path: root/Master/texmf-dist/doc/latex/tkz-tab/TKZdoc-tab-examples.tex

% 24 / 02 /2009 v1.00c TKZdoc-tab-examples
\section{Galerie}
\subsection{Tableaux de signes}
L'exemple suivant provient de la documentation de l'excellent \tkzname{tablor.sty}.
Voici le code complet 

\medskip
\begin{center}
\begin{tkzexample}[code only]
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ifthen,fp}
\usepackage{tikz,tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[frenchb]{babel}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=3]
     {$x$                                  /1,
      Signe de\\ $-2+3$                    /1.5,
      Signe de\\ $-x+5$                    /1.5,
      Signe de\\ $(-2x+3)(-x+5)$           /1.5 }%
     {$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$,$5$,$+\infty$}%
  \tkzTabLine { ,+,z,-,t,-, }
  \tkzTabLine { ,+,t,+,z,-, }
  \tkzTabLine { ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{document}\end{tkzexample}
\end{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=3]
     {$x$                                  /1,
      Signe de\\ $-2+3$                    /1.5,
      Signe de\\ $-x+5$                    /1.5,
      Signe de\\ $(-2x+3)(-x+5)$           /1.5 }%
     {$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$,$5$,$+\infty$}%
  \tkzTabLine { ,+,z,-,t,-, }
  \tkzTabLine { ,+,t,+,z,-, }
  \tkzTabLine { ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
 

Quelques remarques sur ce code. Le codage utilisé n'a pas d'importance, si vous préférez \tkzname{latin1}, alors remplacez  \tkzname{utf8} par \tkzname{latin1}, bien évidemment  \tkzname{tkz-tab} est essentielle. Si vous utilisez \tkzname{fourier} alors vous pouvez supprimer   \tkzcname{usepackage[T1]\{fontenc\}} et \tkzcname{usepackage\{ammsymb\}}.

\subsection{Variations de fonctions}
 \subsubsection{Variation d'une fonction rationnelle}
 
 Cet exemple a été cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar}

 Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \frac{x^3+2}{2x}$ sur $]-\infty~;~+\infty[$
 
\begin{tkzexample}[vbox,very small]
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[]
  {$x$  /1, $f'(x)$ /1,$f$  /3}
  {$-\infty$ , $0$ , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,d,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$ ,-D+/$-\infty$ / $+\infty$ ,-/$\frac{3}{2}$, +/$+\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.4}{$ -\sqrt[3]{2}$}{$0$}
\end{tikzpicture}\end{tkzexample}


\subsubsection{Variation d'une fonction irrationnelle}
 
Autre exemple  cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar}

Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ sur $]-\infty~;~-1[\cup ]1~;~+\infty[$

\begin{tkzexample}[vbox,very small] 
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[]
  {$x$  /1, $f'(x)$ /1,$f$  /3}
  {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,h,d,+, }
\tkzTabSlope{ 3/ /+\infty}
\tkzTabVar{-/$1$ ,+DH/$+\infty$  ,-/$0$, +/$1$}
\end{tikzpicture}\end{tkzexample}

Un prolongement par continuité pourrait être : $f(x)=0$ sur $[-1~;~1]$ alors le tableau deviendrait

\begin{tkzexample}[vbox,very small] 
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[]
  {$x$  /1, $f'(x)$ /1,$f$  /3}
  {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,0,d,+, }
\tkzTabSlope{ 3/ /+\infty}
\tkzTabVar{-/$1$ ,+D-/$+\infty$/$0$  ,-/$0$, +/$1$}
\end{tikzpicture}\end{tkzexample}


\subsection{Fonctions trigonométriques}
\NameFonct{Fonctions trigonométriques}
 \subsubsection{Variation de la fonction tangente}
  \NameFonct{Fonction  tangente}
 Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \tan{x}$ sur $[0~;\pi]$
 
 \begin{tkzexample}[vbox]
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}%
     {$0$ ,$\frac{\pi}{2}$ , $\pi$}%
\tkzTabLine{ ,+,d,+, }
\tkzTabVar{-/$0$ ,  +D-/$+\infty$/$-\infty$  , +/$0$ }
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{4}$}{$1$}
\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{$\frac{3\pi}{4}$}{$1$}
\end{tikzpicture}\end{tkzexample}

