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1180 20 74 68 65 69 72 20 6f 77 6e 20 63 6f 6d 6d 61 6e 64 2e 0a 5c 65 6e 64 64 65 66 69 6e 69 74 69 .their.own.command..\enddefiniti
11a0 6f 6e 0a 5c 70 72 6f 63 6c 61 69 6d 7b 54 68 65 6f 72 65 6d 20 32 2e 31 7d 0a 4c 65 74 20 24 5c on.\proclaim{Theorem.2.1}.Let.$\
11c0 7b 75 5e 68 5c 7d 24 20 62 65 20 61 20 66 61 6d 69 6c 79 20 6f 66 20 61 70 70 72 6f 78 69 6d 61 {u^h\}$.be.a.family.of.approxima
11e0 74 65 20 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 20 73 61 74 69 73 66 79 69 6e 67 0a 74 68 65 20 66 6f 6c 6c te.solutions.satisfying.the.foll
1200 6f 77 69 6e 67 20 63 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 24 30 5c 6c 65 71 20 74 5c 6c 65 owing.conditions.for.$0\leq.t\le
1220 71 20 54 24 7b 5c 72 6d 3a 7d 0a 5c 72 6f 73 74 65 72 0a 5c 69 74 65 6d 20 46 6f 72 20 61 6c 6c q.T${\rm:}.\roster.\item.For.all
1240 20 24 78 5c 69 6e 5c 42 62 62 20 52 24 20 61 6e 64 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 24 74 24 2c 20 .$x\in\Bbb.R$.and.positive.$t$,.
1260 24 30 5c 6c 65 71 20 75 5e 68 28 78 2c 74 29 5c 6c 65 71 20 4d 24 7b 5c 72 6d 3b 7d 0a 5c 69 74 $0\leq.u^h(x,t)\leq.M${\rm;}.\it
1280 65 6d 20 42 6f 74 68 20 24 75 24 20 61 6e 64 20 24 75 5e 68 24 20 61 72 65 20 48 5c 22 6f 6c 64 em.Both.$u$.and.$u^h$.are.H\"old
12a0 65 72 2d 2d 24 5c 61 6c 70 68 61 24 20 69 6e 20 24 78 24 0a 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 61 er--$\alpha$.in.$x$.for.some.$\a
12c0 6c 70 68 61 5c 69 6e 28 30 2c 31 5c 77 65 64 67 65 20 31 2f 28 6d 2d 31 29 29 24 7b 5c 72 6d 3b lpha\in(0,1\wedge.1/(m-1))${\rm;
12e0 7d 20 24 75 5e 68 24 20 69 73 20 72 69 67 68 74 0a 63 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 20 69 6e 20 24 }.$u^h$.is.right.continuous.in.$
1300 74 24 7b 5c 72 6d 3b 7d 0a 61 6e 64 20 24 75 5e 68 24 20 69 73 20 48 5c 22 6f 6c 64 65 72 20 63 t${\rm;}.and.$u^h$.is.H\"older.c
1320 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 20 69 6e 20 24 74 24 20 6f 6e 0a 73 74 72 69 70 73 20 24 5c 42 62 62 ontinuous.in.$t$.on.strips.$\Bbb
1340 20 52 5c 74 69 6d 65 73 28 74 5e 6e 2c 74 5e 7b 6e 2b 31 7d 29 24 2c 20 77 69 74 68 20 74 68 65 .R\times(t^n,t^{n+1})$,.with.the
1360 20 73 65 74 20 24 5c 7b 74 5e 6e 5c 7d 24 20 68 61 76 69 6e 67 20 6e 6f 0a 6c 69 6d 69 74 20 70 .set.$\{t^n\}$.having.no.limit.p
1380 6f 69 6e 74 73 5c 2f 7b 5c 72 6d 3b 7d 20 61 6e 64 0a 5c 69 74 65 6d 20 54 68 65 72 65 20 65 78 oints\/{\rm;}.and.\item.There.ex
13a0 69 73 74 73 20 61 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 24 5c 6f 6d 65 67 61 ists.a.positive.function.$\omega
13c0 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 5c 2f 7b 5c 72 6d 3a 7d 0a (h,\epsilon)$.such.that\/{\rm:}.
