path: root/support/w2latex/EXEMPLES/chap2.rtf

{\rtf1\mac\deff2 {\fonttbl{\f0\fswiss Chicago;}{\f2\froman New York;}{\f3\fswiss Geneva;}{\f4\fmodern Monaco;}{\f6\fdecor London;}{\f8\fdecor San Francisco;}{\f11\fnil Cairo;}{\f12\fnil Los Angeles;}{\f13\fnil Zapf Dingbats;}{\f14\fnil Bookman;}
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\f20\fs20 \sbasedon0\snext4 commentaire;}}{\info{\title chap2.doc}{\author EBM}}\paperw11880\paperh16800\margl1701\margr1701\margt1417\margb1417\deftab709\widowctrl\ftnbj\pgnstart8\linestart8 {\*\nextfile disque dur:chap3.doc}\sectd 
\sbknone\linemod0\linex0\headery1077\footery1077\cols1\colsx709\endnhere {\footer \pard\plain \s243\qc\tqc\tx4320\tqr\tx8640 \f20 \par 
\pard \s243\qc\tqc\tx4320\tqr\tx8640 {\fs20 Calcul formel avec Maple  page }{\fs20 \chpgn }\par 
}\pard\plain \s255\qc\sb240 \b\f20\fs48 Calculer sur des nombres\par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul I. Calculer sur des entiers\par 
\pard\plain \qj \f20 Remarquons que contrairement aux langages de programmation classique, les entiers sont dans Maple de "longueur infinie" : ils ne sont pas limit\'8es en taille (ou plut\'99t la limite est telle que vous ne pour
rez jamais l'atteindre pratiquement.\par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 1.Fonctions utilis\'8ees\par 
\pard\plain \qj \f20 En dehors des op\'8erations \'8evidentes sur les entiers (+,-,*,^) on utilisera les fonctions suivantes de Maple \par 
\pard \qj Calcul de la factorielle:\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?factorial\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   expr ! or factorial (expr)\par 
SYNOPSIS:   \par 
- The factorial operator ``!'' and the function factorial both produce the pro-\par 
  duct of the numbers from 1 to the given argument (if it is a non-negative\par 
  integer)\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
D\'8ecomposition en produits de nombres premiers:\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?ifactor;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   ifactor(n)\par 
   ifactor(n, method)   \par 
PARAMETERS:\par 
   n      - integer or a rational\par 
   method - (optional) name of base method for factoring  \par 
SYNOPSIS:   \par 
- ifactor returns the complete integer factorization of n.\par 
\par 
\pard\plain \qj \f20 Tester si un nombre est premier:\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?isprime;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   isprime(n, iter)\par 
PARAMETERS:\par 
   n    - integer\par 
   iter - (optional) positive integer (default 5) \par 
SYNOPSIS:   \par 
- The function isprime is a probabilistic primality testing routine.  \par 
- It returns false if n is shown to be composite within iter tests and returns\par 
  true otherwise.  If isprime returns true, n is ``very probably'' prime\par 
\par 
\pard\plain \qj \f20 Trouver le n-i\'8fme nombre premier:\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?ithprime\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   ithprime(i)\par 
PARAMETERS:\par 
   i - positive integer\par 
SYNOPSIS:   \par 
- The function ithprime returns the i'th prime number, where the first prime\par 
  number is 2.\par 
\pard\plain \qj \f20 \page Calculer le PCGD et le PPCM de deux entiers\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?igcd;\line ?ilcm;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   igcd(x_1,x_2,...);\par 
   ilcm(x_1,x_2,...);\par 
PARAMETERS:\par 
   x_1,x_2,... - any integers\par 
SYNOPSIS:   \par 
- The function igcd computes the greatest common divisor of an arbitrary number\par 
  of integers.  The function ilcm computes the least common multiple of an\par 
  arbitrary number of integers.\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 2.Exemples d'utilisation\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  2^100;\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                      1267650600228229401496703205376\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  ifactor(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                      100\par 
                                  (2)\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  100!;\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20 933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999\\\par 
932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168640000000000\\\par 
\pard \s3 00000000000000\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  ifactor(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20 {\fs18     97    48    24    16     9     7     5     5     4     3     3     2\par 
 (2)   (3)   (5)   (7)   (11)  (13)  (17)  (19)  (23)  (29)  (31)  (37)\par 
\par 
         2     2     2\par 
     (41)  (43)  (47)  (53) (59) (61) (67) (71) (73) (79) (83) (89) (97)\par 
}\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  ithprime(300);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                    1987\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  isprime(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                    true\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  ifactor(2^(2^5)+1);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                              (641) (6700417)\par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul II. Calculer sur des rationnels\par 
