summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex
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Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex')
-rw-r--r--Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex2050
1 files changed, 2050 insertions, 0 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex b/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex
new file mode 100644
index 00000000000..44bd5ede6f4
--- /dev/null
+++ b/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex
@@ -0,0 +1,2050 @@
+\chapter{Mathématiques}
+\label{chap:math}
+
+
+S'il est un domaine où {\LaTeX} brille particulièrement, c'est bien
+dans la préparation et la présentation d'équations mathématiques ---
+des plus simples aux plus complexes. Après tout, l'amélioration de la
+qualité typographique des équations mathématiques dans son ouvrage
+phare \emph{The Art of Computer Programming} figurait parmi les
+objectifs premiers de Knuth lorsqu'il a développé {\TeX}.
+
+
+\section{Principes de base du mode mathématique}
+\label{sec:math:base}
+
+La mise en forme d'équations mathématiques requiert d'indiquer à
+l'ordinateur, dans un langage spécial, le contenu des dites équations
+et la position des symboles: en exposant, en indice, sous forme de
+fraction, etc. L'ordinateur peut ensuite assembler le tout à partir de
+règles typographiques portant, par exemple, sur la représentation des
+variables et des constantes, l'espacement entre les symboles ou la
+disposition des équations selon qu'elles apparaissent au fil du texte
+ou hors d'un paragraphe.
+
+On indique à {\LaTeX} que l'on change de «langage», par l'utilisation
+d'un mode mathématique. Il y a deux grandes manière d'activer le mode
+mathématique:
+\begin{enumerate}
+\item en insérant le code entre les symboles \verb=$ $= pour générer
+ une équation «en ligne», ou au fil du texte;
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+on sait que $(a + b)^2 =
+a^2 + 2ab + b^2$, d'où
+on obtient...
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ on sait que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ d'où on obtient...
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\item en utilisant un environnement servant à créer une équation hors
+ paragraphe;
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+on sait que
+\begin{equation*}
+ (a + b)^2
+ = a^2 + 2ab + b^2,
+\end{equation*}
+d'où on obtient...
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ on sait que
+ \begin{equation*}
+ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
+ \end{equation*}
+ d'où on obtient...
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\end{enumerate}
+
+Dans l'exemple ci-dessus, l'environnement \Pe{equation*} (tiré du
+paquetage \pkg{amsmath}, voir la section suivante) crée une
+équation hors paragraphe, centrée sur la ligne et non numérotée. Avec
+l'environnement \Ie{equation} (donc sans \verb=*= dans le nom),
+{\LaTeX} ajoute automatiquement un numéro d'équation séquentiel aligné
+sur la marge de droite:
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+on sait que
+\begin{equation}
+ (a + b)^2 = a^2 + b^2,
+\end{equation}
+d'où on obtient...
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ on sait que
+ \begin{equation}
+ (a + b)^2 = a^2 + b^2,
+ \end{equation}
+ d'où on obtient...
+ \end{texample}
+\end{demo}
+Cette disposition est la plus usuelle dans les ouvrages mathématiques.
+Le type de numérotation diffère selon qu'un document comporte des
+chapitres ou non.
+
+En mode mathématique, les chiffres sont automatiquement considérés
+comme des constantes, les lettres comme des variables et une suite de
+lettres comme un produit de variables (nous verrons plus loin comment
+représenter des fonctions mathématiques comme $\sin$, $\log$ ou
+$\lim$). Ceci a trois conséquences principales:
+\begin{enumerate}
+\item conformément aux conventions typographiques, les chiffres sont
+ représentés en caractère \textrm{romain} et les variables, en
+ italique;
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$123xyz$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $123xyz$
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\item l'espace entre les constantes, les variables et les opérateurs
+ mathématiques est géré automatiquement;
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$z = 2 x + 3 x y$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $z = 2 x + 3 x y$
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\item les espaces dans le code source n'ont aucun impact sur la
+ disposition d'une équation.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$z=2x + 3xy$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $z=2x + 3xy$
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\end{enumerate}
+
+Quant au langage retenu par {\LaTeX} pour décrire les équations
+mathématiques, il est très similaire à celui que l'on utiliserait pour
+le faire à voix haute. Il faut simplement recourir à des commandes
+pour identifier les symboles mathématiques que l'on ne retrouve pas
+sur un clavier usuel, comme les lettres grecques, les opérateurs
+d'inégalité ou les symboles de sommes et d'intégrales.
+
+
+\section{Un paquetage incontournable}
+\label{sec:math:amsmath}
+
+Le paquetage \pkg{amsmath} \citep{amsmath} produit par la prestigieuse
+\emph{American Mathematical Society} fournit diverses extensions à
+{\LaTeX} pour faciliter encore davantage la saisie d'équations
+mathématiques complexes et en améliorer la présentation. L'utilisation
+de ce paquetage doit être considérée incontournable pour tout document
+contenant plus que quelques équations très simples.
+
+Au chapitre des améliorations fournies par \pkg{amsmath}, notons
+particulièrement:
+\begin{itemize}
+\item plusieurs environnements pour les équations hors paragraphe, en
+ particulier pour les équations multilignes;
+\item une meilleure gestion de l'espacement autour des symboles de
+ relation (comme les signes d'égalité) dans les équations
+ multilignes;
+\item une commande pour faciliter l'entrée de texte à l'intérieur du
+ mode mathématique;
+\item un environnement pour la saisie des matrices et des coefficients
+ binomiaux;
+\item des commandes pour les intégrales multiples;
+\item la possibilité de définir de nouveaux opérateurs mathématiques.
+\end{itemize}
+Nous décrivons certaines de ces fonctionnalités dans la suite, mais
+tout utilisateur du paquetage devrait impérativement consulter sa %
+\doc[documentation complète]{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath}.
+
+
+\section{Principaux éléments du mode mathématique}
+\label{sec:math:bases}
+
+Cette section explique comment créer et assembler divers éléments
+d'une formule mathématique: exposants, indices, fractions, texte, etc.
+Les seuls symboles utilisés sont pour le moment les chiffres et les
+lettres latines. La présentation d'une partie de l'éventail de
+symboles mathématiques offerts par {\LaTeX} fera l'objet de la
+\autoref{sec:math:symboles}.
+
+\subsection{Exposants et indices}
+\label{sec:math:bases:exposants}
+
+{\LaTeX} permet de créer facilement et avec la bonne taille de
+symboles n'importe quelle combinaison d'exposants et d'indices.
+
+On place un caractère en \textsuperscript{exposant} avec la
+commande \verb=^= et en \textsubscript{indice} avec la commande
+\verb=_=. Les indices et exposants se combinent naturellement.
+\begin{demo}
+ \def\strut{\rule[-0.4ex]{0pt}{2ex}}
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x^2
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $x^2$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+a_n
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $a_n$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.63\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x_i^k
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $x_i^k$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+\end{demo}
+(L'ordre de saisie n'a pas d'importance; le troisième exemple
+donnerait le même résultat avec \verb=x^k_i=.)
+
+Si l'exposant ou l'indice compte plus d'un caractère, il faut
+regrouper le tout entre accolades \verb={ }=.
+\begin{demo}
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x^{2k + 1}
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $x^{2k + 1}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x_{i,j}
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $x_{i,j}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.63\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x_{ij}^{2n}
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $x_{ij}^{2n}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+\end{demo}
+
+Toutes les combinaisons d'exposants et d'indices sont possibles, y
+compris les puissances de puissances ou les indices d'indices.
+\begin{demo}
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+e^{-x^2}
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $e^{-x^2}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+A_{i_s, k^n}^{y_i}
+\end{lstlisting}
+ \producing\strut $A_{i_s,k^n}^{y_i}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad \mbox{} % pour alignement avec bloc d'exemples ci-dessus
+\end{demo}
+
+\begin{important}
+ Les commandes \verb=^= et \verb=_= sont permises dans le mode
+ mathématique seulement. En fait, si {\TeX} rencontre l'une de ces
+ commandes en mode texte, il tentera automatiquement de passer au
+ mode mathématique après avoir émis l'avertissement
+\begin{verbatim}
+! Missing $ inserted.
+\end{verbatim}
+ Il est assez rare que le résultat soit celui souhaité.
