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2cc0 74 6f 20 73 65 63 74 69 6f 6e 73 20 73 68 6f 75 6c 64 20 75 73 65 20 74 68 65 20 73 79 6d 62 6f to.sections.should.use.the.symbo
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2d20 74 65 6e 63 65 2c 20 74 68 65 20 74 65 72 6d 20 60 60 53 65 63 74 69 6f 6e 27 27 0a 73 68 6f 75 tence,.the.term.``Section''.shou
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2d60 6f 72 73 20 73 68 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 72 65 64 65 66 69 6e 65 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 ors.should.not.redefine.\verbati
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2de0 6e 20 73 79 6d 62 6f 6c 2e 20 20 0a 0a 41 75 74 68 6f 72 73 20 73 6f 6d 65 74 69 6d 65 73 20 63 n.symbol.....Authors.sometimes.c
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2e80 76 65 20 6e 6f 20 68 79 70 68 65 6e 20 62 75 74 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 72 75 6e 20 74 6f 67 ve.no.hyphen.but.must.be.run.tog
2ea0 65 74 68 65 72 2c 20 0a 6c 69 6b 65 20 60 60 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 2c 27 27 20 6f 72 20 73 70 6c ether,..like.``nonzero,''.or.spl
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2ee0 20 0a 4d 69 6e 75 73 20 73 69 67 6e 73 20 28 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 24 2d 24 3a 2c 20 24 ..Minus.signs.(\verbatim:$-$:,.$
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2fa0 69 6e 65 64 20 6e 61 6d 65 73 20 28 6c 69 6b 65 20 52 75 6e 67 65 2d 2d 4b 75 74 74 61 29 2e 20 ined.names.(like.Runge--Kutta)..
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3060 54 68 65 6f 72 65 6d 73 2c 20 6c 65 6d 6d 61 73 2c 20 70 72 6f 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 73 2c 20 Theorems,.lemmas,.propositions,.
3080 61 6e 64 20 73 6f 20 66 6f 72 74 68 2c 20 68 61 76 65 20 6d 61 63 72 6f 73 20 69 6e 63 6c 75 64 and.so.forth,.have.macros.includ
30a0 65 64 0a 66 6f 72 20 63 6f 72 72 65 63 74 20 66 6f 72 6d 61 74 74 69 6e 67 2e 20 42 65 6c 6f 77 ed.for.correct.formatting..Below
30c0 20 69 73 20 61 6e 20 65 78 61 6d 70 6c 65 2e 0a 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 0a 5c 74 68 6d .is.an.example...\verbatim:.\thm
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32c0 75 6c 64 20 62 65 20 73 65 74 20 0a 69 6e 20 72 6f 6d 61 6e 20 74 79 70 65 2e 20 20 4e 6f 74 65 uld.be.set..in.roman.type...Note
32e0 20 74 68 61 74 20 77 6f 72 64 73 20 69 6e 20 64 69 73 70 6c 61 79 65 64 20 65 71 75 61 74 69 6f .that.words.in.displayed.equatio
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3320 32 20 5c 68 62 6f 78 7b 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 7d 20 78 20 24 24 0a 77 69 6c 6c 20 61 70 70 2.\hbox{.for.all.}.x.$$.will.app
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3380 65 61 72 20 69 6e 20 72 6f 6d 61 6e 2e 5c 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 54 68 65 20 5c 76 65 72 62 ear.in.roman.\endthm...The.\verb
33a0 61 74 69 6d 3a 5c 63 6f 72 3a 2c 20 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 5c 64 66 6e 3a 2c 20 5c 76 65 atim:\cor:,.\verbatim:\dfn:,.\ve
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5660 24 20 61 6e 64 20 24 5c 4b 72 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 $.and.$\Kr_n(\tilde.r^{(0)},A^*)
5680 24 20 72 61 74 68 65 72 20 74 68 61 6e 0a 74 68 65 20 7b 5c 69 74 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 73 7d $.rather.than.the.{\it.formulas}
56a0 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 2e 20 20 49 6e 20 70 61 72 74 69 63 75 .for.the.algorithms...In.particu
56c0 6c 61 72 2c 20 77 65 20 77 69 6c 6c 0a 63 68 61 72 61 63 74 65 72 69 7a 65 20 62 72 65 61 6b 64 lar,.we.will.characterize.breakd
56e0 6f 77 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 68 72 65 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 61 6c 67 6f 72 69 74 own.of.the.three.Lanczos.algorit
5700 68 6d 73 20 69 6e 20 74 65 72 6d 73 20 6f 66 20 74 68 65 0a 7b 5c 69 74 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 hms.in.terms.of.the.{\it.moment.
5720 6d 61 74 72 69 63 65 73 7d 20 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 matrices}.$\K_n(\tilde.r^{(0)},A
5740 5e 2a 29 5e 2a 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 20 61 6e 64 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 ^*)^*\K_n(r^{(0)},A)$.and.$\K_n(
5760 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 \tilde.r^{(0)},A^*)^*A\K_n(r^{(0
5780 29 7d 2c 41 29 24 2e 20 20 48 65 72 65 20 77 65 20 64 65 66 69 6e 65 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 )},A)$...Here.we.define.the.matr
57a0 69 78 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 76 2c 41 29 3d 5c 62 6d 61 74 72 69 78 7b 76 26 41 76 26 5c 63 64 6f ix.$\K_n(v,A)=\bmatrix{v&Av&\cdo
57c0 74 73 26 41 5e 7b 6e 2d 31 7d 76 5c 63 72 7d 24 2c 20 61 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 68 6f 73 65 ts&A^{n-1}v\cr}$,.a.matrix.whose
57e0 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 73 70 61 6e 0a 74 68 65 20 4b 72 79 6c 6f 76 20 73 70 61 63 65 20 24 .columns.span.the.Krylov.space.$
5800 5c 4b 72 5f 6e 28 76 2c 41 29 24 2e 0a 0a 54 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 74 68 72 65 \Kr_n(v,A)$...The.following.thre
5820 65 20 74 68 65 6f 72 65 6d 73 20 67 69 76 65 20 65 78 61 63 74 20 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 73 e.theorems.give.exact.conditions
5840 20 66 6f 72 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 6f 66 20 74 68 65 0a 61 62 6f 76 65 20 61 6c 67 6f .for.breakdown.of.the.above.algo
5860 72 69 74 68 6d 73 2e 20 20 44 65 74 61 69 6c 65 64 20 70 72 6f 6f 66 73 20 6d 61 79 20 62 65 20 rithms...Detailed.proofs.may.be.
5880 66 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 5b 33 5d 2e 20 20 41 0a 72 65 73 75 6c 74 20 73 69 6d 69 6c 61 72 20 found.in.[3]...A.result.similar.
58a0 74 6f 20 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 20 69 73 20 66 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 5b 31 5d 3b 20 73 65 to.Theorem.2.is.found.in.[1];.se
58c0 65 20 61 6c 73 6f 20 5b 35 5d 2e 0a 0a 0a 5c 74 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 31 20 7b 5c 72 e.also.[5]....\thm{Theorem.1.{\r
58e0 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 2d 4f 72 74 68 6f 64 69 72 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 29 7d m.(Lanczos--Orthodir.breakdown)}
5900 7d 0a 53 75 70 70 6f 73 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2f 4f 72 74 68 6f 64 69 72 20 68 61 73 20 73 }.Suppose.Lanczos/Orthodir.has.s
5920 75 63 63 65 73 73 66 75 6c 6c 79 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 0a 24 75 5e 7b 28 6e 2d 31 29 7d uccessfully.generated.$u^{(n-1)}
5940 5c 6e 6f 74 3d 75 24 2e 20 20 54 68 65 6e 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 61 72 65 \not=u$...Then.the.following.are
5960 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 3a 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 .equivalent:..\meti{$\bullet$}.T
5980 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 64 6f 65 73 20 6e 6f 74 20 62 72 65 61 6b 20 64 6f 77 6e he.algorithm.does.not.break.down
59a0 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 .at.step.$n$...\meti{$\bullet$}.
59c0 54 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c The.matrix.$\K_n(\tilde.r^{(0)},
59e0 41 5e 2a 29 5e 2a 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 0a 69 73 20 6e 6f 6e 73 69 A^*)^*A\K_n(r^{(0)},A)$.is.nonsi
5a00 6e 67 75 6c 61 72 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 68 65 72 65 20 ngular...\meti{$\bullet$}.There.