13e0 77 68 65 6e 65 76 65 72 20 24 5c 7b 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5c 7d 5f 7b 30 3c 5c 65 70 73 whenever.$\{w^\epsilon\}_{0<\eps
1400 69 6c 6f 6e 5c 6c 65 71 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5f 30 7d 24 20 69 73 20 61 20 66 61 6d 69 6c 79 ilon\leq\epsilon_0}$.is.a.family
1420 20 6f 66 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 0a 69 6e 20 24 5c 62 6f 6c 64 20 58 24 20 66 6f 72 20 77 .of.functions.in.$\bold.X$.for.w
1440 68 69 63 68 0a 7b 5c 72 6f 73 74 65 72 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 61 29 22 20 74 68 65 72 65 20 69 hich.{\roster.\item"(a)".there.i
1460 73 20 61 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 66 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 6e 75 6d 62 65 72 73 s.a.sequence.of.positive.numbers
1480 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 20 74 65 6e 64 69 6e 67 0a 74 6f 20 7a 65 72 6f 2c 20 73 75 63 .$\epsilon$.tending.to.zero,.suc
14a0 68 20 74 68 61 74 20 66 6f 72 20 74 68 65 73 65 20 20 76 61 6c 75 65 73 20 6f 66 0a 24 5c 65 70 h.that.for.these..values.of.$\ep
14c0 73 69 6c 6f 6e 24 2c 20 24 5c 7c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5c 7c 5f 5c 69 6e 66 74 79 5c 6c silon$,.$\|w^\epsilon\|_\infty\l
14e0 65 71 20 31 2f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 2c 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 62 29 22 20 66 6f 72 20 61 eq.1/\epsilon$,.\item"(b)".for.a
1500 6c 6c 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 0a 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 2c 20 24 5c 7c 77 5f 78 5e 5c ll.positive.$\epsilon$,.$\|w_x^\
1520 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 5c 73 64 6f 74 2c 74 29 5c 7c 5f 5c 6c 6f 6e 65 72 5c 6c 65 71 20 31 2f epsilon(\sdot,t)\|_\loner\leq.1/
1540 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 32 24 2c 20 61 6e 64 0a 5c 69 74 65 6d 22 28 63 29 22 20 66 6f 72 20 \epsilon^2$,.and.\item"(c)".for.
1560 61 6c 6c 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 3e 30 24 2c 20 0a 24 24 0a 5c 73 75 70 5c 53 62 0a 78 5c all.$\epsilon>0$,..$$.\sup\Sb.x\
1580 69 6e 5c 42 62 62 20 52 5c 5c 30 5c 6c 65 71 20 74 5f 31 2c 74 5f 32 5c 6c 65 71 20 54 5c 65 6e in\Bbb.R\\0\leq.t_1,t_2\leq.T\en
15a0 64 53 62 0a 5c 64 66 72 61 63 7b 7c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 78 2c 74 5f 32 29 2d 77 5e dSb.\dfrac{|w^\epsilon(x,t_2)-w^
15c0 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 28 78 2c 74 5f 31 29 7c 7d 7b 7c 74 5f 32 2d 74 5f 31 7c 5e 70 7d 5c 6c \epsilon(x,t_1)|}{|t_2-t_1|^p}\l
15e0 65 71 20 31 2f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 32 2c 0a 24 24 0a 77 68 65 72 65 20 24 70 24 20 69 73 eq.1/\epsilon^2,.$$.where.$p$.is
1600 20 73 6f 6d 65 20 6e 75 6d 62 65 72 20 6e 6f 74 20 65 78 63 65 65 64 69 6e 67 20 24 31 24 2c 0a .some.number.not.exceeding.$1$,.