+\end{important}
+
+\subsection{Fractions}
+\label{sec:math:bases:fractions}
+
+Il y a plusieurs façons de représenter une fraction selon qu'elle se
+trouve au fil du texte, dans une équation hors paragraphe ou à
+l'intérieur d'une autre fraction.
+
+Pour les fractions au fil du texte, il vaut souvent mieux utiliser
+simplement la barre oblique \verb=/= pour séparer le numérateur du
+dénominateur, quitte à utiliser des parenthèses. Ainsi, on utilise
+\verb=$(n + 1)/2$= pour obtenir $(n + 1)/2$.
+
+De manière plus générale, la commande
+\begin{lstlisting}
+\frac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}'
+\end{lstlisting}
+dispose \meta{numérateur} au-dessus de \meta{dénominateur}, séparé par
+une ligne horizontale. La taille des caractères s'ajuste
+automatiquement selon que la fraction se trouve au fil du texte ou
+dans une équation hors paragraphe, ainsi que selon la position de la
+fraction dans l'équation.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+% taille au fil du texte
+On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et
+$z_2 = xy$.
+\end{lstlisting}
+ \producing On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et $z_2 = xy$.
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+% taille hors paragraphe
+On a
+\begin{equation*}
+ z_1 = \frac{x}{y}
+\end{equation*}
+et $z_2 = xy$.
+\end{lstlisting}
+ \producing On a
+ \begin{equation*}
+ z_1 = \frac{x}{y}
+ \end{equation*}
+ et $z_2 = xy$.
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+% deux tailles combinées
+Soit
+\begin{equation*}
+ z = \frac{\frac{x}{2}
+ + 1}{y}.
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing Soit
+ \begin{equation*}
+ z = \frac{\frac{x}{2} + 1}{y}.
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+Les commandes
+\begin{lstlisting}
+\dfrac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}'
+\tfrac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}'
+\end{lstlisting}
+de \pkg{amsmath} permettent de forcer une fraction à adopter la taille
+d'une fraction hors paragraphe (\emph{displayed}) dans le cas de
+\cmd{\dfrac}, ou de celle d'une fraction au fil du texte (\emph{text})
+dans le cas de \cmd{\tfrac}. Consulter l'\autoref{ex:math:matrices} à
+la \autopageref{ex:math:matrices} pour visualiser l'effet de la
+commande \cmd{\dfrac}.
+
+\begin{conseil}
+ Il est parfois visuellement plus intéressant, surtout au fil du
+ texte, d'écrire une fraction comme $1/x$ sous la forme $x^{-1}$.
+\end{conseil}
+
+\subsection{Racines}
+\label{sec:math:bases:racines}
+
+La commande
+\begin{lstlisting}
+\sqrt`\oarg{n}\marg{radicande}'
+\end{lstlisting}
+construit un symbole de radical autour de \meta{radicande}, par défaut
+la racine carrée. Si l'argument optionnel \meta{n} est spécifié, c'est
+plutôt un symbole de racine d'ordre $n$ qui est tracé. La longueur et
+la hauteur du radical s'adapte toujours à celles du radicande.
+\begin{demo}
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\sqrt{2}
+\end{lstlisting}
+ \producing $\sqrt{2}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\sqrt{625}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\sqrt{625}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \quad
+ \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\sqrt[3]{8}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\sqrt[3]{8}$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\sqrt[n]{x + y + z}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\sqrt[n]{x + y + z}$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\displaystyle \sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+\subsection{Sommes et intégrales}
+\label{sec:math:bases:sommes-et-integrales}
+
+Les sommes et les intégrales requièrent un symbole spécial ainsi que
+des limites inférieures et supérieures, le cas échéant.
+
+Les commandes \cmd{\sum} et \cmd{\int} servent respectivement à tracer
+les symboles de somme $\sum$ et d'intégrale $\int$. Le paquetage
+\pkg{amsmath} fournit également des commandes comme \cmd{\iint} et
+\cmd{\iiint} pour obtenir des symboles d'intégrales multiples finement
+disposés ($\iint$ et $\iiint$).
+
+On entre les éventuelles limites inférieures et supérieures comme des
+indices et des exposants.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\sum_{i = 0}^n x_i
+\end{lstlisting}
+ \producing $\displaystyle \sum_{i = 0}^n x_i$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\int_0^{10} f(x)\, dx
+\end{lstlisting}
+ \producing $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\, dx$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\iint_D f(x, y)\, dx dy
+\end{lstlisting}
+ \producing $\displaystyle \iint_D f(x, y)\, dx dy$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+La taille des symboles et la position des limites s'ajustent
+automatiquement selon le contexte. Au fil du texte, la somme et
+l'intégrale simple ci-dessus apparaîtraient comme $\sum_{i = 0}^n x_i$
+et $\int_0^{10} f(x)\, dx$.
+
+Dans une intégrale il est recommandé de séparer l'intégrande de
+l'opérateur de différentiation $dx$ par une espace fine. C'est ce à
+quoi sert la commande \cmd{\,} ci-dessus; voir aussi le
+\autoref{tab:math:espaces} de la \autopageref{tab:math:espaces}.
+
+\subsection{Points de suspension}
+\label{sec:math:bases:dots}
+
+Les formules mathématiques comportent fréquemment des points de
+suspension dans des suites de variables ou d'opérations. On recommande
+d'éviter de les entrer comme trois points finaux consécutifs, car
+l'espacement entre les points sera trop petit et le résultat, jugé
+disgracieux\footnote{%
+ Le résultat exact dépend de la police utilisée.} %
+d'un point de vue typographique: $...$
+
+Le \autoref{tab:math:dots} fournit les commandes {\LaTeX} servant à
+générer divers types de points de suspension.
+
+\begin{table}
+ \caption{Points de suspension}
+ \label{tab:math:dots}
+ \centering
+ \begin{tabular}{lll}
+ \toprule
+ commande & type de points & exemple \\
+ \midrule
+ \cmd{\dots} & sélection automatique \\
+ \cmd{\ldots} & points à la ligne de base & $x_1, \ldots, x_n$ \\
+ \cmd{\cdots} & points centrés & $x_1 + \cdots + x_n$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\vdots} & points verticaux & $
+ \begin{matrix}
+ x_1 \\ \vdots \\ x_n
+ \end{matrix}$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\ddots} & points diagonaux & $
+ \begin{matrix}
+ x_1 &&\\ &\ddots& \\ && x_n
+ \end{matrix}$ \\
+ \bottomrule
+ \end{tabular}
+\end{table}
+
+Avec \pkg{amsmath}, la commande \cmd{\dots} tâche de sélectionner
+automatiquement entre les points à la ligne de base ou les points
+centrés selon le contexte. Comme le résultat est en général le bon,
+nous recommandons d'utiliser principalement cette commande pour
+insérer des points de suspension en mode mathématique.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$x_1, \dots, x_n$
+\end{lstlisting}
+ \producing $x_1, \dots, x_n$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$x_1, \ldots, x_n$
+\end{lstlisting}
+ \producing $x_1, \ldots, x_n$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$x_1 + \dots + x_n$
+\end{lstlisting}
+ \producing $x_1 + \dots + x_n$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$x_1 + \cdots + x_n$
+\end{lstlisting}
+ \producing $x_1 + \cdots + x_n$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+Le paquetage définit également les commandes sémantiques suivantes:
+\begin{itemize}
+\item \cmd{\dotsc} pour des «points avec des virgules» (\emph{commas});
+\item \cmd{\dotsb} pour des «points avec des opérateurs binaires»;
+\item \cmd{\dotsm} pour des «points de multiplication»;
+\item \cmd{\dotsi} pour des «points avec des intégrales»;
+\item \cmd{\dotso} pour d'«autres points» (\emph{other}).
+\end{itemize}
+
+\subsection{Texte et espaces}
+\label{sec:math:bases:texte}
+
+On l'a vu, en mode mathématique {\LaTeX} traite les lettres comme des
+variables et gère automatiquement l'espacement entre les divers
+symboles. Or, il n'est pas rare que des formules mathématiques
+contiennent du texte (notamment des mots comme «où», «si», «quand»).
