diff options
author | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2009-05-18 18:10:08 +0000 |
---|---|---|
committer | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2009-05-18 18:10:08 +0000 |
commit | 36d99c626945375bdc37f6aa6ac813a52c4f9ad2 (patch) | |
tree | 15b46014dc09255a6974496eb389af66e85d100f /Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex | |
parent | 2724bec48977ef50bcbbfa1702c19307658ca671 (diff) |
new mongolian doc lshort-mongol (15may09)
git-svn-id: svn://tug.org/texlive/trunk@13207 c570f23f-e606-0410-a88d-b1316a301751
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex')
-rw-r--r-- | Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex | 602 |
1 files changed, 602 insertions, 0 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex new file mode 100644 index 00000000000..13b1b60d01f --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/lshort-mongol/src/math.tex @@ -0,0 +1,602 @@ +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% Contents: Math typesetting with LaTeX +% $Id: math.tex 169 2008-09-24 07:32:13Z oetiker $ +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\chapter{Математикийн томьјо бэлтгэх} + +\begin{intro} + Математикийн томьјо бэлтгэх \TeX{}-ийн індсэн чадавхыг энэ білгээр туршин ізэх болно. Гэхдээ энд тайлбарлах зійліід нь °нг°цх°н ердийн хэрэглээний т°вшинд тохирсон байгаа гэдгийг анхаарна уу. Математикийн томьјо бэлтгэх иліі нарийн зійлсийг \AmS-\LaTeX{} дээр шийдэх боломжтой. +\end{intro} + + + +\section{\texorpdfstring{\AmS}{AMS}-\LaTeX{} бірдэл} + +Хэрэв \wi{математик}ийн эхийг мэргэжлийн т°вшинд бэлтгэхийг хісвэл \AmS-\LaTeX{}-ийг ашиглах хэрэгтэй. \AmS-\LaTeX{} бірдэл нь математикийн эх бэлтгэхэд зориулагдсан т°р°л болон багцуудын бірдэл юм. Бид \pai{amsmath} багцыг тілхіі авч ізэх болно. \AmS-\LaTeX{}-ийг \emph{\wi{Америкийн Математикийн Нийгэмлэг}ээс} гаргасан б°г°°д энэ нь математикийн эх бэлтгэхэд °рг°н°°р ашиглагддаг. \LaTeX{} нь математикийн эх бэлтгэх індсэн шаардлагуудыг хангах хэдий ч томьјо бэлтгэхэд \AmS-\LaTeX{}-ийг бодвол хязгаарлагдмал (эсвэл эсрэгээрээ: \AmS-\LaTeX{} \emph{хязгаарлагдмал}!), зарим тохиолдолд тохиромжгій байдаг. + +\AmS-\LaTeX{} бол \LaTeX{}-ийн сіілийн іеийн біхий л тархцуудад багтдаг зайлшгій шаардлагатай тархцуудын нэг юм.\footnote{Хэрэв байхгій бол \texttt{CTAN:macros/latex/required/amslatex} хаягаас татна уу.} Энд \pai{amsmath} баримтын эхлэлд \verb|\usepackage{amsmath}| гэж зарлагдсан гэж ойлгој. + +\section{Дан томьјонууд} + +Математикийн \wi{томьјо}г хојр янзаар бэлтгэж болдог. “інд: зійл доторх м°рд (\emph{\wi{текст горим}д}), эсвэл зійлийг тасалж дунд нь оруулах (\textit{\wi{тодотгох горим}д}). Зійл \emph{дотор} математикийн \wi{томьјо}г \index{$@\texttt{\$}} \texttt{\$} болон \texttt{\$} хаалтууд дунд оруулна: +\begin{example} +$a$ квадрат дээр нэмэх нь +$b$ квадрат тэнціі $c$ +квадрат. Томьјолбол: +$a^2 + b^2 = c^2$ +\end{example} +\begin{example} +\TeX{}-ийг $\tau\epsilon\chi$ +гэж дууддаг\\[5pt] +100~м$^{3}$ ус\\[5pt] +Энэ нь миний $\heartsuit$ +сэтгэлээс урган гардаг +\end{example} + +Урт томьјог зійлээс \emph{ялган харуулахдаа} тіінийг \verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| ба +\verb|\end{equation}| хірээлэлд хашиж оруулна.\footnote{Энэ нь \textsf{amsmath} тушаал болно. Хэрэв багцыг тодорхойгій шалтгааны улмаас ачаалж чадахгійд хірвэл \LaTeX-ийн °°рийн \ei{displaymath} хірээллийг ашиглаж бас болно.