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path: root/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex
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-rw-r--r--macros/mtex/documentation/mdoc9.tex1135
1 files changed, 1135 insertions, 0 deletions
diff --git a/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex b/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex
new file mode 100644
index 0000000000..d0ed715c54
--- /dev/null
+++ b/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex
@@ -0,0 +1,1135 @@
+\def\adchap#1{{\advance\chap#1{}\the\chap}}
+\heading{Der Balken- und Bogensatz}
+Im Gegensatz zu den bisher behandelten Notenschriftzeichen sind die
+Balken und Bogen satztechnisch dadurch ausgezeichnet, da\3 sie in der
+L"ange und Gestalt variieren k"onnen, so da\3 es nicht ausreicht, nur
+ein Element in einem Font f"ur den Satz zur Verf"ugung zu stellen. Die
+Neigung der Balken bzw. die Kr"ummung der Bogen ist abh"angig von den zu
+verbindenden bzw. zu "uberspannenden Noten.
+
+Au\3er den Faustregeln,
+da\3 aus der Neigung des Balkens der Melodieverlauf
+erkenntlich sein soll, um ein schnelleres Notenlesen zu erm"oglichen, und
+da\3 der
+Bogen von Notenkopf zu Notenkopf verlaufen sollte, jedoch andere
+Zeichen nicht schneiden darf, gibt es keine
+expliziten Regeln f"ur den Satz dieser Notenschriftelemente.
+
+\Beispiel
+{\loose
+\hsize10cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\group{\\{\a0}\\{\a2}\\{\a4}}{\\{0}\\{2}\\{4}}\ubeam13\go
+\group{\\{\a4}\\{\a2}\\{\a0}}{\\{4}\\{2}\\{0}}\ubeam13\go
+\group{\\{\a4}\\{\a6}}{\\{4}\\{6}}\lbeam12\uslur12\go
+\group{\\{\a2}\\{\a4}}{\\{2}\\{4}}\ubeam12\lslur12\go
+\group{\\{\h4}\\{\h2}}{\\{4}\\{2}}\uslur12\go\doublebarline
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Alle anderen Satzregeln m"ussen daher aus der Notenliteratur abgeleitet
+werden. Es gilt also, Verfahren f"ur den automatischen Notensatz zu
+entwickeln, die den ansonsten nicht notwendig einheitlichen
+Handsatz so nachahmen, da\3 die Ergebnisse in den
+meisten F"allen mit dem Handgesetzten "ubereinstimmen.
+
+Die Verfahren f"ur den Balken- und Bogensatz gliedern sich in folgende
+Abschnitte:
+\item{1)} Berechnung der Steigung des Balkens bzw. der Sekantensteigung
+des Bogens,
+
+\item{2)} Diskretisierung der Steigungen und Zusammenstellung der
+Balken bzw. Bogen aus den Zei\-chen\-s"at\-zen,
+
+\item{3)} Endg"ultige Positionierung des Balkens bzw. Bogens.
+
+\Bemerkung Die hier vorgestellte Vorgehensweise ist durch die Tatsache
+bedingt, da\3 ein Textsatzprogramm verwendet wird und nicht
+koordinaten-orientiert gearbeitet wird. Das Zeichnen der Balken w"are
+im anderen Fall direkt und ohne Diskretisierung
+ der berechneten Steigung
+ausf"uhrbar.
+\endBemerkung
+
+\subheading{Entwicklung des Verfahrens zur Verbalkung}
+Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Verbalkung} von Noten,
+d.h. ein Verfahren,
+das jede beliebige Folge von Noten $(N_i)_{i=1,\ldots,n}$ durch einen
+(oder mehrere) Balken verbindet, so da\3 der Aufpunkt $P$ und die
+Neigung $S$ der Balken dem Handgesetzten nahe kommt.
+
+Ein solches Verfahren gliedert sich in drei Teilschritte:
+
+\item{1)} Bestimmung der Balkensteigung.
+\item{2)} Anpassung der Notenh"alse.
+\item{3)} Bestimmung des Aufpunktes aller Balkenst"ucke der Notengruppe.
+
+\Bemerkung
+\item{1)}
+Die Anzahl der Balken an einer Note stimmt mit der Anzahl der dem
+Notenwert entsprechenden F"ahnchen (s. a. \the\chap.2.2) "uberein.
+Alle Balkensteigungen innerhalb einer Notengruppe stimmen mit
+der des "au\3ersten (d.h. des `Achtel'-Balkens) "uberein.
+\item{}Es gen"ugt also, nur eine Steigung f"ur die ganze Notengruppe zu
+berechnen.
+\item{2)} Die Lage der Balken (oberhalb oder unterhalb der Notenk"opfe)
+ist durch Regel N4b in \adchap{-1}.1 \XX festgelegt.
+Die gemeinsame Richtung der
+Notenh"alse kann zu jeder Folge von Noten bestimmt werden und sei
+o.B.d.A. vorgegeben.
+\item{3)} Die Balkensteigung ist nicht abh"angig von der absoluten
+Tonh"ohe der Noten, sondern von der Position der Noten im Liniensystem.
+Es gen"ugt also,
+ die interne Tonh"ohe der betroffenen Noten zu betrachten.
+\endBemerkung
+
+\subsubheading{Bestimmung der Balkensteigung}
+F"ur die folgenden "Uberlegungen beschreibe $d\in\{-1,+1\}$ wie in
+\adchap{-1}.2.2
+die nach Regel N4c) bestimmte gemeinsame Richtung der Notenh"alse der
+Balkengruppe.
+
+\subsubsubheading{Das Vorzeichen der Steigung}
+Betrachtet man zun"achst zwei Noten $N_1$ und $N_2$ mit zugeh"origen
+internen Tonh"ohen $p_1$ und $p_2$,
+dann gilt unabh"angig von der gemeinsamen Richtung der Notenh"alse
+$d$ f"ur das
+Vorzeichen der Steigung $S$:
+$$\align \text{F"ur }p_1<p_2& \text{ gilt }S>0\;,\\
+ \text{f"ur }p_1=p_2& \text{ gilt }S=0 \text { und }\\
+ \text{f"ur }p_1>p_2& \text{ gilt }S<0 \;.\endalign%\tag{S$_1$}
+ $$
+d.h. die Balkensteigung entspricht der Tendenz des Melodieverlaufs.
+
+\Beispiel
+{\loose
+\hsize10cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\group{\\{\a2}\\{\a3}}{\\{2}\\{3}}\ubeam12\go
+\group{\\{\a3}\\{\a2}}{\\{3}\\{2}}\ubeam12\go
+\group{\\{\a3}\\{\a8}}{\\{3}\\{8}}\lbeam12\go
+\group{\\{\a6}\\{\a4}}{\\{6}\\{4}}\lbeam12\go
+\group{\\{\a4}\\{\a4}}{\\{4}\\{4}}\lbeam12\go
+\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\ubeam12\go
+\=\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Das Vorzeichen ist f"ur zwei beliebige Noten eindeutig festgelegt.
+
+Dies gilt jedoch nicht mehr unbedingt f"ur Notengruppen mit mehr
+Elementen. Man findet in der Literatur:
+
+{\loose
+\hsize8cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\group{\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}}{\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}}\ubeam14\go
+\group{\\{\a2}\\{\a1}\\{\a0}}{\\{2}\\{1}\\{0}}\ubeam13\go
+\group{\\{\a4}\\{\a8}\\{\a4}}{\\{4}\\{8}\\{4}}\lbeam13\go\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+
+Das Beispiel f"ur $p_1=p_n$ zeigt, da\3 hier die Steigung abh"angig von
+der Tonh"ohe der ersten
+und letzten Note bestimmt wurde.