+De plus, il est parfois souhaitable de pouvoir ajuster les blancs
+entre des éléments.
+
+La commande de \pkg{amsmath}
+\begin{lstlisting}
+\text`\marg{texte}'
+\end{lstlisting}
+insère \meta{texte} dans une formule mathématique. Le texte est inséré
+tel quel, sans aucune gestion des espaces avant ou après le texte. Si
+des espaces sont nécessaires, ils doivent faire partie de
+\meta{texte}.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+f(x) = a e^{-ax}
+\text{ pour } x > 0
+\end{lstlisting}
+ \producing $f(x) = a e^{-ax} \text{ pour } x > 0$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+Les commandes
+\begin{lstlisting}
+\quad
+\qquad
+\end{lstlisting}
+insèrent un blanc de largeur variable selon la taille de la police en
+vigueur. La commande \cmd{\quad} insère un blanc de $1$~em (la largeur de
+la lettre M dans la police en vigueur), alors que \cmd{\qquad}
+insère le double de cette longueur\footnote{%
+ Bien qu'elles soient surtout utilisées dans le mode mathématique,
+ les commandes \cmd{\quad} et \cmd{\qquad} sont également valides
+ dans le mode texte.}.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+f(x) = a e^{-ax},
+\quad x > 0
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $f(x) = a e^{-ax}, \quad x > 0$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+Le \autoref{tab:math:espaces} répertorie et compare les différentes
+commandes qui permettent d'insérer des espaces plus ou moins fines
+entre des éléments dans le mode mathématique.
+
+\begin{table}
+ \caption{Espaces dans le mode mathématique}
+ \label{tab:math:espaces}
+ \centering
+ \begin{tabular}{lll}
+ \toprule
+ Commande & Longueur & Exemple \\
+ \midrule
+ & pas d'espace & \spx{} \\
+ \cmd{\,} & $3/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\,} \\
+ \cmd{\:} & $4/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\:} \\
+ \cmd{\;} & $5/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\;} \\
+ \pixabang & $-3/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\!} \\
+ \cmd{\quad} & $1$~em & \spx{\quad} \\
+ \cmd{\qquad} & $2$~em & \spx{\qquad} \\
+ \bottomrule
+ \end{tabular}
+\end{table}
+
+\subsection{Fonctions et opérateurs}
+\label{sec:math:bases:fonctions}
+
+Les règles de typographie pour les équations mathématiques exigent que
+les variables apparaissent en \textit{italique}, mais que les noms de
+fonctions, eux, apparaissent en \textrm{romain}, comme le texte
+standard. Pensons, ici, à des fonctions comme $\sin$ ou $\log$.
+
+On sait que {\LaTeX} interprétera un nom de fonction saisi tel quel
+comme un produit de variables:
+\begin{demo}
+ \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$2 sin 30$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $2 sin 30$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \hfill
+ \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$3 log 2$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $3 log 2$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+\end{demo}
+La commande \cmdprint{\text} permettrait d'afficher les noms de
+fonction en romain, mais l'utiliser à répétition se révélerait
+rapidement peu pratique. De plus, un nom de fonction n'est pas du
+texte à proprement parler, mais plutôt un opérateur mathématique.
+
+La solution de {\LaTeX} consiste à définir des commandes pour un grand
+nombre de fonctions et d'opérateurs mathématiques standards:
+\begin{lstlisting}
+\arccos \cosh \det \inf \limsup \Pr \tan
+\arcsin \cot \dim \ker \ln \sec \tanh
+\arctan \coth \exp \lg \log \sin
+\arg \csc \gcd \lim \max \sinh
+\cos \deg \hom \liminf \min \sup
+\end{lstlisting}
+L'espacement autour des fonctions et opérateurs est géré par {\LaTeX}.
+\begin{demo}
+ \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$2 \sin30$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $2 \sin30$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+ \hfill
+ \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+$3 \log 2$
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $3 \log 2$
+ \end{texample}
+ \end{minipage}
+\end{demo}
+
+Certaines des fonctions ci-dessus, notamment \cmd{\lim}, acceptent des
+limites comme les symboles de somme et d'intégrale.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+% au fil du texte
+\lim_{x \to 0} x = 0
+\end{lstlisting}
+ \producing $\lim_{x \to 0} x = 0$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+% hors paragraphe
+\lim_{x \to 0} x = 0
+\end{lstlisting}
+ \producing $\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+La commande \cmd{\DeclareMathOperator} de \pkg{amsmath} permet de
+définir de nouveaux opérateurs mathématiques lorsque nécessaire;
+consulter la %
+\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} %
+du paquetage (section~5.1) pour les détails.
+
+
+\begin{exemple}
+ Le matériel passé en revue jusqu'à maintenant permet déjà
+ de composer des équations élaborées --- sous réserve qu'elles
+ tiennent sur une seule ligne comme dans le présent exemple.
+
+ On présente ci-dessous, pièce par pièce, le code {\LaTeX} pour créer
+ l'équation suivante:
+ \begin{equation*}
+ \int_x^\infty (y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy =
+ \frac{1}{1 - F_X(x)} \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy.
+ \end{equation*}
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \emph{équation hors paragraphe}
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\int_x^\infty
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\displaystyle \int_x^\infty$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+(y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy =
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $(y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy =$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\frac{1}{1 - F_X(x)}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\dfrac{1}{1 - F_X(x)}$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\displaystyle \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \emph{fin de l'environnement}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+ \qed
+\end{exemple}
+
+
+\section{Symboles mathématiques}
+\label{sec:math:symboles}
+
+Outre les chiffres et les lettres de l'alphabet, les claviers
+d'ordinateurs ne comptent normalement que les symboles
+mathématiques suivants:
+\begin{center}
+%\begin{verbatim}
+\verb0+ - = < > / : ! ' | [ ] ( ) { }0
+%\end{verbatim}
+\end{center}
+Ils s'emploient directement dans les équations, sauf les accolades
+\verb={ }= qui sont des symboles réservés par {\LaTeX}. Il faut donc
+entrer celles-ci avec \cmdprint{\{} et \cmdprint{\}}, comme dans du
+texte normal.
+
+Pour représenter les innombrables autres symboles mathématiques, on
+aura recours à des commandes qui débutent, comme d'habitude, par le
+symbole {\bs} et dont le nom est habituellement dérivé de la
+signification mathématique du symbole.
+
+Si un symbole mathématique a été utilisé quelque part dans une
+publication, il y a de fortes chances que sa version existe dans
+{\LaTeX}. Il serait donc utopique de tenter de faire ici une recension
+des symboles disponibles. Nous nous contenterons d'un avant goût des
+principales catégories.
+
+L'ouvrage de référence pour connaître les symboles disponibles dans
+{\LaTeX} est la bien nommée \emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}
+\citep{comprehensive}. La liste comprend près de \nombre{6000}
+symboles répartis sur plus de 160 pages! On y trouve de tout, des
+symboles mathématiques aux pictogrammes de météo ou d'échecs, en
+passant par\dots\ des figurines des Simpsons.
+
+\begin{important}
+ Les moteurs {\XeTeX} et {\LuaTeX} supportent nativement le code
+ source en format Unicode UTF-8 \citep{Unicode:5.0}. Ce standard
+ contient des définitions pour plusieurs symboles mathématiques
+ \citep{wikipedia:unicode-math}. Cela signifie qu'il est possible
+ d'entrer une partie au moins des équations mathématiques avec des
+ caractères visibles à l'écran, plutôt qu'avec des commandes
+ {\LaTeX}. Nous ne saurions toutefois recommander cette pratique qui
+ rend les fichiers source moins compatibles d'un système à un autre.
+\end{important}
+
+\subsection{Lettres grecques}
+\label{sec:math:symboles:grecques}
+
+On obtient les lettres grecques en {\LaTeX} avec des commandes
+correspondant au nom de chaque lettre. Lorsque la commande débute par
+une capitale, on obtient une lettre grecque majuscule. Les commandes
+de certaines lettres grecques majuscules n'existent pas lorsque celles-ci
+sont identiques aux lettres romaines.
+
+Les tableaux \ref{tab:math:grecques} et \ref{tab:math:Grecques}
+présentent l'ensemble des lettres grecques disponibles dans {\LaTeX}.
