summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-finnish/src/grafiikka.tex
blob: a16ec8f47aeab7a2eaeb3d670c642bad5521c3f3 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\newcommand{\graphicscompanion}{\emph{The \LaTeX{} Graphics Companion}~\cite{graphicscompanion}} 
\newcommand{\hobby}{\emph{A User's Manual for MetaPost}~\cite{metapost}}
\newcommand{\hoenig}{\emph{\TeX{} Unbound}~\cite{unbound}}
\newcommand{\graphicsinlatex}{\emph{Graphics in \LaTeXe{}}~\cite{ursoswald}}

\chapter{Grafiikan tuottaminen matematiikan tarpeisiin}

\begin{intro}
Useimmat käyttävät {\LaTeX}:ia tekstin latomiseen. \LaTeX\ tarjoaa myös
rajallisen mahdollisuuden tuottaa grafiikkaa käskyjen avulla.
Rajoittuneita mahdollisuuksia lisäävät lukuisat {\LaTeX}-lisäykset. Tässä osassa opitaan
muutama niistä.
\end{intro}

\section{Yleiskatsaus}

{\LaTeX}:ssa voidaan määritellä kuvia \ei{picture}-ympäristöllä.
Yksityiskohtainen kuvaus löytyy ohjeesta \manual. Toisaalta menetelmässä
on pahoja puutteita. Kulmat, joissa vinoja viivoja voidaan esittää, sekä
ympyröiden säteet on rajattu tiettyihin arvoihin. Toisaalta taas {\LaTeX}:n
\ei{picture}-ympäristö sisältää \ci{qbezier}-komennon, jossa ''\texttt{q}''
tarkoittaa neliötä (quadratic). Monet usein käytetyistä käyristä eli
ympyrät, ellipsit tai katenoidikäyrät voidaan esittää lähestulkoon tyydyttävästi
toisen asteen Bézier-käyrillä, vaikka tämä voi vaatia hieman matemaattista
vaivannäköä. Mikäli lisäksi käytetään Javan tapaista ohjelmointikieltä
\ci{qbezier}-blokkien luomiseksi {\LaTeX}-tiedostoista, tulee \ei{picture}-ympäristöstä
melko tehokas.

Vaikka kuvien piirtäminen {\LaTeX}:ssa on hyvin rajoittunutta ja usein
hankalaa, on siihen kuitenkin hyvät syynsä. Näin tuotetut dokumentit
ovat tiedostokooltaan pieniä eikä ylimääräisiin grafiikkatiedostoihin
ole mitään tarvetta.

{\LaTeX}:n graafisia ominaisuuksia voidaan parantaa käyttämällä pakkauksia
\pai{epic} ja \pai{eepic} (nämä on kuvattu teoksessa \companion) tai \pai{pstricks},
jotka poistavat alkuperäisen \ei{picture}-ympäristön rajoituksia.

Kaksi ensinmainittua makropakkausta parantavat \ei{picture}-ympäristöä, mutta
\pai{pstricks} sisältää aivan oman piirustusympäristön \ei{pspicture}.
\pai{pstricks}-pakkauksen voima on siinä, että se käyttää hyvin tarkkaan
PostScriptin ominaisuuksia. Lisäksi on vielä lukuisia erityisiin tarkoituksiin tehtyjä
makropakkauksia. Eräs niistä on \texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic, joka on kuvattu
tämän luvun lopussa. Teoksessa \graphicscompanion{} (jota ei pidä sekoittaa
teokseen \companion{}) on kuvattu yksityiskohtaisesti
useita näitä makropakkauksia.

Ehkä tehokkain {\LaTeX}:iin liittyvä graafinen työkalu on \texttt{MetaPost}, joka
on Donald E. Knuthin \texttt{METAFONT}:n kaksoissisar. \texttt{MetaPost} käyttää
\texttt{METAFONT}:n hyvin tehokasta ja matemaattisesti sofistikoitua ohjelmointikieltä.
\texttt{METAFONT}:n bittikarttakuvien sijasta \texttt{MetaPost} tuottaa
PostScript-tiedostoja, joita voidaan liittää {\LaTeX}-dokumenttiin. Johdantona
voidaan käyttää teosta {\hobby} tai teoksesta \cite{ursoswald} löytyvää oppijaksoa.

