summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex
blob: 299b799b1f00bf60aa1f88a977380ada46e3f9c1 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
\documentclass[twoside,a4paper,leqno,11pt]{book}
\usepackage[greek]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

\usepackage{srcltx}

\usepackage{latexsym} 

\usepackage{amsmath}

\usepackage{amssymb} 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Πρόταση}
\newtheorem{application}[theorem]{Εφαρμογή}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Πόρισμα}
\newtheorem{definition}[theorem]{Ορισμός}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Άσκηση}
\newtheorem{example}[theorem]{Παράδειγμα}
\newtheorem{examples}[theorem]{Παραδείγματα}
\newtheorem{problem}[theorem]{Πρόβλημα}
\newtheorem{remark}[theorem]{Παρατήρηση}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Παρατηρήσεις}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\textbf{Απειροστικός Λογισμός ΙΙ}
\textbf{Πρόχειρες Σημειώσεις}
\textbf{Τμήμα Μαθηματικών}
\textbf{Πανεπιστήμιο Αθηνών}
\textbf{2010--11}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Υπακολουθίες}

\begin{definition} \upshape Έστω $(a_n)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών.
Η ακολουθία $(b_n)$ λέγεται \textit{υπακολουθία} της $(a_n)$ αν υπάρχει
γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών $k_1 < k_2< \cdots < k_n <
k_{n+1}<\cdots $ ώστε
$$b_n = a_{k_n}\;\hbox{ για κάθε }\;n \in {\mathbb N}.\leqno (1.1.1)$$
Με άλλα λόγια, οι όροι της $(b_n)$ είναι οι $a_{k_1}, a_{k_2},
\ldots, a_{k_n}, \ldots $, όπου $k_1 < k_2< \cdots < k_n <
k_{n+1}<\cdots$. Γενικά, μια ακολουθία έχει πολλές (συνήθως άπειρες
το πλήθος) διαφορετικές υπακολουθίες.
\end{definition}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Σειρές πραγματικών αριθμών}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Σύγκλιση σειράς}

\begin{definition} \upshape Έστω $(a_k)$ μια ακολουθία πραγματικών
αριθμών. Θεωρούμε την ακολουθία $$s_n=a_1+\cdots +a_n.\leqno
(2.1.1)$$ Δηλαδή,
$$s_1=a_1,\  s_2=a_1+a_2,\  s_3=a_1+a_2+a_3,\  \ldots \leqno (2.1.2)$$
Το σύμβολο $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ είναι η \textit{σειρά} με
$k$-οστό όρο τον $a_k$. Το άθροισμα $s_n=\sum_{k=1}^na_k$
είναι το \textit{$n$-οστό μερικό άθροισμα} της σειράς
$\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ και η $(s_n)$ είναι η {\it
ακολουθία των μερικών αθροισμάτων} της σειράς $ \sum_{k =
1}^{\infty }a_k$.

Αν η $(s_n)$ συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό $s$, τότε
γράφουμε
$$s = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\  \hbox{ή}\  s=\sum_{k=1}^{\infty }a_k\leqno (2.1.3)$$
και λέμε ότι η σειρά \textit{συγκλίνει} (στο $s$), το δε όριο
$s=\lim_{n\to\infty }s_n$ είναι το \textit{άθροισμα} της σειράς.
\end{definition}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Ολοκλήρωμα \textlatin{Riemann}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Ο ορισμός του \textlatin{Darboux}}

Σε αυτήν την παράγραφο δίνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος
\textlatin{Riemann} για \textbf{φραγμένες} συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα
κλειστό διάστημα. Για μια φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb
R}$ με μη αρνητικές τιμές, θα θέλαμε το ολοκλήρωμα να δίνει το
εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο γράφημα της
συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα $y=0$ και τις κατακόρυφες ευθείες
$x=a$ και $x=b$.

\begin{definition} \upshape (α) Έστω $[a,b]$ ένα κλειστό διάστημα.
\textbf{Διαμέριση} του $[a,b]$ θα λέμε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο
$$P
=\{ x_0,x_1,\ldots ,x_n\}\leqno (4.1.1)$$ του $[a,b]$ με $x_0=a$
και $x_n=b$. Θα υποθέτουμε πάντα ότι τα $x_k\in P $ είναι
διατεταγμένα ως εξής:
$$a=x_0<x_1<\cdots <x_k<x_{k+1}<\cdots <x_n=b.\leqno (4.1.2)$$
Θα γράφουμε
$$P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}\leqno (4.1.3)$$ για να τονίσουμε αυτήν
ακριβώς τη διάταξη. Παρατηρήστε ότι από τον ορισμό, κάθε διαμέριση
$ P $ του $[a,b]$ περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία: το $a$ και το
$b$ (τα άκρα του $[a,b]$).