+
+\begin{table}
+ \caption{Lettres grecques minuscules}
+ \label{tab:math:grecques}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
+ $\alpha$ & \cmd{\alpha} & $\theta$ & \cmd{\theta} &
+ $o$ & o & $\tau$ & \cmd{\tau} \\
+ $\beta$ & \cmd{\beta} & $\vartheta$ & \cmd{\vartheta} &
+ $\pi$ & \cmd{\pi} & $\upsilon$ & \cmd{\upsilon} \\
+ $\gamma$ & \cmd{\gamma} & $\iota$ & \cmd{\iota} &
+ $\varpi$ & \cmd{\varpi} & $\phi$ & \cmd{\phi} \\
+ $\delta$ & \cmd{\delta} & $\kappa$ & \cmd{\kappa} &
+ $\rho$ & \cmd{\rho} & $\varphi$ & \cmd{\varphi} \\
+ $\epsilon$ & \cmd{\epsilon} & $\lambda$ & \cmd{\lambda} &
+ $\varrho$ & \cmd{\varrho} & $\chi$ & \cmd{\chi} \\
+ $\varepsilon$ & \cmd{\varepsilon} & $\mu$ & \cmd{\mu} &
+ $\sigma$ & \cmd{\sigma} & $\psi$ & \cmd{\psi} \\
+ $\zeta$ & \cmd{\zeta} & $\nu$ & \cmd{\nu} &
+ $\varsigma$ & \cmd{\varsigma} & $\omega$ & \cmd{\omega} \\
+ $\eta$ & \cmd{\eta} & $\xi$ & \cmd{\xi}
+ \end{tabularx}
+\end{table}
+
+\begin{table}
+ \caption{Lettres grecques majuscules}
+ \label{tab:math:Grecques}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
+ $\Gamma$ & \cmd{\Gamma} &
+ $\Lambda$ & \cmd{\Lambda} &
+ $\Sigma$ & \cmd{\Sigma} &
+ $\Psi$ & \cmd{\Psi} \\
+ $\Delta$ & \cmd{\Delta} &
+ $\Xi$ & \cmd{\Xi} &
+ $\Upsilon$ & \cmd{\Upsilon} &
+ $\Omega$ & \cmd{\Omega} \\
+ $\Theta$ & \cmd{\Theta} &
+ $\Pi$ & \cmd{\Pi} &
+ $\Phi$ & \cmd{\Phi}
+ \end{tabularx}
+\end{table}
+
+\subsection{Lettres modifiées}
+\label{sec:math:symboles:mathcal}
+
+Les lettres de l'alphabet, principalement en majuscule, servent
+parfois en mathématiques dans des versions modifiées pour représenter
+des quantités, notamment les ensembles.
+
+La commande \cmd{\mathcal} permet de transformer un ou plusieurs
+caractères en version dite «calligraphique» dans le mode mathématique.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\mathcal{ABC\, xyz}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ %% pris de lucidaot.tex; apparemment lent
+ \setmathfont[RawFeature=+ss04]{Lucida Bright Math OT}
+ $\mathscr{ABC\, xyz}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+La commande \cmd{\mathbb} fournie par les paquetages \pkg{amsfonts} et
+\pkg{unicode-math}, entre autres, génère des versions majuscule
+ajourée (\emph{blackboard bold}) des lettres de l'alphabet. Elles sont
+principalement utilisée pour représenter les ensembles de nombres.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\mathbb{NZRC}
+\end{lstlisting}
+ \producing $\mathbb{NZRC}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+Le tableau~213 de la %
+\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{comprehensive}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive} %
+présente plusieurs autres alphabets spéciaux disponibles en mode
+mathématique.
+
+\begin{conseil}
+ Certaines polices OpenType contiennent plusieurs
+ versions des symboles mathématiques. Par exemple, la police utilisée
+ dans le présent document contient deux versions de la police
+ calligraphique, celle présentée ci-contre et celle-ci: %
+ \setmathfont[RawFeature=-ss04]{Lucida Bright Math OT}
+ $\mathscr{ABC\, xyz}$. Consulter éventuellement la documentation de
+ la police pour les détails.
+\end{conseil}
+
+\subsection{Opérateurs binaires et relations}
+\label{sec:math:symboles:binaires+relations}
+
+Les opérateurs binaires combinent deux quantités pour en former une
+troisième; pensons simplement aux opérateurs d'addition $+$ et de
+soustraction $-$ que l'on retrouve sur un clavier d'ordinateur normal.
+Les relations, quant à elles, servent pour la comparaison entre deux
+quantités, comme $<$ et $>$. Le \autoref{tab:math:binaires}
+présente une sélection d'opérateurs binaires et
+le \autoref{tab:math:relations} une sélection de relations.
+
+La %
+\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive} %
+consacre plus d'une dizaine de tableaux aux opérateurs binaires et
+près d'une quarantaine aux relations. C'est dire à quel point les
+tableaux \ref*{tab:math:binaires} et \ref*{tab:math:relations} de la
+\autopageref{tab:math:binaires} ne présentent que les principaux
+éléments à titre indicatif.
+
+Certaines relations existent directement en version opposée, ou
+négative (comme $\neq$ ou $\notin$) soit dans {\LaTeX} de base, soit
+avec \pkg{amsmath} ou un autre paquetage. Autrement, il est possible
+de préfixer toute relation de \cmd{\not} pour y superposer une barre
+oblique $/$.
+
+\begin{table}[p]
+ \caption{Quelques opérateurs binaires}
+ \label{tab:math:binaires}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
+ $\times$ & \cmd{\times} &
+ $\div$ & \cmd{\div} &
+ $\pm$ & \cmd{\pm} &
+ $\cdot$ & \cmd{\cdot} \\
+ $\cup$ & \cmd{\cup} &
+ $\cap$ & \cmd{\cap} &
+ $\setminus$ & \cmd{\setminus} &
+ $\circ$ & \cmd{\circ} \\
+ $\wedge$ & \cmd{\wedge} &
+ $\vee$ & \cmd{\vee} &
+ $\oplus$ & \cmd{\oplus} &
+ $\otimes$ & \cmd{\otimes} \\
+ $\ast$ & \cmd{\ast} &
+ $\star$ & \cmd{\star} &
+ $\boxplus$ & \cmd{\boxplus}$^\dagger$ &
+ $\boxtimes$ & \cmd{\boxtimes}$^\dagger$ \\
+ \addlinespace
+ \end{tabularx}
+ \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
+\end{table}
+
+\begin{table}[p]
+ \caption{Quelques relations et leur négation}
+ \label{tab:math:relations}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
+ $\leq$ & \cmd{\leq} &
+ $\geq$ & \cmd{\geq} &
+ $\neq$ & \cmd{\neq} &
+ $\equiv$ & \cmd{\equiv} \\
+ $\subset$ & \cmd{\subset} &
+ $\subseteq$ & \cmd{\subseteq} &
+ $\in$ & \cmd{\in} &
+ $\notin$ & \cmd{\notin} \\
+ $\nless$ & \cmd{\nless}$^\dagger$ &
+ $\ngtr$ & \cmd{\ngtr}$^\dagger$ &
+ $\nleq$ & \cmd{\nleq}$^\dagger$ &
+ $\ngeq$ & \cmd{\ngeq}$^\dagger$ \\
+ \addlinespace
+ \end{tabularx}
+ \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
+\end{table}
+
+\subsection{Flèches}
+\label{sec:math:symboles:fleches}
+
+Les flèches de différents types sont souvent utilisées en notation
+mathématique, notamment dans les limites ou pour les expressions
+logiques. Le \autoref{tab:math:fleches} en présente une sélection.
+
+On retrouve les flèches utilisables en notation mathématique dans les
+tableaux 102 à 119 de la %
+\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %
+Le document contient divers autres types de flèches, mais celles-ci ne
+sont généralement pas appropriées pour les mathématiques (pensons à
+{\manerrarrow} ou {\faArrowRight}).
+
+Le paquetage \pkg{amsmath} fournit plusieurs flèches additionnelles
+ainsi que la négation des plus communes. Ces dernières apparaissent
+d'ailleurs dans le \autoref{tab:math:fleches}.
+
+\begin{table}[p]
+ \caption{Quelques flèches et leur négation}
+ \label{tab:math:fleches}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlX}
+ $\gets$ & \cmd{\leftarrow}\quad \cmd{\gets} &
+ $\longleftarrow$ & \cmd{\longleftarrow} \\
+ $\Leftarrow$ & \cmd{\Leftarrow} &
+ $\Longleftarrow$ & \cmd{\Longleftarrow} \\
+ $\to$ & \cmd{\rightarrow}\quad \cmd{\to} &
+ $\longrightarrow$ & \cmd{\longrightarrow} \\
+ $\Rightarrow$ & \cmd{\Rightarrow} &
+ $\Longrightarrow$ & \cmd{\Longrightarrow} \\
+ $\uparrow$ & \cmd{\uparrow} &
+ $\downarrow$ & \cmd{\downarrow} \\
+ $\Uparrow$ & \cmd{\Uparrow} &
+ $\Downarrow$ & \cmd{\Downarrow} \\
+ $\updownarrow$ & \cmd{\updownarrow} &
+ $\Updownarrow$ & \cmd{\Updownarrow} \\
+ $\leftrightarrow$ & \cmd{\leftrightarrow} &
+ $\longleftrightarrow$ & \cmd{\longleftrightarrow} \\
+ $\Leftrightarrow$ & \cmd{\Leftrightarrow} &
+ $\Longleftrightarrow$ & \cmd{\Longleftrightarrow} \\
+ $\nleftarrow$ & \cmd{\nleftarrow}$^\dagger$ &
+ $\nleftrightarrow$ & \cmd{\nleftrightarrow}$^\dagger$ \\
+ $\nrightarrow$ & \cmd{\nrightarrow}$^\dagger$ &
+ $\nLeftarrow$ & \cmd{\nLeftarrow}$^\dagger$ \\
+ $\nLeftrightarrow$ & \cmd{\nLeftrightarrow}$^\dagger$ &
+ $\nRightarrow$ & \cmd{\nRightarrow}$^\dagger$ \\
+ \addlinespace
+ \end{tabularx}
+ \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
+\end{table}
+
+\subsection{Accents et autres symboles utiles}
+\label{sec:math:symboles:autres}
+
+Le \autoref{tab:math:autres} présente quelques uns des accents
+disponibles dans le mode mathématique, ainsi que divers symboles
+fréquemment utilisés en mathématiques.
+
+Pour connaître l'ensemble des accents du mode mathématique de
+{\LaTeX}, consulter le tableau~164 de la %
+\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %
+Les versions extensibles de certains accents se trouvent au
+tableau~169. Quant aux symboles mathématiques divers, on en trouve de
+toutes les sortes dans les tableaux 201--212.
+
+\begin{table}[p]
+ \caption{Accents et symboles mathématiques divers}
+ \label{tab:math:autres}
+ \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
+ $\hat{a}$ & \cmd{\hat}\verb={a}= &
+ $\bar{a}$ & \cmd{\bar}\verb={a}= &
+ $\tilde{a}$ & \cmd{\tilde}\verb={a}= &
+ $\ddot{a}$ & \cmd{\ddot}\verb={a}= \\
+ $\infty$ & \cmd{\infty} &
+ $\nabla$ & \cmd{\nabla} &
+ $\partial$ & \cmd{\partial} &
+ $\ell$ & \cmd{\ell} \\
+ $\forall$ & \cmd{\forall} &
+ $\exists$ & \cmd{\exists} &
+ $\emptyset$ & \cmd{\emptyset} &
+ $\prime$ & \cmd{\prime} \\
+ $\neg$ & \cmd{\neg} &
+ $\backslash$ & \cmd{\backslash} &
+ $\|$ & \pixbar &
+ $\angle$ & \cmd{\angle}
+ \end{tabularx}
+\end{table}
+
+
+\begin{exemple}
+ L'équation suivante contient plusieurs des éléments présentés dans
+ cette section et la précédente:
+ \begin{equation*}
+ \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =
+ \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\,
+ dx,
+ \quad
+ \alpha > 0 \text{ et } \lambda > 0.
+ \end{equation*}
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \emph{équation hors paragraphe}
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\frac{\Gamma(\alpha)}{
+ \lambda^\alpha} =
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\dfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\displaystyle \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\displaystyle x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+, \quad \alpha > 0 \text{ et }
+\lambda > 0.
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $, \quad \alpha > 0 \text{ et } \lambda > 0.$
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}[0.58\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \emph{fin de l'environnement}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+ \qed
+\end{exemple}
+
+
+\section{Équations sur plusieurs lignes et numérotation}
+\label{sec:math:align}
+
+Dans ce qui précède, nous n'avons présenté que des équations tenant
+sur une seule ligne en mode hors paragraphe. Cette section se penche
+sur la manière de représenter des groupes d'équations du type
+\begin{align}
+ y &= 2x + 4 \\
+ y &= 6x - 1
+\end{align}
+ou des suites d'équations comme
+\begin{align*}
+ x_{\text{max}}
+ &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
+ &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
+ &= b^m - 1.
+\end{align*}
+
+Nous recommandons fortement les environnements de \pkg{amsmath} pour
+les équations sur plusieurs lignes: ils sont plus polyvalents, plus
+simples à utiliser et leur rendu est meilleur. Le
+\autoref{tab:math:displays} --- repris presque intégralement de la
+documentation de ce paquetage --- compare les différents
+environnements pour les équations hors paragraphe.
+
+\begin{table}[p]
+ \caption{Comparaison des environnements pour les équations hors
+ paragraphe de \pkg{amsmath} (les lignes verticales indiquent les
+ marges logiques).}
+ \label{tab:math:displays}
+ \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation*}
+ a = b
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ a = b
+ \end{equation*}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation}
+ a = b
+\end{equation}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation}
+ a = b
+ \end{equation}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation}
+ \label{eq:5}
+ \begin{split}
+ a &= b + c - d \\
+ &\phantom{=} + e - f \\
+ &= g + h \\
+ &= i
+ \end{split}
+\end{equation}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation}\label{eq:math:5}
+ \begin{split}
+ a& =b+c-d\\
+ &\phantom{=} +e-f\\
+ & =g+h\\
+ & =i
+ \end{split}
+ \end{equation}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{multline}
+ a + b + c + d + e + f \\
+ + i + j + k + l + m + n
+\end{multline}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{multline}
+ a+b+c+d+e+f\\
+ +i+j+k+l+m+n
+ \end{multline}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{gather}
+ a_1 = b_1 + c_1 \\
+ a_2 = b_2 + c_2 - d_2 + e_2
+\end{gather}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{gather}
+ a_1=b_1+c_1\\
+ a_2=b_2+c_2-d_2+e_2
+ \end{gather}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{align}
+ a_1 &= b_1 + c_1 \\
+ a_2 &= b_2 + c_2 - d_2 + e_2
+\end{align}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{align}
+ a_1& =b_1+c_1\\
+ a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2
+ \end{align}
+ \end{eqxample}
+
+ \begin{eqxample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{align}
+ a_{11} &= b_{11} &
+ a_{12} &= b_{12} \\
+ a_{21} &= b_{21} &
+ a_{22} &= b_{22} + c_{22}
+\end{align}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{align}
+ a_{11}& =b_{11}&
+ a_{12}& =b_{12}\\
+ a_{21}& =b_{21}&
+ a_{22}& =b_{22}+c_{22}
+ \end{align}
+ \end{eqxample}
+\end{table}
+
+\begin{itemize}
+\item L'environnement de base pour les équations alignées sur un
+ symbole de relation (en une ou plusieurs colonnes) est \Ie{align}.
+ C'est l'environnement le plus utilisé en mode mathématique hormis
+ \Pe{equation}.
+\item Les environnements \Pe{multline}, \Pe{gather} et \Pe{align}
+ existent également en version étoilée (\Ie{multline*}, \Ie{gather*},
+ \Ie{align*}) qui ne numérotent pas les équations.
+\item Dans les environnements \Pe{align} et \Ie{split}, les équations
+ successives sont alignées sur le caractère se trouvant immédiatement
+ après le marqueur de colonne \verb=&=.
+\item Comme dans les tableaux, la commande {\pixbsbs} sert à
+ délimiter les lignes de la suite d'équations.
+\item Remarquer, dans le troisième exemple du
+ \autoref{tab:math:displays}, comment la commande \cmd{\phantom} sert
+ à insérer un blanc exactement de la largeur du symbole $=$ au début
+ de la seconde ligne de la suite d'égalités.
+\item Pour supprimer la numérotation d'une ligne dans une série
+ d'équations numérotées, placer la commande \cmd{\notag} juste avant
+ la commande de changement de ligne {\bs\bs}.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}[0.53\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\begin{align}
+ a_1 &= b_1 + c_1 \notag \\
+ a_2 &= b_2 + c_2 - d_2 + e_2
+\end{align}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{align}
+ a_1& =b_1+c_1 \notag \\
+ a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2
+ \end{align}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\item Les renvois vers des équations numérotées fonctionnent, comme
+ partout ailleurs en {\LaTeX}, avec le système d'étiquettes et de
+ références (\autoref{sec:tableaux:floats}). Le paquetage
+ \pkg{amsmath} fournit également la pratique commande \cmd{\eqref}
+ qui place automatiquement le numéro d'équation entre parenthèses.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+L'équation \eqref{eq:5} du
+tableau `\ref*{tab:math:displays}' démontre que...
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ L'équation \eqref{eq:math:5} du tableau
+ \ref*{tab:math:displays} démontre que\dots
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+\item L'environnement \Ie{split} sert à apposer un seul numéro à une
+ équation affichée sur plusieurs lignes. Il doit être employé à
+ l'intérieur d'un autre environnement d'équations hors paragraphe.
+\end{itemize}
+Consulter le chapitre 3 de la %
+\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} %
+du paquetage \pkg{amsmath} pour les détails sur
+l'utilisation des environnements du \autoref*{tab:math:displays}.
+
+\begin{conseil}
+ Veillez à respecter les règles suivantes pour la composition des
+ équations.
+ \begin{enumerate}
+ \item Qu'elles apparaissent en ligne ou hors paragraphe, les
+ équations font partie intégrante de la phrase. Ainsi, les règles
+ de ponctuation usuelles s'appliquent-elles aux équations.
+ \item Lorsqu'une équation s'étend sur plus d'une ligne, couper
+ chaque ligne \emph{avant} un opérateur de sorte que chaque ligne
+ constitue une expression mathématique complète (voir les troisième
+ et quatrième exemples du \autoref{tab:math:displays}).
+ \item Ne numéroter que les équations d'un document auxquelles le
+ texte fait référence.
+ \end{enumerate}
+\end{conseil}
+
+\begin{exemple}
+ Nous avons réalisé les deux suites d'équations au début de la
+ section avec les extraits de code ci-dessous, dans l'ordre.
+\begin{lstlisting}
+\begin{align}
+ y &= 2x + 4 \\
+ y &= 6x - 1
+\end{align}
+\end{lstlisting}
+\begin{lstlisting}
+\begin{align*}
+ x_{\text{max}}
+ &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
+ &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
+ &= b^m - 1.
+\end{align*}
+\end{lstlisting}
+ \qed
+\end{exemple}
+
+
+\section{Délimiteurs de taille variable}
+\label{sec:math:delimiteurs}
+
+Les délimiteurs en mathématiques sont des symboles généralement
+utilisés en paire tels que les parenthèses $(~)$, les crochets $[~]$
+ou les accolades $\{~\}$ et qui servent à regrouper des termes d'une
+équation. La taille des délimiteurs doit s'adapter au contenu entre
+ceux-ci afin d'obtenir, par exemple,
+\begin{equation*}
+ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
+\end{equation*}
+plutôt que la peu esthétique composition
+\begin{equation*}
+ (1 + \frac{1}{x}).
+\end{equation*}
+
+La paire de commandes
+\begin{lstlisting}
+\left`\meta{delim\_g}' ... \right`\meta{delim\_d}'
+\end{lstlisting}
+définit un délimiteur gauche \meta{delim\_g} et un délimiteur droit
+\meta{delim\_d} dont la taille s'ajustera automatiquement au contenu
+entre les deux commandes.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\left( 1 + \frac{1}{x} \right)
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\left(
+ \sum_{i = 1}^n x_i^2
+\right)^{1/2}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ \left(
+ \sum_{i = 1}^n x_i^2
+ \right)^{1/2}
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+\end{demo}
+Les commandes \cmd{\left} et \cmd{\right} doivent toujours former une
+paire, c'est-à-dire qu'à \emph{toute} commande \cmdprint{\left} doit
+absolument correspondre une commande \cmdprint{\right}. Cette
+contrainte est facile à oublier!
+
+\begin{itemize}
+\item Il est possible d'imbriquer des paires de commandes les unes à
+ l'intérieur des autres, pour autant que l'expression compte toujours
+ autant de \cmdprint{\left} que de \cmdprint{\right}.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\left[
+ \int
+ \left(
+ 1 + \frac{x}{k}
+ \right) dx
+\right]
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ \left[
+ \int
+ \left(
+ 1 + \frac{x}{k}
+ \right) dx
+ \right]
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+%
+\item Les symboles \meta{delim\_g} et \meta{delim\_d} n'ont pas à
+ former une paire logique; toute combinaison de délimiteurs est
+ valide.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\int_0^1 x\, dx =
+\left[
+ \frac{x^2}{2}
+\right|_0^1
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ \int_0^1 x\, dx =
+ \left[
+ \frac{x^2}{2}
+ \right|_0^1
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+%
+\item Il arrive qu'un seul délimiteur soit nécessaire. Pour respecter
+ la règle de la paire ci-dessus, on aura recours dans ce cas à un
+ délimiteur \emph{invisible} représenté par le caractère «\verb=.=».
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+f(x) =
+\left\{
+ \begin{aligned}
+ 1 - x, &\quad x < 1 \\
+ x - 1, &\quad x \geq 1
+ \end{aligned}
+\right.
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ f(x) =
+ \left\{
+ \begin{aligned}
+ 1 - x, &\quad x < 1 \\
+ x - 1, &\quad x \geq 1
+ \end{aligned}
+ \right.
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+ (L'environnement \Ie{aligned} utilisé ci-dessus provient de
+ \pkg{amsmath}.) On notera au passage que l'environnement \Ie{cases}
+ de \pkg{amsmath} rend plus simple la réalisation de constructions
+ comme celle ci-dessus.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+f(x) =
+\begin{cases}
+ 1 - x, & x < 1 \\
+ x - 1, & x \geq 1
+\end{cases}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{equation*}
+ f(x) =
+ \begin{cases}
+ 1 - x, & x < 1 \\
+ x - 1, & x \geq 1
+ \end{cases}
+ \end{equation*}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+%
+\item La règle de la paire est tout spécialement délicate dans les
+ équations sur plusieurs lignes car elle s'applique à chaque ligne
+ d'une équation. Par conséquent, si la paire de délimiteurs s'ouvre
+ sur une ligne et se referme sur une autre, il faudra ajouter un
+ délimiteur invisible à la fin de la première ligne ainsi qu'au début
+ de la seconde.
+ \begin{demo}
+ \begin{texample}
+\begin{lstlisting}
+\begin{align*}
+ a
+ &= \left(
+ b + \frac{c}{d}
+ \right. \\
+ &\phantom{=} \left.
+ + \frac{e}{d} - f
+ \right)
+\end{align*}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ \begin{align*}
+ a
+ &= \left(
+ b + \frac{c}{d}
+ \right. \\
+ &\phantom{=} \left.
+ + \frac{e}{d} - f
+ \right)
+ \end{align*}
+ \end{texample}
+ \end{demo}
+%
+\item Quand les choix de taille de délimiteurs de {\LaTeX} ne
+ conviennent pas pour une raison ou pour une autre, on peut
+ sélectionner leur taille avec les commandes %
+ \cmd{\big}, %
+ \cmd{\Big}, %
+ \cmd{\bigg} et %
+ \cmd{\Bigg}. %
+ Ces commandes s'utilisent comme \cmdprint{\left} et
+ \cmdprint{\right} en les faisant immédiatement suivre d'un
+ délimiteur. Le \autoref{tab:math:big_et_al} contient des exemples de
+ délimiteurs pour chaque taille.
+
+ \begin{table}
+ \centering
+ \caption{Tailles des délimiteurs mathématiques}
+ \label{tab:math:big_et_al}
+ \begin{tabular}{ll}
+ \toprule
+ taille standard & $(~) \quad [~] \quad \{~\}$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\big} & $\big(~\big) \quad \big[~\big] \quad \big\{~\big\}$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\Big} & $\Big(~\Big) \quad \Big[~\Big] \quad \Big\{~\Big\}$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\bigg} & $\bigg(~\bigg) \quad \bigg[~\bigg] \quad \bigg\{~\bigg\}$ \\
+ \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
+ \cmd{\Bigg} & $\Bigg(~\Bigg) \quad \Bigg[~\Bigg] \quad \Bigg\{~\Bigg\}$ \\
+ \addlinespace[4pt]\bottomrule
+ \end{tabular}
+ \end{table}
+\end{itemize}
+
+La section~14 de la %
+\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} %
+de \pkg{amsmath} traite de divers enjeux typographiques en lien
+avec les délimiteurs et on y introduit des nouvelles commandes pour
+contrôler leur taille. C'est une lecture suggérée.
+
+\begin{exemple}
+ Le développement de la formule d'approximation de Simpson comporte
+ plusieurs des éléments discutés jusqu'à maintenant:
+ \begin{align*}
+ \int_a^b f(x)\, dx
+ &\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
+ \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
+ &= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
+ \left[
+ f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
+ \right]
+ \displaybreak[0] \\
+ &= \frac{h}{3}
+ \left[
+ f(x_0) +
+ \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
+ 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
+ \right. \displaybreak[0] \\
+ &\phantom{=} + \left.
+ \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
+ f(x_{2n})
+ \right] \\
+ &= \frac{h}{3}
+ \left[
+ f(a) +
+ 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
+ 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
+ f(b)
+ \right].
+ \end{align*}
+ On compose ce bloc d'équations avec le code source ci-dessous.
+\begin{lstlisting}
+\begin{align*}
+ \int_a^b f(x)\, dx
+ &\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
+ \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
+ &= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
+ \left[
+ f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
+ \right] \\
+ &= \frac{h}{3}
+ \left[
+ f(x_0) +
+ \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
+ 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
+ \right. \\
+ &\phantom{=} + \left.
+ \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
+ f(x_{2n})
+ \right] \\
+ &= \frac{h}{3}
+ \left[
+ f(a) +
+ 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
+ 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
+ f(b)
+ \right].
+\end{align*}
+\end{lstlisting}
+ \qed
+\end{exemple}
+
+\begin{conseil}
+ De manière générale, il est déconseillé de scinder une suite
+ d'équations entre deux pages. Le chargement du paquetage
+ \pkg{amsmath} désactive d'ailleurs cette possibilité. Cependant,
+ c'est parfois inévitable pour les longs blocs d'équations.
+
+ La commande \cmd{\displaybreak}, placée immédiatement avant {\bs\bs}
+ dans un environnement comme \Ie{align} permet d'indiquer à {\LaTeX}
+ la possibilité d'insérer un saut de page après la ligne courante
+ dans le bloc d'équations.
+
+ La commande accepte en argument optionnel un entier entre $0$ et $4$
+ indiquant à quel point un saut de page est désiré:
+ \cmdprint{\displaybreak[0]} signifie «il est permis de changer de
+ page ici» sans que ce ne soit obligatoire;
+ \cmdprint{\displaybreak[4]} ou, de manière équivalente,
+ \cmdprint{\displaybreak} force un saut de page.
+
+ À moins d'en être vraiment aux toutes dernières étapes d'édition
+ d'un document, il est conseillé d'utiliser la commande
+ \cmdprint{\displaybreak} avec parcimonie et avec un argument
+ optionnel faible.
+\end{conseil}
+
+
+\section{Caractères gras en mathématiques}
+\label{sec:math:gras}
+
+Les caractères gras sont parfois utilisés en mathématiques,
+particulièrement pour représenter les vecteurs et les matrices:
+\begin{equation*}
+ \symbf{A} \symbf{x} = \symbf{b} \Leftrightarrow
+ \symbf{x} = \symbf{A}^{-1} \symbf{b}
+\end{equation*}
+
+Pourquoi consacrer une section spécialement à cette convention
+typographique? Parce que la création de symboles mathématiques en
+gras doit certainement figurer parmi les questions les plus
+fréquemment posées par les utilisateurs de {\LaTeX}\dots\ et que la
+réponse n'est pas unique!
+
+La commande
+\begin{lstlisting}
+\mathbf`\marg{symbole}'
+\end{lstlisting}
+place \meta{symbole} en caractère gras en mode mathématique. C'est
+donc l'analogue de la commande \cmd{\textbf} du mode texte. Dans
+{\LaTeX} de base, la commande n'a toutefois un effet que sur les
+lettres latines et, parfois, les lettres grecques majuscules.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\theta \mathbf{\theta} +
+\Gamma \mathbf{\Gamma} \mathbf{+}
+A \mathbf{A}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
+ %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
+ $\theta {\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} {+} A \symbfup{A}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+On remarquera aussi que \verb=\mathbf{A}= produit une lettre
+majuscule droite plutôt qu'en italique.
+
+La manière la plus standard et robuste d'obtenir des symboles
+mathématiques (autres que les lettres) en gras semble être, au moment
+d'écrire ces lignes, via la commande
+\begin{lstlisting}
+\bm`\marg{symbole}'
+\end{lstlisting}
+fournie par le paquetage \pkg{bm} \citep{bm}.
+\begin{demo}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+\theta \bm{\theta} +
+\Gamma \bm{\Gamma} \bm{+}
+A \bm{A}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
+ %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
+ $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbfup{\Gamma} \symbf{+} A
+ \symbf{A}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+Les utilisateurs de {\XeLaTeX} chargent normalement le paquetage
+\pkg{unicode-math} \citep{unicode-math} pour sélectionner la police
+pour les mathématiques. Ce paquetage fournit la commande
+\begin{lstlisting}
+\symbf`\marg{symbole}'
+\end{lstlisting}
+pour placer un \meta{symbole} mathématique en gras. Le paquetage offre
+différentes combinaisons de lettres latines et grecques droites ou
+italiques en gras selon la valeur de l'option \code{bold-style};
+consulter la section~5 de la %
+\doc{unicode-math}{http://texdoc.net/pkg/unicode-math}. %
+\begin{demo}
+ \begin{texample}[0.6\linewidth]
+\begin{lstlisting}
+% XeLaTeX + paquetage unicode-math
+% avec l'option bold-style=ISO
+\theta \symbf{\theta} +
+\Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+}
+A \symbf{A}
+\end{lstlisting}
+ \producing
+ $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+} A
+ \symbf{A}$
+ \end{texample}
+\end{demo}
+
+\begin{conseil}
+ \label{conseil:math:mat}
+ Si le gras est fréquemment utilisé dans un document pour une
+ notation particulière, il est fortement recommandé de définir une
+ nouvelle commande\footnotemark\
+ sémantique plutôt que d'utiliser à répétition l'une ou l'autre des
+ commandes ci-dessus.
+
+ Par exemple, si le gras est utilisé pour les vecteurs et matrices,
+ on pourrait définir une nouvelle commande \cmdprint{\mat} en
+ insérant dans le préambule du document
+\begin{lstlisting}
+\newcommand[1]{\mat}{\bm{#1}}
+\end{lstlisting}
+\end{conseil}
+%
+\footnotetext{%
+ La définition de nouvelles commandes est couvert plus en détail au
+ \autoref{chap:commandes}.}
+
+
+\begin{information}
+ On l'a vu ci-dessus: le paquetage \pkg{unicode-math} offre l'option
+ \code{ISO} pour le traitement du gras dans les mathématiques. En
+ fait, c'est toute la composition des mathématiques qui fait l'objet
+ d'un standard ISO!