1620 5c 65 6e 64 72 6f 73 74 65 72 7d 25 0a 74 68 65 6e 5c 66 6f 6f 74 6e 6f 74 65 7b 54 68 69 73 20 \endroster}%.then\footnote{This.
1640 69 73 20 61 6e 20 6f 62 76 69 6f 75 73 20 70 6c 6f 79 2c 20 62 75 74 20 77 65 20 6e 65 65 64 20 is.an.obvious.ploy,.but.we.need.
1660 61 20 66 6f 6f 74 6e 6f 74 65 2e 7d 0a 20 24 7c 45 20 28 75 5e 68 2c 77 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f a.footnote.}..$|E.(u^h,w^\epsilo
1680 6e 2c 54 29 7c 5c 6c 65 71 5c 6f 6d 65 67 61 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 2e 24 0a 5c 69 n,T)|\leq\omega(h,\epsilon).$.\i
16a0 74 65 6d 0a 54 68 69 73 20 69 73 20 74 68 65 20 66 6f 75 72 74 68 20 69 74 65 6d 20 69 6e 20 74 tem.This.is.the.fourth.item.in.t
16c0 68 65 20 6f 75 74 65 72 20 72 6f 73 74 65 72 2e 0a 5c 65 6e 64 72 6f 73 74 65 72 0a 54 68 65 6e he.outer.roster..\endroster.Then
16e0 2c 20 74 68 65 72 65 20 69 73 20 61 20 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 24 43 3d 43 28 6d 2c 4d 2c 54 ,.there.is.a.constant.$C=C(m,M,T
1700 29 24 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 0a 24 24 5c 6d 75 6c 74 6c 69 6e 65 0a 5c 7c 75 2d 75 5e 68 )$.such.that.$$\multline.\|u-u^h
1720 5c 7c 5f 7b 5c 69 6e 66 74 79 2c 5c 42 62 62 20 52 5c 74 69 6d 65 73 5b 30 2c 54 5d 7d 5c 6c 65 \|_{\infty,\Bbb.R\times[0,T]}\le
1740 71 20 43 5c 62 69 67 67 6c 5b 0a 5c 73 75 70 20 5c 62 69 67 67 6c 20 7c 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 q.C\biggl[.\sup.\biggl.|\int_\Bb
1760 62 20 52 28 75 5f 30 28 78 29 2d 75 5e 68 28 78 2c 30 29 29 20 20 77 28 78 2c 30 29 20 5c 2c 64 b.R(u_0(x)-u^h(x,0))..w(x,0).\,d
1780 78 5c 62 69 67 67 72 7c 5c 5c 0a 2b 5c 6f 6d 65 67 61 28 68 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 29 2b 5c x\biggr|\\.+\omega(h,\epsilon)+\
17a0 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e 5c 61 6c 70 68 61 5c 62 69 67 67 72 5d 2c 5c 65 6e 64 6d 75 6c 74 6c 69 epsilon^\alpha\biggr],\endmultli
17c0 6e 65 0a 5c 74 61 67 20 32 2e 31 0a 24 24 0a 77 68 65 72 65 20 74 68 65 20 73 75 70 72 65 6d 75 ne.\tag.2.1.$$.where.the.supremu
17e0 6d 20 69 73 20 74 61 6b 65 6e 20 6f 76 65 72 20 61 6c 6c 20 24 77 5c 69 6e 5c 62 6f 6c 64 20 58 m.is.taken.over.all.$w\in\bold.X
1800 24 2e 0a 5c 65 6e 64 70 72 6f 63 6c 61 69 6d 0a 0a 5c 64 65 6d 6f 7b 50 72 6f 6f 66 7d 0a 57 65 $..\endproclaim..\demo{Proof}.We
1820 20 61 73 73 75 6d 65 20 66 69 72 73 74 20 74 68 61 74 20 24 51 24 20 69 73 20 64 65 63 72 65 61 .assume.first.that.$Q$.is.decrea
1840 73 69 6e 67 20 61 6e 64 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 sing.and.consider.the.following.
