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diff --git a/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex b/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex new file mode 100644 index 0000000000..1f04ee1650 --- /dev/null +++ b/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +\documentclass[11pt,article,french]{memoir} + %% ===== Ne rien modifier dans ce bloc ===================== + \usepackage{iftex} % détection du moteur utilisé + \iftutex % XeLaTeX + \usepackage{fontspec} + \else % pdfLaTeX + \usepackage[utf8]{inputenc} + \usepackage[T1]{fontenc} + \fi + %% ========================================================= + \usepackage{amsmath} + \usepackage{babel} + \usepackage[autolanguage]{numprint} + +\begin{document} + +Soit deux variables aléatoires stochastiquement indépendantes $X_1$ et +$X_2$. La loi de la première est une exponentielle de paramètre $1$. +Celle de la seconde est une gamma de paramètres $\alpha$ et $1$. Nous +allons déterminer la loi de $Y = \theta (X_1/X_2)$. + +En premier lieu, la densité conjointe de $X_1$ et $X_2$ est +simplement le produit des densités marginales: +\begin{equation*} + f_{X_1 X_2}(x_1, x_2) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} + x_2^{\alpha - 1} e^{-(x_1 + x_2)}, \qquad + x_1 > 0, x_2 > 0. +\end{equation*} + +Nous allons utiliser la méthode du changement de variable (ou du +Jacobien). Pour ce faire, on pose les deux transformations +\begin{equation*} + \begin{aligned} + Y_1 &= \theta \left( \frac{X_1}{X_2} \right) \\ + Y_2 &= X_2 + \end{aligned} + \qquad \Leftrightarrow \qquad + \begin{aligned} + X_1 &= \frac{Y_1 Y_2}{\theta} \\ + X_2 &= Y_2 + \end{aligned} +\end{equation*} +et donc +\begin{align*} + \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &= \frac{y_2}{\theta} & + \frac{\partial x_1}{\partial y_2} &= \frac{y_1}{\theta} \\ + \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &= 0 & + \frac{\partial x_2}{\partial y_2} &= 1, +\end{align*} +d'où le Jacobien de la transformation est +\begin{equation*} + J = + \begin{vmatrix} + y_2/\theta & y_1/\theta \\ + 0 & 1 + \end{vmatrix} + = \frac{y_2}{\theta}. +\end{equation*} +Le domaine de $Y_1$ et de $Y_2$ est $R^+$. On a donc +\begin{align*} + f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2) + &= f_{X_1 X_2}(y_1 y_2/\theta, y_2)\, \lvert y_2/\theta \rvert \\ + &= \frac{1}{\theta \Gamma(\alpha)} y_2^\alpha + e^{-(y_1 y_2/\theta + y_2)}. +\end{align*} +Par conséquent, +\begin{align*} + f_{Y_1}(y_1) + &= \int_0^\infty f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2)\, dy_2 \\ + &= \frac{1}{\theta} \int_0^\infty + \frac{1}{\Gamma(\alpha)} y_2^{\alpha + 1 - 1} + e^{-[(y_1 + \theta)/\theta] y_2}\, dy_2 \\ + &= \frac{1}{\theta} + \frac{\theta^{\alpha + 1}}{(y_1 + \theta)^{\alpha + 1}} \\ + &= \frac{\theta^\alpha}{% + (y_1 + \theta)^{\alpha + 1}}, \qquad y_1 > 0, +\end{align*} +d'où la loi de $Y_1 = \theta (X_1/X_2)$ est une Pareto$(\alpha, \theta)$. + +\end{document} |