+
+ Plusieurs prescriptions du standard --- comme les noms de variables
+ en italique --- sont déjà prises en compte par {\LaTeX}. Le respect
+ de certaines autres règles est moins répandu, notamment celle qui
+ veut que les constantes mathématiques dont la valeur de change pas
+ (ce sont des constantes, après tout) soient représentées en police
+ droite. On pense, par exemple, au nombre d'Euler $\mathrm{e}$, au
+ nombre imaginaire $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$. Même chose pour les
+ opérateurs mathématiques, dont le $\mathrm{d}$ dans les dérivées et
+ les intégrales.
+
+ Voici un exemple d'intégrale composée avec ces règles:
+ \begin{equation*}
+ \int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z}\, \mathrm{d}z = 2 \pi \mathrm{i}.
+ \end{equation*}
+ Pour en savoir plus sur l'utilisation du standard ISO dans {\LaTeX},
+ consulter \citet{Beccari:ISO} ou, pour un sommaire rapide, l'%
+ \link{https://nickhigham.wordpress.com/2016/01/28/typesetting-mathematics-according-to-the-iso-standard/}{entrée de blogue} %
+ de Nick Higham.
+\end{information}
+
+\begin{exemple}
+ \label{ex:math:matrices}
+ Le paquetage \pkg{amsmath} fournit quelques environnements qui
+ facilitent la mise en forme de matrices; ils diffèrent simplement
+ par le type de délimiteur autour de la matrice.
+
+ Considérer le bloc d'équations suivant:
+ \begin{align*}
+ \mat{J}(\mat{\theta})
+ &=
+ \begin{bmatrix}
+ \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &
+ \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} \\[12pt]
+ \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &
+ \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
+ \end{bmatrix} \\
+ &=
+ \left[
+ \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
+ \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
+ \end{align*}
+ Le code pour composer ces équations est:
+\begin{lstlisting}
+\begin{align*}
+ \mat{J}(\mat{\theta})
+ &=
+ \begin{bmatrix}
+ \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &
+ \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
+ \\[12pt] % augmenter l'espace entre les lignes
+ \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &
+ \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
+ \end{bmatrix} \\
+ &=
+ \left[
+ \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
+ \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
+\end{align*}
+\end{lstlisting}
+ On remarquera l'utilisation de la commande \cmd{\dfrac}
+ (\autoref{sec:math:bases:fractions}) pour composer des grandes
+ fractions à l'intérieur des matrices. Nous avons également eu
+ recours à la commande \cmdprint{\mat} mentionnée dans la
+ rubrique Conseil du {\TeX}pert de la \autopageref{conseil:math:mat}. %
+ \qed
+\end{exemple}
+
+
+%%%
+%%% Exercices
+%%%
+
+\section{Exercices}
+\label{sec:math:exercices}
+
+\Opensolutionfile{solutions}[solutions-mathematiques]
+
+\begin{Filesave}{solutions}
+\section*{Chapitre \ref*{chap:math}}
+\addcontentsline{toc}{section}{Chapitre \protect\ref*{chap:math}}
+
+\end{Filesave}
+
+\begin{exercice}
+ Utiliser le gabarit de document \fichier{exercice\_gabarit.tex} pour
+ reproduire le texte suivant:
+ \begin{quote}
+ La dérivée de la fonction composée $f \circ g(x) = f[g(x)]$ est
+ $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)] g^\prime(x)$. La dérivée
+ seconde du produit des fonctions $f$ et $g$ est
+ \begin{equation*}
+ [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
+ f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
+ f(x) g^{\prime\prime}(x).
+ \end{equation*}
+ \end{quote}
+ \begin{sol}
+ On trouve la commande pour produire le symbole $\circ$ dans le
+ \autoref{tab:math:binaires}. On peut produire les symboles de
+ dérivée $\prime$ avec la commande \cmd{\prime}
+ (\autoref{tab:math:autres}) ou simplement avec le caractère
+ \verb='=.
+\begin{lstlisting}
+La dérivée de la fonction composée $f \circ g(x) =
+f[g(x)]$ est $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)]
+g^\prime(x)$. La dérivée seconde du produit des
+fonctions $f$ et $g$ est
+\begin{equation*}
+ [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
+ f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
+ f(x) g^{\prime\prime}(x).
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \end{sol}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+ Composer l'équation suivante avec l'environnement \Pe{align*}:
+ \begin{align*}
+ f(x +& h, y + k)
+ = f(x, y) +
+ \left\{
+ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h +
+ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k
+ \right\} \\
+ &+
+ \frac{1}{2}
+ \left\{
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 +
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh +
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2
+ \right\} \\
+ &+
+ \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots + \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
+ \end{align*}
+ Aligner les deuxième et troisième lignes de l'équation sur divers
+ caractères de la première ligne afin que l'équation ne dépasse pas
+ les marges du document.
+ \begin{sol}
+ Nous avons aligné les lignes de l'équation juste à droite du
+ premier symbole $+$ à la première ligne. Remarquer l'usage des
+ commandes \cmd{\cdots} et \cmd{\dots} dans la dernière ligne:
+ {\LaTeX} choisit correctement la position centrée des points entre les
+ opérateurs d'addition, mais pas entre les accolades.
+\begin{lstlisting}
+\begin{align*}
+ f(x +& h, y + k) = f(x, y) +
+ \left\{
+ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h +
+ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k
+ \right\} \\
+ &+
+ \frac{1}{2}
+ \left\{
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 +
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh +
+ \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2
+ \right\} \\
+ &+
+ \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots +
+ \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
+\end{align*}
+\end{lstlisting}
+ \end{sol}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+ Composer à l'aide de l'environnement \Ie{cases}
+ (\autoref{sec:math:delimiteurs}) la définition de la fonction
+ $\tilde{f}(x)$:
+ \begin{equation*}
+ \tilde{f}(x) =
+ \begin{cases}
+ 0, & x \leq c_0\\
+ \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
+ \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, & c_{j-1} < x \leq c_j\\
+ 0, & x > c_r.
+ \end{cases}
+ \end{equation*}
+ Il est nécessaire d'imposer la taille des fractions dans la seconde
+ branche de la définition à l'aide des fonctions de la
+ \autoref{sec:math:bases:fractions}.
+ \begin{sol}
+ Il faut utiliser \cmd{\dfrac} pour obtenir des fractions dans une
+ branche de \Pe{cases} de la même taille que dans une équation hors
+ paragraphe:
+\begin{lstlisting}
+\begin{equation*}
+ \tilde{f}(x) =
+ \begin{cases}
+ 0, & x \leq c_0\\
+ \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
+ \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, &
+ c_{j-1} < x \leq c_j \\
+ 0, & x > c_r.
+ \end{cases}
+\end{equation*}
+\end{lstlisting}
+ \end{sol}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}[nosol]
+ Le fichier \fichier{exercice\_mathematiques.tex} contient un exemple
+ complet de développement mathématique. Étudier le contenu du fichier
+ puis compiler celui-ci tel quel avec {pdf\LaTeX} ou {\XeLaTeX}.
+ Effectuer ensuite les modifications suivantes.
+ \begin{enumerate}
+ \item Charger le paquetage \pkg{amsfonts} dans le préambule, puis
+ remplacer \verb=$R^+$= par \verb=$\mathbb{R}^+$= à la ligne
+ débutant par «Le domaine».
+ \item Dans l'équation du Jacobien de la transformation, remplacer
+ successivement l'environnement \Ie{vmatrix} par %
+ \Ie{pmatrix}, %
+ \Ie{bmatrix}, %
+ \Ie{Bmatrix} et %
+ \Ie{Vmatrix}. Observer l'effet sur les délimiteurs de la matrice.
+ \item Toujours dans la même matrice, composer successivement les
+ deux fractions avec les commandes \cmd{\frac}, \cmd{\tfrac} et
+ \cmd{\dfrac}. Observer le résultat.
+ \item Réduire l'espacement de part et d'autre du symbole
+ $\Leftrightarrow$ dans la seconde équation hors paragraphe.
+ \item À l'aide de la fonction Rechercher et remplacer de l'éditeur
+ de texte, remplacer toutes les occurrences du symbole $\theta$ par
+ $\lambda$.
+ \end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\Closesolutionfile{solutions}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-engine: xetex
+%%% TeX-master: "formation-latex-ul"
+%%% coding: utf-8
+%%% End: