summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/info/lshort/slovenian/src/math.tex
blob: a9ba96c0074ac737afa4333ed99a4e4e93ad58c2 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex,v 1.2 2003/03/19 20:57:46 oetiker Exp $
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\chapter{Stavljenje matematičnih formul}

\begin{intro}
  Sedaj ste pripravljeni! V tem poglavju se bomo lotili najmočnejšega orožja v
  \TeX{}u: stavljenja matematičnih tekstov. Naj vas opozorim, da se v poglavju
  snovi le na grobo dotaknemo. Stvari, ki so omenjene, bodo 
  zadoščale večini ljudi, če pa med njimi ne najdete rešitve
  za vaš problem stavljenja matematičnega teksta, ne obupajte.
  Obstaja velika verjetnost, da je vaš problem obdelan v 
  paketu \AmS-\LaTeX{}.%
  \footnote{Ameriško matematično društvo (\emph{American Mathematical Society})
  je pripravilo močno nadgradnjo \LaTeX{}a. Številni primeri 
  v tem poglavju so bili narejeni s pomočjo te razširitve.
  V zadnjem času je vključena v vse distribucije 
  \TeX{}a. Če jo vseeno pogrešate, jo lahko naložite na \CTANref|macros/latex/required/amslatex|.}
\end{intro}
 
\section{Uvod}

\LaTeX{} ima poseben način za stavljenje \wii{matematični izrazi}{matematičnih izrazov}.
Matematični tekst lahko 
znotraj odstavka vnesemo v t.i.~\emph{vrstičnem načinu} med \ci{(}
in \ci{)}, \index{$@\texttt{\$}} %$
med \texttt{\$} in \texttt{\$} ali med %}
\verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| in \verb|\end{math}|.\index{formule}
Vsi trije načini so ekvivalentni.
\begin{example}
Vsota $a$ na kvadrat in $b$ na 
kvadrat je $c$ na kvadrat. Oziroma, 
če zapišemo bolj matematično:
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\).
\end{example}
\begin{example}
\TeX{} se izgovarja kot
$\tau\epsilon\chi$.\\[6pt]
100~m$^{3}$ vode.\\[6pt]
To prihaja iz mojega $\heartsuit$.
\end{example}

Večje matematične enačbe oziroma formule lahko ločimo od preostanka
odstavka tako, da jih 
\emph{prikažemo} namesto, da jih pišemo med tekstom. To naredimo tako,
da izraz pišemo v t.i. \emph{prikaznem načinu} med
\ci{[} in \ci{]}, med \verb|$$| in \verb|$$| ali pa med 
\verb|\begin{|\ei{displaymath}\verb|}| in
  \verb|\end{displaymath}|. Vsi trije načini so ekvivalentni. 
\begin{example}
Vsota $a$ na kvadrat in $b$ na 
kvadrat je $c$ na kvadrat. Oziroma, 
če zapišemo bolj matematično:
\begin{displaymath}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
\end{displaymath}
Pišemo lahko tudi $$a+b=c.$$
\end{example}

Če želimo, da \LaTeX{} oštevilči enačbe, uporabimo okolje \ei{equation}.
Potem lahko z \ci{label} poimenujemo enačbo in se nato
sklicujemo nanjo drugje v dokumentu z uporabo 
ukaza \ci{ref} ali \ci{eqref} iz paketa \pai{amsmath}, ki avtomatično
da oznako med oklepaje:
\begin{example}
\begin{equation} \label{eq:eps}
\epsilon > 0
\end{equation}
Iz (\ref{eq:eps}), sledi 
\ldots{}S pomočjo \eqref{eq:eps}
lahko naredimo isto.
\end{example}

Bodite pozorni na to, da se izraz stavi drugače v prikaznem kot v 
vrstičnem načinu:
\begin{example}
$\lim_{n \to \infty} 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} 
= \frac{\pi^2}{6}$
\end{example}
\begin{example}
\begin{displaymath}
\lim_{n \to \infty} 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}
\end{displaymath}
\end{example}

Obstajajo razlike med \emph{matematičnim načinom} in \emph{tekstovnim načinom}. 
V matematičnem načinu tako npr. velja: 

\begin{enumerate}

\item Večina presledkov in prelomov vrstic nima nobenega pomena. Vsi presledki sledijo ali 
iz matematičnih izrazov ali pa je zanje potrebno uporabiti posebne ukaze, kot so npr.
\ci{,}, \ci{quad} ali \ci{qquad}.
 
