summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex')
-rw-r--r--info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex80
1 files changed, 80 insertions, 0 deletions
diff --git a/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex b/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex
new file mode 100644
index 0000000000..1f04ee1650
--- /dev/null
+++ b/info/formation-latex-ul/doc/exercice-mathematiques.tex
@@ -0,0 +1,80 @@
+\documentclass[11pt,article,french]{memoir}
+ %% ===== Ne rien modifier dans ce bloc =====================
+ \usepackage{iftex} % détection du moteur utilisé
+ \iftutex % XeLaTeX
+ \usepackage{fontspec}
+ \else % pdfLaTeX
+ \usepackage[utf8]{inputenc}
+ \usepackage[T1]{fontenc}
+ \fi
+ %% =========================================================
+ \usepackage{amsmath}
+ \usepackage{babel}
+ \usepackage[autolanguage]{numprint}
+
+\begin{document}
+
+Soit deux variables aléatoires stochastiquement indépendantes $X_1$ et
+$X_2$. La loi de la première est une exponentielle de paramètre $1$.
+Celle de la seconde est une gamma de paramètres $\alpha$ et $1$. Nous
+allons déterminer la loi de $Y = \theta (X_1/X_2)$.
+
+En premier lieu, la densité conjointe de $X_1$ et $X_2$ est
+simplement le produit des densités marginales:
+\begin{equation*}
+ f_{X_1 X_2}(x_1, x_2) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}
+ x_2^{\alpha - 1} e^{-(x_1 + x_2)}, \qquad
+ x_1 > 0, x_2 > 0.
+\end{equation*}
+
+Nous allons utiliser la méthode du changement de variable (ou du
+Jacobien). Pour ce faire, on pose les deux transformations
+\begin{equation*}
+ \begin{aligned}
+ Y_1 &= \theta \left( \frac{X_1}{X_2} \right) \\
+ Y_2 &= X_2
+ \end{aligned}
+ \qquad \Leftrightarrow \qquad
+ \begin{aligned}
+ X_1 &= \frac{Y_1 Y_2}{\theta} \\
+ X_2 &= Y_2
+ \end{aligned}
+\end{equation*}
+et donc
+\begin{align*}
+ \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &= \frac{y_2}{\theta} &
+ \frac{\partial x_1}{\partial y_2} &= \frac{y_1}{\theta} \\
+ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &= 0 &
+ \frac{\partial x_2}{\partial y_2} &= 1,
+\end{align*}
+d'où le Jacobien de la transformation est
+\begin{equation*}
+ J =
+ \begin{vmatrix}
+ y_2/\theta & y_1/\theta \\
+ 0 & 1
+ \end{vmatrix}
+ = \frac{y_2}{\theta}.
+\end{equation*}
+Le domaine de $Y_1$ et de $Y_2$ est $R^+$. On a donc
+\begin{align*}
+ f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2)
+ &= f_{X_1 X_2}(y_1 y_2/\theta, y_2)\, \lvert y_2/\theta \rvert \\
+ &= \frac{1}{\theta \Gamma(\alpha)} y_2^\alpha
+ e^{-(y_1 y_2/\theta + y_2)}.
+\end{align*}
+Par conséquent,
+\begin{align*}
+ f_{Y_1}(y_1)
+ &= \int_0^\infty f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2)\, dy_2 \\
+ &= \frac{1}{\theta} \int_0^\infty
+ \frac{1}{\Gamma(\alpha)} y_2^{\alpha + 1 - 1}
+ e^{-[(y_1 + \theta)/\theta] y_2}\, dy_2 \\
+ &= \frac{1}{\theta}
+ \frac{\theta^{\alpha + 1}}{(y_1 + \theta)^{\alpha + 1}} \\
+ &= \frac{\theta^\alpha}{%
+ (y_1 + \theta)^{\alpha + 1}}, \qquad y_1 > 0,
+\end{align*}
+d'où la loi de $Y_1 = \theta (X_1/X_2)$ est une Pareto$(\alpha, \theta)$.
+
+\end{document}