\section{Galerie} \subsection{Tableaux de signes} L'exemple suivant provient de la documentation de l'excellent \tkzname{tablor.sty}. \medskip \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3] {$x$ /1, Signe de\\ $-2+3$ /1.5, Signe de\\ $-x+5$ /1.5, Signe de\\ $(-2x+3)(-x+5)$ /1.5 }% {$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$,$5$,$+\infty$}% \tkzTabLine { ,+,z,-,t,-, } \tkzTabLine { ,+,t,+,z,-, } \tkzTabLine { ,+,z,-,z,+, } \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Variations de fonctions} \subsubsection{Variation d'une fonction rationnelle} Cet exemple a été cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar} Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \frac{x^3+2}{2x}$ sur $]-\infty~;~+\infty[$ \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[] {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} {$-\infty$ , $0$ , $1$ , $+\infty$} \tkzTabLine{,-,d,-,z,+,} \tkzTabVar{+/$+\infty$ ,-D+/$-\infty$ / $+\infty$ ,-/$\frac{3}{2}$, +/$+\infty$} \tkzTabVal{1}{2}{0.4}{$ -\sqrt[3]{2}$}{$0$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsubsection{Variation d'une fonction irrationnelle} Autre exemple cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar} Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ sur $]-\infty~;~-1[\cup ]1~;~+\infty[$ \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[] {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$} \tkzTabLine{,+,d,h,d,+, } \tkzTabSlope{ 3/ /+\infty} \tkzTabVar{-/$1$ ,+DH/$+\infty$ ,-/$0$, +/$1$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} Un prolongement par continuité pourrait être : $f(x)=0$ sur $[-1~;~1]$ alors le tableau deviendrait \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[] {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$} \tkzTabLine{,+,d,0,d,+, } \tkzTabSlope{ 3/ /+\infty} \tkzTabVar{-/$1$ ,+D-/$+\infty$/$0$ ,-/$0$, +/$1$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Fonctions trigonométriques} \NameFonct{Fonctions trigonométriques} \subsubsection{Variation de la fonction tangente} \NameFonct{Fonction tangente} Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \tan{x}$ sur $[0~;\pi]$ \begin{tkzexample}[vbox] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}% {$0$ ,$\frac{\pi}{2}$ , $\pi$}% \tkzTabLine{ ,+,d,+, } \tkzTabVar{-/$0$ , +D-/$+\infty$/$-\infty$ , +/$0$ } \tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{4}$}{$1$} \tkzTabVal{2}{3}{0.5}{$\frac{3\pi}{4}$}{$1$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsubsection{Variation de la fonction cosinus} \NameFonct{Fonction cosinus} Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \cos{x}$ sur $[-\pi~;~+\pi]$ \begin{tkzexample}[vbox] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}% {$0$ , $\pi$}% \tkzTabLine{ , + , } \tkzTabVar{+/$1$ , -/$-1$ } \tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{2}$}{$0$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Fonctions paramétrées et trigonométriques} \NameFonct{Fonctions paramétrées} \NameFonct{Fonctions trigonométriques} Étude sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ \begin{equation*} \left\{% \begin{array}{l} x(t) = \cos(3t)\\ y(t) = \sin(4t) \end{array}\right. \end{equation*} \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[ lgt=3 , espcl=3]% {$t$ /1, Signe de\\ $x'(t)$ /1.5, Variations de\\ $x$ /3, Variations de\\ $y$ /3, Signe de\\ $y'(t)$ /1.5} {$0$ , $\frac{\pi}{8}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{3\pi}{8}$ , $\frac{\pi}{2}$ }% \tkzTabLine {z , - ,-3\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) , - , z , + ,% 3\sin\left(\frac{\pi}{8}\right),+,3} \tkzTabVar { +/$1$ , R/ , -/$-1$/ , R/ , +/$0$ } \tkzTabIma{1}{3}{2}{$\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)$} \tkzTabIma{3}{5}{4}{$-\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$} \tkzTabVar { -/$0$ , +/$1$ , R/ , -/$-1$ , +/$0$ } \tkzTabIma{2}{4}{3}{$\frac{-\sqrt{3}}{2}$} \tkzTabLine {4 , + , z , - , -2 , - , z ,+,4} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Baccalauréat Asie ES 1998} \index{Baccalauréat} Une petite astuce, en principe \tkzname{z} est le symbole à mettre dans la liste pour obtenir un zéro centré sur un trait en pointillés. Si on veut que le zéro soit sans le trait , il suffit de remplacer \tkzname{z} par \tkzname{0}. Celui-ci n'est pas un symbole reconnu, il est donc traiter comme une chaîne normale. Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par : \[ f(x)=\E^x(\E^x+a)+b \] où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}% {$-\infty$,$0$,$+\infty$}% {,, z ,,}% {+/ $-3$ , -/ , +/ } \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$). \item \begin{enumerate} \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus. \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation \[ \E^x(\E^x-2)-3=0 \] (on pourra pose $X=\E^x$). \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : \[ \E^x(\E^x-2)-3\geq -4 \] \[ \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0 \] (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les informations obtenues en 2.b) \end{enumerate} \begin{tkzexample}[code only,small] Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par : \[ f(x)=\E^x(\E^x+a)+b \] où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}% {$-\infty$,$0$,$+\infty$}% {,, z ,,}% {+/ $-3$ , -/ , +/ } \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$). \item \begin{enumerate} \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus. \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation \[ \E^x(\E^x-2)-3=0 \] (on pourra pose $X=\E^x$). \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : \[ \E^x(\E^x-2)-3\geq -4 \] \[ \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0 \] (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les informations obtenues en 2.b) \end{enumerate} \end{tkzexample} \subsection{Baccalauréat} \index{Baccalauréat} On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ : \[ f(x)=ax+b+\ln(-2x) \] où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[]% {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}% {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}% {,+,$0$,-,}% {-//, +/$2$/, -//} \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent cette fonction. \item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$. \item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{tkzexample}[small,code only] On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ : \[ f(x)=ax+b+\ln(-2x) \] où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[]% {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}% {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}% {,+,$0$,-,}% {-//, +/$2$/, -//} \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent cette fonction. \item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$. \item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{tkzexample} \subsection{Baccalauréat Guyane ES 1998 } \index{Baccalauréat} C'est cet exemple qui m'a obligé à penser aux commandes du style $+V+$. Sans doute, voulait-on ne pas influencer les élèves avec la vision d'une double barre (trop souvent associée à la présence d'une asymptote). \textbf{Le sujet :} {\parindent=0pt On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[lgt=3]% {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5} {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$} {,-,$0$,+, ,-,} {+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$} \end{tikzpicture} \end{center} On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe) \vspace{6pt} \textbf{Première partie} En interprétant le tableau donné ci-dessus :% \begin{enumerate} \item Préciser l'ensemble de définition de $f$. \item Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ : \begin{enumerate} \item l'asymptote horizontale (D); \item l'asymptote verticale (D'); \item le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Seconde partie} On donne maintenant l'expression de $f$ : \[ f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2} \] \begin{enumerate} \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$. \item Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant ( recopier ce tableau sur votre copie). \end{enumerate} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1 , $f(x)$ /1}% {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}% \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}% \makeatletter \foreach \x in {1,...,5} \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x} \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center); \end{tikzpicture} } \begin{tkzexample}[code only,small] On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[]% {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5} {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$} {,-,$0$,+, ,-,} {+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$} \end{tikzpicture} \end{center} \vspace{6pt} On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère. Le plan est muni d'un repère% orthonormal $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe)% \textbf{Première partie} En interprétant le tableau donné ci-dessus :% \begin{enumerate} \item Préciser l'ensemble de définition de $f$. \item Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ : \begin{enumerate} \item l'asymptote horizontale (D); \item l'asymptote verticale (D'); \item le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Seconde partie} On donne maintenant l'expression de $f$ : \[ f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2} \] \begin{enumerate} \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$. \item Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant ( recopier ce tableau sur votre copie). \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1,$f(x)$ /1}% {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}% \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}% \makeatletter \foreach \x in {1,...,5} \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x} \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center); \end{tikzpicture} \end{enumerate} \vfill \end{tkzexample} \subsection{Exemple relatif à une question: problème de virgule} Il suffit pour régler ce genre de problème d'utiliser le package numprint. La macro |\np| permet d'afficher correctement $1,5$. \begin{tkzexample}[code only, small] \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \end{tkzexample} \begin{tkzexample}[vbox] \begin{tikzpicture}[scale=1] \tkzTabInit[lgt=6,espcl=7] {$x$/0.75, $x\np{-1.5}$/0.75} {$-\infty$,$+\infty$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Quelques tableaux classiques} Tableau 1 (ln) : \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1,$\ln'(x)$/1,$\ln(x)$/2}{$0$,$+\infty$} \tkzTabLine{d,+,} \tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$+\infty$,} \tkzTabVal{1}{2}{0.4}{1}{0} \tkzTabVal{1}{2}{0.67}{$\E$}{1} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \bigskip Tableau 2 (racine) : \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)=\sqrt{x}$/2}{$0$,$+\infty$} \tkzTabLine{d,+,} \tkzTabVar{-/0,+/$+\infty$,} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \bigskip Tableau 3 (inverse) : \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/1,$f'(x)=-\dfrac{1}{\ x^2}$/1,$f(x)=\dfrac{1}{x}$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$} \tkzTabLine{,-,d,-,} \tkzTabVar{+/0,-D+/$-\infty$/$+\infty$,-/0} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \bigskip Tableau 4 (\(f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}\)): \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[]{\(x$/1,$f'(x)\)/1,\(f(x)\)/2}{\(-\infty\),\(-2\),\(0\),2,\(+\infty\)} \tkzTabLine{,+,z,-,d,-,z,+,} \tkzTabVar{-/\(-\infty\),+/-4,-D+/$-\infty$/$+\infty$,-/4,+/\(+\infty\)} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \bigskip Tableau 5 (cos): \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,$-\sin(x)$/1,$\cos(x)$/2}{$0$,$\pi$,$2\pi$} \tkzTabLine{z,-,z,+,z} \tkzTabVar{+/$1$,-/$-1$,+/$1$} \tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\dfrac{\pi}{2}$}{0} \tkzTabVal{2}{3}{0.5}{$\dfrac{3\pi}{2}$}{0} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Utilisation de la macro \tkzcname{par}} Et bien c'est impossible. La meilleure solution est d'utiliser la macro |\parbox| sinon l'emploi de |\endgraf| définit par |\let\endgraf=\par| peut faire l'affaire. \begin{tkzexample}[width=7cm,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit {$x$ / 1 ,$f(x)$ /1}% {$0$,$1$} \tkzTabLine{,\parbox{3cm}{$u(x)$\\ $v(x)$},} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Exemple utiisant l'option help} \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[color, colorT = red!20, colorC = yellow!20, colorL = cyan!40, colorV = lightgray!20, espcl=3,help] {$x$ /1, $f''$ /1,$f'$ /2, $f$ /2} {$-\infty$ , $0$ ,$+\infty$} \tkzTabLine{, - , z , + ,} \tkzTabVar{+/$+\infty$ , -/$-2$ , +/$+\infty$} \tkzTabVal[draw]{1}{2}{.6}{$x_1$}{$0$} \tkzTabVal[draw]{2}{3}{.4}{$x_2$}{$0$} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tikzset{arrow style/.style = {black, >-> = latex’,thick , shorten > = 5pt, shorten < = 5pt}} \tkzTabInit[color, colorT = red!20, colorC = yellow!20, colorL = cyan!40, colorV = lightgray!20, espcl=3] {$x$ /1, $f''$ /1,$f'$ /2, $f$ /2} {$-\infty$ , $0$ ,$+\infty$} \tkzTabLine{, - , z , + ,} \tkzTabVar{+/$+\infty$ , -/$-2$ , +/$+\infty$} \tkzTabVal[draw]{1}{2}{.6}{$x_1$}{$0$} \tkzTabVal[draw]{2}{3}{.4}{$x_2$}{$0$} \begin{scope}[>->,line width=1pt,>=stealth] \path (N13) -- (N23) node[midway,below=6pt](N){}; \draw ([above=6pt]N14) to [bend left=45] ([left=1pt]N); \draw ([right=3pt]N) to [bend left=45] ([above=6pt]N24) ; \draw ([above right=6pt]N24)to [bend right=40] ([below left=6pt]N33); \end{scope} \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \subsection{Exemple modifiant la largeur d'une colonne} Cette modification n'est pas prévue. Une astuce consiste à intoduire des colonnes vides. \begin{tkzexample}[vbox,small] \begin{tikzpicture} \tikzset{t style/.style = {style = densely dashed}} \tkzTabInit[lgt=4, espcl = 1.2, lw = 0.5pt, deltacl=0] { / 0.7 , $x(x^2-5x+4)$ / 1}{ ,$0$, $1$, , $4$,} \tkzTabLine{,-,t,+,t,,-,,t, +,} \draw[fill=black] (N21) circle(2pt); \draw[fill=black] (N31) circle(2pt); \draw[fill=black] (N51) circle(2pt); \draw[->=stealth, line width=1.5pt] (N11) -> (N61.east) node[right=2pt] {$x$}; \end{tikzpicture} \end{tkzexample} \endinput