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diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/a4.sty b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/a4.sty deleted file mode 100644 index eaa2a57d4ba..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/a4.sty +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ - \if@twocolumn \textwidth175mm \marginparsep2.5mm - \oddsidemargin-7.9mm \evensidemargin-7.9mm - \else \ifcase \@ptsize\relax - \textwidth146mm \oddsidemargin7.1mm \evensidemargin7.1mm \or - \textwidth154mm \oddsidemargin2.6mm \evensidemargin2.6mm \or - \textwidth164mm \oddsidemargin-2.4mm \evensidemargin-2.4mm \fi - \marginparsep4mm \fi - \ifcase \@ptsize\relax \textheight 59\baselineskip \or - \textheight 52\baselineskip \or - \textheight 49\baselineskip \fi - \addtolength{\textheight}{\topskip} \topmargin-15mm diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/math.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/math.tex deleted file mode 100644 index 05db972f2dc..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/math.tex +++ /dev/null @@ -1,23 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{a4,german} -\setlength{\parindent}{0pt} -\setlength{\parskip}{1.5ex plus0.5ex minus0.5ex} -\begin{document} -\textbf{"Ubung 5.1}: - -Die Ableitung der mittelbaren Funktion f[g(x)] ist -$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x)$. F"ur die zweite Ableitung des -Produkts von $f(x)$ und $g(x)$ gilt: $[f(x)g(x)]'' = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) -+ f(x)g''(x)$. - -\textbf{"Ubung 5.2} - -Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur -$D = q^2 + p^3 > 0$ eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich -mit den Abk"urzungen -\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \] -nach der \emph{Cardanischen} Formel als -\[ y_1 = u + v,\quad y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v),\quad - y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) \] -darstellen. -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5 b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5 deleted file mode 100644 index 77603deddf6..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5 +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ -Dieses Verzeichnis enthaelt die Loesungen fuer die Uebungen 5.1 bis 5.21 in -jeweils eigenen Files ueb5-n.tex mit n = 1 bis 21. Soweit Files mit den Namen -ueb5-nx.tex mit x=a, b, ... auftreten, enthalten sie Alternativen oder -Ergaenzungen zu der Ubung ueb5-n.tex. - -Das Verzeichnis math.tex Enthaelt die Loesungen fuer die Uebungen 5.1 und 5.2 -in einem File, wie im Kapitel 5 fuer die Loesungsbereitstellung der -mathematischen vorgeschlagen. Der Anwender moege sich, falls er diese -Speichertechnik bevorzugt, die Textruempfe aus den Files ueb5-n.tex entsprechend -dem Anfangsvorschlag aus math.tex in dieses File kumulativ einkopieren, um -alle Loesungen aus Kapitel 5 in einem File zur LaTeX-Bearbeitung anzubieten. diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex deleted file mode 100644 index ebeb24a0dd9..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex +++ /dev/null @@ -1,8 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{a4,german} -\begin{document} -Die Ableitung der mittelbaren Funktion f[g(x)] ist -$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x)$. F"ur die zweite Ableitung des -Produkts von $f(x)$ und $g(x)$ gilt: $[f(x)g(x)]'' = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) -+ f(x)g''(x)$. -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex deleted file mode 100644 index d797cc15c9f..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex +++ /dev/null @@ -1,14 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -$\alpha\vec{x} = \vec{x}\alpha$,\hfill$\alpha\beta\vec{x} -= \beta\alpha\vec{x}$,\hfill$(\alpha + \beta)\vec{x} = \alpha\vec{x} + -\beta\vec{x}$,\hfill $\alpha(\vec{x} + \vec{y}) -= \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}$\\ -\hspace*{1.5em}$\vec{x}\vec{y} = \vec{y}\vec{x}$\hfill -aber\hfill$\vec{x}\times\vec{y} = --\vec{y}\times\vec{x}$,\hfill\hfill$\vec{x}\vec{y} = 0$\hfill falls\hfill% -$\vec{x}\perp\vec{y}$,\hfill\hfill$\vec{x}\times\vec{y} = 0$,\hfill -falls\hfill$\vec{x}\parallel\vec{y}$ -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex deleted file mode 100644 index 3eb6f7e0985..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{135mm} -\begin{document} -\begin{equation} -\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = -\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = -\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2} -\end{equation} -\begin{equation} -\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = 0\quad -\Longrightarrow\quad -U_M = \frac{1}{4\pi}\oint\limits_\Sigma\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial n} -\,ds - \frac{1}{4\pi}\oint\limits_\Sigma\frac{\partial\frac{1}{r}}{\partial n} -U\,ds -\end{equation} -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex deleted file mode 100644 index cad0a778fa4..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex +++ /dev/null @@ -1,13 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{135mm} -\begin{document} -\setcounter{equation}{2} -\begin{equation} -S(z) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} z^2\right) \sum_{n=0}^\infty - \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{1\cdot3\cdots(4n+3)} z^{4n+3} - +\sin\left(\frac{\pi}{2} z^2\right) \sum_{n=0}^\infty - \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{1\cdot3\cdots(4n+1)} z^{4n+1} -\end{equation} -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex deleted file mode 100644 index 415106a9b5e..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex +++ /dev/null @@ -1,28 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -\noindent\textbf{Erstes L"osungsbeispiel}:\\[1ex] -Die L"osung f"ur das Gleichungssystem -\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} - F(x,y) = 0\quad\mbox{und}\quad - \left|\begin{array}{ccc} - F''_{xx} & F''_{xy} & F'_x\\ - F''_{yx} & F''_{yy} & F'_y\\ - F'_x & F'_y & 0 - \end{array}\right| = 0 -\] -liefert die Koordinaten der m"oglichen Wendepunkte von $F(x,y) = 0$. - -\bigskip -\noindent\textbf{Zweites L"osungsbeispiel}:\\[1ex] -Die L"osung f"ur das Gleichungssystem -\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} - F(x,y) = 0\quad\mbox{und}\quad\begin{array}{|ccc|} - F''_{xx} & F''_{xy} & F'_x\\ - F''_{yx} & F''_{yy} & F'_y\\ - F'_x & F'_y & 0 - \end{array} = 0 -\] -liefert die Koordinaten der m"oglichen Wendepunkte von $F(x,y) = 0$. -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex deleted file mode 100644 index c97b9359fcb..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex +++ /dev/null @@ -1,41 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -\noindent\textbf{Erste L"osungsbeispieli}:\\[1ex] -Der k"urzeste Abstand zweier Geraden, deren Gleichungen -in der Form -\[ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\quad\mbox{und}% -\quad% - \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} \] -gegeben sind, l"a\3t sich nach der Formel -\[ \frac{\pm\;\begin{array}{|ccc|} - x_1 - x_2 & y_1 - y_2 & z_1 - z_2 \\ - l_1 & m_1 & n_1 \\ - l_2 & m_2 & n_2 - \end{array}}{ - \sqrt{\left|\begin{array}{cc} l_1 & m_1 \\ l_2 & m_2 \end{array}\right|^2 - + \left|\begin{array}{cc} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{array}\right|^2 - + \left|\begin{array}{cc} n_1 & l_1 \\ n_2 & l_2 \end{array}\right|^2} - } \] -berechnen. Verschwindet der Z"ahler, so schneiden sich die Geraden im Raum. - -\bigskip -\noindent\textbf{Zweites L"osungsbeispiel}:\\[1ex] -Der k"urzeste Abstand zweier Geraden, deren Gleichungen -in der Form -\[ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\quad\mbox{und}% -\quad% - \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} \] -gegeben sind, l"a\3t sich nach der Formel -\[ \frac{\pm\;\begin{array}{|ccc|} - x_1 - x_2 & y_1 - y_2 & z_1 - z_2 \\ - l_1 & m_1 & n_1 \\ - l_2 & m_2 & n_2 - \end{array}}{ - \sqrt{\begin{array}{|cc|} l_1 & m_1 \\ l_2 & m_2 \end{array}^2 - + \begin{array}{|cc|} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{array}^2 - + \begin{array}{|cc|} n_1 & l_1 \\ n_2 & l_2 \end{array}^2} - } \] -berechnen. Verschwindet der Z"ahler, so schneiden sich die Geraden im Raum. -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex deleted file mode 100644 index 049f8a13427..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex +++ /dev/null @@ -1,14 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{135mm} -\begin{document} -\noindent -Laurent-Entwicklung: Mit $c_n = \frac{1}{2\pi i} -\oint (\zeta-a)^{-n-1}f(\zeta)\,d\zeta$ gilt f"ur jede Funk\-tion $f(z)$ die -Darstellung ($n=0$, $\pm1$, $\pm2$, \ldots) -\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n - = \left\{\begin{array}{r} - c_0 + c_1(z-a) + c_2(z-a)^2 +\cdots+ c_n(z-a)^n+\cdots\\ - \mbox{}+c_{-1}(z-a)^{-1} + c_{-2}(z-a)^{-2}+\cdots\\ - \mbox{}+c_{-n}(z-a)^{-n}+\cdots \end{array}\right. \] -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex deleted file mode 100644 index 537add81b6f..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -\noindent -Die Anzahl aller Variationen von $n$ Elementen -zu je $m$ (in Zeichen $V_n^m$) ist -\vspace{-0.5ex} -\[ V_n^m = \prod_{i=0}^{m-1}(n-i) = - \underbrace{n(n-1)(n-2)\ldots(n-m+1)}_{\mbox{insgesamt $m$ Faktoren}} = - \frac{n!}{(n-m)!} \] -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex deleted file mode 100644 index ecd17809373..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -\begin{eqnarray} -\arcsin x & = & -\arcsin(-x) = \frac{\pi}{2} - \arccos x = - \left[\arccos\sqrt{1-x^2}\,\right]\nonumber\\ - & = & \arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = - \left[\mbox{\rm arccot}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right] -\end{eqnarray} -\begin{eqnarray} -\lefteqn{f(x+h,y+k) = f(x,y) + \left\{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}h + - \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}k\right\}}\nonumber\\ - &&\mbox{} + \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}h^2 - + 2\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}kh - + \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}k^2\right\}\\ - &&\mbox{} + \frac{1}{6}\{\cdots\} + \cdots + \frac{1}{n!}\{\cdots\} + R_n - \nonumber -\end{eqnarray} -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex deleted file mode 100644 index a97bd59cc3a..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{140mm} -\begin{document} -Die inverse Funktion der Reihenentwicklung~~$y = f(x) = ax+bx^2+cx^3 -+dx^4 + ex^5 + fx^6+\cdots$ $(a\ne0)$ beginnt mit den Gliedern: -\setlength{\arraycolsep}{2pt} -\begin{eqnarray*} -x = \varphi(y) = \frac{1}{a}y &-& \frac{b}{a^3}y^2 + \frac{1}{a^5}(2b^2-ac)y^3\\ - &+&\frac{1}{a^7}(5abc - z^2d -fb^3)y^4 - +\frac{1}{a^9}(6a^2bd + 3a^2c^2+14b^4 - a^3e - 21ab^2c)y^5\\ - &+&\frac{1}{a^{11}}(7a^3be + 7a^3cd + 84ab^3c - a^4f - 28a^2b^2d - -28 a^2bc^2 - 43b^5)y^6 + \cdots -\end{eqnarray*} -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex deleted file mode 100644 index bfb7250cfa6..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{article} -\usepackage{german} -\newcommand{\D}{\displaystyle} -\begin{document} -\[ a_0 + \frac{1\hfill}{\D a_1 - + \frac{1\hfill}{\D a_2 - + \frac{1\hfill}{\D a_3 - + \frac{1\hfill}{a_4}}}} \] -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex deleted file mode 100644 index 8a7d31e01b7..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex +++ /dev/null @@ -1,13 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{a4,german} -\begin{document} -Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur -$D = q^2 + p^3 > 0$ -eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen -\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \] -nach der \emph{Cardanischen} Formel als -\[ y_1 = u + v,\quad y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v),\quad - y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) \] -darstellen. -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex deleted file mode 100644 index ba324d6117a..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex +++ /dev/null @@ -1,13 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{140mm} -\begin{document} -\[ \begin{array}{@{}r@{\;=\;}l@{\quad}r@{\;=\;}l@{\quad}r@{\;=\;}l@{}} - \sin2\alpha & 2\sin\alpha\cos\alpha, & - \sin3\alpha & 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha & - \sin4\alpha & 8\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha\sin\alpha\\ - \cos2\alpha & \cos^2\alpha - \sin^2\alpha & - \cos3\alpha & 3\cos^3\alpha - 3\cos\alpha & - \cos4\alpha & 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1 - \end{array} \] -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex deleted file mode 100644 index 6254d7f90fd..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex +++ /dev/null @@ -1,74 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\newcommand{\D}{\displaystyle} -\newcommand{\bm}{\boldmath} -\setlength{\textwidth}{140mm} -\begin{document} -\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline -\multicolumn{3}{|c|}{\rule[-1.25mm]{0mm}{5mm}\mbox{Gleichung der Tangentialebene -und der Fl"achennormalen}}\\ -\hline -\mbox{Gleichungs-}&&\\ -\mbox{form} & \mbox{Tangentialebene} & \mbox{Fl"achennormale}\\ -\mbox{der Fl"ache} & & \\ \hline -\rule{0mm}{7mm}F(x,y,z)=0 - & \begin{array}[t]{r@{\:+\:}l} - \D\frac{\partial F}{\partial x}(X-x) - & \D\frac{\partial F}{\partial y}(Y-y) \\[2ex] - & \D\frac{\partial F}{\partial z}(Z-z) = 0 - \end{array} - & \D\frac{X-x}{\D\frac{\partial F}{\partial x}} = - \frac{Y-y}{\D\frac{\partial F}{\partial y}} = - \frac{Z-z}{\D\frac{\partial F}{\partial z}}\\ -\rule[-4.2mm]{0mm}{10mm}z=f(x,y) - & Z-z = p(X-x) + q(Y-y) - & \D\frac{X-x}{p} = \frac{Y-y}{q} = \frac{Z-z}{-1}\\ -\begin{array}{c} x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v) \end{array} - & \begin{array}{|ccc|} - X-x & Y-y & Z-z\\[0.5ex] - \D\frac{\partial x}{\partial u} & - \D\frac{\partial y}{\partial u} & - \D\frac{\partial z}{\partial u} \\[2.0ex] - \D\frac{\partial x}{\partial v} & - \D\frac{\partial y}{\partial v} & - \D\frac{\partial z}{\partial v} - \end{array} = 0 - & \D\frac{X-x}{\left|\begin{array}{c} - \frac{\partial y}{\partial u}\; - \frac{\partial z}{\partial u}\\[0.8ex] - \frac{\partial y}{\partial v}\;\frac{\partial z}{\partial v} - \end{array}\right|} = - \frac{Y-y}{\left|\begin{array}{c} - \frac{\partial z}{\partial u}\; - \frac{\partial x}{\partial u}\\[0.8ex] - \frac{\partial z}{\partial v}\;\frac{\partial x}{\partial v} - \end{array}\right|} = - \frac{Z-z}{\left|\begin{array}{c} - \frac{\partial x}{\partial u}\; - \frac{\partial y}{\partial u}\\[0.8ex] - \frac{\partial x}{\partial v}\;\frac{\partial y}{\partial v} - \end{array}\right|} \\ -\rule[-4.2mm]{0mm}{12mm}\mbox{\bm $r=r$}(u,v) - & \begin{array}{r} - \mbox{\bm $(R-r)(r_1\times r_2) = \mbox{\unboldmath$0$}$}\\ - \mbox{oder\qquad\bm $(R-r)N = \mbox{\unboldmath$0$}$} - \end{array} - & \begin{array}{r@{\;=\;}l} - \mbox{\bm $R$} & \mbox{\boldmath$r + - \mbox{\unboldmath$\lambda$}(r_1\times r_2$)}\\ - \mbox{oder\quad\bm $R$} & - \mbox{\bm $r + \mbox{\unboldmath$\lambda$}N$} - \end{array}\\ \hline -\multicolumn{3}{|c|}{\parbox{125mm}{\vspace*{0.5ex}In dieser Tabelle sind - $x,\,y,\,z$ und - \mbox{\bm $r$} die Koordinaten und der Radiusvektor des - Kurvenpunktes $M$; $X,\,Y,\,Z$ und \mbox{\bm $R$} sind die laufenden - Koordinaten und der Radiusvektor eines Punktes der Tangentialebene oder - der Fl"achennormalen im Punkt $M$; ferner ist - $p = \frac{\partial z}{\partial x}$, $q = \frac{\partial z}{\partial y}$ - und $\mbox{\bm $r_1$} = \partial\mbox{\bm $r$}/\partial u$, - $\mbox{\bm $r_2$} = \partial\mbox{\bm$r$}/\partial v$.}} -\\[0.8ex] \hline -\end{array} \] -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex deleted file mode 100644 index b714f9071e8..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex +++ /dev/null @@ -1,20 +0,0 @@ -\documentclass[fleqn]{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -\setlength{\mathindent}{2cm} - -Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur -$D = q^2 + p^3 > 0$ -eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen -\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \] -nach der \emph{Cardanischen} Formel als -\begin{equation} y_1 = u + v \end{equation} -\begin{equation} - y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v) -\end{equation} -\begin{equation} - y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) -\end{equation} -darstellen. -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex deleted file mode 100644 index 332bfb56640..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -Die Me\3werte $x_1 < x_2 < \cdots < x_r$ traten $p_1$-, $p_2$-$,\ldots,p_r$-mal -in einer Me\3reihe auf. Der Mittelwert $x$ und die Streuung $s$ ist dann -\[ x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^r p_i x_i,\qquad s= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^r - p_i(x_i - x)^2} \] -mit $ n = p_1 + p_2 +\cdots+p_r $. -\end{document} - diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex deleted file mode 100644 index 74bf99501a1..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -Auch diese zun"achst kompliziert aussehende Formel macht keine besondere -Schwierigkeit: -\[ \int\frac{\sqrt{(ax+b)^3}}{x}\,dx = \frac{2\sqrt{(ax+b)^3}}{3} - + 2b\sqrt{ax+b} + b^2\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} \] -ebensowenig wie $\int^8_{-1}(dx/\sqrt[3]{x}) = \frac{3}{2}(8^{2/3} + -1^{2/3}) = 15/2$ -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex deleted file mode 100644 index 7c048150014..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -Die Vereinigung zweier Mengen $\mathcal{A}$ und -$\mathcal{B}$ ist die Menge aller Elemente, die in wenigstens einer der beiden -Mengen vorkommen, und wird als $\cal A\cup B$ gekennzeichnet. Diese -Operation ist kommutativ $\cal A\cup B = B\cup A$ und assoziativ -$\cal(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$. Ist $\cal A\subseteq B$, dann gilt -$\cal A\cup B = B$. Daraus folgt $\cal A\cup A = A$, -$\cal A\cup\emptyset = A$ und $\cal J\cup A = J$. (\,$\emptyset$ steht -f"ur die leere Menge.) -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex deleted file mode 100644 index 70b988ebc89..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{135mm} -\begin{document} -\noindent -Aus der \emph{l'Hospitalschen} Regel folgt: -\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln\sin\pi x}{\ln\sin x} - = \lim_{x\to0}\frac{\pi\frac{\cos\pi x}{\sin\pi x}}{\frac{\cos x}{\sin x}} - = \lim_{x\to0}\frac{\pi\tan x}{\tan\pi x} - = \lim_{x\to0}\frac{\pi/\cos^2 x}{\pi/\cos^2 \pi x} - = \lim_{x\to0}\frac{\cos^2\pi x}{\cos^2 x} = 1 \] -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex deleted file mode 100644 index bcea1ea43b4..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\setlength{\textwidth}{135mm} -\begin{document} -\noindent -Die Gammafunktion $\Gamma(x)$ ist definiert als: -\[ \Gamma(x)\equiv\lim_{n\to\infty}\prod_{\nu=0}^{n-1}\frac{n!n^{x-1}}{x+\nu} - = \lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{x-1}}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)} - \equiv\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt \] -Die Integraldefinition gilt nur f"ur $x>0$ (2.\ Eulersches Integral). -\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex deleted file mode 100644 index d96ee8386e3..00000000000 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -\documentclass{article} -\usepackage{german} -\begin{document} -Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur -$D = q^2 + p^3 > 0$ -eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen -\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \] -nach der \emph{Cardanischen} Formel als -\begin{equation} y_1 = u + v \end{equation} -\begin{equation} - y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v) -\end{equation} -\begin{equation} - y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) -\end{equation} -darstellen. -\end{document} - |