+
+Untersucht man andere
+Notenkombinationen, so zeigt sich auch f"ur F"alle mit $p_1\ne p_n$,
+da\3 die Neigung nach der ersten
+und letzten Note bestimmt wurde.
+
+\Beispiel
+{\hsize 7cm
+\loose
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}
+\group{\\{\a6}\\{\s8}\\{\s2}}{\\{6}\\{8}\\{2}}\lbeam13\go
+\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}
+\group{\\{\a4}\\{\a{12}}\\{\a{10}}\\{\a8}}{\\{4}\\{12}\\{10}\\{8}}%
+\lbeam14\go\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Allgemein gilt f"ur $n>2$:
+$$\align \text{F"ur }p_1<p_n&\text{ gilt }S\ge0\;,\\
+ \text{f"ur }p_1=p_n&\text{ gilt }S=0 \text { und }\\
+ \text{f"ur }p_1>p_n&\text{ gilt }S\le0 \;.\endalign%\tag{S$_2$}
+ $$
+Dabei gilt $S=0$, falls f"ur ein $i\in\{2,\ldots,n-1\}$ gilt:
+$$\align &p_i\ge \max(p_1,p_n )\text{, falls }\quad d=1\;\\
+\text{oder }& p_i\le \min(p_1,p_n)\text{, falls }\quad
+d=-1\;.\endalign$$
+Gibt es also innerhalb einer Notengruppe, deren Notenh"alse nach oben
+gestielt sind, Noten, deren Tonh"ohe gr"o\3er oder gleich der Tonh"ohe
+der h"ohergelegenen ``Randnote'' ist, so wird der Balken nicht
+geneigt. Weisen alle Notenh"alse nach unten,
+so wird die jeweils tiefergelegene ``Randnote'' betrachtet.
+\Beispiel
+\par\noindent\vbox{\hsize 6cm
+\loose
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\group{\\{\a4}\\{\a3}\\{\a5}}{\\{4}\\{3}\\{5}}\lbeam13\go
+\group{\\{\a0}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{0}\\{3}\\{3}}\ubeam13\go\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Das Vorzeichen der Steigung wird also
+nach der Konstellation der ersten und
+letzten Note der Balkengruppe bestimmt.
+
+\subsubsubheading{Der Betrag der Steigung}
+Sei im folgenden \folgi Nin eine Folge von Noten, f"ur die nach den
+obigen Bedingungen
+die Steigung $S$ nicht verschwindet.
+Um gr"o\3ere Steigungen zu vermeiden, wird der
+Betrag der Steigung nicht nach der
+Position der Notenk"opfe bestimmt wird, sondern bez"uglich der Endpunkte
+der Notenh"alse.
+
+Sei $E_i=(h_i,e_i)$ der Endpunkt des Notenhalses von $N_i$, wobei $h_i$
+den Abszissenwert des Notenhalses und $e_i:=\bar p_i+ d\cdot s^d(p_i)$
+den
+vertikalen Abstand von der Grundlinie angibt ($\bar p_i = p_i\cdot 0.5
+\verbatimon|\nhh|$).
+
+Aus diesen Werten kann allgemein die Steigung $S^*$ einer Geraden durch
+die Punkte $E_1$ und $E_n$ berechnet werden durch Bildung des
+Differenzenquotienten
+$$S^*=
+\Frac{e_n-e_1}{h_n-h_1}\;.$$
+Diese errechnete Steigung kann jedoch erst nach einigen weiteren
+Korrekturen der Notenh"alse als endg"ulti\-ge Steigung f"ur den Balken
+"ubernommen werden.
+\subsubsubheading{Die Korrektur der Notenhalsl"angen}
+Es sind zun"achst zwei verschiedene Korrekturen der Notenhalsl"angen
+m"oglich.
+\item{1)}
+Wegen
+$$\verbatimoff |s^d(p_1)-s^d(p_n)|\le|\bar p_1-\bar p_n|$$
+gilt immer:
+$$
+\align &e_n-e_1\ge0 \text{ f"ur }p_1<p_n\;\\
+\text{und }& e_n-e_1\le0\text{ f"ur }p_1>p_n\;.\endalign$$
+\item{}
+In einigen F"allen wird
+jedoch die strikte Positivit"at bzw. Negativit"at
+von $S^*$ nicht mehr gew"ahrleis\-tet.
+
+\Beispiel
+{\hsize 4cm
+\loose
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\ \v{-4}\v{-3}\v{11}\v{13}\hfill\null
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+\item{}
+In diesen F"allen m"ussen also die Notenhalsl"angen so korrigiert werden,
+da\3 die Bedingung f"ur das Vorzeichen der Steigung
+ erf"ullt ist, und eine betragsm"a\3ig
+kleine Steigung
+die Tendenz der Notengruppe ausdr"uckt.
+
+\item{2)}Eine
+weitere Korrektur ergibt sich aus der Tatsache,
+da\3 Balken mit einer Steigung von mehr als
+ $25^\circ $--$ 30^\circ$ geneigt sind, nicht
+verwendet werden, da sie das Gesamtbild optisch unruhig erscheinen
+lassen.
+Da die Steigung von der Differenz der Abszissenwerte der Notenh"alse
+abh"angig ist,
+tritt dies h"aufig auf bei Notenpaaren
+mit stark unterschiedlichen Tonh"ohen, z.B.
+
+{\hsize 4cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\universal
+\beginsong
+\vio\C
+\hskip20pt\v{-3}\v{3} \hfill
+\endsong}
+\vskip-1cm\
+\item{}
+Die Korrektur sollte also dahin zielen, den Betrag der Balkensteigung so
+zu verkleinern, da\3 die h"ochstzul"assige Steigung angenommen wird.
+Dies kann auf zwei Arten geschehen:
+\itemitem{a)} Vergr"o\3ern des horizontalen Abstands, was aus den in
+Kapitel \adchap{-2}.1
+\XX angef"uhrten Gr"unden jedoch unzul"assig ist, und
+\itemitem{b)} Verkleinern des vertikalen Abstandes durch Ver"andern der
+Notenhalsl"angen.
+
+\item{}Auch in diesem Fall ist also eine Korrektur der Notenhalsl"angen
+erforderlich.
+
+Aus den Beipielen in der Notenliteratur ergibt sich, da\3
+die Korrektur der Notenhalsl"angen stets durch Verl"angern der
+entsprechenden Notenh"alse erfolgt, nie durch Verk"urzen.
+
+Die Verl"angerung der Notenh"alse ist nicht unabh"angig von der
+gemeinsamen Notenhalsrichtung $d$. Es gilt
+f"ur die zu den Noten $N_1$ und $N_n$ zugeh"origen Halsl"angen $s_1$ und
+$s_n$ f"ur die zuerst vorgestellte Korrekturm"oglichkeit:
+\verbatimon
+$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt }
+s_1 =s^d(p_1)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_n=s^d(p_n)\,,\\
+ \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt }
+s_n =s^d(p_n)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$
+Die zweite Korrektur wird wie folgt durchgef"uhrt:
+
+Sei $h:=h_n-h_1$ die Differenz der Abzissen der Notenh"alse
+und $\epsilon:=\sin\alpha$, wobei $\alpha$ den maximal zul"assigen
+Neigungswinkel angibt. Dann gilt
+$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt }
+s_1 =s^d(p_1)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h)
+\hbox{ und } s_n=s^d(p_n)\,,\\
+ \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt }
+s_n =s^d(p_n)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h)
+\hbox{ und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$
+
+Die der Notengruppe zugeh"orige Balkensteigung $S$ lautet nun:
+$$S:=\Frac{(\bar p_n - \bar p_1) + d(s_n-s_1)}{h_n-h_1} $$
+
+\Beispiel
+\par
+\input mdocpic2
+\endBeispiel
+
+\subsubsubheading{Die Diskretisierung der Balkensteigung}
+Die Balkensteigung $S$ hat einen reellen Wertebereich, wenn man die oben
+angef"uhrte Definition anwendet
+($S\in\lbrack-\tan\alpha,\tan\alpha\rbrack\subset\rz$).