5a20 65 78 69 73 74 73 20 61 20 75 6e 69 71 75 65 20 69 74 65 72 61 74 65 20 24 75 5e 7b 28 6e 29 7d exists.a.unique.iterate.$u^{(n)}
5a40 24 20 73 61 74 69 73 66 79 69 6e 67 20 24 28 32 29 24 2e 0a 5c 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 74 $.satisfying.$(2)$..\endthm...\t
5a60 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 20 7b 5c 72 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 2d 4f 72 74 68 hm{Theorem.2.{\rm.(Lanczos--Orth
5a80 6f 6d 69 6e 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 29 7d 7d 0a 53 75 70 70 6f 73 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f omin.breakdown)}}.Suppose.Lanczo
5aa0 73 2f 4f 72 74 68 6f 6d 69 6e 20 68 61 73 20 73 75 63 63 65 73 73 66 75 6c 6c 79 20 67 65 6e 65 s/Orthomin.has.successfully.gene
5ac0 72 61 74 65 64 20 24 75 5e 7b 28 6e 2d 31 29 7d 5c 6e 6f 74 3d 75 24 2e 0a 54 68 65 6e 20 74 68 rated.$u^{(n-1)}\not=u$..Then.th
5ae0 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 61 72 65 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 3a 0a 0a 5c 6d 65 e.following.are.equivalent:..\me
5b00 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 62 72 65 61 ti{$\bullet$}.The.algorithm.brea
5b20 6b 73 20 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 ks.down.at.step.$n$...\meti{$\bu
5b40 6c 6c 65 74 24 7d 20 45 69 74 68 65 72 0a 24 5c 4b 5f 7b 6e 2d 31 7d 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 llet$}.Either.$\K_{n-1}(\tilde.r
5b60 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a 5c 4b 5f 7b 6e 2d 31 7d 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 ^{(0)},A^*)^*\K_{n-1}(r^{(0)},A)
5b80 24 20 6f 72 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a $.or.$\K_n(\tilde.r^{(0)},A^*)^*
5ba0 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 20 69 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 2e 0a 5c A\K_n(r^{(0)},A)$.is.singular..\
5bc0 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 70 72 6f 70 7b 50 72 6f 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 20 33 20 7b 5c 72 endthm...\prop{Proposition.3.{\r
5be0 6d 20 28 7a 65 72 6f 20 73 65 74 73 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 29 7d 7d 0a 4c m.(zero.sets.of.polynomials)}}.L
5c00 65 74 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 6f 72 20 24 5c 66 43 24 2e 20 20 49 66 20 24 50 24 20 69 et.$\fK=\fR$.or.$\fC$...If.$P$.i
5c20 73 20 61 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 s.a.complex.nonzero.polynomial.i
5c40 6e 20 74 68 65 0a 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 20 24 78 5f 31 2c 78 5f 32 2c 5c 6c 64 6f 74 73 20 n.the.variables.$x_1,x_2,\ldots.
5c60 2c 78 5f 4e 5c 69 6e 5c 66 4b 24 2c 20 74 68 65 6e 20 24 50 28 78 29 5c 6e 6f 74 3d 30 24 20 66 ,x_N\in\fK$,.then.$P(x)\not=0$.f
5c80 6f 72 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 0a 24 78 3d 28 78 5f 31 2c 78 5f 32 2c 5c 6c 64 6f or.almost.every.$x=(x_1,x_2,\ldo
5ca0 74 73 2c 78 5f 4e 29 5c 69 6e 20 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 0a 5c 65 6e 64 70 72 6f 70 0a 0a 5c 70 72 ts,x_N)\in.\fK^N$..\endprop..\pr
5cc0 66 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 49 66 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 61 6e 64 20 24 50 24 20 69 73 f{Proof}.If.$\fK=\fR$.and.$P$.is
5ce0 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 2c 20 74 68 65 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 24 5c 52 65 20 50 28 7a 29 24 .nonzero,.then.either.$\Re.P(z)$
5d00 20 6f 72 20 24 5c 49 6d 20 50 28 7a 29 24 0a 69 73 20 61 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 28 72 65 61 .or.$\Im.P(z)$.is.a.nonzero.(rea
5d20 6c 29 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 3b 20 69 66 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 43 24 2c 20 77 65 20 l).polynomial;.if.$\fK=\fC$,.we.
5d40 6d 61 79 20 64 65 63 6f 6d 70 6f 73 65 20 65 61 63 68 20 24 78 5f 69 24 0a 69 6e 74 6f 20 72 65 may.decompose.each.$x_i$.into.re
5d60 61 6c 20 61 6e 64 20 69 6d 61 67 69 6e 61 72 79 20 70 61 72 74 73 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 24 al.and.imaginary.parts,.giving.$
5d80 32 4e 24 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 2c 20 61 6e 64 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 0a 2N$.variables,.and.consider.the.
5da0 72 65 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 24 50 28 78 29 5e 2a 50 28 78 29 24 2e 20 20 49 real.polynomial.$P(x)^*P(x)$...I
5dc0 6e 20 61 6e 79 20 63 61 73 65 2c 20 77 65 20 6d 61 79 20 61 73 73 75 6d 65 20 77 69 74 68 6f 75 n.any.case,.we.may.assume.withou
5de0 74 20 6c 6f 73 73 20 6f 66 0a 67 65 6e 65 72 61 6c 69 74 79 20 74 68 61 74 20 24 50 24 20 69 73 t.loss.of.generality.that.$P$.is
5e00 20 61 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 72 65 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f 66 20 72 65 .a.nonzero.real.polynomial.of.re
5e20 61 6c 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 2e 0a 0a 57 65 20 6b 6e 6f 77 20 74 68 61 74 20 66 6f 72 20 al.variables...We.know.that.for.
5e40 61 6e 79 20 70 6f 69 6e 74 20 24 78 24 2c 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 24 50 any.point.$x$,.the.polynomial.$P
5e60 24 20 69 73 20 74 68 65 20 7a 65 72 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 0a 69 66 20 61 6e 64 20 $.is.the.zero.polynomial.if.and.
5e80 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 6e 64 20 61 6c 6c 20 69 only.if.the.polynomial.and.all.i
5ea0 74 73 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 61 74 20 24 78 24 2e 0a ts.derivatives.are.zero.at.$x$..
5ec0 4c 65 74 20 24 56 5f 30 24 20 64 65 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 7a 65 72 6f Let.$V_0$.denote.the.set.of.zero
5ee0 73 20 6f 66 20 24 50 24 20 69 6e 20 24 5c 66 52 5e 4e 24 2e 20 20 53 75 70 70 6f 73 65 20 74 68 s.of.$P$.in.$\fR^N$...Suppose.th
5f00 65 20 73 65 74 0a 24 56 5f 30 24 20 68 61 73 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 6d 65 61 73 75 72 65 2e e.set.$V_0$.has.nonzero.measure.
5f20 20 20 57 65 20 6b 6e 6f 77 20 66 72 6f 6d 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 74 68 65 6f 72 ..We.know.from.integration.theor
5f40 79 20 28 73 65 65 2c 20 66 6f 72 0a 65 78 61 6d 70 6c 65 2c 20 5b 36 2c 20 70 70 2e 5c 20 31 32 y.(see,.for.example,.[6,.pp.\.12
5f60 38 66 5d 29 20 74 68 61 74 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 8f]).that.almost.every.point.of.
5f80 24 56 5f 30 24 20 69 73 0a 61 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 64 65 6e 73 69 74 79 20 69 6e 20 65 $V_0$.is.a.point.of.density.in.e
5fa0 61 63 68 20 6f 66 20 74 68 65 20 24 4e 24 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 20 64 69 72 65 63 74 ach.of.the.$N$.coordinate.direct
5fc0 69 6f 6e 73 2e 20 20 57 65 20 72 65 63 61 6c 6c 0a 74 68 61 74 20 24 78 5c 69 6e 5c 66 52 24 20 ions...We.recall.that.$x\in\fR$.
5fe0 69 73 20 61 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 64 65 6e 73 69 74 79 20 6f 66 20 61 20 6d 65 61 73 75 is.a.point.of.density.of.a.measu
6000 72 61 62 6c 65 20 73 75 62 73 65 74 0a 24 53 5c 73 75 62 73 65 74 65 71 5c 66 52 24 20 69 66 20 rable.subset.$S\subseteq\fR$.if.