Teoksessa on \hoenig{} on hyvin perinpohjainen esitys {\LaTeX}:n ja {\TeX}:n graafisista
ominaisuuksista (sekä kirjasimista).

\section{\texttt{picture}-ympäristö}
\secby{Urs Oswald}{osurs@bluewin.ch}

\subsection{Peruskomennot}

\ei{picture}-ympäristö\footnote{Kaiken huipuksi tämä kuvaympäristö toimii ilman mitään
erityisiä makropakkauksia.} otetaan käyttöön joko komennolla
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
\noindent tai
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)(|$x_0,y_0$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
Numerot $x,\,y,\,x_0,\,y_0$ viittaavat \ci{unitlength}-muuttujaan, jolle voidaan asettaa
arvo milloin tahansa (ei kuitenkaan \ei{picture}-ympäristön sisällä) esimerkiksi komennolla

\begin{lscommand}
\ci{setlength}\verb|{|\ci{unitlength}\verb|}{1.2cm}|
\end{lscommand}
Muuttujan \ci{unitlength} oletusarvo on \texttt{1pt}. Ensimmäinen pari, $(x,y)$, varaa
kuvalle nelikulmaisen tilan dokumentista. Toista paria, $(x_0,y_0)$, voidaan käyttää
tarvittaessa asettamaan mielivaltaiset koordinaatit nelikulmion vasemmasta alakulmasta.

Useimmat piirustuskomennot ovat joko muotoa
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\emph{objekti}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent tai
\begin{lscommand}
\ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{objekti}\verb|}|\end{lscommand}
Bézier-käyrät ovat poikkeus. Ne piirretään komennolla
\begin{lscommand}
\ci{qbezier}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|)(|$x_2,y_2$\verb|)(|$x_3,y_3$\verb|)|
\end{lscommand}

\subsection{Suorat viivat}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{5cm}
\begin{picture}(1,1)
  \put(0,0){\line(0,1){1}}
  \put(0,0){\line(1,0){1}}  
  \put(0,0){\line(1,1){1}}  
  \put(0,0){\line(1,2){.5}}
  \put(0,0){\line(1,3){.3333}}
  \put(0,0){\line(1,4){.25}}  
  \put(0,0){\line(1,5){.2}}
  \put(0,0){\line(1,6){.1667}}
  \put(0,0){\line(2,1){1}}
  \put(0,0){\line(2,3){.6667}}
  \put(0,0){\line(2,5){.4}}
  \put(0,0){\line(3,1){1}}  
  \put(0,0){\line(3,2){1}}
  \put(0,0){\line(3,4){.75}}
  \put(0,0){\line(3,5){.6}}
  \put(0,0){\line(4,1){1}}
  \put(0,0){\line(4,3){1}}  
  \put(0,0){\line(4,5){.8}}
  \put(0,0){\line(5,1){1}}
  \put(0,0){\line(5,2){1}}
  \put(0,0){\line(5,3){1}}
  \put(0,0){\line(5,4){1}}
  \put(0,0){\line(5,6){.8333}}
  \put(0,0){\line(6,1){1}}
  \put(0,0){\line(6,5){1}}
\end{picture}
\end{example}
Suorat viivat piirretään komennolla
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{line}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Komennolla \ci{line} on kaksi parametria:
\begin{enumerate}
  \item suuntavektori,
  \item pituus.
\end{enumerate}
Suuntavektori koostuu kokonaisluvuista
\[
  -6,\,-5,\,\ldots,\,5,\,6,
\]
ja niiden on oltava lisäksi keskenään jaottomia (eli ei yhteistä jakajaa ykköstä lukuunottamatta).
Kuvassa esitetään kaikki 25 ensimmäisen kvadrantin mahdollista arvoa. Pituus riippuu
\ci{unitlength}-muuttujan arvosta. Pituusparametri on vaakaviivan tapauksessa vaakakoordinaatti,
muussa tapauksessa kyseessä on pystykordinaatti.