+
+Wie schon in
+\adchap{-4}.1.4 \XX angedeutet, bietet \TeX\ au\3er Rules keine
+M"oglichkeit, Linien zu setzen. Man w"urde also einen Balken beliebiger
+Steigung aus gen"ugend kleinen ausgef"ullten Rechtecken zusammensetzen
+m"ussen und dabei ein Optimierungsverfahren anwenden. Diese
+Vorgehensweise w"are sowohl im Satz als auch in der Ausgabe sehr
+zeitaufwendig und w"urde dennoch bei von Null verschiedenen Steigungen
+eine sichtbare Treppenstruktur ergeben.
+
+Es liegt daher nahe, die Balkensteigung zu diskretisieren und Balken
+dieser Steigungen in einem eigenen Zeichensatz zusammenzufassen.
+
+\Bemerkung
+\item{1)}Das folgende Verfahren ist nicht spezifisch f"ur das
+Textsatzsystem \TeX, sondern k"onnte auch f"ur andere Satzsysteme
+verwendet werden.
+\item{2)}
+Diese Vorgehensweise der Diskretisierung
+findet man auch beim Typendruckverfahren,
+das im wesentlichen zwei verschiedene Neigungen verwendet:
+steile und flache (s. \lit{\genzmeier, S.119}).
+
+\endBemerkung
+Es sollen hier jedoch feinere Unterschiede gemacht werden:
+\item{1)}Die Balkensteigung soll die errechnete m"oglichst realistisch
+wiedergeben.
+\item{2)}Die gr"o\3te Steigung entspricht $\tan\alpha$, wobei
+$\alpha$ den maximal zul"assigen Neigungswinkel angibt. (Es gilt z.B.
+$25^\circ\approx\arctan{\hbox{|\nhh|}\over\hbox{2|\nhw|}}=\arctan
+0.\overline{45}$, falls |\nhw|=1.1|\nhh|.)
+
+Gesucht ist eine Folge $0=m_0<m_1<\ldots<m_k\cong 0.45$, die die in
+der Notenliteratur erforderlichen Steigungen wiedergibt.
+(Als negative Steigungen ergeben sich dann $-m_i\;,\;i=0,\ldots,k$.)
+
+Als Schranke $\eta>0$ f"ur den absoluten Fehler wurde das Zweifache der
+Balkenst"arke gew"ahlt, so da\3 sich
+bei Rundung auf den n"achsten diskreten
+Steigungswert ein maximaler Fehler von $\eta/2$, d.h. der St"arke eines
+Balkens ($\approx$0.6|\nhh|), ergibt.
+Sei $\epsilon:=\max_{i=0,\ldots,k-1}\{m_{i+1}-m_i\}$, so gilt f"ur den
+absoluten Fehler:
+$$\verbatimoff |m_{i+1}-m_i|\cdot|h|<\eta\;.$$
+Die Wahl von $\epsilon$ ist also abh"angig von $|h|$.
+W"ahlt man acht verschiedene Steigungen, d.h. $k=8$, und als obere
+Schranke $m_8=0.45$, so erh"alt man f"ur
+$\epsilon=\Frac{0.45}8\cong0.056$ die gew"unschte Genauigkeit f"ur
+\verbatimoff
+$|h|=\verbatimon{\hbox{1.2|\nhh|}\over\dsize0.056}\cong21\hbox{|\nhh|}
+\cong20\hbox{|\nhw|}$.\verbatimon
+
+Diese Genauigkeit wird also bei einer Verbalkung von zehn Achtelnoten
+bei universellem Zeilenausschlu\3 (s. 5.1.1\XX) eingehalten. Dies ist
+ausreichend, da selten l"angere Balken ben"otigt werden. Bei einer
+Verbalkung von sechs Achtelnoten erreicht man eine Genauigkeit von
+$\eta/2$.
+Aus diesen Gr"unden wurde f"ur den Balkenzeichensatz der
+`Steigungssatz' $m_i=0.056\cdot i\,,$ $i=1,\ldots,8$ gew"ahlt.
+
+Die Anpassung der oben berechneten Steigung $S$ an die im Zeichensatz
+vorhandenen erfolgt f"ur
+\verbatimoff$|S|\ge m_1$ durch Runden auf den n"achsten diskreten
+Steigungswert $m_i$ mit $m_i\le |S|$ und
+ f"ur $0<|S|<m_1$ durch
+Aufrunden auf $m_1$, damit die obigen Bedingungen f"ur das Vorzeichen der
+Steigung auch bei diskretisierter Steigung erf"ullt bleiben.
+
+\verbatimon
+Stellt man den Zeichensatz so zusammen, da\3 zu jeder Steigung
+Balkenst"ucke der Zeichenbreite $w_i:=\frac12\cdot 2^i\pt=2^{i-1}\pt$,
+$i\in\{0,\ldots,7\}$ existieren, so k"onnen Balken beliebiger L"ange auf
+$0.5\pt$ genau zusammengef"ugt werden, wobei die auf den Drucker
+zu "ubertragende Anzahl der Zeichen minimiert ist
+Der dazu erstellte Zeichensatz ist im Anhang D zu finden.
+
+\subsubheading{Die Anpassung der Notenhalsl"angen}
+Da der Balkenverlauf nur nach der ersten und letzten Note bestimmt
+wurde, aber die dazwischen liegenden Noten $N_2,\ldots,N_{n-1}$ beliebig
+sind, ist es notwendig, zun"achst die "ubrigen Notenhalsl"angen
+anzugleichen, abh"angig von den internen Tonh"ohen der inneren Noten
+eine dritte Korrektur aller Notenh"alse durchzuf"uhren und abh"angig
+von der Anzahl der zu setzenden Balkenreihen eventuell die Notenh"alse
+durch eine vierte Korrektur erneut zu verl"angern.
+
+\subsubsubheading{Das Angleichen der Notenh"alse}
+Ausgehend vom
+(eventuell korrigierten) Notenhalsendpunkt $E_1$ ist die L"ange des
+Notenhalses $s_i$ von $N_i$ der vertikale Abstand des Notenkopfes vom
+Balken. Es gilt:
+$$s_i:= s_1+d(\bar p_1 -\bar p_i + S\cdot (h_i-h_1))\;,$$
+wobei $S$ die angepa\3te diskretisierte Steigung ist und $d$ wiederum
+die gemeinsame Notenhalsrichtung beschreibt.
+
+\subsubsubheading{Die erste Verl"angerung der Notenh"alse}
+Sei $\bar s$ die minimal zul"assige Halsl"ange innerhalb einer
+Notengruppe. Dann sind zun"achst alle Halsl"angen der Gruppe um
+$$s^*:=\max_{1\le i\le n}(0,\bar s-s_i)$$
+zu verl"angern. Die Verl"angerung $s^*$ ist also nur positiv, falls f"ur
+mindestens ein $i$ gilt $s_i<\bar s$, andernfalls ist keine Korrektur
+notwendig.
+
+Die minimal zul"assige Halsl"ange ist wie folgt bestimmt:
+$$\bar s =\cases 2\hbox{|\nhh|}\,,&\text{falls
+}s^d(p_1)\le3\hbox{|\nhh|}\text{ oder }
+s^d(p_n)\le3\hbox{|\nhh|}\;,\\3\hbox{|\nhh|}\,,&\text{sonst.}\endcases$$
+Es gilt also $\bar s=2\hbox{|\nhh|}$ f"ur $p\ge6$, falls $d=+1$ und f"ur
+$p\le1$, falls $d=-1$.
