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diff --git a/support/chklref/test/test2.tex b/support/chklref/test/test2.tex deleted file mode 100644 index 1b1b98b031..0000000000 --- a/support/chklref/test/test2.tex +++ /dev/null @@ -1,358 +0,0 @@ -\documentclass[a4paper,11pt,twoside]{article} -\usepackage{a4wide} -\usepackage{latexsym} -\usepackage[francais]{babel} -\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm} -\usepackage[latin1]{inputenc} -\usepackage{enumitem} -\usepackage[bookmarks=true, colorlinks=true, linkcolor=blue, hypertexnames=false]{hyperref} - - -%% -------------------------------------------- -\hbadness=10000 -\emergencystretch=\hsize -\tolerance=9999 -%% \textheight=9.0in -%% -------------------------------------------- -\parindent=0pt -%% math envs -\theoremstyle{plain} -\newtheorem{thm}{Théorème} -\newtheorem{prop}{Proposition} -\newtheorem{lemma}{Lemme} -\newtheorem*{remark}{Remarque} -\newtheorem{cor}{Corollary} -\newtheorem*{rem}{Remarque} -\newtheorem*{algo}{Algorithme} -\theoremstyle{definition} -\newtheorem{exo}{Exercice} -\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} - - -%%%%%% new macros - -\def\ca{{\mathcal A}} -\def\cb{{\mathcal B}} -\def\cc{{\mathcal C}} -\def\cd{{\mathcal D}} -\def\ce{{\mathcal E}} -\def\cf{{\mathcal F}} -\def\cg{{\mathcal G}} -\def\ch{{\mathcal H}} -\def\ci{{\mathcal I}} -\def\cj{{\mathcal J}} -\def\ck{{\mathcal K}} -\def\cl{{\mathcal L}} -\def\cn{{\mathcal N}} -\def\cm{{\mathcal M}} -\def\co{{\mathcal O}} -\def\cp{{\mathcal P}} -\def\cs{{\mathcal S}} -\def\cu{{\mathcal U}} -\def\cv{{\mathcal V}} -\def\cw{{\mathcal W}} -\def\cx{{\mathcal X}} -\def\C{{\mathbb C}} -\def\D{{\mathbb D}} -\def\E{{\mathbb E}} -\def\L{{\mathbb L}} -\def\N{{\mathbb N}} -\def\P{{\mathbb P}} -\def\Q{{\mathbb Q}} -\def\R{{\mathbb R}} -\def\S{\Sigma} -\def\Z{{\mathbb Z}} -\def\s{\star} -\def\rP{{\rm P}} -\def\rQ{{\rm Q}} -\def\rpartial{{\rm d}} -\def\ind#1{{\bf 1}_{\left\{ #1 \right\}}} -\def\id{{\mathcal I}} -\def\abs#1{\left|#1\right|} -\def\norm#1{\mathop{\left\| #1 \right\|}\nolimits} -\def\supp{{\rm supp}\;} -\def\Det{{\rm det}\;} -\def\Card{{\rm Card}\;} -\def\inv#1{\mathop{\frac{1}{ #1}}\nolimits} -\def\expp#1{\mathop {\mathrm{e}^{ #1}}} -\def\interior#1{\mathop {\mathrm{int}(#1)}} -\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} -\def\dpartsec#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} -\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} -\def\d#1#2{\frac{d #1}{d #2}} -\def\tr#1{{#1}^{{\scriptstyle\mathrm T}}} - -%% proba et espérances -\def\proba#1{\P\left(#1 \right)} -\def\esp#1{\E\left(#1 \right)} -\def\espbracket#1{\E\left[#1 \right]} -\def\espcond#1#2{\E\left(#1 \left| #2 \right. \right)} -\def\espbracketcond#1#2{\E\left[#1 \left| #2 \right. \right]} -\def\Cov{\mathop{\rm Cov}\nolimits} -\def\Var{\mathop{\rm Var}\nolimits} -\def\Covop#1{\mathop{\rm Cov}\nolimits\left(#1\right)} -\def\Varop#1{\mathop{\rm Var}\nolimits\left(#1\right)} - -%% a few abbrevs -\def\BS{Black Scholes} - - -\title{Projets du cours MAE52} -\date{\today} -\author{J\'er\^ome Lelong} - - -\begin{document} -\maketitle - -On rappelle que dans le modèle de \BS\ l'évolution de l'actif $(S_t)_{0\le t \le - T}$ est modélisée par la dynamique -\begin{align} - \label{alig} - dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x -\end{align} - - -\begin{multline} - \label{mult} - dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x -\end{multline} -où $\sigma>0$ représente la volatilité du modèle et $r>0$ représente le taux -d'intérêt sans risque. - - -\section{Méthodes d'arbre pour les options américaines} - -On proposer de calculer le prix du put américain dans un modèle d'arbre. -\begin{itemize} -\item Implémenter la résolution de l'équation de programmation dynamique dans un - modèle d'arbre. -\item Comparer les résultats pour les modèles de Cox Ross Rubinstein et de - Kamrad Ritchken -\item Etudier la vitesse de convergence quand le pas de l'arbre tend vers $0$. -\end{itemize} - - -\section{Inéquation aux dérivées partielles pour