 (β) Κάθε διαμέριση $ P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}$
χωρίζει το $[a,b]$ σε $n$ υποδιαστήματα $[x_k,x_{k+1}]$,
$k=0,1,\ldots ,n-1$. Ονομάζουμε \textbf{πλάτος} της διαμέρισης $ P $
το μεγαλύτερο από τα μήκη αυτών των υποδιαστημάτων. Δηλαδή, το
πλάτος της διαμέρισης ισούται με
$$\| P\|:=\max\{ x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots ,x_n-x_{n-1}\}.\leqno (4.1.4)$$
Παρατηρήστε ότι δεν απαιτούμε να ισαπέχουν τα $x_k$ (τα $n$
υποδιαστήματα δεν έχουν απαραίτητα το ίδιο μήκος).



 (γ) Η διαμέριση $ P_1$ λέγεται \textbf{εκλέπτυνση} της $ P
$ αν $ P \subseteq P_1$, δηλαδή αν η $P_1$ προκύπτει από την $ P $
με την προσθήκη κάποιων (πεπερασμένων το πλήθος) σημείων. Σε αυτήν
την περίπτωση λέμε επίσης ότι η $ P_1$ είναι \textit{λεπτότερη} από
την $ P $.



 (δ) Έστω $ P_1, P_2$ δύο διαμερίσεις του $[a,b]$. Η 
\textbf{κοινή εκλέπτυνση} των $ P_1, P_2$ είναι η διαμέριση $ P = P_1\cup
P_2$. Εύκολα βλέπουμε ότι η $ P $ είναι διαμέριση του $[a,b]$ και
ότι αν $ P^{\prime }$ είναι μια διαμέριση λεπτότερη τόσο από την $
P_1$ όσο και από την $ P_2$ τότε $ P^{\prime }\supseteq P $
(δηλαδή, η $ P = P_1\cup P_2$ είναι η μικρότερη δυνατή διαμέριση
του $[a,b]$ που εκλεπτύνει ταυτόχρονα την $ P_1$ και την $ P_2$).
\end{definition}


\section{Ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}}

Σε αυτή την παράγραφο αποδεικνύουμε αυστηρά μερικές από τις πιο
βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}. Οι αποδείξεις
των υπολοίπων είναι μια καλή άσκηση που θα σας βοηθήσει να
εξοικειωθείτε με τις διαμερίσεις, τα άνω και κάτω αθροίσματα κλπ.

\begin{theorem}
Αν $f(x)=c$ για κάθε $x\in [a,b]$, τότε
$$\int_a^bf(x)dx =c(b-a).\leqno (4.4.1)$$
\end{theorem}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Τεχνικές ολοκλήρωσης}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουμε, χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα, τις
βασικές μεθόδους υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Δίνεται μια συνάρτηση
$f$ και θέλουμε να βρούμε μια αντιπαράγωγο της $f$, δηλαδή μια
συνάρτηση $F$ με την ιδιότητα $F^{\prime }=f$. Τότε,
$$\int f(x)dx =F(x)+c.$$

\section{Ολοκλήρωση με αντικατάσταση}

\subsection{Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωμάτων}

Κάθε τύπος παραγώγισης $F^{\prime }(x)=f(x)$ μας δίνει έναν τύπο
ολοκλήρωσης: η $F$ είναι αντιπαράγωγος της $f$. Μπορούμε έτσι να
δημιουργήσουμε έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων, αντιστρέφοντας
τους τύπους παραγώγισης των πιο βασικών συναρτήσεων:
\begin{eqnarray*}
\int x^adx =\frac{x^{a+1}}{a+1},\qquad a\neq -1, &&
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +c\\
\int e^xdx = e^x+c, &&
\int\sin x\,dx = -\cos x+c\\
\int\cos x\,dx = \sin x+c, &&
\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx = \tan x+c\\
\int\frac{1}{\sin^2x}\,dx = -\cot x+c , &&
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x+c\\
\int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x+c. &&
\end{eqnarray*}