+
+Diese (willk"urlich festgelegten) Werte f"ur $\bar s$ haben sich in der
+Praxis bew"ahrt.
+
+\Beispiel
+\par
+\input mdocpic3
+\endBeispiel
+
+\subsubsubheading{Die zweite Verl"angerung der Notenh"alse}
+Abh"angig von der Anzahl der Balkenreihen $r$ m"ussen die
+Notenhalsl"angen eventuell nochmals korrigiert werden um
+$$s^{**}:=\cases0\,,&\text{f"ur
+}r\le2\,,\\(r-2)\hbox{|\nhh|}\,,&\text{f"ur }r>2\,.\endcases$$
+Auch diese Werte sind heuristisch bestimmt.
+\par
+\subsubheading{%
+Bestimmung des Aufpunktes aller Balken der Notengruppe}
+Der Aufpunkt $P_{i,j}=(h_i,a_{i,j})\,,1\le i\le n$ und $1\le j\le r$,
+der einzelnen Balken der Notengruppe
+wird nun wie folgt bestimmt:
+$$a_{i,j} = \bar p_i + d\cdot s_i + d\cdot r\cdot\hbox{|\nhh|}\;.$$
+Dabei wird der Balken bis auf den Spezialfall eines ``Halbbalkens''
+immer rechts vom Notenhals positioniert. Gilt ein Balken nur f"ur
+eine Note, so wird er je nach Position der Note innerhalb der
+Notengruppe links oder rechts vom Notenhals plaziert, z.B immer links
+f"ur $N_n$ und immer rechts f"ur $N_1$. Innerhalb der Gruppe richtet
+sich die Position nach dem metrischen Gef"uge (s.\lit\ziegen). Ein
+solcher Balken hat immer als L"ange die H"ohe
+eines Notenkopfes.
+
+\Beispiel
+{\hsize 10cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\loose
+\beginsong
+\vio\C
+\def\beamlist{\\{1-2,}\\{-2,}}
+\group{\\{\a6\.1}\\{\s6}}{\\{6}\\{6}}\lbeam12\go
+\def\beamlist{\\{1-2,}\\{1-1,}}
+\group{\\{\s6}\\{\a7\.1}}{\\{6}\\{7}}\lbeam12\go
+\def\beamlist{\\{1-4,}\\{-2,-4,}}
+\group{\\{\a7\.1}\\{\s8}\\{\a6\.1}%
+\\{\s7}}{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go
+\def\beamlist{\\{1-4,}\\{1-1,3-3,}}
+\group{\\{\s7}\\{\a8\.1}\\{\s6}\\{\a7\.1}}
+{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go
+\hfill\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+\subsubheading{Abschlie\3ende Bemerkungen zur Verbalkung}
+Das obige
+Verfahren zur Verbalkung l"a\3t sich auch f"ur Akkorde durchf"uhren,
+wenn f"ur die interne Tonh"ohe die am weitesten von der jeweiligen
+Bezugsnote entfernte Note zur Berechnung verwendet wird.
+
+\Beispiel
+{\hsize 4cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\loose
+\beginsong
+\vio\C%
+\def\beamlist{\\{1-3,}\\{1-3,}}%
+\group{\\{\b7\rchord\a7\a{-1}\endchord}\\{\rchord\a{14}\a8\endchord}
+\\{\rchord\a{11}\a5\endchord}}{\\{-1}\\{8}\\{5}}\lbeam13\go\hfill
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+\subheading{Entwicklung eines Verfahrens zur Phrasierung}
+
+Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Phrasierung}
+von Noten, d.h. ein Verfahren,
+das jede beliebige Folge von Noten \folgi Nin mit zugeh"origen
+Tonh"ohen \folgi pin, Notenhalsl"angen \folgi sin und
+Notenhalsrichtungen \folgi din mit einem Bogen "uberspannt.
+
+Wie bei der Verbalkung mu\3 zun"achst entschieden werden, ob der Bogen
+oberhalb oder unterhalb der Noten verl"auft. Verl"auft der Bogen
+oberhalb, so ist eine konkave Form zu w"ahlen, andernfalls
+eine konvexe Form.
+
+Als Grundregel gilt:
+
+\item{P1)}Bei einstimmiger Notation wird der Bogen von Notenkopf zu
+Notenkopf gef"uhrt, so da\3 die betroffenen Noten deutlich erkennbar
+sind, d.h. f"ur $d_1=d_n$ wird der Bogen
+unterhalb der Notenk"opfe gef"uhrt,
+falls $d_1=+1$, und oberhalb, falls $d_1=-1$.
+\item{}
+F"ur $d_1\ne d_n$ gibt es keine einheitliche Regelung, jedoch findet man
+meistens (vor allem in der Vokalmusik) die Regelung, da\3 der Bogen
+oberhalb
+der Notenk"opfe gef"uhrt wird, um nicht in Konflikt mit unterlegtem Text
+zu geraten.
+\item{P2)} Bei zwei- (oder mehr-)stimmiger Notation gilt jedoch
+allgemeing"ultig die Regelung, da\3 f"ur die Phrasierung der Oberstimme
+konkave Bogen und f"ur die Phrasierung der Unterstimme konvexe Bogen
+vorgeschrieben sind.
+
+\Beispiel
+{\universal
+\hsize 10 cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\group{\\{\h5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
+\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\lslur12\go
+\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go
+\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go
+\two{%
+\group{\\{\h3}\\{\h7}}{\\{3}\\{7}}\uslur12\go}
+{\group{\\{\h1}\\{\h4}}{\\{1}\\{4}}\lslur12\go}\=\endsong
+}\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Der Bogen wird im Gegensatz zum Balken
+nicht dazu verwendet, den Melodieverlauf auszudr"ucken,
+sondern wird abh"angig vom zur Verf"ugung stehenden Freiraum
+positioniert, d.h. er darf innere Noten der Notengruppe nicht
+durchkreuzen.
+
+Beim Handnotensatz unterscheidet der Notensetzer Legato- und Haltebogen
+von Phrasierungsbogen.
+
+Legato- und Haltebogen sind k"urzer und meist schon als Stempel
+vorhanden, w"ahrend Phrasierungsbogen freier gestochen
+werden und l"anger sind.
+
+Legatobogen haben also f"ur eine bestimmte L"ange eine feste Kr"ummung,
+w"ahrend Phrasierungsbogen in der Form variieren k"onnen.
+
+Da \TeX\ nicht die graphischen M"oglichkeiten besitzt, Bogen zu
+zeichnen, mu\3te eine Algorithmus gefunden werden, der Bogen mit einer
+festen Kr"ummung bei gleicher Breite setzt.
+
+Berechnet man also die Sekantensteigungen des Bogens, so ist der
+zugeh"orige zu w"ahlende Bogen eindeutig bestimmt und in einem
+Zeichensatz speicherbar.
+
+Daher ist es f"ur das Setzen eines Bogens
+ausreichend, nur seine Sekantensteigung zu berechnen und
+diese zu diskretisieren.
+
+\subsubheading{Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes des Bogens}
+
+O.B.d.A. seien im folgenden Noten durch einen konkaven Bogen zu
+"uberspannen. F"ur den konvexen Bogen lassen sich die "Uberlegungen
+analog durchf"uhren.
+
+Sei \folgi Nin eine Notengruppe. Seien
+\folgi pin die zugeh"origen Tonh"ohen und
+$\bar p_i:=p_i\cdot0.5\hbox{|\nhh|} $ wie oben.
+Seien \folgi din die Richtungen der Notenh"alse,
+ \folgi sin die zugeh"origen Notenhalsl"angen und
+ \folgi hin die Abszissenwerte der Notenh"alse.
