summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/info/lshort/estonian/src/math.tex
blob: 12168b65af436b740f2d17a9667cc974eb81d143 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex 534 2015-04-09 13:03:16Z oetiker $
%
% Changes by Stefan M. Moser: 2008/10/22
%
% -Section 2: "Single Equations": added comment about preference of
%  equation* over \[
% -Replaced (almost) all examples with \[ by equation*
% -New section 4: "Single Equations that are Too Long: multline"
% -New section 5: "Multiple Equations"
% -Section 6: "Arrays and Matrices": made a full section and added
%  some material
% -Section 9: "Theorems, Lemmas, ...": added a subsection about proofs
%  with new material
%
% Other Changes:
% -in lshort.sty:
%    *example environment adapted: changed in three places
%     \textwidth by \linewidth. This is necessary for
%     example-environment within a itemize-list.
%    *added \RequirePackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}
%
% THINGS TO DO:
% -adapt typesetting of new sections to rest of lshort, including all
%  the usual commands used so far. In particular, I guess we have to
%  get rid of the \verb-commands everywhere
% -include index-commands
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Valemite vormistamine}

\begin{intro}
Nüüd oled valmis! Selles peatükis ründame \TeX i peamist tugevust,
valemite ladumist. Kuid ole hoiatatud, see peatükk puudutab ainult
pealispinda. Kuigi siin selgitatud asjad on enamasti piisavad, ära heida
meelt, kui siit oma valemite vormistusprobleemile lahendust ei leia.
Väga tõenäoliselt on seda probleemi käsitletud \AmS-\LaTeX is.
\end{intro}

\section{\texorpdfstring{\AmS}{AMS}-\LaTeX i komplekt}

Soovides panna kirja (keerukamaid) \index{valem}valemeid, tuleks
kasutada \index{AmSLaTeX@\AmS-\LaTeX}\AmS-\LaTeX i. \AmS-\LaTeX{} on
kogum pakette ja klasse matemaatilise trükiladumise tarbeks. Enamasti
tegeleme selle komplekti paketiga \pai{amsmath}. \AmS-\LaTeX i on loonud
\wi{Ameerika Matemaatika Selts} ja seda kasutatakse laialdaselt
matemaatilise teksti vormistamiseks. Ka \LaTeX il endal on olemas mõned
elementaarsed vahendid ja keskkonnad valemite moodustamiseks, kuid need
on piiratud (või ehk vastupidigi: \AmS-\LaTeX{} on \emph{piiramatu}!) ja
mõnel juhul ebaühtlased.

\AmS-\LaTeX{} kuulub distributsiooni tuuma ja tuleb kaasa kõigi
hilisemate \LaTeX i distributsioonidega.\footnote{Kui see siiski
konkreetsest distributsioonist puudub, tuleks seda otsida aadressilt
\CTAN|pkg/amslatex|.} Selles peatükis eeldame, et \pai{amsmath} loetakse
sisse preambulis: \verb|\usepackage{amsmath}|.

\section{Üksikvalemid}

Valemi võib trükkida rea sees (\emph{\wi{tekstistiil}is}) või
tükeldada lõik ja trükkida valem eraldi real
(\emph{\wi{esitlusstiil}is}). Lõigu \emph{sees} olevad valemid
kirjutatakse \index{$@\texttt{\$}} %$
\texttt{\$} ja \texttt{\$} vahele:

\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. Või
matemaatilisemalt kõneldes:
$a^2 + b^2 = c^2$
\end{example}
\begin{example}
\TeX{} hääldub kui
$\tau\epsilon\chi$\\[5pt]
100~m$^{3}$ vett\\[5pt]
See tuleb minu $\heartsuit$-st
\end{example}

Kui on vaja, et suurem valem trükitaks ülejäänud lõigust eraldi, siis on
mõistlik ta \emph{esile tõsta}. Selleks tuleks valem panna
spetsiaalsesse valemikeskkonda käskude
\verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| ja \verb|\end{equation}|
vahele.\footnote{See on \pai{amsmath}i keskkond. Kui mingil arusaamatul
põhjusel sellele paketile juurdepääs puudub, võib selle asemel kasutada
\LaTeX i enda keskkonda \ei{displaymath}.} Seejärel saab käsu \ci{label}
abil ära märkida valemi numbri ja viidata sellele mujalt tekstist käsuga
\ci{eqref}. Kui on tarvis anda valemile omaette nimi, võib selle määrata
käsuga \ci{tag}.
\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. Või
matemaatilisemalt kõneldes:
 \begin{equation}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation}
Einstein ütleb:
 \begin{equation}
   E = mc^2 \label{tark}
 \end{equation}
Ta ei ütelnud
 \begin{equation}
  1 + 1 = 3 \tag{rumal}
 \end{equation}
See on viide valemile
\eqref{tark}.
\end{example}

Kui valemeid ei ole vaja automaatselt nummerdada, siis tuleks kasutada
keskkonna \ei{equation} tärniga varianti
\ei{equation*},\footnote{See on jällegi \pai{amsmath}. Standard-\LaTeX
is on olemas ainult keskkond \ei{equation} ilma
tärnita.}\index{keskkond!tärniga}\index{tärniga keskkond} või mis veel
lihtsam, panna valem \ci{[} ja \ci{]} vahele:
\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. Või
matemaatilisemalt kõneldes:
 \begin{equation*}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation*}
või vähema sisestamistööga,
aga ikka sama tulemust saades:
 \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\end{example}
Kuigi \ci{[} on lühike ja kena, ei luba ta ümberlülitumist nummerdatud ja
nummerdamata stiili vahel nii lihtsasti kui \ei{equation} ja
\ei{equation*}.

