summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/info/lshort/slovenian/src/graphic.tex
blob: eb7f592305f071a3be6cdcdd8602427a649bfb4f (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\newcommand{\graphicscompanion}{\emph{The \LaTeX{} Graphics Companion}~\cite{graphicscompanion}} 
\newcommand{\hobby}{\emph{A User's Manual for MetaPost}~\cite{metapost}}
\newcommand{\hoenig}{\emph{\TeX{} Unbound}~\cite{unbound}}
\newcommand{\graphicsinlatex}{\emph{Graphics in \LaTeXe{}}~\cite{ursoswald}}

\chapter{Priprava matematičnih slik}
\label{chap:graphics}

\begin{intro}
Večina uporabnikov z \LaTeX{}om ureja besedila. Čeprav \LaTeX{}ov pristop
k urejanju besedil poudarja strukturo pred vsebino, \LaTeX{} vseeno 
ponuja nekaj zelo omejenih možnosti za prikaz grafičnih 
vsebin, ki jih opišemo z ukazi v vhodni datoteki. Obstaja veliko
razširitev \LaTeX{}a, ki premostijo te omejitve in omogočajo še
lažjo pripravo slik. Nekaj jih bomo predstavili v tem poglavju.
\end{intro}

\section{Kratki pregled}

V okolju \ei{picture} lahko slike programiramo direktno v \LaTeX{}u. Podroben
opis lahko poiščete v  \manual. Na eni strani smo v tem okolju 
zelo omejeni z nekaterimi pogoji, tako so npr.~nakloni daljic in 
polmeri krogov omejeni na majhen izbor možnih vrednosti.  
Na drugi strani pa imamo v okolju \ei{picture} v \LaTeXe\ na voljo ukaz
\ci{qbezier} za B\'ezierove krivulje, kjer ">\texttt{q}"< pomeni 
"<kvadratna"< (quadratic)"<.  Številne pogosto uporabljene
krivulje kot so krogi, elipse, verižnice in ostale, se da dovolj 
dobro aproksimirati s kvadratnimi B\'ezierovimi krivuljami, res pa je, da
za to včasih potrebujemo malo računanja. Za pripravo
slik iz ukazov \ci{qbezier} lahko uporabimo tudi programski jezik kot je 
npr.~Java in v tem primeu postane okolje \ei{picture} zelo zmogljivo.

Čeprav je zapisovanje slike direktno v \LaTeX{} dokaj omejeno in dostikrat
tudi zelo utrudljivo, še vedno obstajajo razlogi, da se slik 
lotimo na ta način. Tako dobljeni dokumenti zavzamejo manj spomina kot če
vključujemo zunanje slike, pa še nobenih dodatnih datotek s slikami ne
potrebujemo.

Paketi kot so \pai{epic}, \pai{eepic} 
(ta dva sta med drugim opisana v \companion) in 
\pai{pstricks} odpravljajo omejitve originalnega okolja
\ei{picture} in močno povečajo grafične sposobnosti \LaTeX{}a.


Med tem ko prva dva prej omenjena paketa le razširita okolje
\ei{picture}, ima paket \pai{pstricks} svoje okolje \ei{pspicture}. 
Moč paketa \pai{pstricks} izvira iz dejstva, da se v paketu v veliki 
meri uporabljajo možnosti, ki jih ponuja \PSi{}.
Poleg tega obstajajo še številni paketi za posebne potrebe. En izmed
teh je 
\texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic, ki ga bomo predstavili na koncu tega poglavja.
Širok izbor teh paketov je podrobno predstavljen v \graphicscompanion{} 
(ne zamenjujte z \companion).


Najmočnejše grafično orodje, povezano z \LaTeX{}om, je najbrž
\texttt{MetaPost}, dvojček 
Donald E. Knuthovega orodja \texttt{METAFONT}. 
\texttt{MetaPost} vsebuje zelo zmogljiv in matematično prefinjen 
programski jezik tako kot \texttt{METAFONT}. Razlika je, da \texttt{METAFONT}
generira bitne slike, \texttt{MetaPost} pa generira slike v formatu 
Encapsulated \PSi{}, ki jih lahko vključimo v \LaTeX. Za uvod v 
\texttt{MetaPost} poglejte \hobby{} ali navodila na \cite{ursoswald}.

Zelo temeljito razpravo o strategijah za vključevanje slik (in
pisav) v \LaTeX{} in \TeX{} lahko najdete v \hoenig.