\item Prazne vrstice niso dovoljene. Formula ne more biti sestavljena iz več odstavkov.

\item Vsaka črka se obravnava kot ime spremenljivke in se tako tudi stavi v ustrezni pisavi.
Če želimo v matematičnem načinu v formuli pisati normalen tekst (normalna pokončna 
pisava z normalnimi presledki), potem je potrebno tak tekst vnesti s pomočjo ukaza
\verb|\textrm{...}|  (poglejte tudi razdelek \ref{sec:fontsz} na strani \pageref{sec:fontsz}).

\item Če želimo kot spremenljivke uporabljati šumnike oz.~druge črke z akcenti, potem
  moramo v matematičnem načinu uporabljati matematične akcente. Namesto 
  \verb|\v{c}| moramo tako pisati \verb|\check{c}|.
\end{enumerate}
\begin{example}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{example}
\begin{example}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{za vsak }x\in\mathbf{R}
\end{equation}
\end{example}
\begin{example}
\begin{equation}
a+b+c+\check{c}+d=e
\end{equation}
\end{example}

%
% Add AMSSYB Package ... Blackboard bold .... R for realnumbers
%
Matematiki so lahko zelo sitni glede simbolov, ki naj se jih uporablja.
Lep primer sta simbola za realna in kompleksna števila. Dogovor je,
da naj se uporabljajo krepki simboli dobljeni z ukazom 
\ci{mathbb} iz paketa \pai{amsfonts} ali \pai{amssymb}.
\ifx\mathbb\undefined\else
Predzadnji primer se tako spremeni v 
\begin{example}
\begin{displaymath}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{za vsak }x\in\mathbb{R}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi


\section{Združevanje v matematičnem načinu}

Ukazi v \LaTeX{}u, ki potrebujejo argument, pričakujejo, da je argument
med zavitimi oklepaji, sicer pa kot argument vzamejo prvo naslednjo črko.
To velja tudi v matematičnem načinu, kjer večina ukazov deluje le na naslednjem znaku.
Če želimo, da ukaz deluje na več znakih skupaj, jih združimo tako, da jih damo 
med zavite oklepaje: \verb|{...}|.
\begin{example}
\begin{equation}
a^x+y \neq a^{x+y}
\end{equation}
\end{example}

\section{Osnovni gradniki matematičnih formul}

V tem razdelku bomo opisali najpomembnejše ukaze za stavljenje matematičnih 
izrazov. Za podroben seznam vseh ukazov si poglejte razdelek~\ref{symbols} na 
strani~\pageref{symbols}.

\textbf{Male \wi{grške črke}} vnašamo kot \verb|\alpha|,
 \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, velike grške črke pa kot
\verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{Pri velikih črkah imamo le tiste, 
  ki se razlikujejo od latinskih, zato v \LaTeXe{} ni velikega Alpha, saj je to kar veliki A. 
  Stvari se bodo spremenile, ko bo pripravljeno novo kodiranje matematičnih znakov.} 
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$
\end{example}
%\enlargethispage{\baselineskip}
%\pagebreak[4]

\textbf{Potence in indekse} vnašamo s pomočjo znakov \index{potenca}\index{indeks}
\verb|^|\index{^@\verb"|^"|} in \verb|_|\index{_@\verb"|_"|}.
\begin{example}
$a_{1}$ \qquad $x^{2}$ \qquad
$e^{-\alpha t}$ \qquad
$a^{3}_{ij}$\\
$e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}

\textbf{Kvadratni koren}\index{koren} vnesemo kot \ci{sqrt}, $n$-ti koren 
pa z ukazom \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. Velikost znaka za koren avtomatično določi 
\LaTeX. Če potrebujemo le znak za koren, uporabimo \verb|\surd|.
\begin{example}
$\sqrt{x}$ \qquad 
$\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }$ 
\qquad $\sqrt[3]{2}$\\[3pt]
$\surd[x^2 + y^2]$
\end{example}

Ukaza \ci{overline} in \ci{underline} naredita \textbf{vodoravno črto} nad oziroma pod izrazom.
\index{vodoravna!črta}
\begin{example}
$\overline{m+n}$ in 
$\underline{a+b}$
\end{example}

