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% master: l2kurz.tex
% L2K3.TEX - 3.Teil der LaTeX2e-Kurzbeschreibung v2.2
% L2K3.TEX - 3.Teil der LaTeX2e-Kurzbeschreibung Mainz 1994, 1995
% LK3.TEX  - 3.Teil der LaTeX-Kurzbeschreibung Graz-Wien 1987
% last changes: 2001-06-10

\section{Setzen von mathematischen Formeln} \label{math}
 
\subsection{Allgemeines}
 
Mathematische Textteile innerhalb eines Absatzes werden zwischen
\verb|\(| und~\verb|\)| oder zwischen \verb|$| und~\verb|$| oder
zwischen \verb|\begin{math}| und \verb|\end{math}|
eingeschlossen.
Als mathematische Texte gelten sowohl komplette mathematische
Formeln als auch einzelne Variablennamen, die sich auf Formeln
beziehen, griechische Buchstaben und diverse Sonderzeichen.
\exa
Seien \(a\) und \(b\) die Katheten
und \(c\) die Hypotenuse,
dann gilt \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
(Satz des Pythagoras).
\exb
\begin{verbatim}
Seien \(a\) und \(b\) die Katheten
und \(c\) die Hypotenuse,
dann gilt \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
(Satz des Pythagoras).
\end{verbatim}
\exc
\exa
\TeX\ spricht man wie
 \(\tau\epsilon\chi\) aus.\\[6pt]
Mit \(\heartsuit\)-lichen
 Gr"u"sen
\exb
\begin{verbatim}
\TeX\ spricht man wie
 \(\tau\epsilon\chi\) aus.\\
Mit \(\heartsuit\)-lichen
 Gr"u"sen
\end{verbatim}
\exc
 
%\begin{sloppypar}
%\hbadness=2000\relax %% `underfull hbox'-Fehlermeldung aus
Gr"o"sere mathematische Formeln oder Gleichungen setzt man besser
in eigene Zeilen. Wenn sie \emph{keine} Gleichungsnummer erhalten 
sollen, stellt man sie dazu zwischen \verb|\begin{displaymath}| und
\verb|\end{displaymath}| oder zwischen \verb|\[| und~\verb|\]|; 
wenn sie eine Gleichungsnummer erhalten sollen, stellt man sie
zwischen \verb|\begin{equation}| und \verb|\end{equation}|.
%\end{sloppypar}
\exa
Seien \(a\) und \(b\) die Katheten
und \(c\) die Hypotenuse,
dann gilt
\begin{equation}
c = \sqrt{  a^{2}+b^{2}  }
\end{equation}
(Satz des Pythagoras).
\exb
\begin{verbatim}
Seien \(a\) und \(b\) die Katheten
und \(c\) die Hypotenuse,
dann gilt
\begin{equation}
c = \sqrt{  a^{2}+b^{2}  }
\end{equation}
(Satz des Pythagoras).
\end{verbatim}
\exc

Mit \verb|\label| und \verb|\ref| kann man die Gleichungsnummern
im Text ansprechen.

\exa
\begin{equation} \label{eps}
\varepsilon > 0
\end{equation}
 
Aus (\ref{eps}) folgt \dots
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation} \label{eps}
\varepsilon > 0
\end{equation}
 
Aus (\ref{eps}) folgt \dots
\end{verbatim}
\exc
 
 
 
Das Setzen im mathematischen Modus unterscheidet sich vom
Text-Modus vor allem durch folgende Punkte:
\begin{enumerate}
\item Leerzeilen sind verboten (Mathematische Formeln m"ussen
  innerhalb eines Absatzes stehen).

\item Leerstellen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine
  Bedeutung, alle Ab"-st"ande werden nach der Logik der
  mathematischen Aus"-dr"u"cke automatisch bestimmt oder m"ussen
  durch spezielle Befehle wie \verb|\,| oder~\verb|\qquad|
  angegeben werden.
\exa
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{verbatim}
\exc
 
\item Jeder einzelne Buchstabe wird als Name einer Variablen
  betrachtet und entsprechend gesetzt (kursiv mit
  zu"-s"atz"-lichem Abstand).  Will man innerhalb eines
  mathematischen Textes normalen Text (in aufrechter Schrift, mit
  Wort"-ab"-st"anden) setzen, mu"s man diesen in
  \verb|\textnormal{...}| einschlie"sen.
\exa
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textnormal{f"ur alle }
x \in \mathbf{R}
\end{equation}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textnormal{f"ur alle }
x \in \mathbf{R}
\end{equation}
\end{verbatim}
\exc
 
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Elemente in mathematischen Formeln}
 
In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Elemente, die in
mathematischen Formeln verwendet werden, kurz beschrieben.  Eine
Liste aller ver"-f"ug"-baren Symbole ent"-h"alt
Kapitel~\ref{symbols}.
 