Tasub tähele panna erinevust \wi{tekstistiil}is ja \wi{esitlusstiil}is
valemite vahel:
\begin{example}
See on tekstistiil:
$\lim_{n \to \infty}
 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
 = \frac{\pi^2}{6}$.
Ja see on esitlusstiil:
 \begin{equation}
  \lim_{n \to \infty}
  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
  = \frac{\pi^2}{6}
 \end{equation}
\end{example}

Tekstistiilis võib kõrged või sügavad matemaatilised avaldised või
alam"-avaldised anda käsu \ci{smash} argumendiks. Sellega ignoreerib
\LaTeX{} nende avaldiste püstsuunalist ulatust, mis hoiab reavahe
ühtlasena.

\begin{example}
Avaldis $a_{l_{l_a}}$, millele
järgneb teine avaldis
$\ddot u^{l^{e^s}}$. Võrdluseks
purustatud avaldis
\smash{$a_{l_{l_a}}$}, millele
järgneb avaldis
\smash{$\ddot u^{l^{e^s}}$}.
\end{example}

\subsection{Valemire\v{z}iim}

Erinevusi on ka \emph{\wi{valemire\v{z}iim}i} ja
\emph{tekstire\v{z}iimi} vahel. Näiteks on \emph{valemire\v{z}iimil}
järgmised iseärasused.

\begin{enumerate}

\item \index{vahe!valemis}\index{tühik!valemis}Enamikul tühikutel ja
reavahetustel puudub igasugune tähtsus, sest kõik tühikud kas
tuletatakse loogiliselt avaldisest endast või sisestatakse erikäskudega
nagu \ci{,}, \ci{quad} või \ci{qquad} (hiljem tuleme selle juurde
tagasi, vt jaotist~\ref{sec:math-spacing}).

\item Tühjad read ei ole lubatud. Ainult üks lõik valemi kohta.

\item Iga tähte käsitletakse muutujanimena ja vormistatakse vastavalt.
Kui valemi sees on vaja trükkida tavalist teksti (tavalises püstkirjas
ja tavaliste vahedega), siis tuleks see tekst valemisse lisada käsuga
\verb|\text{...}| (vt ka jaotist \ref{sec:fontsz} leheküljel
\pageref{sec:fontsz}).

\end{enumerate}
\begin{example}
$\forall x \in \mathbf{R}:
 \qquad x^{2} \geq 0$
\end{example}
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{iga }x\in\mathbf{R}
 \text{ puhul}$
\end{example}

Matemaatikud võivad olla sümbolite suhtes väga pirtsakad: harilikult
kasutatakse siin "`\wi{tahvlipaks}u"' kirja,\index{paksud sümbolid} mis
saadakse käsuga \ci{mathbb} paketist \pai{amssymb}.\footnote{Pakett
\pai{amssymb} ei kuulu paketikogumikku
\AmS-\LaTeX{}, kuid installitud \LaTeX i
süsteemis on ta arvatavasti siiski olemas. Tasub kontrollida oma
distributsiooni või hankida see pakett aadressilt
\CTAN|pkg/amsfonts|.}\index{AmSLaTeX@\AmS-\LaTeX}
\ifx\mathbb\undefined\else Viimane näide teiseneb siis kujule
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{iga } x
 \in \mathbb{R} \text{ puhul}$
\end{example}
\fi
Valemikirju leiab ka tabelist~\ref{mathalpha}
leheküljel~\pageref{mathalpha} ja tabelist~\ref{mathfonts}
leheküljel~\pageref{mathfonts}.

\section{Valemite ehituskivid}

Selles jaotises kirjeldame kõige tähtsamaid valemitrükkimiskäske. Enamik
selle jaotise käskudest ei nõua paketti \pai{amsmath} (kui nõuavad,
siis on see selgelt välja toodud), kuid nimetatud paketi võib ikkagi
sisse lugeda.

\textbf{Väikesed \wi{kreeka tähed}} sisestatakse kui \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots{} ning suured tähed kui
\verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{Suurt alfat, beetat jne
\LaTeX{} ei defineeri, sest need näevad välja samasugused nagu ladina A,
B, \ldots}

Kreeka tähtede loend on tabelis~\ref{greekletters}
leheküljel~\pageref{greekletters}.
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\theta,
 \mu,\Phi,\Omega,\Delta$
\end{example}

\textbf{Astendajad}, \textbf{ülaindeksid} ja \textbf{alaindeksid}
määratakse
sümbolitega\index{astendaja}\index{ülaindeks}\index{alaindeks}
\verb|^|\index{^@\texttt{\^{}}} ja \verb|_|\index{_@\texttt{\_}}. Enamik
valemire\v{z}iimi käske mõjutab ainult järgmist märki, mistõttu tuleks
olukorras, kus käsu mõju peab ulatuma mitmele märgile, ühendada need
\index{rühm}rühmaks looksulgude \verb|{...}| abil.

Tabelis~\ref{binaryrel} leheküljel~\pageref{binaryrel} on loetletud
palju kahekohalisi relatsioone, nagu näiteks $\subseteq$ ja $\perp$.

\begin{example}
$p^3_{ij} \qquad
 m_\text{Knuth}\qquad
\sum_{k=1}^3 k \\[5pt]
 a^x+y \neq a^{x+y}\qquad
 e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}

\textbf{\index{ruutjuur}Ruutjuur} saadakse kui \ci{sqrt}, $n$-s juur
sisestatakse konstruktsiooniga \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. Juure suuruse
valib \LaTeX{} automaatselt. Kui vaja on ainult juuremärki, siis selleks
on käsk \ci{surd}.