\pard\plain \qj \f20 Les nombres rationnels sont repr\'8esent\'8es dans Maple comme quotient de deux entiers premiers entre eux, Maple se chargeant au besoin de faire les simplifications n\'8ecessaires.\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  1/3 + 2/7;\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                     13\par 
                                   ----\par 
                                    21\par 
\pard\plain \qj \f20 Les nombres rationnels sont automatiquement pr\'8esent\'8es sous forme irr\'8eductible\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  2/8;\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                    1/4\par 
\pard\plain \qj \f20 et les op\'8erations sur les rationnels sont effectu\'8ees automatiquement\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  1/3+1/3+1/3;\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                     1\page \par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  1/10!+3/(2^5+1);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                   3628811\par 
                                 --------\par 
                                 39916800\par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul III. Calculer sur des nombres alg\'8ebriques\par 
\pard\plain \qj \f20 Maple permet \'8egalement de travailler sur des symboles alg\'8ebriques comme la racine carr\'8ee d'un nombre entier ou rationnel (et m\'90me sur une racine symbolique d'un polyn\'99me irr\'8eductible \'88
 coefficients entiers ou rationnels, voir pour cela la signification de la fonction {\b RootOf}).\par 
\pard \qj La racine carr\'8ee utilise la fonction {\b sqrt} , mais son r\'8esultat est automatiquement converti sous forme de puissance fractionnaire.\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?sqrt;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 FUNCTION: sqrt - square root\par 
CALLING SEQUENCE:\par 
   sqrt(x)     \par 
PARAMETERS:\par 
   x - any algebraic expression\par 
SYNOPSIS:   \par 
- The function sqrt forms the square root of its argument x.  It returns the\par 
  square root of integers and polynomials which are perfect squares.  It is\par 
  mapped onto products.\par 
\par 
\pard\plain \qj \f20  \tab Les symboles alg\'8ebriques \'8el\'8ementaires se repr\'8esentent par des puissances fractionnaires ( 3^(1/5)  pour la racine 5-i\'8fme de 3.\par 
\pard \qj \tab Les calculs sur les nombres alg\'8ebriques ne sont pas faits automatiquement et en particulier les produits et les puissances (pour la raison \'8evidente qu'il n'est pas clair que le d\'8e
veloppement d'un produit ou d'une puissance conduise r\'8eellement \'88 une expression plus simple). Pour forcer une d\'8eveloppement on dispose de la fonction {\b expand}:\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?expand\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 CALLING SEQUENCE:\par 
   expand(expr, expr_1, expr_2, . . ., expr_n)\par 
PARAMETERS:\par 
   expr                        - any algebraic expression\par 
   expr_1, expr_2, ..., expr_n - (optional) expressions\par 
SYNOPSIS:   \par 
- The primary application of expand is to distribute products over sums.  This\par 
  is done for all polynomials.  For quotients of polynomials, only sums in the\par 
  numerator are expanded --- products and powers are left alone.\par 
- expand also knows how to expand most of the mathematical functions including\par 
  sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, det, erf, exp, factorial, GAMMA, ln, max,\par 
  min, Psi, binomial, sum, product, int, limit, bernoulli, euler, BesselJ,\par 
  BesselY, BesselI, BesselK, etc.\par 
- The optional arguments expr_1, expr_2, ..., expr_n are used to prevent par-\par 
  ticular sub-expressions in expr (expr_1, expr_2, ..., expr_n) from being\par 
  expanded. \par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  expand((sqrt(3)-1)^6);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                          1/2\par 
                              208 - 120 3\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  expand((2^(1/5)-1)^5);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                         4/5       3/5       2/5      1/5\par 
                 1 - 5 2    + 10 2    - 10 2    + 5 2\par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul IV. Calculer sur des r\'8eels\par 
\pard\plain \qj \f20 Un r\'8eel Maple peut aussi bien \'90tre une expression symbolique que son approximation en virgule flottante.\par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 1.Fonctions classiques \par 
\pard\plain \qj \f20 Maple dispose de toute une gamme de fonctions classiques. La plupart de ces fonctions sont en g\'8en\'8eral non \'8evalu\'8ees et leur r\'8esultat reste sous forme symbolique (comme {\b sin(1)}), sauf quand leur r\'8esultat poss\'8f
de une simplification naturelle (comme {\b sin(0)}, {\b sin(Pi)}, {\b abs(-sqrt(3))}), o\'9d lorsque le pazram\'8ftre qui leur est pass\'8e est d\'8ej\'88 une approximation en virgule flottante (comme  {\b sin(1.5)}