+\Bemerkung O.B.d.A. sei $h_1:=0$. Gilt
+$d_i=0$ f"ur ein $i$, so besitzt
+die Note keinen Notenhals. In diesem Fall sei $h_i$
+der Abszissenwert des Notenkopfmittelpunktes.
+\endBemerkung
+Dann gilt f"ur den Anfangspunkt $A_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht
+mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind:
+$$\matrix\format\r&\l&\l\\
+\text{F"ur } &d_i=+1& \text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
+ \text{f"ur } &d_i=0&\text{ gilt } A_i=(h_i,
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
+ \text{f"ur } &d_i=-1&\text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$
+Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe,
+so ist eine weitere Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das
+\disp{letzte} Element der verbalkten Notengruppe ist, gilt:
+$A_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$
+Dies gilt auch f"ur die letzte Note einer ``Balkengruppe'', falls die
+Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls
+gilt $A_i= (h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})$.
+
+F"ur den Endpunkt $E_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht
+mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind, gilt:
+$$\matrix\format\r&\l&\l\\
+\text{F"ur }& d_i=+1&\text{ gilt } E_i=(h_i-0.5\hbox{|\nhh|},
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
+ \text{f"ur }& d_i=0&\text{ gilt } E_i=(h_i,
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
+ \text{f"ur }&d_i=-1&\text{ gilt } E_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
+\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$
+Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe,
+so ist wiederum
+eine Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das
+\disp{erste} Element der verbalkten Notengruppe ist, so ist
+$E_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$
+Dies gilt auch f"ur die erste Note einer ``Balkengruppe'', falls die
+Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls
+ist $E_i= (h_i,\bar p_i+\hbox{|\nhh|})$.
+\verbatimoff
+\par
+\Beispiel
+\par
+{\hsize 16 cm\universal
+\parindent = 0pt
+\beginsong
+\vio\C%
+\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\uslur12\go
+\group{\\{\h3}\\{\g5}}{\\{3}\\{5}}\uslur12\go
+\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go\doublebarline
+\group{\\{\g4}\\{\h1}}{\\{4}\\{1}}\uslur12\go
+\group{\\{\g5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
+\group{\\{\g5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go\doublebarline
+\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go
+\group{\\{\h5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
+\group{\\{\h4}\\{\h8}}{\\{4}\\{8}}\uslur12\go\hfill\doublebarline
+\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur13\go
+\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur23\go
+\doublebarline
+\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}%
+}\ubeam12\ubeam34\uslur13\go\|%
+\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}%
+}\ubeam12\ubeam34\uslur23\go
+\=\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+Wie bei der Verbalkung mu\3 in Extremf"allen die Sekantensteigung
+ korrigiert werden. Dies geschieht wiederum nur durch Verschieben der
+Anfangs- bzw. Endpunkte in vertikaler Richtung, d.h. durch Ver"andern der
+Ordinaten.
+\verbatimon
+
+Im folgenden seien \folgi ain und \folgi ein die Ordinatenwerte der
+Punkte \folgi Ain{}bzw. \folgi Ein.
+Eine Korrektur wird (auch in der Notenliteratur) nur so durchgef"uhrt,
+da\3 die Sekantensteigung betragsm"a\3ig verkleinert wird, jedoch kein
+Vorzeichenwechsel auftritt.
+
+Da die
+Anfangs- und Endpunkte f"ur einen konkaven Bogen so gew"ahlt sind,
+da\3 der vertikale Abstand von der Grundlinie der minimal m"ogliche ist,
+kann die Korrektur nur durch Erh"ohen des Abstandes durchgef"uhrt werden.
+
+\item{1)}Zun"achst ist eine Korrektur notwendig,
+falls der Bogen, der die Noten zwischen $N_1$ und $N_n$ "uberspannen
+soll, die inneren Noten schneidet.
+Die Bogen der Notenliteratur "ahneln eher Parabelausschnitten als
+Kreisbogenausschnitten, wie man zun"achst vermuten w"urde. Um den
+Bogenverlauf m"oglichst genau nachzuahmen, wurde ein Parabelausschnitt
+gew"ahlt, der durch die beiden Endpunkte des Bogens und einen dritten
+Punkt eindeutig bestimmt ist. Dieser dritte Punkt ist durch einen
+Vektor, der senkrecht auf der Sekante steht, mit dem Sekantenmittelpunkt
+als Aufpunkt und einer L"ange, abh"angig von der Sekantenl"ange, gegeben.
+Als L"ange hat sich
+hierbei ein Sechstel der Sekantenl"ange bew"ahrt, soweit
+diese nicht den Betrag von |2\nhh| "uberschreitet.
+\par
+\item{}
+Da nur eine grobe Korrektur notwendig ist, gen"ugt es, den Bogen
+geeignet linear zu approximieren und zu "uberpr"ufen, ob die
+inneren Noten unterhalb einer solchen Geraden
+verlaufen.
+\item{}
+Die Gerade, die dies f"ur alle F"alle gew"ahrleistet, ist nat"urlich
+die Gerade durch die
+Sekante des Bogens. Dies f"uhrt jedoch f"ur die Noten,
+die sich unter der Sekantenmitte befinden, zu unbefriedigenden
+Ergebnissen.
+ Da
+sich jedoch in unmittelbarer N"ahe der Bogenendpunkte keine
+inneren Noten befinden, kann eine Gerade gew"ahlt werden, die
+zur Sekante parallel verl"auft.
+Der Abstand zur Sekante ist
+ abh"angig von der ``Auslenkung'' des
+Bogens und der Sekantensteigung.
+\item{}
+Sei $\epsilon$ der Abstand der beiden
+Geraden und
+$S$ die errechnete Sekantensteigung bzgl. $A_1$ und $E_n$.
+Dann ist
+$s^*=\max_{i=2,\ldots,n-1}\{0\,,\,(e_i-a_1+S\cdot h_i)-\epsilon\}$
+der Maximalwert, um den die Approximationsgerade "uberschritten wurde.
+Die Korrektur der Bogensteigung wird dann wie folgt durchgef"uhrt:
+gilt $a_1<e_n$, dann wird $a_1$ um $s^*$
+vergr"o\3ert.
+Falls $a_1+s^*>e_n$, wird so korrigiert, da\3 $S$ verschwindet, d.h.
+$e_n$ mu\3 um den Betrag $e_n-(a_1+s^*)$ vergr"o\3ert werden. F"ur
+$a_1>e_n$ wird zun"achst $e_n$ vergr"o\3ert. Falls dabei
+$S$ Null wird, ist zus"atzlich $a_1$ zu korrigieren.
+\medskip
+\input mdocpic4
+\medskip
+\centerline{{\eightrm Skizze zur Approximation des Bogens}}
+\item{2)}Eine weitere Korrektur mu\3 (nach der Diskretisierung
+(s. \the\chap.2.2\XX))
+durchgef"uhrt werden, falls die Steigung die f"ur die
+Zeichenbreite des Bogens zul"assige maximale Steigung "uberschreitet.
+\item{}
+Die Sekantensteigungen $S$ liegen im Intervall $(-1,1)\in\rz$, jedoch
+kommt es auch nur selten vor, da\3 \verbatimoff$S\cdot |h|>\verbatimon
+4\hbox{|\nhh|}$, d.h. die H"ohe des Zeilensystems "uberschreitet. Die
+maximal zul"assige Steigung ist also abh"angig von $h$ und kann
+beschrieben werden durch:
+\verbatimon
+$$\bar s(h)=\min(1,{4\hbox{|\nhh|}\over h})\;.$$
+Dann wird die Korrektur wiederum so durchgef"uhrt, da\3
+$a_1$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1<e_n$,
+und $e_n$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1>e_n$.
