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author | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2017-12-18 22:33:25 +0000 |
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aomart (17dec17)
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Includes typeset documentation # archive: all clean - tar -C .. -czvf ../$(PACKAGE).tgz --exclude '*~' --exclude '*.tgz' --exclude '*.zip' --exclude CVS $(PACKAGE) + COPYFILE_DISABLE=1 \ + tar -C .. -czvf ../$(PACKAGE).tgz --exclude '*~' \ + --exclude '*.tgz' --exclude '*.zip' --exclude CVS $(PACKAGE) mv ../$(PACKAGE).tgz . zip: all clean diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/README b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/README index ac8c9cb959e..9ceea256591 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/README +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/README @@ -1,12 +1,15 @@ LaTeX Class for The Annals of Mathematics Boris Veytsman - Version 1.20 + Version 1.21 This package provides the class for typesetting articles for The Annals of Mathematics, http://annals.princeton.edu/. Changes: + Version 1.21 + Better support of internationalization + Version 1.20 Print primary and secondary subjects separately We no longer print url if doi is present diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomart.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomart.pdf Binary files differindex 9fd50e7bc6c..b55d158b22f 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomart.pdf +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomart.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 00000000000..52c51116121 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.tex new file mode 100644 index 00000000000..b9d2a2b2150 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\documentclass{aomart} +\usepackage[utf8]{inputenx} +\usepackage[english,frenchb]{babel} +\title{Théorème intégral de Cauchy} +\author{Wikip\'edia} +\address{\url{https://fr.wikipedia.org/}} +\copyrightnote{Droit d'auteur: les textes sont disponibles sous + licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes + conditions; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les + conditions d’utilisation pour plus de détails, ainsi que les crédits + graphiques. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez + comment citer les auteurs et mentionner la licence.} +\volumenumber{160} +\issuenumber{1} +\publicationyear{2017} +\papernumber{12} +\startpage{17} +\endpage{} + +\begin{document} + +{\selectlanguage{french}% We really do not need this since French is + % the main language of the paper +\begin{abstract} + En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de + Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales + curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après + ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes + points et si une fonction est holomorphe «entre» les deux chemins, + alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont + égales. +\end{abstract}} + +{\selectlanguage{english}% + \begin{abstract} + In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the + Cau\-chy–Gou\-r\-sat theorem) in complex analysis, named after + Augustin-Louis Cauchy, is an important statement about line + integrals for holomorphic functions in the complex + plane. Essentially, it says that if two different paths connect + the same two points, and a function is holomorphic everywhere in + between the two paths, then the two path integrals of the function + will be the same. + \end{abstract}} + +\maketitle + +\tableofcontents + +\section{Énoncé} + +Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (c'est-à-dire +les chemins dont le point de départ est confondu avec le point +d'arrivée) de la manière suivante. + +\begin{description} +\item[Soient] + \begin{enumerate} + \item $U$ un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$; + \item $f : U \to \mathbb{C}$ une fonction continue sur $U$ et + possédant une dérivée complexe sauf éventuellement en un nombre + fini de points; + \item $\gamma$ un lacet rectifiable dans $U$. + \end{enumerate} + + \item[Alors] + \begin{displaymath} + \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0. + \end{displaymath} + \end{description} + +\section{Condition de simple connexité} + +La