\subsection{Nuolet}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(60,40)
  \put(30,20){\vector(1,0){30}}
  \put(30,20){\vector(4,1){20}}
  \put(30,20){\vector(3,1){25}}
  \put(30,20){\vector(2,1){30}}
  \put(30,20){\vector(1,2){10}}
  \thicklines
  \put(30,20){\vector(-4,1){30}}
  \put(30,20){\vector(-1,4){5}}
  \thinlines
  \put(30,20){\vector(-1,-1){5}}
  \put(30,20){\vector(-1,-4){5}}
\end{picture}
\end{example}
Nuolet piirretään komennolla
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{vector}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Nuolien suuntavektorit ovat jopa suorien suuntavektoreita rajoitutempia.
Niiden argumentteina voivat olla ainoastaan kokonaisluvut 
\[
  -4,\,-3,\,\ldots,\,3,\,4.
\]
Argumenttien on lisäksi oltava keskenään jaottomia (ei yhteistä jakajaa ykköstä lukuunottamatta). On syytä
huomata komennon \ci{thicklines} vaikutus kahteen vasempaan yläkulmaan osoittavaan nuoleen.

\subsection{Ympyrät}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(60, 40)
  \put(20,30){\circle{1}}
  \put(20,30){\circle{2}}
  \put(20,30){\circle{4}}
  \put(20,30){\circle{8}}
  \put(20,30){\circle{16}}
  \put(20,30){\circle{32}}
  
  \put(40,30){\circle{1}}
  \put(40,30){\circle{2}}
  \put(40,30){\circle{3}}
  \put(40,30){\circle{4}}
  \put(40,30){\circle{5}}
  \put(40,30){\circle{6}}
  \put(40,30){\circle{7}}
  \put(40,30){\circle{8}}
  \put(40,30){\circle{9}}
  \put(40,30){\circle{10}}
  \put(40,30){\circle{11}}
  \put(40,30){\circle{12}}
  \put(40,30){\circle{13}}
  \put(40,30){\circle{14}}
  
  \put(15,10){\circle*{1}}
  \put(20,10){\circle*{2}}
  \put(25,10){\circle*{3}}
  \put(30,10){\circle*{4}}
  \put(35,10){\circle*{5}}
\end{picture}
\end{example}
Komento
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{circle}\verb|{|\emph{halkaisija}\verb|}}|
\end{lscommand}
\noindent piirtää ympyrän, jonka keskipiste on $(x,y)$ ja halkaisija (ei siis säde)
on \emph{halkaisija}. \ei{picture}-ympäristössä suurin mahdollinen halkaisija on
noin 14\,mm. Kaikki tätä pienemmät halkaisijat eivät kuitenkaan ole mahdollisia.
Komennolla \ci{circle*} piirretään täytettyjä ympyröitä.

Aivan kuten suorien viivojen tapauksessa, voi olla tarpeen käyttää lisämakropakkauksia
\pai{eepic} tai \pai{pstricks}. Nämä on kuvattu perinpohjin teoksessa \graphicscompanion.

Mikäli ylimääräisten laskelmien tekeminen ei pelota, ympyröitä ja käyriä voidaan
kasata myös toisen asteen Bézier-käyrien avulla.
Esimerkkejä ja Java-lähdekoodia löytyy teoksesta \graphicsinlatex{}.

