summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex')
-rw-r--r--Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex72
1 files changed, 72 insertions, 0 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex
new file mode 100644
index 00000000000..b9783698540
--- /dev/null
+++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+\documentclass{article}
+\pagestyle{empty}
+\usepackage{xgreek,graphicx}
+\pagestyle{empty}
+%\usepackage[greek]{babel}
+%\usepackage[utf8x]{inputenc}
+%\usepackage{amsfonts}
+
+\usepackage[default]{fontsetup}
+%\usepackage[gfsartemisia]{fontsetup}
+%\usepackage[gfsdidot]{fontsetup}
+%\usepackage[gfsdidotclassic]{fontsetup}
+%\usepackage[gfsneohellenic]{fontsetup}
+%\usepackage[cambria]{fontsetup}
+%\usepackage[lucida]{fontsetup}
+%\usepackage[kerkis]{fontsetup}
+%\usepackage[fira]{fontsetup}
+%\usepackage[times]{fontsetup}
+%\usepackage[palatino]{fontsetup}
+%\usepackage[stixtwo]{fontsetup}
+%\usepackage[neokadmus]{fontsetup}
+%\usepackage[msgaramond]{fontsetup}
+%\usepackage[ebgaramond]{fontsetup}
+%\usepackage[minion]{fontsetup}
+%\usepackage[neoeuler]{fontsetup}
+%\usepackage[libertinus]{fontsetup}
+
+
+
+
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα}
+
+
+\begin{document}
+
+\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
+%Let $g$ be an
+Assume that $g$ is an
+in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
+ $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
+ $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
+ then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
+\end{theorem}
+\textit{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
+we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
+$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
+$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
+$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
+\par
+\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
+ Έστω ότι
+η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
+$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
+$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
+ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
+τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
+$$\lim \int f_n =\int f.$$
+\end{theoremg}
+\textit{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
+το Λήμμα του Fatou ισχύει
+$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
+$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
+$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
+άρα
+$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
+
+
+
+
+
+\end{document}