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%% archives in directory macros/latex/base/lppl.txt.
\documentclass[12pt, draft, dvips]{report}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[french]{euclide}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{Extension \texttt{pst-eucl}\\
  Géométrie euclidienne avec \PStricks}
\author{\Version\\Dominique \textsc{Rodriguez}\thanks{domino.rodriguez@laposte.net}}
\date{\Date}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{abstract}
  L'extension \texttt{pst-eucl} permet de dessiner des figures
  géométriques en spécifiant des contraintes mathématiques. Il est
  ainsi possible de définir des points au moyen de transformations ou
  d'intersection. L'emploi des coordonnées est donc limité aux points
  de départ qui paramètrent en quelque sorte le dessin.

  \vfill

  \begin{center}\bfseries
    Remerciements
  \end{center}

  Je tiens à remercier tout particulièrement les personnes suivantes
  pour leur aide dans l'élaboration de ce paquetage :

  \begin{itemize}
  \item Denis \textsc{Girou} pour ses critiques pertinentes et ses
    encouragement lors de la découverte de l'embryon initial et pour
    sa relecture du présent manuel ;
  \item Michael \textsc{Vulis} pour sa rapidité à tester la doc
    avec V\TeX\ et il a ainsi permis de corriger un bug du code
    PostScript ;
  \item Manuel \textsc{Luque} et Olivier \textsc{Reboux} pour leurs
    remarques et leurs exemples.
  \item Alain \textsc{Delplanque} pour ses propositions de modifications
    sur le placement automatique des noms des points dans diverses fonctions et la
    possibilité de donner une suite de points dans \com{pstGeonode}.
  \end{itemize}
\end{abstract}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\abstractname}{Avertissement}
\begin{abstract}
  Ceci est la première version officiellement déposée sur le site d'archives
  \texttt{CTAN}.

  \vfill

  \begin{center}\bfseries
    LICENCE
  \end{center}

  Ce programme et sa documentation peuvent être distribués et/ou modifiés selon les
  termes de la «~\LaTeX{} Project Public License~» disponible sur le site d'archives
  \texttt{CTAN} au répertoire \texttt{macros/latex/base/lppl.txt}. Toutefois, vous
  pouvez m'envoyer un Email avec un petit commentaire. Ensuite vous devriez réfléchir
  à une donation\footnote{surtout si vous utilisez un système d'exploitation payant
    (\texttt{des fenêtres} ou \texttt{MacOS}) ! D'autre part, n'oubliez pas que \LaTeX{} est utilisable
    gratuitement et que de nombreux utilisateurs achètent plusieurs centaines d'euros
    des logiciels de bien moins bonne qualité.} :

\begin{enumerate}
\item directement à l'équipe \LaTeX3 ;
\item et/ou à moi pour le support de l'extension\footnote{je me satisfais amplement
    de 1~\MonEuro, £1 ou \$1, mais j'accepte plus.}.
\end{enumerate}

  Une donation en temps selon compétence est possible : correction de la documentation,
  test des fonctionnalités, proposition d'améliorations...
\end{abstract}
\twocoltoc{}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Manuel de l'utilisateur}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Spécifications particulières}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Options de \PStricks}

L'extension active le mode \com{SpecialCoor}. Ce mode permet d'étendre
la manière dont les coordonnées sont spécifiées en plus des classiques
coordonnées cartésiennes. D'autre part le mode de tracé est mis à
\texttt{dimen=middle}, c'est-à-dire que le positionnement des tracés
est fait par rapport à leur milieu. Pour ces deux modes, je vous
renvoie au manuel de l'utilisateur.

Enfin, il est supposé que le repère de travail est (ortho)normé.

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Conventions}

Pour la rédaction de ce manuel, j'ai utilisé les conventions
classiques de dénomination des points en France :

\begin{itemize}
\item $O$ est un centre (cercle, repère, symétrie, homothétie, rotation) ;
\item $I$ est l'unité de l'axe des abscisses, ou un milieu ;
\item $J$ est l'unité de l'axe des ordonnées ;
\item $A$, $B$, $C$, $D$ sont des points ;
\item $M$ est un point \emph{paramètre} ;
\item $M'$ l'image de $M$ par une transformation ;
\end{itemize}

Enfin, bien que s'agissant de n\oe uds au sens de \PStricks,
je les ai résolument confondus avec des points dans le texte.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Objets de base}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Les points}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsubsection{Repère par défaut}

\defcom[Création d'une liste de points dans le repère d'origine. \protect\ParamList{\param{PointName},
  \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}]
  {pstGeonode}{\OptArg{par}$(x_1,y_1)$\Arg{$A_1$}$(x_2,y_2)$\Arg{$A_2$}\ldots$(x_n,y_n)$\Arg{$A_n$}}

Cette commande définit un ou plusieurs points géométriques associés avec un n\oe ud.
Chaque point possède un nom de n\oe ud \Argsans{$A_i$}, qui définit par défaut
l'étiquette placée sur le dessin. D'autre part, celle-ci est traitée par défaut en
mode mathématique, le paramètre booléen \param{PtNameMath} \DefaultVal{true} permet
de modifier ce traitement et de traiter l'étiquette en mode normal. Elle est
positionnée à une distance de \cbstart\param{PointNameSep} \DefaultVal{1em}\cbend{}
du n\oe ud, avec un angle de \param{PosAngle} \DefaultVal{0}. Il est également
possible de proposer une étiquette différente du nom de n\oe ud avec le paramètre
\param{PointName} \DefaultVal{default}, et une étiquette vide se spécifie en
positionnant ce paramètre à \texttt{none} ; dans ce cas le point n'aura pas de nom
sur le dessin.