\section{Okolje \texttt{picture}}
\secby{Urs Oswald}{osurs@bluewin.ch}

\subsection{Osnovni ukazi}

Okolje \ei{picture}\footnote{Če verjamete ali ne, okolje picture
deluje v povsem navadnem \LaTeXe{} in zanj ni potrebno 
naložiti nobenega paketa.} vključimo z enim izmed
naslednjih dveh ukazom
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
\noindent ali
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)(|$x_0,y_0$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
Števila $x,\,y,\,x_0,\,y_0$ se nanašajo na količino \ci{unitlength}, ki jo lahko
spremenimo kadarkoli
(a ne znotraj okolja \ei{picture}) z ukazom v stilu
\begin{lscommand}
\ci{setlength}\verb|{|\ci{unitlength}\verb|}{1.2cm}|
\end{lscommand}
Privzeta vrednost za \ci{unitlength} je \texttt{1pt}. Prvi par, $(x,y)$, pove, koliko pravokotnega prostora znotraj dokumenta je potrebno rezervirati za sliko,
neobvezni drugi par, $(x_0,y_0)$, pa nastavi te koordinate v spodnji levi kot rezerviranega pravokotnika. 

Večina ukazov za risanje ima eno izmed naslednjih dve oblik
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\emph{object}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent ali
\begin{lscommand}
\ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{object}\verb|}|\end{lscommand}
Izjema so B\'ezierove krivulje, ki jih narišemo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{qbezier}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|)(|$x_2,y_2$\verb|)(|$x_3,y_3$\verb|)|
\end{lscommand}
%\newpage

\subsection{Daljice}
\begin{example}
\setlength{\unitlength}{5cm}
\begin{picture}(1,1)
  \put(0,0){\line(0,1){1}}
  \put(0,0){\line(1,0){1}}  
  \put(0,0){\line(1,1){1}}  
  \put(0,0){\line(1,2){.5}}
  \put(0,0){\line(1,3){.3333}}
  \put(0,0){\line(1,4){.25}}  
  \put(0,0){\line(1,5){.2}}
  \put(0,0){\line(1,6){.1667}}
  \put(0,0){\line(2,1){1}}
  \put(0,0){\line(2,3){.6667}}
  \put(0,0){\line(2,5){.4}}
  \put(0,0){\line(3,1){1}}  
  \put(0,0){\line(3,2){1}}
  \put(0,0){\line(3,4){.75}}
  \put(0,0){\line(3,5){.6}}
  \put(0,0){\line(4,1){1}}
  \put(0,0){\line(4,3){1}}  
  \put(0,0){\line(4,5){.8}}
  \put(0,0){\line(5,1){1}}
  \put(0,0){\line(5,2){1}}
  \put(0,0){\line(5,3){1}}
  \put(0,0){\line(5,4){1}}
  \put(0,0){\line(5,6){.8333}}
  \put(0,0){\line(6,1){1}}
  \put(0,0){\line(6,5){1}}
\end{picture}
\end{example}
Daljico narišemo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{line}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Ukaz \ci{line} ima dva argumenta:
\begin{enumerate}
  \item smerni vektor,
  \item dolžino.
\end{enumerate}
Vrednosti komponent v smernem vektorju so omejene 
na cela števila
\[
  -6,\,-5,\,\ldots,\,5,\,6,
\]
komponenti pa morata biti tuji števili (razen 1 nimata nobenega skupnega delitelja). Na sliki je predstavljenih vseh 25 možnih naklonov v prvem kvadrantu. Dolžina je podana relativno glede na \ci{unitlength}.
V primeru navpične daljice kot dolžino podamo navpično koordinato, v vseh drugih pa vodoravno koordinato konca daljice.

\subsection{Puščice}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.75mm}
\begin{picture}(60,40)
  \put(30,20){\vector(1,0){30}}
  \put(30,20){\vector(4,1){20}}
  \put(30,20){\vector(3,1){25}}
  \put(30,20){\vector(2,1){30}}
  \put(30,20){\vector(1,2){10}}
  \thicklines
  \put(30,20){\vector(-4,1){30}}
  \put(30,20){\vector(-1,4){5}}
  \thinlines
  \put(30,20){\vector(-1,-1){5}}
  \put(30,20){\vector(-1,-4){5}}
\end{picture}
\end{example}
Puščico narišemo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{vector}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Pri puščicah so komponente smernega vektorja
še bolj omejene kot pri daljicah, saj jih lahko izbiramo le
med celimi števili
\[
  -4,\,-3,\,\ldots,\,3,\,4.
\]
Tako kot pri daljicah morata komponenti biti tuji števili.
Bodite pozorni na vpliv ukaza 
\ci{thicklines} na dve puščici, ki kažeta v zgornji levi kot.

