summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/support/chklref/test
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'support/chklref/test')
-rw-r--r--support/chklref/test/Makefile22
-rw-r--r--support/chklref/test/chklreftest-solution.txt16
-rw-r--r--support/chklref/test/chklreftest.tex61
-rw-r--r--support/chklref/test/test2-solution.txt20
-rw-r--r--support/chklref/test/test2.tex358
-rw-r--r--support/chklref/test/test21.tex119
-rw-r--r--support/chklref/test/test22.tex7
-rw-r--r--support/chklref/test/test23.tex8
-rw-r--r--support/chklref/test/test3.tex39
-rw-r--r--support/chklref/test/tof-solution.txt11
-rw-r--r--support/chklref/test/tof.tex20
11 files changed, 0 insertions, 681 deletions
diff --git a/support/chklref/test/Makefile b/support/chklref/test/Makefile
deleted file mode 100644
index 8050ea9098..0000000000
--- a/support/chklref/test/Makefile
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-TESTFILES=test2 chklreftest tof
-
-all: test clean
-
-test:
- for f in ${TESTFILES}; \
- do \
- chklref -q "$$f.tex" | tee "${TMPDIR}/$$f.txt"; \
- if test -f "$$f-solution.txt"; then\
- if diff -q "$$f-solution.txt" "${TMPDIR}/$$f.txt"; then\
- echo "-- Check $$f.tex OK";\
- else\
- echo "-- Check $$f.tex FAIL";\
- fi;\
- fi;\
- done
-
-clean:
- @echo "Cleaning all..."
- @\rm -f *.aux *.toc *.out *~ *.blg *.log *.dvi *.tex.chk
-
-distclean: clean
diff --git a/support/chklref/test/chklreftest-solution.txt b/support/chklref/test/chklreftest-solution.txt
deleted file mode 100644
index ce2286a97b..0000000000
--- a/support/chklref/test/chklreftest-solution.txt
+++ /dev/null
@@ -1,16 +0,0 @@
-************************************
-** Labels in starred environments **
-************************************
-
-*******************
-** Unused Labels **
-*******************
--- chklreftest.tex line 10: remove label sec:testWithPihat
--- chklreftest.tex line 13: remove label ass:C
--- chklreftest.tex line 15: remove label ass:C:First
--- chklreftest.tex line 16: remove label ass:C:Second
--- chklreftest.tex line 33: remove label mult
-
-**********************************
-** Uncited Bibliography entries **
-**********************************
diff --git a/support/chklref/test/chklreftest.tex b/support/chklref/test/chklreftest.tex
deleted file mode 100644
index 3fc4f61b38..0000000000
--- a/support/chklref/test/chklreftest.tex
+++ /dev/null
@@ -1,61 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-
-\usepackage{amsmath,amsthm}
-
-
-\newtheorem{ass}{Assumption}
-
-\begin{document}
-\section{Tests with Estimated Nuisance Parameters}
-\label{sec:testWithPihat}
-
-\begin{ass}
- \label{ass:C}
- \begin{enumerate}
- \item\label{ass:C:First} Here is the first condition.
- \item\label{ass:C:Second} Here is another.
- \end{enumerate}
-\end{ass}
-
-\begin{equation*}
- 2x +3
-\end{equation*}
-
-\begin{itemize}
-\item \label{it:new} blabla
-\end{itemize}
-
-\ref{it:new}
-
-\begin{multline}
- \label{mult}
- 3x + 4
-\end{multline}
-
-This file contains several bibliography entries but not all of them are
-explicitly cited. Actually, only explicit references to \cite{mpitb} and
-\cite{lambertonlapeyre} can be found.
-
-\begin{thebibliography}{X}
-\bibitem{mpitb}
- {Javier Fern\'andez Baldomero and Mancia Anguita}.
- \newblock Mpi toolbox (mpitb).
- \newblock Technical report, Depto. de Arquitectura y Tecnolog\'{\i}a de
- Computadores, ETSI Inform\'atica, Universidad de Granada, 2000--2008.
- \newblock \verb!http://atc.ugr.es/javier-bin/mpitb!.
-
-\bibitem{lambertonlapeyre}
- D.~Lamberton and B.~Lapeyre.
