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diff --git a/info/formation-latex-ul/doc/b-a-ba-math.tex b/info/formation-latex-ul/doc/b-a-ba-math.tex new file mode 100644 index 0000000000..25e0f930ce --- /dev/null +++ b/info/formation-latex-ul/doc/b-a-ba-math.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +\chapter{B.a.-ba du mode mathématique} + +De manière générale, soit $x$ un nombre (entier pour le moment) dans +la base de numération $b$ composé de $m$ chiffres ou symboles, c'est-à-dire +\begin{equation*} + x = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0, +\end{equation*} +où $0 \leq x_i \leq b - 1$. On a donc +\begin{equation} + \label{eq:ordinateurs:def_base} + x = \sum_{i = 0}^{m - 1} x_i b^i. +\end{equation} + +Lorsque le contexte ne permet pas de déterminer avec certitude la base +d'un nombre, celle-ci est identifiée en indice du nombre par un nombre +décimal. Par exemple, $10011_2$ est le nombre binaire $10011$. + +Soit le nombre décimal $348$. Selon la notation ci-dessus, on a $x_0 = +8$, $x_1 = 4$, $x_2 = 3$ et $b = 10$. En effet, et en conformité avec +\eqref{eq:ordinateurs:def_base}, +\begin{displaymath} + 348 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 8 \times 10^0. +\end{displaymath} +Ce nombre a les représentations suivantes dans d'autres bases. En binaire: +\begin{align*} + 101011100_{2} + &= 1 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 1 \times 2^6 \\ + &\phantom{=} + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 \\ + &\phantom{=} + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0. +\end{align*} +En octal: +\begin{equation*} + 534_{8} = 5 \times 8^2 + 3 \times 8^1 + 4 \times 8^0. +\end{equation*} +En hexadécimal: +\begin{equation*} + 15\mathrm{C}_{16} = 1 \times 16^2 + 5 \times 16^1 + 12 \times 16^0. +\end{equation*} +Des représentations ci-dessus, l'hexadécimale est la plus compacte: +elle permet de représenter avec un seul symbole un nombre binaire +comptant jusqu'à quatre chiffres. C'est, entre autres, pourquoi +c'est une représentation populaire en informatique.% + +Dans un ordinateur réel (par opposition à théorique), l'espace +disponible pour stocker un nombre est fini, c'est-à-dire que $m < +\infty$. Le plus grand nombre que l'on peut représenter avec $m$ +chiffres ou symboles en base $b$ est +\begin{align*} + x_{\text{max}} + &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\ + &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\ + &= (b - 1) + \left( + \frac{b^m - 1}{b - 1} + \right) \\ + &= b^m - 1. +\end{align*} |