diff options
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex')
-rw-r--r-- | Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex | 253 |
1 files changed, 253 insertions, 0 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex b/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex new file mode 100644 index 00000000000..299b799b1f0 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex @@ -0,0 +1,253 @@ +\documentclass[twoside,a4paper,leqno,11pt]{book} +\usepackage[greek]{babel} +\usepackage[utf8x]{inputenc} + +\usepackage{srcltx} + +\usepackage{latexsym} + +\usepackage{amsmath} + +\usepackage{amssymb} + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +%%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section] +\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα} +\newtheorem{proposition}[theorem]{Πρόταση} +\newtheorem{application}[theorem]{Εφαρμογή} +\newtheorem{corollary}[theorem]{Πόρισμα} +\newtheorem{definition}[theorem]{Ορισμός} +\newtheorem{exercise}[theorem]{Άσκηση} +\newtheorem{example}[theorem]{Παράδειγμα} +\newtheorem{examples}[theorem]{Παραδείγματα} +\newtheorem{problem}[theorem]{Πρόβλημα} +\newtheorem{remark}[theorem]{Παρατήρηση} +\newtheorem{remarks}[theorem]{Παρατηρήσεις} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%% +\begin{document} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\textbf{Απειροστικός Λογισμός ΙΙ} +\textbf{Πρόχειρες Σημειώσεις} +\textbf{Τμήμα Μαθηματικών} +\textbf{Πανεπιστήμιο Αθηνών} +\textbf{2010--11} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\chapter{Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\section{Υπακολουθίες} + +\begin{definition} \upshape Έστω $(a_n)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. +Η ακολουθία $(b_n)$ λέγεται \textit{υπακολουθία} της $(a_n)$ αν υπάρχει +γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών $k_1 < k_2< \cdots < k_n < +k_{n+1}<\cdots $ ώστε +$$b_n = a_{k_n}\;\hbox{ για κάθε }\;n \in {\mathbb N}.\leqno (1.1.1)$$ +Με άλλα λόγια, οι όροι της $(b_n)$ είναι οι $a_{k_1}, a_{k_2}, +\ldots, a_{k_n}, \ldots $, όπου $k_1 < k_2< \cdots < k_n < +k_{n+1}<\cdots$. Γενικά, μια ακολουθία έχει πολλές (συνήθως άπειρες +το πλήθος) διαφορετικές υπακολουθίες. +\end{definition} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\chapter{Σειρές πραγματικών αριθμών} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\section{Σύγκλιση σειράς} + +\begin{definition} \upshape Έστω $(a_k)$ μια ακολουθία πραγματικών +αριθμών. Θεωρούμε την ακολουθία $$s_n=a_1+\cdots +a_n.\leqno +(2.1.1)$$ Δηλαδή, +$$s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2,\ s_3=a_1+a_2+a_3,\ \ldots \leqno (2.1.2)$$ +Το σύμβολο $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ είναι η \textit{σειρά} με +$k$-οστό όρο τον $a_k$. Το άθροισμα $s_n=\sum_{k=1}^na_k$ +είναι το \textit{$n$-οστό μερικό άθροισμα} της σειράς +$\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ και η $(s_n)$ είναι η {\it +ακολουθία των μερικών αθροισμάτων} της σειράς $ \sum_{k = +1}^{\infty }a_k$. + +Αν η $(s_n)$ συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό $s$, τότε +γράφουμε +$$s = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\ \hbox{ή}\ s=\sum_{k=1}^{\infty }a_k\leqno (2.1.3)$$ +και λέμε ότι η σειρά \textit{συγκλίνει} (στο $s$), το δε όριο +$s=\lim_{n\to\infty }s_n$ είναι το \textit{άθροισμα} της σειράς. +\end{definition} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\chapter{Ολοκλήρωμα \textlatin{Riemann}} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\section{Ο ορισμός του \textlatin{Darboux}} + +Σε αυτήν την παράγραφο δίνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος +\textlatin{Riemann} για \textbf{φραγμένες} συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα +κλειστό διάστημα. Για μια φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb +R}$ με μη αρνητικές τιμές, θα θέλαμε το ολοκλήρωμα να δίνει το +εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο γράφημα της +συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα $y=0$ και τις κατακόρυφες ευθείες +$x=a$ και $x=b$. + +\begin{definition} \upshape (α) Έστω $[a,b]$ ένα κλειστό διάστημα. +\textbf{Διαμέριση} του $[a,b]$ θα λέμε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο +$$P +=\{ x_0,x_1,\ldots ,x_n\}\leqno (4.1.1)$$ του $[a,b]$ με $x_0=a$ +και $x_n=b$. Θα υποθέτουμε πάντα ότι τα $x_k\in P $ είναι +διατεταγμένα ως εξής: +$$a=x_0<x_1<\cdots <x_k<x_{k+1}<\cdots <x_n=b.\leqno (4.1.2)$$ +Θα γράφουμε +$$P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}\leqno (4.1.3)$$ για να τονίσουμε αυτήν +ακριβώς τη διάταξη. Παρατηρήστε ότι από τον ορισμό, κάθε διαμέριση +$ P $ του $[a,b]$ περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία: το $a$ και το +$b$ (τα άκρα του $[a,b]$). + + + + (β) Κάθε διαμέριση $ P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}$ +χωρίζει το $[a,b]$ σε $n$ υποδιαστήματα $[x_k,x_{k+1}]$, +$k=0,1,\ldots ,n-1$. Ονομάζουμε \textbf{πλάτος} της διαμέρισης $ P $ +το μεγαλύτερο από τα μήκη αυτών των υποδιαστημάτων. Δηλαδή, το +πλάτος της διαμέρισης ισούται με +$$\| P\|:=\max\{ x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots ,x_n-x_{n-1}\}.\leqno (4.1.4)$$ +Παρατηρήστε ότι δεν απαιτούμε να ισαπέχουν τα $x_k$ (τα $n$ +υποδιαστήματα δεν έχουν απαραίτητα το ίδιο μήκος). + + + + (γ) Η διαμέριση $ P_1$ λέγεται \textbf{εκλέπτυνση} της $ P +$ αν $ P \subseteq P_1$, δηλαδή αν η $P_1$ προκύπτει από την $ P $ +με την προσθήκη κάποιων (πεπερασμένων το πλήθος) σημείων. Σε αυτήν +την περίπτωση λέμε επίσης ότι η $ P_1$ είναι \textit{λεπτότερη} από +την $ P $. + + + + (δ) Έστω $ P_1, P_2$ δύο διαμερίσεις του $[a,b]$. Η +\textbf{κοινή εκλέπτυνση} των $ P_1, P_2$ είναι η διαμέριση $ P = P_1\cup +P_2$. Εύκολα βλέπουμε ότι η $ P $ είναι διαμέριση του $[a,b]$ και +ότι αν $ P^{\prime }$ είναι μια διαμέριση λεπτότερη τόσο από την $ +P_1$ όσο και από την $ P_2$ τότε $ P^{\prime }\supseteq P $ +(δηλαδή, η $ P = P_1\cup P_2$ είναι η μικρότερη δυνατή διαμέριση +του $[a,b]$ που εκλεπτύνει ταυτόχρονα την $ P_1$ και την $ P_2$). +\end{definition} + + +\section{Ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}} + +Σε αυτή την παράγραφο αποδεικνύουμε αυστηρά μερικές από τις πιο +βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}. Οι αποδείξεις +των υπολοίπων είναι μια καλή άσκηση που θα σας βοηθήσει να +εξοικειωθείτε με τις διαμερίσεις, τα άνω και κάτω αθροίσματα κλπ. + +\begin{theorem} +Αν $f(x)=c$ για κάθε $x\in [a,b]$, τότε +$$\int_a^bf(x)dx =c(b-a).\leqno (4.4.1)$$ +\end{theorem} + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\chapter{Τεχνικές ολοκλήρωσης} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουμε, χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα, τις +βασικές μεθόδους υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Δίνεται μια συνάρτηση +$f$ και θέλουμε να βρούμε μια αντιπαράγωγο της $f$, δηλαδή μια +συνάρτηση $F$ με την ιδιότητα $F^{\prime }=f$. Τότε, +$$\int f(x)dx =F(x)+c.