\subsection{Krožnice}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(60, 40)
  \put(20,30){\circle{1}}
  \put(20,30){\circle{2}}
  \put(20,30){\circle{4}}
  \put(20,30){\circle{8}}
  \put(20,30){\circle{16}}
  \put(20,30){\circle{32}}
  
  \put(40,30){\circle{1}}
  \put(40,30){\circle{2}}
  \put(40,30){\circle{3}}
  \put(40,30){\circle{4}}
  \put(40,30){\circle{5}}
  \put(40,30){\circle{6}}
  \put(40,30){\circle{7}}
  \put(40,30){\circle{8}}
  \put(40,30){\circle{9}}
  \put(40,30){\circle{10}}
  \put(40,30){\circle{11}}
  \put(40,30){\circle{12}}
  \put(40,30){\circle{13}}
  \put(40,30){\circle{14}}
  
  \put(15,10){\circle*{1}}
  \put(20,10){\circle*{2}}
  \put(25,10){\circle*{3}}
  \put(30,10){\circle*{4}}
  \put(35,10){\circle*{5}}
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{circle}\verb|{|\emph{diameter}\verb|}}|
\end{lscommand}
\noindent nariše krožnico s središčem v točki $(x,y)$ in premerom \emph{diameter}. V okolju \ei{picture} lahko uporabljamo le premere do
približno 14\,mm, s tem da pod to vrednostjo niso dopustni vse premeri.
Ukaz \ci{circle*} nariše zapolnjeni krog.

Tako kot pri daljicah se moramo, če želimo premer, ki ni podprt, obrniti
na dodatne pakete, kot sta \pai{eepic} in \pai{pstricks}. 
Temeljit opis teh dveh paketov lahko najdete v \graphicscompanion.

Obstaja pa tudi možnost znotraj okolja 
\ei{picture}. Če lahko opravite potrebne izračune (oziroma
jih prepustite ustreznemu programu), potem lahko poljubne daljice
in krožnice sestavite iz kvadratnih B\'ezierovih krivulj. 
Poglejte \graphicsinlatex\ za primere in kode pomožnih programov v Javi.

\subsection{Besedila in formule}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,5)
  \thicklines
  \put(1,0.5){\line(2,1){3}}
  \put(4,2){\line(-2,1){2}}
  \put(2,3){\line(-2,-5){1}}
  \put(0.7,0.3){$A$}
  \put(4.05,1.9){$B$}
  \put(1.7,2.95){$C$}
  \put(3.1,2.5){$a$}
  \put(1.3,1.7){$b$}
  \put(2.5,1.05){$c$}
  \put(0.3,4){$F=
    \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}  
  \put(3.5,0.4){$\displaystyle
    s:=\frac{a+b+c}{2}$}
\end{picture}
\end{example}
Kot prikazuje ta zgled, lahko besedilo in formule vstavimo
v okolje \ei{picture} s ukazom \ci{put} na povsem 
običajni način.

\subsection{\ci{multiput} in \ci{linethickness}}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{2mm}
\begin{picture}(30,20)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){26}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,1){21}%
    {\line(1,0){25}}
  \linethickness{0.15mm}    
  \multiput(0,0)(5,0){6}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,5){5}%
    {\line(1,0){25}}
  \linethickness{0.3mm}    
  \multiput(5,0)(10,0){2}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,5)(0,10){2}%
    {\line(1,0){25}}
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{object}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent ima 4 argumente: začetno točko, vektor premika od enega
objekta do naslednjega, število objektov in objekt, ki naj se nariše.
Ukaz \ci{linethickness} vpliva na vodoravne in navpične daljice,
ne pa na poševne daljice in krožnice. Vpliva pa, presenetljivo, 
na kvadratne B\'ezierove krivulje!

\subsection{Ovali}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.75cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}%
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}%
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(2,3){\oval(3,1.8)} 
  \thinlines
  \put(3,2){\oval(3,1.8)} 
  \thicklines
  \put(2,1){\oval(3,1.8)[tl]} 
  \put(4,1){\oval(3,1.8)[b]} 
  \put(4,3){\oval(3,1.8)[r]} 
  \put(3,1.5){\oval(1.8,0.4)}     
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)}|
\end{lscommand}
\noindent ali v obliki
\begin{lscommand} \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)[|\emph{polozaj}\verb|]}|
\end{lscommand}
\noindent vrne oval s središčem v $(x,y)$, s širino $w$ in z višino $h$. 
Neobvezni argument
\emph{polozaj} ima lahko vrednosti \texttt{b}, \texttt{t}, \texttt{l}, \texttt{r} ki po vrsti pomenijo zgoraj, spodaj, levo, desno, lahko pa jih
tudi kombiniramo, kot je prikazano v zgledu.

\subsection{Debelina črt}

Na debelino črt lahko vplivamo z dvema razredoma ukazov. Na eni strani je 
\ci{linethickness}\verb|{|\emph{length}\verb|}|
na drugi strani pa sta ukaza \ci{thinlines} in \ci{thicklines}.
Medtem kot \ci{linethickness}\verb|{|\emph{length}\verb|}|
vpliva le na vodoravne in navpične črte (in na kvadratne B\'ezierove krivulje),
ukaza \ci{thinlines} in \ci{thicklines}
vplivata na poševne črte, krožnice in ovale. 


\subsection{Večkratna uporaba vnaprej pripravljenih škatel s slikami}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(120,168)
\newsavebox{\foldera}
\savebox{\foldera}
  (40,32)[bl]{% definicija 
  \multiput(0,0)(0,28){2}
    {\line(1,0){40}}
  \multiput(0,0)(40,0){2}
    {\line(0,1){28}}
  \put(1,28){\oval(2,2)[tl]}
  \put(1,29){\line(1,0){5}}
  \put(9,29){\oval(6,6)[tl]}
  \put(9,32){\line(1,0){8}}
  \put(17,29){\oval(6,6)[tr]}
  \put(20,29){\line(1,0){19}}
  \put(39,28){\oval(2,2)[tr]}  
}
\newsavebox{\folderb}
\savebox{\folderb}
  (40,32)[l]{%         definicija
  \put(0,14){\line(1,0){8}}
  \put(8,0){\usebox{\foldera}}
}
\put(34,26){\line(0,1){102}} 
\put(14,128){\usebox{\foldera}}
\multiput(34,86)(0,-37){3}
  {\usebox{\folderb}} 
\end{picture}
\end{example}
Škatlo s sliko lahko \emph{napovemo} z ukazom
\begin{lscommand}
  \ci{newsavebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent potem jo \emph{definiramo} z   
\begin{lscommand}
  \ci{savebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}(|\emph{width,height}\verb|)[|\emph{position}\verb|]{|\emph{content}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent na koncu pa jo lahko \emph{narišemo} kolikor krat želimo z
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|)|\ci{usebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}|
\end{lscommand}

Dodatno neobvezni parameter \emph{pozicija} definira mesto, na katerem
je referenčna točka shranjene škatle s sliko, oziroma mesto, kjer je 
škatla ">zasidrana"<. V zgornjem primeru je to mesto nastavljeno na \texttt{bl} kar
postavlja mesto priveza v gornji levi kot škatle. Ostale možno
vrednosti za ta parameter so še \texttt{t} (zgoraj) in \texttt{r} (desno).

Argument \emph{ime} se nanaša na \LaTeX{}ov pomnilnik in ima naravo
ukaza (zato v zgornjem primeru imena vsebujejo tudi poševnice). 
Škatle s slikami lahko vlagamo v druge škatle, v zgornjem primeru je
tako npr.~\ci{foldera} uporabljen v definiciji \ci{folderb}.

V definiciji smo morali uporabiti ukaz \ci{oval}, saj ukaz \ci{line} 
ne podpira daljic, kjer je dolžina segmenta manjša od 3\,mm.

\subsection{Kvadratne B\'ezierove krivulje}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(0.5,0.5){\line(1,5){0.5}}    
  \put(1,3){\line(4,1){2}} 
  \qbezier(0.5,0.5)(1,3)(3,3.5)
  \thinlines   
  \put(2.5,2){\line(2,-1){3}}
  \put(5.5,0.5){\line(-1,5){0.5}}
  \linethickness{1mm}
  \qbezier(2.5,2)(5.5,0.5)(5,3)
  \thinlines
  \qbezier(4,2)(4,3)(3,3)
  \qbezier(3,3)(2,3)(2,2)
  \qbezier(2,2)(2,1)(3,1)
  \qbezier(3,1)(4,1)(4,2)
\end{picture}
\end{example}
Kot prikazuje ta primer, ni dovolj dobro, če krožnico razdelimo le
na 4 kvadratne B\'ezierove krivulje. Potrebujemo jih najmanj 8.
Na sliki vidimo tudi, kakšne je vpliv ukazov
\ci{linethickness} na vodoravne in navpične premice in kako
\ci{thinlines} in \ci{thicklines} vplivata na poševne daljice. Vidimo
lahko tudi, da oba razreda ukazov delujeta na kvadratne B\'ezierove krivulje,
kjer vsak nov ukaz povozi prejšnjega.

Naj $P_1=(x_1,\,y_1),\,P_2=(x_2,\,y_2)$ označujeta končni točki, in naj
bosta $m_1$ in $m_2$ naklona kvadratne B\'ezierove krivulje v teh točkah. 
Vmesna kontrolna točka
$S=(x,\,y)$ je potem podana z enačbami
\begin{equation} \label{zwischenpunkt}
  \left\{
    \begin{array}{rcl}
      x & = & \displaystyle \frac{m_2 x_2-m_1x_1-(y_2-y_1)}{m_2-m_1}, \\
      y & = & y_i+m_i(x-x_i)\qquad (i=1,\,2).
    \end{array}
  \right.
\end{equation}
\noindent Poglejte \graphicsinlatex\ za program v Javi, ki generira vrstice
s potrebnimi ukazi \ci{qbezier}.

\subsection{Verižnica}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)
\put(-2,0){\vector(1,0){4.4}}
\put(2.45,-.05){$x$}
\put(0,0){\vector(0,1){3.2}}
\put(0,3.35){\makebox(0,0){$y$}}
\qbezier(0.0,0.0)(1.2384,0.0)
  (2.0,2.7622) 
\qbezier(0.0,0.0)(-1.2384,0.0)
  (-2.0,2.7622)
\linethickness{.075mm}
\multiput(-2,0)(1,0){5}
  {\line(0,1){3}}
\multiput(-2,0)(0,1){4}
  {\line(1,0){4}}
\linethickness{.2mm}
\put( .3,.12763){\line(1,0){.4}}
\put(.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
\put(-.7,.12763){\line(1,0){.4}}
\put(-.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
\put(.8,.54308){\line(1,0){.4}}
\put(1,.34308){\line(0,1){.4}}
\put(-1.2,.54308){\line(1,0){.4}}
\put(-1,.34308){\line(0,1){.4}}
\put(1.3,1.35241){\line(1,0){.4}}
\put(1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
\put(-1.7,1.35241){\line(1,0){.4}}
\put(-1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
\put(-2.5,-0.25){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}

Na tej sliki je vsaka simetrična polovica grafa verižnice $y=\cosh x -1$ 
aproksimirana s kvadratno B\'ezierovo krivuljo. 
Desna polovica krivulje se konča v točki \((2,\,2.7622)\), kjer ima
odvod vrednost \(m=3.6269\). S pomočjo enačb (\ref{zwischenpunkt}) lahko
izračunamo vmesne kontrolne točke. Za njiju se izkaže, da sta 
 $(1.2384,\,0)$ in $(-1.2384,\,0)$. 
Križi označujejo točke \emph{prave} verižnice. Vidimo, da razlika
skoraj ni opazna in je povsod pod enim procentom.

Ta primer kaže, kako lahko uporabljamo neobvezni argument
v ukazu \\
\verb|\begin{picture}|.
Slika je definirana v smiselnih matematičnih koordinatah, 
medtem ko ukaz
\begin{lscommand} 
  \ci{begin}\verb|{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)|
\end{lscommand}
\noindent za njen spodnji levi kot (označen z črnim pobarvanim diskom)
privzame koordinate $(-2.5,-0.25)$. 

\subsection{Hitrost v posebni teoriji relativnosti}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
  \put(2.7,-0.1){$\chi$}
  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \put(0.2,1.4)
    {$\beta=v/c=\tanh\chi$}
  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)
    (2,0.9640)
  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)
    (-2,-0.9640)
  \put(-3,-2){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}
Kontrolne točke dveh B\'ezierovih krivulj so bile izračunane s pomočjo
formul (\ref{zwischenpunkt}).
Pozitivna veja je določena s $P_1=(0,\,0),\,m_1=1$ in $P_2=(2,\,\tanh 2),\,m_2=1/\cosh^2 2$.
Slika je definirana z matematično najustreznejšimi koordinatami, potem pa 
levemu spodnjemu kotu določimo koordinate $(-3,-2)$ (črn krog).


