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diff --git a/macros/latex/contrib/pbsheet/xpl/xpl-fr.tex b/macros/latex/contrib/pbsheet/xpl/xpl-fr.tex new file mode 100644 index 0000000000..2b5e04e387 --- /dev/null +++ b/macros/latex/contrib/pbsheet/xpl/xpl-fr.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +\documentclass{pbsheet} + +\TITRE{Feuille de TP n°1 -- Initiation à Matlab} +\FORMATION{Préparation à l'épreuve de modélisation + - Agrégation Externe de Mathématiques} +\ETABLISSEMENT{Université de l'Anonyme XXII} +\ANNEE{2004} +\MEL{agreg@labo.univ.fr} +\AUTEUR{A. Grégatif} +\WEB{http://www.labo.univ.fr/} +\DATE{\today} + +\begin{document} + +Ce TP porte sur les entrées et sorties, les fonctions et les outils +graphiques dont vous disposez sous Matlab. + +\section{Entrées et sorties} + +La commande \texttt{input} permet de demander à l'utilisateur Matlab d'entrer +les valeurs de variables à utiliser. La commande \texttt{pause} permet de +stopper l'exécution Matlab. Vous pouvez préciser le nombre de secondes de pose +ou revenir à Matlab en appuyant sur n'importe quelle touche. La commande +\texttt{save} permet de sauvegarder dans un fichier, dont le nom par défaut +est \texttt{matlab.mat}, le contenu de certaines variables dont vous souhaitez +garder une trace. Ce fichier peut être appelé par la commande \texttt{load} +qui restaure toutes les variables que vous avez sauvegardées. + +\begin{lstlisting}[language=Matlab]{Créations et Sauvegardes sous Matlab} +n=input('Entrez la valeur de n : '); % Affectez une valeur à n. +a=input('Precisez la valeur de a : '); % Affectez une valeur à a. +v=a.^[0:n]; A=toeplitz(v); d=det(A); % Création de la matrice de Toeplitz A +save restoep n a A d; % Sauvegarde de n, a, A, d dans restoep.mat +clear % Efface toutes les variables de la session. +load restoep % Restaure les variables de restoep.mat. +who % Vérification. +\end{lstlisting} + +\section{Fonctions} + +Un ensemble de commandes Matlab peut être considéré comme une fonction. On +peut voir une fonction comme un sous-programme Matlab dont les paramètres +éventuels sont les arguments de la fonction et dont les résultats sont les +images de cette fonction. Beaucoup de fonctions Matlab, comme par exemple +\texttt{mean}, sont déjà écrites en Matlab et le code Matlab correspondant est +stocké dans un fichier dont le nom se termine par \texttt{.m}. Pour +\texttt{mean}, il s'agit de \texttt{mean.m}. Ajouter de nouvelles fonctions à +Matlab revient donc à écrire de nouveaux fichiers de ce type. Il est d'usage +d'appeler une fonction du même nom que le fichier correspondant. + +\textbf{Simulation de lois discrètes.} Dans votre répertoire personnel, éditer +le fichier \texttt{probadis.m} suivant dont le code Matlab génère une +réalisation aléatoire d'une loi discrète à support fini. + +\MFILE{probadis} + +La commande Matlab \texttt{type} permet de lister le contenu d'un fichier. +Ainsi, \texttt{type probadis} vous montrera le code source Matlab de la +fonction \texttt{probadis}. Le commentaire ajouté à partir de la seconde ligne +constituera l'aide affiché lorsque l'utilisateur tapera \texttt{help + probadis}. Finalement, la commande \texttt{what} liste les fichiers Matlab +du répertoire courant. + +Voici une autre fonction de simulation de loi discrète, qui peut renvoyer une +matrice de réalisations. + +\MFILE{rdiscr} + +\begin{exo}[Loi