summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/info/lshort/polish/src/math.tex
blob: 2b6633672a775f7f51faf327a841c9f9ed79d4ce (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
% -- translate-file=il2-pl --
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX (LShort2e Introduction)
% File: math.tex (Polish translation)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Wyra¿enia matematyczne\label{chp:math}}

\begin{intro}
  Nareszcie! W~tym rozdziale poznasz najlepsz± stronê \TeX{}a, czyli
  sk³ad wzorów matematycznych. Ostrzegamy jednak, ¿e przedstawimy tu
  jedynie absolutne podstawy. Chocia¿ wystarczaj± one wiêkszo¶ci u¿ytkowników,
  to nie za³amuj r±k, je¶li nie~poradzisz sobie z~jakim¶
  skomplikowanym wzorem, lecz zapoznaj siê z~mo¿liwo¶ciami
  \AmS-\LaTeX{}a lub innego wyspecjalizowanego
  pakietu\footnote{Pod egid± Amerykañskiego Towarzystwa Matematycznego
    (\emph{American Mathematical Society}) powsta³o istotne
    rozszerzenie \LaTeX{}a. Wiele przyk³adów w~tym rozdziale korzysta
    z~tego rozszerzenia, które jest do³±czane do wszystkich
    wspó³czesnych dystrybucji \TeX{}a. Je¶li w~twojej go nie ma, to
    znajdziesz je pod adresem
    \CTAN{macros/latex/packages/amslatex}.}.
\end{intro}

\section{Wstêp}

Do sk³adu wyra¿eñ matematycznych  mamy w~{\LaTeX}u specjalny \emph{tryb
matematyczny\index{tryb matematyczny}}. 
Wzory wpisuje siê miêdzy znakami \texttt{\$} i~\texttt{\$}, miêdzy
parami znaków \ci{(}~i~\ci{)}\index{$@\texttt{\$}} %$
albo miêdzy \verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| oraz \verb|\end{math}|.
%
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$
do kwadratu równa siê~$c$ 
do kwadratu. Albo, stosuj±c
bardziej matematyczne
podej¶cie: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
\end{example}
%
\begin{example}
{\TeX} nale¿y wymawiaæ jako
$\tau\epsilon\chi$.\\[6pt]
100~m$^{3}$ wody. \\[6pt]
To p³ynie z~mojego~$\heartsuit$.
\end{example}
%
\noindent
Sk³adaj±c wiêksze wzory, powinni¶my je eksponowaæ, to znaczy wstawiaæ
miêdzy akapitami, w~osobnym wierszu. Takie wzory umieszcza siê albo
miêdzy parami znaków \ci{[}~i~\ci{]}\index{$@\texttt{\$}}%$
% tu trzeba pilnowaæ, aby przecinek trafi³ do sk³adu (RK)
, albo wewn±trz otoczenia \ei{displaymath}. Ta ostatnia konstrukcja
dotyczy tworzenia wzorów bez numeracji:
%
\begingroup
%% w tym wzorku co¶ jest nie tak na wydruku
%% b³±d latex-a?
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$
do kwadratu równa siê~$c$ 
do kwadratu. Albo,
bardziej matematycznie:
\begin{displaymath}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
\end{displaymath}
Pierwszy wiersz po wzorze.
\end{example}
\endgroup
%
\noindent
Do uzyskiwania wzorów numerowanych stosujemy otoczenie
\ei{equation}. Instrukcji \ci{label} mo¿emy wówczas
u¿yæ do zapamiêtania numeru wzoru, a~polecenia \ci{ref} 
albo pochodz±cego z~pakietu \pai{amsmath} \ci{eqref} -- do przywo³ania
w~dokumencie tego numeru:
%
\begin{example}
\begin{equation}
\epsilon > 0 \label{eq:eps}
\end{equation}
Ze wzoru (\ref{eq:eps}) 
otrzymujemy \ldots
\end{example}
%
\noindent
Zwróæmy uwagê na ró¿nicê w~wygl±dzie wzorów
z³o¿onych wewn±trz akapitu i~w~wersji eksponowanej:
%
\begin{example}
$\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}$
\end{example}
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Miêdzy \emph{trybem matematycznym} \LaTeX{}a a~\emph{trybem tekstowym}
istniej± znaczne ró¿nice. Na przyk³ad, w~\emph{trybie matematycznym}:
\begin{enumerate}
\item {\LaTeX} ignoruje prawie wszystkie odstêpy oraz znaki koñca linii;
  wszystkie odstêpy we wzorach wynikaj± b±d¼ z~kontekstu, b±d¼ z~u¿ycia
  specjalnych poleceñ, takich jak: \ci{,} lub \ci{quad}
   %%%lub \ci{qquad}
 (por.~punkt~\ref{sec:hspace}, str.~\pageref{quad:def}).
  