6020 66 6f 72 20 61 6e 79 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 69 6e 74 65 72 76 61 6c 73 20 24 49 for.any.sequence.of.intervals.$I
6040 5f 6e 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 0a 24 78 5c 69 6e 20 49 5f 6e 24 20 77 69 74 68 20 6d 65 _n$.such.that.$x\in.I_n$.with.me
6060 61 73 75 72 65 20 24 6d 28 49 5f 6e 29 5c 72 69 67 68 74 61 72 72 6f 77 20 30 24 20 77 65 20 68 asure.$m(I_n)\rightarrow.0$.we.h
6080 61 76 65 0a 24 6d 28 53 5c 63 61 70 20 49 5f 6e 29 2f 6d 28 49 5f 6e 29 5c 72 69 67 68 74 61 72 ave.$m(S\cap.I_n)/m(I_n)\rightar
60a0 72 6f 77 20 31 24 2e 0a 0a 49 74 20 69 73 20 65 61 73 69 6c 79 20 73 65 65 6e 20 74 68 61 74 20 row.1$...It.is.easily.seen.that.
60c0 61 74 20 73 75 63 68 20 70 6f 69 6e 74 73 20 69 6e 20 24 56 5f 30 24 2c 20 74 68 65 20 66 69 72 at.such.points.in.$V_0$,.the.fir
60e0 73 74 0a 70 61 72 74 69 61 6c 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 6f 66 20 24 50 24 20 6d 75 st.partial.derivatives.of.$P$.mu
6100 73 74 20 6e 65 63 65 73 73 61 72 69 6c 79 20 62 65 20 7a 65 72 6f 2e 20 20 4c 65 74 20 24 56 5f st.necessarily.be.zero...Let.$V_
6120 31 24 20 62 65 20 74 68 65 0a 70 6f 69 6e 74 73 20 6f 66 20 24 56 5f 30 24 20 77 68 65 72 65 20 1$.be.the.points.of.$V_0$.where.
6140 61 6c 6c 20 66 69 72 73 74 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 61 6c 73 6f 20 7a all.first.derivatives.are.also.z
6160 65 72 6f 2e 20 20 57 65 20 68 61 76 65 20 6a 75 73 74 0a 73 68 6f 77 6e 20 74 68 61 74 20 24 56 ero...We.have.just.shown.that.$V
6180 5f 30 24 20 61 6e 64 20 24 56 5f 31 24 20 62 6f 74 68 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 _0$.and.$V_1$.both.have.the.same
61a0 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 6d 65 61 73 75 72 65 2e 20 20 54 68 65 0a 61 72 67 75 6d 65 6e 74 0a .nonzero.measure...The.argument.
61c0 6d 61 79 20 62 65 20 72 65 70 65 61 74 65 64 20 66 6f 72 20 24 56 5f 31 24 20 74 6f 20 73 68 6f may.be.repeated.for.$V_1$.to.sho
61e0 77 20 61 6c 6c 20 73 65 63 6f 6e 64 20 70 61 72 74 69 61 6c 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 w.all.second.partial.derivatives
6200 20 6f 66 20 24 66 24 0a 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 61 74 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 .of.$f$.are.zero.at.almost.every
6220 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 24 56 5f 30 24 2c 20 61 6e 64 20 73 6f 20 66 6f 72 74 68 2c 20 72 .point.of.$V_0$,.and.so.forth,.r
6240 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 69 6e 20 74 68 65 0a 66 61 63 74 20 74 68 61 74 20 24 50 24 20 61 6e esulting.in.the.fact.that.$P$.an
6260 64 20 61 6c 6c 20 69 74 73 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 6f d.all.its.derivatives.are.zero.o
6280 6e 20 61 20 73 65 74 20 77 68 69 63 68 20 68 61 73 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 0a 6d 65 61 73 75 72 n.a.set.which.has.nonzero.measur
62a0 65 2e 20 20 54 68 65 20 70 72 6f 6f 66 20 69 73 20 63 6f 6d 70 6c 65 74 65 64 20 62 79 20 73 65 e...The.proof.is.completed.by.se
62c0 6c 65 63 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 6f 6e 65 20 6f 66 20 74 68 65 73 65 20 70 6f 69 6e 74 73 2e lecting.any.one.of.these.points.
62e0 0a 5c 71 71 75 61 64 5c 65 6e 64 70 72 6f 6f 66 0a 0a 5c 74 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 34 .\qquad\endproof..\thm{Theorem.4
6300 20 7b 5c 72 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 2c 20 69 74 65 72 61 74 .{\rm.(Lanczos.breakdown,.iterat
6320 65 20 24 6e 24 29 7d 7d 0a 4c 65 74 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 6f 72 20 24 5c 66 43 24 2c e.$n$)}}.Let.$\fK=\fR$.or.$\fC$,
6340 20 24 41 2c 20 5c 74 69 6c 64 65 20 5a 5c 69 6e 5c 66 4b 5e 7b 4e 5c 74 69 6d 65 73 20 4e 7d 24 .$A,.\tilde.Z\in\fK^{N\times.N}$
6360 2c 20 61 6e 64 20 24 6e 5c 6c 65 71 20 64 28 41 29 24 2e 0a 54 68 65 6e 20 65 78 61 63 74 6c 79 ,.and.$n\leq.d(A)$..Then.exactly
6380 20 6f 6e 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 74 68 72 65 65 20 63 6f 6e 64 .one.of.the.following.three.cond
63a0 69 74 69 6f 6e 73 20 68 6f 6c 64 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 0a 6d 65 74 itions.holds.for.the.Lanczos.met
63c0 68 6f 64 20 77 69 74 68 20 24 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 3d 5c 74 69 6c 64 65 20 hod.with.$\tilde.r^{(0)}=\tilde.
63e0 5a 5e 2a 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 29 7d 20 48 61 Z^*.r^{(0)}$...\meti{\rm.(i)}.Ha
6400 72 64 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 rd.breakdown.at.step.$n$.occurs.
6420 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f for.every.vector.$r^{(0)}\in\sT_
6440 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 20 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 61 74 20 6c 65 n(A)\cap\fK^N$.$($and.thus.at.le
6460 61 73 74 20 66 6f 72 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e ast.for.almost.every.$r^{(0)}\in
6480 5c 66 4b 5e 4e 29 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 69 29 7d 20 48 61 72 64 20 62 \fK^N)$...\meti{\rm.(ii)}.Hard.b
64a0 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 66 6f 72 20 reakdown.at.step.$n$.occurs.for.
64c0 61 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 20 6d 65 61 73 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 0a 73 65 74 20 6f 66 20 76 a.nonempty.measure-zero.set.of.v
64e0 65 63 74 6f 72 73 20 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c 66 ectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap\f
6500 4b 5e 4e 24 0a 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 61 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 20 6d 65 61 73 K^N$.$($and.thus.a.nonempty.meas
6520 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 20 73 65 74 20 6f 66 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e ure-zero.set.of.vectors.in.$\fK^
6540 4e 29 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 69 69 29 7d 20 48 61 72 64 20 62 72 65 61 N)$...\meti{\rm.(iii)}.Hard.brea
6560 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 66 6f 72 20 6e 6f 20 kdown.at.step.$n$.occurs.for.no.
6580 76 65 63 74 6f 72 73 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c vectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap\
65a0 66 4b 5e 4e 24 20 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 66 6f 72 20 61 74 20 6d 6f 73 74 20 61 20 fK^N$.$($and.thus.for.at.most.a.
65c0 6d 65 61 73 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 20 73 65 74 20 6f 66 0a 76 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 20 24 measure-zero.set.of.vectors.in.$
65e0 5c 66 4b 5e 4e 29 24 2e 0a 0a 46 75 72 74 68 65 72 6d 6f 72 65 2c 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 \fK^N)$...Furthermore,.the.same.
6600 72 65 73 75 6c 74 20 68 6f 6c 64 73 20 69 66 20 60 60 68 61 72 64 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e result.holds.if.``hard.breakdown
6620 27 27 20 69 73 20 72 65 70 6c 61 63 65 64 20 62 79 0a 60 60 73 6f 66 74 20 62 72 65 61 6b 64 6f ''.is.replaced.by.``soft.breakdo
6640 77 6e 27 27 20 69 6e 20 74 68 65 20 73 74 61 74 65 6d 65 6e 74 20 6f 66 20 74 68 69 73 20 74 68 wn''.in.the.statement.of.this.th
6660 65 6f 72 65 6d 2e 0a 5c 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 70 72 66 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 46 6f 72 eorem..\endthm...\prf{Proof}.For
6680 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 .vectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap
66a0 5c 66 4b 5e 4e 24 2c 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 69 73 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 20 \fK^N$,.breakdown.is.equivalent.
