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diff --git a/Master/texmf-dist/doc/generic/latex-notes-zh-cn/src/math.tex b/Master/texmf-dist/doc/generic/latex-notes-zh-cn/src/math.tex new file mode 100644 index 00000000000..a15beaffbac --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/generic/latex-notes-zh-cn/src/math.tex @@ -0,0 +1,350 @@ +\chapter{数学} + +\begin{quotation} +今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何? +\begin{gather*} +\begin{split} + 3x+2y+z &= 39 \\ + 2x+3y+z &= 34 \\ + x+2y+3z &= 26 \\ +\end{split} +\end{gather*} +\begin{flushright} +--- 《九章算术》 +\end{flushright} +\end{quotation} + +%\begin{quotation} +%邺下谚曰:博士买驴,书券三纸,未有驴字。 +%\begin{flushright} +%--- 颜之推《颜氏家训·勉学》 +%\end{flushright} +%\end{quotation} + +为了使用~\AmS-\LaTeX~提供的数学功能,我们首先需要在文档的序言部分加载~\verb|amsmath|~宏包,其详细用法可参阅《amsmath User's Guide》\citep{AMS_2002}。更全面的数学内容排版可参阅~George Grätzer\footnote{匈牙利裔,加拿大~Manitoba~大学数学系教授。}的《More Math into \LaTeX, 4th Edition》\citep{Gratzer_2007}。 +%\begin{code} +%\usepackage[options]{amsmath} +%\end{code} + +\section{数学模式} +\LaTeX~中的数学模式有两种形式:inline~和~display。前者是指在正文插入行间数学公式,后者独立排列,可以有或没有编号。 + +行间公式用一对~\verb|$...$|~来输入,独立公式用~\verb|equation|~或~\verb|equation*|~环境来输入,有~\verb|*|~的版本不生成公式编号。 + +前文提到~\verb|\fbox|~命令可以给文本内容加个方框,数学模式下也有类似的命令~\verb|\boxed|。 + +\begin{demo} +爱因斯坦的$E=mc^2$方程 +\begin{equation} + E=mc^2 +\end{equation} +\[ E=mc^2 \] +\[ \boxed{E=mc^2} \] +\end{demo} + +\section{基本原素} +\subsection{字母} + +英文字母在数学模式下可以直接输入,希腊字母则需要用\Fref{tab:greek}~中的命令输入,注意大写希腊字母的命令首字母也是大写。 + +\begin{table}[htbp] +\caption{希腊字母} +\label{tab:greek} +\centering +\begin{tabular}{llllllll} + \toprule + $\alpha$ & \verb|\alpha| & $\theta$ & \verb|\theta| & + $o$ & \verb|o| & $\tau$ & \verb|\tau| \\ + $\beta$ & \verb|\beta| & $\vartheta$ & \verb|\vartheta| & + $\pi$ & \verb|\pi| & $\upsilon$ & \verb|\upsilon| \\ + $\gamma$ & \verb|\gamma| & $\iota$ & \verb|\iota| & + $\varpi$ & \verb|\varpi| & $\phi$ & \verb|\phi| \\ + $\delta$ & \verb|\delta| & $\kappa$ & \verb|\kappa| & + $\rho$ & \verb|\rho| & $\varphi$ & \verb|\varphi| \\ + $\epsilon$ & \verb|\epsilon| & $\lambda$ & \verb|\lambda| & + $\varrho$ & \verb|\varrho| & $\chi$ & \verb|\chi| \\ + $\varepsilon$ & \verb|\varepsilon| & $\mu$ & \verb|\mu| & + $\sigma$ & \verb|\sigma| & $\psi$ & \verb|\psi| \\ + $\zeta$ & \verb|\zeta| & $\nu$ & \verb|\nu| & + $\varsigma$ & \verb|\varsigma| & $\omega$ & \verb|\omega| \\ + $\eta$ & \verb|\eta| & $\xi$ & \verb|\xi| & + & & & \\ + $\Gamma$ & \verb|\Gamma| & $\Lambda$ & \verb|\Lambda| & + $\Sigma$ & \verb|\Sigma| & $\Psi$ & \verb|\Psi| \\ + $\Delta$ & \verb|\Delta| & $\Xi$ & \verb|\Xi| & + $\Upsilon$ & \verb|\Upsilon| & $\Omega$ & \verb|\Omega| \\ + $\Theta$ & \verb|\Theta| & $\Pi$ & \verb|\Pi| & + $\Phi$ & \verb|\Phi| & & \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\subsection{指数、下标、根号} +指数或上标用~\verb|^|~表示,下标用~\verb|_|~表示,根号用~\verb|\sqrt|~表示。上下标如果多于一个字母或符号,需要用一对~\verb|{}|~括起来。 +\begin{demo} +\[x_{ij}^2\quad \sqrt[2]{x}\] +\end{demo} + +\subsection{分数} +分数用~\verb|\frac|~命令表示,它会自动调整字号,比如在行间公式中小一点,在独立公式则大一点。\verb|\dfrac|~命令把分数的字号显式设置为独立公式中的大小,\verb|\tfrac|~命令则把字号设为行间公式中的大小。 +\begin{demo} +$\frac{1}{2} \dfrac{1}{2}$ +\[\frac{1}{2} \tfrac{1}{2}\] +\end{demo} + +\subsection{运算符} +有些小的运算符(operator)例如~\verb|+ - * /|~等可以直接输入,另一些则需要特殊命令。完整的数学符号参见~Scott Pakin~的《The Comprehensive \LaTeX~ Symbol List》\citep{Pakin_2008}。 +\begin{code} +\[\pm \times \div \cdot \cap \cup \geq \leq \neq \approx \equiv\] +\end{code} + +\begin{out} +\[\pm\quad \times\quad \div\quad \cdot\quad \cap\quad \cup\quad \geq\quad \leq\quad \neq\quad \approx\quad \equiv\] +\end{out} + +和、积、极限、积分等大运算符用~\verb|\sum \prod \lim \int|~等表示。它们的上下标在行间公式中被压缩,以适应行高。。 + +\begin{code} +$\sum_{i=1}^n i \prod_{i=1}^n \lim_{x\to0}x^2 \int_a^b x^2 dx\$ +\[\sum_{i=1}^n i \prod_{i=1}^n \lim_{x\to0}x^2 \int_a^b x^2 dx\] +\end{code} + +\begin{out} +$\sum_{i=1}^n i\quad \prod_{i=1}^n\ \lim_{x\to0}x^2\ \int_a^b x^2\mathrm{d}x$ +\[\sum_{i=1}^n i\quad \prod_{i=1}^n\ \lim_{x\to0}x^2\ \int_a^b x^2\mathrm{d}x\] +\end{out} + +多重积分如果用多个~\verb|\int|~来输入的话,积分号间距过宽。正确的方法是用~\verb|\iint \iiint \iiiint \idotsint|~等命令输入。从下例中可以看出两种方法的差异。 + +\begin{out} +\[\iint\quad \iiint\quad \iiiint\quad \idotsint\] +\[\int\int\quad \int\int\int\quad \int\int\int\int\quad \int\dots\int\] +\end{out} + +\subsection{分隔符} +各种括号用~\verb|() [] \{\} \langle\rangle|~等命令表示,注意花括号通常用来输入命令和环境的参数,所以在数学公式中它们前面要加~\verb|\|。因为~\LaTeX~中的~\verb+|和\|+~的应用过于随意,~amsamth~宏包推荐用~\verb|\lvert\rvert|~和~\verb|\lVert\rVert|~取而代之。 + +我们可以在上述分隔符前面加~\verb|\big \Big \bigg \Bigg|~等命令来调整大小。\LaTeX~原有的方法是在分隔符前面加~\verb|\left \right|~来自动调整大小,但是效果不佳,所以~amsmath~不推荐用这种方法。 + +\begin{out} +\[\Bigg(\bigg(\Big(\big((x+y)\big)\Big)\bigg)\Bigg)\quad +\Bigg[\bigg[\Big[\big[[x+y]\big]\Big]\bigg]\Bigg]\quad +\Bigg\{\bigg\{\Big\{\big\{\{x+y\}\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}\] +\[\Bigg\langle\bigg\langle\Big\langle\big\langle\langle x+y \rangle\big\rangle\Big\rangle\bigg\rangle\Bigg\rangle\quad +\Bigg\lvert\bigg\lvert\Big\lvert\big\lvert\lvert x+y \rvert\big\rvert\Big\rvert\bigg\rvert\Bigg\rvert\quad +\Bigg\lVert\bigg\lVert\Big\lVert\big\lVert\lVert x+y \rVert\big\rVert\Big\rVert\bigg\rVert\Bigg\rVert\] +\end{out} + +\subsection{箭头} +\Fref{tab:arrow}~列出了部分箭头的输入方法。另外还有两个命令生成的箭头可以根据上下标自动调整长度。 + +\begin{table}[htbp] +\caption{箭头} +\label{tab:arrow} +\centering +\begin{tabular}{llll} + \toprule + $\leftarrow$ & \verb|\leftarrow| & $\longleftarrow$ & \verb|\longleftarrow| \\ + $\rightarrow$ & \verb|\rightarrow| & $\longrightarrow$ & \verb|\longrightarrow| \\ + $\leftrightarrow$ & \verb|\leftrightarrow| & $\longleftrightarrow$ & \verb|\longleftrightarrow| \\ + $\Leftarrow$ & \verb|\Leftarrow| & $\Longleftarrow$ & \verb|\Longleftarrow| \\ + $\Rightarrow$ & \verb|\Rightarrow| & $\Longrightarrow$ & \verb|\Longrightarrow| \\ + $\Leftrightarrow$ & \verb|\Leftrightarrow| & $\Longleftrightarrow$ & \verb|\Longleftrightarrow| \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\begin{demo} +\[\xleftarrow{x+y+z}\quad +\xrightarrow[x<y]{a*b*c}\] +\end{demo} + +\subsection{标注} +\Fref{tab:accent}~列出一些短的注音符号(accent),\Fref{tab:notation}~则列出一些长的标注符号。 + +\begin{table}[htbp] +\caption{数学注音符号} +\label{tab:accent} +\centering +\begin{tabular}{llllllll} + \toprule + $\acute{x}$ & \verb|\acute{x}| & $\tilde{x}$ & \verb|\tilde{x}| & $\mathring{x}$ & \verb|\mathring{x}| \\ + $\grave{x}$ & \verb|\grave{x}| & $\breve{x}$ & \verb|\breve{x}| & $\dot{x}$ & \verb|\dot{x}| \\ + $\bar{x}$ & \verb|\bar{x}| & $\check{x}$ & \verb|\check{x}| & $\ddot{x}$ & \verb|\ddot{x}| \\ + $\vec{x}$ & \verb|\vec{x}| & $\hat{x}$ & \verb|\hat{x}| & $\dddot{x}$ & \verb|\dddot{x}| \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\begin{table}[htbp] +\caption{长标注符号} +\label{tab:notation} +\centering +\begin{tabular}{llll} + \toprule + $\overline{xxx}$ & \verb|\overline{xxx}| & $\overleftrightarrow{xxx}$ & \verb|\overleftrightarrow{xxx}| \\ + $\underline{xxx}$ & \verb|\underline{xxx}| & $\underleftrightarrow{xxx}$ & \verb|\underleftrightarrow{xxx}| \\ + $\overleftarrow{xxx}$ & \verb|\overleftarrow{xxx}| & $\overbrace{xxx}$ & \verb|\overbrace{xxx}| \\ + $\underleftarrow{xxx}$ & \verb|\underleftarrow{xxx}| & $\underbrace{xxx}$ & \verb|\underbrace{xxx}| \\ + $\overrightarrow{xxx}$ & \verb|\overrightarrow{xxx}| & $\widetilde{xxx}$ & \verb|\widetilde{xxx}| \\ + $\underrightarrow{xxx}$ & \verb|\underrightarrow{xxx}| & $\widehat{xxx}$ & \verb|\widehat{xxx}| \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\subsection{省略号} +省略号用~\verb|\dots \cdots \vdots \ddots|~等命令表示,注意~\verb|\cdots|~和~\verb|\dots|~的差别。 +\begin{out} +\[\dots\quad \cdots\quad \vdots\quad \ddots\] +\end{out} + +\subsection{空白间距} +在数学模式中,我们可以用\Fref{tab:quad}中的命令生成不同的间距,注意负间距命令~\verb|\!|~可以用来减小间距。 + +\begin{table}[htbp] +\caption{空白间距} +\label{tab:quad} +\centering +\begin{tabular}{llll} + \toprule + \verb|\,| & 3/18 em & \verb|\quad| & 1 em \\ + \verb|\:| & 4/18 em & \verb|\qquad| & 2 em \\ + \verb|\;| & 5/18 em & \verb|\!| & -3/18 em \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\section{矩阵和行列式} +数学模式下可以用~\verb|array|~环境来生成行列表。参数~\verb|{ccc}|~用于设置每列的对齐方式,\verb|l、c、r|~分别表示左中右;\verb|\\|~和~\verb|&|~用来分隔行和列。 + +\begin{demo} +\[\begin{array}{ccc} +x_1 & x_2 & \dots \\ +x_3 & x_4 & \dots \\ +\vdots & \vdots & \ddots \\ +\end{array}\] +\end{demo} + +\verb|amsmath|~有几个类似的环境:\verb|pmatrix、bmatrix、Bmatrix、vmatrix|~和~ +\verb|Vmatrix|,它们和~\verb|array|~的主要区别是会在表两端加上~$()\; []\; \{\}\; ||\; \|\|$~等分隔符,其次这些环境没有列对齐方式参数。 + +行间公式可以用~\verb|smallmatrix|~环境来生成排列紧密的小矩阵。 + +\section{多行公式} +有时一个公式太长一行放不下,或几个公式需要写成一组,这时我们就要用到~\verb|amsmath|~提供的几个适合多行公式的环境。 + +\subsection{长公式} +对于多行不需要对齐的长公式,我们可以用~\verb|multline|~环境。 +\begin{demo} +\begin{multline} +x=a+b+c+\\ +d+e+f+g +\end{multline} +\end{demo} + +需要对齐的长公式可以用~\verb|split|~环境,它本身不能单独使用,因此也称作次环境,必须包含在~\verb|equation|~或其它数学环境内。\verb|split|~环境用~\verb|\\|~和~\verb|&|~来分行和设置对齐位置。 +\begin{demo} +\[ \begin{split} +x=&a+b+c+\\ + &d+e+f+g +\end{split} \] +\end{demo} + +\subsection{公式组} +不需要对齐的公式组用~\verb|gather|环境,需要对齐的用~\verb|align|。 +\begin{demo} +\begin{gather} +a=b+c+d\\ +x=y+z +\end{gather} +\end{demo} + +\begin{demo} +\begin{align} +a&=b+c+d\\ +x&=y+z +\end{align} +\end{demo} + +\verb|multline、gather、align|~等环境都有带~\verb|*|~的版本,它们不生成公式编号。 + +有多种条件的公式组用~\verb|cases|~次环境。 +\begin{demo} +\[ y=\begin{cases} +-x & x<0\\ +x & x\geq0 +\end{cases} \] +\end{demo} + +\section{定理和证明} +\LaTeX~提供了一个~\verb|\newtheorem|~命令来定义定理之类的环境,其语法如下。 +\begin{code} +\newtheorem{环境名}[编号延续]{显示名}[编号层次] +\end{code} + +在下例中,我们定义了四个环境:定义、定理、引理和推论,它们都在一个~\verb|section|~内编号,而引理和推论会延续定理的编号。 +\begin{code} +\newtheorem{defination}{定义}[section] +\newtheorem{theorem}{定理}[section] +\newtheorem{lemma}[theorem]{引理} +\newtheorem{corollary}[theorem]{推论} +\end{code} + +\newtheorem{defination}{定义}[section] +\newtheorem{theorem}{定理}[section] +\newtheorem{lemma}[theorem]{引理} +\newtheorem{corollary}[theorem]{推论} + +定义了上述环境之后,我们就可以象下面这样使用它们。 +\begin{demo} +\begin{defination} +Java是一种跨平台的编程语言。 +\end{defination} +\end{demo} + +\begin{demo} +\begin{theorem} +咖啡因会使人的大脑兴奋。 +\end{theorem} +\end{demo} + +\begin{demo} +\begin{lemma} +茶和咖啡都会使人兴奋。 +\end{lemma} +\end{demo} + +\begin{demo} +\begin{corollary} +晚上喝咖啡会导致失眠。 +\end{corollary} +\end{demo} + +\verb|proof|环境可以用来输入下面这样的证明,它会在证明结尾输入一个~QED~符号\footnote{拉丁语~quod erat demonstrandum~的缩写。}。 + +\begin{demo} +\begin{proof}[命题``物质无限可分''的证明] +一尺之棰,日取其半,万世不竭。 +\end{proof} +\end{demo} + +\section{数学字体} +和文本模式类似,数学模式下可以用\Fref{tab:math_font}~中的命令选择不同字体,其中有些字体需要加载~\verb|amsfonts|~宏包。 + +\begin{table}[htbp] +\caption{数学字体} +\label{tab:math_font} +\centering +\begin{tabular}{ccccccc} + \toprule + 缺省 & \verb|\mathbf| & \verb|\mathit| & \verb|\mathsf| & + \verb|\mathcal| & \verb|\mathbb| \\ + XNZRC & $\mathbf{XNZRC}$ & $\mathit{XNZRC}$ & $\mathsf{XNZRC}$ & + $\mathcal{XNZRC}$ & $\mathbb{XNZRC}$ \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\end{table} + +\bibliographystyle{unsrtnat} +\bibliography{reading} +\newpage |