Tabelis~\ref{tab:arrows} leheküljel \pageref{tab:arrows} on kujutatud
mitmesugust liiki nooled, nagu $\hookrightarrow$ ja $\rightleftharpoons$.
\begin{example}
$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2}
 \quad \sqrt[3]{2}
 \quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}
 \quad \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}

\index{punktid}
\index{vertikaalpunktid}
\index{horisontaalpunktid}

Kuigi \textbf{\wi{korrutamispunkt}} jäetakse tavaliselt
kirjutamata, pannakse ta mõnikord siiski selleks, et aidata silmal
valemit rühmitada. Üksiku tsentreeritud punkti trükib käsk \ci{cdot}.
Tsentreeritud \index{kolm
punkti}\index{punktid}\index{mõttepunktid}\index{...@\ldots}\textbf{kolm
punkti} saab käsuga \ci{cdots} ning
madalal (alusjoonel) asuvad kolm punkti käsuga \ci{ldots}. Lisaks on
olemas käsud \ci{vdots} vertikaalsete ja \ci{ddots} \index{diagonaalsed
punktid}diagonaalsete punktide jaoks. Rohkem näiteid leiab
jaotisest~\ref{sec:arraymat}.
\begin{example}
$\Psi = v_1 \cdot v_2
 \cdot \ldots \qquad
 n! = 1 \cdot 2
 \cdots (n-1) \cdot n$
\end{example}

Käsud \ci{overline} ja \ci{underline} panevad avaldise kohale või alla
\textbf{horisontaaljoone}: \index{horisontaaljoon}
\index{joon!horisontaalne}
\begin{example}
$0{,}\overline{3} =
 \underline{\underline{1/3}}$
\end{example}

Käsud \ci{overbrace} ja \ci{underbrace} joonistavad avaldise kohale või
alla pika \textbf{horisontaalsulu}: \index{horisontaalsulg}
\index{sulg!horisontaalne}
\begin{example}
$\underbrace{\overbrace{a+b+c}^6
 \cdot \overbrace{d+e+f}^7}
 _\text{elu mõte} = 42$
\end{example}

\index{diakriitilised märgid!valemis}Tabelis~\ref{mathacc}
leheküljel~\pageref{mathacc} on loetletud käsud, millega saab muutujate
kohale lisada matemaatilisi lisamärke nagu \textbf{väikesed nooled} või
\textbf{\wi{tilde}}. Laiad katused ja tilded, mis haaravad mitu märki,
moodustatakse käskudega \ci{widehat} ja \ci{widetilde}. Tähele tasub
panna käskude \ci{hat} ja \ci{widehat} erinevust ning käsu \ci{bar}
ülakriipsu asukohta alaindeksiga muutuja puhul.
\index{apostroof}Apostroof \verb|'| annab
\wi{priim}i: % a dash is --
\begin{example}
$f(x) = x^2 \qquad f'(x)
 = 2x \qquad f''(x) = 2\\[5pt]
 \hat{XY} \quad \widehat{XY}
 \quad \bar{x_0} \quad \bar{x}_0$
\end{example}

\textbf{Vektorid}\index{vektor} määratakse sageli väikese
\index{noolemärk}noolemärgi lisamisega muutuja kohale, seda saab teha
käsuga \ci{vec}. Käskudega \ci{overrightarrow} ning \ci{overleftarrow}
saab märkida vektorit punktist $A$ punkti $B$:
\begin{example}
$\vec{a} \qquad
 \vec{AB} \qquad
 \overrightarrow{AB}$
\end{example}

Funktsioonide nimed vormistatakse harilikult püstkirjas, mitte kursiivis
nagu muutujad, seetõttu on \LaTeX is olemas järgmised käsud kõige
sagedasemate funktsiooninimede trükkimiseks: \index{funktsiooninimed}
\begin{center}
\begin{tabular}{llllll}
\ci{arccos} &  \ci{cos}  &  \ci{csc} &  \ci{exp} &  \ci{ker}    & \ci{limsup} \\
\ci{arcsin} &  \ci{cosh} &  \ci{deg} &  \ci{gcd} &  \ci{lg}     & \ci{ln}     \\
\ci{arctan} &  \ci{cot}  &  \ci{det} &  \ci{hom} &  \ci{lim}    & \ci{log}    \\
\ci{arg}    &  \ci{coth} &  \ci{dim} &  \ci{inf} &  \ci{liminf} & \ci{max}    \\
\ci{sinh}   & \ci{sup}   &  \ci{tan}  & \ci{tanh}&  \ci{min}    & \ci{Pr}     \\
\ci{sec}    & \ci{sin} \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{example}
\begin{equation*}
  \lim_{x \rightarrow 0}
  \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation*}
\end{example}

Sellest nimekirjast puuduvaid funktsioone saab ise defineerida käsuga
\ci{DeclareMathOperator}. Sellest olemas ka tärniga versioon rajadega
funktsioonide jaoks.\index{käsk!tärniga}\index{tärniga käsk} See käsk
töötab ainult preambulis, nii et alltoodud näite kommenteeritud read
tuleb panna preambulisse:
\begin{example}
%\DeclareMathOperator{\argh}{argh}
%\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut}
\begin{equation*}
  3\argh = 2\nut_{x=1}
\end{equation*}
\end{example}

\index{moodulifunktsioon}Moodulifunktsiooni saamiseks on kaks käsku:
\ci{bmod} kahekohalise operaatori $a \bmod b$ jaoks ja \ci{pmod}
avaldiste nagu $x\equiv a \pmod{b}$ jaoks:
\begin{example}
$a\bmod b \\
 x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

Mitmekorruselised \index{murd}\textbf{murrud} luuakse käsuga
\ci{frac}\verb|{...}{...}|.
\index{tekstistiil}\index{esitlusstiil}Tekstistiilis valemites
vormistatakse murd kokkusurutult, et ta reale ära mahuks. Esitlusstiilis
saab seda stiili jäljendada käsuga \ci{tfrac}. Vastupidine, st
esitlusstiilis valem teksti sees, moodustatakse käsuga \ci{dfrac}. Tihti
on eelistatum kaldkriipsuga kuju $1/2$, sest see näeb väikese koguse
"`murrulise materjali"' puhul parem välja:
\begin{example}
Esitlusstiilis:
\begin{equation*}
  3/8 \qquad \frac{3}{8}
  \qquad \tfrac{3}{8}
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Tekstistiilis:
$1\frac{1}{2}$~tundi \qquad
$1\dfrac{1}{2}$~tundi
\end{example}

Käsk \ci{partial} annab \wi{osatuletis}e märgi:
\begin{example}
\begin{equation*}
  \sqrt{\frac{x^2}{k+1}}\qquad
  x^\frac{2}{k+1}\qquad
  \frac{\partial^2f}
  {\partial x^2}
\end{equation*}
\end{example}

