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\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{tablor}
\usepackage{preambule}
\usepackage[dvips,colorlinks=true]{hyperref}
\newcommand{\lat}{
\lstset{numbers=none,language=[LaTeX]{TeX},xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,
backgroundcolor=\color{0.8white},breaklines=true}
}
\renewcommand{\xcas}{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,
backgroundcolor=\color{0.8white},breaklines=true}
}
\title{\texttt{tablor.sty} \\La machine à créer des tableaux de signes et de variations }
\author{Guillaume \textsc{Connan} \\ \href{http://gconnan.free.fr}{http://gconnan.free.fr}}
\date{23 janvier 2008 - Version 1.4}
\begin{document}
\maketitle
\section{Ça sert à quoi~?}
Il s'agit d'obtenir rapidement un tableau de signe ou un tableau de variation en entrant un
minimum de commandes.
\section{Comment ça marche~?}
\subsection{Principe général}
On entre une instruction qu'on envoie via \LaTeX{} à \Prog{XCAS} qui effectue un certain nombre de
calculs (résolution d'équations, calcul de limites). \Prog{XCAS} renvoie un résultat sous la forme
d'un script \Prog{MetaPOST} qui est compilé. Un tableau est créé et ensuite inséré dans le document
\texttt{tex}.
\subsection{Rentrons dans les détails}
En utilisant un environnement \texttt{tablor}, de nombreux fichiers sont créés dans le répertoire
courant puis effacés par la commande \texttt{nettoyer} si vous le souhaitez~:
\bez
\item des fichiers d'extension \texttt{.cxx}~:~il s'agit du fichier le plus important. C'est le
programme \Prog{XCAS} qui «~fabrique~» le tableau. Vous pouvez l'utilisez tel quel dans une
session \Prog{XCAS} ou \Prog{giac}.
\item des fichiers d'extension \texttt{.giac} qui regroupent des instructions lues et exécutées par
\Prog{giac}.
Les lignes importantes sont~:
\begin{lstlisting}
read("XcasTV.cxx"); // giac charge le programme
Sortie:=fopen("XCasmpTV.mp"); // la sortie portera l'extension metapost
vect.xcas.user := read("XCasTV.user"); // giac lit les paramètres rentrés dans le fichier tex
\end{lstlisting}
\item des fichiers d'extension \texttt{.user} qui sont créés par \LaTeX{} grâce à l'environnement
\texttt{VerbatimOut} de l'extension \texttt{fancyvrb} : il s'agit en fait de la commande qui se
trouve par exemple entre \verb+\begin{TVI}+ et \verb+\end{TVI}+.
\ez
\section{De quoi a-t-on besoin~?}
\bez
\item Il faut avoir installé \Prog{XCAS}, logiciel multi-plateforme de calcul et de programmation~:
\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/giac\_fr.html}{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/giac\_fr.html};
\item il faut avoir le fichier de macros \Prog{MetaPOST}
\texttt{tableauVariation.mp} de Frédéric Mazoit~:
\href{http://frederic.mazoit.free.fr/LaTeX\_metapost/tableauVariations/}{http://frederic.mazoit.free.fr/LaTeX\_metapost/tableauVariations/};
Pour ceux qui sont guère habitués à \Prog{MetaPOST}, cela ne pose aucun problème car les
scripts et compilations \Prog{MetaPOST} se font automatiquement. Il suffit de créer dans son
\texttt{texmf} personnel une arborescence du style~: \texttt{./texmfperso/metapost/tablor/} et d'y
placer \texttt{tableauVariation.mp} puis un \texttt{rehash}. C'est exactement la même démarche que
pour installer une nouvelle extension \LaTeX{}.