\section{\texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic}
\secby{Alberto Manuel Brand\~ao Sim\~oes}{albie@alfarrabio.di.uminho.pt}
\pai{xy} je poseben paket za risanje diagramov. Za njegovo
uporabo moramo v preambulo dokumenta dodati:
\begin{lscommand}
\verb|\usepackage[|\emph{opcije}\verb|]{xy}|
\end{lscommand}
Pri tem v \emph{opcije} navedemo seznam funkcij iz 
 \Xy-pic ki jih želimo naložiti. Te opcije pridejo prav kadar je potrebno
iskati napake v paketu, sicer pa je najbolj priporočljivo 
na mestu \emph{opcije} podati \verb!all!, s čimer povzročimo,
da \LaTeX{} naloži vse ukaze iz paketa \Xy-pic.

\Xy-pic diagrami se rišejo na podlago, ki je urejena v 
stilu matrike, pri čemer se vsak element
diagrama zapiše na mesto elementa matrike:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{A & B \\
          C & D }
\end{displaymath}
\end{example}
Ukaz \ci{xymatrix} moramo uporabiti v matematičnem načinu. V tem primeru
smo podali dve vrstici in dva stolpca. Iz te matrike dobimo diagram, ko
dodamo usmerjene povezave z ukazom \ci{ar}.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{ A \ar[r] & B \ar[d] \\
           D \ar[u] & C \ar[l] }
\end{displaymath}
\end{example}
Ukaz za puščico je potrebno postaviti na mesto tistega elementa
v matriki, od koder puščica izvira. Argumenti ukaza \texttt{ar} so
smeri, kamor naj kaže puščica (\texttt{u} (gor),
\texttt{d} (dol), \texttt{r} (desno) in \texttt{l} (levo).

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[r] & B \\
  D                       & C }
\end{displaymath}
\end{example}
Diagonalne puščice dobimo tako, da uporabimo več kot eno črko za opis smeri. 
Opis smeri lahko tudi sestavimo iz več črk in tako dobimo daljše diagonale.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[drr] & & \\
  B                      & C & D }
\end{displaymath}
\end{example}

Še bolj zanimive diagrame dobimo, če puščice opremimo z napisi. To dosežemo
z uporabo običajnih operatorjev za indekse in potence..
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]^f \ar[d]_g &
             B \ar[d]^{g'} \\
  D \ar[r]_{f'}       & C }
\end{displaymath}
\end{example}

Kot vidite, operatorje za napise na puščicah uporabljamo kot v matematičnem načinu.Edina razlika je, da sedaj potenca (zgornji indeks) pomeni 
">na vrhu puščice,"< indeks pa pomeni ">pod puščico."< Obstaja še tretji
operator, pokončna črta: \verb+|+
Ta operator razporedi tekst \emph{na} puščico.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]|f \ar[d]|g &
             B \ar[d]|{g'} \\
  D \ar[r]|{f'}       & C }
\end{displaymath}
\end{example}

Če potrebujemo puščico z luknjo, uporabimo \verb!\ar[...]|\hole!.

V nekaterih primerih je potrebno ločiti 
med različnimi tipi puščic. To lahko naredimo tako,
 da jih opremimo z napisi ali pa spremenimo njihov videz:

\begin{example}
\shorthandoff{"}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\bullet\ar@{->}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{.<}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{~)}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{=(}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{~/}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{^{(}->}[rr] &&
                       \bullet\\
\bullet\ar@2{->}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@3{->}[rr] && \bullet\\
\bullet\ar@{=+}[rr]  && \bullet
}
\end{displaymath}
\shorthandon{"}
\end{example}

Bodite pozorni na razlike med naslednjima dvema diagramoma:

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar[r] 
         \ar@{.>}[r] & 
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar@/^/[r] 
         \ar@/_/@{.>}[r] &
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

Znamenje med poševnicama pove, kako 
naj se nariše krivulja.
\Xy-pic ponuja mnogo možnosti, ki vplivajo
na risanje krivulj. Za več informacij poglejte v dokumentacijo, ki je
priložena paketu.


% \begin{example}
% \begin{lscommand}
% \ci{dum}
% \end{lscommand}
% \end{example}