- \newblock {\em Introduction to stochastic calculus applied to finance}.
- \newblock Chapman \& Hall/CRC Financial Mathematics Series. Chapman \&
- Hall/CRC, Boca Raton, FL, second edition, 2008.
-
-\bibitem{premia}
- {MathFi Research Group}.
- \newblock A platform for pricing financial derivatives.
- \newblock Technical report, Inria and Universit\'e Paris Est, CERMICS, \'Ecole de
- Ponts, 2008.
- \newblock \verb!http://www-rocq.inria.fr/mathfi/Premia!.
-\end{thebibliography}
-\end{document}
-
diff --git a/support/chklref/test/test2-solution.txt b/support/chklref/test/test2-solution.txt
deleted file mode 100644
index 0a586c8dc1..0000000000
--- a/support/chklref/test/test2-solution.txt
+++ /dev/null
@@ -1,20 +0,0 @@
-************************************
-** Labels in starred environments **
-************************************
--- test21.tex line 106: consider using a STAR environment
-
-*******************
-** Unused Labels **
-*******************
--- test2.tex line 113: remove label alig
--- test2.tex line 119: remove label mult
--- test21.tex line 18: remove label eq:dS_u_v
--- test22.tex line 3: remove label eq:22
--- test22.tex line 3: remove label eq:22
--- test2.tex line 346: remove label it:1
--- test2.tex line 352: remove label it:2
--- test23.tex line 4: remove label eq:23
-
-**********************************
-** Uncited Bibliography entries **
-**********************************
diff --git a/support/chklref/test/test2.tex b/support/chklref/test/test2.tex
deleted file mode 100644
index 1b1b98b031..0000000000
--- a/support/chklref/test/test2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,358 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,11pt,twoside]{article}
-\usepackage{a4wide}
-\usepackage{latexsym}
-\usepackage[francais]{babel}
-\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm}
-\usepackage[latin1]{inputenc}
-\usepackage{enumitem}
-\usepackage[bookmarks=true, colorlinks=true, linkcolor=blue, hypertexnames=false]{hyperref}
-
-
-%% --------------------------------------------
-\hbadness=10000
-\emergencystretch=\hsize
-\tolerance=9999
-%% \textheight=9.0in
-%% --------------------------------------------
-\parindent=0pt
-%% math envs
-\theoremstyle{plain}
-\newtheorem{thm}{Théorème}
-\newtheorem{prop}{Proposition}
-\newtheorem{lemma}{Lemme}
-\newtheorem*{remark}{Remarque}
-\newtheorem{cor}{Corollary}
-\newtheorem*{rem}{Remarque}
-\newtheorem*{algo}{Algorithme}
-\theoremstyle{definition}
-\newtheorem{exo}{Exercice}
-\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
-
-
-%%%%%% new macros
-
-\def\ca{{\mathcal A}}
-\def\cb{{\mathcal B}}
-\def\cc{{\mathcal C}}
-\def\cd{{\mathcal D}}
-\def\ce{{\mathcal E}}
-\def\cf{{\mathcal F}}
-\def\cg{{\mathcal G}}
-\def\ch{{\mathcal H}}
-\def\ci{{\mathcal I}}
-\def\cj{{\mathcal J}}
-\def\ck{{\mathcal K}}
-\def\cl{{\mathcal L}}
-\def\cn{{\mathcal N}}
-\def\cm{{\mathcal M}}
-\def\co{{\mathcal O}}
-\def\cp{{\mathcal P}}
-\def\cs{{\mathcal S}}
-\def\cu{{\mathcal U}}
-\def\cv{{\mathcal V}}
-\def\cw{{\mathcal W}}
-\def\cx{{\mathcal X}}
-\def\C{{\mathbb C}}
-\def\D{{\mathbb D}}
-\def\E{{\mathbb E}}
-\def\L{{\mathbb L}}
-\def\N{{\mathbb N}}
-\def\P{{\mathbb P}}
-\def\Q{{\mathbb Q}}
-\def\R{{\mathbb R}}
-\def\S{\Sigma}
-\def\Z{{\mathbb Z}}
-\def\s{\star}
-\def\rP{{\rm P}}
-\def\rQ{{\rm Q}}
-\def\rpartial{{\rm d}}