\item il faut être en mode \texttt{shell-escape} pour autoriser
les sorties de la compilation \texttt{tex}. Pour \Prog{emacs}, on rajoute en
fin de fichier \verb+%%% LaTeX-command: "latex --shell-escape" ***+; pour les autres éditeurs, il faut modifier
la commande de compilation. Sinon, on peut modifier le fichier \texttt{texmf.cnf}
pour que le mode soit automatisé en modifiant la ligne suivante~:~\texttt{shell-escape t};
\item il faut avoir à disposition l'extension \texttt{fancyvrb};
\item pour ceux qui compilent avec \texttt{pdf\LaTeX{}}, il faut avoir effectué les petits réglages
nécessaires à l'utilisation de figures produites par \Prog{MetaPOST}; Pour cela, il suffit de
rajouter dans le préambule~:\\
\verb+\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+
\item il faut installer le fichier \texttt{tablor.sty} dans son \texttt{texmf} personnel.
\ez
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Pour les utilisateurs de Microsoft Windows, remplacer \verb+\immediate\write18{giac<#1 }+ par \verb+\immediate\write18{giac #1 }+
dans le fichier \texttt{tablor.sty}
pour permettre le \texttt{shell-escape}
\smallskip
Pour les utilisateurs de TeXnicCenter, observez cette
\href{http://img221.imageshack.us/img221/27/capture20080114215233hu7.png}{explication} du
paramétrage du \texttt{shell-escape}. On peut par exemple mettre~:\\
\texttt{-enable-write18 --shell-escape --src -interaction=nonstopmode "\%Wm"}.\\
Sur TeXmaker, c'est \texttt{latex -enable-write18 --shell-escape -interaction=nonstopmode \%.tex}.
\smallskip
Pour faire comprendre à XP où trouver \Prog{giac}, vous pouvez modifier le \texttt{path} en suivant
ces instructions~: \\
Demarrer->Panneau de configuration->Système onglet Avancé->Variable d'environnement.\\
Le séparateur est le point virgule.
(Merci à Gaëtan et à Daniel).
\end{DANGER}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{DANGER}
L'extension \verb+fancybox+ rentre en conflit avec \verb+fancyvrb+ qu'utilise
\verb+tablor+ car elles définissent toutes deux différemment l'environnement \verb+VerbatimOut+.
\end{DANGER}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Quatre nouvelles commandes sont crées~:~\verb+\tv, \nettoyer, \bouger, \recup,\executGiacmp+.
Attention aux conflits si de tels noms existent quelque part dans vos
fichiers personnels.
\end{DANGER}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Le fichier \texttt{tablor.sty} est codé en \texttt{latin-1}. Certains devront donc le convertir en
\texttt{utf-8}.
\end{DANGER}
\end{figure}
\section{Comment l'utiliser~?}
\subsection{Préambule}
Les ECM donnés en exemple correspondent à une compilation \texttt{\LaTeX{}+dvi+dvips}. Pour \texttt{pdf\LaTeX{}},
rajouter \verb+\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+.
Le préambule sera toujours~:
\lat
\begin{lstlisting}
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx,tablor}
\usepackage[upright]{fourier}
\end{lstlisting}
\begin{figure}
\begin{Idee}
Les fontes utilisées dans les tableaux sont \verb+[upright]{fourier}+. Il est tout à
fait possible d'utiliser d'autres fontes. Il suffit de modifier le fichier
\texttt{tablor.sty} en remplaçant partout où il apparaît \verb+[upright]{fourier}+ par \verb+lmodern+ ou ce
que vous voulez. Ce n'est pas très pratique, mais cela évite de le mettre en option à
chaque utilisation et on utilise souvent la même fonte dans ses documents.
\end{Idee}
\end{figure}
\subsection{Tableaux des variations}
L'environnement s'appelle \texttt{TV}. On utilise une commande au format \texttt{XCAS}~:
\xcas
\begin{lstlisting}
TV([borne inf,borne sup],[valeurs interdites],"nom fonction","nom variable",expression en fonction de x,t,\tv)
\end{lstlisting}
\bez
\item \texttt{[borne inf,borne sup]} désigne les bornes de l'ensemble de définition. On note
$+\infty$~:~\texttt{+infinity} et $-\infty$~:~\texttt{-infinity}. N'oubliez pas
les crochets~!