66c0 74 6f 0a 73 69 6e 67 75 6c 61 72 69 74 79 20 6f 66 20 61 6e 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 to.singularity.of.an.appropriate
66e0 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 2e 20 20 54 68 65 20 73 65 74 20 24 5c 73 54 5f 6e 28 .moment.matrix...The.set.$\sT_n(
6700 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 0a 61 6d 6f 75 6e 74 73 20 74 6f 20 61 6c 6d 6f 73 74 0a 65 A)\cap\fK^N$.amounts.to.almost.e
6720 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 20 20 4e 6f 77 2c 20 62 79 very.vector.in.$\fK^N$...Now,.by
6740 20 43 6f 72 6f 6c 6c 61 72 79 20 35 2c 20 74 68 65 20 73 65 74 20 24 53 5f 6e 24 20 6f 66 20 76 .Corollary.5,.the.set.$S_n$.of.v
6760 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 0a 24 5c 66 4b 5e 4e 24 20 66 6f 72 20 77 68 69 63 68 20 74 68 65 20 ectors.in.$\fK^N$.for.which.the.
6780 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 24 6e 24 20 69 moment.matrix.of.dimension.$n$.i
67a0 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 69 73 20 65 69 74 68 65 72 0a 74 68 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 s.singular.is.either.the.set.of.
67c0 61 6c 6c 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 6f 72 20 61 20 73 75 62 73 65 74 20 6f 66 20 6d 65 61 73 75 all.vectors.or.a.subset.of.measu
67e0 72 65 20 7a 65 72 6f 2e 20 20 49 66 20 74 68 65 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 0a 69 re.zero...If.the.moment.matrix.i
6800 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 28 69 2e 65 s.singular.for.every.vector.(i.e
6820 2e 2c 20 24 53 5f 6e 3d 5c 66 4b 5e 4e 24 29 2c 20 74 68 65 6e 20 69 74 20 69 73 20 73 69 6e 67 .,.$S_n=\fK^N$),.then.it.is.sing
6840 75 6c 61 72 20 66 6f 72 0a 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 69 6e 20 24 5c 73 54 5f 6e 28 ular.for.every.vector.in.$\sT_n(
6860 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 63 61 73 65 20 28 69 29 20 61 62 A)\cap\fK^N$,.giving.case.(i).ab
6880 6f 76 65 2e 20 20 4f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 0a 73 65 74 20 24 53 5f 6e 24 20 69 73 ove...Otherwise.the.set.$S_n$.is
68a0 20 6d 65 61 73 75 72 65 20 7a 65 72 6f 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 20 20 54 68 75 73 0a .measure.zero.in.$\fK^N$...Thus.
68c0 24 5c 73 42 5f 6e 5c 65 71 75 69 76 20 53 5f 6e 5c 63 61 70 28 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 $\sB_n\equiv.S_n\cap(\sT_n(A)\ca
68e0 70 5c 66 4b 5e 4e 29 24 20 69 73 20 6f 66 20 6d 65 61 73 75 72 65 20 7a 65 72 6f 0a 61 6e 64 20 p\fK^N)$.is.of.measure.zero.and.
6900 69 73 20 65 69 74 68 65 72 20 65 6d 70 74 79 20 6f 72 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 2e 0a 5c 71 71 is.either.empty.or.nonempty..\qq
6920 75 61 64 5c 65 6e 64 70 72 6f 6f 66 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 32 7d 7b 54 61 62 6c 65 73 uad\endproof..\heading{2}{Tables
6940 20 61 6e 64 20 66 69 67 75 72 65 73 7d 0a 49 6e 20 54 61 62 6c 65 73 20 31 20 61 6e 64 20 32 20 .and.figures}.In.Tables.1.and.2.
6960 77 65 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 20 75 6e 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 we.consider.the.unpreconditioned
6980 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 61 6e 64 20 61 6c 73 6f 20 74 68 65 20 28 6c 65 66 74 29 20 0a 49 4c .problem.and.also.the.(left)..IL
69a0 55 2d 20 61 6e 64 20 4d 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c U-.and.MILU-preconditioned.probl
69c0 65 6d 20 28 73 65 65 20 5b 32 5d 20 61 6e 64 20 5b 34 5d 29 2e 20 20 52 75 6e 73 20 66 6f 72 20 em.(see.[2].and.[4])...Runs.for.
69e0 77 68 69 63 68 20 0a 63 6f 6e 76 65 72 67 65 6e 63 65 20 77 61 73 20 6e 6f 74 20 70 6f 73 73 69 which..convergence.was.not.possi
6a00 62 6c 65 20 69 6e 20 49 54 4d 41 58 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 6c 61 62 65 ble.in.ITMAX.iterations.are.labe
6a20 6c 65 64 20 62 79 20 28 2d 2d 29 2e 0a 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 5c 68 62 6f 78 7b led.by.(--)....\topinsert.\hbox{
6a40 5c 76 62 6f 78 7b 20 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 0a 7b 5c 70 61 72 69 6e 64 65 6e 74 20 30 \vbox{.\eightpoint.{\parindent.0
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6aa0 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 7b 5c 72 6d 20 49 54 4d 41 58 3d 33 30 30 30 7d 2e 0a 20 20 20 20 -1}=128$,.{\rm.ITMAX=3000}......
6ac0 20 20 20 20 20 20 20 20 4e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 2e 7d 5c 76 ........Number.of.iterations.}\v
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6b40 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 t&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit..&
6b60 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d &\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\om
6b80 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 6d 65 74 68 6f 64 20 24 5c 62 61 63 it&&\omit&\cr.&{\rm.method.$\bac
6ba0 6b 73 6c 61 73 68 24 20 44 68 3a 20 7d 20 26 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 kslash$.Dh:.}.&.................
6bc0 20 20 20 26 30 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 32 7d 24 26 26 32 ...&0&&2${}^{-3}$&&2${}^{-2}$&&2
6be0 24 7b 7d 5e 7b 2d 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 30 7d 24 26 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ${}^{-1}$&&2${}^{0}$&...........
6c00 20 26 32 24 7b 7d 5e 7b 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 32 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 .&2${}^{1}$&&2${}^{.2}$&&2${}^{.
6c20 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 34 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 35 7d 24 26 5c 63 72 0a 68 3}$&&2${}^{.4}$&&2${}^{5}$&\cr.h
6c40 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f eight2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\o
6c60 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 mit&&\omit..&&\omit&&\omit&&\omi
6c80 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 5c 6e 6f 61 6c t&&\omit&&\omit&&\omit&\cr.\noal
6ca0 69 67 6e 7b 5c 68 72 75 6c 65 7d 0a 68 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d ign{\hrule}.height2pt&\omit&&\om
6cc0 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 it&&\omit&&\omit&&\omit..&&\omit
6ce0 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f &&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\o
6d00 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e 66 74 79 24 29 20 5c 68 66 69 6c mit&\cr.&{GMRES}($\infty$).\hfil
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6d60 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 38 26 26 20 33 34 31 26 \cr.&{BCG}.\hfill.&.&.308&&.341&
6d80 26 20 32 39 39 26 26 31 35 31 38 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 &.299&&1518&&.--.&&.--.&&.--.&&.
6da0 2d 2d 20 26 26 20 35 33 33 26 26 20 2d 2d 20 26 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 7d 7b 5c 72 6d 2c 20 --.&&.533&&.--.&\cr.&{BCG}{\rm,.