Le symbole du point est donné par le paramètre \param{PointSymbol} \DefaultVal{*}.
Le symbole est celui utilisé pour la commande \com{psdot}. Il peut être également
positionné à \texttt{none}, auquel cas le point \cbdelete n'est pas affichés sur la
figure. Voici en rappel les valeurs utilisable pour le symbole :

\begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}\psset{dotscale=2}
  \item \param{*} : \psdots(.5ex,.5ex)
  \item \param{o} : \psdots[dotstyle=o](.5ex,.5ex)
  \item \param{+} : \psdots[dotstyle=+](.5ex,.5ex)
  \item \param{x} : \psdots[dotstyle=x](.5ex,.5ex)
  \item \param{asterisk} : \psdots[dotstyle=asterisk](.5ex,.5ex)
  \item \param{oplus} : \psdots[dotstyle=oplus](.5ex,.5ex)
  \item \param{otimes} : \psdots[dotstyle=otimes](.5ex,.5ex)
  \item \param{triangle} : \psdots[dotstyle=triangle](.5ex,.5ex)
  \item \param{triangle*} : \psdots[dotstyle=triangle*](.5ex,.5ex)
  \item \param{square} : \psdots[dotstyle=square](.5ex,.5ex)
  \item \param{square*} : \psdots[dotstyle=square*](.5ex,.5ex)
  \item \param{diamond} : \psdots[dotstyle=diamond](.5ex,.5ex)
  \item \param{diamond*} : \psdots[dotstyle=diamond*](.5ex,.5ex)
  \item \param{pentagon} : \psdots[dotstyle=pentagon](.5ex,.5ex)
  \item \param{pentagon*} : \psdots[dotstyle=pentagon*](.5ex,.5ex)
  \item \param{|} : \psdots[dotstyle=|](.5ex,.5ex)
  \end{itemize}
\end{multicols}

\cbstart D'autre part, ces symboles sont paramétrables avec des paramètres de
\PStricks dont entre autre :

\begin{itemize}
\item son échelle avec le paramètre \param{dotscale}, la valeur de celui-ci est soit
  deux nombres différenciant ainsi le facteur d'échelle horizontale et verticale, ou
  soit un seul qui est la valeur identique pour les deux ;
\item son angle de rotation avec le paramètre \param{dotangle}.
\end{itemize}

N'hésitez pas à consulter la documentation de \PStricks pour de plus amples détails.\cbend

Les paramètres se spécifient explicitement dans la partie \Argsans{par}. Les
paramètres \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PointName} et
\param{PointNameSep} peuvent recevoir :

\begin{itemize}
\item soit une valeur unique, commune à tous les points ;
\item soit une liste de valeurs délimitée par des accolades \texttt{\{ ... \}} et
  séparées par des virgules \textit{sans blancs}, permettant alors de différencier la
  valeur pour chaque point.
\end{itemize}

Dans le cas ou une liste est spécifiée, elle peut comporter moins de valeurs que de
points, dans ce cas la dernière valeur de la liste sera utilisée pour les points
suivants.

\cbstart Enfin, le paramètre \param{CurveType} \DefaultVal{none} permet de relier les
points au moyen d'une ligne :

\begin{itemize}
\item brisée ouverte \verb$polyline$ ;
\item brisée fermée \verb$polygon$ ;
\item courbe ouverte \verb$curve$.
\end{itemize}\cbend

% EXEMPLE GEONODE
\tabex{geonode}

Il est évident que les n\oe uds ainsi définis sont utilisables par
toutes les commandes utilisant les n\oe uds de \PStricks. Ainsi, il est
possible de les référencer \rnode{ici}{d'ici} :
{\small\verb$\nccurve{->}{ici}{B_1}$}.
\nccurve[arrowscale=2, linestyle=dotted]{->}{ici}{B_1}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsubsection{Repère personnalisé}

\defcom[Création d'une liste de points dans le repère $(O;I;J)$.
        \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle},
        \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}]
   {pstOIJGeonode}
   {\OptArg{par}$(x_1,y_1)$\Arg{$A_1$}\Arg{$O$}\Arg{$I$}\Arg{$J$}$(x_2,y_2)$\Arg{$A_2$}\ldots$(x_n,y_n)$\Arg{$A_n$}}

Cette commande permet de placer des points dans un repère quelconque non forcément
normé ni orthogonal, défini par le triplet $(O;I;J)$. On retrouve des traitements
identiques à la commande précédente pour l'utilisation des paramètres.

%% EXEMPLE
\tabex{oij}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Marquage des segments}

Il est possible de tracer des segments en utilisant la commande
\texttt{\bs ncline}. Pour en plus marquer les segments afin d'associer
ceux ayant la même longueur, il existe la commande :

\defcom[Permet de marquer le segment \Segment{AB} en son milieu avec la marque définie par
        \protect\param{SegmentSymbol}. \protect\ParamList{\param{SegmentSymbol}}]
  {pstSegmentMark}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}

Le symbole placé sur le segment est donné par le paramètre
\param{SegmentSymbol}. Il prend comme valeur une commande utilisable en
mode mathématique. Par défaut, sa valeur est \texttt{pstslashh},
et produit deux barres sur le segment. Le segment est également tracé.

Il existe plusieurs commandes prédéfinies dans ce paquetage pour marquer les
segments :

\begin{multicols}{3}
  \psset{PointSymbol=none, PointName=none, unit=.8}
  \newcommand{\Seg}[1]{%
    \com{#1} : \begin{pspicture}[.3](2,1)
                 \pstGeonode(0.3,.5){A}(1.7,.5){B}\pstSegmentMark[SegmentSymbol=#1]{A}{B}
               \end{pspicture}}%
  \begin{itemize}
  \item \Seg{pstslash} ;
  \item \Seg{pstslashh} ;
  \item \Seg{pstslashhh} ;
  \item \Seg{MarkHash} ;
  \item \Seg{MarkHashh} ;
  \item \Seg{MarkHashhh} ;
  \item \Seg{MarkCros} ;
  \item \Seg{MarkCross} ;
  \end{itemize}
\end{multicols}

Les trois commandes de la famille \texttt{MarkHash} produise une barre dont
l'inclinaison est contrôlée par le paramètre \param{MarkAngle}
\DefaultVal{45}. D'autre part, leur taille et leur couleur dépendent de l'épaisseur
et de la couleur du trait au moment du tracé, comme le montre l'exemple suivant.

%% EXEMPLE
\tabex{segmentmark}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Triangles}

Figures étudiées par excellence, elles possèdent leur macro pour les tracer
rapidement :

\defcom[Définit et trace un triangle.  \protect\ParamList{\param{PointName},
  \param{PointNameSep}, \param{PointSymbol}, \param{PointNameA},
  \param{PosAngleA}, \param{PointSymbolA}, \param{PointNameB},
  \param{PosAngleB}, \param{PointSymbolB}, \param{PointNameC},
  \param{PosAngleC}, \param{PointSymbolC}}]
  {pstTriangle}{\OptArg{par}$(x_A,y_A)$\Arg{$A$}$(x_B,y_B)$\Arg{$B$}$(x_C,y_C)$\Arg{$C$}}

Afin de pouvoir placer avec précision les noms des points, il existe trois paramètres
\param{PosAngleA}, \param{PosAngleB} et \param{PosAngleC}, qui s'associent
respectivement aux n\oe uds \Argsans{$A$}, \Argsans{$B$} et \Argsans{$C$}. Ils ont le
même rôle que le paramètre \param{PosAngle} vu précédemment.
%Si un ou plusieurs de ces paramètres ne sont pas spécifiés la valeur de \param{PosAngle} est prise.
Toutefois, si pour un point donné, aucun angle n'est spécifié, son nom va se
positionner sur la bissectrice du sommet.

