AD}:\text{AB}=\text{AE}:\text{AC}=\text{DE}:\text{BC}\]% + + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}}% + {% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)--(4,2);% + \draw(1.5,2)node[left]{D};% + \draw(4,2)node[right]{E};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 図において,% +\[\text{AD}:\text{DB}=\text{AE}:\text{EC}\]% + + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% + {% + \証明開始% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)--(4,2);% + \draw(1.5,2)node[left]{D};% + \draw(4,2)node[right]{E};% + \draw(2.5,0)--(4,2);% + \draw(2.5,0)node[below]{F};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 図において, % +\[\text{DE}\平行\text{BC}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{ADE}=\angle\text{ABC}\数式カンマスペース\angle\text{AED}=\angle\text{ACB}\]% + + よって,$\triangle\text{ADE}\相似\triangle\text{ABC}\Leftrightarrow\text{AD}:\text{AB}=\text{AE}:\text{AC}=\text{DE}:\text{BC}$% + + また,図において,% +\[\text{AB}\平行\text{EF}\Leftrightarrow\angle\text{CEF}=\angle\text{CAB}\数式カンマスペース\angle\text{CFE}=\angle\text{CBA}\]% + + また,% +\[\text{DE}\平行\text{BC}\Leftrightarrow\angle\text{EDA}=\angle\text{CBA}\]% + + これと$\angle\text{CFE}=\angle\text{CBA}$より,% +\[\angle\text{EDA}=\angle\text{CFE}\]% + + よって,$\triangle\text{ADE}\相似\triangle\text{EFC}\Leftrightarrow\text{AD}:\text{EF}=\text{AE}:\text{EC}$% + ここで,% +\[\text{EF}=\text{DB}\Leftrightarrow\text{AD}:\text{DB}=\text{AE}:\text{EC}\]% + \証明終了% + }% + {\relax}% + }% + + \NewDocumentCommand{\正弦定理}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\triangle{\text{ABC}}$の外接円の半径を$R$として,$\bunsuu{a}{\sin\text{A}}=2\text{R}\text{\ (}b\数式カンマスペース\text{B -}\数式カンマスペース c\数式カンマスペース\text{Cについても同様に成立})$}{\relax}% + {$\triangle{\text{ABC}}$の外接円の半径を$R$として,$\bunsuu{a}{\sin\text{A}}=2\text{R}\text{\ (\,$b\数式カンマスペース\text{B +}\数式カンマスペース c\数式カンマスペース\text{C}$についても同様に成立)}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\triangle{\text{ABC}}$の外接円の半径を$R$として,% - \[\bunsuu{a}{sin\text{A}}=2R\text{\ (\,$b\数式カンマスペース\text{B}\数式カンマスペース c\数式カンマスペース\text{C}$についても同様に成立)}\]% + \[\bunsuu{a}{\sin\text{A}}=2R\text{\ (\,$b\数式カンマスペース\text{B}\数式カンマスペース c\数式カンマスペース\text{C}$についても同様に成立)}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% @@ -693,9 +822,10 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において円周角の定理より,% - \[\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\]% +\[\angle\text{A}=\angle\text{D}\]% + なので,円Oの半径をRとして$\sin\text{A}=\sin\text{D}=\bunsuu{a}{2\text{R}}$より,% - \[\bunsuu{a}{\sin\text{A}}=2\text{R}\]% +\[\bunsuu{a}{\sin\text{A}}=2\text{R}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -705,11 +835,12 @@ \NewDocumentCommand{\余弦定理}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\triangle{\text{ABC}}$において,$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}$}{\relax}% + {$\triangle{\text{ABC}}$において,$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\triangle{\text{ABC}}$において,% - \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}\]% +\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% @@ -731,10 +862,12 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において$\text{BC}=a,\text{CA}=b,\text{AC}=c$として,% - \[\text{BH}=c\sin\text{A},\quad\text{AH}=c\cos\text{A}\]% +\[\text{BH}=c\sin\text{A},\quad\text{AH}=c\cos\text{A}\]% + また,$\triangle{\text{BHC}}$に三平方の定理を用いることにより% - \[\text{CB}^2=\text{BH}^2+\text{HC}^2\]% - ここで,$\text{HC}=\text{AC}-\text{AH}=b-c\cos\text{A},\quad\text{BH}=c\sin\text{A}$より% +\[\text{CB}^2=\text{BH}^2+\text{HC}^2\]% + + ここで,$\text{HC}=\text{AC}-\text{AH}=b-c\cos\text{A}\数式カンマスペース\text{BH}=c\sin\text{A}$より% \begin{align*}% a^2&=\Ttyuukakko{c\sin\text{A}}^2+\Ttyuukakko{b-c\cos\text{A}}^2&\\% &=c^2\sin^2\text{A}+b^2-2bc\cos\text{A}+c^2\cos^2\text{A}&\\% @@ -742,21 +875,22 @@ &=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}% \end{align*}% よって,% - \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}\]% +\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}\]% \証明終了% }% {\relax}% }% -\NewDocumentCommand{\三角形の面積}{ m O{i} }% +\NewDocumentCommand{\三角比の三角形の面積公式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\triangle{\text{ABC}}$の面積を$S$として,$S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}$}{\relax}% + {$\triangle{\text{ABC}}$の面積を$S$として,$S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\triangle{\text{ABC}}$の面積を$S$として,% - \[S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}\]% +\[S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% @@ -777,167 +911,290 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において% - \[\text{BC}=a\数式カンマスペース\text{CA}=B\数式カンマスペース\text{AC}=c\]% +\[\text{BC}=a\数式カンマスペース\text{CA}=B\数式カンマスペース\text{AC}=c\]% + また,$\triangle{\text{ABC}}$の面積を$S$として$S=\bunsuu{1}{2}\text{AC}\times\text{BH}$と,$\text{AB}\sin\text{A}=\text{BH}$から,% - \[S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}\]% +\[S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}\]% \証明終了% }% {\relax}% }% +\NewDocumentCommand{\ヘロンの公式}{ m O{i} }% + {% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% + {% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)node[left]{$c$};% + \draw(2.5,0)node[below]{$a$};% + \draw(4,2)node[right]{$b$};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 図において$s=\bunsuu{a+b+c}{2}$のとき三角形の面積$S$は,$\根号{s(s-a)(s-b)(s-c)}$% + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% + {% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)node[left]{$c$};% + \draw(2.5,0)node[below]{$a$};% + \draw(4,2)node[right]{$b$};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 図において$s=\bunsuu{a+b+c}{2}$のとき三角形の面積$S$は,% +\[\根号{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]% + + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% + {% + \証明開始% + \begin{tikzpicture}% + \draw(0,0)--(3,4)--(5,0)--cycle;% + \draw(0,0)node[below]{B};% + \draw(3,4)node[above]{A};% + \draw(5,0)node[below]{C};% + \draw(1.5,2)node[left]{$c$};% + \draw(2.5,0)node[below]{$a$};% + \draw(4,2)node[right]{$b$};% + \end{tikzpicture}% + \空行% + 三角形の面積公式より,% +\[S=\bunsuu{1}{2}ab\sin\text{C}\]% + + ここで$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より,% +\[S=\bunsuu{1}{2}ac\根号{1-\cos^2\text{C}}\]% + + 余弦定理より$\cos\text{C}=\bunsuu{a^2+b^2-c^2}{2ab}$なので,% + \begin{align*}% + S&=\bunsuu{1}{2}ab\根号{1-\Ttyuukakko{\bunsuu{a^2+b^2-c^2}{2ab}}^2}&\\% + &=\bunsuu{1}{4}\根号{(2ab)^2-(a-2+b^2-c^2)^2}&\\% + &=\bunsuu{1}{4}\根号{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}&\\% + &=\bunsuu{1}{2}\根号{\Tdaikakko{(a+b)^2-c^2}\Tdaikakko{c^2-(a-b)^2}}&\\% + &=\根号{\bunsuu{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{2\cdot2\cdot2\cdot2}}&\\% + &=\根号{s(s-a)(s-b)(s-c)} + \end{align*}% + \証明終了% + }% + {\relax}% + }% + + +\NewDocumentCommand{\外接円の半径と三角形の面積}{ m O{i} }% + {% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% + {% + $3$辺の長さが$a\数式カンマスペース b\数式カンマスペース c$の三角形の外接円の半径を$R$,面積を$S$とおくと,$S=\bunsuu{abc}{4R}$ + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% + {% + $3$辺の長さが$a\数式カンマスペース b\数式カンマスペース c$の三角形の外接円の半径を$R$,面積を$S$とおくと,% + \[S=\bunsuu{abc}{4R}\]% + }% + {\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% + {% + \証明開始% + 正弦定理より,% + \[a=2R\sin\text{A}\]% + + 三角形の面積の公式から,% + \[S=\bunsuu{1}{2}bc\sin\text{A}\]% + + 以上の2式より,% + \[S=\bunsuu{abc}{4R}\]% + \証明終了% + }% + {\relax}% + }% + +\newlength{\sankekkeinomensekikoushiki}% +\settowidth{\sankekkeinomensekikoushiki}{$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ \Ttyuukakko{s=\bunsuu{a+b+c}{2}}$}% +\NewDocumentCommand{\三角形の面積公式}{ O{} }% + {% + \begin{align*}% + S&=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$\bunsuu12bc\sin{\text{A}}$}\shikimaru{1}\\% + &=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ \Ttyuukakko{s=\bunsuu{a+b+c}{2}}$}\shikimaru{2}\\% + &=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$rs$}\shikimaru{3}\\% + &=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$\bunsuu{abc}{4R}$}\shikimaru{4}\\% + &=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$\bunsuu12\sqrt{\Tzettaiti{\ベクトル{a}}^2\Tzettaiti{\ベクトル{b}}^2-\Ttyuukakko{\ベクトル{a}\cdot\ベクトル{b}}^2}$}\shikimaru{5}\\% + &=\parbox[c]{\the\sankekkeinomensekikoushiki}{$\bunsuu12|x_1y_2-x_2y_1|$}\shikimaru{6}% + \end{align*}% + }% + + \NewDocumentCommand{\場合の数と確率}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{和集合の要素の個数}\AND\equal{#2}{i}}% {$n\Ttyuukakko{A\cup B}=n\Ttyuukakko{A}+n\Ttyuukakko{B}-n\Ttyuukakko{A\cap B}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和集合の要素の個数}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[n\Ttyuukakko{A\cup B}=n\Ttyuukakko{A}+n\Ttyuukakko{B}-n\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% + {\[n\Ttyuukakko{A\cup B}=n\Ttyuukakko{A}+n\Ttyuukakko{B}-n\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{補集合の要素の個数}\AND\equal{#2}{i}}% - {全体集合を$U$として,$n\Ttyuukakko{\overline{A}}=n\Ttyuukakko{U}-n\Ttyuukakko{A}$}{\relax}% + {全体集合を$U$として,$n\Ttyuukakko{\共役{A}}=n\Ttyuukakko{U}-n\Ttyuukakko{A}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{補集合の要素の個数}\AND\equal{#2}{b}}% - {全体集合を$U$として,\[n\Ttyuukakko{\overline{A}}=n\Ttyuukakko{U}-n\Ttyuukakko{A}\]}{\relax}% + {全体集合を$U$として,\[n\Ttyuukakko{\共役{A}}=n\Ttyuukakko{U}-n\Ttyuukakko{A}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和の法則}\AND\equal{#2}{i}}% - {二つの事象$\text{A}$\数式カンマスペース Bにたいして,Aの起こりかたが$a$通り,Bの起こりかたが$b$通りのとき,AまたはBの起こる場合の数は$a+b$通り}{\relax}% + {二つの事象$A$\数式カンマスペース$B$に対して,Aの起こり方が$a$通り,Bの起こり方が$b$通りのとき,AまたはBの起こる場合の数は$a+b$通り}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和の法則}\AND\equal{#2}{b}}% - {二つの事象$\text{A}$\数式カンマスペース Bにたいして,Aの起こりかたが$a$通り,Bの起こりかたが$b$通りのとき,AまたはBの起こる場合の数は$a+b$通り}{\relax}% + {二つの事象$A$\数式カンマスペース$B$に対して,Aの起こり方が$a$通り,Bの起こり方が$b$通りのとき,AまたはBの起こる場合の数は$a+b$通り}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{積の法則}\AND\equal{#2}{i}}% - {二つの事象$\text{A}$\数式カンマスペース Bにたいして,Aの起こりかたが$a$通り,Bの起こりかたが$b$通りのとき,AかつBの起こる場合の数は$ab$通り}{\relax}% + {二つの事象$A$\数式カンマスペース$B$に対して,Aの起こり方が$a$通り,Bの起こり方が$b$通りのとき,AかつBの起こる場合の数は$ab$通り}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{積の法則}\AND\equal{#2}{b}}% - {二つの事象$\text{A}$\数式カンマスペース Bにたいして,Aの起こりかたが$a$通り,Bの起こりかたが$b$通りのとき,AかつBの起こる場合の数は$ab$通り}{\relax}% + {二つの事象$A$\数式カンマスペース$B$に対して,Aの起こり方が$a$通り,Bの起こり方が$b$通りのとき,AかつBの起こる場合の数は$ab$通り}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{順列}\AND\equal{#2}{i}}% - {異なる$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数は${}_{n}P_{r}=\bunsuu{n!}{\Ttyuukakko{n-r}!}$}{\relax}% + {異なる$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数は${}_{n}\text{P}_{r}=\bunsuu{n\階乗}{\Ttyuukakko{n-r}\階乗}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{順列}\AND\equal{#2}{b}}% {% 異なる$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数は% - \[{}_{n}P_{r}=\bunsuu{n!}{\Ttyuukakko{n-r}!}\]% +\[{}_{n}\text{P}_{r}=\bunsuu{n\階乗}{\Ttyuukakko{n-r}\階乗}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{順列の証明}}% {% \証明開始% 異なる$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数は,% - \[n\times\Ttyuukakko{n-1}\times\Ttyuukakko{n-2}\times\cdots\Ttyuukakko{n-r+1}=\bunsuu{n!}{\Ttyuukakko{n-r}!}\]% - ここで,$\bunsuu{n!}{\Ttyuukakko{n-r}!}$を${}_{n} P_{r}$と表す。% +\[n\times\Ttyuukakko{n-1}\times\Ttyuukakko{n-2}\times\cdots\times\Ttyuukakko{n-r+1}=\bunsuu{n\階乗}{\Ttyuukakko{n-r}\階乗}\]% + + ここで,$\bunsuu{n\階乗}{\Ttyuukakko{n-r}\階乗}$を${}_{n} P_{r}$と表す。% \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{円順列}\AND\equal{#2}{i}}% - {異なる$n$個のものを円に並べる場合の数は$\Ttyuukakko{n-1}!$}{\relax}% + {異なる$n$個のものを円に並べる場合の数は$\Ttyuukakko{n-1}\階乗 $}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{円順列}\AND\equal{#2}{b}}% - {異なる$n$個のものを円に並べる場合の数は\[\Ttyuukakko{n-1}!\]}{\relax}% + {異なる$n$個のものを円に並べる場合の数は\[\Ttyuukakko{n-1}\階乗\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{円順列の証明}}% {% \証明開始% - $n$個のものを円形に並べるとき,1つを固定して考えると,残り$n-1$個を並べる順列の個数に等しい。よって$\Ttyuukakko{n-1}!$通りとなる。% + $n$個のものを円形に並べるとき,1つを固定して考えると,残り$n-1$個を並べる順列の個数に等しい。よって$\Ttyuukakko{n-1}\階乗 $通りとなる。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{重複順列}\AND\equal{#2}{i}}% - {$n$個から$r$個,重複を許して並べる場合の数は$n^r$}{\relax}% + {$n$個から$r$個,重複を許して並べる場合の数は$n^r$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{重複順列}\AND\equal{#2}{b}}% - {$n$個から$r$個,重複を許して並べる場合の数は\[n^r\]}{\relax}% + {$n$個から$r$個,重複を許して並べる場合の数は\[n^r\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{組み合わせ}\AND\equal{#2}{i}}% - {異なる$n$個のものから$r$個選ぶ場合の数は,${}_{n}C_{r}=\bunsuu{n!}{r!\Ttyuukakko{n-r}!}$}{\relax}% + {異なる$n$個のものから$r$個選ぶ場合の数は,${}_{n}\text{C}_{r}=\bunsuu{n\階乗}{r\階乗\Ttyuukakko{n-r}\階乗}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{組み合わせ}\AND\equal{#2}{b}}% {% 異なる$n$個のものから$r$個選ぶ場合の数は,% - \[{}_{n}C_{r}=\bunsuu{n!}{r!\Ttyuukakko{n-r}!}\]% +\[{}_{n}\text{C}_{r}=\bunsuu{n\階乗}{r\階乗\Ttyuukakko{n-r}\階乗}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{組み合わせの証明}}% {% \証明開始% 異なる$n$個のものから$r$個選ぶ場合の数は,順列を重複度で割ったものなので% - \[\bunsuu{{}_{n} P_{r}}{r!}=\bunsuu{n!}{r!\Ttyuukakko{n-r}!}\]% - ここで,$\bunsuu{n!}{r!\Ttyuukakko{n-r}!}$を${}_{n}C_{r}$と表す。 - \証明終了% +\[\bunsuu{{}_{n} P_{r}}{r\階乗}=\bunsuu{n\階乗}{r\階乗\Ttyuukakko{n-r}\階乗}\]% + + ここで,$\bunsuu{n\階乗}{r\階乗\Ttyuukakko{n-r}\階乗}$を${}_{n}\text{C}_{r}$と表す。 \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{同じものを含む順列}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a$が$p$個,$b$が$q$個,$c$が$r$個,とあるとき,それら全部を並べる場合の数は,$\bunsuu{n!}{p!q!r!}$(ただし,$p+q+r=n$)}{\relax}% + {$a$が$p$個,$b$が$q$個,$c$が$r$個,とあるとき,それら全部を並べる場合の数は,$\bunsuu{n\階乗}{p\階乗 q\階乗 r\階乗}$(ただし,$p+q+r=n$)}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{同じものを含む順列}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a$が$p$個,$b$が$q$個,$c$が$r$個,とあるとき,それら全部を並べる場合の数は,% - \[\bunsuu{n!}{p!q!r!}\text{\ (ただし,$p+q+r=n$)}\]% +\[\bunsuu{n\階乗}{p\階乗 q\階乗 r\階乗}\text{\ (ただし,$p+q+r=n$)}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{同じものを含む順列の証明}}% {% \証明開始% - $n$個のものを並べる場合の数は$n!$通りだが,$n$個の中に同じものが含まれているので,重複度で割ることで$\bunsuu{n!}{p!q!r!}$を得る。% + $n$個のものを並べる場合の数は$n\階乗 $通りだが,$n$個の中に同じものが含まれているので,重複度で割ることで$\bunsuu{n\階乗}{p\階乗 q\階乗 r\階乗}$を得る。% \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {全事象$\text{U}$のどの根元事象も同様に確からしいとき,事象$\text{A}$の起こる確率は,$P\Ttyuukakko{A}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{A}}{n\Ttyuukakko{U}}$}{\relax}% + {全事象$U$のどの根元事象も同様に確からしいとき,事象$A$の起こる確率は,$P\Ttyuukakko{A}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{A}}{n\Ttyuukakko{U}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 全事象$\text{U}$のどの根元事象も同様に確からしいとき,事象$\text{A}$の起こる確率は,% - \[P\Ttyuukakko{A}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{A}}{n\Ttyuukakko{U}}\]% + 全事象$U$のどの根元事象も同様に確からしいとき,事象$A$の起こる確率は,% +\[P\Ttyuukakko{A}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{A}}{n\Ttyuukakko{U}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{排反の定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {事象$\text{A}$\数式カンマスペース$\text{B}$が同時に起こりえないとき,AとBは互いに排反であるという。}{\relax}% + {事象$A$\数式カンマスペース$B$が同時に起こりえないとき,$A$と$B$は互いに排反であるという。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{排反の定義}\AND\equal{#2}{b}}% - {事象$\text{A}$\数式カンマスペース$\text{B}$が同時に起こりえないとき,AとBは互いに排反であるという。}{\relax}% + {事象$A$\数式カンマスペース$B$が同時に起こりえないとき,$A$と$B$は互いに排反であるという。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {任意の事象$\text{A}$に対して,$0\leqq A\leqq1$}{\relax}% + {任意の事象$A$に対して,$0\leqq A\leqq1$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 任意の事象$\text{A}$に対して,% - \[0\leqq A\leqq1\]% + 任意の事象$A$に対して,% +\[0\leqq A\leqq1\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の性質B}\AND\equal{#2}{i}}% - {全事象$\text{U}$の確率$P\Ttyuukakko{U}=1$}{\relax}% + {全事象$U$の確率$P\Ttyuukakko{U}=1$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{確率の性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 全事象$\text{U}$の確率% - \[P\Ttyuukakko{U}=1\]% + 全事象$U$の確率% +\[P\Ttyuukakko{U}=1\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和事象の確率}\AND\equal{#2}{i}}% {$P\Ttyuukakko{A\cup B}=P\Ttyuukakko{A}+P\Ttyuukakko{B}-P\Ttyuukakko{A\cap B}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{和事象の確率}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[P\Ttyuukakko{A\cup B}=P\Ttyuukakko{A}+P\Ttyuukakko{B}-P\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% + {\[P\Ttyuukakko{A\cup B}=P\Ttyuukakko{A}+P\Ttyuukakko{B}-P\Ttyuukakko{A\cap B}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{余事象の確率}\AND\equal{#2}{i}}% - {$P\Ttyuukakko{\overline{A}}=1-P\Ttyuukakko{A}$}{\relax}% + {$P\Ttyuukakko{\共役{A}}=1-P\Ttyuukakko{A}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{余事象の確率}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[P\Ttyuukakko{\overline{A}}=1-P\Ttyuukakko{A}\]}{\relax}% + {\[P\Ttyuukakko{\共役{A}}=1-P\Ttyuukakko{A}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{独立な事象の確率}\AND\equal{#2}{i}}% - {事象$\text{A}$とBが独立のとき,事象$\text{A}$が起こりかつ事象$\text{B}$が起こる確率$p$は,$p=P\Ttyuukakko{A}P\Ttyuukakko{B}$}{\relax}% + {事象$A$と$B$が独立のとき,事象$A$が起こりかつ事象$B$が起こる確率$p$は,$p=P\Ttyuukakko{A}P\Ttyuukakko{B}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{独立な事象の確率}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 事象$\text{A}$とBが独立のとき,事象$\text{A}$が起こりかつ事象$\text{B}$が起こる確率$p$は,% - \[p=P\Ttyuukakko{A}P\Ttyuukakko{B}\]% + 事象$A$と$B$が独立のとき,事象$A$が起こりかつ事象$B$が起こる確率$p$は,% +\[p=P\Ttyuukakko{A}P\Ttyuukakko{B}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{反復試行の確率}\AND\equal{#2}{i}}% - {一回の試行で事象$\text{A}$の起こる確率を$p$として,この試行を$n$回行う反復試行でAが$r$回起こる確率は,${}_{n}C_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}$}{\relax}% + {一回の試行で事象$A$の起こる確率を$p$として,この試行を$n$回行う反復試行でAが$r$回起こる確率は,${}_{n}\text{C}_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{反復試行の確率}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 一回の試行で事象$\text{A}$の起こる確率を$p$として,この試行を$n$回行う反復試行でAが$r$回起こる確率は,% - \[{}_{n}C_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}\]% + 一回の試行で事象$A$の起こる確率を$p$として,この試行を$n$回行う反復試行でAが$r$回起こる確率は,% +\[{}_{n}\text{C}_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{反復試行の確率の証明}}% {% \証明開始% - $n$回の試行のうち事象$\text{A}$が$r$回起こる順番の場合の数は${}_{n} C_{r}$通り。さらに,Aが起こる確率は$p$で$r$回起こり,Aの余事象が起こる確率は$p-1$で$n-r$回起こるので,% - \[{}_{n}C_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}\]% - となる。 - \証明終了% + $n$回の試行のうち事象$A$が$r$回起こる順番の場合の数は${}_{n} C_{r}$通り。さらに,Aが起こる確率は$p$で$r$回起こり,Aの余事象が起こる確率は$p-1$で$n-r$回起こるので,% +\[{}_{n}\text{C}_{r}\Ttyuukakko{p}^r\Ttyuukakko{1-p}^{n-r}\]% + + となる。 \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{条件付き確率}\AND\equal{#2}{i}}% - {事象$\text{A}$が起こったときの事象$\text{B}$の起こる確率は,$P_{A}\Ttyuukakko{B}=\bunsuu{P\Ttyuukakko{A\cap B}}{P\Ttyuukakko{A}}$}{\relax}% + {事象$A$が起こったときの事象$B$の起こる確率は,$P_{A}\Ttyuukakko{B}=\bunsuu{P\Ttyuukakko{A\cap B}}{P\Ttyuukakko{A}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{条件付き確率}\AND\equal{#2}{b}}% {% - 事象$\text{A}$が起こったときの事象$\text{B}$の起こる確率は,% - \[P_{A}\Ttyuukakko{B}=\bunsuu{P\Ttyuukakko{A\cap B}}{P\Ttyuukakko{A}}\]% + 事象$A$が起こったときの事象$B$の起こる確率は,% +\[P_{A}\Ttyuukakko{B}=\bunsuu{P\Ttyuukakko{A\cap B}}{P\Ttyuukakko{A}}\]% + }% {\relax}% - }% + }% \newcommand{\図形の性質}[1]% @@ -955,7 +1212,7 @@ \空行% 図においてOが内心% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{外心}}% {% \begin{tikzpicture}% @@ -969,7 +1226,7 @@ \空行% 図においてOが外心% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{垂心}}% {% \begin{tikzpicture}% @@ -1069,15 +1326,15 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において三角形の面積比を考えると,% - \[\bigtriangleup{ABO}:\bigtriangleup{ACO}=\mathrm{BP}:\mathrm{CP}\]% - \[\Leftrightarrow\bunsuu{\bigtriangleup{ABO}}{\bigtriangleup{ACO}}=\bunsuu{BP}{PC}\]% - 同様にして,% - \[\bunsuu{\bigtriangleup{BCO}}{\bigtriangleup{BAO}}=\bunsuu{CQ}{QA}\]% - \[\bunsuu{\bigtriangleup{CAO}}{\bigtriangleup{CBO}}=\bunsuu{AR}{RB}\]% +\[\bigtriangleup{ABO}:\bigtriangleup{ACO}=\text{BP}:\text{CP}\]% +\[\Leftrightarrow\bunsuu{\bigtriangleup{ABO}}{\bigtriangleup{ACO}}=\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}\]% + + 同様にして,$\bunsuu{\bigtriangleup{BCO}}{\bigtriangleup{BAO}}=\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}\数式カンマスペース\bunsuu{\bigtriangleup{CAO}}{\bigtriangleup{CBO}}=\bunsuu{\text{AR}}{\text{RB}}$% + ここで,% - \[\bunsuu{\bigtriangleup{ABO}}{\bigtriangleup{ACO}}\cdot\bunsuu{\bigtriangleup{BCO}}{\bigtriangleup{BAO}}\cdot\bunsuu{\bigtriangleup{CAO}}{\bigtriangleup{CBO}}=1\]% - \[\Leftrightarrow\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\bunsuu{\text{AR}}{\text{RB}}=1\]% - \証明終了% +\[\bunsuu{\bigtriangleup{ABO}}{\bigtriangleup{ACO}}\cdot\bunsuu{\bigtriangleup{BCO}}{\bigtriangleup{BAO}}\cdot\bunsuu{\bigtriangleup{CAO}}{\bigtriangleup{CBO}}=1\]% +\[\Leftrightarrow\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\bunsuu{\text{AR}}{\text{RB}}=1\]% + \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{メネラウスの定理}}% @@ -1114,9 +1371,9 @@ \draw(0.65,0.975)--(3,0);% \end{tikzpicture}% \空行% - $\text{SC}/ \!/ \text{RP}$より,% - \[\text{RA}:\text{SR}=\text{QA}:\text{CQ},\text{BR}:\text{RS}=\text{BP}:\text{PC}\]% - \[\Leftrightarrow\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}=\bunsuu{\text{SR}}{\text{AR}},\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}=\bunsuu{\text{BR}}{\text{RS}}\]% + $\text{SC}\平行\text{RP}$より,% +\[\text{RA}:\text{SR}=\text{QA}:\text{CQ}\数式カンマスペース\text{BR}:\text{RS}=\text{BP}:\text{PC}\]% +\[\Leftrightarrow\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}=\bunsuu{\text{SR}}{\text{AR}}\数式カンマスペース\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}=\bunsuu{\text{BR}}{\text{RS}}\]% \[\bunsuu{\text{BP}}{\text{PC}}\cdot\bunsuu{\text{CQ}}{\text{QA}}\cdot\bunsuu{\text{AR}}{\text{RB}}=\bunsuu{\text{BR}}{\text{RS}}\cdot\bunsuu{\text{SR}}{\text{AR}} \cdot\bunsuu{\text{AR}}{\text{RB}}=1\]% \証明終了% @@ -1134,7 +1391,7 @@ \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture}% \空行% - $\angle\mathrm{APB}=\angle\mathrm{AQB}$% + $\angle\text{APB}=\angle\text{AQB}$% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{円周角の定理の証明}}% @@ -1153,10 +1410,12 @@ \end{tikzpicture}% \空行% $\triangle{\text{AOP}}$\数式カンマスペース$\triangle{\text{BOP}}$は二等辺三角形なので,% - \[\angle\mathrm{APO}=\angle\mathrm{OAP}\数式カンマスペース\angle\mathrm{BPO}=\angle\mathrm{OBP}\]% +\[\angle\text{APO}=\angle\text{OAP}\数式カンマスペース\angle\text{BPO}=\angle\text{OBP}\]% + 外角定理より,% - \[\angle\mathrm{AOD}=2\angle\mathrm{APO}\数式カンマスペース\angle\mathrm{BOD}=2\angle\mathrm{BPO}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{AOB}=2\angle\mathrm{APB}\]% +\[\angle\text{AOD}=2\angle\text{APO}\数式カンマスペース\angle\text{BOD}=2\angle\text{BPO}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{AOB}=2\angle\text{APB}\]% + \空行% \begin{tikzpicture}% \draw(-1.6,-1.2)--(1.6,-1.2)--(1.6,1.2)--cycle;% @@ -1164,14 +1423,16 @@ \draw(-1.6,-1.2)node[left]{A};% \draw(1.6,-1.2)node[right]{B};% \draw(1.6,1.2)node[above]{P};% - \draw(0,0)node[above]{O};% + \draw(0,0)node[above]{O};% \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture}% \空行% $\triangle{\text{OPB}}$は二等辺三角形なので,% - \[\angle\mathrm{OPB}=\angle\mathrm{OBP}\]% +\[\angle\text{OPB}=\angle\text{OBP}\]% + 外角定理より% - \[\angle\mathrm{AOB}=2\angle\mathrm{OPB}\]% +\[\angle\text{AOB}=2\angle\text{OPB}\]% + \空行% \begin{tikzpicture}% \draw(-1.6,-1.2)--(1.2,-1.6)--(0,0)--cycle;% @@ -1180,19 +1441,21 @@ \draw(-1.6,-1.2)node[left]{A};% \draw(1.2,-1.6)node[right]{B};% \draw(0,0)node[above]{O};% - \draw(2,0)node[right]{D};% + \draw(2,0)node[right]{D};% \draw(-2,0)node[left]{Q};% \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture}% \空行% $\triangle{\text{QOA}}\数式カンマスペース\triangle{\text{OQB}}$は二等辺三角形なので,% - \[\angle\mathrm{OQA}=\angle\mathrm{OAQ}\数式カンマスペース\angle\mathrm{OQB}=\angle\mathrm{OBQ}\]% +\[\angle\text{OQA}=\angle\text{OAQ}\数式カンマスペース\angle\text{OQB}=\angle\text{OBQ}\]% + 外角定理より,% - \[\angle\mathrm{OQA}+\angle\mathrm{OAQ}=\angle\mathrm{DOA}\数式カンマスペース\angle\mathrm{OQB}+\angle\mathrm{OBQ}=\angle\mathrm{DOB}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{DOA}-\angle\mathrm{DOB}=2\Ttyuukakko{\angle\mathrm{OQA}-\angle\mathrm{BQO}}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{AOB}=2\angle\mathrm{AQB}\]% +\[\angle\text{OQA}+\angle\text{OAQ}=\angle\text{DOA}\数式カンマスペース\angle\text{OQB}+\angle\text{OBQ}=\angle\text{DOB}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{DOA}-\angle\text{DOB}=2\Ttyuukakko{\angle\text{OQA}-\angle\text{BQO}}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{AOB}=2\angle\text{AQB}\]% + 従って,円に内接する三角形について,円周角の$2$倍が中心角である。% - \空行% + \空行~\空行% \begin{tikzpicture}% \draw(-1.6,-1.2)--(1.2,-1.6)--(1.2,1.6)--cycle;% \draw(-1.6,-1.2)--(1.2,-1.6)--(-2,0)--cycle;% @@ -1204,8 +1467,9 @@ \draw(0,0)node[above]{O};% \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture}% - \[\angle\mathrm{APB}=2\angle\mathrm{AOB},\angle\mathrm{AQB}=2\angle\mathrm{AOB}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{AQB}=\angle\mathrm{APB}\]が成立。 + \空行% + 以上より,以下が成立。 \[\angle\text{APB}=2\angle\text{AOB},\angle\text{AQB}=2\angle\text{AOB}\]% +\[\Leftrightarrow\angle\text{AQB}=\angle\text{APB}\] \証明終了% }% {\relax}% @@ -1223,7 +1487,7 @@ \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture}% \空行% - $\angle\mathrm{ADC}=\angle\mathrm{CBT}$% + $\angle\text{ADC}=\angle\text{CBT}$% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{内接四角形の定理の証明}}% @@ -1245,10 +1509,11 @@ \fill[black](O)circle(0.03);% \end{tikzpicture}% \空行% - \[\angle\mathrm{AOC}=2\angle\mathrm{ABC}\]% - \[\angle\mathrm{AOC}=2\angle\mathrm{ADC}\]% - ここで,$\angle\mathrm{ABC}+\angle\mathrm{ADC}=180^\circ$% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{AOC}+\angle\mathrm{AOC}=180^\circ\]% +\[\angle\text{AOC}=2\angle\text{ABC}\]% + \[\angle\text{AOC}=2\angle\text{ADC}\]% + + ここで,$\angle\text{ABC}+\angle\text{ADC}=180^\circ$% +\[\Leftrightarrow\angle\text{AOC}+\angle\text{AOC}=180^\circ\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1265,7 +1530,7 @@ \draw(0,0)circle[radius=2];% \end{tikzpicture} \空行% - $\angle\mathrm{BAT}=\angle\mathrm{ACB}$% + $\angle\text{BAT}=\angle\text{ACB}$% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{接弦定理の証明}}% @@ -1293,12 +1558,15 @@ \end{tikzpicture}% \空行% $\triangle{\text{ACB}}$と$\triangle{\text{ABE}}$について円周角の定理より,% - \[\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{AEB}\]% + \[\angle\text{ACB}=\angle\text{AEB}\]% + ここで,$\triangle{\text{ABE}}$について% - \[\angle\mathrm{BEA}+\angle\mathrm{BAE}=90^\circ\]% - また,ATが円の接線なので$\angle\mathrm{BAE}+\angle\mathrm{BAT}=90^\circ$から,% - \[\angle\mathrm{BAT}=\angle\mathrm{AEB}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{BAT}\]% + \[\angle\text{BEA}+\angle\text{BAE}=90^\circ\]% + + また,$\text{AT}$が円の接線なので$\angle\text{BAE}+\angle\text{BAT}=90^\circ$から,% + \[\angle\text{BAT}=\angle\text{AEB}\]% + \[\Leftrightarrow\angle\text{ACB}=\angle\text{BAT}\]% + \空行% \item 直角のとき% \空行 @@ -1318,8 +1586,9 @@ \end{tikzpicture}% \空行% ATが円の接線なので,% - \[\angle\mathrm{EAS}=90^\circ\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{EBA}=\angle\mathrm{EAS}\]% + \[\angle\text{EAS}=90^\circ\]% + \[\Leftrightarrow\angle\text{EBA}=\angle\text{EAS}\]% + \空行% \item 鈍角のとき% \空行% @@ -1335,10 +1604,12 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 鋭角のときの接弦定理より,% - \[\angle\mathrm{BCA}=\angle\mathrm{BAS}\]% + \[\angle\text{BCA}=\angle\text{BAS}\]% + また,$\triangle{\text{ABC}}$において% - \[\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{ACB}+\angle\mathrm{BAC}\]% - \[\Leftrightarrow\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{CAT}\]% + \[\angle\text{ABC}=\angle\text{ACB}+\angle\text{BAC}\]% + \[\Leftrightarrow\angle\text{ABC}=\angle\text{CAT}\]% + \空行% \end{enumerate}% 従って円に内接する三角形について成り立つことが証明された。% @@ -1360,8 +1631,8 @@ \draw(6.3,0.950943395)node[above]{R};% \end{tikzpicture}% \空行% - $\angle\mathrm{BAP}=\angle\mathrm{PAC},\angle\mathrm{CAQ}=\angle\mathrm{QAR}$のとき,\par% - $\text{BP}:\text{PC}=\text{BQ}:\text{QC}=\text{AB}:\text{AC}$% + $\angle\text{BAP}=\angle\text{PAC},\angle\text{CAQ}=\angle\text{QAR}$のとき,% +\[\text{BP}:\text{PC}=\text{BQ}:\text{QC}=\text{AB}:\text{AC}\]% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{方べきの定理A}}% @@ -1397,9 +1668,10 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 円周角の定理より,% - \[\angle\mathrm{CAP}=\angle\mathrm{BDP},\quad\angle\mathrm{ACP}=\angle\mathrm{DBP}\]% - $\triangle{\text{ACP}}$と$\triangle{\text{DBP}}$は相似なので,% - \[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PC}\cdot\text{PD}\]% +\[\angle\text{CAP}=\angle\text{BDP},\quad\angle\text{ACP}=\angle\text{DBP}\]% + + $\triangle{\text{ACP}}\相似\triangle{\text{DBP}}$より,% +\[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PC}\cdot\text{PD}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1435,9 +1707,10 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 内接四角形の証明より,% - \[\angle\mathrm{CDB}=\angle\mathrm{CAP}\数式カンマスペース\angle\mathrm{DBA}=\angle\mathrm{PCA}\]% - $\triangle{\text{ACP}}$と$\triangle{\text{DPB}}$は相似なので,% - \[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PC}\cdot\text{PD}\]% +\[\angle\text{CDB}=\angle\text{CAP}\数式カンマスペース\angle\text{DBA}=\angle\text{PCA}\]% + + $\triangle{\text{ACP}}\相似\triangle{\text{DPB}}$より,% +\[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PC}\cdot\text{PD}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1472,9 +1745,10 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 接弦定理より,% - \[\angle\mathrm{TBA}=\angle\mathrm{PTA}\]% - これと,$\angle\mathrm{P}$共通なので$\triangle{\text{PTA}}$と$\triangle{\text{PBT}}$は相似より,% - \[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PT}^2\]% +\[\angle\text{TBA}=\angle\text{PTA}\]% + + これと,$\angle\text{P}$は共通なので$\triangle{\text{PTA}}\相似\triangle{\text{PBT}}$より,% +\[\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PT}^2\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1487,15 +1761,15 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a+b}^{3}=a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{a+b}^{3}=a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{a+b}^{3}=a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a-b}^{3}=a^{3}-3a^2b+3ab^2-b^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{a-b}^{3}=a^{3}-3a^2b+3ab^2-b^{3}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{a-b}^{3}=a^{3}-3a^2b+3ab^2-b^{3}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}=a^{3}+b^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}=a^{3}+b^{3}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}=a^{3}+b^{3}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a-b}\Ttyuukakko{a^2+ab+b^2}=a^{3}-b^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -1508,15 +1782,15 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^{3}+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a^{3}+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}\]}{\relax}% + {\[a^{3}+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}\Ttyuukakko{a^2-ab+b^2}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^{3}-b^{3}=\Ttyuukakko{a-b}\Ttyuukakko{a^2+ab+b^2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a^{3}-b^{3}=\Ttyuukakko{a-b}\Ttyuukakko{a^2+ab+b^2}\]}{\relax}% + {\[a^{3}-b^{3}=\Ttyuukakko{a-b}\Ttyuukakko{a^2+ab+b^2}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}^{3}\]}{\relax}% + {\[a^{3}+3a^2b+3ab^2+b^{3}=\Ttyuukakko{a+b}^{3}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$a^{3}-3a^2b+3ab^2-b^{3}=\Ttyuukakko{a-b}^{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -1527,18 +1801,19 @@ \NewDocumentCommand{\二項定理}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\Ttyuukakko{a+b}^{n}={}_{n}C_{0} a^{n}+{}_{n}C_{1} a^{n-1}b+{}_{n}C_{2} a^{n-2}b^2+....{}_{n}C_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}C_{n} b^{n}$}{\relax}% + {$\Ttyuukakko{a+b}^{n}={}_{n}\text{C}_{0} a^{n}+{}_{n}\text{C}_{1} a^{n-1}b+{}_{n}\text{C}_{2} a^{n-2}b^2+....{}_{n}\text{C}_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}\text{C}_{n} b^{n}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{a+b}^{n}={}_{n}C_{0} a^{n}+{}_{n}C_{1} a^{n-1}b+{}_{n}C_{2} a^{n-2}b^2+....{}_{n}C_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}C_{n} b^{n}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{a+b}^{n}={}_{n}\text{C}_{0} a^{n}+{}_{n}\text{C}_{1} a^{n-1}b+{}_{n}\text{C}_{2} a^{n-2}b^2+....