\subsubsection{Variation de la fonction cosinus}
 \NameFonct{Fonction  cosinus}
  Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \cos{x}$ sur $[-\pi~;~+\pi]$
  
 \begin{tkzexample}[vbox]
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}%
     {$0$ , $\pi$}%
\tkzTabLine{ , + , }
\tkzTabVar{+/$1$ ,   -/$-1$ }
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{2}$}{$0$}
\end{tikzpicture}\end{tkzexample}

\subsection{Fonctions paramétrées et trigonométriques}
\NameFonct{Fonctions paramétrées} \NameFonct{Fonctions trigonométriques}

Étude sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$
 \begin{equation*} 
\left\{%
\begin{array}{l} 
 x(t) = \cos(3t)\\ 
 y(t) = \sin(4t)
\end{array}\right. 
\end{equation*} 

\begin{tkzexample}[vbox,very small]
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[ lgt=3 , espcl=3]%
    {$t$                               /1,
    Signe de\\        $x'(t)$          /1.5,
    Variations de\\   $x$              /3,
     Variations de\\  $y$              /3,
    Signe de\\        $y'(t)$          /1.5}
              {$0$   , $\frac{\pi}{8}$             , $\frac{\pi}{3}$ ,
               $\frac{3\pi}{8}$ , $\frac{\pi}{2}$ }%
  \tkzTabLine {z , - ,-3\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) , - , z , +  ,%
   3\sin\left(\frac{\pi}{8}\right),+,3}
   \tkzTabVar  { +/$1$ , R/    , -/$-1$/ , R/     , +/$0$ }
    \tkzTabIma{1}{3}{2}{$\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)$} 
   \tkzTabIma{3}{5}{4}{$-\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$} 
     \tkzTabVar  { -/$0$ , +/$1$ , R/      , -/$-1$ , +/$0$ }
   \tkzTabIma{2}{4}{3}{$\frac{-\sqrt{3}}{2}$} 
   \tkzTabLine {4 , + , z , - , -2 , - ,  z ,+,4}
 \end{tikzpicture}
\end{tkzexample}

\newpage
\subsection{Baccalauréat Asie ES 1998}
\index{Baccalauréat}
Une petite astuce, en principe \tkzname{z}  est le symbole à mettre dans la liste pour obtenir un zéro centré sur un trait en pointillés. Si on veut que le zéro soit sans le trait , il suffit de remplacer \tkzname{z} par \tkzname{0}. Celui-ci n'est pas un symbole reconnu, il est donc traiter comme une chaîne normale.

  Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par :
  \[
      f(x)=\E^x(\E^x+a)+b
  \]
  où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

  Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.
   
  \medskip
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}%
    {$-\infty$,$0$,$+\infty$}%
    {,, z ,,}%
     {+/    $-3$  ,
      -/          ,
      +/          } 
    \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \medskip
  \begin{enumerate}
      \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$).
      \item \begin{enumerate}
             \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le
              tableau ci-dessus.
             \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
             \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$.
             \end{enumerate}
      \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation 
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3=0
      \]
      (on pourra pose $X=\E^x$).
      \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : 
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3\geq -4
      \]
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0
      \]
       (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les
        informations obtenues en 2.b)
  \end{enumerate}

\begin{tkzexample}[code only,very small]
  Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par :
  \[
      f(x)=\E^x(\E^x+a)+b
  \]
  où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

  Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.
   
  \medskip
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}%
    {$-\infty$,$0$,$+\infty$}%
    {,, z ,,}%
     {+/    $-3$  ,
      -/          ,
      +/          } 
    \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \medskip
  \begin{enumerate}
      \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$).
      \item \begin{enumerate}
             \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le
              tableau ci-dessus.
             \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
             \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$.
             \end{enumerate}
      \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation 
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3=0
      \]
      (on pourra pose $X=\E^x$).
      \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : 
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3\geq -4
      \]
      \[
          \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0
      \]
       (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les
        informations obtenues en 2.b)
  \end{enumerate}
\end{tkzexample}




\vfill\newpage\null
\subsection{Baccalauréat}
\index{Baccalauréat}
	On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ :

	\[
	  f(x)=ax+b+\ln(-2x)
	\]
	où $a$ et $b$ sont deux réels donnés.

	\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
	\item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$.

	\medskip
	\begin{center}
	  \begin{tikzpicture}
	  \tkzTab[]%
	  {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}%
	  {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}%
	  {,+,$0$,-,}%
	  {-//,
	  +/$2$/,
	  -//}
	  \end{tikzpicture}
	\end{center}

	\medskip
	\begin{enumerate}
	\item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent
	 cette fonction.
	\item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer 
	        $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$.
	\item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$
	 admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\begin{tkzexample}[very small,code only]
	On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ :

	\[
	  f(x)=ax+b+\ln(-2x)
	\]
	où $a$ et $b$ sont deux réels donnés.

	\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
	\item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$.

	\medskip
	\begin{center}
	  \begin{tikzpicture}
	  \tkzTab[]%
	  {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}%
	  {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}%
	  {,+,$0$,-,}%
	  {-//,
	  +/$2$/,
	  -//}
	  \end{tikzpicture}
	\end{center}

	\medskip
	\begin{enumerate}
	\item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent
	 cette fonction.
	\item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer 
	        $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$.
	\item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$
	 admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{tkzexample}



\newpage


\subsection{Baccalauréat Guyane ES 1998 }
\index{Baccalauréat}
C'est cet exemple qui m'a obligé à penser aux   commandes du style $+V+$. Sans doute, voulait-on ne pas influencer les élèves avec la vision d'une double barre (trop souvent associée à la présence d'une asymptote).

\textbf{Le sujet :}

{\parindent=0pt
On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3]%
{$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5}
{$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$}
{,-,$0$,+, ,-,}
{+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe)
 
\vspace{6pt}
\textbf{Première partie}

En interprétant le tableau donné ci-dessus :%
 
 \begin{enumerate}
 \item  Préciser l'ensemble de définition de $f$.
 \item  Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$  :
 \begin{enumerate}
 \item  l'asymptote horizontale (D);
 \item  l'asymptote verticale (D');
 \item  le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\textbf{Seconde partie}

On donne maintenant l'expression de $f$ :
\[
f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)}    + \dfrac{3}{(x-1)^2}
\]
\begin{enumerate}
 \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$.
 \item  Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant
  ( recopier ce tableau sur votre copie).
\end{enumerate}
\begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1 , $f(x)$ /1}%
              {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}%
   \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}%
   \makeatletter
   \foreach \x in {1,...,5}
    \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x}
    \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center);
\end{tikzpicture}
}


\begin{tkzexample}[code only,very small]
On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[]%
{$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5}
{$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$}
{,-,$0$,+, ,-,}
{+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \vspace{6pt}
On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère. Le plan est muni d'un repère%
 orthonormal  $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe)%

\textbf{Première partie}

En interprétant le tableau donné ci-dessus :%
 
 \begin{enumerate}
 \item  Préciser l'ensemble de définition de $f$.
 \item  Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$  :
 \begin{enumerate}
 \item  l'asymptote horizontale (D);
 \item  l'asymptote verticale (D');
 \item  le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\textbf{Seconde partie}

On donne maintenant l'expression de $f$ :
\[
f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)}    + \dfrac{3}{(x-1)^2}
\]
\begin{enumerate}
 \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$.
 \item  Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant
  ( recopier ce tableau sur votre copie).
   \begin{tikzpicture}
   \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1,$f(x)$ /1}%
   {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}%
   \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}%
   \makeatletter
   \foreach \x in {1,...,5}
    \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x}
    \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center);
    \end{tikzpicture}
\end{enumerate}

\vfill
\end{tkzexample}

\endinput