binomiale] + Créer un code Matlab permettant de générer un vecteur aléatoire $X$ + contenant $N$ réalisations i.i.d. de loi binomiale $\cB(n,p)$ où les valeurs + $N,n\geq 1$ et $0<p<1$ sont affectées par l'utilisateur. Pour $N$ assez + grand, vérifier la LGN sur les moyennes empiriques successives de $X$. Voici + un exemple de programme qui fait l'affaire, et donc la sortie graphique se + trouve en page \pageref{fi:simbin}. +\end{exo} + +\MFILE{simbin} + +\begin{exo} + Soit $(X_n)_{n\in\dN}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi + exponentielle $\cE(\lambda)$ avec $\lambda >0$. Si $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$, + $N_0=0$ et pour tout $t> 0$, $N_t=\sum_{n=1}^\infty \rI_\BRA{S_n\leq t}$, + $(N_t)_{t\geq0}$ est un processus de Poisson d'intensité $\lambda$. Montrer + que, pour tout $t>0$, $N_t$ suit la loi de Poisson $\cP(\la t)$. En déduire + un code Matlab permettant de générer un vecteur aléatoire $Y$ contenant $N$ + réalisations i.i.d. de loi $\cP(\la)$ où les valeurs $N\geq 1$ et $\la>0$ + sont affectées par l'utilisateur. Pour $N$ assez grand, vérifier la LGN sur + les moyennes empiriques successives de $Y$. +\end{exo} + +\begin{exo} + Pour $N$, $N_1$ et $n \geq 1$ avec $N_1,n \leq N$, la loi hypergéométrique + $\cH(N,N_1,n)$ est donnée, pour tout $k \in \dN$ avec $0\leq k \leq n$, par + $\dP(X=k)=C_{N_1}^kC_{N-N_1}^{n-k}/C_N^n$. Créer un code Matlab permettant + de générer un vecteur aléatoire $Z$ contenant $M$ réalisations i.i.d. de loi + $\cH(N,N_1,n)$ où les valeurs $M, N \geq 1$ et $N_1,n\leq N$ sont affectées + par l'utilisateur. + \begin{enumerate} + \item Si $N$ tend vers l'infini et le rapport $N_1/N$ tend vers $p$ avec + $0<p<1$, montrer que $X$ converge en loi vers la loi Binomiale $\cB(n,p)$. + Pour $M, N$ assez grand et $N_1=pN$ avec $0<p<1$, tracer l'histogramme de + $Z$ et comparer le à la loi $\cB(n,p)$. + \item Si $N$, $N_1$ et $n$ tendent vers l'infini et le produit $nN_1/N$ tend + vers $\la>0$, montrer que $X$ converge en loi vers la loi de Poisson + $\cP(\la)$. Pour $M$, $N$ assez grand, $N_1=\la\sqrt{N}$ et $n=\sqrt{N}$, + tracer l'histogramme de $Z$ et comparer le à la loi $\cP(\la)$. + \end{enumerate} +\end{exo} + +\section{Représentations graphiques} + +\begin{lstlisting}[language=Matlab] + {Illustration de la LGN pour la loi exponentielle} + clear; n=1000; lambda=0.5; X=-log(rand(n,1))/lambda; + figure; % Création d'une nouvelle fenêtre graphique. + plot(cumsum(X)'./[1:length(X)],'b') % Trace les moy. emp. successives de X. + title('Loi des Grands Nombres') % Titre de la figure. + xlabel('Nombre de réalisations') % Titre des abscisses. + ylabel('Moyennes empiriques') % Titre des ordonnées. + hold on % Garde la fenêtre graphique. + plot(1/lambda*ones(n,1),'r--'); % Trace la limite théorique. + legend('Empirique','Theorique'); % Légende. +\end{lstlisting} + +\begin{exo} + Ajouter à vos codes Matlab les représentations graphiques rencontrées + ci-dessus. +\end{exo} + +\FIG{simbin}{1.0}{htbp}{Sortie graphique du programme \ref{code:simbin} + \pageref{code:simbin}.} + +Voici une fonction Matlab qui permet de simuler la loi uniforme discrète finie +de façon rapide et simple. + +\MFILE{rint} + +\nocite{*} + +\phantomsection % Nécessaire pour le PDF. +\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie} +\bibliographystyle{amsalpha} +\bibliography{xpl-fr} + +\end{document} |