-\def\ind#1{{\bf 1}_{\left\{ #1 \right\}}}
-\def\id{{\mathcal I}}
-\def\abs#1{\left|#1\right|}
-\def\norm#1{\mathop{\left\| #1 \right\|}\nolimits}
-\def\supp{{\rm supp}\;}
-\def\Det{{\rm det}\;}
-\def\Card{{\rm Card}\;}
-\def\inv#1{\mathop{\frac{1}{ #1}}\nolimits}
-\def\expp#1{\mathop {\mathrm{e}^{ #1}}}
-\def\interior#1{\mathop {\mathrm{int}(#1)}}
-\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\def\dpartsec#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}
-\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\def\d#1#2{\frac{d #1}{d #2}}
-\def\tr#1{{#1}^{{\scriptstyle\mathrm T}}}
-
-%% proba et espérances
-\def\proba#1{\P\left(#1 \right)}
-\def\esp#1{\E\left(#1 \right)}
-\def\espbracket#1{\E\left[#1 \right]}
-\def\espcond#1#2{\E\left(#1 \left| #2 \right. \right)}
-\def\espbracketcond#1#2{\E\left[#1 \left| #2 \right. \right]}
-\def\Cov{\mathop{\rm Cov}\nolimits}
-\def\Var{\mathop{\rm Var}\nolimits}
-\def\Covop#1{\mathop{\rm Cov}\nolimits\left(#1\right)}
-\def\Varop#1{\mathop{\rm Var}\nolimits\left(#1\right)}
-
-%% a few abbrevs
-\def\BS{Black Scholes}
-
-
-\title{Projets du cours MAE52}
-\date{\today}
-\author{J\'er\^ome Lelong}
-
-
-\begin{document}
-\maketitle
-
-On rappelle que dans le modèle de \BS\ l'évolution de l'actif $(S_t)_{0\le t \le
- T}$ est modélisée par la dynamique
-\begin{align}
- \label{alig}
- dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
-\end{align}
-
-
-\begin{multline}
- \label{mult}
- dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
-\end{multline}
-où $\sigma>0$ représente la volatilité du modèle et $r>0$ représente le taux
-d'intérêt sans risque.
-
-
-\section{Méthodes d'arbre pour les options américaines}
-
-On proposer de calculer le prix du put américain dans un modèle d'arbre.
-\begin{itemize}
-\item Implémenter la résolution de l'équation de programmation dynamique dans un
- modèle d'arbre.
-\item Comparer les résultats pour les modèles de Cox Ross Rubinstein et de
- Kamrad Ritchken
-\item Etudier la vitesse de convergence quand le pas de l'arbre tend vers $0$.
-\end{itemize}
-
-
-\section{Inéquation aux dérivées partielles pour les options américaines}
-
-
-On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
-Scholes en résolvant l'inéquation aux dérivées partielles satisfaites par sa
-fonction prix.
-
-\subsection{Formulation du problème}
-
-
-On considère l'opérateur elliptique $A$ défini par
-\begin{equation*}
- \cl = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} -r
-\end{equation*}
-où $r$ et $\sigma$ sont deux constantes réelles.
-On se donne une fonction $f : \R \longrightarrow \R_+$, un ouvert $\co_l = ]-l, l[$
-et on cherche à résoudre le problème suivant
-\begin{equation}
- \label{eq:ineq_diff}
- \tag{$E$}
- \left\{
- \begin{array}{l}
- \dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x) \leq 0 \quad \mbox{dans $[0,T] \times \co_l$}\\
- v(t,x) \geq f(x)\\
- (v(t,x) - f(x)) \left(\dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x)\right) = 0 \quad \mbox{dans $[0,T]
- \times \co_l$}\\
- v(T,x) = f(x)\\
- \dpart{v}{x}(t, \pm l) = 0.
- \end{array}
- \right.
-\end{equation}
-
-Soit $v(t, y)$ le prix à l'instant $t$ du put américain dans le modèle de
-Black Scholes si le sous-jacent vaut $\expp{y}$. La fonction $v$ est solution du
-système~\ref{eq:ineq_diff} avec $l=\infty$ et $f(x) = (K - \expp{x})_+$.
