1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
|
\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{xgreek,graphicx}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\RequirePackage{fontspec}
\RequirePackage{unicode-math}
\setmainfont[%
ItalicFont=NewCM10-Italic.otf,%
BoldFont=NewCM10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCM10-BoldItalic.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCM10-Regular.otf}
\setsansfont[%
ItalicFont=NewCMSans10-Oblique.otf,%
BoldFont=NewCMSans10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCMSans10-BoldOblique.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMSans10-Regular.otf}
\setmonofont[ItalicFont=NewCMMono10-Italic.otf,%
BoldFont=NewCMMono10-Bold.otf,%
BoldItalicFont=NewCMMono10-BoldOblique.otf,%
SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMMono10-Regular.otf}
\setmathfont{NewCMMath-Regular.otf}
\newcommand{\tttextsc}[1]{{\ttscshape#1}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα}
\newtheorem{theoremr}[theorem]{теорема}
\begin{document}
\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
$|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
$|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}
\newpage
\sffamily
\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
$|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
$|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}
\newpage
\ttfamily
\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
$|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):
\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
$|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}
\end{document}
|