\section{Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων}

Σε αυτή την παράγραφο περιγράφουμε μια μέθοδο με την οποία μπορεί
κανείς να υπολογίσει το αόριστο ολοκλήρωμα οποιασδήποτε ρητής
συνάρτησης
$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots
+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_1x+b_0}.\leqno (6.3.1)$$
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι μπορούμε πάντα να υποθέτουμε ότι $n<m$.
Αν ο βαθμός $n$ του αριθμητή $p(x)$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον
βαθμό $m$ του παρονομαστή $q(x)$, τότε διαιρούμε το $p(x)$ με το
$q(x)$: υπάρχουν πολυώνυμα $\pi (x)$ και $\upsilon (x)$ ώστε ο
βαθμός του $\upsilon (x)$ να είναι μικρότερος από $m$ και $$p(x)=\pi
(x)q(x)+\upsilon (x).\leqno (6.3.2)$$ Τότε,
$$f(x)=\frac{\pi (x)q(x)+\upsilon (x)}{q(x)}=\pi (x)+\frac{\upsilon
(x)}{q(x)}.\leqno (6.3.3)$$ Συνεπώς, για τον υπολογισμό του $\int
f(x)\,dx$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε χωριστά το $\int \pi
(x)\,dx$ (απλό ολοκλήρωμα πολυωνυμικής συνάρτησης) και το
$\int\frac{\upsilon (x)}{q(x)}\,dx$ (ρητή συνάρτηση με την πρόσθετη
ιδιότητα ότι $\mathrm{deg}(\upsilon )<\mathrm{deg}(q)$).

Υποθέτουμε λοιπόν στη συνέχεια ότι $f=p/q$ και $\mathrm{deg}(p)<
\mathrm{deg}(q)$. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι $a_n=b_m=1$.
Χρησιμοποιούμε τώρα το γεγονός ότι κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε
γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων όρων. Το $q(x)=x^m+\cdots
+b_1x+b_0$ γράφεται στη μορφή
$$q(x)=(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots
(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots
(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}.\leqno (6.3.4)$$ Οι $\alpha_1,\ldots
,\alpha_k$ είναι οι πραγματικές ρίζες του $q(x)$ (και $r_j$ είναι η
πολλαπλότητα της ρίζας $\alpha_j$) ενώ οι όροι
$x^2+\beta_ix+\gamma_i$ είναι τα γινόμενα
$(x-z_i)(x-\overline{z_i})$ όπου $z_i$ οι μιγαδικές ρίζες του $q(x)$
(και $s_i$ είναι η πολλαπλότητα της ρίζας $z_i$). Παρατηρήστε ότι
κάθε όρος της μορφής $x^2+\beta_ix+\gamma_i$ έχει αρνητική
διακρίνουσα. Επίσης, οι $k,s\geq 0$ και $r_1+\cdots +r_k+2s_1+\cdots
+2s_l=m$ (ο βαθμός του $q(x)$).

Γράφουμε την $f(x)$ στη μορφή
$$f(x)=\frac{x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0}{(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots
(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots
(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}},\leqno (6.3.5)$$ και την ((αναλύουμε
σε απλά κλάσματα)): υπάρχουν συντελεστές $A_{jt}$,
$B_{it},\Gamma_{it}$ ώστε
\begin{eqnarray*}
f(x) &=&
\frac{A_{11}}{x-\alpha_1}+\frac{A_{12}}{(x-\alpha_1)^2}+\cdots
+\frac{A_{1r_1}}{(x-\alpha_1)^{r_1}}\\
&& +\cdots \\
&& +\frac{A_{k1}}{x-\alpha_k}+\frac{A_{k2}}{(x-\alpha_k)^2}+\cdots
+\frac{A_{kr_1}}{(x-\alpha_k)^{r_k}}\\
&&
+\frac{B_{11}x+\Gamma_{11}}{x^2+\beta_1x+\gamma_1}+\frac{B_{12}x+\Gamma_{12}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^2}+\cdots
+\frac{B_{1s_1}x+\Gamma_{1s_1}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}}\\
&& +\cdots \\
&&
+\frac{B_{l1}x+\Gamma_{l1}}{x^2+\beta_lx+\gamma_l}+\frac{B_{l2}x+\Gamma_{l2}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^2}+\cdots
+\frac{B_{ls_1}x+\Gamma_{ls_l}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}}.
\end{eqnarray*}


\end{document}