-
-\subsection{Méthode de résolution}
-\subsubsection{discrétisation du système d'inéquations}
-
-Nous allons maintenant voir comment résoudre le système~(\ref{eq:ineq_diff}) par une
-méthode numérique. On se propose d'utiliser une méthode de différences finies pour
-discrétiser le système à la fois en temps et en espace.
-
-Soit $N \in \N^*$, on note $h = \frac{2l}{N+1}$ et $x_i = -l + ih$ pour $0 \leq i
-\leq N+1$. On définit le vecteur $f_h$ par $f_h^i=f(x_i)$.
-
-Pour toute fonction $u: \co_l \longrightarrow \R$, on adopte la notation $u_h =
-{(u_h^i)}_{1 \leq i \leq N} = {(u(x_i))}_{1 \leq i \leq N}$. On considère la
-discrétisation de l'opérateur $\cl$ suivante
-\begin{equation*}
- (\cl_h u_h)_i = \frac{\sigma^2}{2h^2} (u_h^{i+1} - 2 u_h^i + u_h^{i-1}) + \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{1}{2h} (u_h^{i+1} - u_h^{i-1}) -r u_h^i
-\end{equation*}
-L'opérateur $\cl_h$ peut donc être représenté par la matrice tridiagonale suivant
-\[
-\cl_h =
-\begin{pmatrix}
- \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 & 0 \\
- \alpha & \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 \\
- 0 & \alpha & \beta & \gamma & \dots & 0 \\
- 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
- 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta & \gamma \\
- 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta
-\end{pmatrix}
-\]
-avec
-\[
-\begin{cases}
- \alpha = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} - \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right), \\
- \beta = & -\frac{\sigma^2}{h^2} - r, \\
- \gamma = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2}\right).
-\end{cases}
-\]
-Une fois cette discrétisation en espace effectuée, on se ramène à une équation
-différentielle ordinaire ne portant que sur le temps
-\begin{equation}
- \label{eq:ineq_diff_h}\tag{$E_h$}
- \begin{cases}
- \displaystyle \d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t) \leq 0 \quad \forall t \in
- [0,T],\\
- u_h(t) \geq f_h\\
- (u_h(t) - f) \left(\d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t)\right) = 0 \quad \mbox{dans
- $[0,T]$}\\
- u_h(T) = f_h\\
- \d{v}{x}(t, \pm l) = 0.
- \end{cases}
-\end{equation}
-Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $\R^d$, on note $x \leq y$ pour $x_i \leq y_i
-\; \forall 1 \leq i \leq d$. Il ne reste plus alors qu'à discrétiser
-l'équation~(\ref{eq:ineq_diff_h}) grâce à des $\theta-$schémas. On note $k =
-\frac{T}{M}$ le pas de discrétisation en temps. On approche alors la solution $u_h$
-de~(\ref{eq:ineq_diff_h}) à l'instant $mk$ par $u_{h,k}^m$ défini par
-\begin{equation}
- \label{eq:sys_discre_k_h}\tag{$E_{h,k}$}
- \begin{cases}
- u_{h,k}^M = f_h, \\
- \mbox{Et pour $0 \leq m \leq M-1$}\\
- u_{h,k}^m \geq f_h \\
- u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
- \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) \leq 0 \\
- \left(u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
- \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) , u_{h,k}^m - f_h\right) = 0
- \end{cases}
-\end{equation}
-où $(x,y)$ est le produit scalaire de $\R^N$.
-
-En introduisant les notations matricielles suivantes
-\begin{equation*}
- \begin{cases}
- T = & I - k\theta \cl_h\\
- G = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) u_{h,k}^{m+1}\\
- M = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right)
- \end{cases}
-\end{equation*}
-le système~(\ref{eq:sys_discre_k_h}) se réécrit
-\begin{equation*}
- \begin{cases}
- T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1} & \geq 0 \\
- u_{h,k}^m - u_{h,k}^M & \geq 0\\
- \tr{(T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1})} (u_{h,k}^m - u_{h,k}^M) & = 0.