\index{binoomkordaja}Binoomkordajate või sarnaste struktuuride
trükkimiseks on käsk
\ci{binom} paketist \pai{amsmath}:
\begin{example}
Pascali valem on
\begin{equation*}
 \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
 + \binom{n-1}{k-1}
\end{equation*}
\end{example}

Kahekohaliste relatsioonide puhul võib teinekord olla vaja paigutada
märke üksteise kohale. Käsk \ci{stackrel}\verb|{#1}{#2}| paneb
argumendis \verb|#1| antud märgi ülaindeksi suurusena argumendi
\verb|#2| kohale, mis ise trükitakse tavalisse asukohta.
\begin{example}
\begin{equation*}
 f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1
\end{equation*}
\end{example}

\textbf{\index{integraaloperaator}Integraaloperaatori} märk
moodustatakse käsuga \ci{int}, \textbf{\wi{summaoperaator}i} märk käsuga
\ci{sum} ja \textbf{\wi{korrutamisoperaator}i} märk käsuga \ci{prod}.
Ülemine ja alumine raja määratakse sümbolitega
\index{^@\texttt{\^{}}}\verb|^|~ja~\index{_@\texttt{\_}}\verb|_| nagu
ülaindeks ja alaindeks:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \qquad
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{equation*}
\end{example}

Saavutamaks suuremat kontrolli indeksite paigutuse üle keerukamates
avaldistes, on paketis \pai{amsmath} defineeritud käsk \ci{substack}:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum^n_{\substack{0<i<n \\
        j\subseteq i}}
   P(i,j) = Q(i,j)
\end{equation*}
\end{example}

\LaTeX is on saadaval iga sorti märgid \textbf{\index{sulud}sulgude}
ja muude \textbf{\index{piirajad}piirajate} jaoks
(nt~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$). Ümar- ja nurksulge võib lisada
vastavate klahvidega ning looksulge käsuga \verb|\{|, kuid kõik
ülejäänud piirajad genereeritakse spetsiaalsete käskudega
(nt~\verb|\updownarrow|).
\begin{example}
\begin{equation*}
{a,b,c} \neq \{a,b,c\}
\end{equation*}
\end{example}

Kui avava piiraja ette lisada \ci{left} ja sulgeva piiraja ette
\ci{right}, siis valib \LaTeX{} automaatselt piiraja õige suuruse. Iga
\ci{left} jaoks peab olemas olema vastav sulgev \ci{right}. Kui sulgevat
piirajat pole, siis tuleb kasutada nähtamatut sulgejat \ci{right.}:
\begin{example}
\begin{equation*}
1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
    \right)^3 \qquad
\left. \ddagger \frac{~}{~}\right)
\end{equation*}
\end{example}

Mõnel juhul tuleb seada valemis piiraja õige suurus käsitsi, selleks
võib enamiku piirajate ette lisada käsu \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg}
või \ci{Bigg}:
\begin{example}
$\Big((x+1)(x-1)\Big)^{2}$\\
$\big( \Big( \bigg( \Bigg( \quad
\big\} \Big\} \bigg\} \Bigg\} \quad
\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad
\big\Downarrow \Big\Downarrow
\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$
\end{example}
Kõigi võimalike piirajate nimekiri on toodud tabelis~\ref{tab:delimiters}
leheküljel \pageref{tab:delimiters}.

\section{Liiga pikad üksikvalemid: \ei{multline}}
\index{pikad valemid}\index{valem!pikk}
\label{sec:multline}

Kui valem on liiga pikk, tuleb teda mingit viisi murda. Paraku pole
murtud valemid tüüpiliselt nii lihtsasti loetavad kui murdmata valemid.
Loetavuse parandamiseks on olemas mõned reeglid, kuidas murdmist
sooritada.
\begin{enumerate}
\item Üldiselt tuleks alati murda valemit \emph{enne} võrdusmärki või
  tehtemärki.
\item Murdmine enne võrdusmärki on eelistatum võrreldes murdmisega enne
  ükskõik millist tehtemärki.
\item Murdmine enne pluss- või miinusmärki on eelistatum võrreldes
  murdmisega enne korrutamismärki.
\item Igasugust muud tüüpi murdmist tuleks võimalikult vältida.
\end{enumerate}
Kõige lihtsam viis valemit murda on kasutada keskkonda
\ei{multline}:\footnote{Keskkond \ei{multline} on defineeritud
paketis \pai{amsmath}.}
\begin{example}
\begin{multline}
  a + b + c + d + e + f
  + g + h + i \\
  = j + k + l + m + n
\end{multline}
\end{example}
\noindent
Erinevus keskkonnast \ei{equation} on see, et suvalistesse kohtadesse
saab lisada reavahetusi (või ka mitu reavahetust): panna \ci{\bs}
sinna, kust valemit on murda vaja. Sarnaselt keskkonnale \ei{equation*}
on olemas ka keskkonna variant \ei{multline*} valeminumbri
vältimiseks.\index{käsk!tärniga}\index{tärniga käsk}

Sageli annab paremaid tulemusi keskkond \ei{IEEEeqnarray} (vt
jaotist~\ref{sec:IEEEeqnarray}). Vaatleme järgmist olukorda:
\begin{example}
\begin{equation}
  a = b + c + d + e + f
  + g + h + i + j
  + k + l + m + n + o + p
  \label{eq:liiga_pikk_valem}
\end{equation}
\end{example}
\noindent
Siin on liiga pikk tegelikult võrduse parem pool, mis ei mahu ühele
reale ära. Keskkond \ei{multline} annab järgmise väljundi:
\begin{example}
\begin{multline}
  a = b + c + d + e + f
  + g + h + i + j \\
  + k + l + m + n + o + p
\end{multline}
\end{example}
\noindent See on parem kui \eqref{eq:liiga_pikk_valem}, kuid sellega
kaotab võrdusmärk oma loomuliku suurema tähtsuse tähe $k$ ees
oleva plussmärgi suhtes. Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} pakutavat paremat
lahendust vaatleme üksikasjalisemalt järgmises jaotises.

