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authorNorbert Preining <norbert@preining.info>2019-11-03 03:01:01 +0000
committerNorbert Preining <norbert@preining.info>2019-11-03 03:01:01 +0000
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index 1b1b98b031..0000000000
--- a/support/chklref/test/test2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,358 +0,0 @@
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-\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm}
-\usepackage[latin1]{inputenc}
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-
-
-%% --------------------------------------------
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-\theoremstyle{plain}
-\newtheorem{thm}{Théorème}
-\newtheorem{prop}{Proposition}
-\newtheorem{lemma}{Lemme}
-\newtheorem*{remark}{Remarque}
-\newtheorem{cor}{Corollary}
-\newtheorem*{rem}{Remarque}
-\newtheorem*{algo}{Algorithme}
-\theoremstyle{definition}
-\newtheorem{exo}{Exercice}
-\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
-
-
-%%%%%% new macros
-
-\def\ca{{\mathcal A}}
-\def\cb{{\mathcal B}}
-\def\cc{{\mathcal C}}
-\def\cd{{\mathcal D}}
-\def\ce{{\mathcal E}}
-\def\cf{{\mathcal F}}
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-\def\inv#1{\mathop{\frac{1}{ #1}}\nolimits}
-\def\expp#1{\mathop {\mathrm{e}^{ #1}}}
-\def\interior#1{\mathop {\mathrm{int}(#1)}}
-\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\def\dpartsec#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}
-\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\def\d#1#2{\frac{d #1}{d #2}}
-\def\tr#1{{#1}^{{\scriptstyle\mathrm T}}}
-
-%% proba et espérances
-\def\proba#1{\P\left(#1 \right)}
-\def\esp#1{\E\left(#1 \right)}
-\def\espbracket#1{\E\left[#1 \right]}
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-\def\Varop#1{\mathop{\rm Var}\nolimits\left(#1\right)}
-
-%% a few abbrevs
-\def\BS{Black Scholes}
-
-
-\title{Projets du cours MAE52}
-\date{\today}
-\author{J\'er\^ome Lelong}
-
-
-\begin{document}
-\maketitle
-
-On rappelle que dans le modèle de \BS\ l'évolution de l'actif $(S_t)_{0\le t \le
- T}$ est modélisée par la dynamique
-\begin{align}
- \label{alig}
- dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
-\end{align}
-
-
-\begin{multline}
- \label{mult}
- dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
-\end{multline}
-où $\sigma>0$ représente la volatilité du modèle et $r>0$ représente le taux
-d'intérêt sans risque.
-
-
-\section{Méthodes d'arbre pour les options américaines}
-
-On proposer de calculer le prix du put américain dans un modèle d'arbre.
-\begin{itemize}
-\item Implémenter la résolution de l'équation de programmation dynamique dans un
- modèle d'arbre.
-\item Comparer les résultats pour les modèles de Cox Ross Rubinstein et de
- Kamrad Ritchken
-\item Etudier la vitesse de convergence quand le pas de l'arbre tend vers $0$.
-\end{itemize}
-
-
-\section{Inéquation aux dérivées partielles pour les options américaines}
-
-
-On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
-Scholes en résolvant l'inéquation aux dérivées partielles satisfaites par sa
-fonction prix.
-
-\subsection{Formulation du problème}
-
-
-On considère l'opérateur elliptique $A$ défini par
-\begin{equation*}
- \cl = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} -r
-\end{equation*}
-où $r$ et $\sigma$ sont deux constantes réelles.
-On se donne une fonction $f : \R \longrightarrow \R_+$, un ouvert $\co_l = ]-l, l[$
-et on cherche à résoudre le problème suivant
-\begin{equation}
- \label{eq:ineq_diff}
- \tag{$E$}
- \left\{
- \begin{array}{l}
- \dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x) \leq 0 \quad \mbox{dans $[0,T] \times \co_l$}\\
- v(t,x) \geq f(x)\\
- (v(t,x) - f(x)) \left(\dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x)\right) = 0 \quad \mbox{dans $[0,T]
- \times \co_l$}\\
- v(T,x) = f(x)\\
- \dpart{v}{x}(t, \pm l) = 0.