- \end{cases}
-\end{equation*}
-La matrice $T$ est tridiagonale
-\[
-T =
-\begin{pmatrix}
- a + b & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\
- a & b & c & 0 & \dots & 0 \\
- 0 & a & b & c & \dots & 0 \\
- 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
- 0 & 0 & \dots & a & b & c \\
- 0 & 0 & 0 & \dots & a & b+c
-\end{pmatrix}
-\]
-avec
-\[
-\begin{pmatrix}
- a & = & \theta k \left( -\frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right) \right) \\
- b & = & 1 + \theta k \left(\frac{\sigma^2}{h^2} + r\right) \\
- c & = & - \theta k \left( \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
- \frac{\sigma^2}{2} \right) \right).
-\end{pmatrix}
-\]
-A chaque pas $m$ de $M-1$ à $1$, il s'agit de résoudre un système d'inéquations linéaires
-
-
-\subsubsection{algorithme de résolution}
-
-Il existe plusieurs algorithmes permettant de résoudre un tel système d'inéquations
-linéaires. On propose ici d'utiliser la méthode dite par troncature.
-\begin{algo}
- Pour $m$ variant de $M-1$ à $1$, on résout
- \begin{equation*}
- T x = M u_{h,k}^{m+1},
- \end{equation*}
- puis on pose
- \begin{equation*}
- u_{h,k}^m = \max(x, f_h).
- \end{equation*}
-\end{algo}
-Pour assurer la convergence de l'algorithme ci-dessus, on veillera à ce que les paramètres
-vérifient les conditions suivantes
-\begin{equation*}
- \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} \leq \frac{\sigma^2}{h} \quad \mbox{et} \quad
- \frac{k}{2h} \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} < 1.
-\end{equation*}
-Ces conditions assurent que la matrice $T$ est coercive (c.à.d $\tr{x}Tx \leq c
-\tr{x}x$ avec $c>0$).
-
-\subsection{Travail demandé}
-
-\begin{itemize}
-\item Résoudre le système~\eqref{eq:ineq_diff} par la méthode détaillée
- ci-dessus.
-\item Dans la résolution du système linéaire, on s''efforcera de tirer profit
- dans la structure tribande de la matrice en utilisant une décomposition de
- type $Q = LU$, avec $L$ triangulaire inférieure et $U$ triangulaire. Ainsi le
- système $Qx = b$ se résout en 2 étapes $Ly=b$ puis $Ux =y$.
-\item On s'intéressa aux cas $\theta=0$, $\theta=1/2$ et $\theta=1$. Comparer la
- convergence pour ces différentes valeurs.
-\end{itemize}
-
-\section{Méthode de Monte Carlo pour les options américaines}
-
-On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
-Scholes par une méthode de Monte Carlo.
-
-\subsubsection*{Travail demandé}
-\begin{itemize}
-\item Il s'agit d'implémenter l'algorithme de
- Longstaff et Schwartz en dimension $1$.
-
- Pour la partie régression de l'algorithme, on pourra par exemple utiliser la
- base canonique des polynômes de degré inférieur à $n$ $(x^d, 0 \le d \le n)$. On
- pourra également ajouter à cette famille libre la fonction de payoff elle-même.
-
-\item Etudier la convergence en fonction du nombre de pas de temps, du nombre de
- fonctions de base et de nombre de tirages Monte Carlo.