1860 63 61 73 65 73 3a 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 73 65 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 31 3a 7d 0a 24 62 27 5c cases:.\case{Case\/.{\rm1:}.$b'\
1880 67 65 71 20 31 2f 32 24 7d 20 57 65 20 68 61 76 65 20 24 50 28 31 2f 38 29 5c 67 65 71 5c 64 65 geq.1/2$}.We.have.$P(1/8)\geq\de
18a0 6c 74 61 3e 30 24 20 77 68 65 72 65 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e lta>0$.where.$\delta$.depends.on
18c0 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 2c 20 66 6f 72 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 62 79 20 28 33 2e 37 ly.on.$d$,.for.otherwise.by.(3.7
18e0 29 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 24 50 24 20 61 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 2c ).applied.to.$P$.and.$p=\infty$,
1900 0a 24 50 24 20 63 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 .$P$.could.not.attain.the.value.
1920 24 31 24 20 61 74 20 24 78 3d 31 24 2e 20 20 53 69 6d 69 6c 61 72 6c 79 2c 20 66 6f 72 0a 24 6d $1$.at.$x=1$...Similarly,.for.$m
1940 3d 28 61 27 2b 62 27 29 2f 32 24 2c 20 24 51 28 6d 29 5c 67 65 71 5c 64 65 6c 74 61 27 3e 30 24 =(a'+b')/2$,.$Q(m)\geq\delta'>0$
1960 20 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 64 65 6c 74 61 27 24 20 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e .for.some.$\delta'$.depending.on
1980 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 0a 73 69 6e 63 65 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 65 20 24 51 24 20 63 61 ly.on.$d$.since.otherwise.$Q$.ca
19a0 6e 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 31 24 20 61 74 20 24 78 3d nnot.attain.the.value.$1$.at.$x=
19c0 61 27 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 2c 20 66 6f 72 0a 24 5c 64 65 6c 74 61 27 27 3d 5c 6d 69 6e 28 a'$...Hence,.for.$\delta''=\min(
19e0 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 6c 74 61 27 29 24 2c 20 0a 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 67 65 71 7c 6d \delta,\delta')$,..$|A(y)|\geq|m
1a00 2d 31 2f 38 7c 5c 67 65 71 20 62 27 2f 34 5c 67 65 71 5c 66 72 61 63 31 38 5c 6d 61 78 28 62 27 -1/8|\geq.b'/4\geq\frac18\max(b'
1a20 2c 31 29 24 20 66 6f 72 20 0a 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 5c 64 65 6c 74 61 27 27 5d 24 2e 20 20 4f ,1)$.for..$y\in[0,\delta'']$...O
1a40 6e 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 68 61 6e 64 2c 0a 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 5c 6d n.the.other.hand,.$|A(y)|\leq.\m
1a60 61 78 28 62 27 2c 31 29 24 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 2c 20 73 ax(b',1)$.for.all.$y\in[0,1]$,.s
1a80 6f 20 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 0a 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 o.(4.2).follows.for.all.$1\leq.p
1aa0 5c 6c 65 71 5c 69 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 73 65 \leq\infty$..\endcase.\case{Case
1ac0 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 32 3a 7d 0a 24 62 27 5c 6c 65 71 20 31 2f 32 24 7d 20 57 65 20 68 61 76 65 \/.{\rm2:}.$b'\leq.1/2$}.We.have
1ae0 20 24 50 28 33 2f 34 29 5c 6c 65 71 5c 64 65 6c 74 61 3c 31 24 20 77 69 74 68 20 24 5c 64 65 6c .$P(3/4)\leq\delta<1$.with.$\del
1b00 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 69 6e 67 20 6f 6e 6c 79 20 6f 6e 20 24 64 24 20 66 6f 72 20 6f 74 ta$.depending.only.on.$d$.for.ot
1b20 68 65 72 77 69 73 65 20 28 33 2e 37 29 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 74 6f 20 24 31 2d 50 24 20 61 herwise.(3.7).applied.to.$1-P$.a
1b40 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 0a 77 6f 75 6c 64 20 73 68 6f 77 20 74 68 61 74 20 24 50 nd.$p=\infty$.would.show.that.$P
1b60 24 20 63 6f 75 6c 64 20 6e 6f 74 20 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 30 24 $.could.not.attain.the.value.$0$
1b80 20 61 74 20 24 78 3d 30 24 2e 20 20 49 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 0a 74 68 61 74 20 24 7c 41 28 .at.$x=0$...It.follows.that.$|A(
1ba0 79 29 7c 5c 67 65 71 20 33 2f 34 2d 62 27 5c 67 65 71 20 31 2f 34 24 2c 20 24 79 5c 69 6e 5b 5c y)|\geq.3/4-b'\geq.1/4$,.$y\in[\
1bc0 64 65 6c 74 61 2c 31 5d 24 2c 20 77 68 69 6c 65 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 31 24 0a delta,1]$,.while.$|A(y)|\leq.1$.
1be0 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 20 28 34 2e 32 for.all.$y\in[0,1]$...Hence.(4.2
1c00 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 0a 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 5c 6c 65 71 5c 69 ).follows.for.all.$1\leq.p\leq\i
1c20 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 57 65 20 63 6f 6e 73 69 64 65 72 20 6e 6f 77 20 nfty$..\endcase.We.consider.now.
1c40 77 68 65 6e 20 24 51 24 20 69 73 20 69 6e 63 72 65 61 73 69 6e 67 2e 20 20 57 65 20 63 61 6e 20 when.$Q$.is.increasing...We.can.
1c60 61 73 73 75 6d 65 20 74 68 61 74 20 24 51 24 20 69 73 20 6e 6f 74 0a 61 20 74 72 61 6e 73 6c 61 assume.that.$Q$.is.not.a.transla
1c80 74 65 20 6f 66 20 24 50 24 2c 20 69 2e 65 5c 2e 2c 20 77 65 20 64 6f 20 6e 6f 74 20 68 61 76 65 te.of.$P$,.i.e\.,.we.do.not.have
1ca0 20 24 50 28 78 29 3d 51 28 78 2b 5c 64 65 6c 74 61 29 24 20 66 6f 72 20 73 6f 6d 65 20 24 5c 64 .$P(x)=Q(x+\delta)$.for.some.$\d
1cc0 65 6c 74 61 24 2c 0a 66 6f 72 20 74 68 65 6e 20 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 74 72 elta$,.for.then.(4.2).follows.tr
1ce0 69 76 69 61 6c 6c 79 2e 20 20 49 6e 20 77 68 61 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 2c 20 24 43 24 20 61 ivially...In.what.follows,.$C$.a
1d00 6e 64 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 0a 64 65 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 24 64 24 2c 20 61 6e 64 20 24 nd.$\delta$.depend.on.$d$,.and.$
1d20 43 24 20 6d 61 79 20 64 65 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 24 70 24 2e 20 20 57 65 20 63 6f 6e 73 69 64 C$.may.depend.on.$p$...We.consid
1d40 65 72 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 63 61 73 65 73 3a 0a 5c 63 61 73 65 7b 43 61 er.the.following.cases:.\case{Ca
1d60 73 65 5c 2f 20 7b 5c 72 6d 33 3a 7d 20 24 61 27 5c 67 65 71 20 31 2f 34 24 20 61 6e 64 20 24 62 se\/.{\rm3:}.$a'\geq.1/4$.and.$b
1d80 27 5c 6c 65 71 20 31 30 30 24 7d 0a 46 72 6f 6d 20 28 33 2e 37 29 20 66 6f 72 20 24 50 24 0a 61 '\leq.100$}.From.(3.7).for.$P$.a
1da0 6e 64 20 24 70 3d 5c 69 6e 66 74 79 24 2c 20 69 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 74 68 61 74 20 24 nd.$p=\infty$,.it.follows.that.$
1dc0 50 28 31 2f 38 29 5c 67 65 71 5c 64 65 6c 74 61 24 20 73 69 6e 63 65 20 6f 74 68 65 72 77 69 73 P(1/8)\geq\delta$.since.otherwis
1de0 65 20 24 50 24 20 63 61 6e 6e 6f 74 0a 61 74 74 61 69 6e 20 74 68 65 20 76 61 6c 75 65 20 24 31 e.$P$.cannot.attain.the.value.$1
1e00 24 20 61 74 20 24 78 3d 31 24 2e 20 20 48 65 6e 63 65 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 67 65 71 20 61 $.at.$x=1$...Hence.$|A(y)|\geq.a
1e20 27 2d 31 2f 38 5c 67 65 71 31 2f 38 24 20 6f 6e 0a 24 5b 30 2c 5c 64 65 6c 74 61 5d 24 2e 20 20 '-1/8\geq1/8$.on.$[0,\delta]$...
1e40 4f 6e 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 68 61 6e 64 20 24 7c 41 28 79 29 7c 5c 6c 65 71 20 62 27 On.the.other.hand.$|A(y)|\leq.b'
1e60 24 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e 5b 30 2c 31 5d 24 20 61 6e 64 20 68 65 6e 63 65 0a $.for.all.$y\in[0,1]$.and.hence.
1e80 28 34 2e 32 29 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 24 31 5c 6c 65 71 20 70 5c 6c (4.2).follows.for.all.$1\leq.p\l
1ea0 65 71 5c 69 6e 66 74 79 24 2e 0a 5c 65 6e 64 63 61 73 65 0a 4c 65 74 20 24 7a 24 20 62 65 20 69 eq\infty$..\endcase.Let.$z$.be.i
1ec0 6e 20 24 5c 62 6f 6c 64 20 58 24 2e 20 42 65 63 61 75 73 65 20 24 45 28 75 2c 5c 73 64 6f 74 2c n.$\bold.X$..Because.$E(u,\sdot,
1ee0 5c 73 64 6f 74 29 5c 65 71 75 69 76 30 24 2c 0a 45 71 75 61 74 69 6f 6e 20 28 31 2e 35 29 20 69 \sdot)\equiv0$,.Equation.(1.5).i
1f00 6d 70 6c 69 65 73 20 74 68 61 74 0a 24 24 0a 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 20 52 5c 44 65 6c 74 61 mplies.that.$$.\int_\Bbb.R\Delta
1f20 20 75 7a 7c 5e 54 5f 30 64 78 3d 5c 69 6e 74 5f 30 5e 54 5c 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 20 52 0a 5c .uz|^T_0dx=\int_0^T\int_\Bbb.R.\
1f40 44 65 6c 74 61 20 75 28 7a 5f 74 2b 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 7a 5f 7b 78 78 7d 29 5c 2c Delta.u(z_t+\phi[u,u^h]z_{xx})\,
1f60 64 78 5c 2c 64 74 2d 0a 45 28 75 5e 68 2c 7a 2c 74 29 2c 0a 5c 74 61 67 20 32 2e 32 0a 24 24 0a dx\,dt-.E(u^h,z,t),.\tag.2.2.$$.