les options américaines} - - -On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black -Scholes en résolvant l'inéquation aux dérivées partielles satisfaites par sa -fonction prix. - -\subsection{Formulation du problème} - - -On considère l'opérateur elliptique $A$ défini par -\begin{equation*} - \cl = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r - - \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} -r -\end{equation*} -où $r$ et $\sigma$ sont deux constantes réelles. -On se donne une fonction $f : \R \longrightarrow \R_+$, un ouvert $\co_l = ]-l, l[$ -et on cherche à résoudre le problème suivant -\begin{equation} - \label{eq:ineq_diff} - \tag{$E$} - \left\{ - \begin{array}{l} - \dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x) \leq 0 \quad \mbox{dans $[0,T] \times \co_l$}\\ - v(t,x) \geq f(x)\\ - (v(t,x) - f(x)) \left(\dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x)\right) = 0 \quad \mbox{dans $[0,T] - \times \co_l$}\\ - v(T,x) = f(x)\\ - \dpart{v}{x}(t, \pm l) = 0. - \end{array} - \right. -\end{equation} - -Soit $v(t, y)$ le prix à l'instant $t$ du put américain dans le modèle de -Black Scholes si le sous-jacent vaut $\expp{y}$. La fonction $v$ est solution du -système~\ref{eq:ineq_diff} avec $l=\infty$ et $f(x) = (K - \expp{x})_+$. - -\subsection{Méthode de résolution} -\subsubsection{discrétisation du système d'inéquations} - -Nous allons maintenant voir comment résoudre le système~(\ref{eq:ineq_diff}) par une -méthode numérique. On se propose d'utiliser une méthode de différences finies pour -discrétiser le système à la fois en temps et en espace. - -Soit $N \in \N^*$, on note $h = \frac{2l}{N+1}$ et $x_i = -l + ih$ pour $0 \leq i -\leq N+1$. On définit le vecteur $f_h$ par $f_h^i=f(x_i)$. - -Pour toute fonction $u: \co_l \longrightarrow \R$, on adopte la notation $u_h = -{(u_h^i)}_{1 \leq i \leq N} = {(u(x_i))}_{1 \leq i \leq N}$. On considère la -discrétisation de l'opérateur $\cl$ suivante -\begin{equation*} - (\cl_h u_h)_i = \frac{\sigma^2}{2h^2} (u_h^{i+1} - 2 u_h^i + u_h^{i-1}) + \left(r - - \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{1}{2h} (u_h^{i+1} - u_h^{i-1}) -r u_h^i -\end{equation*} -L'opérateur $\cl_h$ peut donc être représenté par la matrice tridiagonale suivant -\[ -\cl_h = -\begin{pmatrix} - \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - \alpha & \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 \\ - 0 & \alpha & \beta & \gamma & \dots & 0 \\ - 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta & \gamma \\ - 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta -\end{pmatrix} -\] -avec -\[ -\begin{cases} - \alpha = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} - \frac{1}{2h} \left(r - - \frac{\sigma^2}{2} \right), \\ - \beta = & -\frac{\sigma^2}{h^2} - r, \\ - \gamma = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - - \frac{\sigma^2}{2}\right). -\end{cases} -\] -Une fois cette discrétisation en espace effectuée, on se ramène à une équation -différentielle ordinaire ne portant que sur le temps -\begin{equation} - \label{eq:ineq_diff_h}\tag{$E_h$} - \begin{cases} - \displaystyle \d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t) \leq 0 \quad \forall t \in - [0,T],\\ - u_h(t) \geq f_h\\ - (u_h(t) - f) \left(\d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t)\right) = 0 \quad \mbox{dans - $[0,T]$}\\ - u_h(T) = f_h\\ - \d{v}{x}(t, \pm l) = 0. - \end{cases} -\end{equation} -Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $\R^d$, on note $x \leq y$ pour $x_i \leq y_i -\; \forall 1 \leq i \leq d$. Il ne reste plus alors qu'à discrétiser -l'équation~(\ref{eq:ineq_diff_h}) grâce à des $\theta-$schémas. On note $k = -\frac{T}{M}$ le pas de discrétisation en temps. On approche alors la solution $u_h$ -de~(\ref{eq:ineq_diff_h}) à l'instant $mk$ par $u_{h,k}^m$ défini par -\begin{equation} - \label{eq:sys_discre_k_h}\tag{$E_{h,k}$} - \begin{cases} - u_{h,k}^M = f_h, \\ - \mbox{Et pour $0 \leq m \leq M-1$}\\ - u_{h,k}^m \geq f_h \\ - u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 - - \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) \leq 0 \\ - \left(u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 - - \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) , u_{h,k}^m - f_h\right) = 0 - \end{cases} -\end{equation} -où $(x,y)$ est le produit scalaire de $\R^N$. - -En introduisant les notations matricielles suivantes -\begin{equation*} - \begin{cases} - T = & I - k\theta \cl_h\\ - G = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) u_{h,k}^{m+1}\\ - M = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) - \end{cases} -\end{equation*} -le système~(\ref{eq:sys_discre_k_h}) se réécrit -\begin{equation*} - \begin{cases} - T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1} & \geq 0 \\ - u_{h,k}^m - u_{h,k}^M & \geq 0\\ - \tr{(T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1})} (u_{h,k}^m - u_{h,k}^M) & = 0. - \end{cases} -\end{equation*} -La matrice $T$ est tridiagonale -\[ -T = -\begin{pmatrix} - a + b & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - a & b & c & 0 & \dots & 0 \\ - 0 & a & b & c & \dots & 0 \\ - 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - 0 & 0 & \dots & a & b & c \\ - 0 & 0 & 0 & \dots & a & b+c -\end{pmatrix} -\] -avec -\[ -\begin{pmatrix} - a & = & \theta k \left( -\frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - - \frac{\sigma^2}{2} \right) \right) \\ - b & = & 1 + \theta k \left(\frac{\sigma^2}{h^2} + r\right) \\ - c & = & - \theta k \left( \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - - \frac{\sigma^2}{2} \right) \right). -\end{pmatrix} -\] -A chaque pas $m$ de $M-1$ à $1$, il s'agit de résoudre un système d'inéquations linéaires - - -\subsubsection{algorithme de résolution} - -Il existe plusieurs algorithmes permettant de résoudre un tel système d'inéquations -linéaires. On propose ici d'utiliser la méthode dite par troncature. -\begin{algo} - Pour $m$ variant de $M-1$ à $1$, on résout - \begin{equation*} - T x = M u_{h,k}^{m+1}, - \end{equation*} - puis on pose - \begin{equation*} - u_{h,k}^m = \max(x, f_h). - \end{equation*} -\end{algo} -Pour assurer la convergence de l'algorithme ci-dessus, on veillera à ce que les paramètres -vérifient les conditions suivantes -\begin{equation*} - \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} \leq \frac{\sigma^2}{h} \quad \mbox{et} \quad - \frac{k}{2h} \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} < 1. -\end{equation*} -Ces conditions assurent que la matrice $T$ est coercive (c.à.d $\tr{x}Tx \leq c -\tr{x}x$ avec $c>0$). - -\subsection{Travail demandé} - -\begin{itemize} -\item Résoudre le système~\eqref{eq:ineq_diff} par la méthode détaillée - ci-dessus. -\item Dans la résolution du système linéaire, on s''efforcera de tirer profit - dans la structure tribande de la matrice en utilisant une décomposition de - type $Q = LU$, avec $L$ triangulaire inférieure et $U$ triangulaire. Ainsi le - système $Qx = b$ se résout en 2 étapes $Ly=b$ puis $Ux =y$. -\item On s'intéressa aux cas $\theta=0$, $\theta=1/2$ et $\theta=1$. Comparer la - convergence pour ces différentes valeurs. -\end{itemize} - -\section{Méthode de Monte Carlo pour les options américaines} - -On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black -Scholes par une méthode de Monte Carlo. - -\subsubsection*{Travail demandé} -\begin{itemize} -\item Il s'agit d'implémenter l'algorithme de - Longstaff et Schwartz en dimension $1$. - - Pour la partie régression de l'algorithme, on pourra par exemple utiliser la - base canonique des polynômes de degré inférieur à $n$ $(x^d, 0 \le d \le n)$. On - pourra également ajouter à cette famille libre la fonction de payoff elle-même. - -\item Etudier la convergence en fonction du nombre de pas de temps, du nombre de - fonctions de base et de nombre de tirages Monte Carlo. -\end{itemize} - - -\input{test21.tex} - -\input test23.tex - -\begin{itemize} -\item \label{it:1} unused label -\end{itemize} - -\include{test22} - -\begin{itemize} -\item \label{it:2} unused label -\end{itemize} - - - -\end{document} - |