\section{Mitu valemit}
\index{valem!mitu}
\label{sec:IEEEeqnarray}

Kõige üldisemalt on meil hulk valemeid, mis ei mahu ühele reale. Sel
juhul peame tegutsema vertikaaljoondusega, et valemite massiivi struktuur
saaks kena ja loetav.

Enne kui esitame oma ettepanekud, kuidas seda teha, alustame paari halva
näitega, mis demonstreerivad mõne levinud lahenduse suurimaid
puudujääke.

\subsection{Tavapäraste käskude probleemid}
\label{sec:problems_traditional}

Mitu valemit saab kokku võtta keskkonnas \ei{align}:\footnote{Keskkonna
\ei{align} abil võib paigutada ka mitu valemiplokki üksteise
kõrvale. See on veel üks hea keskkonna \ei{IEEEeqnarray} kasutusjuht:
argumendiks panna \texttt{\{rCl+rCl\}}.}
\begin{example}
\begin{align}
  a & = b + c \\
  & = d + e
\end{align}
\end{example}
\noindent See lähenemine ei tööta, kui üks rida on liiga pikk:
\begin{example}
\begin{align}
  a & = b + c \\
  & = d + e + f + g + h + i
  + j + k + l \nonumber \\
  & + m + n + o \\
  & = p + q + r + s
\end{align}
\end{example}
\noindent Siin peaks $+\:m$ asuma $d$ all, mitte võrdusmärgi all.
Loomulikult võib lisada veidi ruumi (\verb+\hspace{...}+), kuid see ei
anna kunagi täpset paigutust (ja on halb stiil \ldots).

Parema lahenduse pakub keskkond \ei{eqnarray}:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h + i
  + j + k + l \nonumber \\
  && +\: m + n + o \\
  & = & p + q + r + s
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent Siiski ei ole ka see optimaalne, sest võrdusmärgi ümber on
vahed liiga suured. Seejuures, vahed \emph{ei ole} samad mis
keskkondades \ei{multline} ja \ei{equation}:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a & = & a = a
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent Lisaks kattub avaldis mõnikord valemi numbriga, kuigi vasakul
oleks piisavalt ruumi:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h^2
  + i^2 + j
  \label{eq:viganeeqnarray}
\end{eqnarray}
\end{example}

\noindent Keskkond \ei{eqnarray} tunnistab käsku \ci{lefteqn}, mida võib
kasutada siis, kui vasak pool on liiga pikk:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d
    + e + f + g + h}\nonumber \\
  & = & i + j + k + l + m \\
  & = & n + o + p + q + r + s
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent See ei ole samuti optimaalne, sest kui parem pool on liiga
kitsas, siis pole massiiv korralikult tsentreeritud:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d
    + e + f + g + h}\nonumber \\
  & = & i + j
\end{eqnarray}
\end{example}

\noindent Olles nüüd konkurente piisavalt maha teinud, võime leebelt
võtta suuna hiilgava lahenduse poole, milleks on \ldots

\subsection{Keskkond \ei{IEEEeqnarray}}
\label{sec:IEEEeqnarray_intro}

Keskkond \ei{IEEEeqnarray} on väga võimas ja paljude suvanditega. Siin
tutvustame ainult peamist funktsionaalsust, lisainfot leiab
manuaalist.\footnote{Ametlik manuaal on väljas aadressil
\CTAN|tex-archive/macros/latex/contrib/IEEEtran/IEEEtran_HOWTO.pdf|.
Keskkonda \ei{IEEEeqnarray} puudutav osa asub lisas~F.}

Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} kasutamiseks tuleb dokumendi alguses sisse
lugeda pakett \pai{IEEEtrantools},\footnote{Pakett \pai{IEEEtrantools}
võib installatsioonist puududa, selle leiab CTANist.} lisades dokumendi
päisesse rea
\begin{lscommand}
\verb|\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}|
\end{lscommand}

Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} tugevuseks on võimalus määrata valemite
massiivi \emph{veergude} arv. Tavaliselt on spetsifikatsiooniks
\verb+{rCl}+, see tähendab, kolm veergu, esimene paremale joondatud,
keskmine tsentreeritud ja ümbritsevate väikeste vahedega (seepärast
kirjutame suure \texttt{C} väikese \texttt{c} asemel) ning kolmas
vasakule joondatud:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  && \negmedspace {} + l + m
  + n + o \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
Veerge võib määrata ükskõik kui palju: \verb+{c}+ annab ainult ühe
veeru, kus kõik kirjed on tsentreeritud, \verb+{rCll}+ lisab neljanda,
vasakule joondatud veeru näiteks kommentaaride jaoks. Peale \texttt{l},
\texttt{c}, \texttt{r}, \texttt{L}, \texttt{C}, \texttt{R}
valemire\v{z}iimis kirjete joondamiseks on olemas ka \texttt{s},
\texttt{t}, \texttt{u} vasakule, keskele ja paremale joondatud
tekstire\v{z}iimis kirjete jaoks. Spetsifikaatoritega \texttt{.} ja
\texttt{/} ja \texttt{?} saab jätta lisavahesid kasvavas
järjekorras.\footnote{Vahede tüüpidest on veel juttu
jaotises~\ref{sec:putting-qed-right}.} Tähele tasub panna vahesid
võrdusmärgi ümber, vastandina keskkonna \ei{eqnarray} lisatavatele
vahedele.

\subsection{Tavakasutus}
\label{sec:common-usage}

Järgnevalt kirjeldame, kuidas lahendada levinumaid probleeme keskkonna
\ei{IEEEeqnarray} abil.

Kui rida kattub valemi numbriga nagu valemis \eqref{eq:viganeeqnarray},
siis aitab käsk \ci{IEEEeqnarraynumspace}. See käsk tuleb panna
vastavasse ritta ja ta nihutab tervet valemimassiivi valemi numbri
laiuse võrra vasakule (nihe sõltub numbri suurusest!). Seega
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h
  + i + j + k \\
  & = & l + m + n
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent asemel saame
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h
  + i + j + k
  \IEEEeqnarraynumspace \\
  & = & l + m + n.
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Kui vasak pool on liiga pikk, pakub \ei{IEEEeqnarray} käsu
\ci{lefteqn} asemel käsku \ci{IEEEeqnarraymulticol}, mis töötab igas
olukorras:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f + g + h
  }\nonumber\\
  \quad & = & i + j \\
  & = & k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent Kasutamine sarnaneb keskkonna \ei{tabular} käsuga
\ci{multicolumns}. Esimene argument \verb+{3}+ määrab, et kolm veergu
ühendatakse üheks veeruks, teine argument \verb+{l}+ aga ütleb, et
saadud veerg joondatakse vasakule.