\item Puste linie s± niedozwolone. Nie ma czego¶ takiego, jak
  podzia³ wzorów na akapity.
  
\item Litery we wzorach s³u¿± do oznaczania nazw zmiennych;
  zmienne sk³adamy inaczej ni¿ zwyk³y tekst. Je¿eli
  czê¶ci± wzoru ma byæ zwyk³y tekst, to nale¿y siê 
  pos³u¿yæ instrukcj± \verb|\textrm{...}|.
\end{enumerate}

\begin{example}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}\colon
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{example}

\begin{example}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla ka¿dego }x\in\mathbf{R}
\end{equation}
\end{example}
%
%
%
% Add AMSSYB Package ... Blackboard bold .... R for realnumbers
%
\noindent
Matematycy potrafi± byæ niezwykle staranni w~doborze
symboli.  Na przyk³ad we wzorach, w~których
wystêpuj± oznaczenia zbiorów (jak powy¿szy), czêsto
stosuje siê krój, w~którym te oznaczenia
przypominaj± odmianê ,,grub±'', pisan± kred± na
tablicy\ifx\mathbb\undefined\else\space ($\mathbb{A,B,C}\dots$)\fi.
Symbole takie wstawiamy do wzoru poleceniem \ci{mathbb} z~pakietu
\pai{amsfonts} lub \pai{amssymb}.
%
\ifx\mathbb\undefined\else
Ostatni przyk³ad wygl±da wtedy nastêpuj±co:
\begin{example}
\begin{displaymath}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla ka¿dego }x\in\mathbb{R}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi

\section{Grupowanie}

Argumentem wiêkszo¶ci instrukcji do sk³adu matematyki jest tylko jeden znak --
ten, który nastêpuje tu¿ po instrukcji. Je¿eli polecenie ma
dotyczyæ grupy znaków, to nale¿y je umie¶ciæ wewn±trz
pary nawiasów klamrowych \verb|{...}|:
%
\begin{example}
\begin{equation}
a^x+y \neq a^{x+y}
\end{equation}
\end{example}

\section{Czê¶ci sk³adowe wyra¿eñ matematycznych }

W~tym podrozdziale opiszemy wa¿niejsze instrukcje do sk³adu
wyra¿eñ. Zestawienie wszystkich dostêpnych symboli
i~znaków znajduje siê w~punkcie~\ref{symbols} na
stronie~\pageref{symbols}.

\textbf{Ma³e litery alfabetu greckiego}
wprowadzamy, u¿ywaj±c instrukcji typu: \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma| itd., a \textbf{du¿e}\footnote{Obecnie brakuje
  du¿ej litery \emph{Alpha} i~wygl±da ona identycznie
  jak pierwsza litera \emph{A} alfabetu ³aciñskiego. Sytuacja ta
  ma siê zmieniæ po wprowadzeniu nowego sposobu kodowania symboli
  matematycznych.}: \verb|\Delta|, \verb|\Gamma| itd.:

%%<PLext>
% Zwróæmy uwagê na  \emph{nieprzyjemne} odstêpstwo
% od lansowanego w~tym opracowaniu formatowania logicznego.
% Koduj±c \emph{Alfa} jako A, uniemo¿liwiamy na przyk³ad
% prawid³ow± pracê programu audio, bo nie bêdzie on
% w~stanie rozpoznaæ, czy ma do czynienia z~liter±
% ³aciñsk±, czy greck±.
%%</PLext>
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Indeksy
  górne\index{indeks!górny}} i~\textbf{wyk³adniki} otrzymujemy
za pomoc± znaku \verb|^|\index{^@\verb"+^"+},
a~\textbf{dolne\index{indeks!dolny}} -- stosuj±c
podkre¶lenie \verb|_|\index{_@\verb"+_"+}:
%
\begin{example}
$a_{1} x^{2} e^{-\alpha t}
a^{3}_{ij} e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Pierwiastek kwadratowy\index{pierwiastek kwadratowy}} sk³adamy
poleceniem \ci{sqrt}. Wielko¶æ znaku
pierwiastka jest przez \LaTeX{}a ustalana automatycznie. Zapis samego
znaku pierwiastka umo¿liwia instrukcja
\ci{surd}\footnote{Taki
    zapis jest wykorzystywany raczej w~literaturze
    anglosaskiej.}, natomiast pierwiastek stopnia~$n$
sk³adamy konstrukcj± \verb+\sqrt[+\emph{n}\verb+]+:
%
\begin{example}
$\sqrt{x} \sqrt{ x^{2}+\sqrt{y}}
\sqrt[3]{2} \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}
%
\noindent
Polecenia \ci{overline} oraz \ci{underline} umieszczaj± nad i~pod
wyra¿eniami poziome kreski:
%
\begin{example}
$\overline{m+n} \underline{x+y}$
\end{example}
%
\noindent
Instrukcje \ci{overbrace} oraz \ci{underbrace} umieszczaj± nad i~pod
wyra¿eniami poziome klamry:
%
\begin{example}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\end{example}
%
\noindent
Akcenty matematyczne\index{akcenty!matematyczne}, takie jak daszki czy
tyldy nad zmiennymi, umieszczamy we wzorze poleceniami
z~tabeli~\ref{mathacc}.  Szerokie daszki i~tyldy,
obejmuj±ce wiele symboli, wstawiamy za pomoc± instrukcji
\ci{widetilde} oraz \ci{widehat}.  Znakiem
\verb|'|\index{'@\verb"|'"|} oznaczamy
symbol~,,\wi{prim}'':
% a dash is --
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\hat y=x^{2}\quad y'=2x'''
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Wektory\index{wektor}} oznacza siê niekiedy
akcentem w~postaci strza³ki nad~nazw± zmiennej. S³u¿y do
tego polecenie \ci{vec}. Natomiast do oznaczenia wektora od
punktu~$A$ do punktu~$B$ korzystamy z~poleceñ \ci{overrightarrow}
oraz~\ci{overleftarrow}:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\vec a\quad\overrightarrow{AB}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Nazwy funkcji typu ,,logarytm'' nale¿y sk³adaæ odmian±
prost±, nie za¶ kursyw±, zarezerwowan± dla nazw zmiennych.
Oto lista poleceñ \LaTeX{}a s³u¿±cych do~sk³adu rozmaitych
funkcji matematycznych:
%
\begin{verbatim}
\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh
\arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup
\arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan
\arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh
\end{verbatim}
%
\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}

%%<PLext>
  W~Polsce nazwy niektórych funkcji trygonometrycznych ró¿ni± siê od
  anglosaskich. Pakiet \pai{polski} -- po do³±czeniu do dokumentu --
  zmienia na ¿yczenie standardowe funkcje {\LaTeX}a na
  zgodne ze zwyczajami polskimi. Oto angielskie
  orygina³y: \begingroup\EnglishTrygFunctions $\tan$, $\coth$, $\tanh$,
  $\arccos$, $\arcsin$ \endgroup i~ich polskie odpowiedniki: $\tan$,
  $\ctgh$, $\tanh$, $\arccos$, $\arcsin$.
%%</PLext>

\noindent
Dla funkcji typu modulo\index{modulo} istniej± dwie instrukcje:
\ci{bmod} dla binarnego operatora ,,$a \bmod b$'' oraz \ci{pmod} do
sk³adu takich wyra¿eñ jak ,,$x\equiv a \pmod{b}$''.
 %%
\begin{example}
$a\bmod b$\\
$x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

\noindent
\textbf{U³amki piêtrowe\index{u³amek!piêtrowy}} sk³ada siê poleceniem
\ci{frac}\verb|{...}{...}|. Do u³amków zwyk³ych\index{u³amek!zwyk³y}
czasami lepiej stosowaæ kreskê uko¶n±, zw³aszcza w~wypadku niewielkich
porcji materia³u u³amkowego, jak ,,$1/2$'':
%
\begin{example}
$1\frac{1}{2}$~godziny
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\quad
x^{ \frac{2}{k+1} }\quad x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Do sk³adu dwumianów lub podobnych konstrukcji mo¿emy
u¿yæ polecenia \verb|{... |\ci{choose}\verb| ...}| albo
\verb|{... |\ci{atop}\verb| ...}|. Instrukcja \ci{atop} 
daje efekt taki jak \ci{choose}, tyle ¿e bez nawiasów:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{n \choose k}\qquad {x \atop y+2}
\end{displaymath}
\end{example}
%
W~pakiecie \pai{amsmath} do sk³adu dwumianu Newtona dostêpne jest 
polecenie \ci{binom}:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\binom{n}{k}\qquad\mathrm{C}_n^k
\end{displaymath}
\end{example}

Do uzyskiwania symboli relacji binarnych mo¿e siê przydaæ
instrukcja \ci{stackrel}. Sk³ada ona swój  pierwszy
argument czcionk± pomniejszon±, jaka stosowana jest do indeksów, 
i~umieszcza go nad drugim argumentem, z³o¿onym czcionk± normalnej
wielko¶ci:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\int f_N(x) \stackrel{!}{=} 1
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent
\textbf{Znak ca³ki\index{znak!ca³ki}} sk³adamy poleceniem \ci{int},
\textbf{znak sumowania\index{znak!sumowania}\index{operator!sumowania}}
instrukcj±~\ci{sum}, za¶ 
\textbf{operator iloczynu\index{operator!iloczynu}} 
za pomoc± instrukcji \ci{prod}. 
Górne granice ca³kowania i~sumowania okre¶lamy za
pomoc±~\verb|^|, a~dolne -- znakiem \verb|_|, 
czyli podobnie jak w~wypadku indeksów
górnych i~dolnych\footnote{\AmS-\LaTeX{} ma dodatkowo 
wielolinijkowe indeksy dolne i~górne.}:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \quad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\qquad
\prod_\epsilon
\end{displaymath}
\end{example}
%
Pakiet \pai{amsmath} zawiera dwa dodatkowe narzêdzia do sterowania
po³o¿eniem indeksów w~z³o¿onych wyra¿eniach: instrukcjê
\ci{substack} i~otoczenie \ei{subarray}:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{\substack{0<i<n \\ 1<j<m}}
   P(i,j) =
\sum_{\begin{subarray}{l}
         i\in I\\
         1<j<m
      \end{subarray}}     Q(i,j)
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent
Do sk³adu \textbf{nawiasów\index{nawias}} i~innych
\textbf{ograniczników\index{ogranicznik}} typu
$(\;[\;\langle\;\|\;\updownarrow$ mamy rozmaito¶æ symboli. Nawiasy
okr±g³e i~kwadratowe wstawiamy bezpo¶rednio z~klawiatury. Do nawiasów
klamrowych stosujemy \verb+\{+~oraz~\verb+\}+. Wszystkie inne
ograniczniki wstawiamy, u¿ywaj±c specjalnych poleceñ,
np.~\ci{updownarrow}. Zestawienie dostêpnych ograniczników znajduje
siê w~tabeli~\ref{tab:delimiters} na stronie~\pageref{tab:delimiters}.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{a,b,c}\neq\{a,b,c\}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Poprzedzenie otwieraj±cego ogranicznika poleceniem \ci{left},
a~zamykaj±cego poleceniem \ci{right} powoduje automatyczne
ustalenie jego rozmiaru w~zale¿no¶ci od wielko¶ci zawartego
miêdzy nimi wyra¿enia.  Uwaga: ka¿de u¿ycie \ci{left}
oraz ogranicznika wymaga nawiasu zamykaj±cego poprzedzonego poleceniem
\ci{right}. Gdy ogranicznik ma siê pojawiæ tylko po jednej
stronie, wówczas po drugiej \emph{nale¿y} u¿yæ konstrukcji z~kropk±:
\verb|\left.| po lewej albo \verb|\right.| po prawej:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
\right) ^3
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
W pewnych sytuacjach trzeba samemu okre¶liæ w³a¶ciw± wielko¶æ
ogranicznika. Do tego celu s³u¿± instrukcje \ci{big}, \ci{Big},
\ci{bigg} oraz \ci{Bigg}, poprzedzaj±ce odpowiedni
ogranicznik\footnote{Polecenia te nie dzia³aj± zgodnie z~oczekiwaniami,
  gdy uprzednio zmieniono stopieñ pisma, na przyk³ad u¿yto
  opcji \popti{11pt} lub \popti{12pt}. W~takiej sytuacji nale¿y
  skorzystaæ z~pakietu \pai{exscale} albo pakietu \pai{amsmath}.}:
%
\begin{example}
$\Big( (x+1) (x-1) \Big) ^{2}$\\
$\big(\Big(\bigg(\Bigg($\quad
$\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}$\quad
$\big\|\Big\|\bigg\|\Bigg\|$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Wielokropek\index{wielokropek}} w~wyra¿eniach
matematycznych wprowadzamy poleceniem \ci{ldots}. Kropki pojawiaj±
siê wtedy na linii podstawowej\index{linia podstawowa}, 
to znaczy na jednakowej wysoko¶ci
z~przecinkiem czy kropk±. Instrukcja \ci{cdots} wstawia natomiast
inny rodzaj wielokropka, w~którym kropki znajduj± siê w~osi
znaków $+$, $-$, $=$:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{example}
\noindent
S±~jeszcze instrukcje \ci{vdots} oraz \ci{ddots}. Pierwsza z~nich
generuje wielokropek pionowy, a~druga -- sko¶ny (zobacz przyk³ad
w~punkcie~\ref{sec:vert}).


\section{Odstêpy w~trybie matematycznym }

Zdarzaj± siê sytuacje, kiedy wielko¶æ odstêpów\index{odstêp!w~trybie
  matematycznym} wewn±trz wyra¿eñ matematycznych jest niepoprawna. Mo¿na
je skorygowaæ odpowiednimi instrukcjami. Do wprowadzania niewielkich
odstêpów s³u¿y kilka poleceñ: \ci{,} wstawia odstêp równy $\frac{3}{18}$
em\footnote{W~programach komputerowych przyjê³o siê stosowanie jednostki
  \emph{em\/} równej szeroko¶ci litery ,,M'' w~bie¿±cym kroju pisma.
  Por.~te¿~\cite{nowacki-jm}.} (\demowidth{0.166em}), \ci{:} pozwala
uzyskaæ odstêp równy $\frac{4}{18}$ em (\demowidth{0.222em}) a~\ci{;} --
odstêp równy $\frac{5}{18}$ em (\demowidth{0.277em}). U¿ycie instrukcji
\verb*+\ + (spacja po znaku \verb+\+) prowadzi do utworzenia zwyk³ego
odstêpu miêdzywyrazowego; \ci{quad} -- odstêpu równego 1~em
(\demowidth{1em}), a~\ci{qquad} -- dwóm em (\demowidth{2em}).
%Odstêp uzyskany poleceniem \ci{quad} odpowiada
%szeroko¶ci litery ,,M'' w~bie¿±cym kroju pisma.  
Instrukcja
\verb|\!|\cih{"!} wstawia odstêp ,,ujemny'', to znaczy zamiast
zwiêkszaæ, zmniejsza odstêp miêdzy znakami. Wielko¶æ
tego odstêpu wynosi $-\frac{3}{18}$~em (\demowidth{0.166em}):
%
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} g(x,y)
\, \ud x\, \ud y
\end{displaymath}
 %
zamiast
\begin{displaymath}
\int\int_{D} g(x,y)\ud x \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zwróæmy uwagê, ¿e litera ,,d'' w~symbolu ró¿niczki
jest z³o¿ona odmian± prost±
pisma\footnote{W~Polsce do sk³adu litery ,,d'' 
    w~ró¿niczkach stosuje siê kursywê 
    matematyczn±.}.

Dziêki zdefiniowanym w~pakiecie
\AmS-\LaTeX{}\footnote{¦ci¶lej mówi±c, 
  w~pakiecie \pai{amsmath}.} takim
instrukcjom~jak: \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} oraz \ci{idotsint}
powy¿szy przyk³ad mo¿na z³o¿yæ du¿o pro¶ciej:
%
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\iint_{D} \, \ud x \, \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
 %
\noindent
Wiêcej wiadomo¶ci na ten temat znajdziemy 
w~pliku \verb+testmath.tex+,
który jest czê¶ci± pakietu {\AmS-\LaTeX} lub w~rozdziale ósmym 
podrêcznika~\cite{companion}.
%\emph{The {\LaTeX} Companion}.
%\footnote{\CTAN{info/ch8}.}. % <-- tego ju¿ nie ma ** tp **

\section{Wyrównywanie w~pionie\label{sec:vert} }

Do sk³adania macierzy u¿ywa siê otoczenia \ei{array}.
Dzia³a ono podobnie do wcze¶niej omówionego otoczenia
\texttt{tabular}.  U¿ywane w~przyk³adzie polecenie~\verb|\\| oznacza
przej¶cie do nowego wiersza macierzy:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Otoczeniem \ei{array} mo¿emy siê pos³u¿yæ tak¿e
do sk³adania wyra¿eñ zawieraj±cych tylko jeden
ogranicznik, po prawej lub po lewej stronie, stosuj±c konstrukcjê z~kropk±
\verb|\right.| lub \verb+\left.+:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
y = \left\{ \begin{array}{ll}
a & \textrm{je¿eli $d>c$}\\
b+x & \textrm{rano}\\
l & \textrm{w~ci±gu dnia}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{example}
%
Podobnie jak w~wypadku otoczenia \ei{tabular}, tak¿e w~otoczeniu
\ei{array} mo¿na wstawiaæ pionowe i~poziome kreski, np.~oddzielaj±ce
poszczególne rubryki macierzy:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c|c}
 1 & 2 \\ \hline
3 & 4
\end{array}\right)
\end{displaymath}
\end{example}
 %
\noindent
Do sk³adu wyra¿eñ wielowierszowych mo¿na u¿yæ -- zamiast otoczenia
\ei{equation} -- otoczeñ \ei{eqnarray} lub \ei{eqnarray*}.
W~otoczeniu \ei{eqnarray} ka¿dy wiersz zawartego w~nim wyra¿enia
otrzymuje osobny numer; w~otoczeniu \ei{eqnarray*} wiersze nie s±
numerowane. Otoczenia \ei{eqnarray} oraz \ei{eqnarray*}
dzia³aj± jak trójkolumnowa tabela w~uk³adzie \verb|{rcl}|. W~takiej
tabeli w~¶rodkowej kolumnie wstawiamy zwykle znaki równo¶ci lub
nierówno¶ci. Poleceniem~\verb|\\| ³amiemy zawarto¶æ otoczenia 
na wiersze:
%
\begin{example}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x \\
f'(x) & = & -\sin x \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
= & \sin x
\end{eqnarray}
\end{example}
%
\noindent
Zwróæmy uwagê, ¿e 
% fatalnie siê ³amie --tp-
%wstawiony przez {\LaTeX}a 
odstêp po obu stronach
znaku równo¶ci jest do¶æ du¿y. Mo¿na go zmniejszyæ poleceniem
\verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|\index{arraycolsep@\verb+arraycolsep+}, 
które najlepiej jest umie¶ciæ w~preambule dokumentu.

{\LaTeX} nie dzieli automatycznie d³ugich wyra¿eñ, niemieszcz±cych
siê w~jednym wierszu.  Musimy to zrobiæ sami. Najczê¶ciej stosuje siê
takie sposoby:
%
\begin{example}
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
+\frac{x^{5}}{5!}-{}
\nonumber\\
& & {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots
\end{eqnarray}}
\end{example}
%\pagebreak[1]

\begin{example}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
-\frac{x^{2}}{2!} +{} }
\nonumber\\
& & {}+\frac{x^{4}}{4!}
-\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots
\end{eqnarray}
\end{example}
%
%\enlargethispage{\baselineskip}
%
\noindent
\LaTeX{} nie generuje numeru w~tym wierszu wyra¿enia, w~którym
pojawia~siê polecenie \ci{nonumber}.

Z³o¿enie w~ten sposób du¿ych i~skomplikowanych wyra¿eñ mo¿e~siê jednak
okazaæ do¶æ~trudne. Lepiej wtedy u¿yæ pakietu \pai{amsmath}, w~którym
mamy do dyspozycji otoczenia \ei{align}, \ei{flalign}, \ei{gather},
\ei{multline} i~\ei{split}.

\section{Fantomy}

Fantomów nie mo¿na zobaczyæ, mimo to zajmuj± one w~naszych umys³ach trochê 
miejsca. Nie inaczej jest w~\LaTeX{}u, co pozwala robiæ z~odstêpami
ró¿ne sztuczki.

Podczas wyrównywania w~pionie tekstu z~indeksami \verb|^| b±d¼ \verb|_| 
\LaTeX{} bywa nadgorliwy. Polecenie \ci{phantom} pozwala
rezerwowaæ miejsce na znaki, które nie maj± siê pojawiæ w~ostatecznym
wydruku. Naj³atwiej to zrozumieæ, analizuj±c przyk³ad:
\begin{example}
\begin{displaymath}
{}^{12}_{\phantom{1}6}\textrm{C}
\qquad \textrm{versus} \qquad
{}^{12}_{6}\textrm{C}
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{example}
\begin{displaymath} 
\Gamma_{ij}^{\phantom{ij}k}
\qquad \textrm{versus} \qquad
\Gamma_{ij}^{k}
\end{displaymath}  
\end{example}

\section{Stopieñ pisma}

W~trybie matematycznym stopieñ pisma dobierany jest automatycznie,
zale¿nie od kontekstu. Indeksy górne {\LaTeX} sk³ada na przyk³ad
mniejsz± czcionk±. Gdy wewn±trz wyra¿enia matematycznego zachodzi
potrzeba z³o¿enia fragmentu normalnego tekstu, a~u¿yjemy polecenia
\ci{textrm}, to nie zadzia³a mechanizm prze³±czania stopni pisma.
Bêdzie tak, poniewa¿ polecenie \ci{textrm} powoduje tymczasowe
przej¶cie do trybu tekstowego.

Zamiast \ci{textrm} mo¿na u¿yæ polecenia \ci{mathrm}, które zachowuje
mechanizm zmiany stopnia pisma. Pamiêtajmy jednak, ¿e dzia³a ono
poprawnie w~zasadzie tylko dla pojedynczych wyrazów, poniewa¿ znaki
odstêpów s± ignorowane. Ponadto nie~dzia³a zgodnie z~oczekiwaniami
mechanizm akcentowania\footnote{W~pakiecie {\AmS-\LaTeX}
  polecenie~\ci{textrm} zosta³o poprawione i~umo¿liwia automatyczn±
  zmianê stopnia pisma zale¿nie od kontekstu. Pakiet ten nie tylko
  poprawia dzia³anie \ci{textrm}, ale te¿ definiuje instrukcjê \ci{text}
  do wstawiania fragmentów ,,normalnego'' tekstu wewn±trz wzorów.}:
%
\begingroup
%% Polecenie \RestoreStandardLaTeX przywraca domy¶lne dzia³anie
%% polecenia \textrm, patrz. lshort2e.sty:
\RestoreStandardLaTeX
\begin{example}
\begin{equation}
2^{\textrm{nd rd}^\textrm{th}} \quad
2^{\mathrm{nd rd}^\mathrm{th}}
\end{equation}
\end{example}
\endgroup
%
\noindent
Czasami musimy wyra¼nie okre¶liæ stopieñ pisma, jakim
chcemy siê pos³u¿yæ.  W~trybie matematycznym
mo¿emy do tego stosowaæ cztery nastêpuj±ce polecenia:
%
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
\ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) oraz
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}
%
\noindent
Zmiana stylu dotyczy tak¿e sposobu sk³adania indeksów
górnych i~dolnych, jak granice sumowania czy
ca³kowania:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{cov}}(X,Y)=
\frac{\displaystyle
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)
(y_i-\overline y)}
{\displaystyle\biggl[
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2
\sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2
\biggr]^{1/2}}
\end{displaymath}
\end{example}
 % This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
 % mathop gets the spacing right.
 %
\noindent
Powy¿szy przyk³ad ilustruje sytuacjê, w~której nale¿y zastosowaæ
polecenie \ci{biggl} b±d¼ \ci{biggr}, poniewa¿ nawiasy pochodz±ce
z~konstrukcji \verb|\left[|~oraz \verb|\right]| by³yby zbyt ma³e.

\section{Twierdzenia, definicje, itp.\label{sec:newt}}

W~pracach matematycznych wystêpuje potrzeba wyró¿niania w~sk³adzie
zapisu lematów, definicji, aksjomatów i~tym podobnych
elementów. Do zdefiniowania nowego typu elementu s³u¿y 
%w~\LaTeX{}u 
polecenie:
%
\begin{command}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{nazwa'}\verb|]{|%
\emph{tekst}\verb|}[|\emph{punkt}\verb|]|
\end{command}
%
\noindent
Argument \emph{nazwa\/} oznacza nazwê otoczenia, za¶ \emph{tekst\/} jest
napisem, który zostanie wydrukowany; mo¿e to byæ ,,Twierdzenie'',
,,Definicja'' itp. Argumenty w~nawiasach kwadratowych s± nieobowi±zkowe.
Za ich pomoc± okre¶lamy sposób numerowania twierdzeñ. Opcjonalny
argument \emph{nazwa'} to nazwa elementu uprzednio zdefiniowanego
poleceniem \ci{newtheorem}. Je¶li ten argument podano, to otoczenia
\mbox{\emph{nazwa}} oraz \emph{nazwa'} bêd± posiada³y wspóln± numeracjê.
Argument \emph{punkt} okre¶la sposób numerowania twierdzeñ: je¿eli
umie¶cimy tam na przyk³ad \texttt{chapter}, to elementy bêd± numerowane
w~obrêbie rozdzia³ów. Domy¶lnie otoczenia definiowane za pomoc±
\ci{newtheorem} s± numerowane w~sposób ci±g³y w~obrêbie ca³ego
dokumentu.

Po umieszczeniu instrukcji 
\verb+\newtheorem{+\emph{nazwa}\verb+}...+%
\cih{newtheorem} w~preambule mo¿na otoczenie
\emph{nazwa} stosowaæ w~nastêpuj±cy sposób:
%
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{tekst}\verb|]|\\
Oto moje interesuj±ce twierdzenie\\
\verb|\end{|\emph{nazwa}\verb|}|
\end{code}
 %
\noindent
Instrukcja \ci{newtheoremstyle}\verb|{|\emph{style}\verb|}| z~pakietu
\pai{amsthm} pozwala okre¶liæ sposób formatowania twierdzenia przez
wybór spo¶ród trzech predefiniowanych stylów: 
\texttt{definition} (wyt³uszczony tytu³, tre¶æ z³o¿ona pismem prostym), 
\texttt{plain} (wyt³uszczony tytu³, tre¶æ zapisana kursyw±) oraz 
\texttt{remark} (tytu³ zapisany kursyw±, tre¶æ -- pismem prostym).

Tyle teoria. Poni¿sze przyk³ady usun±, miejmy nadziejê,
wszelkie w±tpliwo¶ci i~jednocze¶nie u¶wiadomi±, 
¿e dzia³anie otoczenia \ci{newtheorem} nie³atwo zrozumieæ:
%
\begin{example}
% definicje w~preambule
\newtheorem{twr}{Twierdzenie}
\newtheorem{lem}[twr]{Lemat}
% po \begin{document}
\begin{lem} Pierszy
lemat\dots\label{lem:1} \end{lem}
\begin{twr}[Dyzma]
Przyjmuj±c w~lemacie~\ref{lem:1},
¿e $\epsilon=0$\dots \end{twr}
\begin{lem}Trzeci lemat\end{lem}
\end{example}
%
\noindent
Elementy Twierdzenie i~Lemat u¿ywaj± tego samego licznika. Argument
nieobowi±zkowy (wewn±trz nawiasów kwadratowych) s³u¿y do
umieszczenia komentarza, w~postaci nazwiska twórcy itp.
%
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur} Je¿eli co¶ mo¿na 
wykonaæ na dwa lub wiêcej sposobów, 
przy czym jeden z~nich prowadzi do 
katastrofy, to sposób ten zostanie 
przez kogo¶ wybrany.\end{mur}
\end{example}
%
\noindent
Numeracja twierdzenia ,,Murphy'ego'' jest tu powi±zana z~numeracj±
kolejnych punktów. Mo¿na te¿ do numerowania twierdzeñ stosowaæ inne
jednostki podzia³u dokumentu, jak rozdzia³y czy podpunkty.

W~pakiecie \pai{amsthm} znajduje siê te¿ otoczenie \ei{proof} 
do zapisywania dowodów:
 %
\begin{example}
\begin{proof}
Banalne. U¿yj \[E=mc^2\]
\end{proof}
\end{example}
 %
\noindent
Polecenie \ci{qedhere} pozwala wstawiæ 
symbol ,,koñca dowodu''\index{symbol!koñca dowodu} 
w~okre¶lonym miejscu zamiast 
domy¶lnego umieszczania go w~oddzielnym wierszu:
 %
\begin{example}
\begin{proof}
Banalne. U¿yj \[E=mc^2 \qedhere\]
\end{proof}
\end{example}

\section{Symbole pó³grube }

Wstawianie symboli pó³grubych jest w~{\LaTeX}u zadaniem do¶æ trudnym.
Byæ mo¿e jest tak celowo, poniewa¿ sk³adacze{\dywiz}amatorzy maj± sk³onno¶æ
do ich nadu¿ywania. Poleceniem \ci{mathbf} uzyskamy odmianê
pó³grub±. Nie bêdzie to niestety pó³gruba kursywa, jak± zwykle
sk³adane s± symbole matematyczne.  Istnieje co prawda polecenie
\ci{boldmath}, ale mo¿na go u¿yæ jedynie \emph{poza trybem
  matematycznym}. Jego dzia³anie obejmuje równie¿ symbole.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad
\mbox{\boldmath $\mu, M$}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zauwa¿my, ¿e przecinek te¿ zosta³ z³o¿ony w~odmianie pó³grubej, co
z~regu³y jest niepo¿±danym efektem.

Pakiet \pai{amsbsy}, do³±czany przez \pai{amsmath}, czyni zadanie du¿o
³atwiejszym. W~pakiecie tym dostêpne s± polecenia \ci{boldsymbol} oraz
\ci{pmb}. Instrukcja \texttt{pmb} imituje znak pó³gruby przez
wydrukowanie dwóch nak³adaj±cych siê na siebie znaków, z³o¿onych
w~odmianie normalnej. Mo¿na tym sposobem uzyskaæ symbole pó³grube nawet
wtedy, gdy w~systemie brak odpowiednich fontów.

\ifx\boldsymbol\undefined\else
\begin{example}
\begin{displaymath} \mu, M \quad
\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{M}\quad
\pmb{\mu}, \pmb{M} \end{displaymath}
\end{example}
\fi

\input {lssym}


\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "lshort2e"
%%% coding: latin-2
%%% case-fold-search: nil
%%% LocalWords: absolutne wielolinijkowe Dyzma Murphy
%%% LocalWords: American Mathematical Society
%%% ispell-local-dictionary: "polish"
%%% End: