summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5')
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/a4.sty11
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/math.tex23
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_511
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex8
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex14
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex17
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex13
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex28
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex41
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex14
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex12
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex19
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex15
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex10
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex13
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex13
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex74
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex20
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex10
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex10
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-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex12
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-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex18
24 files changed, 0 insertions, 429 deletions
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deleted file mode 100644
index eaa2a57d4ba..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/a4.sty
+++ /dev/null
@@ -1,11 +0,0 @@
- \if@twocolumn \textwidth175mm \marginparsep2.5mm
- \oddsidemargin-7.9mm \evensidemargin-7.9mm
- \else \ifcase \@ptsize\relax
- \textwidth146mm \oddsidemargin7.1mm \evensidemargin7.1mm \or
- \textwidth154mm \oddsidemargin2.6mm \evensidemargin2.6mm \or
- \textwidth164mm \oddsidemargin-2.4mm \evensidemargin-2.4mm \fi
- \marginparsep4mm \fi
- \ifcase \@ptsize\relax \textheight 59\baselineskip \or
- \textheight 52\baselineskip \or
- \textheight 49\baselineskip \fi
- \addtolength{\textheight}{\topskip} \topmargin-15mm
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deleted file mode 100644
index 05db972f2dc..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/math.tex
+++ /dev/null
@@ -1,23 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{a4,german}
-\setlength{\parindent}{0pt}
-\setlength{\parskip}{1.5ex plus0.5ex minus0.5ex}
-\begin{document}
-\textbf{"Ubung 5.1}:
-
-Die Ableitung der mittelbaren Funktion f[g(x)] ist
-$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x)$. F"ur die zweite Ableitung des
-Produkts von $f(x)$ und $g(x)$ gilt: $[f(x)g(x)]'' = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x)
-+ f(x)g''(x)$.
-
-\textbf{"Ubung 5.2}
-
-Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur
-$D = q^2 + p^3 > 0$ eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich
-mit den Abk"urzungen
-\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \]
-nach der \emph{Cardanischen} Formel als
-\[ y_1 = u + v,\quad y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v),\quad
- y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) \]
-darstellen.
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5 b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5
deleted file mode 100644
index 77603deddf6..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/readme_5
+++ /dev/null
@@ -1,11 +0,0 @@
-Dieses Verzeichnis enthaelt die Loesungen fuer die Uebungen 5.1 bis 5.21 in
-jeweils eigenen Files ueb5-n.tex mit n = 1 bis 21. Soweit Files mit den Namen
-ueb5-nx.tex mit x=a, b, ... auftreten, enthalten sie Alternativen oder
-Ergaenzungen zu der Ubung ueb5-n.tex.
-
-Das Verzeichnis math.tex Enthaelt die Loesungen fuer die Uebungen 5.1 und 5.2
-in einem File, wie im Kapitel 5 fuer die Loesungsbereitstellung der
-mathematischen vorgeschlagen. Der Anwender moege sich, falls er diese
-Speichertechnik bevorzugt, die Textruempfe aus den Files ueb5-n.tex entsprechend
-dem Anfangsvorschlag aus math.tex in dieses File kumulativ einkopieren, um
-alle Loesungen aus Kapitel 5 in einem File zur LaTeX-Bearbeitung anzubieten.
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex
deleted file mode 100644
index ebeb24a0dd9..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,8 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{a4,german}
-\begin{document}
-Die Ableitung der mittelbaren Funktion f[g(x)] ist
-$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x)$. F"ur die zweite Ableitung des
-Produkts von $f(x)$ und $g(x)$ gilt: $[f(x)g(x)]'' = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x)
-+ f(x)g''(x)$.
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex
deleted file mode 100644
index d797cc15c9f..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-10.tex
+++ /dev/null
@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-$\alpha\vec{x} = \vec{x}\alpha$,\hfill$\alpha\beta\vec{x}
-= \beta\alpha\vec{x}$,\hfill$(\alpha + \beta)\vec{x} = \alpha\vec{x} +
-\beta\vec{x}$,\hfill $\alpha(\vec{x} + \vec{y})
-= \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}$\\
-\hspace*{1.5em}$\vec{x}\vec{y} = \vec{y}\vec{x}$\hfill
-aber\hfill$\vec{x}\times\vec{y} =
--\vec{y}\times\vec{x}$,\hfill\hfill$\vec{x}\vec{y} = 0$\hfill falls\hfill%
-$\vec{x}\perp\vec{y}$,\hfill\hfill$\vec{x}\times\vec{y} = 0$,\hfill
-falls\hfill$\vec{x}\parallel\vec{y}$
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex
deleted file mode 100644
index 3eb6f7e0985..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-11.tex
+++ /dev/null
@@ -1,17 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{135mm}
-\begin{document}
-\begin{equation}
-\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} =
-\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} =
-\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = 0\quad
-\Longrightarrow\quad
-U_M = \frac{1}{4\pi}\oint\limits_\Sigma\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial n}
-\,ds - \frac{1}{4\pi}\oint\limits_\Sigma\frac{\partial\frac{1}{r}}{\partial n}
-U\,ds
-\end{equation}
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex
deleted file mode 100644
index cad0a778fa4..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-12.tex
+++ /dev/null
@@ -1,13 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{135mm}
-\begin{document}
-\setcounter{equation}{2}
-\begin{equation}
-S(z) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} z^2\right) \sum_{n=0}^\infty
- \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{1\cdot3\cdots(4n+3)} z^{4n+3}
- +\sin\left(\frac{\pi}{2} z^2\right) \sum_{n=0}^\infty
- \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{1\cdot3\cdots(4n+1)} z^{4n+1}
-\end{equation}
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex
deleted file mode 100644
index 415106a9b5e..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-13.tex
+++ /dev/null
@@ -1,28 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-\noindent\textbf{Erstes L"osungsbeispiel}:\\[1ex]
-Die L"osung f"ur das Gleichungssystem
-\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
- F(x,y) = 0\quad\mbox{und}\quad
- \left|\begin{array}{ccc}
- F''_{xx} & F''_{xy} & F'_x\\
- F''_{yx} & F''_{yy} & F'_y\\
- F'_x & F'_y & 0
- \end{array}\right| = 0
-\]
-liefert die Koordinaten der m"oglichen Wendepunkte von $F(x,y) = 0$.
-
-\bigskip
-\noindent\textbf{Zweites L"osungsbeispiel}:\\[1ex]
-Die L"osung f"ur das Gleichungssystem
-\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
- F(x,y) = 0\quad\mbox{und}\quad\begin{array}{|ccc|}
- F''_{xx} & F''_{xy} & F'_x\\
- F''_{yx} & F''_{yy} & F'_y\\
- F'_x & F'_y & 0
- \end{array} = 0
-\]
-liefert die Koordinaten der m"oglichen Wendepunkte von $F(x,y) = 0$.
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex
deleted file mode 100644
index c97b9359fcb..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-14.tex
+++ /dev/null
@@ -1,41 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-\noindent\textbf{Erste L"osungsbeispieli}:\\[1ex]
-Der k"urzeste Abstand zweier Geraden, deren Gleichungen
-in der Form
-\[ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\quad\mbox{und}%
-\quad%
- \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} \]
-gegeben sind, l"a\3t sich nach der Formel
-\[ \frac{\pm\;\begin{array}{|ccc|}
- x_1 - x_2 & y_1 - y_2 & z_1 - z_2 \\
- l_1 & m_1 & n_1 \\
- l_2 & m_2 & n_2
- \end{array}}{
- \sqrt{\left|\begin{array}{cc} l_1 & m_1 \\ l_2 & m_2 \end{array}\right|^2
- + \left|\begin{array}{cc} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{array}\right|^2
- + \left|\begin{array}{cc} n_1 & l_1 \\ n_2 & l_2 \end{array}\right|^2}
- } \]
-berechnen. Verschwindet der Z"ahler, so schneiden sich die Geraden im Raum.
-
-\bigskip
-\noindent\textbf{Zweites L"osungsbeispiel}:\\[1ex]
-Der k"urzeste Abstand zweier Geraden, deren Gleichungen
-in der Form
-\[ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\quad\mbox{und}%
-\quad%
- \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} \]
-gegeben sind, l"a\3t sich nach der Formel
-\[ \frac{\pm\;\begin{array}{|ccc|}
- x_1 - x_2 & y_1 - y_2 & z_1 - z_2 \\
- l_1 & m_1 & n_1 \\
- l_2 & m_2 & n_2
- \end{array}}{
- \sqrt{\begin{array}{|cc|} l_1 & m_1 \\ l_2 & m_2 \end{array}^2
- + \begin{array}{|cc|} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{array}^2
- + \begin{array}{|cc|} n_1 & l_1 \\ n_2 & l_2 \end{array}^2}
- } \]
-berechnen. Verschwindet der Z"ahler, so schneiden sich die Geraden im Raum.
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex
deleted file mode 100644
index 049f8a13427..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-15.tex
+++ /dev/null
@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{135mm}
-\begin{document}
-\noindent
-Laurent-Entwicklung: Mit $c_n = \frac{1}{2\pi i}
-\oint (\zeta-a)^{-n-1}f(\zeta)\,d\zeta$ gilt f"ur jede Funk\-tion $f(z)$ die
-Darstellung ($n=0$, $\pm1$, $\pm2$, \ldots)
-\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n
- = \left\{\begin{array}{r}
- c_0 + c_1(z-a) + c_2(z-a)^2 +\cdots+ c_n(z-a)^n+\cdots\\
- \mbox{}+c_{-1}(z-a)^{-1} + c_{-2}(z-a)^{-2}+\cdots\\
- \mbox{}+c_{-n}(z-a)^{-n}+\cdots \end{array}\right. \]
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex
deleted file mode 100644
index 537add81b6f..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-16.tex
+++ /dev/null
@@ -1,12 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-\noindent
-Die Anzahl aller Variationen von $n$ Elementen
-zu je $m$ (in Zeichen $V_n^m$) ist
-\vspace{-0.5ex}
-\[ V_n^m = \prod_{i=0}^{m-1}(n-i) =
- \underbrace{n(n-1)(n-2)\ldots(n-m+1)}_{\mbox{insgesamt $m$ Faktoren}} =
- \frac{n!}{(n-m)!} \]
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex
deleted file mode 100644
index ecd17809373..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-17.tex
+++ /dev/null
@@ -1,19 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-\begin{eqnarray}
-\arcsin x & = & -\arcsin(-x) = \frac{\pi}{2} - \arccos x =
- \left[\arccos\sqrt{1-x^2}\,\right]\nonumber\\
- & = & \arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =
- \left[\mbox{\rm arccot}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]
-\end{eqnarray}
-\begin{eqnarray}
-\lefteqn{f(x+h,y+k) = f(x,y) + \left\{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}h +
- \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}k\right\}}\nonumber\\
- &&\mbox{} + \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}h^2
- + 2\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}kh
- + \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}k^2\right\}\\
- &&\mbox{} + \frac{1}{6}\{\cdots\} + \cdots + \frac{1}{n!}\{\cdots\} + R_n
- \nonumber
-\end{eqnarray}
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex
deleted file mode 100644
index a97bd59cc3a..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-18.tex
+++ /dev/null
@@ -1,15 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{140mm}
-\begin{document}
-Die inverse Funktion der Reihenentwicklung~~$y = f(x) = ax+bx^2+cx^3
-+dx^4 + ex^5 + fx^6+\cdots$ $(a\ne0)$ beginnt mit den Gliedern:
-\setlength{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{eqnarray*}
-x = \varphi(y) = \frac{1}{a}y &-& \frac{b}{a^3}y^2 + \frac{1}{a^5}(2b^2-ac)y^3\\
- &+&\frac{1}{a^7}(5abc - z^2d -fb^3)y^4
- +\frac{1}{a^9}(6a^2bd + 3a^2c^2+14b^4 - a^3e - 21ab^2c)y^5\\
- &+&\frac{1}{a^{11}}(7a^3be + 7a^3cd + 84ab^3c - a^4f - 28a^2b^2d
- -28 a^2bc^2 - 43b^5)y^6 + \cdots
-\end{eqnarray*}
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex
deleted file mode 100644
index bfb7250cfa6..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-19.tex
+++ /dev/null
@@ -1,10 +0,0 @@
-\documentclass[12pt]{article}
-\usepackage{german}
-\newcommand{\D}{\displaystyle}
-\begin{document}
-\[ a_0 + \frac{1\hfill}{\D a_1
- + \frac{1\hfill}{\D a_2
- + \frac{1\hfill}{\D a_3
- + \frac{1\hfill}{a_4}}}} \]
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex
deleted file mode 100644
index 8a7d31e01b7..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,13 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{a4,german}
-\begin{document}
-Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur
-$D = q^2 + p^3 > 0$
-eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen
-\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \]
-nach der \emph{Cardanischen} Formel als
-\[ y_1 = u + v,\quad y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v),\quad
- y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v) \]
-darstellen.
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex
deleted file mode 100644
index ba324d6117a..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-20.tex
+++ /dev/null
@@ -1,13 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{140mm}
-\begin{document}
-\[ \begin{array}{@{}r@{\;=\;}l@{\quad}r@{\;=\;}l@{\quad}r@{\;=\;}l@{}}
- \sin2\alpha & 2\sin\alpha\cos\alpha, &
- \sin3\alpha & 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha &
- \sin4\alpha & 8\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha\sin\alpha\\
- \cos2\alpha & \cos^2\alpha - \sin^2\alpha &
- \cos3\alpha & 3\cos^3\alpha - 3\cos\alpha &
- \cos4\alpha & 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1
- \end{array} \]
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex
deleted file mode 100644
index 6254d7f90fd..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-21.tex
+++ /dev/null
@@ -1,74 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\newcommand{\D}{\displaystyle}
-\newcommand{\bm}{\boldmath}
-\setlength{\textwidth}{140mm}
-\begin{document}
-\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline
-\multicolumn{3}{|c|}{\rule[-1.25mm]{0mm}{5mm}\mbox{Gleichung der Tangentialebene
-und der Fl"achennormalen}}\\
-\hline
-\mbox{Gleichungs-}&&\\
-\mbox{form} & \mbox{Tangentialebene} & \mbox{Fl"achennormale}\\
-\mbox{der Fl"ache} & & \\ \hline
-\rule{0mm}{7mm}F(x,y,z)=0
- & \begin{array}[t]{r@{\:+\:}l}
- \D\frac{\partial F}{\partial x}(X-x)
- & \D\frac{\partial F}{\partial y}(Y-y) \\[2ex]
- & \D\frac{\partial F}{\partial z}(Z-z) = 0
- \end{array}
- & \D\frac{X-x}{\D\frac{\partial F}{\partial x}} =
- \frac{Y-y}{\D\frac{\partial F}{\partial y}} =
- \frac{Z-z}{\D\frac{\partial F}{\partial z}}\\
-\rule[-4.2mm]{0mm}{10mm}z=f(x,y)
- & Z-z = p(X-x) + q(Y-y)
- & \D\frac{X-x}{p} = \frac{Y-y}{q} = \frac{Z-z}{-1}\\
-\begin{array}{c} x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v) \end{array}
- & \begin{array}{|ccc|}
- X-x & Y-y & Z-z\\[0.5ex]
- \D\frac{\partial x}{\partial u} &
- \D\frac{\partial y}{\partial u} &
- \D\frac{\partial z}{\partial u} \\[2.0ex]
- \D\frac{\partial x}{\partial v} &
- \D\frac{\partial y}{\partial v} &
- \D\frac{\partial z}{\partial v}
- \end{array} = 0
- & \D\frac{X-x}{\left|\begin{array}{c}
- \frac{\partial y}{\partial u}\;
- \frac{\partial z}{\partial u}\\[0.8ex]
- \frac{\partial y}{\partial v}\;\frac{\partial z}{\partial v}
- \end{array}\right|} =
- \frac{Y-y}{\left|\begin{array}{c}
- \frac{\partial z}{\partial u}\;
- \frac{\partial x}{\partial u}\\[0.8ex]
- \frac{\partial z}{\partial v}\;\frac{\partial x}{\partial v}
- \end{array}\right|} =
- \frac{Z-z}{\left|\begin{array}{c}
- \frac{\partial x}{\partial u}\;
- \frac{\partial y}{\partial u}\\[0.8ex]
- \frac{\partial x}{\partial v}\;\frac{\partial y}{\partial v}
- \end{array}\right|} \\
-\rule[-4.2mm]{0mm}{12mm}\mbox{\bm $r=r$}(u,v)
- & \begin{array}{r}
- \mbox{\bm $(R-r)(r_1\times r_2) = \mbox{\unboldmath$0$}$}\\
- \mbox{oder\qquad\bm $(R-r)N = \mbox{\unboldmath$0$}$}
- \end{array}
- & \begin{array}{r@{\;=\;}l}
- \mbox{\bm $R$} & \mbox{\boldmath$r +
- \mbox{\unboldmath$\lambda$}(r_1\times r_2$)}\\
- \mbox{oder\quad\bm $R$} &
- \mbox{\bm $r + \mbox{\unboldmath$\lambda$}N$}
- \end{array}\\ \hline
-\multicolumn{3}{|c|}{\parbox{125mm}{\vspace*{0.5ex}In dieser Tabelle sind
- $x,\,y,\,z$ und
- \mbox{\bm $r$} die Koordinaten und der Radiusvektor des
- Kurvenpunktes $M$; $X,\,Y,\,Z$ und \mbox{\bm $R$} sind die laufenden
- Koordinaten und der Radiusvektor eines Punktes der Tangentialebene oder
- der Fl"achennormalen im Punkt $M$; ferner ist
- $p = \frac{\partial z}{\partial x}$, $q = \frac{\partial z}{\partial y}$
- und $\mbox{\bm $r_1$} = \partial\mbox{\bm $r$}/\partial u$,
- $\mbox{\bm $r_2$} = \partial\mbox{\bm$r$}/\partial v$.}}
-\\[0.8ex] \hline
-\end{array} \]
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex
deleted file mode 100644
index b714f9071e8..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,20 +0,0 @@
-\documentclass[fleqn]{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-\setlength{\mathindent}{2cm}
-
-Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur
-$D = q^2 + p^3 > 0$
-eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen
-\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \]
-nach der \emph{Cardanischen} Formel als
-\begin{equation} y_1 = u + v \end{equation}
-\begin{equation}
- y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v)
-\end{equation}
-\begin{equation}
- y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v)
-\end{equation}
-darstellen.
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex
deleted file mode 100644
index 332bfb56640..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-4.tex
+++ /dev/null
@@ -1,10 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-Die Me\3werte $x_1 < x_2 < \cdots < x_r$ traten $p_1$-, $p_2$-$,\ldots,p_r$-mal
-in einer Me\3reihe auf. Der Mittelwert $x$ und die Streuung $s$ ist dann
-\[ x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^r p_i x_i,\qquad s= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^r
- p_i(x_i - x)^2} \]
-mit $ n = p_1 + p_2 +\cdots+p_r $.
-\end{document}
-
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex
deleted file mode 100644
index 74bf99501a1..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-5.tex
+++ /dev/null
@@ -1,10 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-Auch diese zun"achst kompliziert aussehende Formel macht keine besondere
-Schwierigkeit:
-\[ \int\frac{\sqrt{(ax+b)^3}}{x}\,dx = \frac{2\sqrt{(ax+b)^3}}{3}
- + 2b\sqrt{ax+b} + b^2\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} \]
-ebensowenig wie $\int^8_{-1}(dx/\sqrt[3]{x}) = \frac{3}{2}(8^{2/3} +
-1^{2/3}) = 15/2$
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex
deleted file mode 100644
index 7c048150014..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-6.tex
+++ /dev/null
@@ -1,12 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-Die Vereinigung zweier Mengen $\mathcal{A}$ und
-$\mathcal{B}$ ist die Menge aller Elemente, die in wenigstens einer der beiden
-Mengen vorkommen, und wird als $\cal A\cup B$ gekennzeichnet. Diese
-Operation ist kommutativ $\cal A\cup B = B\cup A$ und assoziativ
-$\cal(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$. Ist $\cal A\subseteq B$, dann gilt
-$\cal A\cup B = B$. Daraus folgt $\cal A\cup A = A$,
-$\cal A\cup\emptyset = A$ und $\cal J\cup A = J$. (\,$\emptyset$ steht
-f"ur die leere Menge.)
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex
deleted file mode 100644
index 70b988ebc89..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-7.tex
+++ /dev/null
@@ -1,12 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{135mm}
-\begin{document}
-\noindent
-Aus der \emph{l'Hospitalschen} Regel folgt:
-\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln\sin\pi x}{\ln\sin x}
- = \lim_{x\to0}\frac{\pi\frac{\cos\pi x}{\sin\pi x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}
- = \lim_{x\to0}\frac{\pi\tan x}{\tan\pi x}
- = \lim_{x\to0}\frac{\pi/\cos^2 x}{\pi/\cos^2 \pi x}
- = \lim_{x\to0}\frac{\cos^2\pi x}{\cos^2 x} = 1 \]
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex
deleted file mode 100644
index bcea1ea43b4..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-8.tex
+++ /dev/null
@@ -1,11 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\setlength{\textwidth}{135mm}
-\begin{document}
-\noindent
-Die Gammafunktion $\Gamma(x)$ ist definiert als:
-\[ \Gamma(x)\equiv\lim_{n\to\infty}\prod_{\nu=0}^{n-1}\frac{n!n^{x-1}}{x+\nu}
- = \lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{x-1}}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}
- \equiv\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt \]
-Die Integraldefinition gilt nur f"ur $x>0$ (2.\ Eulersches Integral).
-\end{document}
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex
deleted file mode 100644
index d96ee8386e3..00000000000
--- a/Master/texmf-dist/doc/latex/kopka/uebungen/kapitel5/ueb5-9.tex
+++ /dev/null
@@ -1,18 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{german}
-\begin{document}
-Die reduzierte kubische Gleichung $y^3 + 3py +2q = 0$ hat f"ur
-$D = q^2 + p^3 > 0$
-eine reelle und zwei komplexe L"osungen. Diese lassen sich mit den Abk"urzungen
-\[ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}},\qquad v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}} \]
-nach der \emph{Cardanischen} Formel als
-\begin{equation} y_1 = u + v \end{equation}
-\begin{equation}
- y_2 = -\frac{u+v}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}(u - v)
-\end{equation}
-\begin{equation}
- y_3 = -\frac{u+v}{2} - \frac{i}{2}\sqrt{3}(u-v)
-\end{equation}
-darstellen.
-\end{document}
-