Käskude \ci{quad} ja \ci{qquad} lisamisega saab lihtsasti sättida
võrdusmärkide sügavust,\footnote{Kaugus üks \ci{quad} paistab hea
enamikul juhtudel.} nt
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f + g + h
  }\nonumber\\
  \qquad\qquad & = & i + j \\
  & = & k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Kui valem on jaotatud kahele või enamale reale, siis interpreteerib
\LaTeX{} esimest märki $+$ või $-$ liikme märgina, mitte kahekohalise
tehte tähisena. Seetõttu on vaja tehtemärgi ja liikme vahele lisaruumi:
seega
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  && + l + m + n + o \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent asemel peaksime kirjutama
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  && \negmedspace {} + l + m
  + n + o \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent Tasub tähele panna ruumi $+$ ja $l$ vahel!

Konstruktsioon \verb|{} + l| määrab, et \verb|+| on siin kahekohaline
tehtemärk, mitte lihtsalt arvu märk, ning sellest tuleneva soovimatu
tühiku \verb|{}| ja \verb|+| vahel kompenseerib negatiivne keskmise
pikkusega hüpe \ci{negmedspace}.

Valemi numbri saab rea lõppu trükkimata jätta käsuga \ci{nonumber} (või
\ci{IEEEnonumber}). Kui sellises reas on defineeritud märgend
\verb+\label{...}+, siis antakse see edasi järgmisele valeminumbrile,
mida pole ära keelatud. Märgend tuleks panna otse reavahetuse \verb+\\+
ette või valemi järele, mille juurde number kuulub. Lisaks algteksti
loetavuse parandamisele väldib see kompileerimisviga, kui käsk
\ci{IEEEmulticol} järgneb märgendi definitsioonile.

Keskkonnast on olemas ka tärniga versioon, kus kõik valeminumbrid on
keelatud.\index{keskkond!tärniga}\index{tärniga keskkond}
Sel juhul võib valeminumbril ilmuda lasta käsuga
\ci{IEEEyesnumber}:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e \IEEEyesnumber\\
  & = & f + g
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

Käsuga \ci{IEEEyessubnumber} saab lihtsasti moodustada alamnumbreid:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c
  \IEEEyessubnumber\\
  & = & d + e
  \nonumber\\
  & = & f + g
  \IEEEyessubnumber
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

\section{Massiivid ja maatriksid} \label{sec:arraymat}

\textbf{Massiivide} trükkimiseks on keskkond \ei{array}, mis töötab
sarnaselt keskkonnaga \ei{tabular}. Ridu murtakse käsu \ci{\bs}
abil:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    \mathbf{X} = \left(
      \begin{array}{ccc}
        x_1 & x_2 & \ldots \\
        x_3 & x_4 & \ldots \\
        \vdots & \vdots & \ddots
      \end{array} \right)
  \end{equation*}
\end{example}

Keskkonnaga \ei{array} saab vormistada ka \index{harudega
funktsioonid}harudega funktsioone, lisades paremaks \ci{right} piirajaks
nähtamatu \verb|.|\,, nagu näiteks
\begin{example}
\begin{equation*}
  |x| = \left\{
    \begin{array}{rl}
      -x, & \text{kui } x < 0,\\
      0, & \text{kui } x = 0,\\
      x, & \text{kui } x > 0.
    \end{array} \right.
\end{equation*}
\end{example}
\noindent
Tähelepanu väärib ka keskkond \ei{cases} lihtsama süntaksi tõttu:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    |x| =
    \begin{cases}
      -x, & \text{kui } x < 0,\\
      0, & \text{kui } x = 0,\\
      x, & \text{kui } x > 0.
    \end{cases}
\end{equation*}
\end{example}

Keskkonnaga \ei{array} saab moodustada maatrikseid\index{maatriks}, kuid
parema lahenduse pakub \pai{amsmath} oma erinevate
maatriksikeskkondadega. Neid on olemas kuus varianti eri piirajatega:
\ei{matrix} (pole), \ei{pmatrix}~$($\,, \ei{bmatrix}~$[$\,,
\ei{Bmatrix}~$\{$\,, \ei{vmatrix}~$\vert$ ja \ei{Vmatrix}~$\Vert$.
Erinevalt keskkonnast \ei{array} ei ole vaja määrata veergude arvu.
Maksimaalne veergude arv on 10, kuid see on seadistatav (kuigi 10 veergu
just väga tihti vaja ei lähe!):
\begin{example}
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4
  \end{matrix} \qquad
  \begin{bmatrix}
    p_{11} & p_{12} & \ldots
    & p_{1n} \\
    p_{21} & p_{22} & \ldots
    & p_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots
    & \vdots \\
    p_{m1} & p_{m2} & \ldots
    & p_{mn}
  \end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{example}

\section{Vahed valemire\v{z}iimis} \label{sec:math-spacing}

\index{vahe!valemis}\index{tühik!valemis} Kui \LaTeX i automaatselt
valitud vahed valemi sees ei sobi, siis saab neid ise sättida
spetsiaalseid vahekäske lisades: \ci{,} pikkusega
$\frac{3}{18}\:\textrm{em}$ (\demowidth{0.166em}), \ci{:} pikkusega
$\frac{4}{18}\: \textrm{em}$ (\demowidth{0.222em}) ja \ci{;} pikkusega
$\frac{5}{18}\: \textrm{em}$ (\demowidth{0.277em}). Langjoonega tühik
\verb*|\ | moodustab keskmise, sõnavahedega võrreldava pikkusega vahe
ning \ci{quad} (\demowidth{1em}) ja \ci{qquad} (\demowidth{2em})
moodustavad pikemad vahed. Vahe \ci{quad} suurus sõltub tähe M laiusest
kehtivas kirjas. Käsk \verb|\!|\cih{"!} moodustab negatiivse vahe
pikkusega $-\frac{3}{18}\:\textrm{em}$ ($-$\demowidth{0.166em}).