- \end{array}
- \right.
-\end{equation}
-
-Soit $v(t, y)$ le prix à l'instant $t$ du put américain dans le modèle de
-Black Scholes si le sous-jacent vaut $\expp{y}$. La fonction $v$ est solution du
-système~\ref{eq:ineq_diff} avec $l=\infty$ et $f(x) = (K - \expp{x})_+$.
-
-\subsection{Méthode de résolution}
-\subsubsection{discrétisation du système d'inéquations}
-
-Nous allons maintenant voir comment résoudre le système~(\ref{eq:ineq_diff}) par une
-méthode numérique. On se propose d'utiliser une méthode de différences finies pour
-discrétiser le système à la fois en temps et en espace.
-
-Soit $N \in \N^*$, on note $h = \frac{2l}{N+1}$ et $x_i = -l + ih$ pour $0 \leq i
-\leq N+1$. On définit le vecteur $f_h$ par $f_h^i=f(x_i)$.
-
-Pour toute fonction $u: \co_l \longrightarrow \R$, on adopte la notation $u_h =
-{(u_h^i)}_{1 \leq i \leq N} = {(u(x_i))}_{1 \leq i \leq N}$. On considère la
-discrétisation de l'opérateur $\cl$ suivante
-\begin{equation*}
- (\cl_h u_h)_i = \frac{\sigma^2}{2h^2} (u_h^{i+1} - 2 u_h^i + u_h^{i-1}) + \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{1}{2h} (u_h^{i+1} - u_h^{i-1}) -r u_h^i
-\end{equation*}
-L'opérateur $\cl_h$ peut donc être représenté par la matrice tridiagonale suivant
-\[
-\cl_h =
-\begin{pmatrix}
- \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 & 0 \\
- \alpha & \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 \\
- 0 & \alpha & \beta & \gamma & \dots & 0 \\
- 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
- 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta & \gamma \\
- 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta
-\end{pmatrix}
-\]
-avec
-\[
-\begin{cases}
- \alpha = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} - \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right), \\
- \beta = & -\frac{\sigma^2}{h^2} - r, \\
- \gamma = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right).
-\end{cases}
-\]
-Une fois cette discrétisation en espace effectuée, on se ramène à une équation
-différentielle ordinaire ne portant que sur le temps
-\begin{equation}
- \label{eq:ineq_diff_h}\tag{$E_h$}
- \begin{cases}
- \displaystyle \d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t) \leq 0 \quad \forall t \in
- [0,T],\\
- u_h(t) \geq f_h\\
- (u_h(t) - f) \left(\d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t)\right) = 0 \quad \mbox{dans
- $[0,T]$}\\
- u_h(T) = f_h\\
- \d{v}{x}(t, \pm l) = 0.
- \end{cases}
-\end{equation}
-Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $\R^d$, on note $x \leq y$ pour $x_i \leq y_i
-\; \forall 1 \leq i \leq d$. Il ne reste plus alors qu'à discrétiser
-l'équation~(\ref{eq:ineq_diff_h}) grâce à des $\theta-$schémas. On note $k =
-\frac{T}{M}$ le pas de discrétisation en temps. On approche alors la solution $u_h$
-de~(\ref{eq:ineq_diff_h}) à l'instant $mk$ par $u_{h,k}^m$ défini par
-\begin{equation}
- \label{eq:sys_discre_k_h}\tag{$E_{h,k}$}
- \begin{cases}
- u_{h,k}^M = f_h, \\
- \mbox{Et pour $0 \leq m \leq M-1$}\\
- u_{h,k}^m \geq f_h \\
- u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
- \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) \leq 0 \\
- \left(u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
- \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) , u_{h,k}^m - f_h\right) = 0
- \end{cases}
-\end{equation}
-où $(x,y)$ est le produit scalaire de $\R^N$.