). Dans ce dernier cas, Maple retourne une approximation en virgule flottante du r\'8esultat.\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20     abs       - absolute value of real or complex argument\par 
    bernoulli - Bernoulli numbers and polynomials\par 
    BesselI   - modified Bessel function of the first kind I(v,x)\par 
    BesselJ   - Bessel function of the first kind J(v,x)\par 
    BesselK   - modified Bessel function of the second kind K(v,x)\par 
    BesselY   - Bessel function of the second kind Y(v,x)\par 
    Beta      - Beta function:  Beta(x,y) = GAMMA(x)*GAMMA(y)/GAMMA(x+y)\par 
     binomial  - binomial coefficients:  binomial(n,r) = n!/(r!*(n-r)!)\par 
    Ci        - cosine integral = gamma + ln(x) + int( (cos(t) 1)/t, t=0..x)\par 
    dilog     - dilogarithm integral = int( ln(t)/(1-t), t=1..x )\par 
    Ei        - exponential integral = int( exp(t)/t, t= -infinity..x )\par 
    erf       - error function = 2/sqrt(Pi) * int( exp(-t^2), t=0..x )\par 
    erfc      - complementary error function = 1-erf(x)\par 
     exp       - the exponential function:  exp(x) = sum(x^i/i!,i=0..infinity)\par 
    factorial - the factorial function factorial(n) = n!\par 
   GAMMA     - the gamma function\par 
                     GAMMA(z) = int( exp(-t)*t^(z-1), t=0..infinity )\par 
                  and the incomplete Gamma function\par 
                     GAMMA(a,x) = int( exp(-t)*t^(a-1), t=x..infinity )\par 
    ln        - natural logarithm (logarithm with base E = 2.71828...)\par 
    lnGAMMA   - ln of the gamma function\par 
    log       - initially assigned the name ln. Typically, the user assigns to\par 
                  this a function that computes logarithms to some other base.\par 
    log10     - log to the base 10\par 
    Psi       - polygamma function  Psi(x) = diff( ln(GAMMA(x)), x )  and\par 
                   its derivatives  Psi(n,x) = diff(Psi(x),x$n)\par 
    signum    - sign of a complex argument signum(z) = z/abs(z)\par 
    Si        - sine integral = int( sin(t)/t, t=0..x )\par 
    W         - the function satisfying  W(x) * exp(W(x)) = x\par 
    Zeta      - Riemann zeta function  Zeta(s) = sum(1/i^s,i=1..infinity)\par 
                  and its derivatives  Zeta(n,s) = diff(Zeta(s),s$n)  and with\par 
                  three arguments  Zeta(n,s,q) = diff(Zeta(0,s,q),s$n)  where\par 
                  Zeta(0,s,q) = sum(1/(i+q)^s,i=1..infinity)   \par 
- The trigonometric and hyperbolic functions:\par 
       sin, cos, tan, sec, csc, cot, sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth  \par 
- The inverse trigonometric and inverse hyperbolic functions:\par 
       arcsin, arccos, arctan, arcsec, arccsc, arccot, arctan,\par 
       arcsinh, arccosh, arctanh, arcsech, arccsch, arccoth\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 2.Evaluation des r\'8eels en virgule flottante\par 
\pard\plain \qj \f20 Il est essentiel de distinguer dans tout logiciel de calcul formel, l'objet math\'8ematique nombre r\'8e
el (par exemple sin(1)) de ses approximations en virgule flottante qui ressemblent aux types real ou float des langages de programmation classiques (comme 0.8414709848\'c9). \par 
\tab Les approximations de nombres r\'8eels en virgule flottante s'\'8ecrivent de mani\'8fre classique (voir aussi en cas de besoin la signification de la fonction {\b Float}). Comme pour les nombres entiers et contrairement \'88
 d'autres langages de programmation, leur taille n'est pas limit\'8ee aussi bien en ce qui concerne le nombre de chiffres avant la virgule que celui apr\'8fs la virgule (ce dernier ayant une valeur par d\'8efauts contenu dans la variable Maple {\b Digits}
 dont on peut modifier la valeur). Pour ces approximations on dispose d'une fonction d'\'8evaluation en virgule flottante \'88 une pr\'8ecision arbitraire.\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?evalf;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 FUNCTION: evalf - evaluate using floating-point arithmetic\par 
CALLING SEQUENCE:\par 
   evalf(expr, n)\par 
PARAMETERS:\par 
   expr - any expression\par 
   n    - (optional) integer specifying number of digits\par 
SYNOPSIS:   \par 
- evalf evaluates to floating-point numbers expressions (or subexpressions)\par 
  involving constants such as Pi, E, gamma, and functions such as exp, ln, sin,\par 
  arctan, cosh, GAMMA, erf. \par 
- The accuracy of the result is determined by the value of the global variable\par 
  Digits. By default the results will be computed using 10-digit floating-point\par 
  arithmetic, since the initial value of Digits is 10. A user can change the\par 
  value of Digits to any positive integer.\par 
- If a second parameter, n, is present the result will be computed using\par 
  n-digit floating-point arithmetic.\par 
\par 
\pard\plain \qj \f20 Remarquez le r\'99le important de la variable globale {\b Digits} qui fixe la pr\'8ecision des calculs en virgule flottante\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 Digits        number of digits carried in floats (default is 10)\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(sin(1));\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                .8414709848\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(sin(1),35);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                    .84147098480789650665250232163029900\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(Pi,35);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                    3.1415926535897932384626433832795029\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(2/7,15);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                              .285714285714286\par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 3.Evaluations exactes et \'8evaluations en virgules flottantes\par 
\pard\plain \qj \f20 Comparer les calculs suivants\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  sin(1);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                   sin(1)\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  sin(1.0);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                .8414709848\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(sin(1))-sin(1.0);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                     0\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  sin(Pi);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                     0\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  sin(evalf(Pi));\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                            -9\par 
                            -.4102068570*10\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  GAMMA(0.5)-evalf(sqrt(Pi));\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                     0\par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul VI.Calculer sur des complexes\par 
\pard\plain \qj \f20 Un nombre complexe s'\'8ecrit sous la forme   a + b*I. Les calculs sur les nombres complexes s'effectuent de mani\'8fre classique\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?I;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 complex number such that I^2 = 1.  The name I is an alias to the radical (-1)^(1/2).\par 
\pard\plain \qj \f20 Les calculs de somme se font automatiquement. Suivant la version de Maple que vous utilisez, les calculs de produit et de puissances peuvent \'90tre faits automatiquement (version V release 2) ou demander l'appel de la fonction d'\'8e
valuation complexe {\b evalc}.\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  (2+3*I)*(4+5*I);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                            (2 + 3 I) (4 + 5 I)\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 ?evalc;\par 
\pard\plain \s4\qj\li1120 \f20\fs20 FUNCTION: evalc - evaluate in the complex number field   \par 
CALLING SEQUENCE:\par 
   evalc(expr)  \par 
PARAMETERS:\par 
   expr - any expression   \par 
SYNOPSIS:   \par 
- This function is for evaluating and simplifying complex numbers.  evalc attempts to split an expression into its real and imaginary components.\par 
- When possible, the result of evalc will be in the canonical form\par 
  expr_1 + expr_2 * I involving the symbol I, which is an alias for sqrt(-1).\par 
- When evalc encounters an unevaluated function call (e.g.  f(1+I) where f is not defined) then it will attempt to\par 
  put the arguments in the above canonical form.\par 
- evalc(Re(expr)) and evalc(Im(expr)) return the real and imaginary parts of an expression.\par 
- To find the complex conjugate of an expression use evalc(conjugate(expr)).\par 
- A complex number may be represented to evalc as polar(r,theta) where r is the modulus and theta is the argument of the number.\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalc(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                 - 7 + 22 I\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
Les fonctions rencontr\'8ees dans le domaine r\'8eel sont \'8egalement d\'8efinies dans le domaine complexe (pour certaines fonctions "multivalu\'8ees", une d\'8etermination principale est utilis\'8ee). Leur \'8e
valuation demande dans toutes les versions l'emploi de la fonction {\b evalc} pour des raisons \'8evidentes: quelle est l'expression la plus simple entre les deux lignes qui suivent , cos(2+3i) ou  cos(2) cosh(3) - i sin(2) sinh(3) ?\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalc(cos(2+3*I));\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                     cos(2) cosh(3) - sin(2) sinh(3) I\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                        - 4.189625692 - 9.109227896 I\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  arcsin(2);\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                 arcsin(2)\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalc(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                                           1/2\par 
                         1/2 Pi + ln(2 + 3   ) I\par 
\pard\plain \s2\sb120\keep\keepn \b\f22 \bullet  evalf(");\par 
\pard\plain \s3 \f22\fs20                        1.570796327 + 1.316957897 I\par 
\pard\plain \qj \f20 \par 
\pard\plain \s254\qj\sb200\sa140 \b\f20\fs36\ul VII. Exercices\par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 Exercice 1\par 
\pard\plain \qj \f20 \tab Le nombre exp(\'b9 \'c3163/3) est-il un entier?\par 
\pard\plain \s253\qj\li354\sb120\sa80 \b\f20 Exercice 2\par 
\pard\plain \qj \f20 \tab Montrer que \'c3(286+2\'c319549) = \'c3113 + \'c3173\par 
}