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diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-german/mathematik.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-german/mathematik.tex new file mode 100644 index 00000000000..f1b5ee52923 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-german/mathematik.tex @@ -0,0 +1,455 @@ +%!TEX root = l2kurz.tex + +% master: l2kurz.tex +% L2K3.TEX - 3.Teil der LaTeX2e-Kurzbeschreibung v2.2 +% L2K3.TEX - 3.Teil der LaTeX2e-Kurzbeschreibung Mainz 1994, 1995 +% LK3.TEX - 3.Teil der LaTeX-Kurzbeschreibung Graz-Wien 1987 +% last changes: 2001-06-10 + +\section{Setzen von mathematischen Formeln} \label{math} + +% \todo[inline]{MD: Ich habe angefangen, dies zu überarbeiten} + +\subsection{Allgemeines} + +\LaTeX{} verfügt über einen eigenen Modus für mathematische Formeln, der sich +in einigen Punkten deutlich vom Textmodus unterscheidet. Formeln können sowohl +im Fließtext als auch als eigenständige Elemente auf der Seite vorkommen. +Trotz der unterschiedlichen Darstellung unterscheidet sich die Eingabe der +Formeln nur wenig voneinander. + +Die Fülle der Möglichkeiten ist u.\,a.\ in der Dokumentation \enquote{mathmode} +zusammengefasst und soll hier als Referenz dienen \cite{mathmode}. + +Obwohl \LaTeX{} ohne Zusatzpakete viele Möglichkeiten bietet, wird häufig +das Paket \texttt{amsmath} eingebunden. Es erweitert die in \LaTeX{} +vorhandenen Möglichkeiten um eine Vielzahl von Makros und Umgebungen. Im +weiteren Verlauf wird daher auch vorausgesetzt, dass das Paket geladen ist. In +dem genannten Dokument mit dem Titel \enquote{mathmode} wird \texttt{amsmath} +ausführlich beschrieben. + +Mathematische Textteile innerhalb eines Absatzes werden zwischen +\lstinline|\(| und~\lstinline|\)| oder zwischen \lstinline|$| und~\lstinline|$| oder +zwischen \lstinline|\begin{math}| und \lstinline|\end{math}| +eingeschlossen. +Als mathematische Texte gelten sowohl komplette mathematische +Formeln als auch einzelne Variablennamen, die sich auf Formeln +beziehen, griechische Buchstaben und diverse Sonderzeichen. + +\begin{LTXexample} +Seien $a$ und $b$ die Katheten +und $c$ die Hypotenuse, +dann gilt $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ +(Satz des Pythagoras). +\end{LTXexample} + +\begin{LTXexample} +\TeX\ spricht man wie + $\tau\epsilon\chi$ aus.\\ +Mit $\heartsuit$-lichen + Grü\ss en +\end{LTXexample} + + +Größere mathematische Formeln oder Gleichungen setzt man besser +in eigene Zeilen. Wenn sie \emph{keine} Gleichungsnummer erhalten +sollen, stellt man sie dazu zwischen \lstinline|\begin{displaymath}| und +\lstinline|\end{displaymath}| oder zwischen \lstinline|\[| und~\lstinline|\]|; +wenn sie eine Gleichungsnummer erhalten sollen, stellt man sie +zwischen \lstinline|\begin{equation}| und \lstinline|\end{equation}|. + +\begin{LTXexample} +Seien $a$ und $b$ die Katheten +und $c$ die Hypotenuse, +dann gilt +\begin{equation} +c = \sqrt{ a^{2}+b^{2} } +\end{equation} +(Satz des Pythagoras). +\end{LTXexample} + + +Mit \lstinline|\label| und \lstinline|\ref| kann man die Gleichungsnummern +im Text ansprechen. + +\let\origlabel\label +\begin{LTXexample}[preset=\let\label\origlabel] +\begin{equation} \label{eps} +\varepsilon > 0 +\end{equation} + Aus (\ref{eps}) folgt \dots +\end{LTXexample} + + + +Das Setzen im mathematischen Modus unterscheidet sich vom +Text-Modus vor allem durch folgende Punkte: +\begin{enumerate} +\item Leerzeilen sind verboten (Mathematische Formeln müssen + innerhalb eines Absatzes stehen). + +\item Leerstellen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine + Bedeutung, alle Abstände werden nach der Logik der + mathematischen Ausdrücke automatisch bestimmt oder müssen + durch spezielle Befehle wie \lstinline|\,| oder~\lstinline|\qquad| + angegeben werden. + +\begin{LTXexample} +\begin{equation} +\forall x \in \mathbf{R}: +\qquad x^{2} \geq 0 +\end{equation} +\end{LTXexample} + + +\item Jeder einzelne Buchstabe wird als Name einer Variablen + betrachtet und entsprechend gesetzt (kursiv mit + zusätzlichem Abstand). Will man innerhalb eines + mathematischen Textes normalen Text (in aufrechter Schrift, mit + Wortabständen) setzen, muss man diesen in + \lstinline|\text{...}|\footnote{Duch \texttt{amsmath} bereitgestell} einschließen. + +\begin{LTXexample} +\begin{equation} +x^{2} \geq 0\qquad +\text{f"ur alle } +x \in \mathbf{R} +\end{equation} +\end{LTXexample} + + + +\end{enumerate} + +\subsection{Elemente in mathematischen Formeln} + +In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Elemente, die in +mathematischen Formeln verwendet werden, kurz beschrieben. Eine +Liste aller verfügbaren Symbole enthält +Anhang~\vref{symbols}. + +\bigskip + +Kleine \textbf{griechische Buchstaben} werden als \lstinline|\alpha|, +\lstinline|\beta|, \lstinline|\gamma|, \lstinline|\delta|, usw.\ eingegeben, +große griechische Buchstaben als \lstinline|\mathrm{A}|, +\lstinline|\mathrm{B}|, \lstinline|\Gamma|, \lstinline|\Delta|, usw. + +\begin{LTXexample} +$\lambda, \xi, \pi, \mu, + \Phi, \Omega $ +\end{LTXexample} + + +Des weiteren gibt es eine Vielzahl von \textbf{mathematischen Symbolen}: +von $\in$ über $\Rightarrow$ bis~$\infty$ (siehe +Anhang~\vref{symbols}). + +\bigskip + +Neben der voreingestellten Kursivschrift für die Variablen +bietet \LaTeX\ eine Auswahl von mathematischen \textbf{Alphabeten} an: +\begin{LTXexample} +$\mathrm{ABCabc}$ \\ +$\mathbf{ABCabc}$ \\ +$\mathsf{ABCabc}$ \\ +$\mathtt{ABCabc}$ \\ +$\mathcal{ABC}$ +\end{LTXexample} + +Die kalligraphischen Buchstaben (\lstinline:\mathcal:) gibt es nur als +Großbuchstaben. Mit dem Paket \texttt{amsymb} \cite{ch8} stehen +auch Alphabete für Mengenzeichen und Frakturschrift zur Verfügung. +Lokal können noch weitere installiert sein. + + +\bigskip + +\textbf{Exponenten und Indizes} können mit den Zeichen \lstinline|^| +und \lstinline|_| hoch- bzw.\ tiefgestellt werden. + +\begin{LTXexample} +\[ +a_{1} \qquad x^{2} \qquad + e^{-\alpha t} \qquad a^{3}_{ij} +\] +\end{LTXexample} + + +Das \textbf{Wurzelzeichen} wird mit \lstinline|\sqrt|, \textit{n}-te +Wurzeln werden mit \lstinline|\sqrt[|\textit{n}\lstinline|]| eingegeben. +Die Größe des Wurzelzeichens wird von \LaTeX\ automatisch +gewählt. + +\begin{LTXexample} +\[ +\sqrt{x} \qquad \sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} } + \qquad \sqrt[3]{2} +\] +\end{LTXexample} + +Die Befehle \lstinline|\overline| und \lstinline|\underline| bewirken +\textbf{waagrechte Striche} direkt über bzw.\ unter einem +Ausdruck. +\begin{LTXexample} +$\overline{m+n}$ +\end{LTXexample} + +Die Befehle \lstinline|\overbrace| und \lstinline|\underbrace| bewirken +\textbf{waagrechte Klammern} über bzw.\ unter einem Ausdruck. + +\begin{LTXexample} +$\underbrace{a+b+\cdots+z}_{26}$ +\end{LTXexample} + + +Um mathematische \textbf{Akzente} wie Pfeile oder Schlangen auf +Variablen zu setzen, gibt es die in Tabelle~\ref{mathakz} auf +Seite~\pageref{mathakz} angeführten Befehle. +Längere Tilden und Dacherln, die sich über mehrere (bis zu~3) +Zeichen erstrecken können, erhält man mit \lstinline|\widetilde| +bzw.\ \lstinline|\widehat|. +Ableitungszeichen werden mit \lstinline|'| (Apostroph) eingegeben. + +\begin{LTXexample} +\[ +y=x^{2} \qquad y'=2x \qquad y''=2 +\] +\end{LTXexample} + + +Mathematische \textbf{Funktionen} werden in der Literatur +üblicherweise nicht kursiv (wie die Namen von Variablen), +sondern in "`normaler"' Schrift dargestellt. +\LaTeX\ stellt die folgenden Befehle für mathematische +Funktionen zur Verfügung: + +\begin{LTXexample}[pos=b] +\begin{tabular}{@{}*{8}{>{$}c<{$}}@{}} +\arccos & \cos & \csc & \exp & \ker & \limsup & \min & \sinh \\ +\arcsin & \cosh & \deg & \gcd & \lg & \ln & \Pr & \sup \\ +\arctan & \cot & \det & \hom & \lim & \log & \sec & \tan \\ +\arg & \coth & \dim & \inf & \liminf & \max & \sin & \tanh \\ +\end{tabular} +\end{LTXexample} + +Für die Modulo-Funktion gibt es zwei verschiedene Befehle: +\lstinline|\bmod| für den binären Operator \(a \bmod b\) und +\lstinline|\pmod{...}| für die Angabe in der Form \(x\equiv a +\pmod{b}\). + +\begin{LTXexample} +\[ +\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} +=1 +\] +\end{LTXexample} + +Ein \textbf{Bruch} (fraction) wird mit dem Befehl +\lstinline|\frac{...}{...}| gesetzt. Für einfache Brüche kann man +aber auch den Operator~\lstinline|/| verwenden. + +\begin{LTXexample} +$1\frac{1}{2}$~Stunden +\[ +\frac{ x^{2} }{ k+1 } \qquad +x^{ \frac{2}{k+1} } \qquad +x^{ 1/2 } +\] +\end{LTXexample} + + +\textbf{Binomial-Koeffizienten} können in der Form +\lstinline|{...\choose...}| gesetzt werden. +Mit dem Befehl~\lstinline|\atop| erhält man das Gleiche ohne +Klammern. + +\begin{LTXexample} +\[ +{ n \choose k } \qquad +{ x\atop y+2 } +\] +\end{LTXexample} + + +\medskip + +Das \textbf{Integralzeichen} wird mit \lstinline|\int| eingegeben, das +\textbf{Summenzeichen} mit \lstinline|\sum|. +Die obere und untere Grenze wird mit \lstinline|^| bzw.~\lstinline|_| wie +beim \mbox{Hoch-}\slash Tiefstellen angegeben. + +Normalerweise werden die Grenzen neben das Integralzeichen +gesetzt (um Platz zu sparen), durch Einfügen des Befehls +\lstinline|\limits| wird erreicht, dass die Grenzen oberhalb und +unterhalb des Integralzeichens gesetzt werden. + +Beim Summenzeichen hingegen werden die Grenzen bei der Angabe von +\lstinline|\nolimits| oder im laufenden Text neben das Summenzeichen +gesetzt, ansonsten aber unter- und oberhalb. + +\begin{LTXexample} +\[ +\sum_{i=1}^{n} \qquad +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad +\int \limits_{-\infty}^{+\infty} +\] +\end{LTXexample} + +Für \textbf{Klammern} und andere Begrenzer gibt es in \TeX\ +viele verschiedene Symbole +(z.\,B.~\([\;\langle\;\|\;\updownarrow\)). +Runde und eckige Klammern können mit den entsprechenden Tasten +eingegeben werden, geschwungene mit~\lstinline|\{|, die anderen mit +speziellen Befehlen (z.\,B.~\lstinline|\updownarrow|). + +Setzt man den Befehl \lstinline|\left| vor öffnende Klammern und den +Befehl \lstinline|\right| vor schließende, so wird automatisch die +richtige Größe gewählt. + +\begin{LTXexample} +\[ +1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} } + \right) ^3 +\] +\end{LTXexample} + + +In manchen Fällen möchte man die Größe der Klammern lieber +selbst festlegen, dazu sind die Befehle +\lstinline|\bigl|, +\lstinline|\Bigl|, +\lstinline|\biggl| und +\lstinline|\Biggl| anstelle von \lstinline|\left| +und analog \lstinline|\bigr| etc.\ anstelle von \lstinline|\right| +anzugeben. + +\begin{LTXexample} +\[ +\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^{2} +\] +\end{LTXexample} + +Um in Formeln \textbf{3~Punkte} (z.\,B.\ für \(1,2,\ldots,n\)) +auszugeben, gibt es die Befehle +\lstinline|\ldots| und \lstinline|\cdots|. +\lstinline|\ldots| setzt die Punkte auf die Grundlinie (low), +\lstinline|\cdots| setzt sie in die Mitte der Zeilenhöhe +(centered). +Außerdem gibt es die Befehle +\lstinline|\vdots| für vertikal und +\lstinline|\ddots| für diagonal angeordnete Punkte. + +\begin{LTXexample} +\[ +x_{1},\ldots,x_{n} \qquad +x_{1}+\cdots+x_{n} +\] +\end{LTXexample} + + +\subsection{Nebeneinander Setzen} + +Wenn man mit den von \TeX\ gewählten \textbf{Abständen} +innerhalb von Formeln nicht zufrieden ist, kann man sie mit +expliziten Befehlen verändern. Die wichtigsten sind +\lstinline|\,| für einen sehr kleinen Abstand, +\lstinline|\ | für einen mittleren, +\lstinline|\quad| und \lstinline|\qquad| für große Abstände sowie +\lstinline|\!| für die Verkleinerung eines Abstands. Die Vergrößerung des Abstandes +durch die Anweisungen \lstinline|\quad| und \lstinline|\qquad| ist gleichbedeutend zu den Breiten 1\,em und 2\,em (siehe \vref{abst:horiz}). + +\begin{LTXexample} +\[ +F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} + \qquad n \ge 2 +\] +\end{LTXexample} + + +\begin{LTXexample} +\[ +\int\!\!\!\int_{D} +\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\quad \textnormal{statt} \quad +\int\int_{D} +\mathrm{d}x \mathrm{d}y +\] +\end{LTXexample} + + + +\subsection{Übereinander Setzen} + +Für \textbf{Matrizen} u.\,ä.\ gibt es die +\texttt{array}-Umgebung, die ähnlich wie die +\texttt{tabular}-Umgebung funktioniert. +Der Befehl~\lstinline|\\| trennt die Zeilen. + +\begin{LTXexample} +\[ +\mathbf{X} = +\left( \begin{array}{ccc} +x_{11} & x_{12} & \ldots \\ +x_{21} & x_{22} & \ldots \\ +\vdots & \vdots & \ddots +\end{array} \right) +\] +\end{LTXexample} + + +Für \textbf{mehrzeilige} Formeln oder Gleichungssysteme bietet \LaTeX{} die +Umgebung \texttt{eqnarray} an. Auf Grund verschiedener Defizite dieser +Umgebung sei an dieser Stelle nur gesagt, dass diese Umgebung nicht genutzt +werden soll. Das in der Einleitung zu diesem Kapitel genannte Paket +\texttt{amsmath} bietet die wesentlich verbesserte Umgebung \texttt{align}. + +Bei \texttt{align} erhält jede Zeile eine eigene +Gleichungsnummer, bei \texttt{align*} wird ebenso wie bei +\lstinline|\[...\]| \emph{keine} Gleichungsnummer hinzugefügt. + +Für Gleichungssysteme, die \emph{eine} gemeinsame Gleichungsnummer +erhalten sollen, kann auf die \texttt{array}-Umgebung oder die durch \texttt{amsmath} +bereitgestellte Umgebung \texttt{gather} zurückgegriffen werden. + +Die Umgebungen \texttt{align} arbeitet nach dem Prinzip einer Tabelle, wobei \texttt{\&} als +Ausrichtungssymbol verwendet wird. Entgegen einer Tabelle, muss die Anzahl der Spalten nicht vorher +angegeben werden. Das Ausrichtungssymbol sollte stets \emph{vor} dem Relationszeichen stehen, so +dass die korrekten Abstände ermittelt werden können. + +Der Befehl~\lstinline|\\| trennt die Zeilen. +\begin{LTXexample} +\begin{align} +f(x) & = \cos x \\ +f'(x) & = -\sin x \\ +\int_{0}^{x} f(y)\,\mathrm{d}y & + = \sin x +\end{align} +\end{LTXexample} + + + +\textbf{Zu lange Gleichungen} werden von \LaTeX\ \textit{nicht} +automatisch abgeteilt. +Der Autor muss bestimmen, an welcher Stelle abgeteilt und wie +weit eingerückt werden soll. +Meistens verwendet man dafür folgende Variante: + +\begin{LTXexample} +\begin{align} +\sin x & = x -\frac{x^{3}}{3!} + +\frac{x^{5}}{5!} - {} + \nonumber\\ + &\mathrel{\phantom{=}} + -\frac{x^{7}}{7!} + \cdots +\end{align} +\end{LTXexample} + +Der Befehl \lstinline|\nonumber| bewirkt, dass an diese Stelle keine +Gleichungsnummer gesetzt wird. + +Die Dokumentation mit dem Titel \enquote{mathmode} wurde bereits erwähnt, soll aber an dieser Stelle +noch einmal ins Gedächtnis gerufen werden. Neben Zahlreichen Beispielen kann +die Dokumentation als Nachschlagewerk für den mathematischen Satz genutzt werden. + +\endinput |