Ukaza \ci{overbrace} in \ci{underbrace} naredita \textbf{vodoravni zaviti oklepaj}, ki združuje elemente izraza,
nad oziroma pod izrazom. Zaviti oklepaj lahko po želji dodatno opremimo z indekom.
\index{vodoravni!zaviti oklepaj}
\begin{example}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$ 
in 
$\overbrace{ 1+1+\cdots+1 }^{17}$
\end{example}

\index{matematični!akcenti} Če želimo znakom dodati matematične akcente, kot 
sta npr.~puščica za vektorje in tilda, potem uporabimo ukaze, ki
so podani v tabeli~\ref{mathacc} na strani \pageref{mathacc}. Strešice in tilde, ki se raztezajo čez več znakov, 
dobimo z ukazoma \ci{widehat} in \ci{widetilde}. Znak \verb|'|\index{'@\verb"|'"|} uporabljamo za
\wi{odvod} oz. za spremenljivke ">s črtico"<.
% a dash is --
\begin{example}
\begin{displaymath}
y=x^{2}\qquad y'=2x\qquad y''=2
\end{displaymath}
\end{example}

\textbf{Vektorje}\index{vektor} običajno pišemo tako, da nad izrazom pišemo \index{puščica}puščico.
Za to imamo na voljo ukaz \ci{vec}. Ukaza \ci{overrightarrow} in
\ci{overleftarrow} prideta v poštev za daljše izraze, kot je npr. vektor, ki gre od točke $A$ do $B$.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\vec a\quad\overrightarrow{AB}
\end{displaymath}
\end{example}


Pri množenju ponavadi ne pišemo pike med izrazoma. V nekaterih primerih pa je 
to vseeno potrebno, da se bralec lažje znajde. Tedaj uporabimo ukaz \ci{cdot}
\begin{example}
\begin{displaymath}
v = {\sigma}_1 \cdot {\sigma}_2
    {\tau}_1 \cdot {\tau}_2
\end{displaymath}
\end{example}


Imena funkcij, kot so logaritem, sinus, \ldots, ponavadi pišemo v pokončni pisavi in ne poševno kot 
spremenljivke. Zato ima \LaTeX{} naslednje ukaze za večino najpomembnejših matematičnih funkcij:
\index{matematične!funkcije}\vspace{1em}

\begin{tabular}{lllllll}
\ci{arccos} &  \ci{cos}  &  \ci{csc} &  \ci{exp} &  \ci{ker}    & \ci{limsup} & \ci{min} \\
\ci{arcsin} &  \ci{cosh} &  \ci{deg} &  \ci{gcd} &  \ci{lg}     & \ci{ln}     & \ci{Pr}  \\
\ci{arctan} &  \ci{cot}  &  \ci{det} &  \ci{hom} &  \ci{lim}    & \ci{log}    & \ci{sec} \\
\ci{arg}    &  \ci{coth} &  \ci{dim} &  \ci{inf} &  \ci{liminf} & \ci{max}    & \ci{sin} \\
\ci{sinh} & \ci{sup} & \ci{tan} & \ci{tanh}\\
\end{tabular}

\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}

Za \index{modulska funkcija}modulsko funkcijo imamo dva ukaza : \ci{bmod} za binarni operator
">$a \bmod b$"< in \ci{pmod}
za izraze kot npr. ">$x\equiv a \pmod{b}$."<

\textbf{Ulomke} pišemo z ukazom \ci{frac}\verb|{...}{...}|.
Pogosto v tekstovnem načinu za ulomke uporabimo kar obliko $1/2$ namesto 
$\frac{1}{2}$, saj zgleda lepše.
\begin{example}
$1\frac{1}{2}$~ura
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\qquad
x^{ \frac{2}{k+1} }\qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{example}

Za binomske koeficiente in podobne strukture imamo na voljo ukaza
\verb|{... |\ci{choose}\verb| ...}| in \verb|{... |\ci{atop}\verb| ...}|. 
Drugi ukaz vrne podoben rezultat kot prvi, le 
brez oklepajev.\footnote{Uporaba teh starih izrazov je prepovedana v paketu 
\pai{amsmath}, kjer sta nadomeščena z \ci{binom} in \ci{genfrac}.}

\begin{example}
\begin{displaymath}
{n \choose k}\qquad {x \atop y+2}
\end{displaymath}
\end{example}