\begin{example}
\begin{equation*}
  \int_1^2 \ln x \mathrm{d}x
  \qquad
  \int_1^2 \ln x \,\mathrm{d}x
\end{equation*}
\end{example}

Diferentsiaali täht d tuleks standardi kohaselt kirjutada püstkirjas.
Järgmises näites defineerime uue käsu \ci{ud} (püstine d), mis annab
tulemuseks "`$\,\mathrm{d}$"' (enne tähte $\text{d}$ on vahe
\demowidth{0.166em}), nii et meil pole iga kord vaja vahe üle muret
tunda. Käsk \verb|\newcommand| pannakse preambulisse.

%  More on
% \ci{newcommand} in section~\ref{} on page \pageref{}. To Do: Add label and
% reference to "Customising LaTeX" -> "New Commands, Environments and Packages"
% -> "New Commands".
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{equation*}
 \int_a^b f(x)\ud x
\end{equation*}
\end{example}

Mitmekordsete integraalide trükkimisel ilmneb, et vahed
integraalimärkide vahel on liiga laiad. Neid võib korrigeerida käsuga
\ci{"!}, kuid paketis \pai{amsmath} on olemas lihtsam võimalus vahede
sättimiseks, nimelt käsud \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} ja
\ci{idotsint}.

\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{IEEEeqnarray*}{c}
  \int\int f(x)g(y)
                  \ud x \ud y \\
  \int\!\!\!\int
         f(x)g(y) \ud x \ud y \\
  \iint f(x)g(y)  \ud x \ud y
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

Üksikasju võib vaadata elektroonilisest dokumendist
\texttt{testmath.tex} (tuleb kaasa \AmS-\LaTeX iga) või raamatu
\companion{} peatükist~8.

\subsection{Fantoomid}

Joondades käskudega \index{^@\texttt{\^{}}}\verb|^| ja
\index{_@\texttt{\_}}\verb|_| teksti vertikaalselt, on \LaTeX{} mõnikord
veidi liiga abivalmis. Käsuga \ci{phantom} saab reserveerida ruumi
märkide jaoks, mis lõppväljundis ei ilmu. Kõige lihtsam võimalus sellest
aru saada on vaadata näidet:
\begin{example}
\begin{equation*}
{}^{14}_{6}\text{C}
\qquad \text{võrreldes} \qquad
{}^{14}_{\phantom{1}6}\text{C}
\end{equation*}
\end{example}
Kui on tarvis trükkida palju selliseid isotoope nagu näites, siis on
pakett \pai{mhchem} väga kasulik nii isotoopide kui ka keemiliste
valmite vormistamiseks.

\section{Valemikirjade sättimine}\label{sec:fontsz}

Mitmesuguseid valemikirju on loetletud tabelis~\ref{mathalpha}
leheküljel \pageref{mathalpha}.
\begin{example}
 $\Re \qquad
  \mathcal{R} \qquad
  \mathfrak{R} \qquad
  \mathbb{R} \qquad $
\end{example}
\noindent Viimased kaks nõuavad paketti \pai{amssymb} või \pai{amsfonts}.

Mõnikord on vaja \LaTeX ile teada anda õige
kirjasuurus.\index{kirjasuurus} Valemire\v{z}iimis saab seda teha
järgmise nelja käsuga:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
\ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) ja
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Kui murru koosseisus esineb $\sum$, siis trükitakse see tekstistiilis,
välja arvatud juhul, kui nõuda \LaTeX ilt vastupidist:
\begin{example}
\begin{equation*}
 P = \frac{\displaystyle {
   \sum_{i=1}^n (x_i-x)
   (y_i-y)}}
   {\displaystyle{\left[
   \sum_{i=1}^n(x_i-x)^2
   \sum_{i=1}^n(y_i-y)^2
   \right]^{1/2}}}
\end{equation*}
\end{example}
\noindent Üldiselt mõjutab stiilide muutmine suurte operaatorite ja
rajade kujutamist.

% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.

\subsection{Paksud sümbolid}
\index{paksud sümbolid}

\LaTeX is on päris raske saada valemitesse pakse sümboleid; see on
arvatavasti meelega nii tehtud, sest amatöörkujundajad kipuvad neid üle
kasutama. Kirjamuutmise käsk \ci{mathbf} küll annab paksud tähed,
kuid need on püstkirjas, samas kui matemaatilised sümbolid on tavaliselt
kursiivis, ja samuti ei tööta see väikeste kreeka tähtedega. On olemas
käsk \ci{boldmath}, kuid seda saab kasutada ainult väljaspool
valemire\v{z}iimi. Siiski töötab see ka sümbolitega:
\begin{example}
$\mu, M \qquad
\mathbf{\mu}, \mathbf{M}$
\qquad \boldmath{$\mu, M$}
\end{example}

Pakett \pai{amsbsy} (sisaldub \pai{amsmath}is) ning ka pakett \pai{bm}
komplektist Tools teevad selle palju lihtsamaks, sest defineerivad käsu
\ci{boldsymbol}:
\begin{example}
$\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$
\end{example}

\section{Teoreemid, lemmad, \ldots}

Matemaatilisi dokumente kirjutades on arvatavasti vaja vormistada
teoreeme, lemmasid, definitsioone, aksioome ja teisi analoogilisi
struktuure.
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nimi}\verb|}[|\emph{loendur}\verb|]{|%
         \emph{tiitel}\verb|}[|\emph{jaotis}\verb|]|
\end{lscommand}
\noindent Argument \emph{nimi} on lühike võtmesõna, mille järgi
teoreemi identifitseeritakse. Argumendiga \emph{tiitel} määratakse
teoreemi tegelik nimi, nagu see trükitakse lõppdokumendis.

Nurksulgudes argumendid on valikulised. Mõlemad neist määravad
teoreemiga seotud nummerduse. Argument \emph{loendur} on varem
deklareeritud teoreemi \emph{nimi}. Uus teoreem nummerdatakse
siis samas jadas. Argument \emph{jaotis} on liigendusüksus, mille
piirides teoreemi number muutub.\pagebreak[3]

Pärast dokumendi päises käsu \ci{newtheorem} täitmist võib kirjutada:
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nimi}\verb|}[|\emph{lisatekst}\verb|]|\\
See on minu põnev teoreem.\\
\verb|\end{|\emph{nimi}\verb|}|
\end{code}

Paketi \pai{amsthm} (kuulub \AmS-\LaTeX i) käsk
\ci{theoremstyle}\verb|{|\emph{stiil}\verb|}| võimaldab ette anda, mille
kohta teoreem käib, valides ühe kolmest eeldefineeritud stiilist:
\texttt{definition} (paks tiitel, püstkirjas sisu), \texttt{plain} (paks
tiitel, kursiivis sisu) või \texttt{remark} (kursiivis tiitel,
püstkirjas sisu).

Nüüd peaks teooriat olema piisavalt. Järgmised näited peaksid hajutama
viimasegi kahtluse ja tegema selgeks, et käsk \ci{newtheorem} on
arusaamiseks kaugelt liiga keeruline.

% actually define things
\theoremstyle{definition} \newtheorem{seadus}{Seadus}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{kohus}[seadus]{Kohus}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}

Kõigepealt defineerime teoreemid:

\begin{verbatim}
\theoremstyle{definition} \newtheorem{seadus}{Seadus}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{kohus}[seadus]{Kohus}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}
\end{verbatim}

\begin{example}
\begin{seadus} \label{seadus:pink}
Ära peida end kohtupingis!
\end{seadus}
\begin{kohus}[Kaksteist]
See võid olla sina! Vaata ette
ja loe seadust~\ref{seadus:pink}.
\end{kohus}
\begin{kohus}
Sa ignoreerid viimast ütlust.
\end{kohus}
\begin{marg}Ei, ei, ei\end{marg}
\begin{marg}Denis!\end{marg}
\end{example}

Teoreem \texttt{kohus} kasutab sama loendurit nagu teoreem
\texttt{seadus}, seetõttu nummerdatakse teda samas jadas teiste
"`seadustega"'. Nurksulgudes argumendiga määratakse teoreemi nimetus
vms.
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]

\begin{mur}
Kui millegi tegemiseks on kaks
viisi ja üks viis võib viia
katastroofini, siis keegi
kindlasti seda viisi kasutab.
\end{mur}
\end{example}

Teoreem \texttt{Murphy} saab numbri, mis on seotud jooksva jaotisega.
Liigendusüksus võib olla ka midagi muud, näiteks peatükk või alajaotis.

Kes soovib oma teoreeme seadistada viimase punktini, sellele annab
rohkelt võimalusi pakett \pai{ntheorem}.

\subsection{Tõestused ja tõestuse lõpumärk}
\label{sec:putting-qed-right}\index{tõestuse lõpumärk}

Pakett \pai{amsthm} defineerib ka keskkonna \ei{proof}.

\begin{example}
\begin{proof}
Triviaalne, kasuta valemit
 \begin{equation*}
   E=mc^2.
 \end{equation*}
\end{proof}
\end{example}

Käsuga \ci{qedhere} saab viia tõestuse lõpumärgi mujale olukorras,
kus see muidu jääks reale üksikuna.

\begin{example}
\begin{proof}
Triviaalne, kasuta valemit
 \begin{equation*}
   E=mc^2. \qedhere
 \end{equation*}
\end{proof}
\end{example}

Kahjuks ei tööta see keskkonnaga \ei{IEEEeqnarray}:
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
Selle põhjuseks on \ei{IEEEeqnarray} siseehitus: massiivist
kummalegi poole lisatakse alati kaks nähtamatut veergu, mis
sisaldavad ainult venivat ruumi. Nii kindlustab \ei{IEEEeqnarray}, et
valemite massiiv on horisontaalselt joondatud keskele. Käsk \ci{qedhere}
tuleks panna sellest venivast ruumist \emph{väljapoole}, kuid seda ei
saa, sest need veerud on kasutajale
nähtamatud.

\enlargethispage{\baselineskip}%
Leidub aga väga lihtne väljapääs: veniva ruumi võib ette anda otse!
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray*}{+rCl+x*}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. & \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
Argumendis \verb={+rCl+x*}= tähistab \verb=+= venivat ruumi, üks
valemist vasakul (mille \ei{IEEEeqnarray} paneb automaatselt, kui
seda pole määratud!) ja teine paremal. Kuid nüüd lisame paremale,
\emph{pärast} venivat veergu tühja veeru \verb=x=. Seda veergu on vaja
ainult viimases reas, kui sinna pannakse käsk \ci{qedhere}.
Lõppu kirjutame veel \verb=*=\,, mis määrab null-ruumi, et
\ei{IEEEeqnarray} ise teist soovimatut \verb=+=-ruumi ei lisaks.

Valemite nummerdamisel esineb sarnane probleem. Kui võrdleme
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  nummerdatud valemiga:
  \begin{equation}
    a = b + c.
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
\noindent ja
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  nummerdatud valemiga:
  \begin{equation}
    a = b + c. \qedhere
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
siis näeme, et teises (õiges) variandis asub $\Box$ valemile palju
lähemal kui esimeses variandis.

Analoogiliselt, õige viis panna tõestuse lõpumärk nummerdatud valemite
massiivi lõppu on järgmine:
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray}{+rCl+x*}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. \\
    &&& \qedhere\nonumber
  \end{IEEEeqnarray}
\end{proof}
\end{example}
\noindent vastandina variandile
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tõestus, mis lõpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray}{rCl}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e.
  \end{IEEEeqnarray}
\end{proof}
\end{example}


%

% Local Variables:
% TeX-master: "lshort"
% mode: latex
% mode: flyspell
% End: