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--- /dev/null
+++ b/macros/mtex/documentation/mdoc11.tex
@@ -0,0 +1,283 @@
+\heading{Mehrstimmiger Notensatz}
+Abschlie\3end soll auf die Problematik mehrstimmiger Notation im
+automatischen Notensatz eingegangen werden.
+\subheading{Regeln f"ur die mehrstimmige Notation}
+Die Regeln hierzu sind im wesentlichen schon in den vorangegangenen
+Kapiteln aufgef"uhrt worden.
+Neben einigen Notationsvereinbarungen (siehe Kapitel \adchap{-3} N4d und
+N9b und Kapitel \adchap{-2} P2), gilt als grunds"atzliche Regel,
+da\3 alle T"one, die zur gleichen Zeit einsetzen, untereinander zu
+notieren sind. Einige Ausnahmen ergeben sich bei mehrstimmiger Notation
+in einem Zeilensystem. In diesem Fall kann es vorkommen, da\3 zur
+Verdeutlichung der Stimmf"uhrung einige Noten nach links oder rechts
+ausweichen m"ussen, wobei in einem solchen Fall der Ausschlu\3 vom
+vorgegebenen Schema abweicht.
+\Beispiel
+{\hsize5cm
+\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
+\beginsong\vio\C\two{\group{\\{\hskip\seminhh
+\a1}\\{\advance\sk-\seminhh\a5}}{\\{1}\\{5}}\ubeam12\go}{%
+\group{\\{\a3}\\{\a5}}{\\{3}\\{5}}\lbeam12\go} {\rm oder}\two{\group{%
+\\{\a5}\\{\a5}\\{\a5}\\{\a5}}{\\{5}\\{5}\\{5}\\{5}}\ubeam14\go}{%
+\hskip1.5\nhw\h5}\|\endsong}
+\vskip-1cm
+\endBeispiel
+Da die Noten, abgesehen von den obigen Ausnahmen, untereinander notiert
+werden m"ussen, mu\3 der gleiche zus"atzliche Raum, der in einer Stimme
+f"ur Hunks ben"otigt wird (z.B. Versetzungszeichen), in den anderen
+Stimmen gleicherma\3en ber"ucksichtigt werden.
+
+F"ur den korrekten Ausschlu\3 mehrstimmiger Notenliteratur reichen die
+in Kapitel~\adchap{-4} angegebenen Aus\-schlu\3schemata
+im allgemeinen nicht aus, da diese gerade so gew"ahlt sind, da\3 keine
+Linearit"at bzgl. der Tondauer besteht.
+
+\Beispiel Der Raum, den eine Viertel Note einnimmt, ist im allgemeinen
+kleiner als der Raum, den zwei Achtel Noten einnehmen. Sollen diese
+Noten rhythmisch korrekt untereinander notiert werden, so ist also der
+Viertel Note ein gr"o\3erer Raum zuzuordnen.
+\par
+{\hsize = 4cm
+\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
+\beginsong\vio\C\meter3/4\v1\a1\a1\v1\|\endsong
+\vskip -1cm
+\beginsong\vio\C\meter3/4\v1\v1\a1\a1\|\endsong
+}
+\vskip -1cm
+\item{}Dies ergibt in zweistimmiger
+Notation\par
+{\hsize = 5cm
+\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
+\beginsong\vio\C\meter3/4\two{\v1}{\v1}\two{\a1\a1}{\v1}%
+\two{\v1}{\a1\a1}\|\endsong}
+\vskip -1cm
+\item{}Es ist also in zweistimmigen Fall
+mehr horizontaler Raum erforderlich,
+ obwohl im normalen Satz der insgesamt
+ben"otigte Raum im Einzelfall gleich ist.
+\endBeispiel
+
+\subheading{Vertikale Ausrichtung bei D.A. Gomberg}
+Als einziger gibt Gomberg (\lit{\gomb, S.70--78}) ein Verfahren
+f"ur eine rhythmische (d.h. vertikale) Ausrichtung der Noten an. Dabei
+werden sowohl unregelm"a\3ige Unterteilungen von Notenwerten (z.B.
+Triolen) als auch das Einf"ugen von Hunks ber"ucksichtigt. Dieses
+Verfahren ist kompliziert, jedoch anwendbar auf beliebig viele Stimmen
+in mehreren Systemen. Dabei wird eine weitere (imagin"are ) Stimme ---
+der sogenannte \disp{Spine} (R"uckgrat) --- konstruiert, die mit den
+einzuf"ugenden Hunks versehen ist, nach der alle "ubrigen Stimmen
+rhythmisch ausgerichtet werden k"onnen.
+
+\subsubheading{Konstruktion des Spine}
+F"ur Noten, die nicht unregelm"a\3ig unterteilt sind, wird der Spine wie
+folgt iterativ konstruiert.
+Zur Initialisierung wird eine Stimme als Spine ausgezeichnet. Dieser
+Spine wird nun jeweils mit einer weiteren Stimme verglichen und nach
+folgendem Verfahren ver"andert.
+Sei $m$ die Anzahl der Noten des Spine und \folgi {\bar q}im die
+Notenwerte dieser Noten, die im folgenden durch Br"uche
+dargestellt seien, d.h. $\folgi {\bar q}im \in \qz^+$.
+(Einer Viertel entspricht demnach der Wert $\frac14$,
+einer Viertel mit Wertpunkt $\frac38=\frac14+\frac18$.)
+Seien die Notenwerte der zu vergleichenden
+Stimme durch die Folge $\folgi qjn \in \qz^+$ gegeben.
+Dann lautet der Algorithmus:
+\item{I)}Initialisierung: $i:=1$, $j:=1$.
+\item{II)}Gilt $\bar q_i =q_j$, erh"ohe $i$ und $j$.
+\item{III)}Gilt $\bar q_i< q_j$, dann setze $q_j := q_j-\bar q_i$,
+iteriere $i$ und fahre mit V) fort.
+\item{IV)}Aufspaltung des Spine (\disp{splitting}): Gilt
+ $\bar q_i> q_j$, dann ersetze $\bar q_i $ durch die beiden
+Werte $Q_1=q_j$ und $Q_2=\bar q_i-q_j$,
+wobei der neue Spine nun $m+1$
+Elemente besitzt und das $i+1$-te Element gerade $Q_2$ ist.
+%Iteriere also $i$ und $j$.
+\item{V)} Gilt $j>n$ , dann HALT, sonst fahre mit II) fort.
+
+Es ergibt sich hierbei die Frage, ob garantiert ist, da\3 der oben
+beschriebene Proze\3 der Aufspaltung des Spine immer ``legale''
+Notenwerte ergibt, d.h. Notenwerte, die durch eine Note unter
+Zuhilfenahme von Wertpunkten dargestellt werden k"onnen.
+Diese Frage ist jedoch zu verneinen: ``legale'' Notenwerte sind
+nicht abgeschlossen unter Subtraktion.
+
+Gomberg f"uhrt dazu folgendes Beispiel an:
+
+
+\hbox to \hsize{%
+ \hfil
+ \vbox{%
+ \hbox{%
+ \hbox to 2cm{$\bar q:$\hfil}%
+ \vtop{\hsize=50mm%
+ \beginsong\vio\C
+ \hbox to 19mm{\s1\.2\hfil}%
+ \hbox to 4mm{\d1\hfil}%
+ \hbox to 15mm{\v1\.1\hfil}%
+ \endsong
+ }%
+ \hfil}%
+ \vskip-10mm%
+ \hbox{%
+ \hbox to 2cm{$ q:$\hfil}%
+ \vtop{\hsize=50mm%
+ \beginsong\vio\C
+ \hbox to 6mm{\z1\hfil}%
+ \hbox to 28mm{\a1\.2\hfil}%
+ \hbox to 4mm{\v1\hfil}%
+ \endsong
+ }%
+ \hfil}%
+ \vskip-10mm
+ \hbox{%
+ \hbox to 2cm{neues $\bar q:$\hfil}%
+ \vtop{\hsize=50mm%
+ \beginsong\vio\C
+ \hbox to 6mm{\z1\hfil}%
+ \hbox to 13mm{${\phantom{x}}^{\tenrm ?}$\hfil}%
+ \hbox to 4mm{\d1\hfil}%
+ \hbox to 11mm{\a1\hfil}%
+ \hbox to 4mm{\v1\hfil}%
+ \endsong
+ }%
+ \hfil}%
+ }%
+ \hfil
+}%
+\vskip -1cm
+
+
+Sei die erste Zeile als Spine ausgezeichnet, dann ist $\bar q =
+\frac7{64},\;\frac1{64},\;\frac{24}{64} $ und
+$q=\frac2{64},\;\frac{14}{64},\;\frac14$. F"ur den neuen Spine gilt
+nun nach dem Algorithmus: $\bar q_1 = \frac1{32} $,
+$\bar q_2=\frac{7}{64}-\frac2{64}=\frac5{64}$,
+$\bar q_3=\frac1{32}$, $ \bar q_4=\frac18$ und
+$\bar q_5=\frac14$.
+Dabei ist $\bar q_2$ kein legaler Notenwert, denn dieser Notenwert l"a\3t
+sich nur durch "Uberbindung einer Sechzehntel mit einer
+Vierundsechzigstel darstellen. In diesem Fall wird diese Note
+ausgeschlossen wie eine $\frac6{64}$, d.h. eine mit Wertpunkt versehene
+Sechzehntel.
+
+Anhand des Ausschlu\3schemas kann nun dem Spine der zugeh"orige
+Ausschlu\3 zugeordnet und die Noten darunter angeordnet werden.
+
+Zu bemerken ist, da\3 das oben geschilderte Verfahren
+nat"urlich unabh"angig von der Reihenfolge der anzugleichenden Stimmen
+ist.\vskip0.5cm
+\subsubheading{Unregelm"a\3ige Unterteilungen}
+Neben der zweiteiligen Untergliederung der Notenwerte
+({\def\beamlist{\\{1-2,}}%
+\universal\group{\\{\a0}\\{\a0}}{\\{0}\\{0}}\ubeam12\hskip-\nhh
+\go\global\sk=0pt}%
+\ ) gibt es
+\vadjust{\kern-4pt}%
+auch mehrteilige Untergliederungen, z.B. dreiteilige
+({\staffheight 3\nhh\small\def\beamlist{\\{1-3,}}%
+\group{\\{\a0}\\{\^{3}{\a0}}\\{\a0}}{\\{0}\\{0}\\{0}}\ubeam13\hskip-\nhh
+\go}%
+\global\sk=0pt\ ). Der
+Notenwert einer solchen Triolen-Note entspricht also dem dritten Teil
+der Dauer einer Viertel Note: $\frac1{12}$. Gekennzeichnet werden
+\vadjust{\kern-4pt}%
+unregelm"a\3ige Unterteilungen der Bezugsnote am Balken oder unter einer
+Klammer: {\small\setbox2=\hbox{\v0\v0\global\sk0pt}%
+\dimen1=\wd2\advance\dimen1 by-\nhh\setbox3\hbox to \dimen1{\vbox{\hrule
+\offinterlineskip\hbox to \dimen1{\vrule depth-2pt width0.5pt\hss
+\eightpoint 2\hss%
+\vrule depth-2pt width0.5pt}}}\vbox{\offinterlineskip
+\moveright\nhh\box3\box2}
+}. (N"aheres dazu siehe \lit{\ziegen,{\bf 79}f{}f}.)
+
+Die Unregelm"a\3igkeit wird auch durch einen etwas engeren Ausschlu\3
+verdeutlicht. Der Raum, den eine Achtel Triole einnimmt, unterscheidet
+sich also vom Raum, den drei Achtel Noten einnehmen.
+
+Gomberg verwendet als Ausschlu\3 unregelm"a\3iger Unterteilungen das
+n"achst kleinere Ausschlu\3schema, beispielsweise wird
+ bei ``universellem'' Ausschlu\3 also
+``enger'' Ausschlu\3 verwendet
+(s. \adchap{-4}.1.1). M"ussen mehrere verschiedene
+unregelm"a\3ige Unterteilungen auf einem Notenwert des Spines
+ausgeschlossen werden, so wird innerhalb einer solchen ``Nachbarschaft''
+der kleinste Notenwert $\bar a$ ausgew"ahlt und diesem der zugeh"orige
+Ausschlu\3 $A$ zugeordnet. F"ur die anderen Notenwerte $\bar a_i$ ergibt
+sich dann der Raum, der diesem Notenwert zugeordnet wird, aus der Formel:
+$ \Frac A{\bar a}*\bar a_i$.
+\subheading{Ausf"uhrung des zweistimmigen Setzens}
+Die obige von
+ D. A. Gomberg vorgeschlagene Vorgehensweise
+ist naheliegend
+und scheint eine gute M"oglichkeit zu sein, beliebige mehrstimmige
+Partituren korrekt zu setzen. Abgesehen von dem Problem, zu den
+eingegebenen Noten den passenden Spine zu konstruieren, ergibt sich
+jedoch bei der Verwirklichung mit \TeX\ ein weiteres Problem, das die
+Anwendung des Algorithmus erschwert.
+Mit einem gegebenen Spine k"onnten die einzelnen Noten der Stimmen mit
+einigem Aufwand in einer Tabelle plaziert werden. Um den Zeilenumbruch
+zu erm"oglichen, m"u\3te also f"ur jedes Spinelement eine Tabelle
+angelegt werden, da innerhalb einer gro\3en umfassenden Tabelle kein
+Zeilenumbruch m"oglich ist. Dies w"urde zun"achst den variablen Glue
+\disp{fest}legen; ein korrekter Ausschlu\3 w"are damit nicht mehr
+gew"ahrleistet. Au\3erdem ist eine Verbalkung und eine Plazierung der
+Bogen nicht mehr m"oglich, da die Listenverarbeitung in der
+vorgestellten Art nicht mehr durchf"uhrbar ist.
+
+Aus diesen Gr"unden wurde zun"achst nur eine M"oglichkeit
+bereitgestellt, einfachere zweistimmige Notenkonstellationen in einem
+Zeilensystem, die ohne Spine auskommen, zu setzen. Beispiele sind schon
+an einigen Stellen dieser Arbeit demonstriert worden.
+Ein mehrstimmiges Setzen von ganzen Nachbarschaften, die nur mit Hilfe
+eines Spines gesetzt werden k"onnen, ist noch nicht gegeben. Ohne
+zus"atzliches manuelles Eingreifen, d.h. Einf"ugen von weiterem
+Ausschlu\3material, erscheinen z.B. die
+unten aufgef"uhrten Einzelstimmen
+zweistimmig inkorrekt gesetzt:
+
+{\hsize=8cm
+\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
+\beginsong\vio\C
+\group{\\{\s7}\\{\s8}\\{\s7}\\{\s9}}{\\{7}\\{8}\\{7}\\{9}}%
+\def\beamlist{\\{1-\the\N,}%
+\\{1-\the\N,}}\ubeam14\go\hskip20pt
+\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}%
+\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\lbeam12\go\hskip40pt
+\two{\group{\\{\s7}\\{\s8}\\{\s7}\\{\s9}}{\\{7}\\{8}\\{7}\\{9}}%
+\def\beamlist{\\{1-\the\N,}%
+\\{1-\the\N,}}\ubeam14\go}{%
+\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}%
+\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\lbeam12\go} \hfill\endsong
+}\vskip -1cm
+Im Anhang A wurde ein Beispiel eingef"ugt, das zeigt, da\3 das
+angegebene Verfahren f"ur viele Musikst"ucke gut anwendbar ist.
+
+Das zweistimmige Setzen erfolgt nach folgendem Verfahren. Beide
+Stimmen werden einzeln wie im einstimmigen Satz unter Ber"ucksichtigung
+der Notationsregeln ausgeschlossen. Dann werden die Stimmen linksb"undig
+ineinander geschoben. Dabei wird als neuer \verbatimon |\spaceskip| der
+aktuelle |\spaceskip| der Stimme gew"ahlt, die mehr horizontalen Raum
+erfordert. Zu beachten ist, da\3 eventuelle Versetzungszeichen vor der
+Notengruppe wie Vorzeichenakkorde gesetzt werden.
+\Beispiel
+\par\noindent\vbox{\hsize=8cm
+\loose
+\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
+\beginsong\vio\C
+\group{\\{{\tr\a2}}\\{\x1\s1}\\{\s0}}
+{\\{2}\\{1}\\{0}}\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}%
+\ubeam13\lslur23\go
+\def\beamlist{\\{1-7,}\\{-2,3-7,}\\{6-7,}}
+\x{-5}\n{-1}\two{\group{\\{\s{-1}}\\{\n1\z1}\\{\z0}\\{\z{-1}}%
+\\{\z{-2}}\\{\d{-1}}\\{\d{-3}}}
+{\\{-1}\\{1}\\{0}\\{-1}\\{-2}\\{-1}\\{-3}}\ubeam17\lslur27\go}{\a{-5}}\|%
+\endsong}
+\vskip -1cm
+\endBeispiel
+Unregelm"a\3ige Unterteilungen wurden bisher noch nicht ber"ucksichtigt,
+da zum korrekten Setzen ein weiterer Zeichensatz f"ur die Klammerung
+eingef"uhrt werden mu\3. Das Setzen von Notengruppen dieser Art ergibt
+im einstimmigen Satz jedoch keine weiteren satztechnischen Probleme.
+\par
+
+\vfill\eject