1f80 77 68 65 72 65 20 24 5c 44 65 6c 74 61 20 75 3d 75 2d 75 5e 68 24 20 61 6e 64 20 0a 24 24 0a 5c where.$\Delta.u=u-u^h$.and..$$.\
1fa0 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 3d 5c 64 66 72 61 63 7b 5c 70 68 69 28 75 29 2d 5c 70 68 69 28 75 phi[u,u^h]=\dfrac{\phi(u)-\phi(u
1fc0 5e 68 29 7d 7b 75 2d 75 5e 68 7d 2e 0a 24 24 0a 45 78 74 65 6e 64 20 24 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 ^h)}{u-u^h}..$$.Extend.$\phi[u,u
1fe0 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 74 29 3d 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 30 ^h](\cdot,t)=\phi[u,u^h](\cdot,0
2000 29 24 20 66 6f 72 20 6e 65 67 61 74 69 76 65 20 24 74 24 2c 20 61 6e 64 0a 24 5c 70 68 69 5b 75 )$.for.negative.$t$,.and.$\phi[u
2020 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c 74 29 3d 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f 74 ,u^h](\cdot,t)=\phi[u,u^h](\cdot
2040 2c 54 29 24 0a 66 6f 72 20 24 74 3e 54 24 2e 0a 46 69 78 20 61 20 70 6f 69 6e 74 20 24 78 5f 30 ,T)$.for.$t>T$..Fix.a.point.$x_0
2060 24 20 61 6e 64 20 61 20 6e 75 6d 62 65 72 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 3e 30 24 2e 20 4c 65 74 $.and.a.number.$\epsilon>0$..Let
2080 20 24 6a 5f 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 0a 62 65 20 61 20 73 6d 6f 6f 74 68 20 66 75 6e 63 74 69 .$j_\epsilon$.be.a.smooth.functi
20a0 6f 6e 20 6f 66 20 24 78 24 20 77 69 74 68 20 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 24 31 24 20 61 6e 64 20 on.of.$x$.with.integral.$1$.and.
20c0 73 75 70 70 6f 72 74 20 69 6e 20 0a 24 5b 2d 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e support.in..$[-\epsilon,\epsilon
20e0 5d 24 2c 0a 61 6e 64 20 6c 65 74 20 24 4a 5f 5c 64 65 6c 74 61 24 20 62 65 20 61 20 73 6d 6f 6f ]$,.and.let.$J_\delta$.be.a.smoo
2100 74 68 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 0a 24 78 24 20 61 6e 64 20 24 74 24 20 77 69 74 68 20 th.function.of.$x$.and.$t$.with.
2120 69 6e 74 65 67 72 61 6c 20 24 31 24 20 61 6e 64 20 73 75 70 70 6f 72 74 20 69 6e 20 0a 24 5b 2d integral.$1$.and.support.in..$[-
2140 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 6c 74 61 5d 5c 74 69 6d 65 73 5b 2d 5c 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 65 \delta,\delta]\times[-\delta,\de
2160 6c 74 61 5d 24 3b 20 24 5c 64 65 6c 74 61 24 20 61 6e 64 20 24 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e 24 20 61 lta]$;.$\delta$.and.$\epsilon$.a
2180 72 65 0a 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 6e 75 6d 62 65 72 73 20 74 6f 20 62 65 20 73 70 65 63 69 66 re.positive.numbers.to.be.specif
21a0 69 65 64 20 6c 61 74 65 72 2e 0a 57 65 20 63 68 6f 6f 73 65 20 24 7a 3d 7a 5e 7b 5c 65 70 73 69 ied.later..We.choose.$z=z^{\epsi
21c0 6c 6f 6e 5c 64 65 6c 74 61 7d 24 20 74 6f 20 73 61 74 69 73 66 79 0a 24 24 0a 5c 61 6c 69 67 6e lon\delta}$.to.satisfy.$$.\align
21e0 65 64 0a 20 20 26 7a 5f 74 2b 28 5c 64 65 6c 74 61 2b 4a 5f 5c 64 65 6c 74 61 2a 5c 70 68 69 5b ed...&z_t+(\delta+J_\delta*\phi[
2200 75 2c 75 5e 68 5d 29 7a 5f 7b 78 78 7d 3d 30 2c 5c 71 71 75 61 64 20 78 5c 69 6e 5c 42 62 62 20 u,u^h])z_{xx}=0,\qquad.x\in\Bbb.
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