Pri binarnih relacijah je pomembno znati postaviti izraze drug na drugega. Ukaz
\ci{stackrel} postavi podani prvi argument v velikosti enaki velikosti potenc na
drugi argument, ki je v normalni velikosti.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\int f_N(x) \stackrel{!}{=} 1
\end{displaymath}
\end{example}

Znak za \textbf{\wi{integral}} dobimo z \ci{int}, za 
\textbf{\wii{vsota}{vsoto}} s \ci{sum} in za \textbf{\wi{produkt}}
s \ci{prod}. Zgornjo in spodnjo mejo podamo z~\verb|^| in~\verb|_|, tako 
kot potence in indekse.\footnote{\AmS-\LaTeX{} pozna tudi zgornje in spodnje indekse v več vrsticah.}
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{displaymath}
\end{example}

Za še boljši nadzor nad postavitvijo indeksov v kompleksnih 
izrazih inamo v paketu \pai{amsmath} na voljo še dodatni orodji:
ukaz \ci{substack} in okolje \ei{subarray}:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{\substack{0<i<n \\ 1<j<m}}
   P(i,j) =
\sum_{\begin{subarray}{l}
         i\in I\\
         1<j<m
      \end{subarray}}     Q(i,j)
\end{displaymath}
\end{example}

\medskip

Za \textbf{\wii{oklepaji}{oklepaje}} in druge razmejitvene simbole imamo v 
\TeX{}u vse vrste simbolov (npr.~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$).
Okrogle in oglate oklepaje dobimo z ustreznimi tipkami, zavite z \verb|\{|, 
za ostale pa uporabimo posebne ukaze (npr.~\verb|\updownarrow|). Za seznam vseh 
možnosti poglejte tabelo~\ref{tab:delimiters} na strani \pageref{tab:delimiters}.
\begin{example}
\begin{displaymath}
{a,b,c}\neq\{a,b,c\}
\end{displaymath}
\end{example}

Če pred začetni oklepaj postavimo ukaz \ci{left}, pred zadnjega pa \ci{right}, bo \TeX{} avtomatično 
določil velikost oklepajev. Vedno mora vsak \ci{left} imeti tudi svoj \ci{right}, velikost pa bo pravilna le,
če bosta oba uporabljena v isti vrstici. Če želimo imeti oklepaj le na eni strani, potem na drugi 
strani namesto znaka za oklepaj vstavimo piko, ki pomeni nevidni oklepaj. Če npr. želimo oklepaj le na 
levi, potem na desni uporabimo '\ci{right.}'.
\begin{example}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\end{example}

V nekaterih primerih moramo sami ročno določiti velikost oklepajev\index{velikost!oklepaj}, kar lahko
naredimo z ukazi \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg} in 
\ci{Bigg}, ki jih uporabimo pred večino oklepajev.\footnote{Ti ukazi
  ne delujejo pravilno, če spreminjamo velikost pisave ali če uporabljamo 
  velikost \texttt{11pt} ali \texttt{12pt}. To se da popraviti z uporabo paketa \pai{exscale} ali \pai{amsmath}.}
\begin{example}
$\Big( (x+1) (x-1) \Big) ^{2}$\\
$\big(\Big(\bigg(\Bigg($\quad
$\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}$\quad
$\big\|\Big\|\bigg\|\Bigg\|$
\end{example}

Za vnos \textbf{\wii{tri pike}{treh pik}} v formulo imamo na voljo več ukazov.
Ukaz \ci{ldots} izpiše pike na dnu, \ci{cdots} da pike na sredo, poleg tega pa imamo
še ukaza \ci{vdots} za \wi{navpične pike} in \ci{ddots} za \wi{diagonalne pike}.\index{vertikalne!pike}\index{vodoravne!pike} 
Več primerov lahko najdete v razdelku~\ref{sec:vert}.
\begin{example}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{example}
 