} Томьјоныхоо дугаарыг \ci{label} тушаалд хадгалж, \ci{eqref} тушаалаар сіілд текстдээ дахин дуудаж гаргаж болно. Хэрэв томьјоныхоо дугаарыг °°р нэрээр оруулахыг хісвэл \ci{tag} тушаалыг ашиглах б°г°°д гэхдээ іінийг \ci{eqref} тушаалтай хослуулан ашиглаж болохгій. +\begin{example} +$a$ квадрат дээр нэмэх нь +$b$ квадрат тэнціі $c$ +квадрат. Буюу томьјолбол + \begin{equation} + a^2 + b^2 = c^2 + \end{equation} +Эйнштейний томьјо + \begin{equation} + E = mc^2 \label{clever} + \end{equation} +Харин энэ буруу + \begin{equation} + 1 + 1 = 3 \tag{dumb} + \end{equation} +Энэ нь \eqref{clever} +томьјог зааж байна. +\end{example} + +\LaTeX{}-г томьјог іл дугаарлуулахдаа \texttt{equation} командын °мн° од тавих \ei{equation*}, буюу хялбараар нь \ci{[} ба \ci{]} хаалтуудыг ашиглана:\footnote{\index{томьјо!\textsf{amsmath}} + \index{томьјо!\LaTeX{}}Энэ нь бас л \textsf{amsmath}-ийнх. Хэрэв багц ачаалагдахгій байвал ііний оронд \LaTeX{}-ийн °°рийн \texttt{equation} хірээллийг ашиглаж болно. \textsf{amsmath}/\LaTeX{} тушаалуудын нэршил нь °°р хоорондоо жаахан з°рчилд°х талтай хэдий ч \textsf{amsmath} хэрэглэгчдэд нэг их хіндрэл учруулахгій. Ер нь уг багцыг эхэнд нь ачаалах нь, хожим \LaTeX-ийн дугаарлагдаагій \texttt{equation} болон \AmS-\LaTeX-ийн дугаарлагдсан \texttt{equation} хооронд з°рчил іісэхээс сэргийлдэг.} +\begin{example} +$a$ квадрат дээр нэмэх нь +$b$ квадрат тэнціі $c$ +квадрат. Буюу томьјолбол + \begin{equation*} + a^2 + b^2 = c^2 + \end{equation*} +эсвэл товчоор: + \[ a^2 + b^2 = c^2 \] +\end{example} + +Томьјоны \wi{текст горим} болон \wi{тодотгох горим} хојрын ялгааг харуулъя: +\begin{example} +Текст горим: +$\lim_{n \to \infty} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} + = \frac{\pi^2}{6}$. +Харин тодотгох горим нь: + \begin{equation} + \lim_{n \to \infty} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} + = \frac{\pi^2}{6} + \end{equation} +\end{example} + +Текст горимд математикийн гишіін болон зэрэг агуулсан илэрхийлэл буюу дэд илэрхийлліідийг \ci{smash}-д оруулбал \LaTeX{} тэдгээр илэрхийлліідийн дээд доодох зайг іл хэрэгсэж м°р хоорондын тогтмол зайг хадгална. + +\begin{example} +$d_{e_{e_p}}$ илэрхийллээс +м°рд°н гарах математик +$h^{i^{g^h}}$ илэрхийлэл. +Эсрэгээр, +\smash{$d_{e_{e_p}}$} +илэрхийллээс м°рд°н гарах +математик \smash{$h^{i^{g^h}}$} +илэрхийлэл. +\end{example} + +\subsection{Математик горим} + +Доорх хэсэгт \emph{\wi{математик горим}} болон \emph{текст горим} хоорондын ялгааг харуулав. Жишээлбэл, \emph{математик горим}: + +\begin{enumerate} + +\item \index{зай!математик горим} Сул зай авах болон м°р таслах горимууд хічингій. Учир нь эдгээр нь математикийн илэрхийлэлд тусгай іірэг гійцэтгэдэг тул тэдгээрийг \ci{,}, \ci{quad} буюу \ci{qquad} гэсэн тусгай тушаалуудаар илэрхийлдэг (бид іінийг хожим \ref{sec:math-spacing}-р білэгт эргэн судлах болно). + +\item Томьјо бірд ганц л удаа догол м°р авч болно, иймд олон тооны хоосон м°рийг хэрэгсэхгій. + +\item “сгіід нь хувьсагчийн ііргээр ордог тул томьјонд ердийн текстийг (налуу бус фонт болон сул зай біхий) \verb|\text{...}| тушаалаар оруулна (\pageref{sec:fontsz}-р хуудасны \ref{sec:fontsz}-р білэг). + +\end{enumerate} +\begin{example} +$\forall x \in \mathbf{R}: + \qquad x^{2} \geq 0$ +\end{example} +\begin{example} +$x^{2} \geq 0\qquad + \text{іінд }x\in\mathbf{R}$ +\end{example} + +Ашиглаж буй тэмдгийг нарийн анхаардаг математикчдын хувьд саяын жишээнд ізіілсэн тэмдгийн оронд \pai{amssymb} багцын \ci{mathbb} тушаалаар дірслэгдэх `\wi{сиймхий тод}' (blackboard bold) фонт ашиглах нь хэвшмэл болсон.