-\end{itemize}
-
-
-\input{test21.tex}
-
-\input test23.tex
-
-\begin{itemize}
-\item \label{it:1} unused label
-\end{itemize}
-
-\include{test22}
-
-\begin{itemize}
-\item \label{it:2} unused label
-\end{itemize}
-
-
-
-\end{document}
-
diff --git a/support/chklref/test/test21.tex b/support/chklref/test/test21.tex
deleted file mode 100644
index 00f5d8f918..0000000000
--- a/support/chklref/test/test21.tex
+++ /dev/null
@@ -1,119 +0,0 @@
-\section{Options d'échange}
-
-\subsubsection*{Définition du modèle}
-
-On considère un modèle de \BS\ en dimension $2$. On pose $S_{t}=\left(S_{t}^{1},
- S_{t}^{2}\right)$ le vecteur des cours des actifs. Soit $\left(W_{t}^1,
- W_t^2\right)_{t\ge 0}$ $2$ mouvements Browniens standards de matrice de
-corrélation $\Gamma = \begin{pmatrix}
- 1 & \rho \\
- \rho & 1
-\end{pmatrix}$, avec $-1 < \rho < 1$ et de racine carrée $L$, obtenue par
-factorisation de Cholesky par exemple. Soit $r$ le taux d'intérêt (supposé
-constant), $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_d)$ le vecteur des volatilités et
-$S_{0}:=\left(S_{0}^{1},S_{0}^{2}\right)$ le vecteur des valeurs initiales des
-actifs (supposées déterministes). La dynamique du cours de l'actif $i$ est
-donnée par
-\begin{equation}
- \label{eq:dS_u_v}
- dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r\,dt + \sigma_{i} \, d W_t^i\right),
-\end{equation}
-ou de manière équivalente par
-\begin{equation*}
- dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r \,dt + \sigma_{i} \,L_i d B_t\right),
-\end{equation*}
-avec $B$ un M.B en dimension $2$ et $L_i$ la $i^{eme}-$ligne de la
-matrice $L$. On note $\cf=\sigma(W)=\sigma(B)$.
-
-On souhaite calculer le prix de l'option d'échange de payoff $(S_T^1 - S_T^2)_+$
-donné par
-\begin{equation}
- \label{eq:prix_echange}
- \expp{-r T} \espbracket{(S_T^1 - S_T^2)_+}.
-\end{equation}
-
-\subsubsection*{Travail demandé}
-
-\begin{itemize}
-\item Donner une formule fermée pour le prix~\eqref{eq:prix_echange}.
-\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
- Carlo classique.
-\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
- Carlo utilisant une technique de réduction de variance basée sur le conditionnement.
-\item Comparer les variances empiriques obtenues pour chacun des deux estimateurs.
-\end{itemize}
-
-
-\section{Pricing des options asiatiques par méthode de Monte Carlo et méthodes
- d'arbre}
-
-On s'intéresse au pricing du call asiatique à strike fixe de payoff
-\begin{align*}
- \left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+
-\end{align*}
-dans le modèle de Black Scholes
-\begin{itemize}
-\item Implémenter une méthode de Monte Carlo simple pour évaluer le prix du call
- asiatique
- \begin{equation}
- \label{eq:prix_asiatique}
- C=\espbracket{e^{-rT}\left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+}.
- \end{equation}
-\item Implémenter la technique de réduction de variance de Kemna et Vorst vue
- dans le cours MAE51.
-\item Implémenter le calcul du prix dans le modèle d'arbre CRR. On approche le
- sous-jacent $S$ par l'arbre binômial à $N$ pas de temps suivant
- \begin{align*}
- S_{n+1}=\left\{
- \begin{array}{cl}
- S_n e^{\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }p\\
- S_n e^{-\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }1-p
- \end{array}\right.
- \end{align*} où $h=\frac{T}{N}$ et $p=\frac{e^{\sigma
- \sqrt{h}}-e^{rh}}{e^{\sigma \sqrt{h}}-e^{-\sigma \sqrt{h}}}$. On approche
- $C$ défini par l'équation~\eqref{eq:prix_asiatique} par
- \begin{align*}
- C^N_0=(1+R)^{-N}\espbracket{\frac{1}{N}\left(\sum_{j=1}^{N-1}
- S_j+\frac{S_0+S_N}{2}\right)},
- \end{align*}
- où $R$ est tel que $1+R=e^{rh}$.
- On rappelle que $C^N_n$, le prix du call asiatique à l'instant $n$, peut
- s'écrire comme $C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)$. On rappelle aussi que puisque le
- prix actualisé de l'option est une martingale, on a
- \begin{align*}
- C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)=\frac{1}{1+R}&\left(p
- C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{-\sigma \sqrt{h}})\right.\\
- &\left.+(1-p)C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{\sigma \sqrt{h}})\right).
- \end{align*}
- On notera $\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1}
- S_j+\frac{S_0+S_n}{2}\right)$ la valeur approchée de l'intégrale
- $\displaystyle\frac{1}{nh}\int_0^{nh} S_u du$, et on montrera que
- \begin{align*}
- I_{n+1}=\frac{n}{n+1}I_n+\frac{S_n+S_{n+1}}{2}.