6dc0 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 39 random.$u^{(0)}$}.\hfill.&.&.309
6de0 26 26 20 33 35 34 26 26 20 33 30 30 26 26 20 33 31 30 26 26 20 33 31 33 26 26 20 33 30 31 26 26 &&.354&&.300&&.310&&.313&&.301&&
6e00 20 32 39 39 26 26 20 33 30 32 26 26 20 32 39 30 26 26 20 32 39 33 26 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 .299&&.302&&.290&&.293&\cr.&{BCG
6e20 4e 42 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 38 26 26 20 33 35 33 26 26 20 32 38 34 26 26 NB}.\hfill.&.&.308&&.353&&.284&&
6e40 20 33 33 38 26 26 20 32 35 33 26 26 20 32 34 30 26 26 20 32 34 33 26 26 20 32 34 30 26 26 20 33 .338&&.253&&.240&&.243&&.240&&.3
6e60 30 32 26 26 20 39 36 32 26 5c 63 72 0a 26 7b 43 47 53 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 32 02&&.962&\cr.&{CGS}.\hfill.&.&.2
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6ea0 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 5c 63 72 0a 26 7b 43 &&.--.&&.--.&&.--.&&.--.&\cr.&{C
6ec0 47 53 7d 7b 5c 72 6d 2c 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 6c GS}{\rm,.random.$u^{(0)}$}.\hfil
6ee0 6c 20 26 0a 26 20 31 39 33 26 26 20 31 38 39 26 26 20 32 30 30 26 26 20 31 39 32 26 26 20 31 39 l.&.&.193&&.189&&.200&&.192&&.19
6f00 33 26 26 20 31 37 35 26 26 20 32 32 35 26 26 20 32 31 32 26 26 20 32 31 36 26 26 20 31 39 37 26 3&&.175&&.225&&.212&&.216&&.197&
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77a0 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 20 6f 72 20 74 68 65 20 75 73 65 20 6f 66 20 7b random.$u^{(0)}$.or.the.use.of.{
77c0 42 43 47 4e 42 7d 20 6f 72 20 7b 43 47 53 4e 42 7d 0a 72 65 73 75 6c 74 65 64 20 69 6e 20 63 6f BCGNB}.or.{CGSNB}.resulted.in.co
77e0 6e 76 65 72 67 65 6e 63 65 2e 20 20 46 75 72 74 68 65 72 6d 6f 72 65 2c 20 74 68 65 20 69 74 65 nvergence...Furthermore,.the.ite
7800 72 61 74 69 6f 6e 20 63 6f 75 6e 74 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 ration.counts.for.the.algorithms
7820 20 7b 42 43 47 7d 20 61 6e 64 20 7b 42 43 47 4e 42 7d 20 61 72 65 20 69 6e 0a 67 65 6e 65 72 61 .{BCG}.and.{BCGNB}.are.in.genera
7840 6c 20 63 6f 6d 70 61 72 61 74 69 76 65 6c 79 20 63 6c 6f 73 65 20 74 6f 20 74 68 6f 73 65 20 6f l.comparatively.close.to.those.o
7860 66 20 74 68 65 20 60 60 62 65 73 74 27 27 20 6d 65 74 68 6f 64 2c 0a 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 f.the.``best''.method,.{GMRES}($
7880 5c 69 6e 66 74 79 24 29 2c 20 77 68 69 6c 65 20 74 68 65 73 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 \infty$),.while.these.algorithms
78a0 20 68 61 76 65 20 73 68 6f 72 74 20 65 63 6f 6e 6f 6d 69 63 61 6c 0a 72 65 63 75 72 72 65 6e 63 .have.short.economical.recurrenc
78c0 65 73 2c 20 75 6e 6c 69 6b 65 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e 66 74 79 24 29 2e 20 20 54 es,.unlike.{GMRES}($\infty$)...T
78e0 68 69 73 20 75 6e 64 65 72 73 63 6f 72 65 73 20 74 68 65 20 0a 69 6d 70 6f 72 74 61 6e 63 65 20 his.underscores.the..importance.
7900 6f 66 20 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 61 73 20 65 63 6f of.the.Lanczos.algorithms.as.eco
7920 6e 6f 6d 69 63 61 6c 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 74 65 63 68 6e 69 71 75 65 73 2e 0a 0a 5c 6d nomical.solution.techniques...\m
7940 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 46 6f 72 20 74 68 65 20 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f eti{$\bullet$}.For.the.ILU-preco
7960 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 73 2c 20 69 6e 20 6d 6f 73 74 20 63 61 73 65 nditioned.problems,.in.most.case
7980 73 0a 61 6c 6c 20 6d 65 74 68 6f 64 73 20 77 6f 72 6b 65 64 20 77 65 6c 6c 2e 20 20 46 6f 72 20 s.all.methods.worked.well...For.
79a0 74 68 65 20 63 61 73 65 20 6f 66 20 24 44 68 3d 31 24 2c 20 7b 42 43 47 7d 20 67 61 76 65 0a 61 the.case.of.$Dh=1$,.{BCG}.gave.a
79c0 6e 20 65 78 63 65 73 73 69 76 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 n.excessive.number.of.iterations
79e0 2c 20 62 75 74 20 74 68 69 73 20 77 61 73 20 72 65 6d 65 64 69 65 64 20 73 69 67 6e 69 66 69 63 ,.but.this.was.remedied.signific
7a00 61 6e 74 6c 79 0a 62 79 20 7b 42 43 47 4e 42 7d 20 61 6e 64 20 6d 75 63 68 20 6d 6f 72 65 20 73 antly.by.{BCGNB}.and.much.more.s
7a20 6f 0a 62 79 20 74 68 65 20 75 73 65 20 6f 66 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 o.by.the.use.of.random.$u^{(0)}$
7a40 2e 20 20 53 69 6d 69 6c 61 72 6c 79 2c 20 7b 43 47 53 7d 20 63 6f 75 6c 64 0a 6e 6f 74 20 63 6f ...Similarly,.{CGS}.could.not.co
7a60 6e 76 65 72 67 65 2c 20 62 75 74 20 7b 43 47 53 4e 42 7d 20 61 6e 64 20 7b 43 47 53 7d 20 77 69 nverge,.but.{CGSNB}.and.{CGS}.wi
7a80 74 68 20 72 61 6e 64 6f 6d 0a 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 20 62 6f 74 68 20 63 6f 6e 76 65 72 67 th.random.$u^{(0)}$.both.converg
7aa0 65 64 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 46 6f 72 20 61 6c 6c 20 6f 66 ed...\meti{$\bullet$}.For.all.of
7ac0 20 74 68 65 20 4d 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c 65 6d .the.MILU-preconditioned.problem
7ae0 73 2c 20 61 6c 6c 20 6f 66 0a 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 74 79 70 65 20 61 6c 67 6f 72 s,.all.of.the.Lanczos-type.algor
7b00 69 74 68 6d 73 20 70 65 72 66 6f 72 6d 65 64 20 71 75 69 74 65 20 77 65 6c 6c 2e 20 20 49 6e 20 ithms.performed.quite.well...In.
7b20 70 61 72 74 69 63 75 6c 61 72 2c 20 74 68 65 0a 7b 42 43 47 7d 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 particular,.the.{BCG}.algorithm.
7b40 67 61 76 65 20 61 70 70 72 6f 78 69 6d 61 74 65 6c 79 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 6e 75 6d 62 gave.approximately.the.same.numb
7b60 65 72 20 6f 66 0a 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e er.of.iterations.as.{GMRES}($\in
7b80 66 74 79 24 29 2e 0a 0a 46 69 67 75 72 65 73 20 31 20 61 6e 64 20 32 20 67 69 76 65 20 72 65 70 fty$)...Figures.1.and.2.give.rep
7ba0 72 65 73 65 6e 74 61 74 69 76 65 20 70 6c 6f 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6e 76 65 72 67 resentative.plots.of.the.converg
7bc0 65 6e 63 65 20 62 65 68 61 76 69 6f 72 20 6f 66 20 74 68 65 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 ence.behavior.of.the.algorithms.
7be0 66 6f 72 20 74 68 65 20 63 61 73 65 20 6f 66 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 for.the.case.of.$h^{-1}=128$,.$D
7c00 68 3d 34 24 2c 20 61 6e 64 20 6e 6f 20 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 69 6e 67 2e 0a 54 68 h=4$,.and.no.preconditioning..Th
7c20 65 73 65 20 72 65 73 75 6c 74 73 20 73 68 6f 77 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 6e 65 77 20 61 6c ese.results.show.that.the.new.al
7c40 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 6b 65 65 70 20 74 68 65 20 72 65 73 69 64 75 61 6c 20 73 69 7a 65 20 gorithms.keep.the.residual.size.
7c60 0a 62 65 74 74 65 72 20 62 65 68 61 76 65 64 20 74 68 61 6e 20 74 68 65 20 73 74 61 6e 64 61 72 .better.behaved.than.the.standar
7c80 64 20 7b 42 43 47 7d 20 61 6e 64 20 7b 43 47 53 7d 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 6f 76 65 d.{BCG}.and.{CGS}.algorithms.ove
7ca0 72 20 74 68 65 20 63 6f 75 72 73 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 75 6e 2e 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e r.the.course.of.the.run...\topin
7cc0 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 20 33 2e 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 sert.\vskip.3.2in.\centerline{\e
7ce0 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7e 31 2e 20 5c 69 74 20 52 65 73 69 64 75 ightpoint\smc.Fig.~1..\it.Residu
7d00 61 6c 20 0a 62 65 68 61 76 69 6f 72 3a 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 68 3d al..behavior:.$h^{-1}=128$,.$Dh=
7d20 34 24 2e 7d 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 20 5c 76 4$.}.\endinsert...\topinsert..\v
7d40 73 6b 69 70 20 33 2e 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 skip.3.2in.\centerline{\eightpoi
7d60 6e 74 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7e 32 2e 20 5c 69 74 20 20 52 65 73 69 64 75 61 6c 20 0a 62 65 nt\smc.Fig.~2..\it..Residual..be
7d80 68 61 76 69 6f 72 3a 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 68 3d 34 24 2e 7d 0a 5c havior:.$h^{-1}=128$,.$Dh=4$.}.\
7da0 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 57 65 20 6e 6f 77 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 61 20 6d 6f 72 endinsert..We.now.consider.a.mor
7dc0 65 20 64 69 66 66 69 63 75 6c 74 20 63 6c 61 73 73 20 6f 66 20 66 69 6e 69 74 65 20 64 69 66 66 e.difficult.class.of.finite.diff
7de0 65 72 65 6e 63 65 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 73 2c 0a 6e 61 6d 65 6c 79 2c 20 63 65 6e 74 72 61 6c erence.problems,.namely,.central
7e00 20 66 69 6e 69 74 65 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 63 69 6e 67 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 .finite.differencing.applied.to.