\subsection{Tekstiä ja kaavoja}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,5)
  \thicklines
  \put(1,0.5){\line(2,1){3}}
  \put(4,2){\line(-2,1){2}}
  \put(2,3){\line(-2,-5){1}}
  \put(0.7,0.3){$A$}
  \put(4.05,1.9){$B$}
  \put(1.7,2.95){$C$}
  \put(3.1,2.5){$a$}
  \put(1.3,1.7){$b$}
  \put(2.5,1.05){$c$}
  \put(0.3,4){$F=
    \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}  
  \put(3.5,0.4){$\displaystyle
    s:=\frac{a+b+c}{2}$}
\end{picture}
\end{example}
Esimerkin mukaisesti tekstiä ja kaavoja voidaan kirjoittaa \ei{picture}-ympäristössä
\ci{put}-komentoa käyttämällä.

\subsection{Komennot \ci{multiput} ja \ci{linethickness}}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{2mm}
\begin{picture}(30,20)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){31}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,1){21}%
    {\line(1,0){30}}
  \linethickness{0.15mm}    
  \multiput(0,0)(5,0){7}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,5){5}%
    {\line(1,0){30}}
  \linethickness{0.3mm}    
  \multiput(5,0)(10,0){3}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,5)(0,10){2}%
    {\line(1,0){30}}
\end{picture}
\end{example}
Komennolla
\begin{lscommand}
  \ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{objekti}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent on 4 parametriä: aloituspiste, siirtymävektori objektista toiseen, objektien
lukumäärä sekä piirrettävä objekti. Komento \ci{linethickness} vaikuttaa vaaka- ja pystyviivoihin,
muttei vinoviivoihin eikä ympyröihin. Se vaikuttaa kuitenkin toisen asteen Bézier-käyriin!

\subsection{Ovaalit. Komennot \ci{thinlines} ja \ci{thicklines}}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}%
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}%
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(2,3){\oval(3,1.8)} 
  \thinlines
  \put(3,2){\oval(3,1.8)} 
  \thicklines
  \put(2,1){\oval(3,1.8)[tl]} 
  \put(4,1){\oval(3,1.8)[b]} 
  \put(4,3){\oval(3,1.8)[r]} 
  \put(3,1.5){\oval(1.8,0.4)}     
\end{picture}
\end{example}
Komento
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)}|
\end{lscommand}
\noindent tai
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)[|\emph{sijainti}\verb|]}|
\end{lscommand}
\noindent piirtävät ovaalin, jonka keskipiste on $(x,y)$, leveys $w$ ja korkeus $h$.
Mahdolliset \emph{sijainti}-parametrit \texttt{b}, \texttt{t}, \texttt{l}, \texttt{r}
tarkoittavat vastaavasti ''alhaalla'', ''ylhäällä'', ''vasemalla'', ''oikealla''
ja niitä voidaan yhdistellä esimerkin mukaisesti.

Viivan paksuuteen voidaan vaikuttaa komennolla:\\
\ci{linethickness}\verb|{|\emph{mitta}\verb|}|
toisaalta myös komennoilla \ci{thinlines} and \ci{thicklines}.
Vaakaviivoihin (ja toisen asteen Bézier-käyriin) vaikuttaa \ci{linethickness}\verb|{|\emph{mitta}\verb|}|,
vinoviivoihin sekä ympyröihin ja ovaaleihin vaikuttavat \ci{thinlines} ja \ci{thicklines}.

\subsection{Ennalta määriteltyjen kuvalaatikoiden käyttö}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(120,168)
\newsavebox{\laatikkoa}% uusi laatikko
\savebox{\laatikkoa}
  (40,32)[bl]{% määritykset 
  \multiput(0,0)(0,28){2}
    {\line(1,0){40}}
  \multiput(0,0)(40,0){2}
    {\line(0,1){28}}
  \put(1,28){\oval(2,2)[tl]}
  \put(1,29){\line(1,0){5}}
  \put(9,29){\oval(6,6)[tl]}
  \put(9,32){\line(1,0){8}}
  \put(17,29){\oval(6,6)[tr]}
  \put(20,29){\line(1,0){19}}
  \put(39,28){\oval(2,2)[tr]}  
}
\newsavebox{\laatikkob}% uusi laatikko
\savebox{\laatikkob}
  (40,32)[l]{%         määritykset 
  \put(0,14){\line(1,0){8}}
  \put(8,0){\usebox{\laatikkoa}}
}
\put(34,26){\line(0,1){102}} 
\put(14,128){\usebox{\laatikkoa}}
\multiput(34,86)(0,-37){3}
  {\usebox{\laatikkob}} 
\end{picture}
\end{example}
Kuvalaatikko voidaan \emph{nimetä} komennolla
\begin{lscommand}
  \ci{newsavebox}\verb|{|\emph{nimi}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent sitten sen ominaisuudet \emph{määritellään} 
\begin{lscommand}
  \ci{savebox}\verb|{|\emph{nimi}\verb|}(|\emph{leveys,korkeus}\verb|)[|\emph{sijainti}\verb|]{|\emph{sisältö}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent ja lopuksi se voidaan tarvittaessa piirtää
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|)|\ci{usebox}\verb|{|\emph{nimi}\verb|}|
\end{lscommand}

Mahdollinen \emph{sijainti}-parametri määrittelee kuvalaatikon
origon. Esimerkissä sillä on arvo \texttt{bl}, joka
sijoittaa origon laatikon vasempaan yläkulmaan. Muut mahdolliset arvot
ovat \texttt{t} (ylös) ja \texttt{r} oikealle.

Parametri \emph{name} viittaa {\LaTeX}:n muuttujiin ja siitä johtuen
se muistuttaa komentoa (tästä syystä sen edessä on kenoviiva).
Kuvalaatikot voivat olla toistensa sisällä: esimerkissä \ci{laatikkoa}
on osa \ci{laatikkob}-laatikon määrityksiä.

Tässä piti käyttää komentoa \ci{oval}, koska \ci{line} ei toimi, mikäli segmentin pituus on
alle 3\,mm.

\subsection{Toisen asteen Bézier-käyrät}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(0.5,0.5){\line(1,5){0.5}}    
  \put(1,3){\line(4,1){2}} 
  \qbezier(0.5,0.5)(1,3)(3,3.5)
  \thinlines   
  \put(2.5,2){\line(2,-1){3}}
  \put(5.5,0.5){\line(-1,5){0.5}}
  \linethickness{1mm}
  \qbezier(2.5,2)(5.5,0.5)(5,3)
  \thinlines
  \qbezier(4,2)(4,3)(3,3)
  \qbezier(3,3)(2,3)(2,2)
  \qbezier(2,2)(2,1)(3,1)
  \qbezier(3,1)(4,1)(4,2)
\end{picture}
\end{example}
Esimerkistä selviää, että ympyrän jakaminen neljään toisen asteen Bézier-käyrään
ei tuo tyydyttävää tulosta. Tarvitaan ainakin kahdeksan. Kuvasta selviää lisäksi
\ci{linethickness}-komennon vaikutus pysty- tai vaakaviivoihin ja komentojen \ci{thinlines}
sekä \ci{thicklines} vaikutus vinoviivoihin. Siitä näkyy myös, että kummatkin
komentotyypit vaikuttavat toisen asteen Bézier-käyriin, jokainen seuraava komento
ohittaa vaikutuksiltaan edellisen.

Päätepisteitä kuvatkoon $P_1=(x_1,\,y_1),\,P_2=(x_2,\,y_2)$ ja vastaavasti $m_1,\,m_2$
toisen asteen Bézier-käyrän kaarta. Näiden välissä oleva kontrollipiste 
$S=(x,\,y)$ seuraa silloin yhtälöistä
\begin{equation} \label{zwischenpunkt}
  \left\{
    \begin{array}{rcl}
      x & = & \displaystyle \frac{m_2 x_2-m_1x_1-(y_2-y_1)}{m_2-m_1}, \\
      y & = & y_i+m_i(x-x_i)\qquad (i=1,\,2).
    \end{array}
  \right.
\end{equation}
\noindent Teoksessa \graphicsinlatex\ esitetään Java-ohjelma, joka
luo tarvittavan \ci{qbezier}-komennon.

\subsection{Katenoidikäyrä}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)
  \put(-2,0){\vector(1,0){4.4}}
  \put(2.45,-.05){$x$}
  \put(0,0){\vector(0,1){3.2}}
  \put(0,3.35){\makebox(0,0){$y$}}
  \qbezier(0.0,0.0)(1.2384,0.0)
    (2.0,2.7622) 
  \qbezier(0.0,0.0)(-1.2384,0.0)
    (-2.0,2.7622)
  \linethickness{.075mm}
  \multiput(-2,0)(1,0){5}
    {\line(0,1){3}}
  \multiput(-2,0)(0,1){4}
    {\line(1,0){4}}
  \linethickness{.2mm}
  \put( .3,.12763){\line(1,0){.4}}
  \put(.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
  \put(-.7,.12763){\line(1,0){.4}}
  \put(-.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
  \put(.8,.54308){\line(1,0){.4}}
  \put(1,.34308){\line(0,1){.4}}
  \put(-1.2,.54308){\line(1,0){.4}}
  \put(-1,.34308){\line(0,1){.4}}
  \put(1.3,1.35241){\line(1,0){.4}}
  \put(1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
  \put(-1.7,1.35241){\line(1,0){.4}}
  \put(-1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
  \put(-2.5,-0.25){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}

Tässä kuvassa kumpikin katenoidikäyrän $y=\cosh x -1$ symmetrinen puolisko esitetään toisen
asteen Bézier-käyrällä. Käyrän oikea puoli päättyy pisteeseen \((2,\,2.7622)\), missä
kaarteella on arvo \(m=3.6269\). Käyttämällä jälleen yhtälöä (\ref{zwischenpunkt}) voidaan
laskea keskimmäiset kontrollipisteet. Ne näyttävät olevan $(1.2384,\,0)$ ja $(-1.2384,\,0)$.
Ristit osoittavat \emph{oikean} katenoidikäyrän pisteitä. Virhettä tuskin huomaa sen ollessa
alle yhden prosentin.

Tämä esimerkki esittää \verb|\begin{picture}|-komennon mahdollisen parametrin käyttöä.
Kuva määritellään tarkoituksenmukaisilla ''matemaattisilla'' koordinaateilla, kun taas
komennolla
\begin{lscommand} 
  \ci{begin}\verb|{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)|
\end{lscommand}
\noindent sen vasempaan alakulmaan (merkitty mustalla pallolla) on
liitetty koordinaatit $(-2.5,-0.25)$. 

\subsection{Nopeus suhteellisuusteoriassa}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
  \put(2.7,-0.1){$\chi$}
  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \put(0.2,1.4)
    {$\beta=v/c=\tanh\chi$}
  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)
    (2,0.9640)
  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)
    (-2,-0.9640)
  \put(-3,-2){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}
Näiden kahden Bézier-käyrän kiintopisteet laskettiin kaavalla (\ref{zwischenpunkt}).
Positiivisen haaran määrittelee $P_1=(0,\,0),\,m_1=1$ ja $P_2=(2,\,\tanh 2),\,m_2=1/\cosh^2 2$.
Kuva on jälleen määritelty matemaattisesti sopivin koordinaatein ja vasempaan alakulmaan
sijoittuvat matemaattiset koordinaatit $(-3,-2)$ (musta ympyrä).

\section{\texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic}
\secby{Alberto Manuel Brand\~ao Sim\~oes}{albie@alfarrabio.di.uminho.pt}
\pai{xy} sisältää erityismakroja kaavioiden piirtämiseen.
Sen käyttämiseksi riittää seuraavan rivin lisääminen dokumentin määrittelyosaan:
\begin{lscommand}
\verb|\usepackage[|\emph{optiot}\verb|]{xy}|
\end{lscommand}
\emph{optiot} ovat lista \Xy-picin funktioita, jotka halutaan ladata käyttöön.
Näitä optioita käytetään lähennä makrojen virheitä etsittäessä. Suosittelen
käyttämään optiota \verb!all!, joka saa {\LaTeX}:n lataamaan kaikki {\Xy}:n komennot.