- \end{align*}
-\item Comparer les 3 méthodes.
-\end{itemize}
-
-\section{Pricing des options barrières par formule fermée et par ponts
- Browniens}
-
-On considère une option barrière call down and In dans le modèle de
-Black Scholes, c'est à dire de payoff
-
-
-\input{test22.tex}
-
-\begin{align}
- (S_T-K)_+\ind{\exists u \le T \,:\, S_u \le L}.
-\end{align}
-
-
-\begin{itemize}
-\item En utilisant la loi du couple $(W_T,\inf_{u\le T} W_u)$ rappelée en annexe
- donner une formule fermée pour le prix du Call Down and In.
-\item Implémenter une méthode de Monte Carlo pour calculer le prix.
-\item Utiliser les ponts Browniens pour estimer la probabilité de franchement de
- la barrière entre deux instants de discrétisation et implémenter la méthode de
- Monte Carlo améliorée ainsi obtenue.
-\end{itemize}
-
diff --git a/support/chklref/test/test22.tex b/support/chklref/test/test22.tex
deleted file mode 100644
index b83c5afdab..0000000000
--- a/support/chklref/test/test22.tex
+++ /dev/null
@@ -1,7 +0,0 @@
-
-\begin{equation}
- \label{eq:22}
- 3x + 4
-\end{equation}
-
-Yet another useless equation
diff --git a/support/chklref/test/test23.tex b/support/chklref/test/test23.tex
deleted file mode 100644
index 818175c2e2..0000000000
--- a/support/chklref/test/test23.tex
+++ /dev/null
@@ -1,8 +0,0 @@
-
-
-\begin{equation}
- \label{eq:23}
- 3x + 4
-\end{equation}
-
-Yet another useless equation
diff --git a/support/chklref/test/test3.tex b/support/chklref/test/test3.tex
deleted file mode 100644
index 8946bdd66f..0000000000
--- a/support/chklref/test/test3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,39 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,11pt,twoside]{article}
-\usepackage{a4wide}
-\usepackage{latexsym}
-\usepackage{fancyhdr}
-\usepackage[latin1]{inputenc}
-\usepackage{enumitem}
-\usepackage[round]{natbib}
-\usepackage{times}
-
-%%--------------------------------------------
-\hbadness=10000
-\emergencystretch=\hsize
-\tolerance=9999
-\textheight=9.0in
-%%--------------------------------------------
-
-\usepackage[english]{babel}
-
-
-
-
-\title{}
-\date{\today}
-\author{J\'er\^ome Lelong\footnote{MathFi Project, INRIA Paris-Rocquencourt, Domaine de Voluceau, 78153 Le Chesnay, FRANCE.\newline Email:\texttt{lelong@cermics.enpc.fr}}}
-
-
-\begin{document}
-\maketitle
-
-une première équation
-
-\begin{equation}
- \label{eq:1}
- 2x + 3
-\end{equation}
-
-\ref{eq:1}
-
-\end{document}
diff --git a/support/chklref/test/tof-solution.txt b/support/chklref/test/tof-solution.txt
deleted file mode 100644
index 28a975b233..0000000000
--- a/support/chklref/test/tof-solution.txt
+++ /dev/null
@@ -1,11 +0,0 @@
-************************************
-** Labels in starred environments **
-************************************
-
-*******************
-** Unused Labels **
-*******************
-
-**********************************
-** Uncited Bibliography entries **
-**********************************
diff --git a/support/chklref/test/tof.tex b/support/chklref/test/tof.tex
deleted file mode 100644
index 5a405aadfe..0000000000
--- a/support/chklref/test/tof.tex
+++ /dev/null
@@ -1,20 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{hyperref}
-\usepackage{todonotes}
-
-\begin{document}
-
-\tableofcontents
-\listoftodos
-
-
-babla
-
-\section{A Section}
-\label{sec:one}
-
-\todo[inline]{\ref{somelabel}}
-
-\section{More on Section~\ref{sec:one}}
-
-\end{document}