$$ + +\section{Ολοκλήρωση με αντικατάσταση} + +\subsection{Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωμάτων} + +Κάθε τύπος παραγώγισης $F^{\prime }(x)=f(x)$ μας δίνει έναν τύπο +ολοκλήρωσης: η $F$ είναι αντιπαράγωγος της $f$. Μπορούμε έτσι να +δημιουργήσουμε έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων, αντιστρέφοντας +τους τύπους παραγώγισης των πιο βασικών συναρτήσεων: +\begin{eqnarray*} +\int x^adx =\frac{x^{a+1}}{a+1},\qquad a\neq -1, && +\int\frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +c\\ +\int e^xdx = e^x+c, && +\int\sin x\,dx = -\cos x+c\\ +\int\cos x\,dx = \sin x+c, && +\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx = \tan x+c\\ +\int\frac{1}{\sin^2x}\,dx = -\cot x+c , && +\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x+c\\ +\int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x+c. && +\end{eqnarray*} + + +\section{Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων} + +Σε αυτή την παράγραφο περιγράφουμε μια μέθοδο με την οποία μπορεί +κανείς να υπολογίσει το αόριστο ολοκλήρωμα οποιασδήποτε ρητής +συνάρτησης +$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots ++a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_1x+b_0}.\leqno (6.3.1)$$ +Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι μπορούμε πάντα να υποθέτουμε ότι $n<m$. +Αν ο βαθμός $n$ του αριθμητή $p(x)$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον +βαθμό $m$ του παρονομαστή $q(x)$, τότε διαιρούμε το $p(x)$ με το +$q(x)$: υπάρχουν πολυώνυμα $\pi (x)$ και $\upsilon (x)$ ώστε ο +βαθμός του $\upsilon (x)$ να είναι μικρότερος από $m$ και $$p(x)=\pi +(x)q(x)+\upsilon (x).\leqno (6.3.2)$$ Τότε, +$$f(x)=\frac{\pi (x)q(x)+\upsilon (x)}{q(x)}=\pi (x)+\frac{\upsilon +(x)}{q(x)}.\leqno (6.3.3)$$ Συνεπώς, για τον υπολογισμό του $\int +f(x)\,dx$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε χωριστά το $\int \pi +(x)\,dx$ (απλό ολοκλήρωμα πολυωνυμικής συνάρτησης) και το +$\int\frac{\upsilon (x)}{q(x)}\,dx$ (ρητή συνάρτηση με την πρόσθετη +ιδιότητα ότι $\mathrm{deg}(\upsilon )<\mathrm{deg}(q)$). + +Υποθέτουμε λοιπόν στη συνέχεια ότι $f=p/q$ και $\mathrm{deg}(p)< +\mathrm{deg}(q)$. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι $a_n=b_m=1$. +Χρησιμοποιούμε τώρα το γεγονός ότι κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε +γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων όρων. Το $q(x)=x^m+\cdots ++b_1x+b_0$ γράφεται στη μορφή +$$q(x)=(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots +(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots +(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}.\leqno (6.3.4)$$ Οι $\alpha_1,\ldots +,\alpha_k$ είναι οι πραγματικές ρίζες του $q(x)$ (και $r_j$ είναι η +πολλαπλότητα της ρίζας $\alpha_j$) ενώ οι όροι +$x^2+\beta_ix+\gamma_i$ είναι τα γινόμενα +$(x-z_i)(x-\overline{z_i})$ όπου $z_i$ οι μιγαδικές ρίζες του $q(x)$ +(και $s_i$ είναι η πολλαπλότητα της ρίζας $z_i$). Παρατηρήστε ότι +κάθε όρος της μορφής $x^2+\beta_ix+\gamma_i$ έχει αρνητική +διακρίνουσα. Επίσης, οι $k,s\geq 0$ και $r_1+\cdots +r_k+2s_1+\cdots ++2s_l=m$ (ο βαθμός του $q(x)$). + +Γράφουμε την $f(x)$ στη μορφή +$$f(x)=\frac{x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0}{(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots +(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots +(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}},\leqno (6.3.5)$$ και την ((αναλύουμε +σε απλά κλάσματα)): υπάρχουν συντελεστές $A_{jt}$, +$B_{it},\Gamma_{it}$ ώστε +\begin{eqnarray*} +f(x) &=& +\frac{A_{11}}{x-\alpha_1}+\frac{A_{12}}{(x-\alpha_1)^2}+\cdots ++\frac{A_{1r_1}}{(x-\alpha_1)^{r_1}}\\ +&& +\cdots \\ +&& +\frac{A_{k1}}{x-\alpha_k}+\frac{A_{k2}}{(x-\alpha_k)^2}+\cdots ++\frac{A_{kr_1}}{(x-\alpha_k)^{r_k}}\\ +&& ++\frac{B_{11}x+\Gamma_{11}}{x^2+\beta_1x+\gamma_1}+\frac{B_{12}x+\Gamma_{12}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^2}+\cdots ++\frac{B_{1s_1}x+\Gamma_{1s_1}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}}\\ +&& +\cdots \\ +&& ++\frac{B_{l1}x+\Gamma_{l1}}{x^2+\beta_lx+\gamma_l}+\frac{B_{l2}x+\Gamma_{l2}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^2}+\cdots ++\frac{B_{ls_1}x+\Gamma_{ls_l}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}}. +\end{eqnarray*} + + +\end{document} |