Il existe également des paramètres pour contrôler le symbole utilisé
pour représenter les points : \param{PointSymbolA},
\param{PointSymbolB} et \param{PointSymbolC}, et des paramètres pour
le nom de chacun des points : \param{PointNameA}, \param{PointNameB}
et \param{PointNameC}. Ces deux ensembles de paramètres sont liés à
\param{PointSymbol} et \param{PointName}. La gestion de la valeur par
défaut suit les mêmes règles que celles vues précédemment.

\tabex{triangle}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Angles}

Chaque angle est déterminé par trois points. Le sommet de l'angle est
le second. L'ordre a de l'importance en sachant que le sens direct ou
trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d'une
montre. Tout d'abord, il est possible de marquer un angle droit \cbdelete :

\defcom[Marque l'angle droit \protect\Angle{ABC} spécifié dans le sens
  trigonométrique. \protect\ParamList{\param{RightAngleType}, \param{RightAngleSize},
    \param{RightAngleSize}}]{pstRightAngle}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}}

\cbstart Le symbole utilisé est contrôlé par le paramètre \param{RightAngleType}
\DefaultVal{default}. Ses valeurs possibles sont :

\begin{itemize}
\item \verb$default$ : symbole standard ;
\item \verb$german$ : symbole allemand (proposé par U. \textsc{Dirr}) ;
\item \verb$suisseromand$ : symbole suisse romand (proposé par P. \textsc{Schnewlin}).
\end{itemize}\cbend

L'autre paramètre auquel est sensible cette commande, hormis bien
entendu ceux de contrôle du trait, est \param{RightAngleSize} qui
permet de contrôler la longueur du carré utilisé \DefaultVal{0.28~unit}.
Le symbole est placé sur l'angle de sommet \Argsans{$B$}.

Pour les autres angles, il y a la commande :

\defcom[Marque l'angle \protect\Angle{ABC} spécifié dans le sens trigonométrique
  \protect\ParamList{\param{MarkAngleRadius}, \param{LabelAngleOffset},
  \param{Mark}}]
  {pstMarkAngle}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{label}}

L'étiquette définie par le paramètre \param{label} peut être tout texte \TeX. Elle
est placée à \param{LabelSep} \DefaultVal{1~unit} du point dans la direction
angulaire de la bissectrice intérieure modifiée par \param{LabelAngleOffset}
\DefaultVal{0} et positionnée par rapport à \param{LabelRefPt} \DefaultVal{c}.
D'autre part l'arc de cercle utilisé pour le marquage a pour rayon
\param{MarkAngleRadius} \DefaultVal{.4~unit} et il est possible d'y adjoindre une
flèche en début ou fin d'arc en utilisant le paramètre \param{arrows}.
Enfin, on peut marquer l'angle avec un marqueur produit par une commande \TeX{}
donnée en argument du paramètre \param{Mark}.

\tabex%
  [@{}m{.25\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.727\linewidth}@{}]%
  {angle}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Droites, demi-droites et segments}

Rien de plus utile qu'une droite !

\defcom[Trace la droite $(AB)$.]
  {pstLineAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}

Afin de contrôler sa longueur\footnote{Ce qui est le comble pour une
  droite !}, les deux paramètres \param{nodesepA} et
\param{nodesepB} indiquent l'abscisse des extrémités de la droite. Une
abscisse négative spécifie un dépassement au-delà des points, tandis
qu'une abscisse positive indique le contraire. Si les deux valeurs
sont identiques, on peut utiliser alors le paramètre
\param{nodesep}. La valeur par défaut de ces paramètres est nulle.

\tabex{droite}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Cercles}

Un cercle peut être défini soit par son centre et un point de sa
circonférence, soit par deux points diamétralement opposés. Il existe
donc deux fonctions :

\renewcommand{\ComUnDescr}{Construit le cercle de centre $O$ passant par $A$. \protect\ParamList{\param{Radius},
  \param{Diameter}}.}
\renewcommand{\ComDeuxDescr}{Construit le cercle de diamètre $AB$. \protect\ParamList{\param{Radius},
  \param{Diameter}}.}
\defcomdeux{pstCircleOA}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}}%
           {pstCircleAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}

Pour la première fonction, il est également possible d'omettre le
second point, et de spécifier un rayon ou un diamètre avec les
paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} au moyen des deux fonctions
suivantes :

\renewcommand{\ComUnDescr}{Permet de spécifier la distance $AB$ pour les
  paramètres \protect\param{Radius} et \protect\param{Diameter}. \protect\ParamList{\param{DistCoef}}.}
\renewcommand{\ComDeuxDescr}{Permet d'utiliser une valeur numérique pour les
  paramètres \protect\param{Radius} et \protect\param{Diameter}. \protect\ParamList{\param{DistCoef}}.}
\defcomdeux{pstDistAB}{\Arg{$A$}\Arg{$B$}}%
           {pstDistVal}{\Arg{x}}

La première fonction permet de spécifier une distance entre deux points et la seconde
directement une valeur numérique qui peut être un calcul en code \PostScript. Cette
dernière distance est spécifiée en multiple de l'unité \com{unit} et elle n'est pas
une distance. Ces distances peuvent être modifiées par un coefficient multiplicatif
spécifié préalablement par le paramètre \param{DistCoef}. Ce paramètre peut être un
calcul en code \PostScript.

\vspace{1.1\baselineskip}
\begin{minipage}[m]{.4\linewidth}
  Avec cette extension, il devient possible de tracer :

  \begin{itemize}
  \item {\color{red} le cercle de centre $A$ passant par $B$ ;}
  \item {\color{green} le cercle de centre $A$ de rayon les deux tiers de $AC$ ;}
  \item {\color{blue} le cercle de centre $A$ de rayon $BC$ ;}
  \item {\color{Sepia} le cercle de centre $B$ de rayon $AC$ ;}
  \item {\color{Aquamarine} le cercle de centre $B$ de diamètre $AC$ ;}
  \item {\color{RoyalBlue} le cercle de diamètre $BC$ ;}
  \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill%
\input{Exemples/cercle}

\smallverbatiminput{Exemples/cercle_in}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Arcs de cercles}

\renewcommand{\ComUnDescr}{Trace l'arc de cercle de centre $O$, de rayon $OA$,
  délimité par l'angle $\protect\Angle{AOB}$ dans le sens trigonométrique.}
\renewcommand{\ComDeuxDescr}{Trace l'arc de cercle de centre $O$, de rayon $OA$,
  délimité par l'angle $\protect\Angle{AOB}$ dans le sens trigonométrique inverse.}
\defcomdeux{pstArcOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}%
           {pstArcnOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}

Ces deux fonctions tracent des arcs de cercle, le centre étant donné par $O$, le
rayon par $OA$, l'angle de départ par $A$ et celui d'arrivée par $B$. Enfin la
première trace l'arc dans le sens direct et la seconde dans le sens indirect. Il
n'est pas nécessaire que les deux points soient à égales distances de $O$.

\tabex{arc}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Abscisse curviligne}

Un point peut être positionné sur un cercle au moyen d'une abscisse curviligne.

\defcom[Place un point sur un cercle au moyen de son abscisse curviligne.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{CurvAbsNeg}}]
  {pstCurvAbsNode}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{Abs}}

Le point \Argsans{$B$} est placé sur le cercle de centre \Argsans{$O$} passant par
\Argsans{$A$}, avec l'abscisse curviligne \Argsans{Abs}.  L'origine est en
\Argsans{$A$}, et le sens est par défaut le sens trigonométrique (inverse des
aiguilles d'une montre). Le paramètre \param{CurvAbsNeg} \DefaultVal{false} permet de
modifier le sens de parcours du cercle.

 Si le paramètre \param{PosAngle} n'est pas spécifié, l'étiquette associée au
point va se placer automatiquement de manière à être aligné avec le centre du cercle
et le point.

\tabex{abscur}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Courbe générique}

Il est tout à fait possible de générer des points au moyen d'une boucle et de leur
donner à chacun un nom générique composé d'un radical et d'un nombre. La commande
suivante permet de relier ces points au moyen d'une courbe interpolée.

\defcom[Trace une courbe interpolée au moyen d'une famille de points ayant une
  convention de dénomination utilisant un radical et un numéro.
  \protect\ParamList{\param{GenCurvFirst}, \param{GenCurvInc},
  \param{GenCurvLast}}]
  {pstGenericCurve}{\OptArg{par}\Arg{Radical}\Arg{$n_1$}\Arg{$n_2$}}

La courbe est tracée sur les points dont le nom comporte le radical
\Argsans{Radical}, et comme suffixe un nombre allant de \Argsans{$n_1$} à
\Argsans{$n_2$}. Pour gérer les effets de bords, les paramètres \param{GenCurvFirst}
et \param{GenCurvLast} permettent de désigner explicitement le premier et le dernier
point. Le paramètre \param{GenCurvInc} permet de spécifier l'incrément de boucle pour
passer d'un point à un autre \DefaultVal{1}.

\tabex{gencur}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Transformations}

Les transformations du plan permettent de coder facilement des propriétés
géométriques. Il est donc possible de construire les images de points par toutes les
transformations classiques du plan. \cbstart Toutes ces commandes partagent le même
schéma syntaxique et deux paramètres.

La syntaxe commune place en fin de description deux listes de points, dont la seconde
est optionnelle et de cardinal plus faible ou égal. Ces deux listes contiennent les
points antécédents et les points images. Dans le cas ou les images sont absentes dans
leur totalité ou pour une partie (liste moins longue), le nom de l'image sera
automatiquement calqué sur l'antécédent auquel sera adjoint un \verb$'$.

Le premier paramètre commun est \param{CodeFig}. Il permet de faire apparaître les propriétés
caractéristiques liées à la transformation et à la construction de l'image. Par
défaut, ce paramètre a pour valeur \param{false}, il doit être mis à \param{true}
pour activer ce tracé optionnel. Ce tracé se fait en utilisant le style
\param{CodeFigStyle} \DefaultVal{dashed} et suivant la couleur \param{CodeFigColor}
\DefaultVal{cyan}.

Le second paramètre est \param{CurveType} qui permet de faire apparaître une courbe
passant par les images, et donc de pouvoir rapidement tracer le transformé d'une
figure.\cbend

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Symétrie centrale}

\defcom[Construit le symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à $O$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath},
  \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstSymO}%
  {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Construit le point symétrique par rapport au point $O$. Les
paramètres classiques de la création de point sont utilisables comme
dans toutes les fonctions suivantes.

Elle peut servir à la construction d'un parallélogramme de centre
connu.

\tabex{symcentrale}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Symétrie orthogonale}

\defcom[Construit le symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à la droite $(AB)$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath},
  \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstOrtSym}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Construit le point symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à la droite $(AB)$.

\tabex{symorthogonale}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Rotation}

\defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rotation d'angle \protect\param{RotAngle}
  autour de $O$ dans le sens trigonométrique.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{RotAngle}}]{pstRotation}%
  {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Construit l'image d'un point par rotation.  L'angle de rotation est
donné par le paramètre \param{RotAng|e} \DefaultVal{60}.  Celui-ci
peut-être un angle orienté défini par trois points. Il faut alors
utiliser la fonction :

\defcom[Permet d'utiliser la mesure te \protect\Angle{AOB} (orienté) pour
  le paramètre \protect\param{RotAngle}. \protect\ParamList{\param{AngleCoef}}]
  {pstAngleAOB}{\Arg{$A$}\Arg{$O$}\Arg{$B$}}

Pensez à l'utiliser pour construire un carré ou un triangle équilatéral.\cbstart Le
paramètre booléen \param{CodeFig} permet de placer un arc avec une flèche (en bout)
entre le point et son image, et si le paramètre \param{TransformLabel} \DefaultVal{none}
contient un texte il est placé sur l'angle correspondant en mode mathématique.

\tabex{rotation}\cbend

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Translation}

\defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par la translation de vecteur \protect\Vecteur{AB}.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{DistCoef}}]
  {pstTranslation}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Construit le translaté de vecteur \Vecteur{AB} du point
\Argsans{$M$}. À utiliser pour construire la parallèle passant
par un point.

\tabex{translation}

Il est également possible d'utiliser le paramètre \param{DistCoef} pour modifier le
vecteur de translation avec un coefficient multiplicatif. \cbstart Le paramètre
booléen \param{CodeFig} permet de placer le vecteur de translation entre le point et
son image avec au milieu un texte qui par défaut est les deux points ou le contenu du
paramètre \param{TransformLabel} \DefaultVal{none}.\cbend

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Homothétie}

\defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport
  \protect\param{HomCoef}.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{HomCoef}}]
  {pstHomO}%
  {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Construit l'image d'un point par homothétie.  Le coefficient se spécifie avec le
paramètre \param{HomCoef}. Incontournable pour les situations de \textsc{Thalès}.

\tabex{homothetie}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Projection orthogonale}

\defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par projection orthogonale sur $(AB)$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath},
  \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstProjection}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}}

Projette orthogonalement les point $M_i$ sur la droite $(AB)$. Très important pour
tracer les hauteurs d'un triangle.  Le nom est aligné avec le
point et son projeté comme le montre l'exemple.

\tabex{projection}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Objets particuliers}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Milieu}

\defcom[Construit le milieu $I$ du segment \Segment{AB}.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{SegmentSymbol},
  \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstMiddleAB}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}}

Construit le milieu $I$ du segment $[AB]$. Par défaut, le nom du point est
positionné automatiquement sous (ou sur) le segment.

\tabex{milieu}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Centre de gravité d'un triangle}
\defcom[Construit le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.
        \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle},
        \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}]{pstCGravABC}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$G$}}

Construit le centre de gravité d'un triangle.

\tabex{grav}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Cercle circonscrit d'un triangle et son centre}

\defcom[Construit le centre $O$ äu cercle ciconscrit du triangle $ABC$.
        \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle},
        \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}, \param{DrawCirABC}, \param{CodeFig},
        \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}, \param{SegmentSymbolA},
        \param{SegmentSymbolB}, \param{SegmentSymbolC}}]
  {pstCircleABC}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$O$}}

Cette commande permet de tracer le cercle passant par trois points et de positionner
le centre. Le tracé du cercle est contrôlé par le paramètre booléen
\param{DrawCirABC} \DefaultVal{true}.\cbstart D'autre part, les traits de
constructions peuvent être apparent (médiatrices) avec le paramètre \param{CodeFig}.
Les milieux sont aussi marqué sur chacun des segments avec trois marques différentes
donnés par les paramètres \param{SegmentSymbolA}, \param{SegmentSymbolB} et
\param{SegmentSymbolC}.\cbend La création du point est sensible à tous les paramètres
classiques déjà vus.

\tabex%
  [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]%
  {ccirc}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Médiatrice d'un segment}

\defcom[Construit la médiatrice du segment \Segment{AB}, son milieu $I$ et un point $M$
        de la médiatrice qui est l'image par quart de tour de $B$.
        \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle},
        \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}, \param{CodeFig},
        \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}, \param{SegmentSymbol}}]
  {pstMediatorAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}\Arg{$M$}}

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au milieu de
ce segment. Le segment est $[AB]$, le milieu est $I$, et $M$ est un
point de la médiatrice, construit par une rotation de $90$\degres\ du
point point $B$ par rapport à $I$. L'ordre des deux points est
important, il permet de contrôler la position de la médiatrice. La
commande crée les points $M$ et $I$. La construction est sensible aux
paramètres suivant :

\begin{itemize}
\item \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor} et \param{SegmentSymbol}
  pour marquer l'angle droit et le milieu ;
\item \param{PointSymbol} et \param{PointName} pour contrôler
  l'apparence des deux nouveaux points, chacun pouvant être spécifiés
  séparément au moyen des paramètres \param{...A} et \param{...B} ;
\item les paramètres de tracés des droites.
\end{itemize}

\tabex%
  [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]%
  {mediator}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Bissectrices d'un angle}

\defcom[Construit la bissectrice intérieure de l'angle \protect\Angle{BAC} ainsi qu'un
  point $M$ de la bissectrice image de $B$ par rotation autour de $A$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}]
  {pstBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}}

\defcom[Construit la bissectrice extérieure d'un angle ainsi qu' un
  point $M$ de la bissectrice image de $B$ par rotation autour de point $A$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}]
  {pstOutBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}}

Il existe deux bissectrices pour un angle géométrique donné :
l'intérieure et l'extérieure ; donc il y a deux commandes. L'angle est
spécifié dans le sens trigonométrique. Les résultats de ces deux
commandes sont la bissectrice et un point de celle-ci qui est
positionné par une rotation du point $B$.

\tabex%
  [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]%
  {bissec}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intersections}

Un autre moyen de définir un point est de spécifier une intersection.
Six types d'intersections sont gérées :

\begin{itemize}
\item droite-droite ;
\item droite-cercle ;
\item cercle-cercle ;
\item fonction-fonction ;
\item fonction-droite ;
\item fonction-cercle.
\end{itemize}

Une intersection peut ne pas exister : cas des droites parallèles par
exemple.  Dans ce cas, le ou les points concernés se retrouvent placés
à l'origine. En fait, il est supposé que l'utilisation de ces
commandes implique l'existence de l'intersection.

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Droite-droite}
\defcom[Place le point d'intersection entre les droites $(AB)$ et $(CD)$.
  \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
  \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}]
  {pstInterLL}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$D$}\Arg{$M$}}

Construit le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec la droite
$(CD)$. Option essentielle de la construction de figures du triangle,
elle permet de positionner les points remarquables. Les paragraphes
suivants proposent différents exemples :

\begin{description}
\item[basique]

  \tabex{interDD}

\item[orthocentre]

  \tabex%
  [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]
    {orthocentre}

\end{description}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Cercle--droite}

\defcom[Place le(s) point(s) d'intersection entre la droite $(AB)$ et le cercle de
        centre $O$ passant par $C$.
        \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle},
        \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath},
        \param{PointSymbolA}, \param{PosAngleA}, \param{PointNameA},
        \param{PointSymbolB}, \param{PosAngleB}, \param{PointNameB}, 
        \param{Radius}, \param{Diameter}}]
  {pstInterLC}%
  {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$O$}\Arg{$C$}%
    \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}}

Construit le ou les points d'intersection de la droite $(AB)$ avec
le cercle de centre $O$ passant par $OC$. L'intersection entre un
cercle et une droite donne en cas d'existence un ou deux points. En
fait le cas tangent représente un point double au sens des racines
d'un polynôme.

Le cercle est spécifié avec son centre et soit un point de sa
circonférence, soit son rayon ou diamètre spécifié au moyen des
paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} et modulé par le
paramètre coefficient multiplicatif \param{DistCoef}.

La place des deux points est telle que les vecteurs \Vecteur{AB} et
\Vecteur{M_1M_2} soient colinéaires. Ainsi si on échange les points
qui définissent la droite, les deux points d'intersection seront aussi
échangés. Si l'intersection n'existe pas, les deux points sont placés
au centre du cercle.

\tabex
  [@{}m{.4\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.5777\linewidth}@{}]
  {interDC}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Cercle--cercle}

\defcom[Place le(s) point(s) d'intersection entre le cercle de centre $O_1$ passant
        par $B$ et le cercle de centre $O_2$ passant par $C$ .]
  {pstInterCC}%
  {\OptArg{par}\Arg{$O_1$}\Arg{$B$}\Arg{$O_2$}\Arg{$C$}%
    \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}}

Fonction au comportement identique à la précédente. Les paramètres
booléens \param{CodeFigA} et \param{CodeFigB} permettent de faire
apparaître les arcs au niveau des intersections. Par cohérence
\param{CodeFig} permet de faire apparaître les deux arcs. Afin de
contrôler dans quel sens vont-être ces arcs, les paramètres booléens
\param{CodeFigAarc} et \param{CodeFigBarc} permettent de choisir dans
le sens direct ou indirect.

\tabex{interCC}

Voici un deuxième exemple plus complet, intégrant les spécifications de cercle avec
des rayons et des diamètres. Il existe dans ce cas des paramètres \param{RadiusA},
\param{RadiusB}, \param{DiameterA} et \param{DiameterB}.  Toutefois, même dans le cas
où le diamètre est spécifié, il faut donner un centre. On ne peut pas spécifier un
cercle avec deux points diamétralement opposés.

\begin{center}
  \rule[-.5cm]{0pt}{8cm}
  \begin{pspicture}(-3,-4)(7,3)\psgrid
    \input{Exemples/interCC_bis_in}
  \end{pspicture}
\end{center}

\smallverbatiminput{Exemples/interCC_bis_in}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Fonction--fonction}

\defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre les deux courbes représentatives des
fonctions $f$ et $g$. À priori l'abscisse du point
sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]%
  {pstInterFF}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$g$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}}

Cette fonction permet de positionner un point à une intersection entre les deux
fonctions $f$ et $g$. La valeur $x_0$ est une valeur approchée de l'abscisse de cette
intersection. Il est donc tout à fait possible de l'utiliser plusieurs fois si plusieurs
intersections existent. Chacune des fonctions est décrite en \PostScript de manière
identique à la fonction \com{psplot} de \PStricks. Il est évidemment possible de
spécifier une fonction constante, et par exemple de chercher des racines.

La recherche de l'intersection se fait en utilisant l'algorithme de \textsc{Newton},
et évidemment il peut arriver que cela n'aboutisse pas. Dans ce cas, le point est
placé à l'origine. D'autre part, la recherche peut tomber dans un \textit{piège}
(minimum local proche de zéro), ou encore se mettre à osciller et donc ne jamais
finir, il faudra alors modifier $x_0$.

\tabex{interFF}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Fonction--droite}

\defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre la droite $(AB)$ et la courbe
représentative de la fonction $f$. À priori l'abscisse du point
sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]%
{pstInterFL}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}}

Positionne un point à une intersection de la fonction $f$ et de la droite $(AB)$.

\tabex{interFL}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \subsection{Fonction--cercle}

\defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre le cercle de centre $O$ passant
par $A$ et la courbe représentative de la fonction $f$. À priori l'abscisse du point
sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]%
  {pstInterFC}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}}

Positionne un point à une intersection de la fonction $f$ et du cercle
de centre $O$ passant par $A$. L'intersection est trouvée en utilisant l'algorithme
itératif de \textsc{Newton} avec comme valeur initale $x_0$. Le poit aura donc une
abscisse \textit{proche} de $x_0$.

\tabex{interFC}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Galerie d'exemples}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Géométrie élémentaire}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Tracé de la bissectrice}

\tabex{gal_biss}

\cbdelete%%      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%      \subsection{Angle droit allemand}
%%  
%%  En Allemagne, on utilise une autre convention pour les angles
%%  droits (remarque de U. \textsc{Dirr}).
%%  \nopagebreak[4]
%%  
%%  \tabex{german_ra}
%%  
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \cbstart\subsection{Transformation de polygones et courbes}

Voici comment utiliser le paramètre \param{CurveType} avec des tranformations.
\nopagebreak[4]

\begin{center}
\input{Exemples/curvetype}
\end{center}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/curvetype_in}\cbend

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Droites remarquables du triangle}\nopagebreak[4]

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\input{Exemples/remarq}
\end{center}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/remarq_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Cercle d'\textsc{Euler}}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\input{Exemples/euler}
\end{center}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/euler_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Orthocentre et hyperbole}

L'orthocentre d'un triangle dont les points sont situés sur les
branches de l'hyperbole ${\mathscr H} : y=a/x$ appartient à cette hyperbole.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\input{Exemples/orthoethyper}
\end{center}

\smallverbatiminput{Exemples/orthoethyper_in}

\pagebreak[4]

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Polygone régulier à 17 côtés}

Remarquable construction due à K. F. \textsc{Gauss} qui a démontré par
ailleurs qu'il était possible de construire les polygones à
$2^{2^p}+1$ côtés avec en prime la méthode général de construction. Le
polygone régulier suivant de cette famille possède donc 257 côtés !
\nopagebreak[4]

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm, CodeFig=true, RightAngleSize=.14, CodeFigColor=red,
  CodeFigB=true, linestyle=dashed, dash=2mm 2mm}
\input{Exemples/gauss}
\end{center}


\pagebreak[4]

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Tangentes de cercles}

Construction des tangentes à un cercle passant par un point donné.
\nopagebreak[4]

\begin{center}
\input{Exemples/tg1c}
\end{center}

Construction des tangentes à deux cercles.
\nopagebreak[4]

\begin{center}
\input{Exemples/tg2c}
\end{center}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Point de \textsc{Fermat} d'un triangle}

Figure de Manuel \textsc{Luque}.\nopagebreak[4]

\begin{center}
\input{Exemples/ptfermat}
\end{center}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Cercles ex-insrits et inscrit d'un triangle}

Les centres de ces cercles sont les intersections des bissectrices
intérieures et extérieures.

%% cercles inscrit et exinscrits d'un triangle
\begin{center}
\psset{unit=1cm, dash=5mm 4mm}%, PointSymbolA=none, PointSymbolB=none}
\input{Exemples/cinscex}
\end{center}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Quelques lieux de points}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Parabole}

\begin{minipage}[m]{.33\linewidth}
La parabole est l'ensemble des points situés à égale distance d'un
point : le foyer, et d'une droite : la directrice.
\end{minipage}
\newcommand{\NbPt}{11}
\input{Exemples/parabole}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/parabole_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Hyperbole}

\noindent
\begin{minipage}[b]{.55\linewidth}
L'hyperbole est composée des points dont la différence des distances
avec les foyers est constant. Pour se rafraîchir la mémoire, on peut
aller voir le «~Cours de mathématiques spéciales~», vol.~2,
\textsc{Ramis, Deschamps, Odoux}, pp{.} 226--227.
\begin{verbatim}
%% QQ RAPPELS : a=\Sommet, c=\PosFoyer,
%% b^2=c^2-a^2, e=c/a
%% pour une hyperbole -> e>1, donc c>a,
%% ici on choisi a=\sqrt{2}, c=2, e=\sqrt{2}
%% M est sur H <=> |MF-MF'|=2a
\end{verbatim}
\end{minipage}
\hfill
\input{Exemples/hyperbole}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/hyperbole_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Cycloïde}

La roue roule de $M$ à $A$. Les points du cercle parcourent
des cycloïdes. L'intérêt de cet exemple est de faire coïncider les
points de rebroussement avec des points calculés.
\nopagebreak[4]

\begin{center}
\input{Exemples/cyclo}
\end{center}\nopagebreak[4]

\smallverbatiminput{Exemples/cyclo_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Hypocycloïdes (astroïde et deltoïde)}

Une roue roule à l'intérieure d'un cercle et selon le rapport
des rayons, on obtient une astroïde, une deltoïde et dans le cas
générale des hypocycloïdes.\nopagebreak[4]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% ASTROÏDE
\input{Exemples/hypocyclo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\input{Exemples/astro}\input{Exemples/delto}
\end{center}

\smallverbatiminput{Exemples/hypocyclo}
\smallverbatiminput{Exemples/astro_in}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Enveloppes de droites et de cercles}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Coniques}

On considère un cercle et un point $A$ extérieur à ce cercle.
L'ensemble des médiatrices des segments formés par $A$ et les points
du cercle forme les deux coniques selon la place de $A$ : s'il est à
l'intérieur du cercle l'ellipse, à l'extérieur l'hyperbole. $A$ et le
centre du cercle en sont les foyers (figure d'O. \textsc{Reboux}).

\begin{center}\input{Exemples/envellipse}\end{center}

\smallverbatiminput{Exemples/envellipse_in}

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Cardioïde}

La cardioïde est l'enveloppe des cercles centrés sur un cercle et
passant par un point fixé de ce cercle.

\tabex%
  [@{}m{.5\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]%
  {envcardi}

\pagebreak[4]
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Homothéties et fractales}\nopagebreak[4]

\tabex{fracthom}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Géométrie hyperbolique : triangle et ses hauteurs}

Le comble pour de la géométrie euclidienne !

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Tracé de géodésique en géométrie hyperbolique
%% Attention ne fonctionne que si les points ne sont pas alignés avec O
%% Ceci est un cas particulier, je ne crois pas que les hauteurs
%% soient concourantes pour tous les triangles hyperboliques.
\input{Exemples/geohyper}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\appendix
\chapter{Glossaire des commandes}%%\markboth{GLOSSAIRE DES COMMANDES}{\thepage}%
%%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}Glossaire des commandes}%

Voici la liste des commandes définies par \texttt{pst-eucl}. Chacune est proposée
avec une courte description ainsi que la liste des paramètres \texttt{pst-eucl} qui
permettent de la contrôler. Il est tout à fait possible que d'autres
paramètres \PStricks puissent être utilisé, en particulier ceux contrôlant le trait
(épaisseur, couleur, style).

\input{euclide_macros.ind}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Les paramètres de \texttt{pst-eucl}}

\begin{longtable}{|l|l|p{10cm}|}
  \hline
  \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Paramètre}}&
  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Défaut}}&
  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Signification}} \\\hline\hline
  \endfirsthead
  \hline
  \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Paramètre}}&
  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Défaut}}&
  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Signification}} \\\hline\hline
  \endhead
  \hline
  \multicolumn{3}{|c|}{$\ldots$ à suivre $\ldots$}\\
  \hline
  \endfoot
  \hline
  \endlastfoot
  \param{PointSymbol}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un point.\\\hline
  \param{PointSymbolA}&\verb$default$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline
  \param{PointSymbolB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline
  \param{PointSymbolC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline
  \param{PointName}&\verb$default$&Étiquette placé auprès du point.\\\hline
  \param{PointNameA}&\verb$default$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline
  \param{PointNameB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline
  \param{PointNameC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline
  \param{PtNameMath}&\verb$true$&paramètre booléen spécifiant si le style
  mathématique doit être utilisé pour l'étiquette d'un point.\\\hline
  \param{SegmentSymbol}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un segment\\\hline
  \param{SegmentSymbolA}&\verb$default$&idem pour le premier segment d'une commande
  en marquant plusieurs.\\\hline
  \param{SegmentSymbolB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline
  \param{SegmentSymbolC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline
  \param{Mark}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un angle...\\\hline
  \param{MarkAngle}&\verb$default$&Angle à utiliser pour le symbole précédent...\\\hline
  \param{PointNameSep}&\verb$1em$&Distance séparant le symbole du point de son étiquette.\\\hline
  \param{PosAngle}&\verb$undef$&Position de l'étiquette autour du point.\\\hline
  \param{PosAngleA}&\verb$undef$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline
  \param{PosAngleB}&\verb$undef$&pour le second...\\\hline
  \param{PosAngleC}&\verb$undef$&pour le troisième...\\\hline
  \param{RightAngleSize}&\verb$.4$&Taille du symbole de l'angle droit\\\hline
  \param{RightAngleType}&\verb$default$&Type de la marque de l'angle droit, valeur
  possible : \verb$german$ et \verb$suisseromand$\\\hline
  \param{MarkAngleRadius}&\verb$.4$&Rayon de l'arc de cercle marquant un angle.\\\hline
  \param{LabelAngleOffset}&\verb$0$&Offset angulaire permettant de décaler
  l'étiquette d'un angle.\\\hline
  \param{LabelSep}&\verb$1$&Distance entre le sommet de l'angle et l'étiquette.\\\hline
  \param{LabelRefPt}&\verb$c$&Point de référence \TeX\ utilisé pour placer
  l'étiquette d'un angle.\\\hline
  \param{HomCoef}&\verb$.5$&Coefficient de l'homothétie.\\\hline
  \param{RotAngle}&\verb$60$&Angle utilisé pour la rotation.\\\hline
  \param{DrawCirABC}&\verb$true$&Paramètre booléen indiquant si le cercle circonscrit
  doit être tracé.\\\hline
  \param{CodeFig}&\verb$false$&Paramètre booléen indiquant si la construction doit
  être codée.\\\hline
  \param{CodeFigA}&\verb$false$&idem pour la première construction d'une commande en
  générant plusieurs.\\\hline
  \param{CodeFigB}&\verb$false$&La seconde.\\\hline
  \param{CodeFigColor}&\verb$cyan$&Couleur du trait pour coder la construction.\\\hline
  \param{CodeFigStyle}&\verb$dashed$&Style du trait pour coder la construction.\\\hline
  \param{CodeFigAarc}&\verb$true$&paramètre booléen spécifiant le sens de l'arcau
  niveau de la première intersection entre deux cercles.\\\hline
  \param{CodeFigBarc}&\verb$true$&idem pour la seconde.\\\hline
  \param{Radius}&\verb$none$&Spécification du rayon du cercle.\\\hline
  \param{RadiusA}&\verb$undef$&Spécification du rayon du premier cercle.\\\hline
  \param{RadiusB}&\verb$undef$&Spécification du rayon du second cercle.\\\hline
  \param{Diameter}&\verb$none$&Spécification du diamètre du cercle.\\\hline
  \param{DiameterA}&\verb$undef$&Spécification du rayon du premier cercle.\\\hline
  \param{DiameterB}&\verb$undef$&Spécification du rayon du second cercle.\\\hline
  \param{DistCoef}&\verb$none$&Coefficient multiplicatif permettant de modifier une distance/vecteur.\\\hline
  \param{AngleCoef}&\verb$none$&Coefficient multiplicatif permettant de modifier la
  mesure d'un angle.\\\hline
  \param{CurvAbsNeg}&\verb$false$&Paramètre booléen indiquant que les abscisses
  curvilignes sont dans le sens anti-trigonométrique\\\hline
  \param{GenCurvFirst}&\verb$none$&Nom du premier point d'une courbe générique (effet
  de bord).\\\hline
  \param{GenCurvLast}&\verb$none$&Nom du dernier point d'une courbe générique (effet
  de bord).\\\hline
  \param{GenCurvInc}&\verb$none$&valeur à utiliser comme incrément dans une courbe générique.\\\hline
  \cbstart%
  \param{CurveType}&\verb$none$&Mode de tracé de courbe pour relier une liste de points.\\\hline
  \param{TransformLabel}&\verb$none$&étiquette utilisée pour marquer la rotation ou la
    translation.\\\hline
\end{longtable}

\cbend

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\cbstart\chapter{Compatibilité ascendantes de \texttt{pst-eucl}}

Nouveauté pour cette version, des commandes ont changé de syntaxe sans changer de
nom, la compatibilité ascendante n'est donc pas maintenue. Toutefois, pour éviter àà
certains utilisateurs pressés de mettre à jour leur fichier dans l'urgence, il est
possible de retrouver l'ancienne syntaxe en activant l'option \texttt{old} à l'inclusion de
l'extension \verb$\usepackage[old]{pst-eucl}$. Pour cette version cela concerne
toutes les commandes des transformations. Il faut donc se reporter à l'ancien manuel
pour avoir la syntaxe.

\cbend
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Une figure fractale : le flocon de \textsc{von Koch}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% TENTATIVE DE FLOCON DE VON KOCH
\newcounter{nbvk}%
%%%%%%%%%%%%%
%% PILE LIFO%
\newcounter{lifon}\setcounter{lifon}{1}%%
\newcommand{\Push}[1]{%%
  \expandafter\edef\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname{#1}%%
  \addtocounter{lifon}{1}%%
  }%
\newcommand{\Pop}{\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{nombre}\setcounter{nombre}{0}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\vonkoch}[3]{%%
  \setcounter{nbvk}{#1}%%
  \edef\Pointi{#2}\edef\Pointii{#3}%%
  \ifnum\value{nbvk}=1%
    \ncline{\Pointi}{\Pointii}%
  \else % ELSE%
    \addtocounter{nombre}{1}%
    %% position des nouveauX points%
    \pstHomO[HomCoef=1 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}1}%
    \pstHomO[HomCoef=2 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}2}%
    \pstRotation[RotAngle=60]{P\arabic{nombre}1}{P\arabic{nombre}2}{P\arabic{nombre}3}%
    \addtocounter{nbvk}{-1}%%
    \Push{\Pointi}\Push{\Pointii}\Push{\arabic{nombre}}\Push{\arabic{nbvk}}%
    \vonkoch{\value{nbvk}}{\Pointi}{P\arabic{nombre}1}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{4}%
    \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal1}{P\nombrelocal3}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{4}%
    \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal3}{P\nombrelocal2}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}%
    \addtocounter{lifon}{4}%
    \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal2}{\Pointii}%
    \addtocounter{lifon}{-4}%
  \fi%
}%
\psset{unit=2.5cm}%
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)%
  \psset{PointSymbol=none}
  \pstGeonode(-2,-2){A}\pstGeonode(2,2){B}%
  \pstRotation[RotAngle=60]{B}{A}{C}%
  \vonkoch{5}{A}{B}\setcounter{nombre}{0}%%%
  \vonkoch{4}{B}{C}\setcounter{nombre}{0}%%%
  \vonkoch{4}{C}{A}%%
\end{pspicture}%
%
\end{document}%

\begin{pspicture*}(-4,-5)(4,5)%\psgrid
  %%  \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O}
  %%  \pstGeonode[PosAngle=-90](1,0.5){I}
  %%  \pstGeonode[PosAngle=-180](0.5,2){J}
  \pstGeonode[PosAngle={-135,-90,-180}]{O}(1,0.5){I}(0.5,2){J}
  \pstLineAB[nodesep=100]{O}{I}
  \pstLineAB[nodesep=100]{O}{J}
  \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline(0,-.15)(0,.15)}%
  \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline[linestyle=dotted](-10,-40)(10,40)}%
  \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline(-.15,0)(.15,0)}%
  \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline[linestyle=dotted](-10,-5)(10,5)}%
  %% huit points
  \psset{PointSymbol=x}
  \pstOIJGeonode(1,2){A}{O}{I}{J}
  \pstOIJGeonode(-2,1){B}{O}{I}{J}
  \pstOIJGeonode(-1,-1.5){C}{O}{I}{J}
  \pstOIJGeonode(2,-1){D}{O}{I}{J}
\end{pspicture*}
%