\footnote{\pai{amssymb} нь \AmS-\LaTeX{} бірдэлд хамаарахгій б°г°°д \LaTeX{} тархцад хамаарч болох юм. Тіінийг тархцаасаа шалгах буюу \texttt{CTAN:/fonts/amsfonts/latex/} хаягаас татаж авна уу.} +\ifx\mathbb\undefined\else +“інийг дараах жишээгээр ізіілэв. +\begin{example} +$x^{2} \geq 0\qquad + \text{іінд } x + \in \mathbb{R}$ +\end{example} +\fi +ђ°р бусад математикийн фонтыг \pageref{mathalpha}-р хуудасны \ref{mathalpha}-р хіснэгт болон \pageref{mathfonts}-р хуудасны \ref{mathfonts}-р хіснэгтээс тус тус ізнэ іі. + + + +\section{Математикийн томьјоны бірэлдіілбэр} + +Энэ дэд білэгт бид математикийн томьјог бичихэд ашиглагддаг хамгийн чухал тушаалуудыг ізэх б°г°°д энд тохиолдох ихэнх томьјонууд нь \textsf{amsmath} багцыг шаардахгій хэдий ч болзошгій гэсэн ііднээс тіінийг зарласан байхад буруудахгій. + + +\textbf{\wi{Грек ісгіід}ийг жижгээр} \verb|\alpha|, + \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, томоор \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{\LaTeXe{}-д Alpha, Beta гэсэн том ісгіідийн тэмдэглэгээ байдаггій учир нь эдгээр нь ердийн ром A, B\ldots{} ісгіідтэй адил бичигддэг. Хэрэвзээ шинэ математик тэмдэглэгээ гарвал эдгээр нь °°рчл°гд°ж болох юм.} гэж тус тус тэмдэглэнэ. + +Грек ісгийн жагсаалтыг \pageref{greekletters}-р хуудасны \ref{greekletters}-р хіснэгтээс із. +\begin{example} +$\lambda,\xi,\pi,\theta, + \mu,\Phi,\Omega,\Delta$ +\end{example} + + +\textbf{Зэргийн илтгэгч болон гишіінийг}\index{зэргийн илтгэгч}\index{гишіін} \verb|^|\index{^@\verb"|^"|} ба \verb|_|\index{_@\verb"|_"|} тэмдэгтээр тус тус илэрхийлнэ. +Математик горимын ихэнх тушаалууд з°вх°н дараагийн ганц тэмдэгтэд ійлчилдэг б°г°°д тіінд хэд хэдэн тэмдэгтийг харьяалуулахын тулд тэдгээр тэмдэгтийг \verb|{...}| гэсэн уран хаалтад хашиж оруулах хэрэгтэй. + +\pageref{binaryrel}-р хуудасны \ref{binaryrel}-р хіснэгтэд $\subseteq$ ба $\perp$ гэх мэт бинар харьцаануудыг ізіілэв. + +\begin{example} +$p^3_{ij} \qquad + m_\text{Knuth} \\[5pt] + a^x+y \neq a^{x+y}\qquad + e^{x^2} \neq {e^x}^2$ +\end{example} + + +Харин \textbf{\wi{квадрат язгуур}ыг} \ci{sqrt}; $n$-р язгуурыг \verb|\sqrt[|$n$\verb|]| гэж тэмдэглэх ба язгуурын тэмдгийн хэмжээг \LaTeX{} автоматаар тодорхойлно. З°вх°н тэмдгийг илэрхийлэх бол \verb|\surd| тушаалыг ашиглана. + +Бусад т°рлийн $\hookrightarrow$ ба $\rightleftharpoons$ мэтийг сумуудыг \pageref{tab:arrows}-р хуудасны \ref{tab:arrows}-р хіснэгтээс сонирхоно уу. +\begin{example} +$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2} + \quad \sqrt[3]{2} + \quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}} + \quad \surd[x^2 + y^2]$ +\end{example} + + +\index{цэг!гурван} +\index{босоо!цэг} +\index{хэвтээ!цэг} +Хэдийгээр \textbf{\wi{цэг}} тэмдэг нь заримдаа уншихад хялбар байлгах ііднээс томьјог білэглэхэд тустай байдаг ч іржих ійлдэлд энэхіі цэг тэмдгийг ашиглахгій б°г°°д голлосон ганц тэмдгийг \ci{cdot} ашиглана. Голлосон гурван цуваа \textbf{\wi{цэгіід}ийг} \ci{cdots}, хэвтээ цэгіідийг \ci{ldots}, босоо цэгіідийг \ci{vdots}, \wi{диагональдсан цэгіід}ийг \ci{ddots} тушаалуудаар тус тус тэмдэглэнэ. ђ°р бусад жишээг \ref{sec:arraymat}-р дэд білгээс ізнэ іі. +\begin{example} +$\Psi = v_1 \cdot v_2 + \cdot \ldots \qquad + n! = 1 \cdot 2 + \cdots (n-1) \cdot n$ +\end{example} + +\ci{overline} ба \ci{underline} тушаалууд нь \textbf{х°ндл°н зураасыг} илэрхийллийн дээр болон доор гаргана: +\index{х°ндл°н!зураас} \index{зураас!х°ндл°н} +\begin{example} +$0.