\Xy-kaaviot piirretään matriisiin, jossa kaavion jokainen elementti
on sijoitettu johonkin matriisin kohtaan:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{A & B \\
          C & D }
\end{displaymath}
\end{example}
Komentoa \ci{xymatrix} täytyy käyttää matematiikkatilassa. Tässä
määritellään kaksi viivaa ja kaksi saraketta. Jotta matriisista
saadaan kaavio, siihen lisätään nuolia \ci{ar}-komentoa käyttämällä.

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{ A \ar[r] & B \ar[d] \\
           D \ar[u] & C \ar[l] }
\end{displaymath}
\end{example}
Nuolikomento sijoitetaan nuolen alkupisteeseen. Parametrit kertovat
nuolen suunnan (\texttt{u} ylös, \texttt{d} alas, \texttt{r} oikealle ja
\texttt{l} vasemmalle).

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[r] & B \\
  D                       & C }
\end{displaymath}
\end{example}
Vinoviivojen tekemiseen käytetään yhtä useampaa suuntaa.
Suuntaparametreja voi itseasiassa toistaa suurempien nuolten
tekemiseksi.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[drr] & & \\
  B                      & C & D }
\end{displaymath}
\end{example}

Kaavioista saadaan vielä mielenkiintoisempia lisäämällä
nuoliin tunnisteita. Niiden tekemiseen käytetään yleisiä
ylä- ja alaindeksioperaattoreita.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]^f \ar[d]_g &
             B \ar[d]^{g'} \\
  D \ar[r]_{f'}       & C }
\end{displaymath}
\end{example}

Näitä operaattoreita käytetään kuten normaalisti matematiikkatilassa.
Ainoa ero on merkityksessä: yläindeksi tarkoittaa ''nuolen päällä''
ja alaindeksi tarkoittaa ''nuolen alla''. On myös olemassa kolmas operaattori:
pystyviiva (\verb+|+). Se sijoittaa tekstin \emph{keskelle} nuolta.

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]|f \ar[d]|g &
             B \ar[d]|{g'} \\
  D \ar[r]|{f'}       & C }
\end{displaymath}
\end{example}

Nuoli, jossa on reikä, piirretään \verb!\ar[...]|\hole!.

Joissain tilanteissa on tärkeää erottaa erityyppiset nuolet toisistaan.
Se voidaan tehdä panemalla niihin tunnisteita tai muuttamalla niiden
ulkoasua:

\begin{example}
\shorthandoff{"}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet\ar@{->}[rr] && \bullet\\
 \bullet\ar@{.<}[rr] && \bullet\\
 \bullet\ar@{~)}[rr] && \bullet\\
 \bullet\ar@{=(}[rr] && \bullet\\
 \bullet\ar@{~/}[rr]  && \bullet\\
 \bullet\ar@{^{(}->}[rr]  && \bullet\\
 \bullet\ar@2{->}[rr]  && \bullet\\
 \bullet\ar@3{->}[rr]  && \bullet\\
 \bullet\ar@{=+}[rr]   && \bullet
}
\end{displaymath}
\shorthandon{"}
\end{example}

Huomaa ero kahden seuraavan kaavion välillä:

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar[r] 
         \ar@{.>}[r] & 
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar@/^/[r] 
         \ar@/_/@{.>}[r] &
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

Kauttaviivojen välissä olevat modifikaattorit määrittelevät
miten käyrät piirretään. \Xy-pic tarjoaa useita tapoja
käyrien piirtämiseksi. Lisätietoja saa \Xy-picin käyttöohjeista.

% \begin{example}
% \begin{lscommand}
% \ci{dum}
% \end{lscommand}
% \end{example}