\item \texttt{[valeurs interdites]} désigne la liste des valeurs interdites;
\item \texttt{"nom fonction"} désigne la lettre représentant la fonction telle que vous voulez
qu'elle apparaisse : $f$, $g$, $\f$, etc.
\item \texttt{"nom variable"}~:~même chose pour la variable, selon que vous voulez la désigner par
$x$, $t$, etc. N'oubliez pas les guillemets~!
\item \texttt{expression en fonction de x} désigne l'expression de la fonction. Attention~! Utilisez
ici toujours $x$ pour désigner la variable;
\item le paramètre \texttt{t} est à remplacer par 1 si vous voulez voir apparaître une ligne
avec le signe de la dérivée, par 0 si vous ne voulez pas de cette ligne et par 2 si vous ne voulez
que le signe de la dérivée.
\item on termine par \verb+\tv+, une commande permettant de numéroter les tableaux en interne.
\ez
\lat
Voyons à présent quelques exemples.
\begin{enumerate}
\item Le tableau de variation sans signe de la dérivée de la fonction $f~:~x\mapsto x^2$ sur $[-5\pv7]$.
On obtient~:
\begin{TV}
TV([-5,7],[],"f","x",x^2,0,\tv);
\end{TV}
après avoir entré~:
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-5,7],[],"f","x",x^2,0,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\item Si on veut la même fonction sur $\bbr$ avec le signe de la dérivée~:
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-infinity,+infinity],[],"f","x",x^2,1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-infinity,+infinity],[],"f","x",x^2,1,\tv)
\end{TV}
\item Avec la même fonction sur $\bbr$ avec uniquement le signe de la dérivée~:
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-infinity,+infinity],[],"f","x",x^2,2,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-infinity,+infinity],[],"f","x",x^2,2,\tv)
\end{TV}
\item Voici ce que cela donne pour $g~:~t\mapsto \frac{t^2}{t^2-1}$ sur $[-10\pv +\infty[$~:
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-10,+infinity],[-1,1],"g","t",x^2/(x^2-1),1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{center}
\begin{TV}
TV([-10,+infinity],[-1,1],"g","t",x^2/(x^2-1),1,\tv)
\end{TV}
\end{center}
\item Il y aura des problèmes pour des équations $f'(x)=0$ que \Prog{XCAS} ne saurait pas résoudre
de manière formelle. Il faudrait alors utiliser une résolution numérique et remplacer
\texttt{resoudre} par \texttt{fsolve}. Mais dans les études demandées au Bac, l'étude des signes
de la dérivée est possible formellement. Dans les cas plus exotiques, on peut faire le tableau «~à
la main~».
\end{enumerate}
\subsection{Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires}
Si l'on veut mettre en évidence les solutions de l'équation $f(x)=a$, on utilise l'environnement
\texttt{TVI}.
La syntaxe est~:
\begin{lstlisting}
TVI([borne inf,borne sup],[valeurs interdites],"nom fonction","nom variable",expression en fonction de x,t,a,\tv)
\end{lstlisting}
Les paramètres sont les mêmes que pour \texttt{TV} mais on ajoute la valeur \texttt{a} bien sûr.
Par exemple, pour $f~:~x\mapsto \frac{x^2}{x^2-1}$ et l'équation $f(x)=10$ on entre~:
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-10,+infinity],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1),1,10,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
et on obtient~:
\begin{TVI}
TVI([-10,+infinity],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1),1,10,\tv)
\end{TVI}
Les solutions sont notées $\alpha_1$, $\alpha_2$, etc.
Si l'équation est plutôt $f(x)=-1$~:
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-10,+infinity],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1),1,-1,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
et on obtient~:
\begin{TVI}
TVI([-10,+infinity],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1),1,-1,\tv)
\end{TVI}
\subsection{Tableaux de signes}
\subsubsection*{Cas du produit de deux facteurs affines}
Pour étudier le signe de $(-2x+3)(-x+5)$ sur $\bbr$, on entre~:
\begin{lstlisting}
\begin{TSa}
TSa(-2,3,-1,5,\tv);
\end{TSa}
\end{lstlisting}
On obtient~:
\begin{TSa}
TSa(-2,3,-1,5,\tv);
\end{TSa}
\subsubsection*{Cas du produit d'un nombre quelconque de facteurs quelconques sur un intervalle quelconque}
Certains cas pathologiques ne vont pas fonctionner, mais sinon, pour étudier le signe de
\[(-2x+3)(x^2-1)(x^2+1)(x-1)(x^2-2)\] on entre cette fois les expressions sous cette forme en
précisant l'intervalle d'étude~:
\begin{lstlisting}
\begin{TS}
TS([-2*x+3,x^2-1,x^2+1,x-1,x^2-2],[-infinity,+infinity],\tv);
\end{TS}
\end{lstlisting}
On obtient~:
\begin{TS}
TS([-2*x+3,x^2-1,x^2+1,x-1,x^2-2],[-infinity,+infinity],\tv);
\end{TS}
Ou bien, sur un intervalle borné~:
\begin{lstlisting}
\begin{TS}
TS([x-10,x+10],[-15,10],\tv)
\end{TS}
\end{lstlisting}
\begin{TS}
TS([x-10,x+10],[-15,10],\tv)
\end{TS}
\subsubsection*{Signe d'un quotient}
On entre dans deux listes différentes les facteurs du numérateur et du dénominateur~:
\begin{lstlisting}
\begin{TSq}
TSq("nom du quotient",[liste des facteurs du numérateur],[liste des facteurs du dénominateur],[inf,sup])
\end{TSq}
\end{lstlisting}
Par exemple, pour étudier le signe de $\dfrac{(-2x+3)(-4x+5)}{(x^2-16)(x-2)}$ sur $\bbr$~:
\begin{lstlisting}
\begin{TSq}
TSq("Q",[-2*x+3,-4*x+5],[x^2-16,x-2],[-infinity,+infinity],\tv)
\end{TSq}
\end{lstlisting}
\begin{TSq}
TSq("Q",[-2*x+3,-4*x+5],[x^2-16,x-2],[-infinity,+infinity],\tv)
\end{TSq}
Sur un intervalle borné~:
\begin{lstlisting}
\begin{TSq}
TSq("Q",[x-10],[x+10],[-infinity,10],\tv)
\end{TSq}
\end{lstlisting}
\begin{TSq}
TSq("Q",[x-10],[x+10],[-infinity,10],\tv)
\end{TSq}
\subsubsection*{Signe d'une seule expression}
On utilise l'environnement \texttt{TSc} comme \emph{Tableau de Signe court} en précisant
l'expression étudiée et l'intervalle considéré~:
\begin{lstlisting}
\begin{TSc}
TSc((x-10)*(x+5),[-10,10],\tv)
\end{TSc}
\end{lstlisting}
\begin{TSc}
TSc((x-10)*(x+5),[-10,10],\tv)
\end{TSc}
\section{Nettoyage}
L'extension \texttt{tablor} contient également une commande \verb+\nettoyer+, qui, comme son nom
l'indique, fait le ménage~:~on efface tous les fichiers auxiliaires créés et on garde uniquement les
fichiers eps créés par \Prog{MetaPOST} ayant une extension sous forme de numéro.
Il suffit de taper \verb+\nettoyer+ juste avant le \verb+\end{document}+
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Pour les utilisateurs de Microsoft Windows, il faudra remplacer \texttt{rm} par \texttt{DEL}
\end{DANGER}
\end{figure}
\smallskip
On peut également stocker les tableaux dans un autre dossier avec la commande
\verb+\bouger{destination}+, qui, comme son nom l'indique, copie les fichiers eps vers
\texttt{destination}. Il faudra le taper après \verb+\nettoyer+
\begin{lstlisting}
\nettoyer
\bouger{/home/moi/Desktop/}
\end{document}
\end{lstlisting}
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Pour les utilisateurs de Microsoft Windows, il faudra remplacer \texttt{cp} par \texttt{XCOPY}
\end{DANGER}
\end{figure}
\section{Merci...}
\bez
\item à \href{http://frederic.mazoit.free.fr/LaTeX\_metapost/tableauVariations/}{Frédéric \textsc{Mazoit}} pour son fichier \texttt{tableauVariation.mp};
\item à \href{http://www.yvesdelhaye.be/?Generateur-d-interrogations-le}{Yves \textsc{Delhaye}} pour ses idées sur le \texttt{shell-escape}
\item à \href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/giac\_fr.html}{Bernard
\textsc{Parisse}} pour \Prog{XCAS}.
