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-\section{Options d'échange}
-
-\subsubsection*{Définition du modèle}
-
-On considère un modèle de \BS\ en dimension $2$. On pose $S_{t}=\left(S_{t}^{1},
- S_{t}^{2}\right)$ le vecteur des cours des actifs. Soit $\left(W_{t}^1,
- W_t^2\right)_{t\ge 0}$ $2$ mouvements Browniens standards de matrice de
-corrélation $\Gamma = \begin{pmatrix}
- 1 & \rho \\
- \rho & 1
-\end{pmatrix}$, avec $-1 < \rho < 1$ et de racine carrée $L$, obtenue par
-factorisation de Cholesky par exemple. Soit $r$ le taux d'intérêt (supposé
-constant), $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_d)$ le vecteur des volatilités et
-$S_{0}:=\left(S_{0}^{1},S_{0}^{2}\right)$ le vecteur des valeurs initiales des
-actifs (supposées déterministes). La dynamique du cours de l'actif $i$ est
-donnée par
-\begin{equation}
- \label{eq:dS_u_v}
- dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r\,dt + \sigma_{i} \, d W_t^i\right),
-\end{equation}
-ou de manière équivalente par
-\begin{equation*}
- dS_{t}^{i}=S_{t}^{i}\left(r \,dt + \sigma_{i} \,L_i d B_t\right),
-\end{equation*}
-avec $B$ un M.B en dimension $2$ et $L_i$ la $i^{eme}-$ligne de la
-matrice $L$. On note $\cf=\sigma(W)=\sigma(B)$.
-
-On souhaite calculer le prix de l'option d'échange de payoff $(S_T^1 - S_T^2)_+$
-donné par
-\begin{equation}
- \label{eq:prix_echange}
- \expp{-r T} \espbracket{(S_T^1 - S_T^2)_+}.
-\end{equation}
-
-\subsubsection*{Travail demandé}
-
-\begin{itemize}
-\item Donner une formule fermée pour le prix~\eqref{eq:prix_echange}.
-\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
- Carlo classique.
-\item Implémenter la calcul de \eqref{eq:prix_echange} par une méthode de Monte
- Carlo utilisant une technique de réduction de variance basée sur le conditionnement.
-\item Comparer les variances empiriques obtenues pour chacun des deux estimateurs.
-\end{itemize}
-
-
-\section{Pricing des options asiatiques par méthode de Monte Carlo et méthodes
- d'arbre}
-
-On s'intéresse au pricing du call asiatique à strike fixe de payoff
-\begin{align*}
- \left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+
-\end{align*}
-dans le modèle de Black Scholes
-\begin{itemize}
-\item Implémenter une méthode de Monte Carlo simple pour évaluer le prix du call
- asiatique
- \begin{equation}
- \label{eq:prix_asiatique}
- C=\espbracket{e^{-rT}\left(\frac{1}{T}\int_0^T S_u du -K\right)_+}.
- \end{equation}
-\item Implémenter la technique de réduction de variance de Kemna et Vorst vue
- dans le cours MAE51.
-\item Implémenter le calcul du prix dans le modèle d'arbre CRR. On approche le
- sous-jacent $S$ par l'arbre binômial à $N$ pas de temps suivant
- \begin{align*}
- S_{n+1}=\left\{
- \begin{array}{cl}
- S_n e^{\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }p\\
- S_n e^{-\sigma \sqrt{h}} & \mbox{avec probabilité }1-p
- \end{array}\right.
- \end{align*} où $h=\frac{T}{N}$ et $p=\frac{e^{\sigma
- \sqrt{h}}-e^{rh}}{e^{\sigma \sqrt{h}}-e^{-\sigma \sqrt{h}}}$. On approche
- $C$ défini par l'équation~\eqref{eq:prix_asiatique} par
- \begin{align*}
- C^N_0=(1+R)^{-N}\espbracket{\frac{1}{N}\left(\sum_{j=1}^{N-1}
- S_j+\frac{S_0+S_N}{2}\right)},
- \end{align*}
- où $R$ est tel que $1+R=e^{rh}$.
- On rappelle que $C^N_n$, le prix du call asiatique à l'instant $n$, peut
- s'écrire comme $C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)$. On rappelle aussi que puisque le
- prix actualisé de l'option est une martingale, on a
- \begin{align*}
- C^N_n(n,S_0,\cdots,S_n)=\frac{1}{1+R}&\left(p
- C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{-\sigma \sqrt{h}})\right.\\
- &\left.+(1-p)C^N_{n+1}(n+1,S_0,\cdots,S_n,S_ne^{\sigma \sqrt{h}})\right).
- \end{align*}
- On notera $\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n-1}
- S_j+\frac{S_0+S_n}{2}\right)$ la valeur approchée de l'intégrale
- $\displaystyle\frac{1}{nh}\int_0^{nh} S_u du$, et on montrera que
- \begin{align*}
- I_{n+1}=\frac{n}{n+1}I_n+\frac{S_n+S_{n+1}}{2}.
- \end{align*}
-\item Comparer les 3 méthodes.
-\end{itemize}
-
-\section{Pricing des options barrières par formule fermée et par ponts
- Browniens}
-
-On considère une option barrière call down and In dans le modèle de
-Black Scholes, c'est à dire de payoff
-
-
-\input{test22.tex}
-
-\begin{align}
- (S_T-K)_+\ind{\exists u \le T \,:\, S_u \le L}.
-\end{align}
-
-
-\begin{itemize}
-\item En utilisant la loi du couple $(W_T,\inf_{u\le T} W_u)$ rappelée en annexe
- donner une formule fermée pour le prix du Call Down and In.
-\item Implémenter une méthode de Monte Carlo pour calculer le prix.
-\item Utiliser les ponts Browniens pour estimer la probabilité de franchement de
- la barrière entre deux instants de discrétisation et implémenter la méthode de
- Monte Carlo améliorée ainsi obtenue.
-\end{itemize}
-