\section{Presledki v matematičnem načinu}

\index{matematični presledki} Če presledki v enačbah, ki jih izbere \TeX{}
niso zadovoljivi, jih lahko popravimo s pomočjo posebnih ukazov. 
Tako imamo na voljo nekaj ukazov za majhne presledke: \ci{,} za
$\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ (\demowidth{0.166em}), \ci{:} za $\frac{4}{18}\:
\textrm{quad}$ (\demowidth{0.222em}) in \ci{;} za $\frac{5}{18}\:
\textrm{quad}$ (\demowidth{0.277em}).  Standardni ukaz za presledek 
\verb*.\ . naredi srednje velik presledek, ukaza \ci{quad} 
(\demowidth{1em}) in \ci{qquad} (\demowidth{2em}) pa velika presledka. 
Velikost \ci{quad} ustreza širini znaka `M' v trenutni pisavi.  Ukaz \verb|\!|\cih{"!} naredi 
negativni presledek s širino $-\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ (\demowidth{0.166em}).
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} g(x,y)
  \, \ud x\, \ud y 
\end{displaymath}
namesto
\begin{displaymath}
\int\int_{D} g(x,y)\ud x \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
Bodite pozorni na to, da je znak za diferencial `d' zapisan v pokončni pisavi.

V \AmS-\LaTeX{}u imamo na voljo dodatne ukaze za fino nastavitev presledkov med 
večkratnimi znaki za integriranje, to so ukazi
\ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} in \ci{idotsint}.
Če naložimo paket \pai{amsmath}, lahko zgornji primer sestavimo tudi na naslednji način:
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\iint_{D} \, \ud x \, \ud y
\end{displaymath}
\end{example}

Za več podrobnosti poglejte dokument testmath.tex (vsebovan je v paketu 
\AmS-\LaTeX) ali poglavje 8 v ">The LaTeX Companion"<.

\section{Navpično poravnavanje}
\label{sec:vert}

Za sestavljanje \textbf{matematičnih razpredelnic} uporabljamo okolje \ei{array}. Deluje podobno
kot okolje \texttt{tabular}. Za prelom vrstice uporabljamo ukaz \verb|\\|.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{example}

Okolje \ei{array} lahko uporabljamo tudi za sestavljanje izrazov,
ki imajo na eni strani en velik oklepaj, če na drugi strani uporabimo prazni oklepaj, kot 
npr. `\verb|\right.|'.
\begin{example}
\begin{displaymath}
y = \left\{ \begin{array}{ll}
 a & \textrm{če $d>c$}\\
 b+x & \textrm{zjutraj}\\
 l & \textrm{čez cel dan}
  \end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{example}


Kot v okolju \verb|tabular| lahko tudi v okolju \ei{array}
rišemo navpične in vododravne črte, ki npr.~ločujejo elemente matrike:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c|c}
 1 & 2 \\
\hline
3 & 4
\end{array}\right)
\end{displaymath}
\end{example}




Za formule, ki se raztezajo čez več vrstic oz.~za \index{sistemi enačb}sisteme enačb
uporabljamo okolji \ei{eqnarray} in \verb|eqnarray*| namesto
\texttt{equation}. V \texttt{eqnarray} se vsaka vrstica avtomatično oštevilči, pri 
\verb|eqnarray*| pa se nobena vrstica ne oštevilči.


Okolji \texttt{eqnarray} in \verb|eqnarray*| delujeta kot 
razpredelnica s tremi stolpci oblike \verb|{rcl}|, kjer se srednji stolpec
uporablja za enačaj,  neenačaj, ali pa katerikoli drugi znak, po katerem želimo poravnati vrstice.
Ukaz \verb|\\| pomeni prehod v novo vrstico.
\begin{example}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x     \\
f'(x) & = & -\sin x   \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
 = & \sin x
\end{eqnarray}
\end{example}
Opazimo lahko, da je presledek tako na levi kot tudi na desni strani 
enačaja precej velik. To lahko zmanjšamo s
\verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|, kot je to prikazano v naslednjem zgledu.


\index{dolge enačbe} \textbf{Dolge enačbe} se avtomatično ne delijo lepo. Avtor mora sam povedati, kje 
naj se začne nova vrstica in kolikšen naj bo začetni zamik. V ta namen
se najpogosteje
uporabljata naslednji dve metodi.
\begin{example}
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
     +\frac{x^{5}}{5!}-{}
                    \nonumber\\
 & & {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots
\end{eqnarray}}
\end{example}
\begin{example}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} +{} }
                    \nonumber\\
 & & {}+\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots
\end{eqnarray}
\end{example}

%\enlargethispage{\baselineskip}
\noindent Ukaz \ci{nonumber} pove \LaTeX{}u, da naj ne oštevilči enačbe. Argument ukaza 
\ci{lefteqn} \LaTeX{} izpiše, vendar ga obravnava, kot da ima širino 0. Prva vrstica v zadnjem primeru je 
tako sestavljena le iz levega stolpca, ker pa ima za \LaTeX{} širino 0, se naslednja vrstica začne že pred koncem
zgornje vrstice.

Če z navedenimi metodami še vedno ne uspemo pravilno navpično poravnati
enačb, potem v paketu \pai{amsmath} obstajajo še 
močnejši ukazi (poglejte okolji \verb|split| in \verb|align|).


\section{Fantomski objekti}

Fantomskih objektov ne vidimo, kljub temu pa zavzemajo prostor. Z njimi lahko v \LaTeX{}u izvedemo
zanimive trike.

Ko navpično poravnavamo tekst, ki vsebuje \verb|^| in \verb|_|, je \LaTeX{} dostikrat 
celo preveč uslužen. S pomočjo ukaza \ci{phantom} lahko rezerviramo prostor za znake, ki se v končnem 
rezultatu ne pokažejo. Najbolje, da pogledamo kar naslednja zgleda.
\begin{example}
\begin{displaymath}
{}^{12}_{\phantom{1}6}\textrm{C}
\qquad \textrm{ali} \qquad
{}^{12}_{6}\textrm{C}
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{example}
\begin{displaymath} 
\Gamma_{ij}^{\phantom{ij}k}
\qquad \textrm{ali} \qquad
\Gamma_{ij}^{k}
\end{displaymath}  
\end{example}

\section{Velikost pisave v matematičnem načinu}\label{sec:fontsz}

\index{velikost matematične pisave} V matematičnem načinu \TeX{} določi velikost pisave 
glede na kontekst. Potence in indeksi se npr. izpišejo z manjšo velikostjo. 
Če želite del enačbe izpisati pokončno, potem ne uporabite ukaza 
\verb|\textrm|, saj v tem primeru spreminjanje velikosti pisave ne deluje,
saj \verb|\textrm| začasno prestavi v tekstovni način. Pravilno je 
uporabiti \verb|\mathrm|, saj se tu velikost pisave avtomatično prilagaja. Paziti pa je potrebno,
da \ci{mathrm} deluje dobro le na kratkih izrazih. 
Presledki in znaki z akcenti ne delujejo.\footnote{Če vključimo paket \AmS-\LaTeX{}, potem ukaz \ci{textrm} deluje s prilagajanjem velikosti pisave.}
\begin{example}
\begin{equation}
2^{\textrm{nd}} \quad 
2^{\mathrm{nd}}
\end{equation}
\end{example}


Kljub temu je v \LaTeX{}u včasih potrebno ročno določiti pravilno velikost 
pisave. V matematičnem načinu imamo za to na voljo naslednje štiri ukaze:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
 \ci{textstyle}~($\textstyle 123$), 
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) in
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Spreminjanje velikosti vpliva tudi na to, kako se izpisujejo meje.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{corr}}(X,Y)= 
 \frac{\displaystyle 
   \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)
   (y_i-\overline y)} 
  {\displaystyle\biggl[
 \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2
\sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2
\biggr]^{1/2}}
\end{displaymath}    
\end{example}
% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.

\noindent To je eden izmed primerov, kjer potrebujemo večji 
oklepaj od tistega, ki ga dobimo iz \verb|\left[  \right]|.


\section{Izreki, trditve, \ldots}

Ko pišemo matematični tekst, potrebujemo način za stavljenje 
 lem, definicij, izrekov, aksiomov in podobnih struktur. 
 \LaTeX{} podpira to z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{ime}\verb|}[|\emph{stevec}\verb|]{|%
         \emph{naslov}\verb|}[|\emph{section}\verb|]|
\end{lscommand}
Argument \emph{ime} je kratka ključna beseda, s katero povemo \LaTeX{}u za kakšno matematično trditev gre.
V argumentu \emph{naslov} navedemo dejansko ime trditve, ki se izpiše v prevedenem dokumentu.

Argumenti v oglatih oklepajih so neobvezni. Z njimi lahko določimo način oštevilčenja trditev. 
Argument \emph{stevec} vsebuje ime trditve, po kateri naj se številči trditev. 
Izberemo lahko številčenje po že predhodno definirani trditvi ali pa vnesemo kar isto 
ime kot v parametru \emph{ime}. 
Nove trditve se potem številčijo v istem zaporedju. Argument \emph{section} je ime logične strukture
znotraj katere številčimo trditve.

