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2a60 | 3a 20 63 6f 6d 6d 61 6e 64 20 72 65 74 61 69 6e 73 20 6e 6f 72 6d 61 6c 0a 70 61 72 61 67 72 61 | :.command.retains.normal.paragra |
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2aa0 | 6c 69 67 6e 65 64 20 66 6c 75 73 68 20 72 69 67 68 74 2e 20 46 6f 72 0a 65 78 61 6d 70 6c 65 3a | ligned.flush.right..For.example: |
2ac0 | 0a 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 28 69 29 7d 20 54 68 69 73 20 69 73 20 | ..\verbatim:.\meti{(i)}.This.is. |
2ae0 | 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 69 74 65 6d 2e 0a 5c 6d 65 74 69 7b 28 69 69 29 7d 20 54 68 69 73 | the.first.item..\meti{(ii)}.This |
2b00 | 20 69 73 20 74 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 20 69 74 65 6d 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 65 72 69 65 | .is.the.second.item.of.the.serie |
2b20 | 73 2e 0a 0a 3a 0a 0a 70 72 6f 64 75 63 65 73 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 28 69 29 7d 20 54 68 69 73 | s...:..produces..\meti{(i)}.This |
2b40 | 20 69 73 20 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 69 74 65 6d 2e 0a 5c 6d 65 74 69 7b 28 69 69 29 7d 20 | .is.the.first.item..\meti{(ii)}. |
2b60 | 54 68 69 73 20 69 73 20 74 68 65 20 73 65 63 6f 6e 64 20 69 74 65 6d 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 | This.is.the.second.item.of.the.s |
2b80 | 65 72 69 65 73 2e 20 0a 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 0a 0a 54 68 65 20 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a | eries...\medskip..The.\verbatim: |
2ba0 | 5c 6d 65 74 69 3a 20 6d 61 63 72 6f 20 77 61 73 20 61 64 61 70 74 65 64 20 66 72 6f 6d 20 53 65 | \meti:.macro.was.adapted.from.Se |
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2ca0 | 65 20 73 75 72 72 6f 75 6e 64 69 6e 67 20 74 65 78 74 2e 0a 0a 52 65 66 65 72 65 6e 63 65 73 20 | e.surrounding.text...References. |
2cc0 | 74 6f 20 73 65 63 74 69 6f 6e 73 20 73 68 6f 75 6c 64 20 75 73 65 20 74 68 65 20 73 79 6d 62 6f | to.sections.should.use.the.symbo |
2ce0 | 6c 20 5c 53 2c 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 20 62 79 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 5c 53 3a | l.\S,.generated.by.\verbatim:\S: |
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2d60 | 6f 72 73 20 73 68 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 72 65 64 65 66 69 6e 65 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 | ors.should.not.redefine.\verbati |
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2dc0 | 65 20 72 65 73 65 72 76 65 64 20 66 6f 72 20 75 73 65 20 61 73 20 74 68 65 20 73 65 63 74 69 6f | e.reserved.for.use.as.the.sectio |
2de0 | 6e 20 73 79 6d 62 6f 6c 2e 20 20 0a 0a 41 75 74 68 6f 72 73 20 73 6f 6d 65 74 69 6d 65 73 20 63 | n.symbol.....Authors.sometimes.c |
2e00 | 6f 6e 66 75 73 65 20 74 68 65 20 75 73 65 20 6f 66 20 76 61 72 69 6f 75 73 20 74 79 70 65 73 20 | onfuse.the.use.of.various.types. |
2e20 | 6f 66 20 64 61 73 68 65 73 2e 0a 48 79 70 68 65 6e 73 20 28 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 2d 3a | of.dashes..Hyphens.(\verbatim:-: |
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2e80 | 76 65 20 6e 6f 20 68 79 70 68 65 6e 20 62 75 74 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 72 75 6e 20 74 6f 67 | ve.no.hyphen.but.must.be.run.tog |
2ea0 | 65 74 68 65 72 2c 20 0a 6c 69 6b 65 20 60 60 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 2c 27 27 20 6f 72 20 73 70 6c | ether,..like.``nonzero,''.or.spl |
2ec0 | 69 74 20 61 70 61 72 74 2c 20 6c 69 6b 65 20 60 60 77 65 6c 6c 20 64 65 66 69 6e 65 64 2e 27 27 | it.apart,.like.``well.defined.'' |
2ee0 | 20 0a 4d 69 6e 75 73 20 73 69 67 6e 73 20 28 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 24 2d 24 3a 2c 20 24 | ..Minus.signs.(\verbatim:$-$:,.$ |
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2f20 | 70 72 65 73 65 6e 74 20 73 75 62 74 72 61 63 74 69 6f 6e 20 6f 72 20 6e 65 67 61 74 69 76 65 20 | present.subtraction.or.negative. |
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2f60 | 3a 2c 20 2d 2d 29 20 61 72 65 20 75 73 65 64 20 66 6f 72 20 72 61 6e 67 65 73 20 28 6c 69 6b 65 | :,.--).are.used.for.ranges.(like |
2f80 | 20 33 2d 2d 35 2c 20 0a 4a 75 6e 65 2d 2d 41 75 67 75 73 74 29 2c 20 6f 72 20 66 6f 72 20 6a 6f | .3--5,..June--August),.or.for.jo |
2fa0 | 69 6e 65 64 20 6e 61 6d 65 73 20 28 6c 69 6b 65 20 52 75 6e 67 65 2d 2d 4b 75 74 74 61 29 2e 20 | ined.names.(like.Runge--Kutta).. |
2fc0 | 45 6d 20 64 61 73 68 65 73 0a 28 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 2d 2d 2d 3a 2c 20 2d 2d 2d 29 20 | Em.dashes.(\verbatim:---:,.---). |
2fe0 | 61 72 65 20 75 73 65 64 20 74 6f 20 73 65 74 20 6f 66 66 20 61 20 63 6c 61 75 73 65 2d 2d 2d 73 | are.used.to.set.off.a.clause---s |
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3020 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 65 6e 74 65 6e 63 65 2e 20 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 34 2e 32 | .of.the.sentence....\heading{4.2 |
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3060 | 54 68 65 6f 72 65 6d 73 2c 20 6c 65 6d 6d 61 73 2c 20 70 72 6f 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 73 2c 20 | Theorems,.lemmas,.propositions,. |
3080 | 61 6e 64 20 73 6f 20 66 6f 72 74 68 2c 20 68 61 76 65 20 6d 61 63 72 6f 73 20 69 6e 63 6c 75 64 | and.so.forth,.have.macros.includ |
30a0 | 65 64 0a 66 6f 72 20 63 6f 72 72 65 63 74 20 66 6f 72 6d 61 74 74 69 6e 67 2e 20 42 65 6c 6f 77 | ed.for.correct.formatting..Below |
30c0 | 20 69 73 20 61 6e 20 65 78 61 6d 70 6c 65 2e 0a 0a 5c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3a 0a 5c 74 68 6d | .is.an.example...\verbatim:.\thm |
30e0 | 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 34 2e 31 7d 0a 53 61 6d 70 6c 65 20 74 68 65 6f 72 65 6d 20 69 6e 63 | {Theorem.4.1}.Sample.theorem.inc |
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31a0 | 3d 20 59 5e 32 20 5c 73 69 6e 20 7a 5e 32 20 5c 68 62 6f 78 7b 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 7d 20 | =.Y^2.\sin.z^2.\hbox{.for.all.}. |
31c0 | 78 20 24 24 0a 77 69 6c 6c 20 61 70 70 65 61 72 20 69 6e 20 69 74 61 6c 69 63 20 74 79 70 65 20 | x.$$.will.appear.in.italic.type. |
31e0 | 69 6e 20 61 20 74 68 65 6f 72 65 6d 2c 20 74 68 6f 75 67 68 20 6e 6f 72 6d 61 6c 6c 79 0a 74 68 | in.a.theorem,.though.normally.th |
3200 | 65 79 20 73 68 6f 75 6c 64 20 61 70 70 65 61 72 20 69 6e 20 72 6f 6d 61 6e 2e 5c 65 6e 64 74 68 | ey.should.appear.in.roman.\endth |
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5440 | 2c 20 61 6e 64 20 61 6c 69 67 6e 65 64 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 2c 20 61 6d 6f 6e 67 20 6f | ,.and.aligned.equations,.among.o |
5460 | 74 68 65 72 73 2e 0a 53 6f 6d 65 20 73 70 65 63 69 61 6c 20 63 69 72 63 75 6d 73 74 61 6e 63 65 | thers..Some.special.circumstance |
5480 | 73 20 61 72 65 20 6e 6f 74 20 64 65 61 6c 74 20 77 69 74 68 20 74 68 69 73 20 74 68 65 0a 73 61 | s.are.not.dealt.with.this.the.sa |
54a0 | 6d 70 6c 65 20 66 69 6c 65 3b 20 66 6f 72 20 74 68 61 74 20 69 6e 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2c | mple.file;.for.that.information, |
54c0 | 20 70 6c 65 61 73 65 20 73 65 65 20 74 68 65 0a 61 73 73 6f 63 69 61 74 65 64 20 64 6f 63 75 6d | .please.see.the.associated.docum |
54e0 | 65 6e 74 61 74 69 6f 6e 20 66 69 6c 65 2e 0a 0a 7b 5c 69 74 20 4e 6f 74 65 7d 2e 20 54 68 69 73 | entation.file...{\it.Note}..This |
5500 | 20 70 61 70 65 72 20 69 73 20 6e 6f 74 20 74 6f 20 62 65 20 72 65 61 64 20 69 6e 20 61 6e 79 20 | .paper.is.not.to.be.read.in.any. |
5520 | 66 6f 72 6d 20 66 6f 72 0a 63 6f 6e 74 65 6e 74 2e 20 54 68 65 20 63 6f 6e 67 6c 6f 6d 65 72 61 | form.for.content..The.conglomera |
5540 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 2c 20 6c 65 6d 6d 61 73 2c 20 61 6e 64 20 6f | tion.of.equations,.lemmas,.and.o |
5560 | 74 68 65 72 0a 74 65 78 74 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 77 65 72 65 20 70 75 74 20 74 6f 67 65 | ther.text.elements.were.put.toge |
5580 | 74 68 65 72 20 73 6f 6c 65 6c 79 20 66 6f 72 20 74 79 70 6f 67 72 61 70 68 69 63 0a 69 6c 6c 75 | ther.solely.for.typographic.illu |
55a0 | 73 74 72 61 74 69 76 65 20 70 75 72 70 6f 73 65 73 2e 0a 0a 46 6f 72 20 74 68 65 6f 72 65 74 69 | strative.purposes...For.theoreti |
55c0 | 63 61 6c 20 72 65 61 73 6f 6e 73 2c 20 69 74 20 69 73 20 64 65 73 69 72 61 62 6c 65 20 74 6f 20 | cal.reasons,.it.is.desirable.to. |
55e0 | 66 69 6e 64 20 63 68 61 72 61 63 74 65 72 69 7a 61 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 74 68 65 0a 63 6f | find.characterizations.of.the.co |
5600 | 6e 64 69 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 61 6c 67 | nditions.of.breakdown.of.the.alg |
5620 | 6f 72 69 74 68 6d 73 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 62 61 73 65 64 20 6f 6e 20 74 68 65 20 6b 65 | orithms.that.are.based.on.the.ke |
5640 | 79 20 7b 5c 69 74 0a 73 70 61 63 65 73 7d 20 24 5c 4b 72 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 | y.{\it.spaces}.$\Kr_n(r^{(0)},A) |
5660 | 24 20 61 6e 64 20 24 5c 4b 72 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 | $.and.$\Kr_n(\tilde.r^{(0)},A^*) |
5680 | 24 20 72 61 74 68 65 72 20 74 68 61 6e 0a 74 68 65 20 7b 5c 69 74 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 73 7d | $.rather.than.the.{\it.formulas} |
56a0 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 2e 20 20 49 6e 20 70 61 72 74 69 63 75 | .for.the.algorithms...In.particu |
56c0 | 6c 61 72 2c 20 77 65 20 77 69 6c 6c 0a 63 68 61 72 61 63 74 65 72 69 7a 65 20 62 72 65 61 6b 64 | lar,.we.will.characterize.breakd |
56e0 | 6f 77 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 68 72 65 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 61 6c 67 6f 72 69 74 | own.of.the.three.Lanczos.algorit |
5700 | 68 6d 73 20 69 6e 20 74 65 72 6d 73 20 6f 66 20 74 68 65 0a 7b 5c 69 74 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 | hms.in.terms.of.the.{\it.moment. |
5720 | 6d 61 74 72 69 63 65 73 7d 20 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 | matrices}.$\K_n(\tilde.r^{(0)},A |
5740 | 5e 2a 29 5e 2a 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 20 61 6e 64 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 | ^*)^*\K_n(r^{(0)},A)$.and.$\K_n( |
5760 | 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 | \tilde.r^{(0)},A^*)^*A\K_n(r^{(0 |
5780 | 29 7d 2c 41 29 24 2e 20 20 48 65 72 65 20 77 65 20 64 65 66 69 6e 65 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 | )},A)$...Here.we.define.the.matr |
57a0 | 69 78 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 76 2c 41 29 3d 5c 62 6d 61 74 72 69 78 7b 76 26 41 76 26 5c 63 64 6f | ix.$\K_n(v,A)=\bmatrix{v&Av&\cdo |
57c0 | 74 73 26 41 5e 7b 6e 2d 31 7d 76 5c 63 72 7d 24 2c 20 61 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 68 6f 73 65 | ts&A^{n-1}v\cr}$,.a.matrix.whose |
57e0 | 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 73 70 61 6e 0a 74 68 65 20 4b 72 79 6c 6f 76 20 73 70 61 63 65 20 24 | .columns.span.the.Krylov.space.$ |
5800 | 5c 4b 72 5f 6e 28 76 2c 41 29 24 2e 0a 0a 54 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 74 68 72 65 | \Kr_n(v,A)$...The.following.thre |
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5860 | 72 69 74 68 6d 73 2e 20 20 44 65 74 61 69 6c 65 64 20 70 72 6f 6f 66 73 20 6d 61 79 20 62 65 20 | rithms...Detailed.proofs.may.be. |
5880 | 66 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 5b 33 5d 2e 20 20 41 0a 72 65 73 75 6c 74 20 73 69 6d 69 6c 61 72 20 | found.in.[3]...A.result.similar. |
58a0 | 74 6f 20 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 20 69 73 20 66 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 5b 31 5d 3b 20 73 65 | to.Theorem.2.is.found.in.[1];.se |
58c0 | 65 20 61 6c 73 6f 20 5b 35 5d 2e 0a 0a 0a 5c 74 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 31 20 7b 5c 72 | e.also.[5]....\thm{Theorem.1.{\r |
58e0 | 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 2d 4f 72 74 68 6f 64 69 72 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 29 7d | m.(Lanczos--Orthodir.breakdown)} |
5900 | 7d 0a 53 75 70 70 6f 73 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2f 4f 72 74 68 6f 64 69 72 20 68 61 73 20 73 | }.Suppose.Lanczos/Orthodir.has.s |
5920 | 75 63 63 65 73 73 66 75 6c 6c 79 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 0a 24 75 5e 7b 28 6e 2d 31 29 7d | uccessfully.generated.$u^{(n-1)} |
5940 | 5c 6e 6f 74 3d 75 24 2e 20 20 54 68 65 6e 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 61 72 65 | \not=u$...Then.the.following.are |
5960 | 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 3a 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 | .equivalent:..\meti{$\bullet$}.T |
5980 | 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 64 6f 65 73 20 6e 6f 74 20 62 72 65 61 6b 20 64 6f 77 6e | he.algorithm.does.not.break.down |
59a0 | 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 | .at.step.$n$...\meti{$\bullet$}. |
59c0 | 54 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c | The.matrix.$\K_n(\tilde.r^{(0)}, |
59e0 | 41 5e 2a 29 5e 2a 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 0a 69 73 20 6e 6f 6e 73 69 | A^*)^*A\K_n(r^{(0)},A)$.is.nonsi |
5a00 | 6e 67 75 6c 61 72 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 68 65 72 65 20 | ngular...\meti{$\bullet$}.There. |
5a20 | 65 78 69 73 74 73 20 61 20 75 6e 69 71 75 65 20 69 74 65 72 61 74 65 20 24 75 5e 7b 28 6e 29 7d | exists.a.unique.iterate.$u^{(n)} |
5a40 | 24 20 73 61 74 69 73 66 79 69 6e 67 20 24 28 32 29 24 2e 0a 5c 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 74 | $.satisfying.$(2)$..\endthm...\t |
5a60 | 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 20 7b 5c 72 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 2d 4f 72 74 68 | hm{Theorem.2.{\rm.(Lanczos--Orth |
5a80 | 6f 6d 69 6e 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 29 7d 7d 0a 53 75 70 70 6f 73 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f | omin.breakdown)}}.Suppose.Lanczo |
5aa0 | 73 2f 4f 72 74 68 6f 6d 69 6e 20 68 61 73 20 73 75 63 63 65 73 73 66 75 6c 6c 79 20 67 65 6e 65 | s/Orthomin.has.successfully.gene |
5ac0 | 72 61 74 65 64 20 24 75 5e 7b 28 6e 2d 31 29 7d 5c 6e 6f 74 3d 75 24 2e 0a 54 68 65 6e 20 74 68 | rated.$u^{(n-1)}\not=u$..Then.th |
5ae0 | 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 61 72 65 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 3a 0a 0a 5c 6d 65 | e.following.are.equivalent:..\me |
5b00 | 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 54 68 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 62 72 65 61 | ti{$\bullet$}.The.algorithm.brea |
5b20 | 6b 73 20 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 | ks.down.at.step.$n$...\meti{$\bu |
5b40 | 6c 6c 65 74 24 7d 20 45 69 74 68 65 72 0a 24 5c 4b 5f 7b 6e 2d 31 7d 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 | llet$}.Either.$\K_{n-1}(\tilde.r |
5b60 | 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a 5c 4b 5f 7b 6e 2d 31 7d 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 | ^{(0)},A^*)^*\K_{n-1}(r^{(0)},A) |
5b80 | 24 20 6f 72 0a 24 5c 4b 5f 6e 28 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 5e 2a 29 5e 2a | $.or.$\K_n(\tilde.r^{(0)},A^*)^* |
5ba0 | 41 5c 4b 5f 6e 28 72 5e 7b 28 30 29 7d 2c 41 29 24 20 69 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 2e 0a 5c | A\K_n(r^{(0)},A)$.is.singular..\ |
5bc0 | 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 70 72 6f 70 7b 50 72 6f 70 6f 73 69 74 69 6f 6e 20 33 20 7b 5c 72 | endthm...\prop{Proposition.3.{\r |
5be0 | 6d 20 28 7a 65 72 6f 20 73 65 74 73 20 6f 66 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 73 29 7d 7d 0a 4c | m.(zero.sets.of.polynomials)}}.L |
5c00 | 65 74 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 6f 72 20 24 5c 66 43 24 2e 20 20 49 66 20 24 50 24 20 69 | et.$\fK=\fR$.or.$\fC$...If.$P$.i |
5c20 | 73 20 61 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 69 | s.a.complex.nonzero.polynomial.i |
5c40 | 6e 20 74 68 65 0a 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 20 24 78 5f 31 2c 78 5f 32 2c 5c 6c 64 6f 74 73 20 | n.the.variables.$x_1,x_2,\ldots. |
5c60 | 2c 78 5f 4e 5c 69 6e 5c 66 4b 24 2c 20 74 68 65 6e 20 24 50 28 78 29 5c 6e 6f 74 3d 30 24 20 66 | ,x_N\in\fK$,.then.$P(x)\not=0$.f |
5c80 | 6f 72 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 0a 24 78 3d 28 78 5f 31 2c 78 5f 32 2c 5c 6c 64 6f | or.almost.every.$x=(x_1,x_2,\ldo |
5ca0 | 74 73 2c 78 5f 4e 29 5c 69 6e 20 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 0a 5c 65 6e 64 70 72 6f 70 0a 0a 5c 70 72 | ts,x_N)\in.\fK^N$..\endprop..\pr |
5cc0 | 66 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 49 66 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 61 6e 64 20 24 50 24 20 69 73 | f{Proof}.If.$\fK=\fR$.and.$P$.is |
5ce0 | 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 2c 20 74 68 65 6e 20 65 69 74 68 65 72 20 24 5c 52 65 20 50 28 7a 29 24 | .nonzero,.then.either.$\Re.P(z)$ |
5d00 | 20 6f 72 20 24 5c 49 6d 20 50 28 7a 29 24 0a 69 73 20 61 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 28 72 65 61 | .or.$\Im.P(z)$.is.a.nonzero.(rea |
5d20 | 6c 29 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 3b 20 69 66 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 43 24 2c 20 77 65 20 | l).polynomial;.if.$\fK=\fC$,.we. |
5d40 | 6d 61 79 20 64 65 63 6f 6d 70 6f 73 65 20 65 61 63 68 20 24 78 5f 69 24 0a 69 6e 74 6f 20 72 65 | may.decompose.each.$x_i$.into.re |
5d60 | 61 6c 20 61 6e 64 20 69 6d 61 67 69 6e 61 72 79 20 70 61 72 74 73 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 24 | al.and.imaginary.parts,.giving.$ |
5d80 | 32 4e 24 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 2c 20 61 6e 64 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 0a | 2N$.variables,.and.consider.the. |
5da0 | 72 65 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 24 50 28 78 29 5e 2a 50 28 78 29 24 2e 20 20 49 | real.polynomial.$P(x)^*P(x)$...I |
5dc0 | 6e 20 61 6e 79 20 63 61 73 65 2c 20 77 65 20 6d 61 79 20 61 73 73 75 6d 65 20 77 69 74 68 6f 75 | n.any.case,.we.may.assume.withou |
5de0 | 74 20 6c 6f 73 73 20 6f 66 0a 67 65 6e 65 72 61 6c 69 74 79 20 74 68 61 74 20 24 50 24 20 69 73 | t.loss.of.generality.that.$P$.is |
5e00 | 20 61 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 72 65 61 6c 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f 66 20 72 65 | .a.nonzero.real.polynomial.of.re |
5e20 | 61 6c 20 76 61 72 69 61 62 6c 65 73 2e 0a 0a 57 65 20 6b 6e 6f 77 20 74 68 61 74 20 66 6f 72 20 | al.variables...We.know.that.for. |
5e40 | 61 6e 79 20 70 6f 69 6e 74 20 24 78 24 2c 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 24 50 | any.point.$x$,.the.polynomial.$P |
5e60 | 24 20 69 73 20 74 68 65 20 7a 65 72 6f 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 0a 69 66 20 61 6e 64 20 | $.is.the.zero.polynomial.if.and. |
5e80 | 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 74 68 65 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 6e 64 20 61 6c 6c 20 69 | only.if.the.polynomial.and.all.i |
5ea0 | 74 73 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 61 74 20 24 78 24 2e 0a | ts.derivatives.are.zero.at.$x$.. |
5ec0 | 4c 65 74 20 24 56 5f 30 24 20 64 65 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 7a 65 72 6f | Let.$V_0$.denote.the.set.of.zero |
5ee0 | 73 20 6f 66 20 24 50 24 20 69 6e 20 24 5c 66 52 5e 4e 24 2e 20 20 53 75 70 70 6f 73 65 20 74 68 | s.of.$P$.in.$\fR^N$...Suppose.th |
5f00 | 65 20 73 65 74 0a 24 56 5f 30 24 20 68 61 73 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 6d 65 61 73 75 72 65 2e | e.set.$V_0$.has.nonzero.measure. |
5f20 | 20 20 57 65 20 6b 6e 6f 77 20 66 72 6f 6d 20 69 6e 74 65 67 72 61 74 69 6f 6e 20 74 68 65 6f 72 | ..We.know.from.integration.theor |
5f40 | 79 20 28 73 65 65 2c 20 66 6f 72 0a 65 78 61 6d 70 6c 65 2c 20 5b 36 2c 20 70 70 2e 5c 20 31 32 | y.(see,.for.example,.[6,.pp.\.12 |
5f60 | 38 66 5d 29 20 74 68 61 74 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 | 8f]).that.almost.every.point.of. |
5f80 | 24 56 5f 30 24 20 69 73 0a 61 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 64 65 6e 73 69 74 79 20 69 6e 20 65 | $V_0$.is.a.point.of.density.in.e |
5fa0 | 61 63 68 20 6f 66 20 74 68 65 20 24 4e 24 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 20 64 69 72 65 63 74 | ach.of.the.$N$.coordinate.direct |
5fc0 | 69 6f 6e 73 2e 20 20 57 65 20 72 65 63 61 6c 6c 0a 74 68 61 74 20 24 78 5c 69 6e 5c 66 52 24 20 | ions...We.recall.that.$x\in\fR$. |
5fe0 | 69 73 20 61 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 64 65 6e 73 69 74 79 20 6f 66 20 61 20 6d 65 61 73 75 | is.a.point.of.density.of.a.measu |
6000 | 72 61 62 6c 65 20 73 75 62 73 65 74 0a 24 53 5c 73 75 62 73 65 74 65 71 5c 66 52 24 20 69 66 20 | rable.subset.$S\subseteq\fR$.if. |
6020 | 66 6f 72 20 61 6e 79 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 69 6e 74 65 72 76 61 6c 73 20 24 49 | for.any.sequence.of.intervals.$I |
6040 | 5f 6e 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 0a 24 78 5c 69 6e 20 49 5f 6e 24 20 77 69 74 68 20 6d 65 | _n$.such.that.$x\in.I_n$.with.me |
6060 | 61 73 75 72 65 20 24 6d 28 49 5f 6e 29 5c 72 69 67 68 74 61 72 72 6f 77 20 30 24 20 77 65 20 68 | asure.$m(I_n)\rightarrow.0$.we.h |
6080 | 61 76 65 0a 24 6d 28 53 5c 63 61 70 20 49 5f 6e 29 2f 6d 28 49 5f 6e 29 5c 72 69 67 68 74 61 72 | ave.$m(S\cap.I_n)/m(I_n)\rightar |
60a0 | 72 6f 77 20 31 24 2e 0a 0a 49 74 20 69 73 20 65 61 73 69 6c 79 20 73 65 65 6e 20 74 68 61 74 20 | row.1$...It.is.easily.seen.that. |
60c0 | 61 74 20 73 75 63 68 20 70 6f 69 6e 74 73 20 69 6e 20 24 56 5f 30 24 2c 20 74 68 65 20 66 69 72 | at.such.points.in.$V_0$,.the.fir |
60e0 | 73 74 0a 70 61 72 74 69 61 6c 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 6f 66 20 24 50 24 20 6d 75 | st.partial.derivatives.of.$P$.mu |
6100 | 73 74 20 6e 65 63 65 73 73 61 72 69 6c 79 20 62 65 20 7a 65 72 6f 2e 20 20 4c 65 74 20 24 56 5f | st.necessarily.be.zero...Let.$V_ |
6120 | 31 24 20 62 65 20 74 68 65 0a 70 6f 69 6e 74 73 20 6f 66 20 24 56 5f 30 24 20 77 68 65 72 65 20 | 1$.be.the.points.of.$V_0$.where. |
6140 | 61 6c 6c 20 66 69 72 73 74 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 61 6c 73 6f 20 7a | all.first.derivatives.are.also.z |
6160 | 65 72 6f 2e 20 20 57 65 20 68 61 76 65 20 6a 75 73 74 0a 73 68 6f 77 6e 20 74 68 61 74 20 24 56 | ero...We.have.just.shown.that.$V |
6180 | 5f 30 24 20 61 6e 64 20 24 56 5f 31 24 20 62 6f 74 68 20 68 61 76 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 | _0$.and.$V_1$.both.have.the.same |
61a0 | 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 20 6d 65 61 73 75 72 65 2e 20 20 54 68 65 0a 61 72 67 75 6d 65 6e 74 0a | .nonzero.measure...The.argument. |
61c0 | 6d 61 79 20 62 65 20 72 65 70 65 61 74 65 64 20 66 6f 72 20 24 56 5f 31 24 20 74 6f 20 73 68 6f | may.be.repeated.for.$V_1$.to.sho |
61e0 | 77 20 61 6c 6c 20 73 65 63 6f 6e 64 20 70 61 72 74 69 61 6c 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 | w.all.second.partial.derivatives |
6200 | 20 6f 66 20 24 66 24 0a 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 61 74 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 | .of.$f$.are.zero.at.almost.every |
6220 | 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 24 56 5f 30 24 2c 20 61 6e 64 20 73 6f 20 66 6f 72 74 68 2c 20 72 | .point.of.$V_0$,.and.so.forth,.r |
6240 | 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 69 6e 20 74 68 65 0a 66 61 63 74 20 74 68 61 74 20 24 50 24 20 61 6e | esulting.in.the.fact.that.$P$.an |
6260 | 64 20 61 6c 6c 20 69 74 73 20 64 65 72 69 76 61 74 69 76 65 73 20 61 72 65 20 7a 65 72 6f 20 6f | d.all.its.derivatives.are.zero.o |
6280 | 6e 20 61 20 73 65 74 20 77 68 69 63 68 20 68 61 73 20 6e 6f 6e 7a 65 72 6f 0a 6d 65 61 73 75 72 | n.a.set.which.has.nonzero.measur |
62a0 | 65 2e 20 20 54 68 65 20 70 72 6f 6f 66 20 69 73 20 63 6f 6d 70 6c 65 74 65 64 20 62 79 20 73 65 | e...The.proof.is.completed.by.se |
62c0 | 6c 65 63 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 6f 6e 65 20 6f 66 20 74 68 65 73 65 20 70 6f 69 6e 74 73 2e | lecting.any.one.of.these.points. |
62e0 | 0a 5c 71 71 75 61 64 5c 65 6e 64 70 72 6f 6f 66 0a 0a 5c 74 68 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 34 | .\qquad\endproof..\thm{Theorem.4 |
6300 | 20 7b 5c 72 6d 20 28 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 2c 20 69 74 65 72 61 74 | .{\rm.(Lanczos.breakdown,.iterat |
6320 | 65 20 24 6e 24 29 7d 7d 0a 4c 65 74 20 24 5c 66 4b 3d 5c 66 52 24 20 6f 72 20 24 5c 66 43 24 2c | e.$n$)}}.Let.$\fK=\fR$.or.$\fC$, |
6340 | 20 24 41 2c 20 5c 74 69 6c 64 65 20 5a 5c 69 6e 5c 66 4b 5e 7b 4e 5c 74 69 6d 65 73 20 4e 7d 24 | .$A,.\tilde.Z\in\fK^{N\times.N}$ |
6360 | 2c 20 61 6e 64 20 24 6e 5c 6c 65 71 20 64 28 41 29 24 2e 0a 54 68 65 6e 20 65 78 61 63 74 6c 79 | ,.and.$n\leq.d(A)$..Then.exactly |
6380 | 20 6f 6e 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 74 68 72 65 65 20 63 6f 6e 64 | .one.of.the.following.three.cond |
63a0 | 69 74 69 6f 6e 73 20 68 6f 6c 64 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 0a 6d 65 74 | itions.holds.for.the.Lanczos.met |
63c0 | 68 6f 64 20 77 69 74 68 20 24 5c 74 69 6c 64 65 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 3d 5c 74 69 6c 64 65 20 | hod.with.$\tilde.r^{(0)}=\tilde. |
63e0 | 5a 5e 2a 20 72 5e 7b 28 30 29 7d 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 29 7d 20 48 61 | Z^*.r^{(0)}$...\meti{\rm.(i)}.Ha |
6400 | 72 64 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 | rd.breakdown.at.step.$n$.occurs. |
6420 | 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f | for.every.vector.$r^{(0)}\in\sT_ |
6440 | 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 20 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 61 74 20 6c 65 | n(A)\cap\fK^N$.$($and.thus.at.le |
6460 | 61 73 74 20 66 6f 72 20 61 6c 6d 6f 73 74 20 65 76 65 72 79 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e | ast.for.almost.every.$r^{(0)}\in |
6480 | 5c 66 4b 5e 4e 29 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 69 29 7d 20 48 61 72 64 20 62 | \fK^N)$...\meti{\rm.(ii)}.Hard.b |
64a0 | 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 66 6f 72 20 | reakdown.at.step.$n$.occurs.for. |
64c0 | 61 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 20 6d 65 61 73 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 0a 73 65 74 20 6f 66 20 76 | a.nonempty.measure-zero.set.of.v |
64e0 | 65 63 74 6f 72 73 20 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c 66 | ectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap\f |
6500 | 4b 5e 4e 24 0a 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 61 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 20 6d 65 61 73 | K^N$.$($and.thus.a.nonempty.meas |
6520 | 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 20 73 65 74 20 6f 66 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e | ure-zero.set.of.vectors.in.$\fK^ |
6540 | 4e 29 24 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 5c 72 6d 20 28 69 69 69 29 7d 20 48 61 72 64 20 62 72 65 61 | N)$...\meti{\rm.(iii)}.Hard.brea |
6560 | 6b 64 6f 77 6e 20 61 74 20 73 74 65 70 20 24 6e 24 20 6f 63 63 75 72 73 20 66 6f 72 20 6e 6f 20 | kdown.at.step.$n$.occurs.for.no. |
6580 | 76 65 63 74 6f 72 73 0a 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 5c | vectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap\ |
65a0 | 66 4b 5e 4e 24 20 24 28 24 61 6e 64 20 74 68 75 73 20 66 6f 72 20 61 74 20 6d 6f 73 74 20 61 20 | fK^N$.$($and.thus.for.at.most.a. |
65c0 | 6d 65 61 73 75 72 65 2d 7a 65 72 6f 20 73 65 74 20 6f 66 0a 76 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 20 24 | measure-zero.set.of.vectors.in.$ |
65e0 | 5c 66 4b 5e 4e 29 24 2e 0a 0a 46 75 72 74 68 65 72 6d 6f 72 65 2c 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 | \fK^N)$...Furthermore,.the.same. |
6600 | 72 65 73 75 6c 74 20 68 6f 6c 64 73 20 69 66 20 60 60 68 61 72 64 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e | result.holds.if.``hard.breakdown |
6620 | 27 27 20 69 73 20 72 65 70 6c 61 63 65 64 20 62 79 0a 60 60 73 6f 66 74 20 62 72 65 61 6b 64 6f | ''.is.replaced.by.``soft.breakdo |
6640 | 77 6e 27 27 20 69 6e 20 74 68 65 20 73 74 61 74 65 6d 65 6e 74 20 6f 66 20 74 68 69 73 20 74 68 | wn''.in.the.statement.of.this.th |
6660 | 65 6f 72 65 6d 2e 0a 5c 65 6e 64 74 68 6d 0a 0a 0a 5c 70 72 66 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 46 6f 72 | eorem..\endthm...\prf{Proof}.For |
6680 | 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 24 72 5e 7b 28 30 29 7d 5c 69 6e 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 70 | .vectors.$r^{(0)}\in\sT_n(A)\cap |
66a0 | 5c 66 4b 5e 4e 24 2c 20 62 72 65 61 6b 64 6f 77 6e 20 69 73 20 65 71 75 69 76 61 6c 65 6e 74 20 | \fK^N$,.breakdown.is.equivalent. |
66c0 | 74 6f 0a 73 69 6e 67 75 6c 61 72 69 74 79 20 6f 66 20 61 6e 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 | to.singularity.of.an.appropriate |
66e0 | 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 2e 20 20 54 68 65 20 73 65 74 20 24 5c 73 54 5f 6e 28 | .moment.matrix...The.set.$\sT_n( |
6700 | 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 0a 61 6d 6f 75 6e 74 73 20 74 6f 20 61 6c 6d 6f 73 74 0a 65 | A)\cap\fK^N$.amounts.to.almost.e |
6720 | 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 20 20 4e 6f 77 2c 20 62 79 | very.vector.in.$\fK^N$...Now,.by |
6740 | 20 43 6f 72 6f 6c 6c 61 72 79 20 35 2c 20 74 68 65 20 73 65 74 20 24 53 5f 6e 24 20 6f 66 20 76 | .Corollary.5,.the.set.$S_n$.of.v |
6760 | 65 63 74 6f 72 73 20 69 6e 0a 24 5c 66 4b 5e 4e 24 20 66 6f 72 20 77 68 69 63 68 20 74 68 65 20 | ectors.in.$\fK^N$.for.which.the. |
6780 | 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 20 6f 66 20 64 69 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 24 6e 24 20 69 | moment.matrix.of.dimension.$n$.i |
67a0 | 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 69 73 20 65 69 74 68 65 72 0a 74 68 65 20 73 65 74 20 6f 66 20 | s.singular.is.either.the.set.of. |
67c0 | 61 6c 6c 20 76 65 63 74 6f 72 73 20 6f 72 20 61 20 73 75 62 73 65 74 20 6f 66 20 6d 65 61 73 75 | all.vectors.or.a.subset.of.measu |
67e0 | 72 65 20 7a 65 72 6f 2e 20 20 49 66 20 74 68 65 20 6d 6f 6d 65 6e 74 20 6d 61 74 72 69 78 0a 69 | re.zero...If.the.moment.matrix.i |
6800 | 73 20 73 69 6e 67 75 6c 61 72 20 66 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 28 69 2e 65 | s.singular.for.every.vector.(i.e |
6820 | 2e 2c 20 24 53 5f 6e 3d 5c 66 4b 5e 4e 24 29 2c 20 74 68 65 6e 20 69 74 20 69 73 20 73 69 6e 67 | .,.$S_n=\fK^N$),.then.it.is.sing |
6840 | 75 6c 61 72 20 66 6f 72 0a 65 76 65 72 79 20 76 65 63 74 6f 72 20 69 6e 20 24 5c 73 54 5f 6e 28 | ular.for.every.vector.in.$\sT_n( |
6860 | 41 29 5c 63 61 70 5c 66 4b 5e 4e 24 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 63 61 73 65 20 28 69 29 20 61 62 | A)\cap\fK^N$,.giving.case.(i).ab |
6880 | 6f 76 65 2e 20 20 4f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 74 68 65 0a 73 65 74 20 24 53 5f 6e 24 20 69 73 | ove...Otherwise.the.set.$S_n$.is |
68a0 | 20 6d 65 61 73 75 72 65 20 7a 65 72 6f 20 69 6e 20 24 5c 66 4b 5e 4e 24 2e 20 20 54 68 75 73 0a | .measure.zero.in.$\fK^N$...Thus. |
68c0 | 24 5c 73 42 5f 6e 5c 65 71 75 69 76 20 53 5f 6e 5c 63 61 70 28 5c 73 54 5f 6e 28 41 29 5c 63 61 | $\sB_n\equiv.S_n\cap(\sT_n(A)\ca |
68e0 | 70 5c 66 4b 5e 4e 29 24 20 69 73 20 6f 66 20 6d 65 61 73 75 72 65 20 7a 65 72 6f 0a 61 6e 64 20 | p\fK^N)$.is.of.measure.zero.and. |
6900 | 69 73 20 65 69 74 68 65 72 20 65 6d 70 74 79 20 6f 72 20 6e 6f 6e 65 6d 70 74 79 2e 0a 5c 71 71 | is.either.empty.or.nonempty..\qq |
6920 | 75 61 64 5c 65 6e 64 70 72 6f 6f 66 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 32 7d 7b 54 61 62 6c 65 73 | uad\endproof..\heading{2}{Tables |
6940 | 20 61 6e 64 20 66 69 67 75 72 65 73 7d 0a 49 6e 20 54 61 62 6c 65 73 20 31 20 61 6e 64 20 32 20 | .and.figures}.In.Tables.1.and.2. |
6960 | 77 65 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 20 75 6e 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 | we.consider.the.unpreconditioned |
6980 | 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 61 6e 64 20 61 6c 73 6f 20 74 68 65 20 28 6c 65 66 74 29 20 0a 49 4c | .problem.and.also.the.(left)..IL |
69a0 | 55 2d 20 61 6e 64 20 4d 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c | U-.and.MILU-preconditioned.probl |
69c0 | 65 6d 20 28 73 65 65 20 5b 32 5d 20 61 6e 64 20 5b 34 5d 29 2e 20 20 52 75 6e 73 20 66 6f 72 20 | em.(see.[2].and.[4])...Runs.for. |
69e0 | 77 68 69 63 68 20 0a 63 6f 6e 76 65 72 67 65 6e 63 65 20 77 61 73 20 6e 6f 74 20 70 6f 73 73 69 | which..convergence.was.not.possi |
6a00 | 62 6c 65 20 69 6e 20 49 54 4d 41 58 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 6c 61 62 65 | ble.in.ITMAX.iterations.are.labe |
6a20 | 6c 65 64 20 62 79 20 28 2d 2d 29 2e 0a 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 5c 68 62 6f 78 7b | led.by.(--)....\topinsert.\hbox{ |
6a40 | 5c 76 62 6f 78 7b 20 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 0a 7b 5c 70 61 72 69 6e 64 65 6e 74 20 30 | \vbox{.\eightpoint.{\parindent.0 |
6a60 | 70 74 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 73 6d 63 20 54 61 62 6c 65 20 31 7d 0a 5c 63 65 | pt.\centerline{\smc.Table.1}.\ce |
6a80 | 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 69 74 20 4d 6f 64 65 6c 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 2c 20 24 68 5e 7b | nterline{\it.Model.problem,.$h^{ |
6aa0 | 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 7b 5c 72 6d 20 49 54 4d 41 58 3d 33 30 30 30 7d 2e 0a 20 20 20 20 | -1}=128$,.{\rm.ITMAX=3000}...... |
6ac0 | 20 20 20 20 20 20 20 20 4e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 2e 7d 5c 76 | ........Number.of.iterations.}\v |
6ae0 | 73 6b 69 70 20 36 70 74 0a 5c 68 66 69 6c 5c 76 62 6f 78 7b 5c 6f 66 66 69 6e 74 65 72 6c 69 6e | skip.6pt.\hfil\vbox{\offinterlin |
6b00 | 65 73 6b 69 70 0a 5c 68 72 75 6c 65 0a 5c 68 61 6c 69 67 6e 7b 26 5c 76 72 75 6c 65 23 26 5c 73 | eskip.\hrule.\halign{&\vrule#&\s |
6b20 | 74 72 75 74 5c 20 5c 68 66 69 6c 23 5c 20 5c 63 72 0a 68 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 | trut\.\hfil#\.\cr.height2pt&\omi |
6b40 | 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 | t&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit..& |
6b60 | 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d | &\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\om |
6b80 | 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 6d 65 74 68 6f 64 20 24 5c 62 61 63 | it&&\omit&\cr.&{\rm.method.$\bac |
6ba0 | 6b 73 6c 61 73 68 24 20 44 68 3a 20 7d 20 26 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 | kslash$.Dh:.}.&................. |
6bc0 | 20 20 20 26 30 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 32 7d 24 26 26 32 | ...&0&&2${}^{-3}$&&2${}^{-2}$&&2 |
6be0 | 24 7b 7d 5e 7b 2d 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 30 7d 24 26 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 | ${}^{-1}$&&2${}^{0}$&........... |
6c00 | 20 26 32 24 7b 7d 5e 7b 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 32 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 | .&2${}^{1}$&&2${}^{.2}$&&2${}^{. |
6c20 | 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 34 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 35 7d 24 26 5c 63 72 0a 68 | 3}$&&2${}^{.4}$&&2${}^{5}$&\cr.h |
6c40 | 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f | eight2pt&\omit&&\omit&&\omit&&\o |
6c60 | 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 | mit&&\omit..&&\omit&&\omit&&\omi |
6c80 | 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 5c 6e 6f 61 6c | t&&\omit&&\omit&&\omit&\cr.\noal |
6ca0 | 69 67 6e 7b 5c 68 72 75 6c 65 7d 0a 68 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d | ign{\hrule}.height2pt&\omit&&\om |
6cc0 | 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 | it&&\omit&&\omit&&\omit..&&\omit |
6ce0 | 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f | &&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\o |
6d00 | 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e 66 74 79 24 29 20 5c 68 66 69 6c | mit&\cr.&{GMRES}($\infty$).\hfil |
6d20 | 6c 20 26 0a 26 20 32 39 30 26 26 20 32 36 39 26 26 20 32 34 35 26 26 20 32 32 30 26 26 20 32 30 | l.&.&.290&&.269&&.245&&.220&&.20 |
6d40 | 30 26 26 20 31 38 39 26 26 20 31 38 36 26 26 20 31 38 39 26 26 20 32 30 37 26 26 20 32 34 39 26 | 0&&.189&&.186&&.189&&.207&&.249& |
6d60 | 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 38 26 26 20 33 34 31 26 | \cr.&{BCG}.\hfill.&.&.308&&.341& |
6d80 | 26 20 32 39 39 26 26 31 35 31 38 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 | &.299&&1518&&.--.&&.--.&&.--.&&. |
6da0 | 2d 2d 20 26 26 20 35 33 33 26 26 20 2d 2d 20 26 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 7d 7b 5c 72 6d 2c 20 | --.&&.533&&.--.&\cr.&{BCG}{\rm,. |
6dc0 | 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 39 | random.$u^{(0)}$}.\hfill.&.&.309 |
6de0 | 26 26 20 33 35 34 26 26 20 33 30 30 26 26 20 33 31 30 26 26 20 33 31 33 26 26 20 33 30 31 26 26 | &&.354&&.300&&.310&&.313&&.301&& |
6e00 | 20 32 39 39 26 26 20 33 30 32 26 26 20 32 39 30 26 26 20 32 39 33 26 5c 63 72 0a 26 7b 42 43 47 | .299&&.302&&.290&&.293&\cr.&{BCG |
6e20 | 4e 42 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 33 30 38 26 26 20 33 35 33 26 26 20 32 38 34 26 26 | NB}.\hfill.&.&.308&&.353&&.284&& |
6e40 | 20 33 33 38 26 26 20 32 35 33 26 26 20 32 34 30 26 26 20 32 34 33 26 26 20 32 34 30 26 26 20 33 | .338&&.253&&.240&&.243&&.240&&.3 |
6e60 | 30 32 26 26 20 39 36 32 26 5c 63 72 0a 26 7b 43 47 53 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 32 | 02&&.962&\cr.&{CGS}.\hfill.&.&.2 |
6e80 | 37 32 26 26 20 32 35 34 26 26 20 32 32 32 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 | 72&&.254&&.222&&.--.&&.--.&&.--. |
6ea0 | 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 26 20 2d 2d 20 26 5c 63 72 0a 26 7b 43 | &&.--.&&.--.&&.--.&&.--.&\cr.&{C |
6ec0 | 47 53 7d 7b 5c 72 6d 2c 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 6c | GS}{\rm,.random.$u^{(0)}$}.\hfil |
6ee0 | 6c 20 26 0a 26 20 31 39 33 26 26 20 31 38 39 26 26 20 32 30 30 26 26 20 31 39 32 26 26 20 31 39 | l.&.&.193&&.189&&.200&&.192&&.19 |
6f00 | 33 26 26 20 31 37 35 26 26 20 32 32 35 26 26 20 32 31 32 26 26 20 32 31 36 26 26 20 31 39 37 26 | 3&&.175&&.225&&.212&&.216&&.197& |
6f20 | 5c 63 72 0a 26 7b 43 47 53 4e 42 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 32 37 32 26 26 20 32 38 | \cr.&{CGSNB}.\hfill.&.&.272&&.28 |
6f40 | 34 26 26 20 32 31 32 26 26 20 31 39 36 26 26 20 31 35 31 26 26 20 31 36 32 26 26 20 31 35 38 26 | 4&&.212&&.196&&.151&&.162&&.158& |
6f60 | 26 20 31 37 33 26 26 20 31 35 36 26 26 20 32 35 36 26 5c 63 72 0a 68 65 69 67 68 74 31 70 74 26 | &.173&&.156&&.256&\cr.height1pt& |
6f80 | 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 | \omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omi |
6fa0 | 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 | t..&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit& |
6fc0 | 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 7d 20 5c 68 72 75 6c 65 7d 5c 68 66 69 6c | &\omit&&\omit&\cr.}.\hrule}\hfil |
6fe0 | 7d 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 5c 68 62 | }}}.\endinsert...\topinsert..\hb |
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7020 | 74 20 30 70 74 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 73 6d 63 20 54 61 62 6c 65 20 32 7d 0a | t.0pt.\centerline{\smc.Table.2}. |
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7060 | 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 7d 20 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 69 74 20 | $h^{-1}=128$,}..\centerline{\it. |
7080 | 7b 5c 72 6d 20 4d 49 4c 55 7d 2d 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 69 6e 67 2c 20 7b 5c 72 6d | {\rm.MILU}-preconditioning,.{\rm |
70a0 | 20 49 54 4d 41 58 3d 35 30 30 2e 7d 20 0a 4e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 69 74 65 72 61 74 69 6f | .ITMAX=500.}..Number.of.iteratio |
70c0 | 6e 73 2e 7d 0a 0a 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 0a 0a 5c 68 66 69 6c 5c 76 62 6f 78 7b 5c 6f 66 66 69 | ns.}..\medskip..\hfil\vbox{\offi |
70e0 | 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 73 6b 69 70 0a 5c 68 72 75 6c 65 0a 5c 68 61 6c 69 67 6e 7b 26 5c 76 72 | nterlineskip.\hrule.\halign{&\vr |
7100 | 75 6c 65 23 26 5c 73 74 72 75 74 5c 20 5c 68 66 69 6c 23 5c 20 5c 63 72 0a 68 65 69 67 68 74 32 | ule#&\strut\.\hfil#\.\cr.height2 |
7120 | 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c | pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\ |
7140 | 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d | omit..&&\omit&&\omit&&\omit&&\om |
7160 | 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 4d 65 74 68 6f | it&&\omit&&\omit&\cr.&{\rm.Metho |
7180 | 64 20 24 5c 62 61 63 6b 73 6c 61 73 68 24 20 44 68 3a 20 7d 20 26 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 | d.$\backslash$.Dh:.}.&.......... |
71a0 | 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 26 30 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b | ..........&0&&2${}^{-3}$&&2${}^{ |
71c0 | 2d 32 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 2d 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 30 7d 24 26 0a 20 20 20 | -2}$&&2${}^{-1}$&&2${}^{0}$&.... |
71e0 | 20 20 20 20 20 20 20 20 26 32 24 7b 7d 5e 7b 31 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 32 7d 24 26 26 | ........&2${}^{1}$&&2${}^{.2}$&& |
7200 | 32 24 7b 7d 5e 7b 20 33 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 20 34 7d 24 26 26 32 24 7b 7d 5e 7b 35 7d | 2${}^{.3}$&&2${}^{.4}$&&2${}^{5} |
7220 | 24 26 5c 63 72 0a 68 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f | $&\cr.height2pt&\omit&&\omit&&\o |
7240 | 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 | mit&&\omit&&\omit..&&\omit&&\omi |
7260 | 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 | t&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\c |
7280 | 72 0a 5c 6e 6f 61 6c 69 67 6e 7b 5c 68 72 75 6c 65 7d 0a 68 65 69 67 68 74 32 70 74 26 5c 6f 6d | r.\noalign{\hrule}.height2pt&\om |
72a0 | 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 | it&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit.. |
72c0 | 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f | &&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\o |
72e0 | 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 | mit&&\omit&\cr.&{\rm.{GMRES}($\i |
7300 | 6e 66 74 79 24 29 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 32 37 26 26 20 20 32 35 26 26 20 20 | nfty$)}.\hfill.&.&..27&&..25&&.. |
7320 | 32 34 26 26 20 20 32 36 26 26 20 20 32 38 26 26 20 20 32 38 26 26 20 20 32 35 26 26 20 20 31 39 | 24&&..26&&..28&&..28&&..25&&..19 |
7340 | 26 26 20 20 31 34 26 26 20 20 31 30 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 | &&..14&&..10&\cr.&{\rm.{GMRES}($ |
7360 | 5c 69 6e 66 74 79 24 29 2c 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 | \infty$),.random.$u^{(0)}$}.\hfi |
7380 | 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 33 33 26 26 20 20 32 39 26 26 20 20 32 38 26 26 20 20 32 39 26 26 20 20 | ll.&.&..33&&..29&&..28&&..29&&.. |
73a0 | 33 31 26 26 20 20 33 31 26 26 20 20 32 39 26 26 20 20 32 34 26 26 20 20 31 39 26 26 20 20 31 34 | 31&&..31&&..29&&..24&&..19&&..14 |
73c0 | 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 42 43 47 7d 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 33 31 | &\cr.&{\rm.{BCG}}.\hfill.&.&..31 |
73e0 | 26 26 20 20 32 37 26 26 20 20 32 39 26 26 20 20 33 33 26 26 20 20 33 30 26 26 20 20 33 37 26 26 | &&..27&&..29&&..33&&..30&&..37&& |
7400 | 20 20 33 30 26 26 20 20 32 33 26 26 20 20 31 35 26 26 20 20 31 30 26 5c 63 72 0a 25 20 26 7b 42 | ..30&&..23&&..15&&..10&\cr.%.&{B |
7420 | 43 47 7d 2c 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 2c 20 24 5c 67 61 6d 6d 61 3d 2e | CG},.random.$u^{(0)}$,.$\gamma=. |
7440 | 31 24 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 25 20 26 20 20 33 35 26 26 20 20 33 30 26 26 20 20 33 31 26 | 1$.\hfill.&.%.&..35&&..30&&..31& |
7460 | 26 20 20 33 35 26 26 20 20 34 30 26 26 20 20 33 37 26 26 20 20 33 34 26 26 20 20 32 37 26 26 20 | &..35&&..40&&..37&&..34&&..27&&. |
7480 | 20 32 30 26 26 20 20 31 35 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 42 43 47 7d 2c 20 72 61 6e 64 6f | .20&&..15&\cr.&{\rm.{BCG},.rando |
74a0 | 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 33 38 26 26 20 20 33 | m.$u^{(0)}$}.\hfill.&.&..38&&..3 |
74c0 | 34 26 26 20 20 33 33 26 26 20 20 33 37 26 26 20 20 34 34 26 26 20 20 34 30 26 26 20 20 33 38 26 | 4&&..33&&..37&&..44&&..40&&..38& |
74e0 | 26 20 20 32 39 26 26 20 20 32 33 26 26 20 20 31 38 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 42 43 47 | &..29&&..23&&..18&\cr.&{\rm.{BCG |
7500 | 4e 42 7d 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 32 38 26 26 20 20 32 37 26 26 20 20 32 39 26 | NB}}.\hfill.&.&..28&&..27&&..29& |
7520 | 26 20 20 33 30 26 26 20 20 33 34 26 26 20 20 33 35 26 26 20 20 33 30 26 26 20 20 32 33 26 26 20 | &..30&&..34&&..35&&..30&&..23&&. |
7540 | 20 31 35 26 26 20 20 31 30 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 43 47 53 7d 7d 20 5c 68 66 69 6c | .15&&..10&\cr.&{\rm.{CGS}}.\hfil |
7560 | 6c 20 26 0a 26 20 20 32 31 26 26 20 20 31 38 26 26 20 20 31 37 26 26 20 20 32 30 26 26 20 20 32 | l.&.&..21&&..18&&..17&&..20&&..2 |
7580 | 32 26 26 20 20 32 32 26 26 20 20 31 39 26 26 20 20 31 35 26 26 20 20 20 39 26 26 20 20 20 36 26 | 2&&..22&&..19&&..15&&...9&&...6& |
75a0 | 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 43 47 53 7d 2c 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d | \cr.&{\rm.{CGS},.random.$u^{(0)} |
75c0 | 24 7d 20 5c 68 66 69 6c 6c 20 26 0a 26 20 20 32 34 26 26 20 20 31 38 26 26 20 20 32 30 26 26 20 | $}.\hfill.&.&..24&&..18&&..20&&. |
75e0 | 20 32 32 26 26 20 20 32 32 26 26 20 20 32 33 26 26 20 20 32 31 26 26 20 20 31 36 26 26 20 20 31 | .22&&..22&&..23&&..21&&..16&&..1 |
7600 | 32 26 26 20 20 20 39 26 5c 63 72 0a 26 7b 5c 72 6d 20 7b 43 47 53 4e 42 7d 7d 20 5c 68 66 69 6c | 2&&...9&\cr.&{\rm.{CGSNB}}.\hfil |
7620 | 6c 20 26 0a 26 20 20 32 31 26 26 20 20 31 38 26 26 20 20 31 37 26 26 20 20 32 30 26 26 20 20 32 | l.&.&..21&&..18&&..17&&..20&&..2 |
7640 | 32 26 26 20 20 32 37 26 26 20 20 32 30 26 26 20 20 31 35 26 26 20 20 20 39 26 26 20 20 20 36 26 | 2&&..27&&..20&&..15&&...9&&...6& |
7660 | 5c 63 72 0a 68 65 69 67 68 74 31 70 74 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 | \cr.height1pt&\omit&&\omit&&\omi |
7680 | 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 0a 20 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 | t&&\omit&&\omit..&&\omit&&\omit& |
76a0 | 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 26 5c 6f 6d 69 74 26 5c 63 72 0a | &\omit&&\omit&&\omit&&\omit&\cr. |
76c0 | 7d 20 5c 68 72 75 6c 65 7d 5c 68 66 69 6c 7d 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 57 65 | }.\hrule}\hfil}}}.\endinsert..We |
76e0 | 20 6d 61 6b 65 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 6f 62 73 65 72 76 61 74 69 6f 6e 73 | .make.the.following.observations |
7700 | 20 61 62 6f 75 74 20 74 68 65 73 65 20 72 75 6e 73 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c | .about.these.runs...\meti{$\bull |
7720 | 65 74 24 7d 20 46 6f 72 20 74 68 65 20 75 6e 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 | et$}.For.the.unpreconditioned.pr |
7740 | 6f 62 6c 65 6d 2c 20 74 68 65 20 73 74 61 6e 64 61 72 64 0a 7b 42 43 47 7d 20 61 6e 64 20 7b 43 | oblem,.the.standard.{BCG}.and.{C |
7760 | 47 53 7d 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 62 72 65 61 6b 20 64 6f 77 6e 20 69 6e 20 61 20 6e | GS}.algorithms.break.down.in.a.n |
7780 | 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 63 61 73 65 73 2c 20 62 75 74 20 74 68 65 20 75 73 65 20 0a 6f 66 20 | umber.of.cases,.but.the.use..of. |
77a0 | 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 20 6f 72 20 74 68 65 20 75 73 65 20 6f 66 20 7b | random.$u^{(0)}$.or.the.use.of.{ |
77c0 | 42 43 47 4e 42 7d 20 6f 72 20 7b 43 47 53 4e 42 7d 0a 72 65 73 75 6c 74 65 64 20 69 6e 20 63 6f | BCGNB}.or.{CGSNB}.resulted.in.co |
77e0 | 6e 76 65 72 67 65 6e 63 65 2e 20 20 46 75 72 74 68 65 72 6d 6f 72 65 2c 20 74 68 65 20 69 74 65 | nvergence...Furthermore,.the.ite |
7800 | 72 61 74 69 6f 6e 20 63 6f 75 6e 74 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 | ration.counts.for.the.algorithms |
7820 | 20 7b 42 43 47 7d 20 61 6e 64 20 7b 42 43 47 4e 42 7d 20 61 72 65 20 69 6e 0a 67 65 6e 65 72 61 | .{BCG}.and.{BCGNB}.are.in.genera |
7840 | 6c 20 63 6f 6d 70 61 72 61 74 69 76 65 6c 79 20 63 6c 6f 73 65 20 74 6f 20 74 68 6f 73 65 20 6f | l.comparatively.close.to.those.o |
7860 | 66 20 74 68 65 20 60 60 62 65 73 74 27 27 20 6d 65 74 68 6f 64 2c 0a 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 | f.the.``best''.method,.{GMRES}($ |
7880 | 5c 69 6e 66 74 79 24 29 2c 20 77 68 69 6c 65 20 74 68 65 73 65 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 | \infty$),.while.these.algorithms |
78a0 | 20 68 61 76 65 20 73 68 6f 72 74 20 65 63 6f 6e 6f 6d 69 63 61 6c 0a 72 65 63 75 72 72 65 6e 63 | .have.short.economical.recurrenc |
78c0 | 65 73 2c 20 75 6e 6c 69 6b 65 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e 66 74 79 24 29 2e 20 20 54 | es,.unlike.{GMRES}($\infty$)...T |
78e0 | 68 69 73 20 75 6e 64 65 72 73 63 6f 72 65 73 20 74 68 65 20 0a 69 6d 70 6f 72 74 61 6e 63 65 20 | his.underscores.the..importance. |
7900 | 6f 66 20 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 61 73 20 65 63 6f | of.the.Lanczos.algorithms.as.eco |
7920 | 6e 6f 6d 69 63 61 6c 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 74 65 63 68 6e 69 71 75 65 73 2e 0a 0a 5c 6d | nomical.solution.techniques...\m |
7940 | 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 46 6f 72 20 74 68 65 20 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f | eti{$\bullet$}.For.the.ILU-preco |
7960 | 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 73 2c 20 69 6e 20 6d 6f 73 74 20 63 61 73 65 | nditioned.problems,.in.most.case |
7980 | 73 0a 61 6c 6c 20 6d 65 74 68 6f 64 73 20 77 6f 72 6b 65 64 20 77 65 6c 6c 2e 20 20 46 6f 72 20 | s.all.methods.worked.well...For. |
79a0 | 74 68 65 20 63 61 73 65 20 6f 66 20 24 44 68 3d 31 24 2c 20 7b 42 43 47 7d 20 67 61 76 65 0a 61 | the.case.of.$Dh=1$,.{BCG}.gave.a |
79c0 | 6e 20 65 78 63 65 73 73 69 76 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6f 66 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 | n.excessive.number.of.iterations |
79e0 | 2c 20 62 75 74 20 74 68 69 73 20 77 61 73 20 72 65 6d 65 64 69 65 64 20 73 69 67 6e 69 66 69 63 | ,.but.this.was.remedied.signific |
7a00 | 61 6e 74 6c 79 0a 62 79 20 7b 42 43 47 4e 42 7d 20 61 6e 64 20 6d 75 63 68 20 6d 6f 72 65 20 73 | antly.by.{BCGNB}.and.much.more.s |
7a20 | 6f 0a 62 79 20 74 68 65 20 75 73 65 20 6f 66 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 | o.by.the.use.of.random.$u^{(0)}$ |
7a40 | 2e 20 20 53 69 6d 69 6c 61 72 6c 79 2c 20 7b 43 47 53 7d 20 63 6f 75 6c 64 0a 6e 6f 74 20 63 6f | ...Similarly,.{CGS}.could.not.co |
7a60 | 6e 76 65 72 67 65 2c 20 62 75 74 20 7b 43 47 53 4e 42 7d 20 61 6e 64 20 7b 43 47 53 7d 20 77 69 | nverge,.but.{CGSNB}.and.{CGS}.wi |
7a80 | 74 68 20 72 61 6e 64 6f 6d 0a 24 75 5e 7b 28 30 29 7d 24 20 62 6f 74 68 20 63 6f 6e 76 65 72 67 | th.random.$u^{(0)}$.both.converg |
7aa0 | 65 64 2e 0a 0a 5c 6d 65 74 69 7b 24 5c 62 75 6c 6c 65 74 24 7d 20 46 6f 72 20 61 6c 6c 20 6f 66 | ed...\meti{$\bullet$}.For.all.of |
7ac0 | 20 74 68 65 20 4d 49 4c 55 2d 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 65 64 20 70 72 6f 62 6c 65 6d | .the.MILU-preconditioned.problem |
7ae0 | 73 2c 20 61 6c 6c 20 6f 66 0a 74 68 65 20 4c 61 6e 63 7a 6f 73 2d 74 79 70 65 20 61 6c 67 6f 72 | s,.all.of.the.Lanczos-type.algor |
7b00 | 69 74 68 6d 73 20 70 65 72 66 6f 72 6d 65 64 20 71 75 69 74 65 20 77 65 6c 6c 2e 20 20 49 6e 20 | ithms.performed.quite.well...In. |
7b20 | 70 61 72 74 69 63 75 6c 61 72 2c 20 74 68 65 0a 7b 42 43 47 7d 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 | particular,.the.{BCG}.algorithm. |
7b40 | 67 61 76 65 20 61 70 70 72 6f 78 69 6d 61 74 65 6c 79 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 6e 75 6d 62 | gave.approximately.the.same.numb |
7b60 | 65 72 20 6f 66 0a 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 7b 47 4d 52 45 53 7d 28 24 5c 69 6e | er.of.iterations.as.{GMRES}($\in |
7b80 | 66 74 79 24 29 2e 0a 0a 46 69 67 75 72 65 73 20 31 20 61 6e 64 20 32 20 67 69 76 65 20 72 65 70 | fty$)...Figures.1.and.2.give.rep |
7ba0 | 72 65 73 65 6e 74 61 74 69 76 65 20 70 6c 6f 74 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6e 76 65 72 67 | resentative.plots.of.the.converg |
7bc0 | 65 6e 63 65 20 62 65 68 61 76 69 6f 72 20 6f 66 20 74 68 65 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 | ence.behavior.of.the.algorithms. |
7be0 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 63 61 73 65 20 6f 66 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 | for.the.case.of.$h^{-1}=128$,.$D |
7c00 | 68 3d 34 24 2c 20 61 6e 64 20 6e 6f 20 70 72 65 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 69 6e 67 2e 0a 54 68 | h=4$,.and.no.preconditioning..Th |
7c20 | 65 73 65 20 72 65 73 75 6c 74 73 20 73 68 6f 77 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 6e 65 77 20 61 6c | ese.results.show.that.the.new.al |
7c40 | 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 6b 65 65 70 20 74 68 65 20 72 65 73 69 64 75 61 6c 20 73 69 7a 65 20 | gorithms.keep.the.residual.size. |
7c60 | 0a 62 65 74 74 65 72 20 62 65 68 61 76 65 64 20 74 68 61 6e 20 74 68 65 20 73 74 61 6e 64 61 72 | .better.behaved.than.the.standar |
7c80 | 64 20 7b 42 43 47 7d 20 61 6e 64 20 7b 43 47 53 7d 0a 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 73 20 6f 76 65 | d.{BCG}.and.{CGS}.algorithms.ove |
7ca0 | 72 20 74 68 65 20 63 6f 75 72 73 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 72 75 6e 2e 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e | r.the.course.of.the.run...\topin |
7cc0 | 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 20 33 2e 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 | sert.\vskip.3.2in.\centerline{\e |
7ce0 | 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7e 31 2e 20 5c 69 74 20 52 65 73 69 64 75 | ightpoint\smc.Fig.~1..\it.Residu |
7d00 | 61 6c 20 0a 62 65 68 61 76 69 6f 72 3a 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 68 3d | al..behavior:.$h^{-1}=128$,.$Dh= |
7d20 | 34 24 2e 7d 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 20 5c 76 | 4$.}.\endinsert...\topinsert..\v |
7d40 | 73 6b 69 70 20 33 2e 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 | skip.3.2in.\centerline{\eightpoi |
7d60 | 6e 74 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7e 32 2e 20 5c 69 74 20 20 52 65 73 69 64 75 61 6c 20 0a 62 65 | nt\smc.Fig.~2..\it..Residual..be |
7d80 | 68 61 76 69 6f 72 3a 20 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 2c 20 24 44 68 3d 34 24 2e 7d 0a 5c | havior:.$h^{-1}=128$,.$Dh=4$.}.\ |
7da0 | 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 57 65 20 6e 6f 77 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 61 20 6d 6f 72 | endinsert..We.now.consider.a.mor |
7dc0 | 65 20 64 69 66 66 69 63 75 6c 74 20 63 6c 61 73 73 20 6f 66 20 66 69 6e 69 74 65 20 64 69 66 66 | e.difficult.class.of.finite.diff |
7de0 | 65 72 65 6e 63 65 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 73 2c 0a 6e 61 6d 65 6c 79 2c 20 63 65 6e 74 72 61 6c | erence.problems,.namely,.central |
7e00 | 20 66 69 6e 69 74 65 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 63 69 6e 67 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 | .finite.differencing.applied.to. |
7e20 | 74 68 65 20 44 69 72 69 63 68 6c 65 74 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 0a 24 24 20 2d 75 5f 7b 78 78 7d | the.Dirichlet.problem.$$.-u_{xx} |
7e40 | 28 78 2c 79 29 20 2d 20 75 5f 7b 79 79 7d 28 78 2c 79 29 20 2b 0a 20 20 20 44 5b 28 79 2d 5c 74 | (x,y).-.u_{yy}(x,y).+....D[(y-\t |
7e60 | 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 31 5c 6f 76 65 72 20 32 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 29 | extstyle{1\over.2}\displaystyle) |
7e80 | 20 75 5f 78 28 78 2c 79 29 20 2b 0a 20 20 20 20 20 28 78 2d 5c 74 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 31 | .u_x(x,y).+......(x-\textstyle{1 |
7ea0 | 5c 6f 76 65 72 20 33 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 29 0a 20 20 20 20 20 28 78 2d 5c | \over.3}\displaystyle)......(x-\ |
7ec0 | 74 65 78 74 73 74 79 6c 65 7b 32 5c 6f 76 65 72 20 33 7d 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 6c 65 | textstyle{2\over.3}\displaystyle |
7ee0 | 29 20 75 5f 79 28 78 2c 79 29 5d 2c 20 24 24 20 0a 24 24 20 2d 20 34 33 5c 70 69 5e 32 75 28 78 | ).u_y(x,y)],.$$..$$.-.43\pi^2u(x |
7f00 | 2c 79 29 20 3d 20 47 28 78 2c 79 29 20 5c 71 75 61 64 20 7b 5c 72 6d 20 6f 6e 7d 5c 20 5c 4f 6d | ,y).=.G(x,y).\quad.{\rm.on}\.\Om |
7f20 | 65 67 61 3d 5b 30 2c 31 5d 5e 32 2c 24 24 0a 24 24 75 28 78 2c 79 29 20 3d 20 31 20 2b 20 78 79 | ega=[0,1]^2,$$.$$u(x,y).=.1.+.xy |
7f40 | 20 5c 71 75 61 64 20 5c 68 62 6f 78 7b 5c 72 6d 20 6f 6e 7d 5c 20 5c 70 61 72 74 69 61 6c 5c 4f | .\quad.\hbox{\rm.on}\.\partial\O |
7f60 | 6d 65 67 61 2c 24 24 0a 77 69 74 68 20 24 47 28 78 2c 79 29 24 20 63 68 6f 73 65 6e 20 61 73 20 | mega,$$.with.$G(x,y)$.chosen.as. |
7f80 | 62 65 66 6f 72 65 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 74 72 75 65 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | before.so.that.the.true.solution |
7fa0 | 20 69 73 20 24 75 28 78 2c 79 29 3d 31 2b 78 79 24 2e 0a 41 67 61 69 6e 2c 20 77 65 20 6c 65 74 | .is.$u(x,y)=1+xy$..Again,.we.let |
7fc0 | 20 24 68 24 20 64 65 6e 6f 74 65 20 74 68 65 20 6d 65 73 68 20 73 69 7a 65 20 69 6e 20 65 61 63 | .$h$.denote.the.mesh.size.in.eac |
7fe0 | 68 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 2e 20 20 46 6f 72 20 24 44 3d 30 24 0a 61 6e 64 20 24 68 24 20 | h.direction...For.$D=0$.and.$h$. |
8000 | 73 6d 61 6c 6c 2c 20 74 68 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 67 65 6e 65 72 61 74 65 64 20 62 79 20 74 | small,.the.matrix.generated.by.t |
8020 | 68 69 73 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 69 73 20 61 20 73 79 6d 6d 65 74 72 69 63 0a 69 6e 64 65 66 | his.problem.is.a.symmetric.indef |
8040 | 69 6e 69 74 65 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 69 74 68 20 31 36 20 64 69 73 74 69 6e 63 74 20 6e 65 | inite.matrix.with.16.distinct.ne |
8060 | 67 61 74 69 76 65 20 65 69 67 65 6e 76 61 6c 75 65 73 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 72 65 73 74 0a | gative.eigenvalues.and.the.rest. |
8080 | 6f 66 20 74 68 65 20 73 70 65 63 74 72 75 6d 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 2e 0a 0a 54 68 65 20 73 | of.the.spectrum.positive...The.s |
80a0 | 74 61 6e 64 61 72 64 20 63 6f 6e 6a 75 67 61 74 65 20 72 65 73 69 64 75 61 6c 20 61 6c 67 6f 72 | tandard.conjugate.residual.algor |
80c0 | 69 74 68 6d 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 74 68 69 73 20 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 77 69 74 | ithm.applied.to.this.problem.wit |
80e0 | 68 0a 24 68 5e 7b 2d 31 7d 3d 31 32 38 24 20 61 6e 64 20 24 44 3d 30 24 20 72 65 71 75 69 72 65 | h.$h^{-1}=128$.and.$D=0$.require |
8100 | 73 20 37 36 36 20 69 74 65 72 61 74 69 6f 6e 73 20 74 6f 20 63 6f 6e 76 65 72 67 65 20 74 6f 0a | s.766.iterations.to.converge.to. |
8120 | 24 7c 7c 72 5e 7b 28 6e 29 7d 7c 7c 2f 7c 7c 62 7c 7c 3c 5c 7a 65 74 61 3d 31 30 5e 7b 2d 36 7d | $||r^{(n)}||/||b||<\zeta=10^{-6} |
8140 | 24 2e 20 20 49 6e 20 61 6e 79 20 63 61 73 65 2c 20 74 68 69 73 20 69 73 20 61 20 64 69 66 66 69 | $...In.any.case,.this.is.a.diffi |
8160 | 63 75 6c 74 0a 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 74 6f 20 73 6f 6c 76 65 2e 0a 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 71 | cult.problem.to.solve.....\def\q |
8180 | 65 64 7b 5c 76 72 75 6c 65 20 68 65 69 67 68 74 38 70 74 20 77 69 64 74 68 34 70 74 20 64 65 70 | ed{\vrule.height8pt.width4pt.dep |
81a0 | 74 68 30 70 74 5c 70 61 72 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 5a 65 72 6f 7b | th0pt\par\medskip}....\def\Zero{ |
81c0 | 7b 5c 62 66 20 30 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 64 69 73 7b 5c 64 69 73 70 6c 61 79 73 74 79 | {\bf.0}}....\def\dis{\displaysty |
81e0 | 6c 65 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 62 7b 5c 62 65 74 61 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 72 7b 5c | le}....\def\b{\beta}....\def\r{\ |
8200 | 72 68 6f 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 58 7b 7b 5c 62 66 20 58 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c | rho}....\def\X{{\bf.X}}....\def\ |
8220 | 59 7b 7b 5c 62 66 20 59 7d 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 62 62 7b 7b 5c 62 61 72 20 5c 62 65 74 | Y{{\bf.Y}}....\def\bb{{\bar.\bet |
8240 | 61 7d 7d 20 0a 20 20 20 5c 64 65 66 5c 74 62 63 72 7b 5c 74 68 65 74 61 5c 62 62 20 63 5f 68 20 | a}}.....\def\tbcr{\theta\bb.c_h. |
8260 | 5c 72 68 6f 5f 68 7d 20 0a 20 20 5c 64 65 66 5c 65 70 7b 5c 76 61 72 65 70 73 69 6c 6f 6e 7d 20 | \rho_h}....\def\ep{\varepsilon}. |
8280 | 0a 0a 0a 20 0a 46 69 67 75 72 65 73 20 33 28 61 29 20 61 6e 64 20 33 28 62 29 20 73 68 6f 77 20 | .....Figures.3(a).and.3(b).show. |
82a0 | 74 68 65 20 63 6f 6d 70 61 72 74 6d 65 6e 74 61 6c 20 64 69 61 67 72 61 6d 73 20 66 6f 72 20 53 | the.compartmental.diagrams.for.S |
82c0 | 49 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 0a 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 | I.models.without..and.with.death |
82e0 | 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 66 6f 72 20 20 74 68 65 20 73 | s.due.to.the.disease,.for..the.s |
8300 | 69 74 75 61 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 77 68 69 63 68 20 74 68 65 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 75 73 | ituation.in.which.the.infectious |
8320 | 0a 70 65 72 69 6f 64 20 68 61 73 20 6f 6e 6c 79 20 6f 6e 65 20 73 74 61 67 65 2e 20 46 69 67 75 | .period.has.only.one.stage..Figu |
8340 | 72 65 73 20 34 28 61 29 20 61 6e 64 20 34 28 62 29 20 67 69 76 65 20 74 68 65 20 63 6f 72 72 65 | res.4(a).and.4(b).give.the.corre |
8360 | 73 70 6f 6e 64 69 6e 67 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 0a 77 69 74 68 20 24 6d 24 20 73 74 61 67 65 73 | sponding.models..with.$m$.stages |
8380 | 20 6f 66 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 6e 2e 20 56 65 6e 65 72 65 61 6c 20 0a 77 61 72 74 73 2c 20 | .of.infection..Venereal..warts,. |
83a0 | 63 61 75 73 65 64 20 62 79 20 74 68 65 20 68 75 6d 61 6e 20 70 61 70 69 6c 6c 6f 6d 61 20 76 69 | caused.by.the.human.papilloma.vi |
83c0 | 72 75 73 2c 20 61 6e 64 20 6f 72 64 69 6e 61 72 79 20 68 65 72 70 65 73 20 61 72 65 20 65 78 61 | rus,.and.ordinary.herpes.are.exa |
83e0 | 6d 70 6c 65 73 20 0a 6f 66 20 73 65 78 75 61 6c 6c 79 20 74 72 61 6e 73 6d 69 74 74 65 64 20 64 | mples..of.sexually.transmitted.d |
8400 | 69 73 65 61 73 65 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 0a 64 75 65 20 74 6f 20 74 | iseases.without.deaths..due.to.t |
8420 | 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 61 6c 74 68 6f 75 67 68 20 62 6f 74 68 20 61 72 65 20 6e 6f | he.disease,.although.both.are.no |
8440 | 74 20 71 75 69 74 65 20 53 49 20 64 69 73 65 61 73 65 73 20 62 65 63 61 75 73 65 20 6f 66 20 0a | t.quite.SI.diseases.because.of.. |
8460 | 70 61 72 74 69 61 6c 20 69 6d 6d 75 6e 69 74 79 2e 20 41 49 44 53 20 69 73 20 74 68 65 20 65 78 | partial.immunity..AIDS.is.the.ex |
8480 | 61 6d 70 6c 65 20 6f 66 20 61 6e 20 53 49 20 64 69 73 65 61 73 65 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 | ample.of.an.SI.disease.with.deat |
84a0 | 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 0a 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 20 41 6c 74 68 6f 75 67 68 20 | h.due.to..the.disease..Although. |
84c0 | 6f 75 72 20 6d 61 69 6e 20 66 6f 63 75 73 20 69 73 20 6f 6e 20 74 68 65 20 6c 61 74 74 65 72 2c | our.main.focus.is.on.the.latter, |
84e0 | 20 77 65 20 70 72 65 73 65 6e 74 20 72 65 73 75 6c 74 73 20 0a 6f 6e 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c | .we.present.results..on.SI.model |
8500 | 73 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 0a 64 69 73 | s.without.deaths.due.to.the..dis |
8520 | 65 61 73 65 20 62 65 63 61 75 73 65 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 69 66 69 63 61 74 69 6f 6e 20 | ease.because.the.simplification. |
8540 | 69 6e 20 74 68 65 20 64 79 6e 61 6d 69 63 73 20 6f 66 20 73 75 63 68 20 6d 6f 64 65 6c 73 20 0a | in.the.dynamics.of.such.models.. |
8560 | 20 74 68 72 6f 77 73 20 6c 69 67 68 74 20 6f 6e 20 74 68 65 20 63 61 73 65 20 77 69 74 68 20 64 | .throws.light.on.the.case.with.d |
8580 | 69 73 65 61 73 65 2d 72 65 6c 61 74 65 64 20 64 65 61 74 68 73 2e 20 0a 20 0a 5c 74 6f 70 69 6e | isease-related.deaths.....\topin |
85a0 | 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 | sert.\vskip.2in.\centerline{\eig |
85c0 | 68 74 70 6f 69 6e 74 20 7b 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 33 28 61 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 | htpoint.{\smc.Fig.}.3(a)..SI.{\i |
85e0 | 74 20 6d 6f 64 65 6c 20 66 6f 72 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 24 69 24 2c 20 77 69 74 68 6f 75 | t.model.for.subgroup.$i$,.withou |
8600 | 74 20 64 65 61 74 68 0a 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 7d 7d 0a 5c 76 | t.death.due.to.the.disease.}}.\v |
8620 | 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 | skip.2in.\centerline{\eightpoint |
8640 | 20 7b 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 33 28 62 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 74 20 6d 6f 64 65 6c | .{\smc.Fig.}.3(b)..SI.{\it.model |
8660 | 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2e 7d | .with.death.due.to.the.disease.} |
8680 | 7d 20 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 5c 74 6f 70 69 6e 73 65 72 74 0a 5c 76 73 6b 69 70 | }..\endinsert..\topinsert.\vskip |
86a0 | 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e 74 20 7b 5c 73 | .2in.\centerline{\eightpoint.{\s |
86c0 | 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 34 28 61 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 74 20 6d 6f 64 65 6c 20 77 69 74 | mc.Fig.}.4(a)..SI.{\it.model.wit |
86e0 | 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 0a 64 69 73 65 61 73 65 20 77 | hout.deaths.due.to.the.disease.w |
8700 | 69 74 68 20 24 6d 24 20 73 74 61 67 65 73 20 6f 66 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 6e 2e 7d 7d 0a 5c | ith.$m$.stages.of.infection.}}.\ |
8720 | 76 73 6b 69 70 20 32 69 6e 0a 5c 63 65 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 7b 5c 65 69 67 68 74 70 6f 69 6e | vskip.2in.\centerline{\eightpoin |
8740 | 74 20 7b 5c 73 6d 63 20 46 69 67 2e 7d 20 34 28 62 29 2e 20 53 49 20 7b 5c 69 74 20 6d 6f 64 65 | t.{\smc.Fig.}.4(b)..SI.{\it.mode |
8760 | 6c 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 | l.with.deaths.due.to.the.disease |
8780 | 2c 0a 77 69 74 68 20 24 6d 24 20 73 74 61 67 65 73 20 6f 66 20 69 6e 66 65 63 74 69 6f 6e 2e 7d | ,.with.$m$.stages.of.infection.} |
87a0 | 7d 20 0a 5c 65 6e 64 69 6e 73 65 72 74 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 7d 7b 45 71 75 61 74 | }..\endinsert..\heading{3}{Equat |
87c0 | 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 61 6c 69 67 6e 6d 65 6e 74 73 7d 20 0a 54 68 65 20 65 71 75 61 74 69 | ions.and.alignments}..The.equati |
87e0 | 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 73 79 73 74 65 6d 20 66 6f 6c 6c 6f 77 20 64 69 72 65 63 74 | ons.for.the.system.follow.direct |
8800 | 6c 79 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 20 64 65 66 69 6e 69 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 | ly.from.the.definitions.and.the. |
8820 | 0a 63 6f 6d 70 61 72 74 6d 65 6e 74 61 6c 20 64 69 61 67 72 61 6d 73 2e 20 46 6f 72 20 6f 6e 65 | .compartmental.diagrams..For.one |
8840 | 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 73 74 61 67 65 20 77 69 74 68 20 6e 6f 20 64 69 73 65 61 73 65 2d | .infected.stage.with.no.disease- |
8860 | 72 65 6c 61 74 65 64 20 0a 64 65 61 74 68 73 2c 20 74 68 65 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 20 61 | related..deaths,.the.equations.a |
8880 | 72 65 0a 24 24 20 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d 2d 58 5f 69 67 5f 69 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 | re.$$.\dot.X_i=-X_ig_i-\mu.X_i+U |
88a0 | 5f 69 2c 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 29 24 24 20 0a 24 24 20 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 58 5f 69 | _i,.\leqno(1)$$..$$.\dot.Y_i=X_i |
88c0 | 67 5f 69 2d 5c 6d 75 20 59 5f 69 2e 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 32 29 24 24 20 0a 49 66 20 74 68 65 | g_i-\mu.Y_i..\leqno(2)$$..If.the |
88e0 | 72 65 20 61 72 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 65 20 73 74 61 67 65 73 20 74 6f 20 74 68 65 20 69 6e | re.are.multiple.stages.to.the.in |
8900 | 66 65 63 74 69 6f 6e 2c 20 28 32 29 20 69 73 20 72 65 70 6c 61 63 65 64 20 62 79 20 0a 28 33 29 | fection,.(2).is.replaced.by..(3) |
8920 | 2d 2d 28 35 29 20 61 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 3a 0a 24 24 5c 6c 65 71 61 6c 69 67 6e 6e 6f 7b | --(5).as.follows:.$$\leqalignno{ |
8940 | 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 31 7d 26 3d 58 5f 69 67 5f 69 2d 28 6b 2b 5c 6d 75 29 59 5f 7b 69 31 | \dot.Y_{i1}&=X_ig_i-(k+\mu)Y_{i1 |
8960 | 7d 2c 20 26 28 33 29 5c 63 72 20 0a 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 72 7d 26 3d 6b 59 5f 7b 69 2c 72 | },.&(3)\cr..\dot.Y_{ir}&=kY_{i,r |
8980 | 2d 31 7d 2d 28 6b 2b 5c 6d 75 29 59 5f 7b 69 72 7d 2c 5c 71 71 75 61 64 20 20 72 3d 32 2c 5c 6c | -1}-(k+\mu)Y_{ir},\qquad..r=2,\l |
89a0 | 64 6f 74 73 2c 6d 2d 31 20 26 28 34 29 5c 63 72 20 0a 5c 64 6f 74 20 59 5f 7b 69 6d 7d 26 3d 6b | dots,m-1.&(4)\cr..\dot.Y_{im}&=k |
89c0 | 59 5f 7b 69 2c 6d 2d 31 7d 2d 5c 6d 75 20 59 5f 7b 69 6d 7d 2e 20 26 28 35 29 5c 63 72 20 7d 24 | Y_{i,m-1}-\mu.Y_{im}..&(5)\cr.}$ |
89e0 | 24 20 0a 20 0a 20 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 2e 31 7d 7b 54 68 65 20 53 49 20 6d 6f 64 | $.......\heading{3.1}{The.SI.mod |
8a00 | 65 6c 20 77 69 74 68 20 73 74 72 75 63 74 75 72 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 7d 0a 49 6e 20 74 68 | el.with.structured.mixing}.In.th |
8a20 | 69 73 20 73 75 62 73 65 63 74 69 6f 6e 20 77 65 20 77 72 69 74 65 20 74 68 65 20 65 71 75 61 74 | is.subsection.we.write.the.equat |
8a40 | 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c 20 77 69 74 68 20 0a 73 74 72 75 | ions.for.the.SI.model.with..stru |
8a60 | 63 74 75 72 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 2c 20 77 69 74 68 20 6f 6e 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 | ctured.mixing,.with.one.infected |
8a80 | 20 73 74 61 67 65 20 61 6e 64 20 77 69 74 68 20 64 65 61 74 68 73 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 | .stage.and.with.deaths.due.to.th |
8aa0 | 65 20 0a 64 69 73 65 61 73 65 2e 20 54 68 65 20 65 71 75 61 74 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 6d 75 | e..disease..The.equations.for.mu |
8ac0 | 6c 74 69 70 6c 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 73 74 61 67 65 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 20 65 61 | ltiple.infected.stages.follow.ea |
8ae0 | 73 69 6c 79 2c 20 61 73 20 64 6f 20 0a 74 68 6f 73 65 20 66 6f 72 20 53 49 20 6d 6f 64 65 6c 73 | sily,.as.do..those.for.SI.models |
8b00 | 20 77 69 74 68 6f 75 74 20 64 65 61 74 68 20 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 | .without.death.due.to.the.diseas |
8b20 | 65 2e 20 52 65 63 61 6c 6c 20 74 68 61 74 20 24 66 5f 7b 69 73 7d 24 20 0a 67 69 76 65 73 20 20 | e..Recall.that.$f_{is}$..gives.. |
8b40 | 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e 20 73 75 62 67 72 | the.fraction.of.population.subgr |
8b60 | 6f 75 70 20 24 69 24 27 73 20 0a 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 6d 61 64 | oup.$i$'s..contacts.that.are.mad |
8b80 | 65 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 54 68 65 20 74 6f 74 | e.in.activity.group.$s$..The.tot |
8ba0 | 61 6c 20 63 6f 6e 74 61 63 74 20 72 61 74 65 20 6f 66 20 0a 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 | al.contact.rate.of..susceptibles |
8bc0 | 20 66 72 6f 6d 20 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 24 69 24 20 69 6e | .from.population.subgroup.$i$.in |
8be0 | 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 20 6d 75 73 74 20 62 65 20 0a 24 63 5f | .activity.group.$s$.must.be..$c_ |
8c00 | 69 58 5f 69 66 5f 7b 69 73 7d 24 2e 20 4c 65 74 20 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 24 20 | iX_if_{is}$..Let.$\rho_{ij}(s)$. |
8c20 | 62 65 20 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 | be.the.fraction.of.the.contacts. |
8c40 | 6f 66 20 67 72 6f 75 70 20 0a 24 69 24 20 74 68 61 74 20 61 72 65 20 77 69 74 68 20 6d 65 6d 62 | of.group..$i$.that.are.with.memb |
8c60 | 65 72 73 20 6f 66 20 67 72 6f 75 70 20 24 6a 24 2c 20 77 69 74 68 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 | ers.of.group.$j$,.within.activit |
8c80 | 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 0a 41 73 73 75 6d 69 6e 67 20 72 61 6e 64 6f 6d 20 61 6c | y.group.$s$...Assuming.random.al |
8ca0 | 6c 6f 63 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 20 61 6e 64 | location.of.the.susceptibles.and |
8cc0 | 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 73 20 66 72 6f 6d 20 65 61 63 68 20 0a 70 6f 70 75 6c 61 74 69 6f 6e | .infecteds.from.each..population |
8ce0 | 20 73 75 62 67 72 6f 75 70 20 74 6f 20 74 68 65 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 73 | .subgroup.to.the.activity.groups |
8d00 | 2c 20 74 68 65 20 66 72 61 63 74 69 6f 6e 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 69 6e 20 67 72 6f 75 70 | ,.the.fraction.infected.in.group |
8d20 | 20 0a 24 6a 24 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 20 24 73 24 20 6d 75 73 74 | ..$j$.in.activity.group.$s$.must |
8d40 | 20 62 65 20 24 59 5f 6a 2f 4e 5f 6a 24 2c 20 67 69 76 69 6e 67 20 0a 24 24 20 63 5f 69 58 5f 69 | .be.$Y_j/N_j$,.giving..$$.c_iX_i |
8d60 | 66 5f 7b 69 73 7d 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f | f_{is}\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j.\o |
8d80 | 76 65 72 20 4e 5f 6a 7d 5c 6c 65 71 6e 6f 28 36 29 20 20 24 24 20 0a 66 6f 72 20 74 68 65 20 72 | ver.N_j}\leqno(6)..$$..for.the.r |
8da0 | 61 74 65 20 61 74 20 77 68 69 63 68 20 73 75 73 63 65 70 74 69 62 6c 65 73 20 69 6e 20 24 69 24 | ate.at.which.susceptibles.in.$i$ |
8dc0 | 20 61 72 65 20 69 6e 66 65 63 74 65 64 20 62 79 20 63 6f 6e 74 61 63 74 73 20 0a 77 69 74 68 20 | .are.infected.by.contacts..with. |
8de0 | 69 6e 66 65 63 74 65 64 73 20 66 72 6f 6d 20 24 6a 24 20 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 | infecteds.from.$j$.in.activity.g |
8e00 | 72 6f 75 70 20 24 73 24 2e 20 54 68 75 73 2c 20 69 6e 20 74 68 69 73 20 63 61 73 65 2c 20 24 67 | roup.$s$..Thus,.in.this.case,.$g |
8e20 | 5f 69 24 20 69 73 20 0a 67 69 76 65 6e 20 62 79 20 0a 24 24 20 0a 20 67 5f 69 3d 63 5f 69 5c 73 | _i$.is..given.by..$$...g_i=c_i\s |
8e40 | 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 5c 73 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 | um_sf_{is}\sum_j\rho_{ij}(s)\bet |
8e60 | 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 20 4e 5f 6a 7d 2c 20 0a 5c 6c 65 71 6e 6f 28 37 29 20 0a | a_j{Y_j.\over.N_j},..\leqno(7).. |
8e80 | 20 24 24 20 0a 61 6e 64 20 28 31 61 29 20 61 6e 64 20 28 31 62 29 20 62 65 63 6f 6d 65 0a 24 24 | .$$..and.(1a).and.(1b).become.$$ |
8ea0 | 20 20 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d 2d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 5c 73 | ..\dot.X_i=-c_iX_i\sum_sf_{is}\s |
8ec0 | 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 | um_j\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j.\ove |
8ee0 | 72 20 0a 4e 5f 6a 7d 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 5f 69 2c 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 38 29 20 20 | r..N_j}-\mu.X_i+U_i,.\leqno(8).. |
8f00 | 24 24 20 0a 24 24 20 20 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b | $$..$$..\dot.Y_i=c_iX_i\sum_sf_{ |
8f20 | 69 73 7d 5c 73 75 6d 5f 6a 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 5c 62 65 74 61 5f 6a 7b 59 5f 6a | is}\sum_j\rho_{ij}(s)\beta_j{Y_j |
8f40 | 20 5c 6f 76 65 72 20 0a 4e 5f 6a 7d 2d 28 5c 6d 75 2b 6b 29 59 5f 69 2e 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 | .\over..N_j}-(\mu+k)Y_i..\leqno( |
8f60 | 39 29 20 20 24 24 20 0a 20 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 33 2e 32 7d 7b 53 74 72 75 63 74 75 72 | 9)..$$....\heading{3.2}{Structur |
8f80 | 65 64 20 6d 69 78 69 6e 67 20 77 69 74 68 69 6e 20 20 61 63 74 69 76 69 74 79 20 67 72 6f 75 70 | ed.mixing.within..activity.group |
8fa0 | 73 7d 20 0a 49 66 20 74 68 65 20 6d 69 78 69 6e 67 20 77 69 74 68 69 6e 20 61 63 74 69 76 69 74 | s}..If.the.mixing.within.activit |
8fc0 | 79 20 67 72 6f 75 70 73 20 69 73 20 70 72 6f 70 6f 72 74 69 6f 6e 61 6c 20 6d 69 78 69 6e 67 2c | y.groups.is.proportional.mixing, |
8fe0 | 20 74 68 65 6e 20 0a 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 24 20 69 73 20 67 69 76 65 6e 20 62 | .then..$\rho_{ij}(s)$.is.given.b |
9000 | 79 20 28 31 30 29 3a 20 0a 24 24 5c 72 68 6f 5f 7b 69 6a 7d 28 73 29 3d 7b 66 5f 7b 6a 73 7d 63 | y.(10):..$$\rho_{ij}(s)={f_{js}c |
9020 | 5f 6a 4e 5f 6a 5c 6f 76 65 72 20 5c 73 75 6d 5f 70 66 5f 7b 70 73 7d 63 5f 70 4e 5f 70 7d 2c 20 | _jN_j\over.\sum_pf_{ps}c_pN_p},. |
9040 | 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 30 29 24 24 20 0a 61 6e 64 20 28 38 29 20 61 6e 64 20 28 39 29 20 62 65 | \leqno(10)$$..and.(8).and.(9).be |
9060 | 63 6f 6d 65 20 28 31 31 29 20 61 6e 64 20 28 31 32 29 3a 20 0a 24 24 5c 64 6f 74 20 58 5f 69 3d | come.(11).and.(12):..$$\dot.X_i= |
9080 | 2d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d 7b 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 7d | -c_iX_i\sum_sf_{is}{\sum_jf_{js} |
90a0 | 63 5f 6a 5c 62 65 74 61 5f 6a 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 20 0a 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 | c_j\beta_jY_j.\over..\sum_jf_{js |
90c0 | 7d 63 5f 6a 4e 5f 6a 7d 2d 5c 6d 75 20 58 5f 69 2b 55 5f 69 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 31 29 24 | }c_jN_j}-\mu.X_i+U_i.\leqno(11)$ |
90e0 | 24 20 0a 24 24 5c 64 6f 74 20 59 5f 69 3d 63 5f 69 58 5f 69 5c 73 75 6d 5f 73 66 5f 7b 69 73 7d | $..$$\dot.Y_i=c_iX_i\sum_sf_{is} |
9100 | 7b 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 7d 63 5f 6a 5c 62 65 74 61 5f 6a 59 5f 6a 20 5c 6f 76 65 72 | {\sum_jf_{js}c_j\beta_jY_j.\over |
9120 | 20 0a 5c 73 75 6d 5f 6a 66 5f 7b 6a 73 7d 63 5f 6a 4e 5f 6a 7d 2d 28 6b 2b 5c 6d 75 29 59 5f 69 | ..\sum_jf_{js}c_jN_j}-(k+\mu)Y_i |
9140 | 2e 20 5c 6c 65 71 6e 6f 28 31 32 29 24 24 20 0a 20 0a 45 78 70 72 65 73 73 69 6f 6e 73 20 28 31 | ..\leqno(12)$$....Expressions.(1 |
9160 | 31 29 20 61 6e 64 20 28 31 32 29 20 73 68 6f 77 20 61 6e 20 69 6d 70 6f 72 74 61 6e 74 20 63 6f | 1).and.(12).show.an.important.co |
9180 | 6e 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 64 65 61 74 68 20 64 75 65 20 0a 74 6f 20 74 68 65 20 64 | nsequence.of.death.due..to.the.d |
91a0 | 69 73 65 61 73 65 2e 20 49 66 20 74 68 65 72 65 20 61 72 65 20 6e 6f 20 64 65 61 74 68 73 20 64 | isease..If.there.are.no.deaths.d |
91c0 | 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 24 4e 5f 6a 24 20 69 73 20 0a 63 6f 6e | ue.to.the.disease,.$N_j$.is..con |
91e0 | 73 74 61 6e 74 20 6f 6e 20 74 68 65 20 61 73 79 6d 70 74 6f 74 69 63 61 6c 6c 79 20 73 74 61 62 | stant.on.the.asymptotically.stab |
9200 | 6c 65 20 69 6e 76 61 72 69 61 6e 74 20 73 75 62 73 70 61 63 65 20 24 55 5f 6a 3d 5c 6d 75 20 0a | le.invariant.subspace.$U_j=\mu.. |
9220 | 4e 5f 6a 24 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 6a 24 2c 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 66 69 72 73 74 20 | N_j$.for.all.$j$,.and.the.first. |
9240 | 74 65 72 6d 2c 20 74 68 65 20 6e 6f 6e 6c 69 6e 65 61 72 20 74 65 72 6d 2c 20 69 6e 20 0a 28 31 | term,.the.nonlinear.term,.in..(1 |
9260 | 31 29 20 61 6e 64 20 28 31 32 29 20 69 73 20 61 20 73 75 6d 20 6f 66 20 7b 5c 69 74 20 71 75 61 | 1).and.(12).is.a.sum.of.{\it.qua |
9280 | 64 72 61 74 69 63 7d 20 74 65 72 6d 73 2e 20 49 66 20 74 68 65 72 65 20 61 72 65 20 64 65 61 74 | dratic}.terms..If.there.are.deat |
92a0 | 68 73 20 0a 64 75 65 20 74 6f 20 74 68 65 20 64 69 73 65 61 73 65 2c 20 24 4e 5f 6a 24 20 69 73 | hs..due.to.the.disease,.$N_j$.is |
92c0 | 20 6e 6f 20 6c 6f 6e 67 65 72 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 61 6e 64 20 74 68 65 20 66 69 72 73 | .no.longer.constant.and.the.firs |
92e0 | 74 20 74 65 72 6d 20 69 73 20 0a 61 20 73 75 6d 20 6f 66 20 72 61 74 69 6f 6e 61 6c 20 65 78 70 | t.term.is..a.sum.of.rational.exp |
9300 | 72 65 73 73 69 6f 6e 73 2c 20 65 61 63 68 20 68 6f 6d 6f 67 65 6e 65 6f 75 73 20 6f 66 20 64 65 | ressions,.each.homogeneous.of.de |
9320 | 67 72 65 65 20 6f 6e 65 2e 20 54 68 69 73 20 0a 6f 62 73 65 72 76 61 74 69 6f 6e 20 65 78 74 65 | gree.one..This..observation.exte |
9340 | 6e 64 73 20 74 6f 20 53 49 53 2c 20 53 49 52 2c 20 61 6e 64 20 53 49 52 53 20 6d 6f 64 65 6c 73 | nds.to.SIS,.SIR,.and.SIRS.models |
9360 | 2e 20 0a 20 0a 20 0a 0a 5c 52 65 66 73 0a 0a 0a 5c 72 65 66 20 31 5c 5c 0a 7b 5c 73 6d 63 20 52 | ........\Refs...\ref.1\\.{\smc.R |
9380 | 2e 20 46 6c 65 74 63 68 65 72 7d 2c 20 7b 5c 69 74 20 43 6f 6e 6a 75 67 61 74 65 20 67 72 61 64 | ..Fletcher},.{\it.Conjugate.grad |
93a0 | 69 65 6e 74 20 6d 65 74 68 6f 64 73 20 66 6f 72 20 69 6e 64 65 66 69 6e 69 74 65 0a 73 79 73 74 | ient.methods.for.indefinite.syst |
93c0 | 65 6d 73 7d 2c 20 69 6e 20 4e 75 6d 65 72 69 63 61 6c 20 41 6e 61 6c 79 73 69 73 20 44 75 6e 64 | ems},.in.Numerical.Analysis.Dund |
93e0 | 65 65 20 31 39 37 35 2c 20 47 2e 7e 41 2e 20 57 61 74 73 6f 6e 2c 20 65 64 2e 2c 0a 53 70 72 69 | ee.1975,.G.~A..Watson,.ed.,.Spri |
9400 | 6e 67 65 72 2d 56 65 72 6c 61 67 2c 20 4e 65 77 20 59 6f 72 6b 2c 20 4c 65 63 74 75 72 65 20 4e | nger-Verlag,.New.York,.Lecture.N |
9420 | 6f 74 65 73 20 69 6e 20 4d 61 74 68 2e 20 35 30 36 2c 20 0a 31 39 37 36 2c 20 70 70 2e 20 37 33 | otes.in.Math..506,..1976,.pp..73 |
9440 | 2d 2d 38 39 2e 0a 5c 65 6e 64 72 65 66 0a 0a 0a 5c 72 65 66 20 32 5c 5c 0a 7b 5c 73 6d 63 20 49 | --89..\endref...\ref.2\\.{\smc.I |
9460 | 2e 20 47 75 73 74 61 66 73 73 6f 6e 7d 2c 20 7b 5c 69 74 20 53 74 61 62 69 6c 69 74 79 20 61 6e | ..Gustafsson},.{\it.Stability.an |
9480 | 64 20 72 61 74 65 20 6f 66 20 63 6f 6e 76 65 72 67 65 6e 63 65 20 6f 66 0a 6d 6f 64 69 66 69 65 | d.rate.of.convergence.of.modifie |
94a0 | 64 20 69 6e 63 6f 6d 70 6c 65 74 65 20 43 68 6f 6c 65 73 6b 79 20 66 61 63 74 6f 72 69 7a 61 74 | d.incomplete.Cholesky.factorizat |
94c0 | 69 6f 6e 20 6d 65 74 68 6f 64 73 7d 2c 20 50 68 2e 44 2e 20 74 68 65 73 69 73 2c 0a 43 68 61 6c | ion.methods},.Ph.D..thesis,.Chal |
94e0 | 6d 65 72 73 20 55 6e 69 76 65 72 73 69 74 79 20 6f 66 20 54 65 63 68 6e 6f 6c 6f 67 79 20 61 6e | mers.University.of.Technology.an |
9500 | 64 20 74 68 65 20 55 6e 69 76 65 72 73 69 74 79 20 6f 66 20 47 6f 74 65 62 6f 72 67 2c 0a 47 6f | d.the.University.of.Goteborg,.Go |
9520 | 74 65 62 6f 72 67 2c 20 53 77 65 64 65 6e 2c 20 31 39 37 39 2e 0a 5c 65 6e 64 72 65 66 0a 0a 0a | teborg,.Sweden,.1979..\endref... |
9540 | 5c 72 65 66 20 33 5c 5c 0a 7b 5c 73 6d 63 20 57 2e 7e 44 2e 20 4a 6f 75 62 65 72 74 7d 2c 20 7b | \ref.3\\.{\smc.W.~D..Joubert},.{ |
9560 | 5c 69 74 20 47 65 6e 65 72 61 6c 69 7a 65 64 20 63 6f 6e 6a 75 67 61 74 65 20 67 72 61 64 69 65 | \it.Generalized.conjugate.gradie |
9580 | 6e 74 20 61 6e 64 0a 4c 61 6e 63 7a 6f 73 20 6d 65 74 68 6f 64 73 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 73 | nt.and.Lanczos.methods.for.the.s |
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cac0 | 20 20 20 20 20 20 5c 64 65 66 5c 6e 65 78 74 69 69 40 5b 23 23 31 5d 23 23 32 7b 5c 66 6f 6f 74 | ......\def\nextii@[##1]##2{\foot |
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