summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex')
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex253
1 files changed, 253 insertions, 0 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex b/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex
new file mode 100644
index 00000000000..299b799b1f0
--- /dev/null
+++ b/Master/texmf-dist/doc/support/latex2nemeth/examples/mathtest.tex
@@ -0,0 +1,253 @@
+\documentclass[twoside,a4paper,leqno,11pt]{book}
+\usepackage[greek]{babel}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+
+\usepackage{srcltx}
+
+\usepackage{latexsym}
+
+\usepackage{amsmath}
+
+\usepackage{amssymb}
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+%%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Πρόταση}
+\newtheorem{application}[theorem]{Εφαρμογή}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Πόρισμα}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Ορισμός}
+\newtheorem{exercise}[theorem]{Άσκηση}
+\newtheorem{example}[theorem]{Παράδειγμα}
+\newtheorem{examples}[theorem]{Παραδείγματα}
+\newtheorem{problem}[theorem]{Πρόβλημα}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Παρατήρηση}
+\newtheorem{remarks}[theorem]{Παρατηρήσεις}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%%
+\begin{document}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\textbf{Απειροστικός Λογισμός ΙΙ}
+\textbf{Πρόχειρες Σημειώσεις}
+\textbf{Τμήμα Μαθηματικών}
+\textbf{Πανεπιστήμιο Αθηνών}
+\textbf{2010--11}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\section{Υπακολουθίες}
+
+\begin{definition} \upshape Έστω $(a_n)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών.
+Η ακολουθία $(b_n)$ λέγεται \textit{υπακολουθία} της $(a_n)$ αν υπάρχει
+γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών $k_1 < k_2< \cdots < k_n <
+k_{n+1}<\cdots $ ώστε
+$$b_n = a_{k_n}\;\hbox{ για κάθε }\;n \in {\mathbb N}.\leqno (1.1.1)$$
+Με άλλα λόγια, οι όροι της $(b_n)$ είναι οι $a_{k_1}, a_{k_2},
+\ldots, a_{k_n}, \ldots $, όπου $k_1 < k_2< \cdots < k_n <
+k_{n+1}<\cdots$. Γενικά, μια ακολουθία έχει πολλές (συνήθως άπειρες
+το πλήθος) διαφορετικές υπακολουθίες.
+\end{definition}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Σειρές πραγματικών αριθμών}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\section{Σύγκλιση σειράς}
+
+\begin{definition} \upshape Έστω $(a_k)$ μια ακολουθία πραγματικών
+αριθμών. Θεωρούμε την ακολουθία $$s_n=a_1+\cdots +a_n.\leqno
+(2.1.1)$$ Δηλαδή,
+$$s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2,\ s_3=a_1+a_2+a_3,\ \ldots \leqno (2.1.2)$$
+Το σύμβολο $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ είναι η \textit{σειρά} με
+$k$-οστό όρο τον $a_k$. Το άθροισμα $s_n=\sum_{k=1}^na_k$
+είναι το \textit{$n$-οστό μερικό άθροισμα} της σειράς
+$\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ και η $(s_n)$ είναι η {\it
+ακολουθία των μερικών αθροισμάτων} της σειράς $ \sum_{k =
+1}^{\infty }a_k$.
+
+Αν η $(s_n)$ συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό $s$, τότε
+γράφουμε
+$$s = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\ \hbox{ή}\ s=\sum_{k=1}^{\infty }a_k\leqno (2.1.3)$$
+και λέμε ότι η σειρά \textit{συγκλίνει} (στο $s$), το δε όριο
+$s=\lim_{n\to\infty }s_n$ είναι το \textit{άθροισμα} της σειράς.
+\end{definition}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Ολοκλήρωμα \textlatin{Riemann}}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\section{Ο ορισμός του \textlatin{Darboux}}
+
+Σε αυτήν την παράγραφο δίνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος
+\textlatin{Riemann} για \textbf{φραγμένες} συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα
+κλειστό διάστημα. Για μια φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb
+R}$ με μη αρνητικές τιμές, θα θέλαμε το ολοκλήρωμα να δίνει το
+εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο γράφημα της
+συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα $y=0$ και τις κατακόρυφες ευθείες
+$x=a$ και $x=b$.
+
+\begin{definition} \upshape (α) Έστω $[a,b]$ ένα κλειστό διάστημα.
+\textbf{Διαμέριση} του $[a,b]$ θα λέμε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο
+$$P
+=\{ x_0,x_1,\ldots ,x_n\}\leqno (4.1.1)$$ του $[a,b]$ με $x_0=a$
+και $x_n=b$. Θα υποθέτουμε πάντα ότι τα $x_k\in P $ είναι
+διατεταγμένα ως εξής:
+$$a=x_0<x_1<\cdots <x_k<x_{k+1}<\cdots <x_n=b.\leqno (4.1.2)$$
+Θα γράφουμε
+$$P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}\leqno (4.1.3)$$ για να τονίσουμε αυτήν
+ακριβώς τη διάταξη. Παρατηρήστε ότι από τον ορισμό, κάθε διαμέριση
+$ P $ του $[a,b]$ περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία: το $a$ και το
+$b$ (τα άκρα του $[a,b]$).
+
+
+
+ (β) Κάθε διαμέριση $ P =\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}$
+χωρίζει το $[a,b]$ σε $n$ υποδιαστήματα $[x_k,x_{k+1}]$,
+$k=0,1,\ldots ,n-1$. Ονομάζουμε \textbf{πλάτος} της διαμέρισης $ P $
+το μεγαλύτερο από τα μήκη αυτών των υποδιαστημάτων. Δηλαδή, το
+πλάτος της διαμέρισης ισούται με
+$$\| P\|:=\max\{ x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots ,x_n-x_{n-1}\}.\leqno (4.1.4)$$
+Παρατηρήστε ότι δεν απαιτούμε να ισαπέχουν τα $x_k$ (τα $n$
+υποδιαστήματα δεν έχουν απαραίτητα το ίδιο μήκος).
+
+
+
+ (γ) Η διαμέριση $ P_1$ λέγεται \textbf{εκλέπτυνση} της $ P
+$ αν $ P \subseteq P_1$, δηλαδή αν η $P_1$ προκύπτει από την $ P $
+με την προσθήκη κάποιων (πεπερασμένων το πλήθος) σημείων. Σε αυτήν
+την περίπτωση λέμε επίσης ότι η $ P_1$ είναι \textit{λεπτότερη} από
+την $ P $.
+
+
+
+ (δ) Έστω $ P_1, P_2$ δύο διαμερίσεις του $[a,b]$. Η
+\textbf{κοινή εκλέπτυνση} των $ P_1, P_2$ είναι η διαμέριση $ P = P_1\cup
+P_2$. Εύκολα βλέπουμε ότι η $ P $ είναι διαμέριση του $[a,b]$ και
+ότι αν $ P^{\prime }$ είναι μια διαμέριση λεπτότερη τόσο από την $
+P_1$ όσο και από την $ P_2$ τότε $ P^{\prime }\supseteq P $
+(δηλαδή, η $ P = P_1\cup P_2$ είναι η μικρότερη δυνατή διαμέριση
+του $[a,b]$ που εκλεπτύνει ταυτόχρονα την $ P_1$ και την $ P_2$).
+\end{definition}
+
+
+\section{Ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}}
+
+Σε αυτή την παράγραφο αποδεικνύουμε αυστηρά μερικές από τις πιο
+βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος \textlatin{Riemann}. Οι αποδείξεις
+των υπολοίπων είναι μια καλή άσκηση που θα σας βοηθήσει να
+εξοικειωθείτε με τις διαμερίσεις, τα άνω και κάτω αθροίσματα κλπ.
+
+\begin{theorem}
+Αν $f(x)=c$ για κάθε $x\in [a,b]$, τότε
+$$\int_a^bf(x)dx =c(b-a).\leqno (4.4.1)$$
+\end{theorem}
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Τεχνικές ολοκλήρωσης}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουμε, χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα, τις
+βασικές μεθόδους υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Δίνεται μια συνάρτηση
+$f$ και θέλουμε να βρούμε μια αντιπαράγωγο της $f$, δηλαδή μια
+συνάρτηση $F$ με την ιδιότητα $F^{\prime }=f$. Τότε,
+$$\int f(x)dx =F(x)+c.$$
+
+\section{Ολοκλήρωση με αντικατάσταση}
+
+\subsection{Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωμάτων}
+
+Κάθε τύπος παραγώγισης $F^{\prime }(x)=f(x)$ μας δίνει έναν τύπο
+ολοκλήρωσης: η $F$ είναι αντιπαράγωγος της $f$. Μπορούμε έτσι να
+δημιουργήσουμε έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων, αντιστρέφοντας
+τους τύπους παραγώγισης των πιο βασικών συναρτήσεων:
+\begin{eqnarray*}
+\int x^adx =\frac{x^{a+1}}{a+1},\qquad a\neq -1, &&
+\int\frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +c\\
+\int e^xdx = e^x+c, &&
+\int\sin x\,dx = -\cos x+c\\
+\int\cos x\,dx = \sin x+c, &&
+\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx = \tan x+c\\
+\int\frac{1}{\sin^2x}\,dx = -\cot x+c , &&
+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x+c\\
+\int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x+c. &&
+\end{eqnarray*}
+
+
+\section{Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων}
+
+Σε αυτή την παράγραφο περιγράφουμε μια μέθοδο με την οποία μπορεί
+κανείς να υπολογίσει το αόριστο ολοκλήρωμα οποιασδήποτε ρητής
+συνάρτησης
+$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots
++a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_1x+b_0}.\leqno (6.3.1)$$
+Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι μπορούμε πάντα να υποθέτουμε ότι $n<m$.
+Αν ο βαθμός $n$ του αριθμητή $p(x)$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον
+βαθμό $m$ του παρονομαστή $q(x)$, τότε διαιρούμε το $p(x)$ με το
+$q(x)$: υπάρχουν πολυώνυμα $\pi (x)$ και $\upsilon (x)$ ώστε ο
+βαθμός του $\upsilon (x)$ να είναι μικρότερος από $m$ και $$p(x)=\pi
+(x)q(x)+\upsilon (x).\leqno (6.3.2)$$ Τότε,
+$$f(x)=\frac{\pi (x)q(x)+\upsilon (x)}{q(x)}=\pi (x)+\frac{\upsilon
+(x)}{q(x)}.\leqno (6.3.3)$$ Συνεπώς, για τον υπολογισμό του $\int
+f(x)\,dx$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε χωριστά το $\int \pi
+(x)\,dx$ (απλό ολοκλήρωμα πολυωνυμικής συνάρτησης) και το
+$\int\frac{\upsilon (x)}{q(x)}\,dx$ (ρητή συνάρτηση με την πρόσθετη
+ιδιότητα ότι $\mathrm{deg}(\upsilon )<\mathrm{deg}(q)$).
+
+Υποθέτουμε λοιπόν στη συνέχεια ότι $f=p/q$ και $\mathrm{deg}(p)<
+\mathrm{deg}(q)$. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι $a_n=b_m=1$.
+Χρησιμοποιούμε τώρα το γεγονός ότι κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε
+γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων όρων. Το $q(x)=x^m+\cdots
++b_1x+b_0$ γράφεται στη μορφή
+$$q(x)=(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots
+(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots
+(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}.\leqno (6.3.4)$$ Οι $\alpha_1,\ldots
+,\alpha_k$ είναι οι πραγματικές ρίζες του $q(x)$ (και $r_j$ είναι η
+πολλαπλότητα της ρίζας $\alpha_j$) ενώ οι όροι
+$x^2+\beta_ix+\gamma_i$ είναι τα γινόμενα
+$(x-z_i)(x-\overline{z_i})$ όπου $z_i$ οι μιγαδικές ρίζες του $q(x)$
+(και $s_i$ είναι η πολλαπλότητα της ρίζας $z_i$). Παρατηρήστε ότι
+κάθε όρος της μορφής $x^2+\beta_ix+\gamma_i$ έχει αρνητική
+διακρίνουσα. Επίσης, οι $k,s\geq 0$ και $r_1+\cdots +r_k+2s_1+\cdots
++2s_l=m$ (ο βαθμός του $q(x)$).
+
+Γράφουμε την $f(x)$ στη μορφή
+$$f(x)=\frac{x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0}{(x-\alpha_1)^{r_1}\cdots
+(x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}\cdots
+(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}},\leqno (6.3.5)$$ και την ((αναλύουμε
+σε απλά κλάσματα)): υπάρχουν συντελεστές $A_{jt}$,
+$B_{it},\Gamma_{it}$ ώστε
+\begin{eqnarray*}
+f(x) &=&
+\frac{A_{11}}{x-\alpha_1}+\frac{A_{12}}{(x-\alpha_1)^2}+\cdots
++\frac{A_{1r_1}}{(x-\alpha_1)^{r_1}}\\
+&& +\cdots \\
+&& +\frac{A_{k1}}{x-\alpha_k}+\frac{A_{k2}}{(x-\alpha_k)^2}+\cdots
++\frac{A_{kr_1}}{(x-\alpha_k)^{r_k}}\\
+&&
++\frac{B_{11}x+\Gamma_{11}}{x^2+\beta_1x+\gamma_1}+\frac{B_{12}x+\Gamma_{12}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^2}+\cdots
++\frac{B_{1s_1}x+\Gamma_{1s_1}}{(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{s_1}}\\
+&& +\cdots \\
+&&
++\frac{B_{l1}x+\Gamma_{l1}}{x^2+\beta_lx+\gamma_l}+\frac{B_{l2}x+\Gamma_{l2}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^2}+\cdots
++\frac{B_{ls_1}x+\Gamma_{ls_l}}{(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{s_l}}.
+\end{eqnarray*}
+
+
+\end{document}