\overline{3} = + \underline{\underline{1/3}}$ +\end{example} + +\ci{overbrace} ба \ci{underbrace} тушаалууд нь \textbf{х°ндл°н хаалтыг} илэрхийллийн дээр болон доор гаргана: +\index{х°ндл°н!хаалт} \index{хаалт!х°ндл°н} +\begin{example} +$\underbrace{\overbrace{a+b+c}^6 + \cdot \overbrace{d+e+f}^9} + _\text{утга} = 42$ +\end{example} + +\index{математик!°рг°лтіід} Хувьсагчид математикийн \textbf{богино сум} буюу \textbf{\wi{долгионтой зураас}} мэтийн °рг°лтіідийг тэмдэглэх тушаалуудыг \pageref{mathacc}-р хуудасны \ref{mathacc}-р хіснэгтэд ізіілэв. Дараалсан тэмдэгтийн дээр том жижиг малгайг тэмдэглэхдээ \ci{widetilde} болон \ci{widehat} тушаалуудыг ашиглана. \ci{hat} болон \ci{widehat} нь °°р хоорондоо ялгаатай б°г°°д \ci{bar} нь гишіін агуулсан хувьсагчид зориулагдсан болохыг анхаарууштай. +\verb|'|\index{'@\verb"|'"|} тэмдэглэгээгээр \wi{уламжлал}ыг тэмдэглэнэ: +% a dash is -- +\begin{example} +$f(x) = x^2 \qquad f'(x) + = 2x \qquad f''(x) = 2\\[5pt] + \hat{XY} \quad \widehat{XY} + \quad \bar{x_0} \quad \bar{x}_0$ +\end{example} + + +\textbf{Векторын}\index{векторууд} хувьсагчийн дээр байрлах жижиг \wi{сум}ыг \ci{vec} тушаалаар оруулна. $A$-аас $B$ уруу заах векторыг \ci{overrightarrow} буюу \ci{overleftarrow} тушаалуудаар илэрхийлнэ: +\begin{example} +$\vec{a} \qquad + \vec{AB} \qquad + \overrightarrow{AB}$ +\end{example} + + +Дараах логарифмын функціідийг \LaTeX{}, хувьсах хэмжигдэхіінийг тэмдэглэдэг налуу фонтоор бус босоо фонтоор тэмдэглэдэг: +\index{математик!функціід} + +\begin{tabular}{llllll} +\ci{arccos} & \ci{cos} & \ci{csc} & \ci{exp} & \ci{ker} & \ci{limsup} \\ +\ci{arcsin} & \ci{cosh} & \ci{deg} & \ci{gcd} & \ci{lg} & \ci{ln} \\ +\ci{arctan} & \ci{cot} & \ci{det} & \ci{hom} & \ci{lim} & \ci{log} \\ +\ci{arg} & \ci{coth} & \ci{dim} & \ci{inf} & \ci{liminf} & \ci{max} \\ +\ci{sinh} & \ci{sup} & \ci{tan} & \ci{tanh}& \ci{min} & \ci{Pr} \\ +\ci{sec} & \ci{sin} \\ +\end{tabular} + +\begin{example} +\[\lim_{x \rightarrow 0} + \frac{\sin x}{x}=1\] +\end{example} + +Дээрх жагсаалтад ороогій функціідэд \ci{DeclareMathOperator} тушаалыг ашиглаж болох б°г°°д тііний одтой хувилбараар функцийн хязгаарыг тэмдэглэж болно. Энэхіі тушаал нь баримтын эхлэлд зарлагдаж байж ажиллах тул доорх жишээнд орсон тайлбар біхий м°ріідийг баримтын эхлэлд бичсэн байвал зохино. + +\begin{example} +%\DeclareMathOperator{\argh}{argh} +%\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut} +\[3\argh = 2\nut_{x=1}\] +\end{example} + +Дараах хојр функц нь \wi{модуляр функц}эд зориулагдсан: \ci{bmod} нь ``$a \bmod b$'' гэсэн бинар ійлдэлд, \ci{pmod} нь ``$x\equiv a \pmod{b}$'' гэсэн илэрхийлэлд: +\begin{example} +$a\bmod b \\ + x\equiv a \pmod{b}$ +\end{example} + +\ci{frac}\verb|{...}{...}| тушаалаар \textbf{\wi{бутархай}г} тэмдэглэх б°г°°д энэ нь текст дунд орохдоо м°р хоорондын зайнаас хамаарч агшдаг. Энэхіі агшсан хэлбэрийг тодотгосон горимд \ci{tfrac} тушаалаар гаргаж болдог. Дээрх тушаалын текст горимд іл агших хувилбар нь \ci{dfrac} юм. Ц°°н оронтой бутархайг ихэвчлэн $1/2$ гэж тэмдэглэх нь иліі дээр байдаг: +\begin{example} +Тодотгосон горим: +\[3/8 \qquad \frac{3}{8} + \qquad \tfrac{3}{8} \] +\end{example} + +\begin{example} +Текст горим: +$1\frac{1}{2}$~цаг \qquad +$1\dfrac{1}{2}$~цаг +\end{example} + +\ci{partial} тушаалаар \wi{тухайн уламжлал}ыг илэрхийлнэ: +\begin{example} +\[\sqrt{\frac{x^2}{k+1}}\qquad + x^\frac{2}{k+1}\qquad + \frac{\partial^2f} + {\partial x^2} \] +\end{example} + +\pai{amsmath}-ийн \ci{binom} тушаалаар \wi{бином коэффициент} буюу іінтэй ижил бітцийг іісгэж болдог: +\begin{example} +Паскалийн дірэм +\begin{equation*} + \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k} + + \binom{n-1}{k-1} +\end{equation*} +\end{example} + +Давхар тэмдэгтэй \wi{бинар харьцаа}г илэрхийлэхдээ \ci{stackrel}\verb|{#1}{#2}| тушаалыг ашиглах б°г°°д іінд \verb|#1| нь дээд, \verb|#2| нь доод хэсэг болно. +\begin{example} +\begin{equation*} + f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1 +\end{equation*} +\end{example} + +\ci{int} тушаалаар \textbf{\wi{интегралын ійлдлийн тэмдэг}}, \ci{sum} тушаалаар \textbf{\wi{нийлбэрийн ійлдлийн тэмдэг}}, \ci{prod} тушаалаар \textbf{\wi{іржіілэх ійлдлийн тэмдэг}} тус тус, м°н дээд доод хязгаарууд~\verb|^| ба~\verb|_| гэж тэмдэглэгдэнэ: +\begin{example} +\begin{equation*} +\sum_{i=1}^n \qquad +\int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad +\prod_\epsilon +\end{equation*} +\end{example} + +\pai{amsmath}-ийн \ci{substack} тушаал нь комплекс илэрхийлэлд индекс тэмдэглэхэд зориулагдсан: +\begin{example} +\begin{equation*} +\sum^n_{\substack{0<i<n \\ + j\subseteq i}} + P(i,j) = Q(i,j) +\end{equation*} +\end{example} + + + +\LaTeX{}-д \textbf{\wi{хаалт}} болон бусад \textbf{\wi{хязгаар}т} (жишээ нь~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$) зориулсан олон т°рлийн тэмдгіід байдаг. Дугуй болон д°рв°лжин хаалтуудыг яг тухайн тэмдгийн дагуу, харин гој хаалтыг \verb|\{|, харин бусад хязгааруудыг тусгай тушаалаар іісгэнэ (жишээ нь~\verb|\updownarrow|). +\begin{example} +\begin{equation*} +{a,b,c} \neq \{a,b,c\} +\end{equation*} +\end{example} + +Хэрэв \ci{left}-г нээх хаалтын °мн°, хаах хаалтын °мн° \ci{right}-г тус тус тавихад \LaTeX{}, хаалтын °ндрийг автоматаар тохируулдаг. Гэхдээ \ci{left} ба \ci{right} хојр нь заавал хосоороо орох јстой гэдгийг анхаараарай. Хэрэв нээх хаалтыг тавилгій з°вх°н хаах хаалтыг оруулъя гэвэл зіін хаалтыг ``\ci{left.}'' гэж нууцалж °г°х хэрэгтэй: +\begin{example} +\begin{equation*} +1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}} + \right)^3 \qquad +\left. \ddagger \frac{~}{~}\right) +\end{equation*} +\end{example} + +Зарим тохиолдолд математикийн хаалтын\index{математик!хаалт} хэмжээг, уг хаалтын °мн° \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg} болон +\ci{Bigg} тушаалуудыг бичиж гараар тохируулах нь бий: +\begin{example} +$\Big((x+1)(x-1)\Big)^{2}$\\ +$\big( \Big( \bigg( \Bigg( \quad +\big\} \Big\} \bigg\} \Bigg\} \quad +\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad +\big\Downarrow \Big\Downarrow +\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$ +\end{example} +\pageref{tab:delimiters}-р хуудасны \ref{tab:delimiters}-р хіснэгтээс эдгээр хаалтуудыг сонирхоно уу. + +\section{Босоо жигдлэлт} + +\subsection{Томьјог таслах} +\index{томьјо!олон} + +Хэд хэдэн м°р буюу \wi{систем тэгшитгэл}д \texttt{equation} болон \texttt{equation*} хірээллийн оронд \ei{align} болон \verb|align*| хірээллийг ашиглахад тохиромжтой байдаг\footnote{\ei{align} нь \textsf{amsmath}-ийн хірээлэл юм. \LaTeX{}-ийн іінтэй ижил хірээлэл нь \ei{eqnarray} боловч зай авах болон хаяглалт іісгэхэд тохиромжгій.