\bigskip

\begin{sloppypar} 
\hbadness=1550\relax %% `underfull hbox'-Fehlermeldung aus
Kleine \textbf{griechische Buchstaben} werden als \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma|, \verb|\delta|, usw.\ eingegeben,
gro"se griechische Buchstaben als \verb|\mathrm{A}|,
\verb|\mathrm{B}|, \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, usw.
\end{sloppypar}
\exa
\(\lambda, \xi, \pi, \mu,
 \Phi, \Omega \)
\exb
\begin{verbatim}
\(\lambda, \xi, \pi, \mu,
 \Phi, \Omega \)
\end{verbatim}
\exc
 
Weiters gibt es eine F"ulle von \textbf{mathematischen Symbolen}:
von \(\in\) "uber \(\Rightarrow\) bis~\(\infty\) (siehe
Kapitel~\ref{symbols}).
 
\bigskip

Neben der voreingestellten Kursivschrift f"ur die Variablen
bietet \LaTeX\ eine Auswahl von mathematischen \textbf{Alphabeten} an:
\exa
\(\mathrm{ABCabc}\) \\
\(\mathbf{ABCabc}\) \\
\(\mathsf{ABCabc}\) \\
\(\mathtt{ABCabc}\) \\
\(\mathcal{ABC}\)
\exb
\begin{verbatim}
\(\mathrm{ABCabc}\)
\(\mathbf{ABCabc}\)
\(\mathsf{ABCabc}\)
\(\mathtt{ABCabc}\)
\(\mathcal{ABC}\)
\end{verbatim}
\exc
Die kalligraphischen Buchstaben (\verb:\mathcal:) gibt es nur als
Gro"sbuchstaben. Mit dem Paket \texttt{amsymb} \cite{ch8} stehen
auch Alphabete f�r Mengenzeichen und Frakturschrift zur Verf"ugung.
Lokal k"onnen noch weitere installiert sein -- siehe \local.


\bigskip

\textbf{Exponenten und Indizes} k"onnen mit den Zeichen \verb|^|
und \verb|_| hoch- bzw.\ tiefgestellt werden.
\exa
\(a_{1}\) \qquad
\(x^{2}\) \qquad
\(e^{-\alpha t}\) \qquad
\(a^{3}_{ij}\)
\exb
\begin{verbatim}
\(a_{1}\) \qquad
\(x^{2}\) \qquad
\(e^{-\alpha t}\) \qquad
\(a^{3}_{ij}\)
\end{verbatim}
\exc
 
Das \textbf{Wurzelzeichen} wird mit \verb|\sqrt|, \textit{n}-te
Wurzeln werden mit \verb|\sqrt[|\textit{n}\verb|]| eingegeben.
Die Gr"o"se des Wurzelzeichens wird von \LaTeX\ automatisch
ge"-w"ahlt.
\exa
\(\sqrt{x}\) \qquad
\(\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }\)
\qquad \(\sqrt[3]{2}\)
\exb
\begin{verbatim}
\(\sqrt{x}\) \qquad
\(\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }\)
\qquad \(\sqrt[3]{2}\)
\end{verbatim}
\exc
 
Die Befehle \verb|\overline| und \verb|\underline| bewirken
\textbf{waagrechte Striche} direkt "uber bzw.\ unter einem
Ausdruck.
\exa
\(\overline{m+n}\)
\exb
\begin{verbatim}
\(\overline{m+n}\)
\end{verbatim}
\exc
 
Die Befehle \verb|\overbrace| und \verb|\underbrace| bewirken
\textbf{waagrechte Klammern} "uber bzw.\ unter einem Ausdruck.
\exa
\(\underbrace{a+b+\cdots+z}_{26}\)
\exb
\begin{verbatim}
\(\underbrace{a+b+\cdots+z}_{26}\)
\end{verbatim}
\exc
 
Um mathematische \textbf{Akzente} wie Pfeile oder Schlangen auf
Variablen zu setzen, gibt es die in Tabelle~\ref{mathakz} auf
Seite~\pageref{mathakz} an"-ge"-f"uhrten Befehle.
L"angere Tilden und Dacherln, die sich "uber mehrere (bis zu~3)
Zeichen erstrecken k"onnen, er"-h"alt man mit \verb|\widetilde|
bzw.\ \verb|\widehat|.
Ableitungszeichen werden mit \verb|'| (Apostroph) eingegeben.
\exa
\begin{displaymath}
y=x^{2} \qquad
y'=2x   \qquad
y''=2
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
y=x^{2} \qquad
y'=2x   \qquad
y''=2
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
Mathematische \textbf{Funktionen} werden in der Literatur
"ublicherweise nicht kursiv (wie die Namen von Variablen),
sondern in "`normaler"' Schrift dargestellt.
\LaTeX\ stellt die folgenden Befehle f"ur mathematische
Funktionen zur Ver"-f"ugung:
\begin{verbatim}
\arccos   \cos    \csc   \exp   \ker     \limsup  \min   \sinh
\arcsin   \cosh   \deg   \gcd   \lg      \ln      \Pr    \sup
\arctan   \cot    \det   \hom   \lim     \log     \sec   \tan
\arg      \coth   \dim   \inf   \liminf  \max     \sin   \tanh
\end{verbatim}
F"ur die Modulo-Funktion gibt es zwei verschiedene Befehle:
\verb|\bmod| f"ur den bin"aren Operator \(a \bmod b\) und
\verb|\pmod{...}| f"ur die Angabe in der Form \(x\equiv a
\pmod{b}\).
 
\exa
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
=1
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
=1
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
Ein \textbf{Bruch} (fraction) wird mit dem Befehl
\verb|\frac{...}{...}| gesetzt.  F"ur einfache Br"uche kann man
aber auch den Operator~\verb|/| verwenden.
\exa
\(1\frac{1}{2}\)~Stunden
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 } \qquad
x^{ \frac{2}{k+1} } \qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\(1\frac{1}{2}\)~Stunden
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 } \qquad
x^{ \frac{2}{k+1} } \qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

\textbf{Binomial-Koeffizienten} k"onnen in der Form
\verb|{...\choose...}| gesetzt werden.
Mit dem Befehl~\verb|\atop| er"-h"alt man das Gleiche ohne
Klammern.
\exa
\begin{displaymath}
{ n \choose k } \qquad
{ x\atop y+2 }
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
{ n \choose k } \qquad
{ x\atop y+2 }
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

\medskip

Das \textbf{Integralzeichen} wird mit \verb|\int| eingegeben, das
\textbf{Summenzeichen} mit \verb|\sum|.
Die obere und untere Grenze wird mit \verb|^| bzw.~\verb|_| wie
beim \mbox{Hoch-}\slash Tief"-stellen angegeben.
 
Normalerweise werden die Grenzen neben das Integralzeichen
gesetzt (um Platz zu sparen), durch Ein"-f"ugen des Befehls
\verb|\limits| wird erreicht, da"s die Grenzen oberhalb und
unterhalb des Integralzeichens gesetzt werden.
 
Beim Summenzeichen hingegen werden die Grenzen bei der Angabe von
\verb|\nolimits| oder im laufenden Text neben das Summenzeichen
gesetzt, ansonsten aber unter- und oberhalb.
\exa
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
F"ur \textbf{Klammern} und andere Begrenzer gibt es in \TeX\ 
viele verschiedene Symbole
(z.\,B.~\([\;\langle\;\|\;\updownarrow\)).
Runde und eckige Klammern k"onnen mit den entsprechenden Tasten
eingegeben werden, geschwungene mit~\verb|\{|, die anderen mit
speziellen Befehlen (z.\,B.~\verb|\updownarrow|).
 
Setzt man den Befehl \verb|\left| vor "offnende Klammern und den
Befehl \verb|\right| vor schlie"sende, so wird automatisch die
richtige Gr"o"se ge"-w"ahlt.
\exa
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
In manchen F"allen m"ochte man die Gr"o"se der Klammern lieber
selbst festlegen, dazu sind die Befehle
\verb|\bigl|,
\verb|\Bigl|,
\verb|\biggl| und
\verb|\Biggl| anstelle von \verb|\left|
und analog \verb|\bigr| etc.\ anstelle von \verb|\right|
anzugeben.
\exa
\begin{displaymath}
\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^{2}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^{2}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
Um in Formeln \textbf{3~Punkte} (z.\,B.\ f"ur \(1,2,\ldots,n\))
auszugeben, gibt es die Befehle
\verb|\ldots| und \verb|\cdots|.
\verb|\ldots| setzt die Punkte auf die Grundlinie (low),
\verb|\cdots| setzt sie in die Mitte der Zeilen"-h"ohe
(centered).
Au"serdem gibt es die Befehle
\verb|\vdots| f"ur vertikal und
\verb|\ddots| f"ur diagonal angeordnete Punkte.
\exa
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc


\subsection{Nebeneinander Setzen}
 
Wenn man mit den von \TeX\ ge"-w"ahlten \textbf{Ab"-st"anden}
innerhalb von Formeln nicht zufrieden ist, kann man sie mit
expliziten Befehlen ver"-"andern. Die wichtigsten sind
\verb|\,| f"ur einen sehr kleinen Abstand,
\verb*|\ | f"ur einen mittleren,
\verb|\quad| und \verb|\qquad| f"ur gro"se Ab"-st"ande sowie
\verb|\!| f"ur die Verkleinerung eines Abstands.
\exa
\begin{displaymath}
F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
 \qquad n \ge 2
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
 \qquad n \ge 2
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc
 
\exa
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\quad \textnormal{statt} \quad
\int\int_{D} \mathrm{d}x \mathrm{d}y
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} 
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\quad \textnormal{statt} \quad
\int\int_{D} 
\mathrm{d}x \mathrm{d}y
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc


\subsection{"Ubereinander Setzen}

F"ur \textbf{Matrizen} u.\,"a.\ gibt es die
\texttt{array}-Umgebung, die "ahnlich wie die
\texttt{tabular}-Umgebung funktioniert.
Der Befehl~\verb|\\| trennt die Zeilen.
\exa
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

\begin{sloppypar}
F"ur \textbf{mehrzeilige} Formeln oder Gleichungssysteme
verwendet man die Umgebungen \texttt{eqnarray} und
\texttt{eqnarray*} statt \texttt{equation}.
Bei \texttt{eqnarray} er"-h"alt jede Zeile eine eigene
Gleichungsnummer, bei \texttt{eqnarray*} wird ebenso wie bei
\texttt{displaymath} \emph{keine} Nummer hinzu"-ge"-f"ugt.
F"ur Gleichungssysteme, die \emph{eine} gemeinsame Nummer
erhalten sollen, kann man eine \texttt{array}-Umgebung innerhalb
der \texttt{equation}-Umgebung verwenden.
\end{sloppypar}

Die Umgebungen \texttt{eqnarray} und \texttt{eqnarray*}
funktionieren wie eine 3-spaltige Tabelle der Form~\verb|{rcl}|,
wobei die mittlere Spalte f"ur das Gleichheits- oder
Ungleichheitszeichen verwendet wird, nach dem die Zeilen
ausgerichtet werden sollen.
Der Befehl~\verb|\\| trennt die Zeilen.
\exa
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x       \\
f'(x) & = & -\sin x     \\
\int_{0}^{x} f(y)\,\mathrm{d}y &
 = & \sin x
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x       \\
f'(x) & = & -\sin x     \\
\int_{0}^{x} f(y)\,\mathrm{d}y &
 = & \sin x
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc
 
\textbf{Zu lange Gleichungen} werden von \LaTeX\ \textit{nicht}
automatisch abgeteilt.
Der Autor mu"s bestimmen, an welcher Stelle abgeteilt und wie
weit ein"-ge"-r"uckt werden soll.
Meistens verwendet man da"-f"ur eine der beiden folgenden
Varianten:
\exa
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
     +\frac{x^{5}}{5!} - {} % empty group for correct spacing
                            % around the `-'
                    \nonumber\\
 & &{} -\frac{x^{7}}{7!} + \cdots % ditto
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
     +\frac{x^{5}}{5!} - {} 
                    \nonumber\\
 & &{} -\frac{x^{7}}{7!} + \cdots
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc
\exa
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} + {} }
                    \nonumber\\
 & & {} +\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!} + \cdots
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} +{} }
                    \nonumber\\
 & &{} +\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!} + \cdots
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc
Der Befehl \verb|\nonumber| bewirkt, da"s an diese Stelle keine
Gleichungsnummer gesetzt wird.
Der Befehl \verb|\lefteqn| er"-m"og"-licht Ausnahmen von der
Spaltenaufteilung innerhalb \texttt{eqnarray}. 
Genauere Informationen ent"-h"alt das \manual.

\endinput