-
-En introduisant les notations matricielles suivantes
-\begin{equation*}
- \begin{cases}
- T = & I - k\theta \cl_h\\
- G = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) u_{h,k}^{m+1}\\
- M = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right)
- \end{cases}
-\end{equation*}
-le système~(\ref{eq:sys_discre_k_h}) se réécrit
-\begin{equation*}
- \begin{cases}
- T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1} & \geq 0 \\
- u_{h,k}^m - u_{h,k}^M & \geq 0\\
- \tr{(T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1})} (u_{h,k}^m - u_{h,k}^M) & = 0.
- \end{cases}
-\end{equation*}
-La matrice $T$ est tridiagonale
-\[
-T =
-\begin{pmatrix}
- a + b & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\
- a & b & c & 0 & \dots & 0 \\
- 0 & a & b & c & \dots & 0 \\
- 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
- 0 & 0 & \dots & a & b & c \\
- 0 & 0 & 0 & \dots & a & b+c
-\end{pmatrix}
-\]
-avec
-\[
-\begin{pmatrix}
- a & = & \theta k \left( -\frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right) \right) \\
- b & = & 1 + \theta k \left(\frac{\sigma^2}{h^2} + r\right) \\
- c & = & - \theta k \left( \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right) \right).
-\end{pmatrix}
-\]
-A chaque pas $m$ de $M-1$ à $1$, il s'agit de résoudre un système d'inéquations linéaires
-
-
-\subsubsection{algorithme de résolution}
-
-Il existe plusieurs algorithmes permettant de résoudre un tel système d'inéquations
-linéaires. On propose ici d'utiliser la méthode dite par troncature.
-\begin{algo}
- Pour $m$ variant de $M-1$ à $1$, on résout
- \begin{equation*}
- T x = M u_{h,k}^{m+1},
- \end{equation*}
- puis on pose
- \begin{equation*}
- u_{h,k}^m = \max(x, f_h).
- \end{equation*}
-\end{algo}
-Pour assurer la convergence de l'algorithme ci-dessus, on veillera à ce que les paramètres
-vérifient les conditions suivantes
-\begin{equation*}
- \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} \leq \frac{\sigma^2}{h} \quad \mbox{et} \quad
- \frac{k}{2h} \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} < 1.
-\end{equation*}
-Ces conditions assurent que la matrice $T$ est coercive (c.à.d $\tr{x}Tx \leq c
-\tr{x}x$ avec $c>0$).
-
-\subsection{Travail demandé}
-
-\begin{itemize}
-\item Résoudre le système~\eqref{eq:ineq_diff} par la méthode détaillée
- ci-dessus.
-\item Dans la résolution du système linéaire, on s''efforcera de tirer profit
- dans la structure tribande de la matrice en utilisant une décomposition de
- type $Q = LU$, avec $L$ triangulaire inférieure et $U$ triangulaire. Ainsi le
- système $Qx = b$ se résout en 2 étapes $Ly=b$ puis $Ux =y$.
-\item On s'intéressa aux cas $\theta=0$, $\theta=1/2$ et $\theta=1$. Comparer la
- convergence pour ces différentes valeurs.
-\end{itemize}
-
-\section{Méthode de Monte Carlo pour les options américaines}
-
-On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
-Scholes par une méthode de Monte Carlo.
-
-\subsubsection*{Travail demandé}
-\begin{itemize}
-\item Il s'agit d'implémenter l'algorithme de
- Longstaff et Schwartz en dimension $1$.
-
- Pour la partie régression de l'algorithme, on pourra par exemple utiliser la
- base canonique des polynômes de degré inférieur à $n$ $(x^d, 0 \le d \le n)$. On
- pourra également ajouter à cette famille libre la fonction de payoff elle-même.
-
-\item Etudier la convergence en fonction du nombre de pas de temps, du nombre de
- fonctions de base et de nombre de tirages Monte Carlo.
-\end{itemize}
-
-
-\input{test21.tex}
-
-\input test23.tex
-
-\begin{itemize}
-\item \label{it:1} unused label
-\end{itemize}
-
-\include{test22}
-
-\begin{itemize}
-\item \label{it:2} unused label
-\end{itemize}
-
-
-
-\end{document}
-