\ez
\section{Galerie}
Voici quelques exemples de tableaux~:
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1,+infinity],[-1],"f","x",x^2/sqrt(x+1)-1,1,2,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1,+infinity],[-1],"f","x",x^2/sqrt(x+1)-1,1,2,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1/2,+infinity],[],"f","x",x^2,1,2,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1/2,+infinity],[],"f","x",x^2,1,2,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,+infinity],[0],"f","x",ln(x),1,2,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,+infinity],[0],"f","x",ln(x),1,2,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([1,+infinity],[],"f","x",-ln(x),1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([1,+infinity],[],"f","x",-ln(x),1,\tv)
\end{TV}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-pi,pi],[],"f","x",cos(x),1,1/2,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-pi,pi],[],"f","x",cos(x),1,1/2,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([0,2*pi],[],"f","x",cos(x),1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([0,2*Pi],[],"f","x",cos(x),1,\tv)
\end{TV}
\begin{figure}
\begin{DANGER}
Il y aura des problèmes si vous demandez un tableau des variations d'une fonction
périodique sur un intervalle
d'amplitude supérieure à la période, mais est-ce vraiment utile ?...
\end{DANGER}
\end{figure}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,pi],[pi/2],"h","t",tan(x),1,7,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,pi],[pi/2],"h","t",tan(x),1,7,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1,1],[],"f","x",(1-x)*sqrt(1-x^2),1,1,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-1,1],[],"f","x",(1-x)*sqrt(1-x^2),1,1,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-1,+infinity],[-1],"f","x",ln(1+x)-(x-x^2/2+x^3/3),1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([-1,+infinity],[-1],"f","x",ln(1+x)-(x-x^2/2+x^3/3),1,\tv)
\end{TV}
\begin{lstlisting}
\begin{TS}
TS([-2*x+3,x-1,x+1,x^2+3*x+1],[-10,+infinity],\tv);
\end{TS}
\end{lstlisting}
\begin{TS}
TS([-2*x+3,x-1,x+1,x^2+3*x+1],[-10,+infinity],\tv);
\end{TS}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-infinity,+infinity],[],"f","x",(x+2)*exp(x-1)-1,1,0,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-infinity,+infinity],[],"f","x",(x+2)*exp(x-1)-1,1,0,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-infinity,+infinity],[],"f","x",1+(-2*x+1)*exp(2*x),1,0,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([-infinity,+infinity],[],"f","x",1+(-2*x+1)*exp(2*x),1,0,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TV}
TV([0,+infinity],[],"f","x",ln(exp(x)+x)-x,1,\tv)
\end{TV}
\end{lstlisting}
\begin{TV}
TV([0,+infinity],[],"f","x",ln(exp(x)+x)-x,1,\tv)
\end{TV}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,pi],[],"f","x",cos(x)-x,1,0,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,pi],[],"f","x",cos(x)-x,1,0,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,+infinity],[0],"f","x",ln(x)-(ln(x))^2,1,-1,\tv)
\end{TVI}
\end{lstlisting}
\begin{TVI}
TVI([0,+infinity],[0],"f","x",ln(x)-(ln(x))^2,1,-1,\tv)
\end{TVI}
\begin{lstlisting}
\begin{TSc}
TSc((x-10)*(x+10),[-10,10],\tv)
\end{TSc}
\end{lstlisting}
\begin{TSc}
TSc((x-10)*(x+10),[-10,10],\tv)
\end{TSc}
\nettoyer
%\bouger{/home/moi/Desktop/}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
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