condition que $U$ est simplement connexe signifie que $U$ n'a pas +de «trou»; par exemple, tout disque ouvert +$U=\{z,\mid z-z_{0}\mid <r\}$, satisfait à cette condition. + +La condition est cruciale; par exemple, si $\gamma$ est le cercle +unité alors l'intégrale sur ce lacet de la fonction $f(z) = 1/z$ est +non nulle; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici +puisque $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$. + +\section{Démonstration} + +Par des arguments de continuité uniforme de $f$ sur des +$\epsilon$-voisinages compacts de l'image de $\gamma$ dans $U$, +l'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est limite d'intégrales de $f$ sur des +lacets polygonaux~\cite[p.~111]{Hahn96}. Il suffit alors, pour +conclure, d'invoquer le lemme de Goursat. + +On peut également dans le cas où f est holomorphe en tout point de $U$ +considérer la famille de lacets $\gamma _{{\alpha + }}(t)=z_{0}+(1-\alpha )(\gamma (t)-z_{0})$ avec $\alpha \in [0,1]$. + +\section{Conséquences} + +\begin{enumerate} +\item Sous les hypothèses du théorème, $f$ possède sur $U$ une + primitive complexe $F$. En effet, quitte à remplacer $U$ par l'une + de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En + fixant alors un point arbitraire $z_0$ de U et en posant + \begin{displaymath} + F(z)=\int _{{P(z)}}f(\xi )\,{\mathrm d}\xi , + \end{displaymath} + où $P(z)$ est n'importe quel chemin rectifiable dans $U$ de $z_0$ à + $z$ (d'après le théorème, la valeur de $F(z)$ ne dépend pas du choix + de $P(z)$) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du + premier théorème fondamental de l'analyse, on en déduit alors que + $F$ est holomorphe sur $U$ et que $F’ = f$. + + +\item Pour une telle primitive on a immédiatement: pour tout chemin + continûment différentiable par morceaux $\gamma$ de $a$ à $b$ dans + $U$: + \begin{displaymath} + \int _{\gamma }f(z)\,{\mathrm {d}}z=F(b)-F(a). + \end{displaymath} + + \item Le peu d'hypothèses requises sur $f$ est très intéressant, parce + qu'on peut alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces + fonctions, et en déduire qu'elles sont en fait indéfiniment + dérivables. + + \item Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé + par le théorème des résidus. + + \item Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme + légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que + $U$ soit un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$ dont la + frontière est un lacet simple rectifiable $\gamma$. Si $f$ est une + fonction holomorphe sur $U$ et continue sur l'adhérence de $U$, + alors l'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est nulle~\cite[p.~396 + et~420]{Lin11}. + + \end{enumerate} + +\section{Exemple} + +Pour tout complexe $\alpha$ , la fonction $f(z):=\frac {{\mathrm {e} + }^{\mathrm {i} z}}{z^{\alpha }}$, où l'on a choisi la +détermination principale de la fonction puissance, est holomorphe sur +le plan complexe privé de la demi-droite $ \mathbb {R} ^{-}$. Son +intégrale sur tout lacet de ce domaine est donc nulle. Ceci permet de +montrer que les intégrales semi-convergentes +\begin{displaymath} +J_{c}(\alpha ):=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos t}{t^{\alpha + }}}\,\mathrm {d} t\quad {\text{et}}\quad J_{s}(\alpha ):=\int +_{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t^{\alpha }}}\,\mathrm {d} t\quad +{\text{pour}}\quad \mathrm {Re} (\alpha )\in \left]0,1\right[ +\end{displaymath} +(où $\mathrm {Re}$ désigne la partie réelle) sont respectivement +égales à +\begin{displaymath} +J_{c}(\alpha )=\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha )\quad +{\text{et}}\quad J_{s}(\alpha )=\sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma +(1-\alpha ), +\end{displaymath} +où $\Gamma$ \ désigne la fonction gamma et $\cos$, $\sin$ sont les +fonctions cosinus et sinus de la variable complexe. + +Notons $\alpha =a+\mathrm {i} b$ avec $a\in \left]0,1\right[$ et $b\in +\mathbb {R}$. On intègre $f$ (l'intégrale est nulle) sur le lacet +formé du segment réel $\left[\varepsilon ,R\right]$ et du segment +imaginaire pur $\mathrm {i} \left[R,\varepsilon \right]$, joints par +les quarts de cercles $R\mathrm {e} ^{\left[0,\mathrm {i} \pi + /2\right]}$ et $\varepsilon \mathrm {e} ^{\left[\mathrm {i} \pi /2,0\right]}$, puis on fait tendre $R$ vers $ +\infty $ et $\varepsilon$ vers $0$. + +Les intégrales sur les deux quarts de cercles tendent vers $0$ car +\begin{multline*} +\left|\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} R\mathrm + {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}{R^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm + {i} \alpha \theta }}}\mathrm {i} R\mathrm {e} ^{\mathrm {i} + \theta }\,\mathrm {d} \theta \right| \\ +\leq R^{1-a}\int _{0}^{\pi + /2}{\mathrm {e} }^{-R\sin \theta }\,\mathrm {d} \theta \leq +R^{1-a}\int _{0}^{\pi /2}{\mathrm {e} }^{-2R\theta /\pi }\,\mathrm {d} +\theta ={\frac {\pi }{2}}R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R}) +\end{multline*} +et +\begin{displaymath} +\lim _{R\to +\infty }R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R})=\lim _{\varepsilon + \to 0^{+}}\varepsilon ^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-\varepsilon })=0. +\end{displaymath} +L'intégrale sur le segment imaginaire est égale à +\begin{displaymath} +\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {{\mathrm {e} }^{-y}}{y^{\alpha + }\mathrm {e} ^{\alpha \mathrm {i} \pi /2}}}\mathrm {i} \,\mathrm +{d} y=-\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\int _{\varepsilon +}^{R}y^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-y}\,\mathrm {d} y\to -\mathrm {e} +^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha ). +\end{displaymath} +L'intégrale sur le segment réel tend vers +$J_{c}(\alpha )+\mathrm {i} J_{s}(\alpha )$, qui est donc égal à +$\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$. + +De même (en rempaçant $b$ par $-b$, +$J_{c}({\overline {\alpha }})+\mathrm {i} J_{s}({\overline {\alpha + }})=\mathrm {e} ^{(1-{\overline {\alpha }})\mathrm {i} \pi /2}\Gamma +(1-{\overline {\alpha }})$ donc (en prenant les conjugués des deux +membres) $J_{c}(\alpha )-\mathrm {i} J_{s}(\alpha +)=\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$. + +On a donc bien +\begin{multline*} +2J_{c}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma +(1-\alpha )+\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma +(1-\alpha )=\\ +2\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha ) +\end{multline*} +et +\begin{multline*} +2\mathrm {i} J_{s}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi + /2}\Gamma (1-\alpha )-\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi + /2}\Gamma (1-\alpha )=\\ +2\mathrm {i} \sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma +(1-\alpha ). +\end{multline*} +Par exemple, +$\frac {1}{2}J_{c}(1/2)={\frac {1}{2}}J_{s}(1/2)={\frac {1}{2}}{\sqrt +{\frac {\pi }{2}}}$ (l'intégrale de Fresnel). On peut de plus +remarquer que +$\lim _{\mathrm {Re} (\alpha )<1,\alpha \to 1}J_{s}(\alpha )={\frac + {\pi }{2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$ +(l'intégrale de Dirichlet). + +\section{Surfaces de Riemann} + +Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la +géométrie des surfaces de Riemann. + +\bibliography{aomsample} +\bibliographystyle{aomplain} + + +\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.bib b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.bib index 1c77e663682..178a4349639 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.bib +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.bib @@ -277,3 +277,17 @@ url = {http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1973a/art.pdf} address = {Reading, MA}, titlenote = {with illustrations by Duane Bibby} } + +@Book{Hahn96, + author = {Liang-shin Hahn and Bernard Epstein}, + title = {Classical Complex Analysis}, + publisher = {Jones \& Bartlett}, + year = 1996} + +@Book{Lin11, + author = {I-Hsiung Lin}, + title = {Classical Complex Analysis: A Geometric Approach}, + publisher = {World Scientific}, + year = 2011, + volume = 1} + diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.pdf Binary files differindex 7ed40e39472..96e744afdaa 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.pdf +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample.pdf diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample1.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample1.pdf Binary files differindex f5a69489b4f..860f2696b45 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample1.pdf +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomsample1.pdf |