diff options
Diffstat (limited to 'texmf-dist/doc/latex/fontsetup-nonfree/fspsample.tex')
-rw-r--r-- | texmf-dist/doc/latex/fontsetup-nonfree/fspsample.tex | 75 |
1 files changed, 75 insertions, 0 deletions
diff --git a/texmf-dist/doc/latex/fontsetup-nonfree/fspsample.tex b/texmf-dist/doc/latex/fontsetup-nonfree/fspsample.tex new file mode 100644 index 00000000..23ec736e --- /dev/null +++ b/texmf-dist/doc/latex/fontsetup-nonfree/fspsample.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +%% after xelatex run +%% pdfcrop fspsample.pdf output.pdf +%% to crop it +\documentclass{article} +\pagestyle{empty} +\usepackage{xgreek,graphicx} +\pagestyle{empty} +%\usepackage[greek]{babel} +%\usepackage[utf8x]{inputenc} +%\usepackage{amsfonts} + +\usepackage[default]{fontsetup} +%\usepackage[gfsartemisia]{fontsetup} +%\usepackage[gfsdidot]{fontsetup} +%\usepackage[gfsdidotclassic]{fontsetup} +%\usepackage[gfsneohellenic]{fontsetup} +%\usepackage[cambria]{fontsetup} +%\usepackage[lucida]{fontsetup} +%\usepackage[kerkis]{fontsetup} +%\usepackage[fira]{fontsetup} +%\usepackage[times]{fontsetup} +%\usepackage[palatino]{fontsetup} +%\usepackage[stixtwo]{fontsetup} +%\usepackage[neokadmus]{fontsetup} +%\usepackage[msgaramond]{fontsetup} +%\usepackage[ebgaramond]{fontsetup} +%\usepackage[minion]{fontsetup} +%\usepackage[neoeuler]{fontsetup} +%\usepackage[libertinus]{fontsetup} +%\usepackage[olddefault]{fontsetup} + + + +\newtheorem{theorem}{Theorem} +\newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα} + + +\begin{document} + +\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue] +%Let $g$ be an +Assume that $g$ is an +in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and that + $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able functions so that + $|\,f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere + then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ +\end{theorem} +\textit{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma +we have that $\int(g-f\,)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|\,f\,|\leq g$ and +$|\,f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have +$$\int g-\int f\,\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so +$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$ +\par +\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] + Έστω ότι +η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο +$E$ και η $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε +$|\,f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ +ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να +τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε +$$\lim \int f_n =\int f.$$ +\end{theoremg} +\textit{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από +το Λήμμα του Fatou ισχύει +$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή +$|\,f\,| ≤ g$ και $|\,f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε +$$\int g −\int f\, ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ +άρα +$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$ + + + + + +\end{document} |