+ Es gilt:
+$$a_{1,{\rm neu}}:=e_n-\bar s(h)\cdot h \quad\text{ bzw. }\quad
+e_{1,{\rm neu}}:=a_n-\bar s(h)\cdot h \;.$$
+
+\subsubheading{Diskretisierung der Sekantensteigung}
+Aus den gleichen Gr"unden wie bei der Verbalkung ist eine
+Diskretisierung der Sekantensteigung notwendig. Da die St"arke des
+Bogens jeweils zum Bogenende abnimmt, w"are es sehr zeitaufwendig, den
+Bogen aus Einzelst"ucken zusammenzusetzen.
+Zu jeder Breite und jeder Steigung m"u\3te also ein vollst"andiger Bogen
+bereitgehalten werden.
+
+Ber"ucksichtigt man folgende Gesichtspunkte, kann jedoch eine
+repr"asentative Auswahl getroffen werden.
+\item{1)}Da der Bogen die
+Notengruppe nur "uberspannen und nicht exakt zwischen zwei Notenh"alsen
+eingepa\3t werden mu\3, gen"ugt es, Bogen der Zeichenbreite $w=k\cdot
+\hbox{|\nhw|} \text { mit } k\in\nz^+$ bereitzuhalten.
+\item{2)}Der vertikale Abstand der Bogenendpunkte betr"agt (meistens)
+ein
+$m$-faches von 0.5|\nhh|, wobei als obere Grenze 4|\nhh|
+angesehen werden kann, d.h. $m\le8$.
+%
+\item{3)}Eine weitere Schranke ist $m\le2k$, da die Sekantensteigung
+kleiner als 1 sein sollte.
+\item{4)}Da jedoch nicht Bogen beliebiger
+L"ange bereitgehalten werden k"onnen, ist es entgegen obiger
+"Uberlegung doch notwendig, Bogen gr"o\3erer Breite aus Einzelst"ucken
+zusammenzusetzen. Dabei wird das Mittelst"uck durch eine Rule beliebiger
+L"ange ersetzt.
+
+Es ergeben sich aus den obigen Gesichtspunkten f"unf verschiedene
+Zeichens"atze:
+\item{1)}konkave Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit
+Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und H"ohen
+$ht = j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$.
+
+\item{2)}konkave Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit
+Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und Tiefen
+$dp =-j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$.
+
+\item{3)}konvexe Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit
+Breiten $w$ und H"ohen $ht$ wie oben.
+\item{4)}konvexe Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit
+Breiten $w$ und Tiefen $dp$ wie oben.
+\item{5)}konkave und konvexe Haltebogen ($j=0$) verschiedener Breite
+$w$ wie oben
+und konkave und konvexe Bogenst"ucke
+positiver und negativer Sekantensteigung konstanter Breite (%
+$w=9\hbox{|\nhw|}$).
+\Bemerkung
+\item{1)}Die Maximalbreite $w=17\hbox{|\nhw|}$ hat sich so ergeben, da\3
+die Zeichens"atze mit jeweils 124 Elementen belegt werden konnten.
+Vollst"andige Bogen einer gr"o\3eren Breite erschienen nicht sinnvoll,
+da sie selten vorkommen und viel Speicherplatz ben"otigen.
+\item{2)}
+Zur Wahl der Bogenst"ucke:
+\item{}Der Bogen wird aus drei Teilen zusammengesetzt und zwar werden je
+ein Bogenst"uck positiver Sekantensteigung und ein Bogenst"uck
+negativer Sekantensteigung, die jeweils konvex bzw. konkav sind, durch
+eine Rule beliebiger L"ange verbunden. Dabei k"onnen sich vier
+verschiedene Situationen ergeben:
+
+\Beispiel\vskip-1cm
+\begingroup
+\def\vt#1{{\offinterlineskip\vtop{\null\hbox{\slurfont\char\hex#1}\vss}%
+}}
+\def\vb#1{{\offinterlineskip\vbox{\vss\hbox{\slurfont\char\hex#1}\null}%
+}}
+\medskip
+\def\rulet{\vrule height 0pt depth 1pt width36pt}
+\def\ruleb{\vrule height 1pt depth 0pt width36pt}
+\baselineskip2cm
+\halign{\hskip\iindent#\hfil&\quad$\vcenter{#}$&\hskip\iindent#\hfil
+&\quad$\vcenter{#}$\cr
+a)&\hbox{\vt{28} \rulet\ \vt{30}}&b)&\hbox{\vt{20} \rulet\ \vt{38}}\cr
+c)&\hbox{\vb{40} \ruleb\ \vb{58}}&d)&\hbox{\vb{48} \ruleb\ \vb{50}}\cr}
+\endgroup
+\medskip
+\endBeispiel
+\item{}
+Die folgenden "Uberlegungen gelten f"ur die in Beispiel a)
+aufgef"uhrte Situation, k"onnen jedoch auch auf die anderen "ubertragen
+werden.
+\item{}
+Sei $S=\Frac{e_n-a_1}h={\dsize j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\over \dsize
+h}$, wobei
+$j\in\{0,\ldots,8\}$.
+O.B.d.A. gilt $e_n>a_1$. Sei $S_1>0$ die Sekantensteigung des ersten
+Bogenst"ucks und $S_2<0$ die des zweiten. Dann gilt $S_1>S$.
+Die f"ur die Bogen gew"ahlten Steigungen reichen also in diesem Fall
+nicht aus. Je gr"o\3er \verbatimoff$|S_2|$ gew"ahlt wird, desto
+gr"o\3ere Werte m"ussen also f"ur $S_1$ bereitgehalten werden.
+\item{}
+Dann gilt:\verbatimon
+$$S_1={S\cdot h + 9\hbox{|\nhw|}\cdot
+\verbatimoff|S_2|\over\verbatimon
+9\hbox{|\nhw|}}$$\verbatimon
+Da die H"ohen in den "ubrigen Zeichens"atzen als Vielfaches von
+0.5|\nhh| gew"ahlt wurden, d.h.
+da\3 $S\cdot h = j\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}$ f"ur ein
+$j\in\{1,\ldots,8\}$, gilt, falls eine solche Darstellung auch f"ur
+\verbatimoff $|S_2|\cdot 9\verbatimon
+\hbox{|\nhw|}=j^*\cdot0.5\hbox{|\nhh|}$ mit fest gew"ahltem
+$j^*\in\nz$
+angenommen wird,\verbatimon
+$$S_1={(j+j^*)\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}\over 9\hbox{|\nhw|}}\,.$$
+Dies ergibt f"ur $S_1$ acht verschiedene Werte
+$ht_j=j\cdot\hbox{|\nhh|}$,
+$j\in\{j^*+1,\ldots,j^*+8\}$. \verbatimoff
+Da der Wert f"ur $|S_2|$ noch mitgerechnet \verbatimon
+werden mu\3, sind neun verschiedene Bogenst"ucke f"ur jeden Fall
+notwendig (positiv, negativ, konvex, konkav).
+\item{}
+Die Auswahl der Steigungen ist also nur abh"angig von $j^*$ und nicht
+von $h$.
+Die vorliegenden Zeichens"atze wurden mit $j^*=2$ erzeugt.
+Der Fall $S=0$ mu\3 als Sonderfall betrachtet werden, da in diesem Fall
+$S_1=-S_2$ gelten mu\3. Die Wahl
+$j^*=2$ erweist sich in diesem Fall jedoch als
+zu flach. Aus diesem Grund werden f"ur $S=0$ Bogen mit $j=4$
+verwendet.
+\endBemerkung
+\subheading{Ausf"uhrung des Balken- und Bogensatzes}
+
+\subsubheading{Nachbarschaften}
+
+Das Setzen der Bogen und Balken ist in hohem Ma\3e abh"angig vom
+Kontext, z.B. Bestimmung der Anfangs- und Endpunkte der Bogen, die
+Richtung und L"ange der Notenh"alse.
+
+Im Unterschied zum Textsatz besteht hier die Notwendigkeit,
+Notenschriftelemente, die auf eine solche Weise in Verbindung stehen,
+d.h. nicht isoliert zu behandeln sind, gleichzeitig zu verarbeiten.
+
+Gomberg (\lit\gomb) hat f"ur Notenschriftelemente, die untereinander in
+Beziehung stehen, indem sie gleichen horizontalen Raum beanspruchen,
+den Begriff der \defi{Nachbarschaften} formuliert
+(s.a. Kapitel \adchap2\XX).
+
+Anlehnend an diesen Begriff m"ochte ich Notenschriftelemente, die in
+irgendeiner Weise (graphisch) miteinander verbunden sind, zu einer
+Nachbarschaft zusammenfassen. Dazu geh"oren Notengruppen, die verbalkt
+werden sollen, aber auch Notengruppen, die mit einem Bogen "uberspannt
+werden sollen. Da sich diese Gruppen "uberschneiden k"onnen, sind
+Nachbarschaften oft gr"o\3er als die einzelne Notengruppe.
+
+\Beispiel
+{\hsize 10 cm
+\loose
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\Es \hskip20pt\group{\\{\a8}\\{\s3}\\{\s4}\\{\a5}
+\\{\s5}\\{\s6}\\{\n7\a7}\\{\s{13}}\\{\s7}}
+{\\{8}\\{3}\\{4}\\{5}\\{5}\\{6}\\{7}\\{13}\\{7}}
+\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}\lbeam13%
+\def\beamlist{\\{4-6,}\\{5-6,}}\lbeam46%
+\def\beamlist{\\{7-9,}\\{8-9,}}\lbeam79\uslur24\uslur57\uslur89\go
+\hfill\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+
+\Bemerkung Da es in einer Nachbarschaft nicht m"oglich ist, eine Note
+isoliert zu sehen, ist es auch nicht m"oglich, eine Nachbarschaft ohne
+"au\3eres Einwirken (durch den Benutzer) zu trennen.
+\item{}
+In \TeX\ wird eine solche Nachbarschaft als Box aufgefa\3t, deren Glue
+nicht mehr variabel ist. Enth"alt ein Musikst"uck gr"o\3ere
+Nachbarschaften, wird es problematisch, geeignete Umbruchpunkte f"ur den
+Zeilenumbruch zu finden.
+\item{}
+Das \TeX-Konzept f"ur Ausschlu\3 und Zeilenumbruch erweist sich also an
+dieser Stelle als hinderlich.
+\goodbreak
+\subsubheading{Verarbeitung der Nachbarschaften}Zur Verarbeitung der
+Nachbarschaften ist es notwendig, Informationen "uber die einzelnen
+Nachbarschaftselemente zu verwalten, z.B. die Tonh"ohen der Noten, die
+L"angen der Notenh"alse, den oberen und unteren Anfangs- und Endpunkt
+f"ur Bogen.
+
+Eine Speicherung beliebig vieler gleichartiger Elemente, z.B. in
+Vektoren, ist in \TeX\ nicht vorgesehen. Es ist jedoch m"oglich, mit
+Hilfe von Kontrollsequenzen Listen aufzubauen (\lit\Knuth, \Texbook,
+Anhang D.2).
+Eine Liste von $n$ Informationen kann in der Form
+\begindisplay
+|\\{|\<item$_1$>|}\\{|\<item$_2$>|}| $\ldots$ |\\{|\<item$_n$>|}|
+\enddisplay
+kodiert werden,
+wobei jedes \<item> eine wohlgeklammerte Tokenliste ist.
+
+Eine parameterlose Kontrollsequenz, z.B. |\liste|, deren Ersetzungstext
+obige Form besitzt, hei\3t \defi{Listenmacro} (\tex{list macro}).
+Das leere Listenmacro mit $n=0$ hei\3t |\empty|. Die einzelnen Elemente
+werden durch |\\| getrennt.
+Wird |\\| als Kontrollsequenz aufgefa\3t und als Makro
+mit einem Argument definiert, so k"onnen
+verschiedene Effekte erzielt werden, wenn es auf die
+Liste angewendet wird.
+\Beispiel
+Mit |\def\\#1{\hbox{#1}}|
+werden durch Aufruf von |\vbox{\liste}| alle Elemente von Liste
+untereinander gesetzt.
+\endBeispiel
+Durch Umdefinieren von |\\| kann man auch auf die Elemente selber
+einwirken. Sie k"onnen ausgetauscht werden, neue Elemente an- und
+eingef"ugt oder alte gel"oscht werden.
+
+Solche Listen k"onnen also dazu benutzt werden, Informationen, die zur
+Bearbeitung der Nachbarschaften notwendig sind, zu speichern.
+
+Die Bearbeitung der Nachbarschaften erfolgt in drei Teilschritten:
+\item{1)}Die Initialisierung der ben"otigten Listen.
+\item{2)}Die Berechnung der ben"otigten Balken und Bogen nach den in
+\the\chap.1 und \the\chap.2
+beschriebenen Verfahren und das Einf"ugen der ent\-%
+sprechenden Zeichensatzelemente in die Nachbarschaft.
+\item{3)} Das endg"ultige Setzen der Nachbarschaft.
+
+\subsubsubheading{Die ben"otigten Listen}
+Im folgenden sollen die ben"otigten Listen beschrieben werden.
+
+\item{1)}Als Anfangsinformation m"ussen folgende Listen gegeben sein.
+Diese sind vom "Ubersetzungspro\-gramm
+(\lit\Schofer) bereitzustellen:
+\item{a)}Die Liste aller Elemente der Nachbarschaft (|\elementlist|).
+\item{}
+Normalerweise bestehen die Elemente aus jeweils einer Note mit, falls
+vorhanden, zugeh"origem Vorzeichen und eventuellen Wertpunkten.
+Des weiteren kann ein Element einen Akkord beinhalten oder
+andere Notenschriftelemente wie z.B. Taktstriche, zu unterlegende Texte
+oder Akzente.
+\item{b)}Die Liste der Tonh"ohen der Noten der
+Nachbarschaft (|\pitchlist|).\item{}
+Das $i$-te Element der
+|\pitchlist| enth"alt die jeweilige
+ Tonh"ohe des $i$-ten Elementes der |\elementlist|.
+ Bei Akkorden kann jedoch
+nur die Tonh"ohe des Notenkopfes, der f"ur die Verbalkung
+relevant ist, angegeben werden. Auch Taktstrichen kann eine Tonh"ohe
+zugewiesen werden. So kann man vor einem Zeilenumbruch einen
+Bogen "uber einem Taktstrich enden lassen.
+\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die durch Balken zu
+verbindenden Noten enth"alt (|\beamlist|).
+\item{}
+Die Zahl der Elemente gibt die Anzahl der Balkenreihen $r$ an und die
+jeweiligen Elemente,
+welche Noten in der Balkenreihe zu verbinden sind.
+Wie in \XX \the\chap.1
+erw"ahnt, ist nicht allein aus den Notenwerten erkennbar,
+welche Noten der Nachbarschaft miteinander verbunden werden m"ussen, da
+die Noten
+innerhalb der Balkengruppe noch weiter gruppiert werden m"ussen,
+um die Betonungsverh"altnisse im Takt zu verdeutlichen.
+\item{}
+Aus diesem Grund enthalten die Elemente der Balkenlisten eine weitere
+Liste, die angibt, welche Noten in der jeweiligen Balkenreihe
+miteinander verbunden werden.
+\item{}
+Sei $l$ die Anzahl der Elemente einer solchen ``Unterliste'' und
+seien die Elemente $n_1$ bis $n_2$ der Nachbarschaft zu verbalken.
+Das $i$-te Element des Listenelementes ist dabei
+von der Form:
+$$\matrix\format\l&\r&\l\\\hbox{A:}\qquad&
+k_{i_1}-k_{i_2},& \text{ wobei }k_{i_{1,2}}\in\{n_1,\ldots,n_2\}
+\text{ und }k_{i_1}\leq k_{i_2}\,,\\
+\noalign{\text{ oder }}
+\hbox{B:}\qquad&-k_{i_2},&\text{ wobei }k_{i_2}
+\text{ wie oben und }k_{i_1} \text{ fehlt.}
+\endmatrix$$
+\item{}F"ur die Folge
+$(k_{i_1},k_{i_2}),i\in\{1,\ldots,l-1\}$ mu\3 gelten:
+$$k_{i_1}<k_{(i+1)_1}\text{ und }k_{i_2}\leq k_{(i+1)_1}\,,\text{ falls
+}k_{i_2}\text{ nicht fehlt.}$$
+\item{}Dabei bedeutet die Form:
+{\iindent=40pt
+\itemitem{$k_{i_1}-k_{i_2}$:} Verbalke das $k_{i_1}$-te bis
+$k_{i_2}$-te Element der |\elementlist|, falls $k_{i_1}\ne k_{i_2}$,
+sonst verbalke Element $k_{i_1}$ nach rechts.
+\itemitem{$-k_{i_2}$:}Verbalke das $k_{i_2}$-te Element nach
+links.
+\par}
+\item{}In beiden F"allen betr"agt die Breite des Balkens |\nhw|.
+
+\Beispiel(s. \the\chap.1.3)
+\endBeispiel
+\item{}
+Es ist nach oben beschriebenem System nicht unbedingt notwendig, da\3
+die erste Balkenreihe durchgehend ist, d.h. von der Form $n_1-n_2$.
+ Dies ist kein
+Fehler, sondern es erm"oglicht, ein Bild folgender Art zu erhalten:
+
+{\loose
+\hsize7cm
+\advance\hsize2\iindent
+\parindent2\iindent
+\beginsong
+\vio\C
+\def\beamlist{\\{1-4,5-8,}}%
+\group{\\{\a{-2}}\\{\a{-1}}\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}\\{\a4}\\{\a5}}
+{\\{-2}\\{-1}\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}\\{4}\\{5}}\ubeam18\go\=%
+\endsong}
+\vskip-1cm
+\goodbreak
+\item{2)}Zur Verarbeitung werden folgende Listen ben"otigt:
+\item{}Da diese Listen Informationen "uber das jeweilige Element
+der |\elementlist| speichern, mu\3
+die Anzahl der Listenelemente (Kardinalit"at)
+mit der Anzahl der Elemente der |\elementlist| "ubereinstimmen.
+\item{a)}Die Liste, die Informationen "uber die horizontale
+Breite der Nachbarschaft und ihrer Elemente enth"alt (|\Hlist|).
+\item{}
+Das $i$-te Element enth"alt die Breite der Nachbarschaft
+vom 1. bis $i$-ten Element einschlie\3lich, ohne da\3 am Ende
+Glue angef"ugt wurde. Ist die $i$-te Note nicht punktiert, so schlie\3t
+diese Nachbarschaft f"ur $d_i=+1$ mit dem Notenhals, f"ur
+$d_i=-1$ mit dem Notenkopf ab. Der Abstand des Notenhalses zum
+Ende dieser Notengruppe betr"agt also |\nhw|.
+Ist die Note mit Wertpunkten versehen,
+so erh"oht sich der Abstand um die Breite, die
+die Punkte beanspruchen. Bei Akkorden mit aufsteigendem Notenhals
+kann es vorkommen, da\3 die Nachbarschaft nicht mit dem Notenhals ab\-%
+schlie\3t, falls ein Notenkopf auf der rechten Seite des Notenhalses
+erscheint. Der Abstand betr"agt dann, falls keine Wertpunkte vorhanden
+sind, |\nhw|.
+\item{b)} Die Liste, die Informationen "uber die Abszissenwerte der
+Notenh"alse liefert (|\Hcorlist|).
+\item{}
+Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den
+horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum
+Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde.
+Mit dieser Liste k"onnen die Wertpunkte sowie Akkorde
+z.B. f"ur die Berechnung
+der L"ange des Balkens ber"ucksichtigt werden.
+\item{}
+Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den
+horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum
+Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde.
+\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die Notenhalsl"angen der
+zu verbalkenden Noten enth"alt (|\stemlist|).
+\item{}Diese Liste wird zun"achst mit Null initialisiert und nur
+ver"andert, falls eine Note zu verbalken ist. Es ist also eine Unter\-%
+scheidung zwischen einzelstehenden Noten und Balkengruppen anhand dieser
+Liste m"oglich.
+\item{d)}Die Liste, die Informationen "uber die Richtung der
+Notenh"alse in der Notengruppe enth"alt (|\dirlist|).
+\item{}
+Bei Verbalkung wird die eventuelle "Anderung der Notenhalsrichtung der
+betroffenen Noten in dieser Liste vermerkt, soda\3 es m"oglich ist
+einen Bogen "uber oder unter diesen Noten korrekt zu plazieren.
+\item{e)}Die Listen, die die vertikalen Positionen der Bogenanfangs-
+und Endpunkte oberhalb bzw. unterhalb der Noten enthalten
+(|\uslurlist| und |\lslurlist|).
+\item{}Die Listen sind so angelegt, da\3 ein Element
+Informationstr"ager sowohl der Ordinaten des
+ Anfangs- als auch des Endpunktes
+ist. Stimmen die Werte nicht "uberein, so wird dies durch einen Wert,
+der betragsm"a\3ig gr"o\3er als 100\pt\ ist, angezeigt.
+\item{}
+Die Elemente erhalten nur von Null verschiedene Werte, falls der
+Anfangs- bzw. Endpunkt nicht direkt am Notenkopf liegt. Andernfalls
+werden sie abh"angig vom jeweiligen Wert der Tonh"ohenliste berechnet.
+
+Weitere Listen sind f"ur den einstimmigen Notensatz nicht erforderlich.
+%
+
+\subsubsubheading{Die Initialisierung der Listen}
+
+Durch das Makro |\group| werden alle Listen, die nicht vorgegeben sind,
+initialisiert.\par
+Dies geschieht, indem die Nachbarschaftsliste (|\elementlist|) einmal
+abgearbeitet, jedoch noch nicht gesetzt, sondern zun"achst
+in einer Box akkumuliert wird.
+Weiterhin wird das Z"ahler-Register |\N| mit der Anzahl
+der Listenelemente der |\elementlist| belegt.
+
+\subsubsubheading{Das Setzen der Nachbarschaft}
+Nachdem die Nachbarschaftsliste durch die Informationen "uber die zu
+setzenden Balken und Bogen, Aufpunkt, L"ange und Steigung, erweitert
+wurde, mu\3 sie ein zweites Mal abgearbeitet werden.
+Dabei mu\3 ber"ucksichtigt werden, da\3
+der variable Glue der vorangegangenen Note vor der Nachbarschaft gesetzt
+wird, um einen besseren Zeilenausschlu\3 zu erm"oglichen. Der
+Glue innerhalb der Nachbarschaft mu\3 auf den nat"urlichen Abstand
+fixiert werden, da die L"angen der Balken und Bogen nicht mehr ver"andert
+werden k"onnen.
+F"ur die Notenhalsl"ange wird im Falle, da\3 die Note verbalkt wird,
+der Wert der |\stemlist| gew"ahlt; andernfalls wird sie anhand
+ der Funktion f"ur die Notenhalsl"ange neu berechnet.
+
+\vfill\eject