} б°г°°д энэ хірээлэлд м°р тусбірийн томьјо дугаарлагддаг. Тэдгээрийг дугаарлахгій гэвэл \verb|align*| гэхэд хангалттай. + +\ei{align} хірээлэлд \verb|\\| тушаалаар томьјог тасалж, таслахад іісэх м°р бірийн томьјог \verb|&| тэмдгээр жигдлэн нийтэд нь голлуулдаг. З°вх°н тодорхой тооны томьјог дугаарлах хэрэгтэй бол дугаарлах шаардлагагій томьјоны м°р таслах \verb|\\| тэмдгийн \emph{°мн°} \ci{nonumber} гэсэн тушаалыг зарлана: +\begin{example} +\begin{align} +f(x) &= (a+b)(a-b) \label{1}\\ + &= a^2-ab+ba-b^2 \\ + &= a^2+b^2 \tag{буруу} +\end{align} +Энэ бол \eqref{1} томьјоны заагч. +\end{example} + +\index{урт томьјонууд} \textbf{Урт томьјо} автоматаар оновчтой тасардаггій. Зохиогч чухам хаагуур тасалбал зохихыг шийддэг: +\begin{example} +\begin{align} +f(x) &= 3x^5 + x^4 + 2x^3 + \nonumber \\ + &\qquad + 9x^2 + 12x + 23 \\ + &= g(x) - h(x) +\end{align} +\end{example} +\pai{amsmath} багцад дээрхтэй т°стэй ц°°н тооны хірээлліід байдаг: \verb|flalign|, +\verb|gather|, \verb|multline| болон \verb|split|. Уг багцад хамаарах тушаал, хірээлліід болон бусад мэдээллийг тііний баримтаас авч болно. + +\subsection{Хіснэгт болон матрицууд} \label{sec:arraymat} + +\textbf{Хіснэгт} іісгэхэд \ei{array} хірээлэл ашиглагддаг. Энэ нь зарим талаараа \texttt{tabular} хірээлэлтэй ижилхэн юм. \verb|\\| тушаалаар м°р тасалдаг: +\begin{example} +\begin{equation*} + \mathbf{X} = \left( + \begin{array}{ccc} + x_1 & x_2 & \ldots \\ + x_3 & x_4 & \ldots \\ + \vdots & \vdots & \ddots + \end{array} \right) +\end{equation*} +\end{example} + + +\ei{array} хірээллээр \wi{інэмлэхій хэмжигдэхіінт функц}ийг илэрхийлэхдээ \ci{right}-ийн ард ``\verb|.|'' тэмдгийг тавьж баруун хаалтыг далдална:\footnote{“ін шиг ижил бітцийг \textsf{amsmath}-ийн \ei{cases} хірээллээр гаргаж бас болно.} +\begin{example} +\begin{equation*} +|x| = \left\{ + \begin{array}{rl} + -x & x < 0 \text{ іед}\\ + 0 & x = 0 \text{ іед}\\ + x & x > 0 \text{ іед} + \end{array} \right. +\end{equation*} +\end{example} + + + +\ei{array}-г м°н матриц\index{матриц} іісгэхэд ашиглаж болох боловч \pai{amsmath}-ийн \ei{matrix} хірээлэл иліі тохиромжтой байдаг. “інд зургаан янзын хаалт бий: \ei{matrix} (хаалтгій), \ei{pmatrix} $($, \ei{bmatrix} $[$, \ei{Bmatrix} $\{$, \ei{vmatrix} $\vert$ ба \ei{Vmatrix} $\Vert$. Баганын тоог \ei{array} шиг тодорхойлж °г°х шаардлагагій. Тііний баганын дээд хязгаар нь 10 боловч іінийг тохируулж °гч болдог (10 багана бол хангалттай тоо!): +\begin{example} +\begin{equation*} + \begin{matrix} + 1 & 2 \\ + 3 & 4 + \end{matrix} \qquad + \begin{bmatrix} + 1 & 2 & 3 \\ + 4 & 5 & 6 \\ + 7 & 8 & 9 + \end{bmatrix} +\end{equation*} +\end{example} + + + +\section{Математик горим дахь зай} \label{sec:math-spacing} + +\index{мат зай} Хэрэв \LaTeX{}-ын томьјонд хэрэглэж буй зай нь хангалтгій байвал тіінийг зай тохируулах дараах тушаалуудаар тааруулж болно: \ci{,} нь $\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ (\demowidth{0.166em}), \ci{:} нь $\frac{4}{18}\: +\textrm{quad}$ (\demowidth{0.222em}) ба \ci{;} нь $\frac{5}{18}\: +\textrm{quad}$ (\demowidth{0.277em}). Ердийн сул зай нь іг хоорондох зайтай ижил дундаж хэмжээний \verb*|\ | зайг іісгэдэг б°г°°д \ci{quad} (\demowidth{1em}) болон \ci{qquad} (\demowidth{2em}) нь іінээс иліі урт хэмжээний зай авна. \ci{quad}-ийн зай нь сонгосон фонтын `M' ісгийн °рг°нтэй эн чацуу байдаг. \verb|\!|\cih{"!} нь баруун тийш тэлж бус зіін тийш агшиж $-\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ ($-$\demowidth{0.166em}) хэмжээний зай авдаг. + +`d' нь дифференциалд босоо фонтоор бичигдэж байгааг анзаар: +\begin{example} +\begin{equation*} + \int_1^2 \ln x \mathrm{d}x \qquad + \int_1^2 \ln x \,\mathrm{d}x +\end{equation*} +\end{example} + + +Дараагийн жишээнд, ``$\,\mathrm{d}$''-г ($\text{d}$-ийн °мн° \demowidth{0.166em} зай авъя), \ci{ud} гэх шинэ тушаалаар т°л°°ліілэн товчоор илэрхийлье. +\ci{newcommand} тушаал нь баримтын эхлэлд зарлагдана. % More on +% \ci{newcommand} in section~\ref{} on page \pageref{}. To Do: Add label and +% reference to "Customising LaTeX" -> "New Commands, Environments and Packages" +% -> "New Commands". +\begin{example} +\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}} + +\begin{equation*} + \int_a^b f(x)\ud x +\end{equation*} +\end{example} + +Давхар интегралыг гаргахад интегралын тэмдэг хооронд сул зай ііснэ, іінийг \ci{!} тушаалаар шийдэж болох авч \pai{amsmath}-д іінийг хялбархан шийдэх \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint}, ба \ci{idotsint} гэх тушаалууд байдаг. + +\begin{example} +\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}} + +\[ \int\int f(x)g(y) + \ud x \ud y \] +\[ \int\!\!\!\int + f(x)g(y) \ud x \ud y \] +\[ \iint f(x)g(y) \ud x \ud y \] +\end{example} + +Энэ талаарх дэлгэрэнгійг \texttt{testmath.tex} (\AmS-\LaTeX-ээс гаргасан) эсвэл \companion{} товхимлын 8-р білгээс сонирхоно уу. + +\subsection{“л ізэгдэгч} + +\LaTeX{}-д \verb|^| ба \verb|_| тэмдэгтіідийг текстэд босоо жигдлэлт хийхэд ашиглаж болдог. \ci{phantom} тушаалаар тодорхой тэмдэгтийн уртаар зай авч болдгийг жишээгээр ізіілье: +\begin{example} +\begin{equation*} +{}^{14}_{6}\text{C} +\qquad \text{ііний оронд} \qquad +{}^{14}_{\phantom{1}6}\text{C} +\end{equation*} +\end{example} +Дээрх жишээнд ізіілсэн шиг олон изотоптой томьјог хялбархан бэлтгэе гэвэл химийн томьјог бэлтгэх зориулалттай \pai{mhchem} багцыг ашиглахад хангалттай. + + +\section{Математик фонт сонголт}\label{sec:fontsz} +Математикийн фонтуудыг \pageref{mathalpha}-р хуудасны \ref{mathalpha}-р хіснэгтэд ізіілэв. +\begin{example} + $\Re \qquad + \mathcal{R} \qquad + \mathfrak{R} \qquad + \mathbb{R} \qquad $ +\end{example} +Сіілийн хојр фонтод \pai{amssymb} буюу \pai{amsfonts} багц шаардагдана. + +Зарим тохиолдолд \LaTeX{}-д фонтын хэмжээг тааруулах хэрэг гардаг. “інийг математик горимд дараах д°рв°н тушаалаар гійцэтгэнэ: +\begin{flushleft} +\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$), + \ci{textstyle}~($\textstyle 123$), +\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) ба +\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$). +\end{flushleft} + +Хэрэв $\sum$ тэмдэг бутархайд ороход, \LaTeX{}-д ііний хэмжээг тодорхойлж °г°°гій л бол энэ нь текст горимоор буюу жижгээр гарах болно: +\begin{example} +\begin{equation*} + R = \frac{\displaystyle{ + \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) + (y_i- \bar{y})}} + {\displaystyle{\left[ + \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 + \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2 + \right]^{1/2}}} +\end{equation*} +\end{example} +Хэмжээг °°рчл°х нь голдуу томоохон ійлдліід болон хязгааруудад хэрэглэгддэг. + +% This is not a math accent, and no maths book would be set this way. +% mathop gets the spacing right. + + +\subsection{Тод тэмдгіід} +\index{тод тэмдгіід} + +\LaTeX{}-д тод тэмдгіідийг олонтаа хэрэглэх нь хялбаргій. \verb|\mathbf| тушаалаар математик налуу ісгийг босоо болгож тодруулдаг бол грек жижиг ісгийг тодруулдаггій. Эдгээр дутагдлыг \ci{boldmath} н°х°ж болох боловч \emph{энэ тушаал нь математик горимын гадна ійлчилдэг}: +\begin{example} +$\mu, M \qquad +\mathbf{\mu}, \mathbf{M}$ +\qquad \boldmath{$\mu, M$} +\end{example} + +Дээрх хіндрэлийг иліі хялбараар \pai{amsbsy} (\pai{amsmath}-д агуулагдах) болон \texttt{tools} бірдлийн \pai{bm} багцуудад хамаарах \ci{boldsymbol} тушаалыг ашиглаж шийдэж болно: + +\begin{example} +$\mu, M \qquad +\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$ +\end{example} + + +\section{Теорем, Лемміід, \ldots} + +Математикийн эх бэлтгэх явцад ``Лемм'', ``Тодорхойлолт'', ``Аксиом'' мэтийн нэгэн хэвийн хірээлліідийг ашиглах шаардлага гарч болох юм. +\begin{lscommand} +\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{нэр}\verb|}[|\emph{тоолуур}\verb|]{|% + \emph{текст}\verb|}[|\emph{білэг}\verb|]| +\end{lscommand} +\emph{нэр} гэсэн хувьсагчид ``теорем''-ыг заах товчилсон нэрийг, \emph{текст} хувьсагчид ``теорем''-ыг т°л°°л°х нэрийг тус тус оруулна. + +Д°рв°лжин хаалтад орсон туслах чанарын хувьсагчуудаар ``теорем''-ын дугаарлалтыг тодорхойлно. \emph{тоолуур} хувьсагч нь \emph{нэр} біхий ``теорем''-г заах б°г°°д уг тоолуурыг дараагийн ``теорем''-д іргэлжліілэн ашиглана. \emph{білэг} гэсэн хувьсагчийг ``теорем''-д білгийн дугаарыг хамааруулан тоолоход ашиглана. + +Баримтын эхлэлд \ci{newtheorem} тушаалыг зарласны ір дінд дараах тушаалыг биеліілэх боломж бірдэнэ. +\begin{code} +\verb|\begin{|\emph{нэр}\verb|}[|\emph{текст}\verb|]|\\ +Сонирхож буй теорем\\ +\verb|\end{|\emph{нэр}\verb|}| +\end{code} + +\pai{amsthm} багц (\AmS-\LaTeX-ийн) нь \ci{theoremstyle}\verb|{|\emph{загвар}\verb|}| тушаалаар теоремын дараах гурван т°рлийн загварыг санал болгодог: \texttt{definition} (гарчгийг тодоор, текстийг босоогоор), +\texttt{plain} (гарчгийг тодоор, текстийг налуугаар) буюу \texttt{remark} (гарчгийг налуугаар, текстийг налуугаар). + +Онолын біх тодорхойлолтыг іігээр тэмдэглэж болно. \verb|\newtheorem| хірээллийг хэрхэн ашиглахыг дараах жишээгээр ізіілье. + +% actually define things +\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law} +\theoremstyle{plain} \newtheorem{jury}[law]{Jury} +\theoremstyle{remark} \newtheorem*{marg}{Margaret} + +Эхэлж теоремуудыг тодорхойлно: + +\begin{verbatim} +\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law} +\theoremstyle{plain} \newtheorem{jury}[law]{Jury} +\theoremstyle{remark} \newtheorem*{marg}{Margaret} +\end{verbatim} + +\begin{example} +\begin{law} \label{law:box} +Don't hide in the witness box +\end{law} +\begin{jury}[The Twelve] +It could be you! So beware and +see law~\ref{law:box}.\end{jury} +\begin{marg}No, No, No\end{marg} +\end{example} + +Дээрх жишээнд ``Jury'' болон ``Law'' гэсэн теоремуудыг нэгэн дугаарлалтад хамруулжээ. Д°рв°лжин хаалтад байгаа хувьсагч нь теоремд гарчиг буюу ижил зійлийг тодотгоход ашиглагдаж байна. +\begin{example} +\newtheorem{mur}{Мэрфи}[section] + +\begin{mur} Хийх хэд хэдэн +арга зам байгаагийн аль нэг +эрсдэлтэйг нь хэн нэгэн +сонгож таараа.\end{mur} +\end{example} + +``Мэрфи''-гийн теоремыг тухайн дэд білгийн дугаартай хослуулан дугаарлажээ. М°н іінээс гадна білэг эсвэл дэд хэсгийн дугаарыг ашиглаж бас болно. + +\pai{amsthm} багцад \ei{proof} хірээлэл бас байдаг. + +\begin{example} +\begin{proof} +\[E=mc^2\] +гэдгээс илэрхий. +\end{proof} +\end{example} + +\ci{qedhere} тушаалаар `баталгааг т°гсг°х' тэмдгийн байршлыг °°рчилж нэг м°р ахиулан тавьж болно. + +\begin{example} +\begin{proof} +\[E=mc^2 \qedhere\] +гэдгээс илэрхий. +\end{proof} +\end{example} + +Теоремыг т°гсг°х тэмдгийг \pai{ntheorem} багцад нэмэлт сонголтыг тодорхойлон °°рчилж болно. + + +% + +% Local Variables: +% TeX-master: "lshort" +% mode: latex +% mode: flyspell +% End: |