{}_{n}\text{C}_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}\text{C}_{n} b^{n}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{i}}% - {${}_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}$}{\relax}% + {${}_{n}\text{C}_{r}a^{n-r}b^{r}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[{}_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}\]}{\relax}% + {\[{}_{n}\text{C}_{r}a^{n-r}b^{r}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% $\Ttyuukakko{a+b}^{n}$を展開すると,$a^{r}b^{n-r}$の項の係数は$n$個の$a$から$r$個$a$を選ぶ場合の数に等しいので係数は${}_{n} C_{r}$よって,一般項は% - \[{}_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}\]% +\[{}_{n}\text{C}_{r}a^{n-r}b^{r}\]% + この$r$に$1$から順番に自然数を代入したものが二項定理となる。% \証明終了% }% @@ -1551,15 +1826,15 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\bunsuu{A}{B}\times\bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AC}{BD}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\bunsuu{A}{B}\times\bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AC}{BD}\]}{\relax}% + {\[\bunsuu{A}{B}\times\bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AC}{BD}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\bunsuu{A}{B}\div \bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AD}{BC}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\bunsuu{A}{B}\div \bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AD}{BC}\]}{\relax}% + {\[\bunsuu{A}{B}\div \bunsuu{C}{D}=\bunsuu{AD}{BC}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\bunsuu{A}{C}+\bunsuu{B}{C}=\bunsuu{A+B}{C}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\bunsuu{A}{C}+\bunsuu{B}{C}=\bunsuu{A+B}{C}\]}{\relax}% + {\[\bunsuu{A}{C}+\bunsuu{B}{C}=\bunsuu{A+B}{C}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$\bunsuu{A}{C}-\bunsuu{B}{C}=\bunsuu{A-B}{C}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -1574,18 +1849,21 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース b>0$のとき,% - \[\bunsuu{a+b}{2}\geqq\根号{ab}\]% +\[\bunsuu{a+b}{2}\geqq\根号{ab}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% $a+b-2\根号{ab}\geqq0$を示す。% - \[a+b-2\根号{ab}=\Ttyuukakko{\根号{a}-\根号{b}}^2\]% +\[a+b-2\根号{ab}=\Ttyuukakko{\根号{a}-\根号{b}}^2\]% + より,$\根号{a}-\根号{b}$は実数なので,% - \[\Ttyuukakko{\根号{a}-\根号{b}}^2\geqq0\]% +\[\Ttyuukakko{\根号{a}-\根号{b}}^2\geqq0\]% + よって,$a>0\数式カンマスペース b>0$のとき,% - \[\bunsuu{a+b}{2}\geqq\根号{ab}\text{\ (等号成立条件は$a=b$)}\]% +\[\bunsuu{a+b}{2}\geqq\根号{ab}\text{\ (等号成立条件は$a=b$)}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1598,7 +1876,7 @@ {$i=\根号{-1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {\[i=\根号{-1}\]}{\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\複素数の定義}{ m O{i} }% @@ -1608,7 +1886,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% 実数$a\数式カンマスペース b$を用いて,% - \[a+bi\]% +\[a+bi\]% + }% {\relax}% }% @@ -1617,7 +1896,7 @@ \newcommand{\二次方程式の解の判別}% {% $ax^2+bx+c=0\数式カンマスペース\Ttyuukakko{a\neq0}$の判別式を$D=b^2-4ac$とすると,% - \phrases@math[l]% + \phrasesmath[l]% {% $D>0$のとき,異なる二つの実数解\\% $D=0$のとき,重解\\% @@ -1634,7 +1913,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{二次方程式の解と係数の関係A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^2+bx+c=0 \Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta$として,% - \[\alpha+\beta=-\bunsuu{b}{a}\]% +\[\alpha+\beta=-\bunsuu{b}{a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{二次方程式の解と係数の関係B}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -1642,17 +1922,19 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{二次方程式の解と係数の関係B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^2+bx+c=0 \Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta$として,% - \[\alpha\beta=\bunsuu{c}{a}\]% +\[\alpha\beta=\bunsuu{c}{a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{二次方程式の解と係数の関係の証明}}% {% \証明開始% \vspace{-2.5\zw}% - \[ax^2+bx+c=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}=a\Tdaikakko{x^2-\Ttyuukakko{\alpha+\beta}x+\alpha\beta}\]% - \[\Leftrightarrow ax^2+bx+c=a\Ttyuukakko{x^2+\bunsuu{b}{a}x+\bunsuu{c}{a}}\]% - 係数比較することで,% - \[\alpha+\beta=-\bunsuu{b}{a}\数式カンマスペース\alpha\beta=\bunsuu{c}{a}\]% +\[ax^2+bx+c=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}=a\Tdaikakko{x^2-\Ttyuukakko{\alpha+\beta}x+\alpha\beta}\]% +\[\Leftrightarrow ax^2+bx+c=a\Ttyuukakko{x^2+\bunsuu{b}{a}x+\bunsuu{c}{a}}\]% + + 係数比較法より,両辺同次の係数を比較して,% +\[\alpha+\beta=-\bunsuu{b}{a}\数式カンマスペース\alpha\beta=\bunsuu{c}{a}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1661,32 +1943,35 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^{3}+bx^2+cx+d=0\Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$として,% - \[\alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu{b}{a}\]% +\[\alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu{b}{a}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係B}\AND\equal{#2}{i}}% {$ax^{3}+bx^2+cx+d=0\Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$として,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu{c}{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^{3}+bx^2+cx+d=0\Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$として,% - \[\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu{c}{a}\] +\[\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu{c}{a}\] }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係C}\AND\equal{#2}{i}}% {$ax^{3}+bx^2+cx+d=0\Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$として,$\alpha\beta\gamma=-\bunsuu{d}{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $ax^{3}+bx^2+cx+d=0\Ttyuukakko{a\neq0}$の解を$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$として,% - \[\alpha\beta\gamma=-\bunsuu{d}{a}\]% +\[\alpha\beta\gamma=-\bunsuu{d}{a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{三次方程式の解と係数の関係の証明}}% {% \証明開始% \vspace{-2.5\zw}% - \[ax^{3}+bx^2+cx+d=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}\Ttyuukakko{x-\gamma}=a\Tdaikakko{x^3-\Ttyuukakko{\alpha+\beta+\gamma}x^2+\Ttyuukakko{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}x-\alpha\beta\gamma}\]% - \[\Leftrightarrow ax^{3}+bx^2+cx+d=a\Ttyuukakko{x^3+\bunsuu{b}{a}x^2+\bunsuu{c}{a}x+\bunsuu{d}{a}}\]% - 係数比較することで,\par% +\[ax^{3}+bx^2+cx+d=a\Ttyuukakko{x-\alpha}\Ttyuukakko{x-\beta}\Ttyuukakko{x-\gamma}=a\Tdaikakko{x^3-\Ttyuukakko{\alpha+\beta+\gamma}x^2+\Ttyuukakko{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}x-\alpha\beta\gamma}\]% +\[\Leftrightarrow ax^{3}+bx^2+cx+d=a\Ttyuukakko{x^3+\bunsuu{b}{a}x^2+\bunsuu{c}{a}x+\bunsuu{d}{a}}\]% + + 係数比較法より,両辺同次の係数を比較して,% \[\alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu{b}{a}\数式カンマスペース\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu{c}{a}\数式カンマスペース\alpha\beta\gamma=-\bunsuu{d}{a}\]% \証明終了% }% @@ -1701,7 +1986,7 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定理A}\AND\equal{#2}{b}}% {% 整式 $P\Ttyuukakko{x}$を$x-k$で割った余りは% - \[P\Ttyuukakko{k}\]% +\[P\Ttyuukakko{k}\]% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定理B}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -1709,18 +1994,21 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定理B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 整式$P\Ttyuukakko{x}$を$ax-b$で割った余りは% - \[P\Ttyuukakko{\bunsuu{b}{a}}\]% +\[P\Ttyuukakko{\bunsuu{b}{a}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% $P\Ttyuukakko{x}$を$\Ttyuukakko{x-k}$で割った商を$Q\Ttyuukakko{x}$あまりを$R$として,% - \[P\Ttyuukakko{x}=\Ttyuukakko{x-k}Q\Ttyuukakko{x}+R\]% +\[P\Ttyuukakko{x}=\Ttyuukakko{x-k}Q\Ttyuukakko{x}+R\]% + $x=k$のとき,% - \[P\Ttyuukakko{k}=R\]% +\[P\Ttyuukakko{k}=R\]% + よって,余りは% - \[P\Ttyuukakko{k}\]% +\[P\Ttyuukakko{k}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1737,14 +2025,16 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定理}\AND\equal{#2}{b}}% {% 整式$P\Ttyuukakko{x}$が$x-k$を因数に持つ% - \[\Leftrightarrow P\Ttyuukakko{k}=0\]% +\[\Leftrightarrow P\Ttyuukakko{k}=0\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% 剰余の定理より,$x-k$で割った余りが$0$なので,% - \[P\Ttyuukakko{k}=0\]% +\[P\Ttyuukakko{k}=0\]% + 剰余の定理より,$P\Ttyuukakko{k}=0$ということは$P\Ttyuukakko{x}$を$x-k$で割った余りが$0$ということなので,$P\Ttyuukakko{x}$は$x-k$を因数に持つ。% \証明終了% }% @@ -1759,23 +2049,25 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{二点間の距離}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\text{A}\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース \text{B}\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$として,線分$\text{AB}$間の距離は,% - \[\根号{\Ttyuukakko{x_{2}-x_{1}}^2-\Ttyuukakko{y_{2}-y_{1}}^2}\]% +\[\根号{\Ttyuukakko{x_{2}-x_{1}}^2-\Ttyuukakko{y_{2}-y_{1}}^2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{内分点の座標}\AND\equal{#2}{i}}% {$\text{A}\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース \text{B}\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$として,線分$\text{AB}$を$m:n$に内分する点の座標は,$\Ttyuukakko{\bunsuu{nx_{1}+mx_{2}}{n+m}\数式カンマスペース\bunsuu{ny_{1}+my_{2}}{n+m}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{内分点の座標}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\text{A}\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース \text{B}\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$として,線分$\text{AB}$を$m:n$に内分する点の座標は,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{nx_{1}+mx_{2}}{n+m}\数式カンマスペース\bunsuu{ny_{1}+my_{2}}{n+m}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{nx_{1}+mx_{2}}{n+m}\数式カンマスペース\bunsuu{ny_{1}+my_{2}}{n+m}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{内分点の座標の証明}}% {% \証明開始% $m:n$に内分する点の座標を$\text{P}\Ttyuukakko{x\数式カンマスペース y}$として,% - \[m:n=x-x_{1}:x_{2}-x\]% - \[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\bunsuu{nx_{1}+mx_{2}}{n+m}\数式カンマスペース\bunsuu{ny_{1}+my_{2}}{n+m}}\]% +\[m:n=x-x_{1}:x_{2}-x\]% +\[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\bunsuu{nx_{1}+mx_{2}}{n+m}\数式カンマスペース\bunsuu{ny_{1}+my_{2}}{n+m}}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1784,7 +2076,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{外分点の座標}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\text{A}\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース \text{B}\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$として,線分$\text{AB}$を$m:n$に外分する点の座標は,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{外分点の座標の証明}}% @@ -1792,17 +2085,22 @@ \証明開始% \vspace{-1\zw}% \begin{enumerate}% - \item $m>n$のとき\par% + \item $m>n$のとき% + $n:m$に外分する点の座標を$\text{P}\Ttyuukakko{x\数式カンマスペース y}$として,% - \[m:n=x-x_{1}:x-x_{2}\]% - \[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% - \item $m<n$のとき\par% +\[m:n=x-x_{1}:x-x_{2}\]% +\[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% + + \item $m<n$のとき% + $n:m$に外分する点の座標を$\text{P}\Ttyuukakko{x\数式カンマスペース y}$として,% \[m:n=x-x_{2}:x-x_{1}\]% \[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% + \end{enumerate}% - よって$m\数式カンマスペース n$の大小に依らず% + よって$m\数式カンマスペース n$の大小によらず% \[\Ttyuukakko{\bunsuu{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n}\数式カンマスペース \bunsuu{-ny_{1}+my_{2}}{m-n}}\]% + となる。% \証明終了% }% @@ -1812,14 +2110,15 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{中点の座標}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\text{A}\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース \text{B}\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$として,線分$\text{AB}$の中点は,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{中点の座標の証明}}% {% \証明開始% 内分点の公式において$m=n$のとき,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1828,15 +2127,17 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{重心の座標}\AND\equal{#2}{b}}% {% $A\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}\数式カンマスペース C\Ttyuukakko{x_{3}\数式カンマスペース y_{3}}$として,$\triangle{\text{ABC}}$の重心の座標は,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{重心の座標の証明}}% {% \証明開始% - $A$と$B$の中点$M$の座標は$\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}$\par% + $A$と$B$の中点$M$の座標は$\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}}{2}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}}{2}}$% + 重心は$CM$を$2:1$に内分するので,重心の座標は内分点の公式より,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\数式カンマスペース\bunsuu{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1848,29 +2149,33 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$ax+by+c=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[ax+by+c=0\]}{\relax}% + {\[ax+by+c=0\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {点$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}$を通り傾きが$m$の直線は,$y-y_{1}=m\Ttyuukakko{x-x_{1}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 点$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}$を通り傾きが$m$の直線は,% - \[y-y_{1}=m\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% +\[y-y_{1}=m\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {異なる二点$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$を通る直線$\Ttyuukakko{x_{1}\neq x_{2}}$は,$y-y_{1}=\bunsuu{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\Ttyuukakko{x-x_{1}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% 異なる二点$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}\数式カンマスペース\Ttyuukakko{x_{2}\数式カンマスペース y_{2}}$を通る直線,$\Ttyuukakko{x_{1}\neq x_{2}}$は,% - \[y-y_{1}=\bunsuu{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% +\[y-y_{1}=\bunsuu{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式Bの証明}}% {% \証明開始% - 傾き$m$なので,$y=mx+a$と置ける(\,$a$は切片)。\par% - ここで,$\Ttyuukakko{x_{1\数式カンマスペース x_{2}}}$を通るので,$y_{1}=mx_{1}+a$となり,連立することで% - \[y-y_{1}=m\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% + 傾き$m$なので,$y=mx+a$と置ける(\,$a$は切片)。% + + ここで,$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース x_{2}}$を通るので,$y_{1}=mx_{1}+a$となり,連立することで% +\[y-y_{1}=m\Ttyuukakko{x-x_{1}}\]% + を得る。% \証明終了% }% @@ -1885,23 +2190,26 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% 二直線$y=m_{1}x+n_{1}\数式カンマスペース y=m_{2}x+n_{2}$が平行% - \[\Leftrightarrow m_{1}=m_{2}\]% +\[\Leftrightarrow m_{1}=m_{2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {二直線$y=m_{1}x+n_{1}\数式カンマスペース y=m_{2}x+n_{2}$が垂直$\Leftrightarrow m_{1}m_{2}=-1$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 二直線$y=m_{1}x+n_{1}\数式カンマスペース y=m_{2}x+n_{2}$が垂直% - \[\Leftrightarrow m_{1}m_{2}=-1\]% +\[\Leftrightarrow m_{1}m_{2}=-1\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式Bの証明}}% {% \証明開始% - $y=mx_{1}$上に点A$\Ttyuukakko{1\数式カンマスペース m_{1}}$\数式カンマスペース $y=mx_{2}$上にB$\Ttyuukakko{-m_{1}\数式カンマスペース 1}$をとる。\par% + $y=mx_{1}$上に点A$\Ttyuukakko{1\数式カンマスペース m_{1}}$\数式カンマスペース $y=mx_{2}$上にB$\Ttyuukakko{-m_{1}\数式カンマスペース 1}$をとる。% + H$\Ttyuukakko{1\数式カンマスペース 0}$\数式カンマスペース I$\Ttyuukakko{0\数式カンマスペース 1}$として,$\bigtriangleup{OAH}$と$\bigtriangleup{OBI}$は合同。よって,% - \[m_{1}m_{2}=-1\]% +\[m_{1}m_{2}=-1\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1917,25 +2225,31 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 点$\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{2}}$と直線$ax+bx+c=0$の距離は,% - \[\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}}\]% +\[\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - 全体を$x$軸方向に$-x_{1}$\数式カンマスペース $y$軸方向に$-y_{1}$平行移動するとき,直線$l$は$a\Ttyuukakko{x+x_{1}}+b\Ttyuukakko{y+y_{1}}+c=0$となる。\par% + 全体を$x$軸方向に$-x_{1}$\数式カンマスペース $y$軸方向に$-y_{1}$平行移動するとき,直線$l$は$a\Ttyuukakko{x+x_{1}}+b\Ttyuukakko{y+y_{1}}+c=0$となる。% + また,直線$l$に原点Oからおろした垂線との交点をHとする。ここでOH間の距離を$d$と置くと,% \vspace{-1\zw}% \begin{enumerate}% - \item $a\neq0$のとき\par% - 直線$l$の垂線の傾きは$b$の値に依らず,$y=\bunsuu{b}{a}$となる。\par% + \item $a\neq0$のとき% + + 直線$l$の垂線の傾きは$b$の値によらず,$y=\bunsuu{b}{a}$となる。% + よって,Hの座標は二式を連立することで得られ,% \[\Ttyuukakko{\bunsuu{-a\Ttyuukakko{ax_{1}+by_{1}+c}}{a^2+b^2}\数式カンマスペース\bunsuu{-b\Ttyuukakko{ax_{1}+by_{1}+c}}{a^2+b^2}}\]% + \begin{align*}% \Leftrightarrow d&=\根号{\Tdaikakko{\Ttyuukakko{\bunsuu{-a\Ttyuukakko{ax_{1}+by_{1}+c}}{a^2+b^2}}^2+\Tdaikakko{\bunsuu{-b\Ttyuukakko{ax_{1}+by_{1}+c}}{a^2+b^2}}}^2}&\\% &=\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}} % \end{align*}% - \item $a=0$のとき\par% + \item $a=0$のとき% + 直線$l$は$y=-\bunsuu{by_{1}+c}{b}$となるので,% \begin{align*}% d&=\Tzettaiti{-\bunsuu{by_{1}+c}{b}}&\\% @@ -1944,7 +2258,8 @@ これは,$\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}}$に$a=0$を代入したものである。 \end{enumerate}% よって,いずれの場合も% - \[\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}}\]% +\[\bunsuu{\Tzettaiti{ax_{1}+by_{2}+c}}{\根号{a^2+b^2}}\]% + を得る。% \証明終了% }% @@ -1955,13 +2270,15 @@ \NewDocumentCommand{\円の方程式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {中心$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース b}$で半径$r$の円は,$\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2$と表す(\,$x^2+y^2+Ax+By+C=0\Ttyuukakko{A^2+B^2-4C>0}$の形でもよい)。}{\relax}% + {中心$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース b}$で半径$r$の円は,$\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2$と表す(通る$3$点がわかっている問題では,$x^2+y^2+Ax+By+C=0\Ttyuukakko{A^2+B^2-4C>0}$と置くこともある)。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 中心$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース b}$で半径$r$の円は,% - \[\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2\]% +\[\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2\]% + また,円は% - \[x^2+y^2+Ax+By+C=0\Ttyuukakko{A^2+B^2-4C>0}\]% +\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\Ttyuukakko{A^2+B^2-4C>0}\]% + とも表せられる。% }% {\relax}% @@ -1969,7 +2286,7 @@ {% \証明開始% 円の中心をO\数式カンマスペース 円周上の任意の点を$\text{P}\Ttyuukakko{x\数式カンマスペース y}$として,三平方の定理より% - \[\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2\]% +\[\Ttyuukakko{x-a}^2+\Ttyuukakko{y-b}^2=r^2\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -1979,11 +2296,12 @@ \NewDocumentCommand{\円と直線}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {円$x^2+y^2=r^2$上の点 $\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}$における接線の方程式は,$xx_{1}+yy_{1}=r^2$}{\relax}% + {円$x^2+y^2=r^2$上の点 $\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}$における接線の方程式は,$xx_{1}+yy_{1}=r^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 円$x^2+y^2=r^2$上の点 $\Ttyuukakko{x_{1}\数式カンマスペース y_{1}}$における接線の方程式は,% - \[xx_{1}+yy_{1}=r^2\]% +\[xx_{1}+yy_{1}=r^2\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% @@ -1991,17 +2309,23 @@ \証明開始% \vspace{-1\zw}% \begin{enumerate}% - \item $x_{0}\neq0\数式カンマスペース y_{0}\neq0$のとき\par% + \item $x_{0}\neq0\数式カンマスペース y_{0}\neq0$のとき% + $A\Ttyuukakko{x_{0}\数式カンマスペース y_{0}}$と置いて,OAの傾きは$\bunsuu{y_{0}}{x_{0}}$となる。接線の傾きはこれに垂直なので,$-\bunsuu{x_{0}}{y_{0}}$また接線は点$\Ttyuukakko{x_{0}\数式カンマスペース y_{0}}$を通るので% - \[y=-\bunsuu{x_{0}}{y_{0}}\Ttyuukakko{x-x_{0}}+y_{0}\]% - より,$\Ttyuukakko{x_{0}\数式カンマスペース y_{0}}$が$x^2+y^2=r^2$上に存在することに留意して,$x_{0}x+y_{0}y=r^2$となる。\par% - \item $x_{0}\neq0$のとき\par% - $y_{0}=\pm r$より接線は$y=\pm r\text{\ (複号同順)}$\par% - \item $y_{0}=0$のとき\par% + \[y=-\bunsuu{x_{0}}{y_{0}}\Ttyuukakko{x-x_{0}}+y_{0}\]% + + より,$\Ttyuukakko{x_{0}\数式カンマスペース y_{0}}$が$x^2+y^2=r^2$上に存在することに留意して,$x_{0}x+y_{0}y=r^2$となる。% + + \item $x_{0}\neq0$のとき% + + $y_{0}=\pm r$より接線は$y=\pm r\text{\ (複号同順)}$% + + \item $y_{0}=0$のとき% + $x_{0}=\pm r$より接線は$x=\pm r\text{\ (複号同順)}$% \end{enumerate}% よって,接線の方程式は% - \[xx_{1}+yy_{1}=r^2\]% +\[xx_{1}+yy_{1}=r^2\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -2044,16 +2368,21 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において,$\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}$より% - \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{y^2+x^2}{r^2}\]% - ここで,三平方の定理より$x^2+y^2=r^2$なので\par% +\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{y^2+x^2}{r^2}\]% + + ここで,三平方の定理より$x^2+y^2=r^2$なので% + $\sin^2\theta+\cos^2\theta=\bunsuu{r^2}{r^2}=1$% \空行% - $\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\quad\tan\theta=\bunsuu{y}{x}$より\par% + $\sin\theta=\bunsuu{y}{r}\数式カンマスペース\quad\cos\theta=\bunsuu{x}{r}\quad\tan\theta=\bunsuu{y}{x}$より% + $\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\bunsuu{y}{x}=\tan\theta$% \空行% - $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の両辺を$\cos^2\theta$で割ることで,\par% + $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の両辺を$\cos^2\theta$で割ることで,% \[\bunsuu{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\]% - ここで,$\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので\par% + + ここで,$\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので% + $\tan^2\theta+1=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}$% \証明終了% }% @@ -2164,26 +2493,36 @@ \end{tikzpicture}% \空行% 図において,三角関数の性質より$\cos\Ttyuukakko{\beta-\alpha}=\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}$なので,$\triangle{\text{QOP}}$について余弦定理より% - \[\mathrm{QP}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}\]% +\[\text{QP}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}\]% + また,QP間の距離について三平方の定理を用いて% - \[\mathrm{QP}^2=\Ttyuukakko{\cos\beta-\cos\alpha}^2+\Ttyuukakko{\sin\alpha-\sin\beta}^2\]% - \[\Leftrightarrow 2-2\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\Ttyuukakko{\cos\beta-\cos\alpha}^2+\Ttyuukakko{\sin\alpha-\sin\beta}^2\]% +\[\text{QP}^2=\Ttyuukakko{\cos\beta-\cos\alpha}^2+\Ttyuukakko{\sin\alpha-\sin\beta}^2\]% +\[\Leftrightarrow 2-2\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\Ttyuukakko{\cos\beta-\cos\alpha}^2+\Ttyuukakko{\sin\alpha-\sin\beta}^2\]% + 両辺整理して,% - \[\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]% - を得る。\par% +\[\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]% + + を得る。% + また,$\sin-\theta=-\sin\theta$より,% - \[\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]% +\[\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]% + \空行% - \[\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]% +\[\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]% + において,$\alpha$を$\bunsuu{\pi}{2}-\alpha$にすることで,% - \[\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta\]% +\[\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta\]% + ここで,$\beta$を$-\beta$にすることで,% - \[\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta\]% +\[\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta\]% + \空行% $\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}$より,% - \[\tan\Ttyuukakko{\alpha\pm\beta}=\bunsuu{\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta\mp \sin\alpha \sin\beta}\text{\ (複号同順)}\]% +\[\tan\Ttyuukakko{\alpha\pm\beta}=\bunsuu{\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta\mp \sin\alpha \sin\beta}\text{\ (複号同順)}\]% + 両辺を$\cos\alpha\cos\beta$でわることで,% - \[\tan\Ttyuukakko{\alpha\pm\beta}=\bunsuu{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}\text{\ (複号同順)}\]% +\[\tan\Ttyuukakko{\alpha\pm\beta}=\bunsuu{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}\text{\ (複号同順)}\]% + を得る。% \証明終了% }% @@ -2217,23 +2556,26 @@ {% \証明開始% 三角関数の加法定理% - \phrases@math[c]% + \phrasesmath[c]% {% $\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta$\\% $\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta$\\% $\tan\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\bunsuu{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$% }% - において,$\alpha=\beta=\theta$として,\par% - \hspace{3\zw}\phrases@math[c]% + において,$\alpha=\beta=\theta$として,% + + \hspace{3\zw}\phrasesmath[c]% {% $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$\\% $\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$\\% $\tan2\theta=\bunsuu{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$% }% - を得る。\par% + を得る。% + また,$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$において,三角関数の相互関係$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を用いて,% - \[\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1\]% - \[\Leftrightarrow\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta\]% +\[\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1\]% +\[\Leftrightarrow\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta\]% + を得る。% \証明終了% }% @@ -2255,11 +2597,13 @@ {% \証明開始% 三角関数の加法定理% - \[\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta\]% +\[\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta\]% \[\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\cos\alpha \cos\beta- \sin\alpha \sin\beta\]% + において,$\alpha=\theta\数式カンマスペース\beta=2\theta$のとき,% - \[\sin3\theta=\sin\theta \cos2\theta+ \cos\theta \sin2\theta\]% +\[\sin3\theta=\sin\theta \cos2\theta+ \cos\theta \sin2\theta\]% \[\cos3\theta=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta\]% + 二倍角の公式と三角関数の相互関係より,% \begin{align*}% \sin3\theta&=\sin\theta\Ttyuukakko{1-2\sin^{2}\theta}+2\sin\theta\cos^2\theta&\\% @@ -2300,13 +2644,15 @@ \cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\shikimaru{4}% \end{align*} より,$\text{\ajMaru{1}}+\text{\ajMaru{2}}$から% - \[\sin\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% +\[\sin\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% + \半空行% $\text{\ajMaru{3}}+\text{\ajMaru{4}}$から% - \[\cos\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% +\[\cos\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% + \半空行% $\text{\ajMaru{4}}-\text{\ajMaru{3}}$から% - \[\sin\alpha\sin\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}-\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}}\]% +\[\sin\alpha\sin\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}-\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -2335,11 +2681,12 @@ {% \証明開始% 三角関数の積和の公式% - \[\sin\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% +\[\sin\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\sin\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% \[\cos\alpha\cos\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}+\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}}\]% \[\sin\alpha\sin\beta=\bunsuu{1}{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\alpha-\beta}-\cos\Ttyuukakko{\alpha+\beta}}\]% + において,$\alpha+\beta=A\数式カンマスペース\alpha-\beta=B$と置くことで,$\alpha=\bunsuu{A+B}{2}\数式カンマスペース\beta=\bunsuu{A-B}{2}$となるので,% - \[\sin{A}+\sin{B}=2 \sin\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2}\]% +\[\sin{A}+\sin{B}=2 \sin\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2}\]% \[\sin{A}-\sin{B}=2 \cos\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}\]% \[\cos{A}+\cos{B}=2 \cos\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2}\]% \[\cos{A}-\cos{B}=-2 \sin\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}\]% @@ -2371,17 +2718,21 @@ {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% - \[a\sin\theta+b\cos\theta=\根号{a^2+b^2}\sin\Ttyuukakko{\theta+\alpha}\text{\ $\Ttyuukakko{\text{ただし,$\sin\alpha=\bunsuu{b}{\根号{a^2+b^2}}\数式カンマスペース\cos\alpha=\bunsuu{a}{\根号{a^2+b^2}}$}}$}\]% +\[a\sin\theta+b\cos\theta=\根号{a^2+b^2}\sin\Ttyuukakko{\theta+\alpha}\text{\ $\Ttyuukakko{\text{ただし,$\sin\alpha=\bunsuu{b}{\根号{a^2+b^2}}\数式カンマスペース\cos\alpha=\bunsuu{a}{\根号{a^2+b^2}}$}}$}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - 三角関数の加法定理\par% + 三角関数の加法定理% + $\sin\Ttyuukakko{\alpha+\beta}=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta$について,% - \[\bunsuu{a}{\根号{a^2+b^2}}=\cos\alpha\数式カンマスペース\bunsuu{b}{\根号{a^2+b^2}}=\sin\alpha\]% - とすることで,\par% +\[\bunsuu{a}{\根号{a^2+b^2}}=\cos\alpha\数式カンマスペース\bunsuu{b}{\根号{a^2+b^2}}=\sin\alpha\]% + + とすることで,% \[a\sin\theta+b\cos\theta=\根号{a^2+b^2}\sin\Ttyuukakko{\theta+\alpha}\]% + となる。% \証明終了% }% @@ -2395,8 +2746,8 @@ {$a>0$また$m\数式カンマスペース n$が正の整数,$r$が正の有理数のとき,$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $a>0$また$m\数式カンマスペース n$が正の整数,$r$が正の有理数のとき,% - \[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\]% + $a>0$また$m\数式カンマスペース n$が正の整数,$r$が正の有理数のとき,% \[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -2404,7 +2755,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0$また$n$が正の整数のとき,% - \[a^{\frac{1}{n}}=\根号[n]{a}\]% +\[a^{\frac{1}{n}}=\根号[n]{a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -2412,7 +2764,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0$,$r$が正の有理数のとき,% - \[a^{-r}=\bunsuu{1}{a^{r}}\]% +\[a^{-r}=\bunsuu{1}{a^{r}}\]% + }% {\relax}% }% @@ -2425,7 +2778,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0$また,$r\数式カンマスペース s$は有理数のとき,% - \[a^{r}a^{s}=a^{r+s}\]% +\[a^{r}a^{s}=a^{r+s}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% @@ -2433,31 +2787,35 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0$また,$r\数式カンマスペース s$は有理数のとき,% - \[\Ttyuukakko{a^{r}}^{s}=a^{rs}\]% +\[\Ttyuukakko{a^{r}}^{s}=a^{rs}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース b>0$また,$r$は有理数のとき,$\Ttyuukakko{ab}^{r}=a^{r}b^{r}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース b>0$また,$r$は有理数のとき,% - \[\Ttyuukakko{ab}^{r}=a^{r}b^{r}\]% +\[\Ttyuukakko{ab}^{r}=a^{r}b^{r}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0$また,$r\数式カンマスペース s$は有理数のとき,$\bunsuu{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0$また,$r\数式カンマスペース s$は有理数のとき,% - \[\bunsuu{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}\]% +\[\bunsuu{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース b>0$また,$r$は有理数のとき,$\Ttyuukakko{\bunsuu{a}{b}}^{r}=\bunsuu{a^{r}}{b^{r}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース b>0$また,$r$は有理数のとき,% - \[\Ttyuukakko{\bunsuu{a}{b}}^{r}=\bunsuu{a^{r}}{b^{r}}\]% +\[\Ttyuukakko{\bunsuu{a}{b}}^{r}=\bunsuu{a^{r}}{b^{r}}\]% + }% {\relax}% }% @@ -2467,17 +2825,17 @@ {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $a>0\数式カンマスペース b>0$で,$r\数式カンマスペース s$は有理数とする。\par% - $a^{p}=M$ならば,$\log_{a}M$,$\log_{a}M \log_{a}M$ならば,$a^{p}=M$% + $a>0\数式カンマスペース b>0$で,$r\数式カンマスペース s$は有理数とすると,% + \phrasesmath{$a^{p}=M$ならば,$\log_{a}M$\\$\log_{a}M \log_{a}M$ならば,$a^{p}=M$}% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $a>0\数式カンマスペース b>0$で,$r\数式カンマスペース s$は有理数とする。\par% - $a^{p}=M$ならば,$\log_{a}M$\par% - $\log_{a}M$ならば,$a^{p}=M$% + $a>0\数式カンマスペース b>0$で,$r\数式カンマスペース s$は有理数とすると,% +\[a^{p}=M\Rightarrow\log_{a}M\数式カンマスペース\log_{a}M\Rightarrow a^{p}=M\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% }% @@ -2488,73 +2846,85 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1$とするとき,% - \[\log_{a}a=1\]% +\[\log_{a}a=1\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース a\neq1$とするとき,$\log_{a}1=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1$とするとき,% - \[\log_{a}1=0\]% +\[\log_{a}1=0\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース a\neq1$とするとき,$\log_{a}\bunsuu{1}{a}=-1$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1$とするとき,% - \[\log_{a}\bunsuu{1}{a}=-1\]% +\[\log_{a}\bunsuu{1}{a}=-1\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,% - \[\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\]% +\[\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,$\log_{a}\bunsuu{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,% - \[\log_{a}\bunsuu{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\]% +\[\log_{a}\bunsuu{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{i}}% {$a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,$\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a>0\数式カンマスペース a\neq1\数式カンマスペース M>0\数式カンマスペース N>0$とするとき,% - \[\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M\]% +\[\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - $p=\log_{a}M\数式カンマスペース q=\log_{a}N$として,\par% - $MN=a^{p}a^{q}$指数法則より% - \[MN=a^{p+q}\]% - ここで,対数の定義より% - \[\log_{a}MN=p+q\]% - \[\Leftrightarrow\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\]% + $p=\log_{a}M\数式カンマスペース q=\log_{a}N$として,$MN=a^{p}a^{q}$から,指数法則より% +\[MN=a^{p+q}\]% + + また,対数の定義より% +\[\log_{a}MN=p+q\]% +\[\Leftrightarrow\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\]% + \空行% $p=\log_{a}M\数式カンマスペース q=\log_{a}N$として,% - \[\bunsuu{M}{N}=\bunsuu{a^{p}}{a^{q}}\]% +\[\bunsuu{M}{N}=\bunsuu{a^{p}}{a^{q}}\]% + 指数法則より% - \[\bunsuu{M}{N}=a^{p-q}\]% +\[\bunsuu{M}{N}=a^{p-q}\]% + ここで,対数の定義より% - \[\log_{a}\bunsuu{M}{N}=p-q\]% - \[\Leftrightarrow\log_{a}\bunsuu{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\]% +\[\log_{a}\bunsuu{M}{N}=p-q\]% +\[\Leftrightarrow\log_{a}\bunsuu{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\]% + \空行% $p=\log_{a}M$として,$a^{p}=M$より両辺$k$乗して% - \[a^{pk}=M^{k}\]% +\[a^{pk}=M^{k}\]% + 対数を取ると% - \[pk=\log_{a}M^{k}\]% +\[pk=\log_{a}M^{k}\]% + $p=\log_{a}M$より,% - \[\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M\]% +\[\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -2564,23 +2934,27 @@ \NewDocumentCommand{\底の変換公式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a\数式カンマスペース b\数式カンマスペース c$は正の実数で,$a\neq1\数式カンマスペース b\neq1\数式カンマスペース c\neq1$のとき,$\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}$}{\relax}% + {$a\数式カンマスペース b\数式カンマスペース c$は正の実数で,$a\neq1\数式カンマスペース b\neq1\数式カンマスペース c\neq1$のとき,$\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a\数式カンマスペース b\数式カンマスペース c$は正の実数で,$a\neq1\数式カンマスペース b\neq1\数式カンマスペース c\neq1$のとき,% - \[\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}\]% +\[\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - 対数の定義より$a^{\log_{a}b}=b$が成立。\par% + 対数の定義より$a^{\log_{a}b}=b$が成立。% + 底が$c$の対数を取ると,% - \[\log_{c}a^{\log_{a}b}=\log_{c}b\]% +\[\log_{c}a^{\log_{a}b}=\log_{c}b\]% + 対数の性質より,% - \[\log_{a}b\log_{c}a=\log_{c}b\]% +\[\log_{a}b\log_{c}a=\log_{c}b\]% + よって,% - \[\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}\]% +\[\log_{a}b=\bunsuu{\log_{c}b}{\log_{c}a}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -2593,7 +2967,7 @@ {$f'\Ttyuukakko{x}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{f\Ttyuukakko{x+h}-f\Ttyuukakko{x}}{h}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {\[f'\Ttyuukakko{x}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{f\Ttyuukakko{x+h}-f\Ttyuukakko{x}}{h}\]}{\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\べき乗関数と定数関数の導関数}{ m O{i} }% @@ -2601,7 +2975,7 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{x^{n}}'=nx^{n-1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{x^{n}}'=nx^{n-1}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{x^{n}}'=nx^{n-1}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{c}'=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -2609,15 +2983,17 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - 導関数の定義より,\par% - \[\Ttyuukakko{x^{n}}'=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{\Ttyuukakko{x+h}^{n}-x^{n}}{h}\]% - 二項定理より,\par% + 導関数の定義より,% +\[\Ttyuukakko{x^{n}}'=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{\Ttyuukakko{x+h}^{n}-x^{n}}{h}\]% + + 二項定理より,% + \begin{align*}% \Ttyuukakko{x^{n}}'&=\displaystyle\lim_{h \to 0} \bunsuu{\Ttyuukakko{x+h}^{n}-x^{n}}{h}&\\% - &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{{}_{n}C_{0} x^{n}+{}_{n}C_{1} x^{n-1}h+{}_{n}C_{2}x^{n-2}h^2+\cdots\cdot{}_{n}C_{n-1} xh^{n-1}+{}_{n}C_{n} h^{n}-x^{n}}{h}&\\% - &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\Ttyuukakko{{}_{n}C_{1} x^{n-1}+{}_{n}C_{2}x^{n-2}h+\cdots+{}_{n}C_{n-1} xh^{n-2}+{}_{n}C_{n} h^{n-1}}&\\% - &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\Tdaikakko{{}_{n}C_{1} x^{n-1}+\Ttyuukakko{{}_{n}C_{2}x^{n-2}+\cdots\cdot{}_{n}C_{n-1} xh^{n-3}+{}_{n}C_{n} h^{n-2}}h}&\\% - &={}_{n}C_{1} x^{n-1}&\\% + &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\bunsuu{{}_{n}\text{C}_{0} x^{n}+{}_{n}\text{C}_{1} x^{n-1}h+{}_{n}\text{C}_{2}x^{n-2}h^2+\cdots\cdot{}_{n}\text{C}_{n-1} xh^{n-1}+{}_{n}\text{C}_{n} h^{n}-x^{n}}{h}&\\% + &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\Ttyuukakko{{}_{n}\text{C}_{1} x^{n-1}+{}_{n}\text{C}_{2}x^{n-2}h+\cdots+{}_{n}\text{C}_{n-1} xh^{n-2}+{}_{n}\text{C}_{n} h^{n-1}}&\\% + &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\Tdaikakko{{}_{n}\text{C}_{1} x^{n-1}+\Ttyuukakko{{}_{n}\text{C}_{2}x^{n-2}+\cdots\cdot{}_{n}\text{C}_{n-1} xh^{n-3}+{}_{n}\text{C}_{n} h^{n-2}}h}&\\% + &={}_{n}\text{C}_{1} x^{n-1}&\\% &=nx^{n-1}% \end{align*}% \証明終了% @@ -2631,11 +3007,11 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {${kf\Ttyuukakko{x}}'=kf'\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[{kf\Ttyuukakko{x}}'=kf'\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% + {\[{kf\Ttyuukakko{x}}'=kf'\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {${f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}'=f'\Ttyuukakko{x}\pm g'\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}'=f'\Ttyuukakko{x}\pm g'\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% + {\[{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}'=f'\Ttyuukakko{x}\pm g'\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {${kf\Ttyuukakko{x}+lg\Ttyuukakko{x}}'=kf'\Ttyuukakko{x}+lg'\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -2646,55 +3022,58 @@ \NewDocumentCommand{\接線の方程式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$上の点$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース f\Ttyuukakko{a}}$における曲線の接線の方程式は,$y-f\Ttyuukakko{a}=f'\Ttyuukakko{x}\Ttyuukakko{x-a}$}{\relax}% + {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$上の点$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース f\Ttyuukakko{a}}$における曲線の接線の方程式は,$y-f\Ttyuukakko{a}=f'\Ttyuukakko{x}\Ttyuukakko{x-a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$上の点$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース f\Ttyuukakko{a}}$における曲線の接線の方程式は,% - \[y-f\Ttyuukakko{a}=f'\Ttyuukakko{x}\Ttyuukakko{x-a}\]% +\[y-f\Ttyuukakko{a}=f'\Ttyuukakko{x}\Ttyuukakko{x-a}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% }% \NewDocumentCommand{\不定積分の定義}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,$\displaystyle\int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{($C$は積分定数)}$}{\relax}% + {$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,$\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{($C$は積分定数)}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% $F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,% - \[\int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% +\[\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% + }% {\relax}% }% -\NewDocumentCommand{\べき乗関数の不定積分}{ m O{i} }% - {% - \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle\int_{}^{} x^{n}dx=\bunsuu{1}{n+1}x^{n+1}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}$}{\relax}% - \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% - {% - \[\int_{}^{} x^{n}dx=\bunsuu{1}{n+1}x^{n+1}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% - }% - {\relax}% - }% +%\NewDocumentCommand{\べき乗関数の不定積分}{ m O{i} }% + %{% + %\ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% + %{$\displaystyle\int_{}^{}x^{n}dx=\bunsuu{1}{n+1}x^{n+1}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}$}{\relax}% + %\ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% + %{% + %\[\int_{}^{}x^{n}dx=\bunsuu{1}{n+1}x^{n+1}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% + + %}% + %{\relax}% + %}% \NewDocumentCommand{\不定積分の性質}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle\int_{}^{} kf\Ttyuukakko{x}dx=k\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{}^{}kf\Ttyuukakko{x}dx=k\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{}^{} kf\Ttyuukakko{x}dx=k\int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% + {\[\int_{}^{}kf\Ttyuukakko{x}dx=k\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle\int_{}^{} {f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\displaystyle \int_{}^{} g\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{}^{}{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx\pm\displaystyle\int_{}^{}g\Ttyuukakko{x}dx\text{\ (複号同順)}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{}^{} {f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{}^{} g\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% + {\[\int_{}^{}{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{}^{}g\Ttyuukakko{x}dx\text{\ (複号同順)}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle\int_{}^{} {kf\Ttyuukakko{x}+lg\Ttyuukakko{x}}dx=k\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx+l\displaystyle \int_{}^{} g\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{}^{}{kf\Ttyuukakko{x}+lg\Ttyuukakko{x}}dx=k\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx+l\displaystyle\int_{}^{}g\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{}^{} {kf\Ttyuukakko{x}+lg\Ttyuukakko{x}}dx=k\int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx+l\int_{}^{} g\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% + {\[\int_{}^{}{kf\Ttyuukakko{x}+lg\Ttyuukakko{x}}dx=k\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx+l\int_{}^{}g\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% }% @@ -2705,7 +3084,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% 曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸(区間は$a$から$b$)に囲まれた部分の面積$S$について,$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,% - \[S=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}\]% +\[S=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}\]% + }% {\relax}% }% @@ -2716,19 +3096,19 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\displaystyle\int_{b}^{a} kf\Ttyuukakko{x}dx=k\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{b}^{a} kf\Ttyuukakko{x}dx=k\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% + {\[\int_{b}^{a} kf\Ttyuukakko{x}dx=k\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle\int_{b}^{a} {f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{b}^{a} g\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{b}^{a}{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{b}^{a} g\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{b}^{a} {f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{b}^{a} g\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% + {\[\int_{b}^{a}{f\Ttyuukakko{x}\pm g\Ttyuukakko{x}}dx=\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx\pm\int_{b}^{a} g\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\displaystyle\int_{a}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{a}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=0\]}{\relax}% + {\[\int_{a}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=0\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$\displaystyle\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=-\int_{a}^{b} f\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=-\int_{a}^{b} f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% + {\[\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=-\int_{a}^{b} f\Ttyuukakko{x}dx\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$\displaystyle\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=\int_{a}^{c} f\Ttyuukakko{x}dx+\int_{c}^{b} f\Ttyuukakko{x}dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -2739,84 +3119,90 @@ \NewDocumentCommand{\ベクトルの演算}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\ベクトル{a}+\ベクトル{b}=\ベクトル{b}+\ベクトル{a}$}{\relax}% + {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\ベクトル{a}+\ベクトル{b}=\ベクトル{b}+\ベクトル{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k\数式カンマスペース l$が実数のとき% - \[\ベクトル{a}+\ベクトル{b}=\ベクトル{b}+\ベクトル{a}\]% +\[\ベクトル{a}+\ベクトル{b}=\ベクトル{b}+\ベクトル{a}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}+\ベクトル{c}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}$}{\relax}% + {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}+\ベクトル{c}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k\数式カンマスペース l$が実数のとき% - \[\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}+\ベクトル{c}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}\]% +\[\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}+\ベクトル{c}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{a\ベクトル{a}}=\ベクトル{0}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{a\ベクトル{a}}=\ベクトル{0}\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{a\ベクトル{a}}=\ベクトル{0}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{a}+\ベクトル{0}=\ベクトル{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{a}+\ベクトル{0}=\ベクトル{a}\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{a}+\ベクトル{0}=\ベクトル{a}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{a}-\ベクトル{b}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{-\ベクトル{b}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{a}-\ベクトル{b}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{-\ベクトル{b}}\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{a}-\ベクトル{b}=\ベクトル{a}+\Ttyuukakko{-\ベクトル{b}}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$k\Ttyuukakko{l\ベクトル{a}}=l\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}$}{\relax}% + {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$k\Ttyuukakko{l\ベクトル{a}}=l\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k\数式カンマスペース l$が実数のとき% - \[k\Ttyuukakko{l\ベクトル{a}}=l\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}\]% +\[k\Ttyuukakko{l\ベクトル{a}}=l\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式G}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\Ttyuukakko{k+l}\ベクトル{a}=k\ベクトル{a}+l\ベクトル{a}$}{\relax}% + {$k\数式カンマスペース l$が実数のとき,$\Ttyuukakko{k+l}\ベクトル{a}=k\ベクトル{a}+l\ベクトル{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式G}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k\数式カンマスペース l$が実数のとき% - \[\Ttyuukakko{k+l}\ベクトル{a}=k\ベクトル{a}+l\ベクトル{a}\]% +\[\Ttyuukakko{k+l}\ベクトル{a}=k\ベクトル{a}+l\ベクトル{a}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式H}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k$が実数のとき,$k\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}=k\ベクトル{a}+k\ベクトル{b}$}{\relax}% + {$k$が実数のとき,$k\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}=k\ベクトル{a}+k\ベクトル{b}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式H}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k$が実数のとき% - \[k\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}=k\ベクトル{a}+k\ベクトル{b}\]% +\[k\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}=k\ベクトル{a}+k\ベクトル{b}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式I}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overrightarrowtext{AB}+\overrightarrowtext{BC}=\overrightarrowtext{AC}$}{\relax}% + {$\vvtext{AB}+\vvtext{BC}=\vvtext{AC}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式I}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overrightarrowtext{AB}+\overrightarrowtext{BC}=\overrightarrowtext{AC}\]}{\relax}% + {\[\vvtext{AB}+\vvtext{BC}=\vvtext{AC}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式J}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overrightarrowtext{OA}-\overrightarrowtext{OB}=\overrightarrowtext{BA}$}{\relax}% + {$\vvtext{OA}-\vvtext{OB}=\vvtext{BA}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式J}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overrightarrowtext{OA}-\overrightarrowtext{OB}=\overrightarrowtext{BA}\]}{\relax}% + {\[\vvtext{OA}-\vvtext{OB}=\vvtext{BA}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式K}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overrightarrowtext{AA}=\ベクトル{0}$}{\relax}% + {$\vvtext{AA}=\ベクトル{0}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式K}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overrightarrowtext{AA}=\ベクトル{0}\]}{\relax}% + {\[\vvtext{AA}=\ベクトル{0}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式L}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overrightarrowtext{BA}=\overrightarrowtext{AB}$}{\relax}% + {$\vvtext{BA}=\vvtext{AB}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式L}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overrightarrowtext{BA}=\overrightarrowtext{AB}\]}{\relax}% + {\[\vvtext{BA}=\vvtext{AB}\]}{\relax}% }% \NewDocumentCommand{\平面ベクトルの分解}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\ベクトル{a}\neq0\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq0$で,$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$が平行でないとき,任意の$\ベクトル{p}$はただ一通りに,$\ベクトル{p}=s\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}$の形に表せられる。}{\relax}% + {$\ベクトル{a}\neq0\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq0$で,$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$が平行でないとき,任意の$\ベクトル{p}$はただ一通りに,$\ベクトル{p}=s\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}$の形に表せられる。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\ベクトル{a}\neq0\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq0$で,$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$が平行でないとき,任意の$\ベクトル{p}$はただ一通りに,% - \[\ベクトル{p}=s\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\]% +\[\ベクトル{p}=s\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\]% + の形に表せられる。% }% {\relax}% @@ -2826,37 +3212,44 @@ \NewDocumentCommand{\平面ベクトルの成分}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\ベクトル{a}=\ベクトル{b}\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}$}{\relax}% + {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\ベクトル{a}=\ベクトル{b}\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,% - $\ベクトル{a}=\ベクトル{b}$% - \[\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}\]% +\[\ベクトル{a}=\ベクトル{b}\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}\Leftrightarrow\ベクトル{a}=\ベクトル{b}$}{\relax}% + {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}\Leftrightarrow\ベクトル{a}=\ベクトル{b}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,% - $a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}$% - \[\Leftrightarrow\ベクトル{a}=\ベクトル{b}\]% +\[a_{1}=b_{1}\数式カンマスペース a_{2}=b_{2}\Leftrightarrow\ベクトル{a}=\ベクトル{b}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}$とすると,$\Tzettaiti{\ベクトル{a}}=\根号{a_{1}^2+a_{2}^2}$}{\relax}% + {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}$とすると,$\Tzettaiti{\ベクトル{a}}=\根号{a_{1}^2+a_{2}^2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}$とすると,% - \[\Tzettaiti{\ベクトル{a}}=\根号{a_{1}^2+a_{2}^2}\]% +\[\Tzettaiti{\ベクトル{a}}=\根号{a_{1}^2+a_{2}^2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$また,$k\数式カンマスペース l$を実数として,$k\ベクトル{a}+l\ベクトル{b}=k\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}+l\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}=\Ttyuukakko{ka_{1}+lb_{1}\数式カンマスペース ka_{2}+lb_{2}}$}{\relax}% + {% + $k\数式カンマスペース l$を実数,$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$として,% + + \hfill{$k\ベクトル{a}+l\ベクトル{b}=k\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}+l\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}=\Ttyuukakko{ka_{1}+lb_{1}\数式カンマスペース ka_{2}+lb_{2}}$}% + }% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$また,$k\数式カンマスペース l$を実数として,% - \[k\ベクトル{a}+l\ベクトル{b}=k\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}+l\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}=\Ttyuukakko{ka_{1}+lb_{1}\数式カンマスペース ka_{2}+lb_{2}}\]% + $k\数式カンマスペース l$を実数,$\ベクトル{a}=\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース\ベクトル{b}=\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$として,% +\[k\ベクトル{a}+l\ベクトル{b}=k\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}+l\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}=\Ttyuukakko{ka_{1}+lb_{1}\数式カンマスペース ka_{2}+lb_{2}}\]% + }% {\relax}% }% @@ -2865,26 +3258,28 @@ \NewDocumentCommand{\ベクトルの成分と大きさ}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\overrightarrowtext{AB}=\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}\数式カンマスペース b_{2}-a_{2}}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\vvtext{AB}=\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}\数式カンマスペース b_{2}-a_{2}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,% - \[\overrightarrowtext{AB}=\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}\数式カンマスペース b_{2}-a_{2}}\]% +\[\vvtext{AB}=\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}\数式カンマスペース b_{2}-a_{2}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\Tzettaiti{\overrightarrowtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,$\Tzettaiti{\vvtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $A\Ttyuukakko{a_{1}\数式カンマスペース a_{2}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{b_{1}\数式カンマスペース b_{2}}$とすると,% - \[\Tzettaiti{\overrightarrowtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}\]% +\[\Tzettaiti{\vvtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% 三平方の定理より,% - \[\Tzettaiti{\overrightarrowtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}\]% +\[\Tzettaiti{\vvtext{AB}}=\根号{\Ttyuukakko{b_{1}-a_{1}}^2+\Ttyuukakko{b_{2}-a_{2}}^2}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -2894,11 +3289,12 @@ \NewDocumentCommand{\平面ベクトルの内積}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {ベクトルの内積は,$\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=|\ベクトル{a}||\ベクトル{b}|\cos\theta \Ttyuukakko{0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}\text{\ (ただし,$\theta$は$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$のなす角)}$}{\relax}% + {ベクトルの内積は,$\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=|\ベクトル{a}||\ベクトル{b}|\cos\theta \Ttyuukakko{0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}\text{\ (ただし,$\theta$は$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$のなす角)}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% ベクトルの内積は,% - \[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=|\ベクトル{a}||\ベクトル{b}|\cos\theta \Ttyuukakko{0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}\text{\ (ただし,$\theta$は$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$のなす角)}\]% +\[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=|\ベクトル{a}||\ベクトル{b}|\cos\theta \Ttyuukakko{0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}\text{\ (ただし,$\theta$は$\ベクトル{a}$と$\ベクトル{b}$のなす角)}\]% + }% {\relax}% }% @@ -2909,27 +3305,28 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{a}\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{a}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}} \cdot\ベクトル{c}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}} \cdot\ベクトル{c}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}} \cdot\ベクトル{c}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{c} \cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{c} \cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{c} \cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}=\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{c}+\ベクトル{b} \cdot\ベクトル{c}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$k$が実数のとき,$\Ttyuukakko{k\ベクトル{a}} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{a} \cdot\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}=k\Ttyuukakko{\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}}$}{\relax}% + {$k$が実数のとき,$\Ttyuukakko{k\ベクトル{a}} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{a} \cdot\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}=k\Ttyuukakko{\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% $k$が実数のとき,% - \[\Ttyuukakko{k\ベクトル{a}} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{a} \cdot\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}=k\Ttyuukakko{\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}}\]% +\[\Ttyuukakko{k\ベクトル{a}} \cdot\ベクトル{b}=\ベクトル{a} \cdot\Ttyuukakko{k\ベクトル{b}}=k\Ttyuukakko{\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{a}=\Tzettaiti{\ベクトル{a}}^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{a}=\Tzettaiti{\ベクトル{a}}^2\]}{\relax}% + {\[\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{a}=\Tzettaiti{\ベクトル{a}}^2\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Tzettaiti{\ベクトル{a}}=\根号{\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{a}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式F}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -2941,17 +3338,17 @@ {% \ifthenelse{\equal{#1}{条件}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}$また,$k$は実数とする,\par% - $\ベクトル{a}/ \!/ \ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{b}=k\ベクトル{a}$,$\ベクトル{b}=k\ベクトル{a}$% + $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース k\実数入り$として,% + $\ベクトル{a}\平行\ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{b}=k\ベクトル{a}$% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{条件}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}$また,$k$は実数とする,\par% - $\ベクトル{a}/ \!/ \ベクトル{b}$% - \[\Leftrightarrow\ベクトル{b}=k\ベクトル{a}\]% + $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース k\実数入り$として,% +\[\ベクトル{a}\平行\ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{b}=k\ベクトル{a}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% }% @@ -2959,29 +3356,31 @@ {% \ifthenelse{\equal{#1}{条件}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}$で,$k$は実数とすると,% - $\ベクトル{a} \perp \ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=0$% + $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース k\実数入り$とすると,% + $\ベクトル{a}\perp\ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=0$% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{条件}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}$で,$k$は実数とすると,% - \[\ベクトル{a} \perp \ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=0\]% + $\ベクトル{a}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース\ベクトル{b}\neq\ベクトル{0}\数式カンマスペース k\実数入り$とすると,% +\[\ベクトル{a}\perp\ベクトル{b}\Leftrightarrow\ベクトル{a} \cdot\ベクトル{b}=0\]% + }% {\relax}% - }% + }% \NewDocumentCommand{\位置ベクトル}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$を$m:n$に内分する点は,$\bunsuu{n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m+n}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$を$m:n$に内分する点は,$\bunsuu{n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m+n}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$を$m:n$に内分する点は,% - \[\bunsuu{n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m+n}\]% +\[\bunsuu{n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m+n}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{内分点の位置ベクトルの証明}}% {% \証明開始% @@ -2994,34 +3393,37 @@ }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とする,線分$\text{AB}$を$m:n$に外分する点は,$\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$を$m:n$に外分する点は,$\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とする,線分$\text{AB}$を$m:n$に外分する点は,% - \[\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}\]% + $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$を$m:n$に外分する点は,% +\[\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{外分点の位置ベクトルの証明}}% {% \証明開始% - $m:n$に外分ということは$m:-n$に内分ということなので,$\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}$% + $m:n$に外分ということは$m:\Ttyuukakko{-n}$に内分ということなので,$\bunsuu{-n\ベクトル{a}+m\ベクトル{b}}{m-n}$% \証明終了% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とする,線分$\text{AB}$の中点は,$\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}{2}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$の中点は,$\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}{2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とする,線分$\text{AB}$の中点は,% - \[\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}{2}\]% + $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$とすると,線分$\text{AB}$の中点は,% +\[\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}}{2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}\数式カンマスペース C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$とする,$\triangle{\text{ABC}}$の重心は,$\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}{3}$}{\relax}% + {$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}\数式カンマスペース C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$とすると,$\triangle{\text{ABC}}$の重心は,$\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}{3}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}\数式カンマスペース C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$とする,$\triangle{\text{ABC}}$の重心は,% - \[\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}{3}\]% + $A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}\数式カンマスペース C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$とすると,$\triangle{\text{ABC}}$の重心は,% +\[\bunsuu{\ベクトル{a}+\ベクトル{b}+\ベクトル{c}}{3}\]% + }% {\relax}% }% @@ -3030,36 +3432,45 @@ \NewDocumentCommand{\ベクトル方程式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$s\数式カンマスペース t$を実数とする。点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$をとおり,$\ベクトル{d}$に平行な直線は,$\ベクトル{p}=\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}$}{\relax}% + {$s\数式カンマスペース t$を実数とする。点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$をとおり,$\ベクトル{d}$に平行な直線は,$\ベクトル{p}=\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $s\数式カンマスペース t$を実数とする。点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$をとおり,$\ベクトル{d}$に平行な直線は,% - \[\ベクトル{p}=\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\]% +\[\ベクトル{p}=\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$s\数式カンマスペース t$を実数とする。二点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$を通る直線は,$\ベクトル{p}=\Ttyuukakko{1-t}\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\数式カンマスペース\ベクトル{p}=a\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\text{\ (ただし,$s+t=1$)}$}{\relax}% + {% + $s\数式カンマスペース t$を実数とする。二点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$を通る直線は,% + + \hfill{$\ベクトル{p}=\Ttyuukakko{1-t}\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\数式カンマスペース\ベクトル{p}=a\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\text{\ (ただし,$s+t=1$)}$}% + }% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $s\数式カンマスペース t$を実数とする。二点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}\数式カンマスペース B\Ttyuukakko{\ベクトル{b}}$を通る直線は,% - \[\ベクトル{p}=\Ttyuukakko{1-t}\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\数式カンマスペース\ベクトル{p}=a\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\text{\ (ただし,$s+t=1$)}\]% +\[\ベクトル{p}=\Ttyuukakko{1-t}\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\数式カンマスペース\ベクトル{p}=a\ベクトル{a}+t\ベクトル{b}\text{\ (ただし,$s+t=1$)}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$を通り,$\ベクトル{n}$に垂直な直線$\ベクトル{p}$について,$\ベクトル{n}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{a}}=0$}{\relax}% + {点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$を通り,$\ベクトル{n}$に垂直な直線$\ベクトル{p}$について,$\ベクトル{n}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{a}}=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% 点$A\Ttyuukakko{\ベクトル{a}}$を通り,$\ベクトル{n}$に垂直な直線$\ベクトル{p}$について,% - \[\ベクトル{n}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{a}}=0\]% +\[\ベクトル{n}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{a}}=0\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {中心$C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$,半径$r$の円は,$\Tzettaiti{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}=r\数式カンマスペース\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}=r^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% 中心$C\Ttyuukakko{\ベクトル{c}}$,半径$r$の円は,% - \[\Tzettaiti{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}=r\]% +\[\Tzettaiti{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}=r\]% \[\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}\cdot\Ttyuukakko{\ベクトル{p}-\ベクトル{c}}=r^2\]% + }% {\relax}% }% @@ -3068,13 +3479,14 @@ \NewDocumentCommand{\等差数列}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{i}}% - {初項$a_{1}$,公差$d$のとき,$a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d$}{\relax}% + {初項$a_{1}$,公差$d$のとき,$a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{b}}% {% 初項$a_{1}$,公差$d$のとき,% - \[a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d\]% +\[a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{総和}\AND\equal{#2}{i}}% {$S_{n}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{a_{1}+a_{n}}}{2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{総和}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -3082,9 +3494,11 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - \[S_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{a_{1}+d}+\Ttyuukakko{a_{1}+2d}+\cdots+\Tdaikakko{a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d}\]% - \[S_{n}=\Tdaikakko{a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d}+\cdots+a_{1}+\Ttyuukakko{a_{1}+d}+\Ttyuukakko{a_{1}+2d}\]% - 連立して,$2S=\Ttyuukakko{a_{1}+a_{n}}n$より,\par% +\[S_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{a_{1}+d}+\Ttyuukakko{a_{1}+2d}+\cdots+\Tdaikakko{a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d}\]% + \[S_{n}=\Tdaikakko{a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d}+\cdots+a_{1}+\Ttyuukakko{a_{1}+d}+\Ttyuukakko{a_{1}+2d}\]% + + 連立して,$2S=\Ttyuukakko{a_{1}+a_{n}}n$より,% + $S_{n}=\bunsuu{n\Ttyuukakko{a_{1}+a_{n}}}{2}$% \証明終了% }% @@ -3097,35 +3511,43 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{i}}% {$a_{n}=ar^{n-1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[a_{n}=ar^{n-1}\]}{\relax}% + {\[a_{n}=ar^{n-1}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{総和}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $r\neq1$のとき,$S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}$もしくは,$\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}$\par% + $r\neq1$のとき,$S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}$もしくは,$\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}$% + $r=1$のとき,$S_{n}=na_{1}$% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{総和}\AND\equal{#2}{b}}% {% $r\neq1$のとき,% - \[S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}\]% +\[S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}\]% + もしくは,% - \[S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% +\[S_{n}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% + $r=1$のとき,% - \[S_{n}=na_{1}\]% +\[S_{n}=na_{1}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - \[S_{n}=a_{1}+ra_{1}+r^2a_{1}+\cdots+r^{n-1}a_{1}\]% +\[S_{n}=a_{1}+ra_{1}+r^2a_{1}+\cdots+r^{n-1}a_{1}\]% \[S_{n}r=ra_{1}+r^2a_{2}+r^{3}a_{1}+\cdots+r^{n}\]% - 連立することで,$S\Ttyuukakko{1-r}=a_{1}-r^{n}a_{1}$となる。\par% + + 連立することで,$S\Ttyuukakko{1-r}=a_{1}-r^{n}a_{1}$となる。% + よって,% - \[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}\]% +\[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}\]% + また,$\bunsuu{-1}{-1}$をかけることで,% - \[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% +\[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% + 以上より,% - \[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% +\[S=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{a_{1}\Ttyuukakko{r^{n}-1}}{r-1}\]% \証明終了% }% {\relax}% @@ -3135,36 +3557,38 @@ \NewDocumentCommand{\シグマの公式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$c$は$k$に無関係なとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c=nc$}{\relax}% + {$c$は$k$に無関係なとき,$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=nc$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $c$は$k$に無関係なとき,% - \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c=nc\]% +\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c=nc\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}$}{\relax}% + {$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}\]}{\relax}% + {\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}$}{\relax}% + {$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}\]}{\relax}% + {\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\Tdaikakko{\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}}^2$}{\relax}% + {$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\Tdaikakko{\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}}^2$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式D}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\Tdaikakko{\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}}^2\]}{\relax}% + {\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\Tdaikakko{\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}}^2\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\bunsuu{\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{r^{n}-1}{r-1}$}{\relax}% + {$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\bunsuu{\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{r^{n}-1}{r-1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式E}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\bunsuu{\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{r^{n}-1}{r-1}\]}{\relax}% + {\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\bunsuu{\Ttyuukakko{1-r^{n}}}{1-r}=\bunsuu{r^{n}-1}{r-1}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% - $\Ttyuukakko{k+1}^{3}=k^{3}+3k^2+3k+1$を用いる。\par% + $\Ttyuukakko{k+1}^{3}=k^{3}+3k^2+3k+1$を用いる。% + $\Ttyuukakko{k+1}^{3}-k^{3}=3k^2+3k+1$の$k$に$1$から$n$までの自然数を代入したものを足したものは,% - \[\Ttyuukakko{n+1}^{3}-1=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}+n\]% - \[\Leftrightarrow\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}\] +\[\Ttyuukakko{n+1}^{3}-1=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\bunsuu{1}{2}n\Ttyuukakko{n+1}+n\]% +\[\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\bunsuu{1}{6}n\Ttyuukakko{n+1}\Ttyuukakko{2n+1}\] となる。% \証明終了% }% @@ -3179,56 +3603,62 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{性質}\AND\equal{#2}{b}}% {% $p\数式カンマスペース q$が$k$に無関係な定数のとき,% - \[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Ttyuukakko{pa_{k}+qb_{k}}=p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}\]% +\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Ttyuukakko{pa_{k}+qb_{k}}=p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% }% \NewDocumentCommand{\階差数列}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{i}}% - {数列${a_{n}}$の階差数列を${b_{n}}$とすると,$2\leqq n$のとき,$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$}{\relax}% + {数列${a_{n}}$の階差数列を${b_{n}}$とすると,$2\leqq n$のとき,$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{一般項}\AND\equal{#2}{b}}% {% 数列${a_{n}}$の階差数列を${b_{n}}$とすると,$2\leqq n$のとき,% - \[a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\]% +\[a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% }% \NewDocumentCommand{\漸化式}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{等差型}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a_{n+1}=a_{n}+d$のとき,$a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d$}{\relax}% + {$a_{n+1}=a_{n}+d$のとき,$a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{等差型}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a_{n+1}=a_{n}+d$のとき,% - \[a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d\]% +\[a_{n}=a_{1}+\Ttyuukakko{n-1}d\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{等比型}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a_{n+1}=ra_{n}$のとき,$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$}{\relax}% + {$a_{n+1}=ra_{n}$のとき,$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{等比型}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a_{n+1}=ra_{n}$のとき,% - \[a_{n}=a_{1}r^{n-1}\]% +\[a_{n}=a_{1}r^{n-1}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{階差型}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a_{n+1}-a_{n}=f\Ttyuukakko{n}$のとき,$a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}f\Ttyuukakko{k}$ただし,$2\leqq n$}{\relax}% + {$a_{n+1}-a_{n}=f\Ttyuukakko{n}$のとき,$a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Ttyuukakko{k}$(ただし,$n\geqq 2$)}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{階差型}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a_{n+1}-a_{n}=f\Ttyuukakko{n}$のとき,% - \[a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}f\Ttyuukakko{k}\text{\ (ただし,$2\leqq n$)}\]% +\[a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f\Ttyuukakko{k}\text{\ (ただし,$n\geqq 2$)}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{特性方程式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$a_{n+1}=pa_{n}+q \Ttyuukakko{p\neq0\数式カンマスペース q\neq0}$のとき,$a_{n+1}-c=p\Ttyuukakko{a_{n}-c}$と変形して等差型に(ただし,$c=pc+q$を満たす)。}{\relax}% + {$a_{n+1}=pa_{n}+q \Ttyuukakko{p\neq0\数式カンマスペース q\neq0}$のとき,$a_{n+1}-c=p\Ttyuukakko{a_{n}-c}$と変形して等差型に(ただし,$c=pc+q$を満たす)。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{特性方程式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $a_{n+1}=pa_{n}+q \Ttyuukakko{p\neq0\数式カンマスペース q\neq0}$のとき,% - \[a_{n+1}-c=p\Ttyuukakko{a_{n}-c}\]% +\[a_{n+1}-c=p\Ttyuukakko{a_{n}-c}\]% + と変形して等差型に(ただし,$c=pc+q$を満たす)。% }% {\relax}% @@ -3242,65 +3672,68 @@ \NewDocumentCommand{\共役複素数}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\alpha=a+bi$のとき,共役な複素数$\overline{\alpha}$は$a-bi$}{\relax}% + {$\alpha=a+bi$のとき,共役な複素数$\共役{\alpha}$は$a-bi$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% - $\alpha=a+bi$のとき,共役な複素数$\overline{\alpha}$は% - \[a-bi\]% + $\alpha=a+bi$のとき,共役な複素数$\共役{\alpha}$は% +\[a-bi\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$z$が実数かつ,$\overline{z}=z$ならば,$z$が実数。}{\relax}% + {$z$が実数かつ,$\共役{z}=z$ならば,$z$が実数。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% - {$z$が実数かつ,$\overline{z}=z$ならば,$z$が実数。}{\relax}% + {$z$が実数かつ,$\共役{z}=z$ならば,$z$が実数。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$z$が純虚数ならば,$\overline{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0$}{\relax}% + {$z$が純虚数ならば,$\共役{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $z$が純虚数ならば,% - \[\overline{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0\]% +\[\共役{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overline{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0$ならば,$z$が純虚数。 }{\relax}% + {$\共役{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0$ならば,$z$が純虚数。 }{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% - \[\overline{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0\]% +\[\共役{z}=-z\数式カンマスペース z\neq0\]% + ならば,$z$が純虚数。 % }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$}{\relax}% + {$\共役{\alpha+\beta}=\共役{\alpha}+\共役{\beta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質D}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\]}{\relax}% + {\[\共役{\alpha+\beta}=\共役{\alpha}+\共役{\beta}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質E}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$}{\relax}% + {$\共役{\alpha-\beta}=\共役{\alpha}-\共役{\beta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質E}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}\]}{\relax}% + {\[\共役{\alpha-\beta}=\共役{\alpha}-\共役{\beta}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質F}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}$}{\relax}% + {$\共役{\alpha\beta}=\共役{\alpha}\共役{\beta}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質F}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\]}{\relax}% + {\[\共役{\alpha\beta}=\共役{\alpha}\共役{\beta}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質G}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\overline{\Ttyuukakko{\bunsuu{\alpha}{\beta}}}=\bunsuu{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$}{\relax}% + {$\共役{\Ttyuukakko{\bunsuu{\alpha}{\beta}}}=\bunsuu{\共役{\alpha}}{\共役{\beta}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質G}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\overline{\Ttyuukakko{\bunsuu{\alpha}{\beta}}}=\bunsuu{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\]}{\relax}% + {\[\共役{\Ttyuukakko{\bunsuu{\alpha}{\beta}}}=\bunsuu{\共役{\alpha}}{\共役{\beta}}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% $\alpha=a+bi\数式カンマスペース\beta=c+di$\quad($a\数式カンマスペース b c\数式カンマスペース d$は実数かつ$a\neq0\数式カンマスペース c\neq0$)として,% \begin{align*}% - \overline{\alpha+\beta}&=\overline{\Ttyuukakko{a+c}+\Ttyuukakko{b+d}i}&\\% + \共役{\alpha+\beta}&=\共役{\Ttyuukakko{a+c}+\Ttyuukakko{b+d}i}&\\% &=\Ttyuukakko{a+c}-\Ttyuukakko{b+d}i&\\% &=\Ttyuukakko{a-ci}+\Ttyuukakko{b-di}&\\% - &=\overline{\alpha}+\overline{\beta}% + &=\共役{\alpha}+\共役{\beta}% \end{align*}% \begin{align*}% - \overline{\alpha\beta}&=\overline{\Ttyuukakko{a+bi}\Ttyuukakko{c+di}}&\\% - &=\overline{\Ttyuukakko{ac-bd}+\Ttyuukakko{ad+bc}i}&\\ + \共役{\alpha\beta}&=\共役{\Ttyuukakko{a+bi}\Ttyuukakko{c+di}}&\\% + &=\共役{\Ttyuukakko{ac-bd}+\Ttyuukakko{ad+bc}i}&\\ &=\Ttyuukakko{ac-bd}-\Ttyuukakko{ad+bc}i&\\% &=\Ttyuukakko{a-bi}\Ttyuukakko{c-di}&\\% - &=\overline{\alpha}\overline{\beta}% + &=\共役{\alpha}\共役{\beta}% \end{align*}% \証明終了% }% @@ -3315,17 +3748,18 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% 複素数$z=a+bi$に対して,% - \[\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{a+bi}=\根号{a^2+b^2}\]% +\[\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{a+bi}=\根号{a^2+b^2}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{\overline{z}}=\Tzettaiti{-z}$}{\relax}% + {$\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{\共役{z}}=\Tzettaiti{-z}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{\overline{z}}=\Tzettaiti{-z}\]}{\relax}% + {\[\Tzettaiti{z}=\Tzettaiti{\共役{z}}=\Tzettaiti{-z}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$z\overline{z}=\Tzettaiti{z^2}$}{\relax}% + {$z\共役{z}=\Tzettaiti{z^2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[z\overline{z}=\Tzettaiti{z^2}\]}{\relax}% + {\[z\共役{z}=\Tzettaiti{z^2}\]}{\relax}% }% @@ -3337,27 +3771,32 @@ {% 複素数$\alpha=a+bi$について,% \[\alpha=r\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}\text{\ (ただし$z>0$)}\]% + また,$r=\Tzettaiti{\alpha}=\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース\cos\theta=\bunsuu{a}{r}\数式カンマスペース\sin\theta=\bunsuu{b}{r}$を極形式という。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,\par% + $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% + $\alpha\beta=r_{1}r_{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% - \[\alpha\beta=r_{1}r_{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}\]% +\[\alpha\beta=r_{1}r_{2}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% {% - $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,\par% + $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% + $\bunsuu{\alpha}{\beta}=\bunsuu{r_{1}}{r_{2}}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% - \[\bunsuu{\alpha}{\beta}=\bunsuu{r_{1}}{r_{2}}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}\]% +\[\bunsuu{\alpha}{\beta}=\bunsuu{r_{1}}{r_{2}}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}}}\]% + }% {\relax}% }% @@ -3368,41 +3807,46 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% {% 複素数$\alpha=a+bi$について,$\alpha=r\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}$\par - ただし$z>0$のとき$\theta$を偏角といい,$\mathrm{aug}\alpha$で表す。% + ただし$z>0$のとき$\theta$を偏角といい,$\text{aug}\alpha$で表す。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% 複素数$\alpha=a+bi$について,% - \[\alpha=r\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}\]% +\[\alpha=r\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}\]% + ただし$z>0$のとき$\theta$を偏角といい,% - \[\mathrm{aug}\alpha\]% +\[\text{aug}\alpha\]% + で表す。% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\theta_{1}=\mathrm{arg}\alpha$また,$\mathrm{arg}\alpha=\theta_{1}+2n\pi$ ($n$は整数)}{\relax}% + {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\theta_{1}=\text{arg}\alpha$また,$\text{arg}\alpha=\theta_{1}+2n\pi$ ($n$は整数)}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% - \[\theta_{1}=\theta_{1}+2n\pi=\mathrm{arg}\alpha\]% +\[\theta_{1}=\theta_{1}+2n\pi=\text{arg}\alpha\]% + ($n$は整数)% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\mathrm{arg}z_{1}z_{2}=\mathrm{arg}z_{1}+\mathrm{arg}z_{2}$}{\relax}% + {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\text{arg}z_{1}z_{2}=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% - \[\mathrm{arg}z_{1}z_{2}=\mathrm{arg}z_{1}+\mathrm{arg}z_{2}\]% +\[\text{arg}z_{1}z_{2}=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\mathrm{arg}\bunsuu{z_{1}}{z_{2}}=\mathrm{arg}z_{1}-\mathrm{arg}z_{2}$}{\relax}% + {$\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,$\text{arg}\bunsuu{z_{1}}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}-\text{arg}z_{2}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $\alpha\数式カンマスペース\beta\数式カンマスペース\gamma$を複素数とする。$\alpha=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\beta=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}$のとき,% - \[\mathrm{arg}\bunsuu{z_{1}}{z_{2}}=\mathrm{arg}z_{1}-\mathrm{arg}z_{2}\]% +\[\text{arg}\bunsuu{z_{1}}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}-\text{arg}z_{2}\]% + }% {\relax}% }% @@ -3415,19 +3859,21 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% $n$が整数のとき,% - \[\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\]% +\[\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{証明}}% {% \証明開始% 複素数% - \[\alpha_{1}=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\alpha_{2}=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}\ldots\alpha_{n}=r_{n}\Ttyuukakko{\cos\theta_{n}+i\sin\theta_{n}}\] +\[\alpha_{1}=r_{1}\Ttyuukakko{\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}}\数式カンマスペース\alpha_{2}=r_{2}\Ttyuukakko{\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}}\ldots\alpha_{n}=r_{n}\Ttyuukakko{\cos\theta_{n}+i\sin\theta_{n}}\] に対して,$\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$を考えると,三角関数の積和の公式から% \[\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}=r_{1}r_{2}\cdots r_{n}\Tdaikakko{\cos\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}}+i\sin\Ttyuukakko{\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}}}\]% - となる。ここで,$\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}$のとき,% - \[\alpha^{n}=r^{n}\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=r^{n}\Ttyuukakko{\cos n\theta+i\sin n\theta}\]% - \[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\]% + + となる。ここで,$\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}$のとき,% \[\alpha^{n}=r^{n}\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=r^{n}\Ttyuukakko{\cos n\theta+i\sin n\theta}\]% +\[\Leftrightarrow\Ttyuukakko{\cos\theta+i\sin\theta}^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\]% + を得る。% \証明終了% }% @@ -3442,28 +3888,31 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {定点$F$ (焦点)と$F$を通らない直線$l$ (準線)があるとき,焦点と準線からの距離の和が一定な点の軌跡。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{i}}% - {放物線は$y^2=4px$と表せられる。}{\relax}% + {放物線は$y^2=4px$と表せられる。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% 放物線は% - \[y^2=4px\]% +\[y^2=4px\]% + と表せられる。% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% {放物線の焦点は$F\Ttyuukakko{p\数式カンマスペース 0}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 放物線の焦点は% - \[F\Ttyuukakko{p\数式カンマスペース 0}\]% +\[F\Ttyuukakko{p\数式カンマスペース 0}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% {放物線の準線は$x=-p$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% 放物線の準線は% - \[x=-p\]% +\[x=-p\]% + }% {\relax}% }% @@ -3480,24 +3929,27 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% 楕円は% - \[\bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\]% +\[\bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\]% + と表せられる。% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% {楕円の焦点は$F\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0}$と,$F'\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 楕円の焦点は% - \[F\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0} F'\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0}\]% +\[F\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0} F'\Ttyuukakko{\根号{a^2-b^2}\数式カンマスペース 0}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% {楕円の二つの焦点からの距離の和は$2a$である。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% 楕円の二つの焦点からの距離の和は% - \[2a\]% +\[2a\]% + }% {\relax}% }% @@ -3514,32 +3966,36 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{性質A}\AND\equal{#2}{b}}% {% 双曲線は% - \[\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\]% +\[\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\]% + と表せられる。% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{i}}% {双曲線の焦点は$F\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0}$と,$F'\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質B}\AND\equal{#2}{b}}% {% 双曲線の焦点は% - \[F\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0} F'\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0}\]% +\[F\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0} F'\Ttyuukakko{\根号{a^2+b^2}\数式カンマスペース 0}\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{i}}% {双曲線の二つの焦点からの距離の差は$2a$ }{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質C}\AND\equal{#2}{b}}% {% 双曲線の二つの焦点からの距離の差は% - \[2a\]% +\[2a\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質D}\AND\equal{#2}{i}}% {双曲線の漸近線は$\bunsuu{x}{a}-\bunsuu{y}{b}=0\数式カンマスペース\bunsuu{x}{a}+\bunsuu{y}{b}=0$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{性質D}\AND\equal{#2}{b}}% {% 双曲線の漸近線は% - \[\bunsuu{x}{a}-\bunsuu{y}{b}=0\数式カンマスペース\bunsuu{x}{a}+\bunsuu{y}{b}=0\]% +\[\bunsuu{x}{a}-\bunsuu{y}{b}=0\数式カンマスペース\bunsuu{x}{a}+\bunsuu{y}{b}=0\]% + }% {\relax}% }% @@ -3548,11 +4004,12 @@ \NewDocumentCommand{\連続な関数}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {定義域の$x$の値$a$に関して,$\displaystyle \lim_{x \to a}f\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{a}$のとき,$f\Ttyuukakko{x}$は$x=a$で連続。}{\relax}% + {定義域の$x$の値$a$に関して,$\displaystyle\lim_{x \to a}f\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{a}$のとき,$f\Ttyuukakko{x}$は$x=a$で連続。}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 定義域の$x$の値$a$に関して,% - \[\displaystyle \lim_{x \to a}f\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{a}\]% +\[\displaystyle\lim_{x \to a}f\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{a}\]% + のとき,$f\Ttyuukakko{x}$は$x=a$で連続。% }% {\relax}% @@ -3566,7 +4023,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 閉区間$[a\数式カンマスペース b]$で連続な関数$f\Ttyuukakko{x}$について,$f\Ttyuukakko{a}\neq f\Ttyuukakko{b}$のとき,$f\Ttyuukakko{a}$と$f\Ttyuukakko{b}$の間の任意の実数$k$について,% - \[f\Ttyuukakko{c}=k\]% +\[f\Ttyuukakko{c}=k\]% + となる$c$が少なからず一つ存在する。% }% {\relax}% @@ -3580,7 +4038,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 関数$f\Ttyuukakko{x}$が閉区間$[a\数式カンマスペース b]$で連続,開区間$\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース b}$で微分可能ならば,% - \[\bunsuu{f\Ttyuukakko{b}-f\Ttyuukakko{a}}{b-a}=f'\Ttyuukakko{c} \Ttyuukakko{a<c<b}\]% +\[\bunsuu{f\Ttyuukakko{b}-f\Ttyuukakko{a}}{b-a}=f'\Ttyuukakko{c} \Ttyuukakko{a<c<b}\]% + を満たす$c$が存在する。% }% {\relax}% @@ -3613,34 +4072,35 @@ {$\Ttyuukakko{x^{\alpha}}'=\alpha x^{\alpha-1}$ ($\alpha$は実数)}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% - \[\Ttyuukakko{x^{\alpha}}'=\alpha x^{\alpha-1}\]% +\[\Ttyuukakko{x^{\alpha}}'=\alpha x^{\alpha-1}\]% + $\alpha$は実数% }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式C}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\sin x}'=\cos x$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式C}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\sin x}'=\cos x\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\sin x}'=\cos x\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式D}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\cos x}'=-\sin x$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式D}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\cos x}'=-\sin x\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\cos x}'=-\sin x\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式E}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\tan x}'=\bunsuu{1}{\cos^2x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式E}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\tan x}'=\bunsuu{1}{\cos^2x}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\tan x}'=\bunsuu{1}{\cos^2x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式F}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\log\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式F}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\log\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\log\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式G}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{\log_{a}\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x\log a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式G}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{\log_{a}\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x\log a}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{\log_{a}\Tzettaiti{x}}'=\bunsuu{1}{x\log a}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式H}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{e^{x}}'=e^{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式H}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\Ttyuukakko{e^{x}}'=e^{x}\]}{\relax}% + {\[\Ttyuukakko{e^{x}}'=e^{x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式I}\AND\equal{#2}{i}}% {$\Ttyuukakko{a^{x}}'=a^{x}\log a$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の微分公式I}\AND\equal{#2}{b}}% @@ -3677,13 +4137,15 @@ &=\log e\cdot\bunsuu{1}{x}&\\% &=\bunsuu{1}{x} \end{align*}% - $f\Ttyuukakko{x}=e^{x}$とおく。\par% + $f\Ttyuukakko{x}=e^{x}$とおく。% + \begin{align*}% \Ttyuukakko{e^{x}}'&=\displaystyle\lim_{h \to 0} \bunsuu{e^{x+h}-e^{x}}{h}&\\% &=e^{x}\displaystyle\lim_{h \to 0} \bunsuu{e^{h}-1}{h}% \end{align*}% - ここで$\Ttyuukakko{\log x}'=\bunsuu{1}{x}$より,$y=\log x$の$x=1$においての接線の傾きは$1$であり,$y=\log x$と$y=e^{x}$は$y=x$において対称であるので$y=e^{x}$の$x=0$においての接線の傾きも$1$なので, + ここで$\Ttyuukakko{\log x}'=\bunsuu{1}{x}$より,$y=\log x$の$x=1$においての接線の傾きは$1$であり,$y=\log x$と$y=e^{x}$は$y=x$において対称であるので$y=e^{x}$の$x=0$においての接線の傾きも$1$なので,% \[f'\Ttyuukakko{0}\displaystyle\lim_{h \to 0} \bunsuu{e^{h}-1}{h}=1\]% + よって,% \begin{align*}% \Ttyuukakko{e^{x}}'&=e^{x}\displaystyle\lim_{h \to 0} \bunsuu{e^{h}-1}{h}&\\% @@ -3703,7 +4165,8 @@ \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 曲線$f\Ttyuukakko{x}$上の点$A\Ttyuukakko{a\数式カンマスペース f\Ttyuukakko{a}}$における法線の方程式は,% - \[y-f\Ttyuukakko{a}=-\bunsuu{1}{f'\Ttyuukakko{a}}\Ttyuukakko{x-a}\]% +\[y-f\Ttyuukakko{a}=-\bunsuu{1}{f'\Ttyuukakko{a}}\Ttyuukakko{x-a}\]% + }% {\relax}% }% @@ -3712,71 +4175,79 @@ \NewDocumentCommand{\不定積分}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$とすると,$\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}$}{\relax}% + {$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$とすると,$\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% $F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$とすると,% - \[\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=F\Ttyuukakko{x}+C\text{\ (\,$C$は積分定数)}\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{置換積分}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=\displaystyle \int_{}^{}f\Ttyuukakko{g\Ttyuukakko{t}}g'\Ttyuukakko{t}dt$ ($x=g\Ttyuukakko{t}$に置換)}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{g\Ttyuukakko{t}}g'\Ttyuukakko{t}dt$ ($x=g\Ttyuukakko{t}$に置換)}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{置換積分}\AND\equal{#2}{b}}% {% - \[\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}dx=\displaystyle \int_{}^{}f\Ttyuukakko{g\Ttyuukakko{t}}g'\Ttyuukakko{t}dt\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}dx=\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{g\Ttyuukakko{t}}g'\Ttyuukakko{t}dt\]% + ($x=g\Ttyuukakko{t}$に置換)% }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{部分積分}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}g'\Ttyuukakko{x}dx=f\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}-\displaystyle \int_{}^{}f'\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% + {$\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}g'\Ttyuukakko{x}dx=f\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}-\displaystyle\int_{}^{}f'\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{部分積分}\AND\equal{#2}{b}}% - {\[\displaystyle \int_{}^{} f\Ttyuukakko{x}g'\Ttyuukakko{x}dx=f\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}-\displaystyle \int_{}^{}f'\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% + {\[\displaystyle\int_{}^{}f\Ttyuukakko{x}g'\Ttyuukakko{x}dx=f\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}-\displaystyle\int_{}^{}f'\Ttyuukakko{x}g\Ttyuukakko{x}\]}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式A}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} x^{\alpha}dx=\bunsuu{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}x^{\alpha}dx=\bunsuu{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式A}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} x^{\alpha}dx=\bunsuu{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}x^{\alpha}dx=\bunsuu{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式B}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} \bunsuu{1}{x}dx=\log\Tzettaiti{x}+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}\bunsuu{1}{x}dx=\log\Tzettaiti{x}+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式B}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} \bunsuu{1}{x}dx=\log\Tzettaiti{x}+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}\bunsuu{1}{x}dx=\log\Tzettaiti{x}+C\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式C}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} \sin xdx=-\cos x+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}\sin xdx=-\cos x+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式C}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} \sin xdx=-\cos x+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}\sin xdx=-\cos x+C\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式D}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} \cos xdx=\sin x+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}\cos xdx=\sin x+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式D}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} \cos xdx=\sin x+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}\cos xdx=\sin x+C\]% + }% {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式E}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} e^{x}dx=e^{x}+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}e^{x}dx=e^{x}+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式E}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} e^{x}dx=e^{x}+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}e^{x}dx=e^{x}+C\]% + }% - {\relax}% + {\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式F}\AND\equal{#2}{i}}% - {$C$は積分定数とする。$\displaystyle \int_{}^{} a^{x}dx=\bunsuu{a^{x}}{\log a}+C$}{\relax}% + {$C$は積分定数とする。$\displaystyle\int_{}^{}a^{x}dx=\bunsuu{a^{x}}{\log a}+C$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{初等関数の積分公式F}\AND\equal{#2}{b}}% {% $C$は積分定数とする。% - \[\displaystyle \int_{}^{} a^{x}dx=\bunsuu{a^{x}}{\log a}+C\]% +\[\displaystyle\int_{}^{}a^{x}dx=\bunsuu{a^{x}}{\log a}+C\]% + }% {\relax}% }% @@ -3785,12 +4256,13 @@ \NewDocumentCommand{\定積分}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{i}}% - {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸(間は$a$から$b$)に囲まれた部分の面積$S$について,$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,$S=\displaystyle \int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}$}{\relax}% + {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸(間は$a$から$b$)に囲まれた部分の面積$S$について,$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,$S=\displaystyle\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{定義}\AND\equal{#2}{b}}% {% 曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸(間は$a$から$b$)に囲まれた部分の面積$S$について,$F'\Ttyuukakko{x}=f\Ttyuukakko{x}$のとき,% - \[S=\displaystyle \int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}\]% +\[S=\displaystyle\int_{b}^{a} f\Ttyuukakko{x}dx=[F\Ttyuukakko{x}]^{b}_{a}=F\Ttyuukakko{b}-F\Ttyuukakko{a}\]% + }% {\relax}% }% @@ -3798,13 +4270,15 @@ \NewDocumentCommand{\区分求積法}{ m O{i} }% {% - \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x$ここで,$\mathit{\Delta}x=\bunsuu{b-a}{n}\数式カンマスペース x_{k}=a+k\mathit{\Delta}x$}{\relax}% + \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% + {$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x$ここで,$\mathit{\Delta}x=\bunsuu{b-a}{n}\数式カンマスペース x_{k}=a+k\mathit{\Delta}x$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% - \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x\]% +\[\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f\Ttyuukakko{x_{k}}\mathit{\Delta}x\]% + ここで,% - \[\mathit{\Delta}x=\bunsuu{b-a}{n}\数式カンマスペース x_{k}=a+k\mathit{\Delta}x\]% +\[\mathit{\Delta}x=\bunsuu{b-a}{n}\数式カンマスペース x_{k}=a+k\mathit{\Delta}x\]% + }% {\relax}% }% @@ -3813,11 +4287,12 @@ \NewDocumentCommand{\体積の積分}{ m O{i} }% {% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{i}}% - {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸の間の部分($a\leqq x\leqq b$)を$x$軸の周りに一回転させてできる回転体の体積は,$V=\pi\displaystyle \int_{a}^{b} \Tdaikakko{f\Ttyuukakko{x}}^2dx$}{\relax}% + {曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸の間の部分($a\leqq x\leqq b$)を$x$軸の周りに一回転させてできる回転体の体積は,$V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} \Tdaikakko{f\Ttyuukakko{x}}^2dx$}{\relax}% \ifthenelse{\equal{#1}{公式}\AND\equal{#2}{b}}% {% 曲線$y=f\Ttyuukakko{x}$と$x$軸の間の部分($a\leqq x\leqq b$)を$x$軸の周りに一回転させてできる回転体の体積は,% - \[V=\pi\displaystyle \int_{a}^{b} \Tdaikakko{f\Ttyuukakko{x}}^2dx\]% +\[V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} \Tdaikakko{f\Ttyuukakko{x}}^2dx\]% + }% {\relax}% }%
\ No newline at end of file |