7e20 74 68 65 20 44 69 72 69 63 68 6c 65 74 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 0a 24 24 20 2d 75 5f 7b 78 78 7d the.Dirichlet.problem.$$.-u_{xx}
7e40 28 78 2c 79 29 20 2d 20 75 5f 7b 79 79 7d 28 78 2c 79 29 20 2b 0a 20 20 20 44 5b 28 79 2d 5c 74 (x,y).-.u_{yy}(x,y).+....D[(y-\t
7e60 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 31 5c 6f 76 65 72 20 32 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 29 extstyle{1\over.2}\displaystyle)
7e80 20 75 5f 78 28 78 2c 79 29 20 2b 0a 20 20 20 20 20 28 78 2d 5c 74 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 31 .u_x(x,y).+......(x-\textstyle{1
7ea0 5c 6f 76 65 72 20 33 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 29 0a 20 20 20 20 20 28 78 2d 5c \over.3}\displaystyle)......(x-\
7ec0 74 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 32 5c 6f 76 65 72 20 33 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 textstyle{2\over.3}\displaystyle
7ee0 29 20 75 5f 79 28 78 2c 79 29 5d 2c 20 24 24 20 0a 24 24 20 2d 20 34 33 5c 70 69 5e 32 75 28 78 ).u_y(x,y)],.$$..$$.-.43\pi^2u(x
7f00 2c 79 29 20 3d 20 47 28 78 2c 79 29 20 5c 71 75 61 64 20 7b 5c 72 6d 20 6f 6e 7d 5c 20 5c 4f 6d ,y).=.G(x,y).\quad.{\rm.on}\.\Om
7f20 65 67 61 3d 5b 30 2c 31 5d 5e 32 2c 24 24 0a 24 24 75 28 78 2c 79 29 20 3d 20 31 20 2b 20 78 79 ega=[0,1]^2,$$.$$u(x,y).=.1.+.xy
7f40 20 5c 71 75 61 64 20 5c 68 62 6f 78 7b 5c 72 6d 20 6f 6e 7d 5c 20 5c 70 61 72 74 69 61 6c 5c 4f .\quad.\hbox{\rm.on}\.\partial\O
7f60 6d 65 67 61 2c 24 24 0a 77 69 74 68 20 24 47 28 78 2c 79 29 24 20 63 68 6f 73 65 6e 20 61 73 20 mega,$$.with.$G(x,y)$.chosen.as.
7f80 62 65 66 6f 72 65 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 74 72 75 65 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e before.so.that.the.true.solution
7fa0 20 69 73 20 24 75 28 78 2c 79 29 3d 31 2b 78 79 24 2e 0a 41 67 61 69 6e 2c 20 77 65 20 6c 65 74 .is.$u(x,y)=1+xy$..Again,.we.let
7fc0 20 24 68 24 20 64 65 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 6d 65 73 68 20 73 69 7a 65 20 69 6e 20 65 61 63 .$h$.denote.the.mesh.size.in.eac
7fe0 68 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 2e 20 20 46 6f 72 20 24 44 3d 30 24 0a 61 6e 64 20 24 68 24 20 h.direction...For.$D=0$.and.$h$.
8000 73 6d 61 6c 6c 2c 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 20 62 79 20 74 small,.the.matrix.generated.by.t
8020 68 69 73 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 69 73 20 61 20 73 79 6d 6d 65 74 72 69 63 0a 69 6e 64 65 66 his.problem.is.a.symmetric.indef
8040 69 6e 69 74 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 69 74 68 20 31 36 20 64 69 73 74 69 6e 63 74 20 6e 65 inite.matrix.with.16.distinct.ne
8060 67 61 74 69 76 65 20 65 69 67 65 6e 76 61 6c 75 65 73 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 72 65 73 74 0a gative.eigenvalues.and.the.rest.
8080 6f 66 20 74 68 65 20 73 70 65 63 74 72 75 6d 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 2e 0a 0a 54 68 65 20 73 of.the.spectrum.positive...The.s
80a0 74 61 6e 64 61 72 64 20 63 6f 6e 6a 75 67 61 74 65 20 72 65 73 69 64 75 61 6c 20 61 6c 67 6f 72 tandard.conjugate.residual.algor
80c0 69 74 68 6d 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 74 68 69 73 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 77 69 74 ithm.applied.to.this.problem.wit
80e0 68 0a 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 20 61 6e 64 20 24 44 3d 30 24 20 72 65 71 75 69 72 65 h.$h^{-1}=128$.and.$D=0$.require
8100 73 20 37 36 36 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 74 6f 20 63 6f 6e 76 65 72 67 65 20 74 6f 0a s.766.iterations.to.converge.to.
8120 24 7c 7c 72 5e 7b 28 6e 29 7d 7c 7c 2f 7c 7c 62 7c 7c 3c 5c 7a 65 74 61 3d 31 30 5e 7b 2d 36 7d $||r^{(n)}||/||b||<\zeta=10^{-6}
8140 24 2e 20 20 49 6e 20 61 6e 79 20 63 61 73 65 2c 20 74 68 69 73 20 69 73 20 61 20 64 69 66 66 69 $...In.any.case,.this.is.a.diffi
8160 63 75 6c 74 0a 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 74 6f 20 73 6f 6c 76 65 2e 0a 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 71 cult.problem.to.solve.....\def\q
8180 65 64 7b 5c 76 72 75 6c 65 20 68 65 69 67 68 74 38 70 74 20 77 69 64 74 68 34 70 74 20 64 65 70 ed{\vrule.height8pt.width4pt.dep
81a0 74 68 30 70 74 5c 70 61 72 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 5a 65 72 6f 7b th0pt\par\medskip}....\def\Zero{
81c0 7b 5c 62 66 20 30 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 64 69 73 7b 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 {\bf.0}}....\def\dis{\displaysty
81e0 6c 65 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 62 7b 5c 62 65 74 61 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 72 7b 5c le}....\def\b{\beta}....\def\r{\
8200 72 68 6f 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 58 7b 7b 5c 62 66 20 58 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c rho}....\def\X{{\bf.X}}....\def\
8220 59 7b 7b 5c 62 66 20 59 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 62 62 7b 7b 5c 62 61 72 20 5c 62 65 74 Y{{\bf.Y}}....\def\bb{{\bar.\bet
8240 61 7d 7d 20 0a 20 20 20 5c 64 65 66 5c 74 62 63 72 7b 5c 74 68 65 74 61 5c 62 62 20 63 5f 68 20 a}}.....\def\tbcr{\theta\bb.c_h.
8260 5c 72 68 6f 5f 68 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 65 70 7b 5c 76 61 72 65 70 73 69 6c 6f 6e 7d 20 \rho_h}....\def\ep{\varepsilon}.
8280 0a 0a 0a 20 0a 46 69 67 75 72 65 73 20 33 28 61 29 20 61 6e 64 20 33 28 62 29 20 73 68 6f 77 20 .....Figures.3(a).and.3(b).show.
82a0 74 68 65 20 63 6f 6d 70 61 72 74 6d 65 6e 74 61 6c 20 64 69 61 67 72 61 6d 73 20 66 6f 72 20 53 the.compartmental.diagrams.for.S
82c0 49 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 0a 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 I.models.without..and.with.death
82e0 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 66 6f 72 20 20 74 68 65 20 73 s.due.to.the.disease,.for..the.s
8300 69 74 75 61 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 77 68 69 63 68 20 74 68 65 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 75 73 ituation.in.which.the.infectious
8320 0a 70 65 72 69 6f 64 20 68 61 73 20 6f 6e 6c 79 20 6f 6e 65 20 73 74 61 67 65 2e 20 46 69 67 75 .period.has.only.one.stage..Figu
8340 72 65 73 20 34 28 61 29 20 61 6e 64 20 34 28 62 29 20 67 69 76 65 20 74 68 65 20 63 6f 72 72 65 res.4(a).and.4(b).give.the.corre
8360 73 70 6f 6e 64 69 6e 67 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 0a 77 69 74 68 20 24 6d 24 20 73 74 61 67 65 73 sponding.models..with.$m$.stages
8380 20 6f 66 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 6e 2e 20 56 65 6e 65 72 65 61 6c 20 0a 77 61 72 74 73 2c 20 .of.infection..Venereal..warts,.
83a0 63 61 75 73 65 64 20 62 79 20 74 68 65 20 68 75 6d 61 6e 20 70 61 70 69 6c 6c 6f 6d 61 20 76 69 caused.by.the.human.papilloma.vi
83c0 72 75 73 2c 20 61 6e 64 20 6f 72 64 69 6e 61 72 79 20 68 65 72 70 65 73 20 61 72 65 20 65 78 61 rus,.and.ordinary.herpes.are.exa
83e0 6d 70 6c 65 73 20 0a 6f 66 20 73 65 78 75 61 6c 6c 79 20 74 72 61 6e 73 6d 69 74 74 65 64 20 64 mples..of.sexually.transmitted.d
8400 69 73 65 61 73 65 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 0a 64 75 65 20 74 6f 20 74 iseases.without.deaths..due.to.t
8420 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 61 6c 74 68 6f 75 67 68 20 62 6f 74 68 20 61 72 65 20 6e 6f he.disease,.although.both.are.no
8440 74 20 71 75 69 74 65 20 53 49 20 64 69 73 65 61 73 65 73 20 62 65 63 61 75 73 65 20 6f 66 20 0a t.quite.SI.diseases.because.of..
8460 70 61 72 74 69 61 6c 20 69 6d 6d 75 6e 69 74 79 2e 20 41 49 44 53 20 69 73 20 74 68 65 20 65 78 partial.immunity..AIDS.is.the.ex
8480 61 6d 70 6c 65 20 6f 66 20 61 6e 20 53 49 20 64 69 73 65 61 73 65 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 ample.of.an.SI.disease.with.deat
84a0 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 0a 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 20 41 6c 74 68 6f 75 67 68 20 h.due.to..the.disease..Although.
84c0 6f 75 72 20 6d 61 69 6e 20 66 6f 63 75 73 20 69 73 20 6f 6e 20 74 68 65 20 6c 61 74 74 65 72 2c our.main.focus.is.on.the.latter,
84e0 20 77 65 20 70 72 65 73 65 6e 74 20 72 65 73 75 6c 74 73 20 0a 6f 6e 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c .we.present.results..on.SI.model
8500 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 0a 64 69 73 s.without.deaths.due.to.the..dis
8520 65 61 73 65 20 62 65 63 61 75 73 65 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 69 66 69 63 61 74 69 6f 6e 20 ease.because.the.simplification.
8540 69 6e 20 74 68 65 20 64 79 6e 61 6d 69 63 73 20 6f 66 20 73 75 63 68 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 0a in.the.dynamics.of.such.models..
8560 20 74 68 72 6f 77 73 20 6c 69 67 68 74 20 6f 6e 20 74 68 65 20 63 61 73 65 20 77 69 74 68 20 64 .throws.light.on.the.case.with.d
8580 69 73 65 61 73 65 2d 72 65 6c 61 74 65 64 20 64 65 61 74 68 73 2e 20 0a 20 0a 5c 74 6f 70 69 6e isease-related.deaths.....\topin
85a0 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 sert.\vskip.2in.\centerline{\eig
85c0 68 74 70 6f 69 6e 74 20 7b 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 33 28 61 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 htpoint.{\smc.Fig.}.3(a)..SI.{\i
85e0 74 20 6d 6f 64 65 6c 20 66 6f 72 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 24 69 24 2c 20 77 69 74 68 6f 75 t.model.for.subgroup.$i$,.withou
8600 74 20 64 65 61 74 68 0a 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 7d 7d 0a 5c 76 t.death.due.to.the.disease.}}.\v
8620 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 skip.2in.\centerline{\eightpoint
8640 20 7b 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 33 28 62 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 74 20 6d 6f 64 65 6c .{\smc.Fig.}.3(b)..SI.{\it.model
8660 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 7d .with.death.due.to.the.disease.}
8680 7d 20 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 }..\endinsert..\topinsert.\vskip
86a0 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 20 7b 5c 73 .2in.\centerline{\eightpoint.{\s
86c0 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 34 28 61 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 74 20 6d 6f 64 65 6c 20 77 69 74 mc.Fig.}.4(a)..SI.{\it.model.wit
86e0 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 0a 64 69 73 65 61 73 65 20 77 hout.deaths.due.to.the.disease.w
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8720 76 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e vskip.2in.\centerline{\eightpoin
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87a0 7d 20 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 7d 7b 45 71 75 61 74 }..\endinsert..\heading{3}{Equat
87c0 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 61 6c 69 67 6e 6d 65 6e 74 73 7d 20 0a 54 68 65 20 65 71 75 61 74 69 ions.and.alignments}..The.equati
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8820 0a 63 6f 6d 70 61 72 74 6d 65 6e 74 61 6c 20 64 69 61 67 72 61 6d 73 2e 20 46 6f 72 20 6f 6e 65 .compartmental.diagrams..For.one
8840 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 73 74 61 67 65 20 77 69 74 68 20 6e 6f 20 64 69 73 65 61 73 65 2d .infected.stage.with.no.disease-
8860 72 65 6c 61 74 65 64 20 0a 64 65 61 74 68 73 2c 20 74 68 65 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 20 61 related..deaths,.the.equations.a
8880 72 65 0a 24 24 20 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d 2d 58 5f 69 67 5f 69 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 re.$$.\dot.X_i=-X_ig_i-\mu.X_i+U
88a0 5f 69 2c 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 29 24 24 20 0a 24 24 20 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 58 5f 69 _i,.\leqno(1)$$..$$.\dot.Y_i=X_i
88c0 67 5f 69 2d 5c 6d 75 20 59 5f 69 2e 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 32 29 24 24 20 0a 49 66 20 74 68 65 g_i-\mu.Y_i..\leqno(2)$$..If.the
88e0 72 65 20 61 72 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 20 73 74 61 67 65 73 20 74 6f 20 74 68 65 20 69 6e re.are.multiple.stages.to.the.in
8900 66 65 63 74 69 6f 6e 2c 20 28 32 29 20 69 73 20 72 65 70 6c 61 63 65 64 20 62 79 20 0a 28 33 29 fection,.(2).is.replaced.by..(3)
8920 2d 2d 28 35 29 20 61 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 3a 0a 24 24 5c 6c 65 71 61 6c 69 67 6e 6e 6f 7b --(5).as.follows:.$$\leqalignno{
8940 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 31 7d 26 3d 58 5f 69 67 5f 69 2d 28 6b 2b 5c 6d 75 29 59 5f 7b 69 31 \dot.Y_{i1}&=X_ig_i-(k+\mu)Y_{i1
8960 7d 2c 20 26 28 33 29 5c 63 72 20 0a 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 72 7d 26 3d 6b 59 5f 7b 69 2c 72 },.&(3)\cr..\dot.Y_{ir}&=kY_{i,r
8980 2d 31 7d 2d 28 6b 2b 5c 6d 75 29 59 5f 7b 69 72 7d 2c 5c 71 71 75 61 64 20 20 72 3d 32 2c 5c 6c -1}-(k+\mu)Y_{ir},\qquad..r=2,\l
89a0 64 6f 74 73 2c 6d 2d 31 20 26 28 34 29 5c 63 72 20 0a 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 6d 7d 26 3d 6b dots,m-1.&(4)\cr..\dot.Y_{im}&=k
89c0 59 5f 7b 69 2c 6d 2d 31 7d 2d 5c 6d 75 20 59 5f 7b 69 6d 7d 2e 20 26 28 35 29 5c 63 72 20 7d 24 Y_{i,m-1}-\mu.Y_{im}..&(5)\cr.}$
89e0 24 20 0a 20 0a 20 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 2e 31 7d 7b 54 68 65 20 53 49 20 6d 6f 64 $.......\heading{3.1}{The.SI.mod
8a00 65 6c 20 77 69 74 68 20 73 74 72 75 63 74 75 72 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 7d 0a 49 6e 20 74 68 el.with.structured.mixing}.In.th
8a20 69 73 20 73 75 62 73 65 63 74 69 6f 6e 20 77 65 20 77 72 69 74 65 20 74 68 65 20 65 71 75 61 74 is.subsection.we.write.the.equat
8a40 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c 20 77 69 74 68 20 0a 73 74 72 75 ions.for.the.SI.model.with..stru
8a60 63 74 75 72 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 2c 20 77 69 74 68 20 6f 6e 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 ctured.mixing,.with.one.infected
8a80 20 73 74 61 67 65 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 .stage.and.with.deaths.due.to.th
8aa0 65 20 0a 64 69 73 65 61 73 65 2e 20 54 68 65 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 6d 75 e..disease..The.equations.for.mu
8ac0 6c 74 69 70 6c 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 73 74 61 67 65 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 20 65 61 ltiple.infected.stages.follow.ea
8ae0 73 69 6c 79 2c 20 61 73 20 64 6f 20 0a 74 68 6f 73 65 20 66 6f 72 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c 73 sily,.as.do..those.for.SI.models
8b00 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 .without.death.due.to.the.diseas
8b20 65 2e 20 52 65 63 61 6c 6c 20 74 68 61 74 20 24 66 5f 7b 69 73 7d 24 20 0a 67 69 76 65 73 20 20 e..Recall.that.$f_{is}$..gives..
8b40 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e 20 73 75 62 67 72 the.fraction.of.population.subgr
8b60 6f 75 70 20 24 69 24 27 73 20 0a 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 6d 61 64 oup.$i$'s..contacts.that.are.mad
8b80 65 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 54 68 65 20 74 6f 74 e.in.activity.group.$s$..The.tot
8ba0 61 6c 20 63 6f 6e 74 61 63 74 20 72 61 74 65 20 6f 66 20 0a 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 al.contact.rate.of..susceptibles
8bc0 20 66 72 6f 6d 20 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 24 69 24 20 69 6e .from.population.subgroup.$i$.in
8be0 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 0a 24 63 5f .activity.group.$s$.must.be..$c_
8c00 69 58 5f 69 66 5f 7b 69 73 7d 24 2e 20 4c 65 74 20 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 24 20 iX_if_{is}$..Let.$\rho_{ij}(s)$.
8c20 62 65 20 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 be.the.fraction.of.the.contacts.
8c40 6f 66 20 67 72 6f 75 70 20 0a 24 69 24 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 77 69 74 68 20 6d 65 6d 62 of.group..$i$.that.are.with.memb
8c60 65 72 73 20 6f 66 20 67 72 6f 75 70 20 24 6a 24 2c 20 77 69 74 68 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 ers.of.group.$j$,.within.activit
8c80 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 0a 41 73 73 75 6d 69 6e 67 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 61 6c y.group.$s$...Assuming.random.al
8ca0 6c 6f 63 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 20 61 6e 64 location.of.the.susceptibles.and
8cc0 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 73 20 66 72 6f 6d 20 65 61 63 68 20 0a 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e .infecteds.from.each..population
8ce0 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 74 6f 20 74 68 65 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 73 .subgroup.to.the.activity.groups
8d00 2c 20 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 69 6e 20 67 72 6f 75 70 ,.the.fraction.infected.in.group
8d20 20 0a 24 6a 24 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 20 6d 75 73 74 ..$j$.in.activity.group.$s$.must
8d40 20 62 65 20 24 59 5f 6a 2f 4e 5f 6a 24 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 0a 24 24 20 63 5f 69 58 5f 69 .be.$Y_j/N_j$,.giving..$$.c_iX_i
8d60 66 5f 7b 69 73 7d 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f f_{is}\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j.\o
8d80 76 65 72 20 4e 5f 6a 7d 5c 6c 65 71 6e 6f 28 36 29 20 20 24 24 20 0a 66 6f 72 20 74 68 65 20 72 ver.N_j}\leqno(6)..$$..for.the.r
8da0 61 74 65 20 61 74 20 77 68 69 63 68 20 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 20 69 6e 20 24 69 24 ate.at.which.susceptibles.in.$i$
8dc0 20 61 72 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 62 79 20 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 0a 77 69 74 68 20 .are.infected.by.contacts..with.
8de0 69 6e 66 65 63 74 65 64 73 20 66 72 6f 6d 20 24 6a 24 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 infecteds.from.$j$.in.activity.g
8e00 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 54 68 75 73 2c 20 69 6e 20 74 68 69 73 20 63 61 73 65 2c 20 24 67 roup.$s$..Thus,.in.this.case,.$g
8e20 5f 69 24 20 69 73 20 0a 67 69 76 65 6e 20 62 79 20 0a 24 24 20 0a 20 67 5f 69 3d 63 5f 69 5c 73 _i$.is..given.by..$$...g_i=c_i\s
8e40 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 5c 73 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 um_sf_{is}\sum_j\rho_{ij}(s)\bet
8e60 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 20 4e 5f 6a 7d 2c 20 0a 5c 6c 65 71 6e 6f 28 37 29 20 0a a_j{Y_j.\over.N_j},..\leqno(7)..
8e80 20 24 24 20 0a 61 6e 64 20 28 31 61 29 20 61 6e 64 20 28 31 62 29 20 62 65 63 6f 6d 65 0a 24 24 .$$..and.(1a).and.(1b).become.$$
8ea0 20 20 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d 2d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 5c 73 ..\dot.X_i=-c_iX_i\sum_sf_{is}\s
8ec0 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 um_j\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j.\ove
8ee0 72 20 0a 4e 5f 6a 7d 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 5f 69 2c 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 38 29 20 20 r..N_j}-\mu.X_i+U_i,.\leqno(8)..
8f00 24 24 20 0a 24 24 20 20 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b $$..$$..\dot.Y_i=c_iX_i\sum_sf_{
8f20 69 73 7d 5c 73 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a is}\sum_j\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j
8f40 20 5c 6f 76 65 72 20 0a 4e 5f 6a 7d 2d 28 5c 6d 75 2b 6b 29 59 5f 69 2e 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 .\over..N_j}-(\mu+k)Y_i..\leqno(
8f60 39 29 20 20 24 24 20 0a 20 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 2e 32 7d 7b 53 74 72 75 63 74 75 72 9)..$$....\heading{3.2}{Structur
8f80 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 20 77 69 74 68 69 6e 20 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 ed.mixing.within..activity.group
8fa0 73 7d 20 0a 49 66 20 74 68 65 20 6d 69 78 69 6e 67 20 77 69 74 68 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 s}..If.the.mixing.within.activit
8fc0 79 20 67 72 6f 75 70 73 20 69 73 20 70 72 6f 70 6f 72 74 69 6f 6e 61 6c 20 6d 69 78 69 6e 67 2c y.groups.is.proportional.mixing,
8fe0 20 74 68 65 6e 20 0a 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 24 20 69 73 20 67 69 76 65 6e 20 62 .then..$\rho_{ij}(s)$.is.given.b
9000 79 20 28 31 30 29 3a 20 0a 24 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 3d 7b 66 5f 7b 6a 73 7d 63 y.(10):..$$\rho_{ij}(s)={f_{js}c
9020 5f 6a 4e 5f 6a 5c 6f 76 65 72 20 5c 73 75 6d 5f 70 66 5f 7b 70 73 7d 63 5f 70 4e 5f 70 7d 2c 20 _jN_j\over.\sum_pf_{ps}c_pN_p},.
9040 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 30 29 24 24 20 0a 61 6e 64 20 28 38 29 20 61 6e 64 20 28 39 29 20 62 65 \leqno(10)$$..and.(8).and.(9).be
9060 63 6f 6d 65 20 28 31 31 29 20 61 6e 64 20 28 31 32 29 3a 20 0a 24 24 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d come.(11).and.(12):..$$\dot.X_i=
9080 2d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 7b 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 7d -c_iX_i\sum_sf_{is}{\sum_jf_{js}
90a0 63 5f 6a 5c 62 65 74 61 5f 6a 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 20 0a 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 c_j\beta_jY_j.\over..\sum_jf_{js
90c0 7d 63 5f 6a 4e 5f 6a 7d 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 5f 69 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 31 29 24 }c_jN_j}-\mu.X_i+U_i.\leqno(11)$
90e0 24 20 0a 24 24 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d $..$$\dot.Y_i=c_iX_i\sum_sf_{is}
9100 7b 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 7d 63 5f 6a 5c 62 65 74 61 5f 6a 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 {\sum_jf_{js}c_j\beta_jY_j.\over
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