Če damo ukaz \ci{newtheorem} v preambulo dokumenta, lahko potem 
znotraj dokumenta uporabljamo okolje
\verb|\begin{ime} ... \end{ime}|
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{ime}\verb|}[|\emph{tekst}\verb|]|\\
To je moj zanimiv izrek.\\
\verb|\end{|\emph{ime}\verb|}|     
\end{code}

V paketu \pai{amsthm} je na voljo ukaz \ci{newtheoremstyle}\verb|{|\emph{style}\verb|}|,
s katerim lahko definiramo vrsto matematične trditve z izbiro
ene izmed treh vnaprej pripravljenih oblik: \texttt{definition} (krepak naslov, 
pokončna pisava),
\texttt{plain} (krepak naslov, poševna pisava) ali 
\texttt{remark} (poševen naslov, pokončna pisava).

Dovolj teorije. Naslednji zgledi bodo razjasnili vse dvome 
in dokončno dokazali, da je okolje \verb|\newtheorem|
prezapleteno, da bi ga lahko razumeli.

% actually define things
\theoremstyle{definition} \newtheorem{izrek}{Izrek}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{posl}[izrek]{Posledica}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{opomba}{Opomba}

Najprej definiramo nove matematične izjave:

\begin{verbatim}
\theoremstyle{definition} \newtheorem{izrek}{Izrek}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{posl}[izrek]{Posledica}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{opomba}{Opomba}
\end{verbatim}

\begin{example}
\begin{izrek}[Pitagora] 
\label{izrek:Pit}
V pravokotnem trikotniku velja 
$c^2=a^2+b^2$.
\end{izrek}
\begin{posl}
Če velja $c^2\ne a^2+b^2$, potem 
trikotnik ni pravokoten
(poglej izrek~\ref{izrek:Pit}).
\end{posl}
\begin{opomba}To je bil moj 
najnovejši izrek o \ldots
\end{opomba}
\end{example}

\newcounter{law}
Trditev ">Posledica"< uporablja isti števec kot trditev ">Izrek"<,
zato dobi številko iz istega zaporedja. 
Neobvezni argument v oglatih oklepajih uporabimo za to, da določimo naslov trditve ali
kaj podobnega (npr. avtorja in referenco).
\begin{example}
\flushleft
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur}
Če se da nekaj narediti na več
načinov in eden izmed njih vodi
v katastrofo, potem bo nekdo 
izbral prav ta način.
\end{mur}
\end{example}

Trditev ">Murphy"< dobi številko, ki je vezana na številko trenutnega razdelka.
Namesto tega lahko uporabimo tudi kakšno drugo logično enoto, npr. 
poglavje ali podrazdelek.

V paketu \pai{amsthm} je na voljo tudi okolje \ei{proof} za dokaze.

\begin{example}
\begin{proof}
 Očitno, uporabimo
\[E=mc^2.\]
\end{proof}
\end{example}

Z ukazom \ci{qedhere} lahko premaknemo znak za konec dokaza
v situacijah, ko bi sicer stal na koncu prazne vrstice.

\begin{example}
\begin{proof}
 Očitno, uporabimo
\[E=mc^2. \qedhere\]
\end{proof}
\end{example}

\section{Krepki simboli}
\index{krepki simboli}

V \LaTeX{}u ni najbolj enostavno dobiti krepkih simbolov; to je najbrž namerno zaradi tega, ker 
jih začetniki preveč uporabljajo. Ukaz za spremembo pisave
\verb|\mathbf| sicer naredi krepke črke, toda to so pokončne črke, matematični simboli pa so ponavadi 
poševni. Obstaja ukaz \ci{boldmath}, toda tega \emph{lahko uporabljamo le zunaj matematičnega načina}.
Deluje pa tudi za simbole.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad
\mbox{\boldmath $\mu, M$}
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent
V zgornjem primeru je krepka tudi vejica, kar ni ravno to, kar bi radi.

Paket \pai{amsbsy} (ki se avtomatično vključi z \pai{amsmath}) kakor tudi paket
\pai{bm} olajšata zadevo z ukazom \ci{boldsymbol}.
\ifx\boldsymbol\undefined\else
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi

% Local Variables:
% TeX-master: "lshort2e"
% mode: latex
% mode: flyspell
% End: