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1120 | 6e 0a 74 79 70 65 2e 20 20 49 6e 20 76 65 72 73 69 6f 6e 20 32 20 6f 66 20 74 68 65 20 5c 41 6d | n.type...In.version.2.of.the.\Am |
1140 | 53 54 65 58 5c 20 73 74 79 6c 65 20 66 69 6c 65 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 53 49 41 4d 20 6a 6f | STeX\.style.file.for.the.SIAM.jo |
1160 | 75 72 6e 61 6c 73 2c 0a 64 65 66 69 6e 69 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 73 65 74 20 77 69 74 68 | urnals,.definitions.are.set.with |
1180 | 20 74 68 65 69 72 20 6f 77 6e 20 63 6f 6d 6d 61 6e 64 2e 0a 5c 65 6e 64 64 65 66 69 6e 69 74 69 | .their.own.command..\enddefiniti |
11a0 | 6f 6e 0a 5c 70 72 6f 63 6c 61 69 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 2e 31 7d 0a 4c 65 74 20 24 5c | on.\proclaim{Theorem.2.1}.Let.$\ |
11c0 | 7b 75 5e 68 5c 7d 24 20 62 65 20 61 20 66 61 6d 69 6c 79 20 6f 66 20 61 70 70 72 6f 78 69 6d 61 | {u^h\}$.be.a.family.of.approxima |
11e0 | 74 65 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 20 73 61 74 69 73 66 79 69 6e 67 0a 74 68 65 20 66 6f 6c 6c | te.solutions.satisfying.the.foll |
1200 | 6f 77 69 6e 67 20 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 24 30 5c 6c 65 71 20 74 5c 6c 65 | owing.conditions.for.$0\leq.t\le |
1220 | 71 20 54 24 7b 5c 72 6d 3a 7d 0a 5c 72 6f 73 74 65 72 0a 5c 69 74 65 6d 20 46 6f 72 20 61 6c 6c | q.T${\rm:}.\roster.\item.For.all |
1240 | 20 24 78 5c 69 6e 5c 42 62 62 20 52 24 20 61 6e 64 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 24 74 24 2c 20 | .$x\in\Bbb.R$.and.positive.$t$,. |
1260 | 24 30 5c 6c 65 71 20 75 5e 68 28 78 2c 74 29 5c 6c 65 71 20 4d 24 7b 5c 72 6d 3b 7d 0a 5c 69 74 | $0\leq.u^h(x,t)\leq.M${\rm;}.\it |
1280 | 65 6d 20 42 6f 74 68 20 24 75 24 20 61 6e 64 20 24 75 5e 68 24 20 61 72 65 20 48 5c 22 6f 6c 64 | em.Both.$u$.and.$u^h$.are.H\"old |
12a0 | 65 72 2d 2d 24 5c 61 6c 70 68 61 24 20 69 6e 20 24 78 24 0a 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 61 | er--$\alpha$.in.$x$.for.some.$\a |
12c0 | 6c 70 68 61 5c 69 6e 28 30 2c 31 5c 77 65 64 67 65 20 31 2f 28 6d 2d 31 29 29 24 7b 5c 72 6d 3b | lpha\in(0,1\wedge.1/(m-1))${\rm; |
12e0 | 7d 20 24 75 5e 68 24 20 69 73 20 72 69 67 68 74 0a 63 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 20 69 6e 20 24 | }.$u^h$.is.right.continuous.in.$ |
1300 | 74 24 7b 5c 72 6d 3b 7d 0a 61 6e 64 20 24 75 5e 68 24 20 69 73 20 48 5c 22 6f 6c 64 65 72 20 63 | t${\rm;}.and.$u^h$.is.H\"older.c |
1320 | 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 20 69 6e 20 24 74 24 20 6f 6e 0a 73 74 72 69 70 73 20 24 5c 42 62 62 | ontinuous.in.$t$.on.strips.$\Bbb |
1340 | 20 52 5c 74 69 6d 65 73 28 74 5e 6e 2c 74 5e 7b 6e 2b 31 7d 29 24 2c 20 77 69 74 68 20 74 68 65 | .R\times(t^n,t^{n+1})$,.with.the |
1360 | 20 73 65 74 20 24 5c 7b 74 5e 6e 5c 7d 24 20 68 61 76 69 6e 67 20 6e 6f 0a 6c 69 6d 69 74 20 70 | .set.$\{t^n\}$.having.no.limit.p |
1380 | 6f 69 6e 74 73 5c 2f 7b 5c 72 6d 3b 7d 20 61 6e 64 0a 5c 69 74 65 6d 20 54 68 65 72 65 20 65 78 | oints\/{\rm;}.and.\item.There.ex |
13a0 | 69 73 74 73 20 61 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 24 5c 6f 6d 65 67 61 | ists.a.positive.function.$\omega |
13c0 | 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 5c 2f 7b 5c 72 6d 3a 7d 0a | (h,\epsilon)$.such.that\/{\rm:}. |
13e0 | 77 68 65 6e 65 76 65 72 20 24 5c 7b 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5c 7d 5f 7b 30 3c 5c 65 70 73 | whenever.$\{w^\epsilon\}_{0<\eps |
1400 | 69 6c 6f 6e 5c 6c 65 71 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5f 30 7d 24 20 69 73 20 61 20 66 61 6d 69 6c 79 | ilon\leq\epsilon_0}$.is.a.family |
1420 | 20 6f 66 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 0a 69 6e 20 24 5c 62 6f 6c 64 20 58 24 20 66 6f 72 20 77 | .of.functions.in.$\bold.X$.for.w |
1440 | 68 69 63 68 0a 7b 5c 72 6f 73 74 65 72 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 61 29 22 20 74 68 65 72 65 20 69 | hich.{\roster.\item"(a)".there.i |
1460 | 73 20 61 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 6e 75 6d 62 65 72 73 | s.a.sequence.of.positive.numbers |
1480 | 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 20 74 65 6e 64 69 6e 67 0a 74 6f 20 7a 65 72 6f 2c 20 73 75 63 | .$\epsilon$.tending.to.zero,.suc |
14a0 | 68 20 74 68 61 74 20 66 6f 72 20 74 68 65 73 65 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 0a 24 5c 65 70 | h.that.for.these..values.of.$\ep |
14c0 | 73 69 6c 6f 6e 24 2c 20 24 5c 7c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5c 7c 5f 5c 69 6e 66 74 79 5c 6c | silon$,.$\|w^\epsilon\|_\infty\l |
14e0 | 65 71 20 31 2f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 2c 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 62 29 22 20 66 6f 72 20 61 | eq.1/\epsilon$,.\item"(b)".for.a |
1500 | 6c 6c 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 0a 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 2c 20 24 5c 7c 77 5f 78 5e 5c | ll.positive.$\epsilon$,.$\|w_x^\ |
1520 | 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 5c 73 64 6f 74 2c 74 29 5c 7c 5f 5c 6c 6f 6e 65 72 5c 6c 65 71 20 31 2f | epsilon(\sdot,t)\|_\loner\leq.1/ |
1540 | 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 32 24 2c 20 61 6e 64 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 63 29 22 20 66 6f 72 20 | \epsilon^2$,.and.\item"(c)".for. |
1560 | 61 6c 6c 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 3e 30 24 2c 20 0a 24 24 0a 5c 73 75 70 5c 53 62 0a 78 5c | all.$\epsilon>0$,..$$.\sup\Sb.x\ |
1580 | 69 6e 5c 42 62 62 20 52 5c 5c 30 5c 6c 65 71 20 74 5f 31 2c 74 5f 32 5c 6c 65 71 20 54 5c 65 6e | in\Bbb.R\\0\leq.t_1,t_2\leq.T\en |
15a0 | 64 53 62 0a 5c 64 66 72 61 63 7b 7c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 78 2c 74 5f 32 29 2d 77 5e | dSb.\dfrac{|w^\epsilon(x,t_2)-w^ |
15c0 | 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 78 2c 74 5f 31 29 7c 7d 7b 7c 74 5f 32 2d 74 5f 31 7c 5e 70 7d 5c 6c | \epsilon(x,t_1)|}{|t_2-t_1|^p}\l |
15e0 | 65 71 20 31 2f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 32 2c 0a 24 24 0a 77 68 65 72 65 20 24 70 24 20 69 73 | eq.1/\epsilon^2,.$$.where.$p$.is |
1600 | 20 73 6f 6d 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6e 6f 74 20 65 78 63 65 65 64 69 6e 67 20 24 31 24 2c 0a | .some.number.not.exceeding.$1$,. |
1620 | 5c 65 6e 64 72 6f 73 74 65 72 7d 25 0a 74 68 65 6e 5c 66 6f 6f 74 6e 6f 74 65 7b 54 68 69 73 20 | \endroster}%.then\footnote{This. |
1640 | 69 73 20 61 6e 20 6f 62 76 69 6f 75 73 20 70 6c 6f 79 2c 20 62 75 74 20 77 65 20 6e 65 65 64 20 | is.an.obvious.ploy,.but.we.need. |
1660 | 61 20 66 6f 6f 74 6e 6f 74 65 2e 7d 0a 20 24 7c 45 20 28 75 5e 68 2c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f | a.footnote.}..$|E.(u^h,w^\epsilo |
1680 | 6e 2c 54 29 7c 5c 6c 65 71 5c 6f 6d 65 67 61 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 2e 24 0a 5c 69 | n,T)|\leq\omega(h,\epsilon).$.\i |
16a0 | 74 65 6d 0a 54 68 69 73 20 69 73 20 74 68 65 20 66 6f 75 72 74 68 20 69 74 65 6d 20 69 6e 20 74 | tem.This.is.the.fourth.item.in.t |
16c0 | 68 65 20 6f 75 74 65 72 20 72 6f 73 74 65 72 2e 0a 5c 65 6e 64 72 6f 73 74 65 72 0a 54 68 65 6e | he.outer.roster..\endroster.Then |
16e0 | 2c 20 74 68 65 72 65 20 69 73 20 61 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 24 43 3d 43 28 6d 2c 4d 2c 54 | ,.there.is.a.constant.$C=C(m,M,T |
1700 | 29 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 0a 24 24 5c 6d 75 6c 74 6c 69 6e 65 0a 5c 7c 75 2d 75 5e 68 | )$.such.that.$$\multline.\|u-u^h |
1720 | 5c 7c 5f 7b 5c 69 6e 66 74 79 2c 5c 42 62 62 20 52 5c 74 69 6d 65 73 5b 30 2c 54 5d 7d 5c 6c 65 | \|_{\infty,\Bbb.R\times[0,T]}\le |
1740 | 71 20 43 5c 62 69 67 67 6c 5b 0a 5c 73 75 70 20 5c 62 69 67 67 6c 20 7c 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 | q.C\biggl[.\sup.\biggl.|\int_\Bb |
1760 | 62 20 52 28 75 5f 30 28 78 29 2d 75 5e 68 28 78 2c 30 29 29 20 20 77 28 78 2c 30 29 20 5c 2c 64 | b.R(u_0(x)-u^h(x,0))..w(x,0).\,d |
1780 | 78 5c 62 69 67 67 72 7c 5c 5c 0a 2b 5c 6f 6d 65 67 61 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 2b 5c | x\biggr|\\.+\omega(h,\epsilon)+\ |
17a0 | 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 5c 61 6c 70 68 61 5c 62 69 67 67 72 5d 2c 5c 65 6e 64 6d 75 6c 74 6c 69 | epsilon^\alpha\biggr],\endmultli |
17c0 | 6e 65 0a 5c 74 61 67 20 32 2e 31 0a 24 24 0a 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 73 75 70 72 65 6d 75 | ne.\tag.2.1.$$.where.the.supremu |
17e0 | 6d 20 69 73 20 74 61 6b 65 6e 20 6f 76 65 72 20 61 6c 6c 20 24 77 5c 69 6e 5c 62 6f 6c 64 20 58 | m.is.taken.over.all.$w\in\bold.X |
1800 | 24 2e 0a 5c 65 6e 64 70 72 6f 63 6c 61 69 6d 0a 0a 5c 64 65 6d 6f 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 57 65 | $..\endproclaim..\demo{Proof}.We |
1820 | 20 61 73 73 75 6d 65 20 66 69 72 73 74 20 74 68 61 74 20 24 51 24 20 69 73 20 64 65 63 72 65 61 | .assume.first.that.$Q$.is.decrea |
1840 | 73 69 6e 67 20 61 6e 64 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 | sing.and.consider.the.following. |
1860 | 63 61 73 65 73 3a 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 73 65 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 31 3a 7d 0a 24 62 27 5c | cases:.\case{Case\/.{\rm1:}.$b'\ |
1880 | 67 65 71 20 31 2f 32 24 7d 20 57 65 20 68 61 76 65 20 24 50 28 31 2f 38 29 5c 67 65 71 5c 64 65 | geq.1/2$}.We.have.$P(1/8)\geq\de |
18a0 | 6c 74 61 3e 30 24 20 77 68 65 72 65 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e | lta>0$.where.$\delta$.depends.on |
18c0 | 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 2c 20 66 6f 72 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 62 79 20 28 33 2e 37 | ly.on.$d$,.for.otherwise.by.(3.7 |
18e0 | 29 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 24 50 24 20 61 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 2c | ).applied.to.$P$.and.$p=\infty$, |
1900 | 0a 24 50 24 20 63 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 | .$P$.could.not.attain.the.value. |
1920 | 24 31 24 20 61 74 20 24 78 3d 31 24 2e 20 20 53 69 6d 69 6c 61 72 6c 79 2c 20 66 6f 72 0a 24 6d | $1$.at.$x=1$...Similarly,.for.$m |
1940 | 3d 28 61 27 2b 62 27 29 2f 32 24 2c 20 24 51 28 6d 29 5c 67 65 71 5c 64 65 6c 74 61 27 3e 30 24 | =(a'+b')/2$,.$Q(m)\geq\delta'>0$ |
1960 | 20 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 64 65 6c 74 61 27 24 20 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e | .for.some.$\delta'$.depending.on |
1980 | 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 0a 73 69 6e 63 65 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 24 51 24 20 63 61 | ly.on.$d$.since.otherwise.$Q$.ca |
19a0 | 6e 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 31 24 20 61 74 20 24 78 3d | nnot.attain.the.value.$1$.at.$x= |
19c0 | 61 27 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 2c 20 66 6f 72 0a 24 5c 64 65 6c 74 61 27 27 3d 5c 6d 69 6e 28 | a'$...Hence,.for.$\delta''=\min( |
19e0 | 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 6c 74 61 27 29 24 2c 20 0a 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 67 65 71 7c 6d | \delta,\delta')$,..$|A(y)|\geq|m |
1a00 | 2d 31 2f 38 7c 5c 67 65 71 20 62 27 2f 34 5c 67 65 71 5c 66 72 61 63 31 38 5c 6d 61 78 28 62 27 | -1/8|\geq.b'/4\geq\frac18\max(b' |
1a20 | 2c 31 29 24 20 66 6f 72 20 0a 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 5c 64 65 6c 74 61 27 27 5d 24 2e 20 20 4f | ,1)$.for..$y\in[0,\delta'']$...O |
1a40 | 6e 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 68 61 6e 64 2c 0a 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 5c 6d | n.the.other.hand,.$|A(y)|\leq.\m |
1a60 | 61 78 28 62 27 2c 31 29 24 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 2c 20 73 | ax(b',1)$.for.all.$y\in[0,1]$,.s |
1a80 | 6f 20 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 0a 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 | o.(4.2).follows.for.all.$1\leq.p |
1aa0 | 5c 6c 65 71 5c 69 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 73 65 | \leq\infty$..\endcase.\case{Case |
1ac0 | 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 32 3a 7d 0a 24 62 27 5c 6c 65 71 20 31 2f 32 24 7d 20 57 65 20 68 61 76 65 | \/.{\rm2:}.$b'\leq.1/2$}.We.have |
1ae0 | 20 24 50 28 33 2f 34 29 5c 6c 65 71 5c 64 65 6c 74 61 3c 31 24 20 77 69 74 68 20 24 5c 64 65 6c | .$P(3/4)\leq\delta<1$.with.$\del |
1b00 | 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 20 66 6f 72 20 6f 74 | ta$.depending.only.on.$d$.for.ot |
1b20 | 68 65 72 77 69 73 65 20 28 33 2e 37 29 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 24 31 2d 50 24 20 61 | herwise.(3.7).applied.to.$1-P$.a |
1b40 | 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 0a 77 6f 75 6c 64 20 73 68 6f 77 20 74 68 61 74 20 24 50 | nd.$p=\infty$.would.show.that.$P |
1b60 | 24 20 63 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 30 24 | $.could.not.attain.the.value.$0$ |
1b80 | 20 61 74 20 24 78 3d 30 24 2e 20 20 49 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 0a 74 68 61 74 20 24 7c 41 28 | .at.$x=0$...It.follows.that.$|A( |
1ba0 | 79 29 7c 5c 67 65 71 20 33 2f 34 2d 62 27 5c 67 65 71 20 31 2f 34 24 2c 20 24 79 5c 69 6e 5b 5c | y)|\geq.3/4-b'\geq.1/4$,.$y\in[\ |
1bc0 | 64 65 6c 74 61 2c 31 5d 24 2c 20 77 68 69 6c 65 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 31 24 0a | delta,1]$,.while.$|A(y)|\leq.1$. |
1be0 | 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 20 28 34 2e 32 | for.all.$y\in[0,1]$...Hence.(4.2 |
1c00 | 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 0a 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 5c 6c 65 71 5c 69 | ).follows.for.all.$1\leq.p\leq\i |
1c20 | 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 57 65 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 6e 6f 77 20 | nfty$..\endcase.We.consider.now. |
1c40 | 77 68 65 6e 20 24 51 24 20 69 73 20 69 6e 63 72 65 61 73 69 6e 67 2e 20 20 57 65 20 63 61 6e 20 | when.$Q$.is.increasing...We.can. |
1c60 | 61 73 73 75 6d 65 20 74 68 61 74 20 24 51 24 20 69 73 20 6e 6f 74 0a 61 20 74 72 61 6e 73 6c 61 | assume.that.$Q$.is.not.a.transla |
1c80 | 74 65 20 6f 66 20 24 50 24 2c 20 69 2e 65 5c 2e 2c 20 77 65 20 64 6f 20 6e 6f 74 20 68 61 76 65 | te.of.$P$,.i.e\.,.we.do.not.have |
1ca0 | 20 24 50 28 78 29 3d 51 28 78 2b 5c 64 65 6c 74 61 29 24 20 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 64 | .$P(x)=Q(x+\delta)$.for.some.$\d |
1cc0 | 65 6c 74 61 24 2c 0a 66 6f 72 20 74 68 65 6e 20 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 74 72 | elta$,.for.then.(4.2).follows.tr |
1ce0 | 69 76 69 61 6c 6c 79 2e 20 20 49 6e 20 77 68 61 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 2c 20 24 43 24 20 61 | ivially...In.what.follows,.$C$.a |
1d00 | 6e 64 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 24 64 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | nd.$\delta$.depend.on.$d$,.and.$ |
1d20 | 43 24 20 6d 61 79 20 64 65 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 24 70 24 2e 20 20 57 65 20 63 6f 6e 73 69 64 | C$.may.depend.on.$p$...We.consid |
1d40 | 65 72 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 63 61 73 65 73 3a 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 | er.the.following.cases:.\case{Ca |
1d60 | 73 65 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 33 3a 7d 20 24 61 27 5c 67 65 71 20 31 2f 34 24 20 61 6e 64 20 24 62 | se\/.{\rm3:}.$a'\geq.1/4$.and.$b |
1d80 | 27 5c 6c 65 71 20 31 30 30 24 7d 0a 46 72 6f 6d 20 28 33 2e 37 29 20 66 6f 72 20 24 50 24 0a 61 | '\leq.100$}.From.(3.7).for.$P$.a |
1da0 | 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 2c 20 69 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 74 68 61 74 20 24 | nd.$p=\infty$,.it.follows.that.$ |
1dc0 | 50 28 31 2f 38 29 5c 67 65 71 5c 64 65 6c 74 61 24 20 73 69 6e 63 65 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 | P(1/8)\geq\delta$.since.otherwis |
1de0 | 65 20 24 50 24 20 63 61 6e 6e 6f 74 0a 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 31 | e.$P$.cannot.attain.the.value.$1 |
1e00 | 24 20 61 74 20 24 78 3d 31 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 67 65 71 20 61 | $.at.$x=1$...Hence.$|A(y)|\geq.a |
1e20 | 27 2d 31 2f 38 5c 67 65 71 31 2f 38 24 20 6f 6e 0a 24 5b 30 2c 5c 64 65 6c 74 61 5d 24 2e 20 20 | '-1/8\geq1/8$.on.$[0,\delta]$... |
1e40 | 4f 6e 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 68 61 6e 64 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 62 27 | On.the.other.hand.$|A(y)|\leq.b' |
1e60 | 24 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 20 61 6e 64 20 68 65 6e 63 65 0a | $.for.all.$y\in[0,1]$.and.hence. |
1e80 | 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 5c 6c | (4.2).follows.for.all.$1\leq.p\l |
1ea0 | 65 71 5c 69 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 4c 65 74 20 24 7a 24 20 62 65 20 69 | eq\infty$..\endcase.Let.$z$.be.i |
1ec0 | 6e 20 24 5c 62 6f 6c 64 20 58 24 2e 20 42 65 63 61 75 73 65 20 24 45 28 75 2c 5c 73 64 6f 74 2c | n.$\bold.X$..Because.$E(u,\sdot, |
1ee0 | 5c 73 64 6f 74 29 5c 65 71 75 69 76 30 24 2c 0a 45 71 75 61 74 69 6f 6e 20 28 31 2e 35 29 20 69 | \sdot)\equiv0$,.Equation.(1.5).i |
1f00 | 6d 70 6c 69 65 73 20 74 68 61 74 0a 24 24 0a 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 20 52 5c 44 65 6c 74 61 | mplies.that.$$.\int_\Bbb.R\Delta |
1f20 | 20 75 7a 7c 5e 54 5f 30 64 78 3d 5c 69 6e 74 5f 30 5e 54 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 20 52 0a 5c | .uz|^T_0dx=\int_0^T\int_\Bbb.R.\ |
1f40 | 44 65 6c 74 61 20 75 28 7a 5f 74 2b 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 7a 5f 7b 78 78 7d 29 5c 2c | Delta.u(z_t+\phi[u,u^h]z_{xx})\, |
1f60 | 64 78 5c 2c 64 74 2d 0a 45 28 75 5e 68 2c 7a 2c 74 29 2c 0a 5c 74 61 67 20 32 2e 32 0a 24 24 0a | dx\,dt-.E(u^h,z,t),.\tag.2.2.$$. |
1f80 | 77 68 65 72 65 20 24 5c 44 65 6c 74 61 20 75 3d 75 2d 75 5e 68 24 20 61 6e 64 20 0a 24 24 0a 5c | where.$\Delta.u=u-u^h$.and..$$.\ |
1fa0 | 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 3d 5c 64 66 72 61 63 7b 5c 70 68 69 28 75 29 2d 5c 70 68 69 28 75 | phi[u,u^h]=\dfrac{\phi(u)-\phi(u |
1fc0 | 5e 68 29 7d 7b 75 2d 75 5e 68 7d 2e 0a 24 24 0a 45 78 74 65 6e 64 20 24 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 | ^h)}{u-u^h}..$$.Extend.$\phi[u,u |
1fe0 | 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 74 29 3d 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 30 | ^h](\cdot,t)=\phi[u,u^h](\cdot,0 |
2000 | 29 24 20 66 6f 72 20 6e 65 67 61 74 69 76 65 20 24 74 24 2c 20 61 6e 64 0a 24 5c 70 68 69 5b 75 | )$.for.negative.$t$,.and.$\phi[u |
2020 | 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 74 29 3d 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 | ,u^h](\cdot,t)=\phi[u,u^h](\cdot |
2040 | 2c 54 29 24 0a 66 6f 72 20 24 74 3e 54 24 2e 0a 46 69 78 20 61 20 70 6f 69 6e 74 20 24 78 5f 30 | ,T)$.for.$t>T$..Fix.a.point.$x_0 |
2060 | 24 20 61 6e 64 20 61 20 6e 75 6d 62 65 72 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 3e 30 24 2e 20 4c 65 74 | $.and.a.number.$\epsilon>0$..Let |
2080 | 20 24 6a 5f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 0a 62 65 20 61 20 73 6d 6f 6f 74 68 20 66 75 6e 63 74 69 | .$j_\epsilon$.be.a.smooth.functi |
20a0 | 6f 6e 20 6f 66 20 24 78 24 20 77 69 74 68 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 24 31 24 20 61 6e 64 20 | on.of.$x$.with.integral.$1$.and. |
20c0 | 73 75 70 70 6f 72 74 20 69 6e 20 0a 24 5b 2d 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | support.in..$[-\epsilon,\epsilon |
20e0 | 5d 24 2c 0a 61 6e 64 20 6c 65 74 20 24 4a 5f 5c 64 65 6c 74 61 24 20 62 65 20 61 20 73 6d 6f 6f | ]$,.and.let.$J_\delta$.be.a.smoo |
2100 | 74 68 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 0a 24 78 24 20 61 6e 64 20 24 74 24 20 77 69 74 68 20 | th.function.of.$x$.and.$t$.with. |
2120 | 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 24 31 24 20 61 6e 64 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 69 6e 20 0a 24 5b 2d | integral.$1$.and.support.in..$[- |
2140 | 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 6c 74 61 5d 5c 74 69 6d 65 73 5b 2d 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 | \delta,\delta]\times[-\delta,\de |
2160 | 6c 74 61 5d 24 3b 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 20 61 6e 64 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 20 61 | lta]$;.$\delta$.and.$\epsilon$.a |
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21a0 | 69 65 64 20 6c 61 74 65 72 2e 0a 57 65 20 63 68 6f 6f 73 65 20 24 7a 3d 7a 5e 7b 5c 65 70 73 69 | ied.later..We.choose.$z=z^{\epsi |
21c0 | 6c 6f 6e 5c 64 65 6c 74 61 7d 24 20 74 6f 20 73 61 74 69 73 66 79 0a 24 24 0a 5c 61 6c 69 67 6e | lon\delta}$.to.satisfy.$$.\align |
21e0 | 65 64 0a 20 20 26 7a 5f 74 2b 28 5c 64 65 6c 74 61 2b 4a 5f 5c 64 65 6c 74 61 2a 5c 70 68 69 5b | ed...&z_t+(\delta+J_\delta*\phi[ |
2200 | 75 2c 75 5e 68 5d 29 7a 5f 7b 78 78 7d 3d 30 2c 5c 71 71 75 61 64 20 78 5c 69 6e 5c 42 62 62 20 | u,u^h])z_{xx}=0,\qquad.x\in\Bbb. |
2220 | 52 2c 5c 3b 30 0a 5c 6c 65 71 20 74 5c 6c 65 71 20 54 2c 5c 5c 0a 20 20 26 7a 28 78 2c 54 29 3d | R,\;0.\leq.t\leq.T,\\...&z(x,T)= |
2240 | 6a 5f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 78 2d 78 5f 30 29 2e 0a 5c 65 6e 64 61 6c 69 67 6e 65 64 0a 5c | j_\epsilon(x-x_0)..\endaligned.\ |
2260 | 74 61 67 20 32 2e 33 0a 24 24 0a 54 68 65 20 63 6f 6e 63 6c 75 73 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 65 | tag.2.3.$$.The.conclusion.of.the |
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22a0 | 61 6e 64 20 74 68 65 20 66 61 63 74 20 74 68 61 74 0a 24 24 0a 7c 6a 5f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | and.the.fact.that.$$.|j_\epsilon |
22c0 | 2a 5c 44 65 6c 74 61 20 75 28 78 5f 30 2c 74 29 2d 5c 44 65 6c 74 61 20 75 28 78 5f 30 2c 74 29 | *\Delta.u(x_0,t)-\Delta.u(x_0,t) |
22e0 | 7c 5c 6c 65 71 20 43 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 5c 61 6c 70 68 61 2c 0a 24 24 0a 77 68 69 63 68 | |\leq.C\epsilon^\alpha,.$$.which |
2300 | 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 72 6f 6d 20 20 41 73 73 75 6d 70 74 69 6f 6e 20 32 2e 0a 5c 71 71 | .follows.from..Assumption.2..\qq |
2320 | 75 61 64 5c 71 65 64 0a 5c 65 6e 64 64 65 6d 6f 0a 5c 65 78 61 6d 70 6c 65 7b 45 78 61 6d 70 6c | uad\qed.\enddemo.\example{Exampl |
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23c0 | 6e 0a 73 6f 6d 65 20 73 74 79 6c 65 73 2c 0a 61 6e 64 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 70 | n.some.styles,.and.the.same.as.p |
23e0 | 72 6f 6f 66 73 20 69 6e 20 6f 74 68 65 72 73 2e 20 20 57 68 61 74 20 63 6f 6e 76 65 6e 74 69 6f | roofs.in.others...What.conventio |
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24a0 | 7b 7b 5c 62 66 20 65 6c 73 65 5c 2f 20 7d 7d 0a 5c 73 65 74 74 61 62 73 5c 2b 5c 71 71 75 61 64 | {{\bf.else\/.}}.\settabs\+\qquad |
24c0 | 26 5c 71 71 75 61 64 26 5c 71 71 75 61 64 26 5c 71 71 75 61 64 26 5c 63 72 0a 5c 2b 5c 73 6d 63 | &\qquad&\qquad&\qquad&\cr.\+\smc |
24e0 | 20 54 72 65 65 20 50 61 72 74 69 74 69 6f 6e 20 41 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 5c 7b 5c 63 72 0a | .Tree.Partition.Algorithm.\{\cr. |
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25a0 | 30 5c 63 72 0a 5c 2b 26 5c 42 77 68 69 6c 65 20 28 73 74 61 63 6b 20 73 69 7a 65 20 24 5c 6c 65 | 0\cr.\+&\Bwhile.(stack.size.$\le |
25c0 | 71 24 20 6d 61 78 20 73 69 7a 65 20 61 6e 64 20 73 74 61 63 6b 20 73 69 7a 65 20 2b 20 0a 49 24 | q$.max.size.and.stack.size.+..I$ |
25e0 | 5c 72 69 67 68 74 61 72 72 6f 77 24 74 72 65 65 20 73 69 7a 65 20 24 3e 24 20 33 20 28 6d 61 78 | \rightarrow$tree.size.$>$.3.(max |
2600 | 20 73 69 7a 65 29 29 20 5c 7b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 70 72 6f 63 65 73 73 20 49 20 61 73 20 61 | .size)).\{\cr.\+&&process.I.as.a |
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26a0 | 20 74 68 65 20 73 75 62 74 72 65 65 73 20 6f 66 20 74 68 65 20 74 77 6f 20 63 68 69 6c 64 72 65 | .the.subtrees.of.the.two.childre |
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26e0 | 67 68 74 61 72 72 6f 77 24 74 72 65 65 20 73 69 7a 65 20 2b 20 73 74 61 63 6b 20 73 69 7a 65 20 | ghtarrow$tree.size.+.stack.size. |
2700 | 24 3e 24 20 33 20 28 6d 61 78 20 73 69 7a 65 29 29 20 5c 7b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 26 70 75 73 | $>$.3.(max.size)).\{\cr.\+&&&pus |
2720 | 68 20 6d 69 6e 20 74 72 65 65 20 6f 6e 74 6f 20 74 68 65 20 67 6c 6f 62 61 6c 20 73 74 61 63 6b | h.min.tree.onto.the.global.stack |
2740 | 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 5c 7d 20 5c 42 65 6c 73 65 20 5c 7b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 26 70 75 73 | \cr.\+&&\}.\Belse.\{\cr.\+&&&pus |
2760 | 68 20 6d 69 6e 20 74 72 65 65 20 6f 6e 74 6f 20 74 68 65 20 6c 6f 63 61 6c 20 73 74 61 63 6b 5c | h.min.tree.onto.the.local.stack\ |
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27a0 | 73 69 7a 65 20 2b 20 6d 69 6e 20 74 72 65 65 24 5c 72 69 67 68 74 61 72 72 6f 77 24 74 72 65 65 | size.+.min.tree$\rightarrow$tree |
27c0 | 20 73 69 7a 65 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 5c 7d 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 73 65 74 20 49 20 3a 3d 20 | .size\cr.\+&&\}\cr.\+&&set.I.:=. |
27e0 | 6d 61 78 20 74 72 65 65 5c 63 72 0a 5c 2b 26 5c 7d 5c 63 72 0a 5c 2b 26 5c 42 69 66 20 28 49 24 | max.tree\cr.\+&\}\cr.\+&\Bif.(I$ |
2800 | 5c 72 69 67 68 74 61 72 72 6f 77 24 74 72 65 65 20 73 69 7a 65 20 2b 20 73 74 61 63 6b 20 73 69 | \rightarrow$tree.size.+.stack.si |
2820 | 7a 65 20 24 3e 24 20 33 20 28 6d 61 78 20 73 69 7a 65 29 29 20 5c 7b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 70 | ze.$>$.3.(max.size)).\{\cr.\+&&p |
2840 | 75 73 68 20 49 20 6f 6e 74 6f 20 74 68 65 20 67 6c 6f 62 61 6c 20 73 74 61 63 6b 5c 63 72 0a 5c | ush.I.onto.the.global.stack\cr.\ |
2860 | 2b 26 5c 7d 20 5c 42 65 6c 73 65 20 5c 7b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 26 70 75 73 68 20 49 20 6f 6e 74 | +&\}.\Belse.\{\cr.\+&&push.I.ont |
2880 | 6f 20 74 68 65 20 6c 6f 63 61 6c 20 73 74 61 63 6b 5c 63 72 0a 5c 2b 26 5c 7d 5c 63 72 0a 5c 2b | o.the.local.stack\cr.\+&\}\cr.\+ |
28a0 | 26 50 72 6f 63 65 73 73 20 61 6c 6c 20 73 75 62 74 72 65 65 73 20 6f 6e 20 74 68 65 20 6c 6f 63 | &Process.all.subtrees.on.the.loc |
28c0 | 61 6c 20 73 74 61 63 6b 5c 63 72 0a 5c 2b 5c 7d 5c 63 72 0a 5c 62 6f 74 63 61 70 74 69 6f 6e 7b | al.stack\cr.\+\}\cr.\botcaption{ |
28e0 | 46 69 67 2e 7e 31 7d 20 20 54 72 65 65 20 70 61 72 74 69 74 69 6f 6e 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 | Fig.~1}..Tree.partition.algorith |
2900 | 6d 20 54 72 65 65 20 70 61 72 74 69 74 69 6f 6e 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 0a 54 72 65 65 20 | m.Tree.partition.algorithm.Tree. |
2920 | 70 61 72 74 69 74 69 6f 6e 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 54 72 65 65 20 70 61 72 74 69 74 69 | partition.algorithm.Tree.partiti |
2940 | 6f 6e 20 61 6c 67 6f 72 69 74 68 6d 20 54 72 65 65 20 70 61 72 74 69 74 69 6f 6e 20 61 6c 67 6f | on.algorithm.Tree.partition.algo |
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be60 | 20 61 0a 66 69 67 75 72 65 20 63 61 70 74 69 6f 6e 2e 5c 65 6e 64 63 61 70 74 69 6f 6e 22 2e 20 | .a.figure.caption.\endcaption".. |
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bfa0 | 74 68 65 20 74 61 62 6c 65 20 75 73 69 6e 67 20 5c 76 22 5c 68 62 6f 78 20 74 6f 20 5c 68 73 69 | the.table.using.\v"\hbox.to.\hsi |
bfc0 | 7a 65 7b 5c 68 72 75 6c 65 66 69 6c 6c 7d 22 2e 0a 0a 5c 68 65 61 64 69 6e 67 7b 54 61 62 6c 65 | ze{\hrulefill}"...\heading{Table |
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