%Format: PDF \documentclass[a4paper,11pt]{article} \addtolength{\textwidth}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \setlength{\parindent}{0mm} \setlength{\parskip}{.5\baselineskip} \usepackage{tabvar} %\usepackage[FlechesPS]{tabvar} %\usepackage[FlechesMP]{tabvar} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \IfFileExists{lmodern.sty}{\usepackage{lmodern}}{} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large\bfseries Exemples de tableaux de variations avec \texttt{tabvar} \end{center} Un exemple simple : $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+2}{2x} \qquad f'(x)=\frac{x^3-1}{x^2}$. \[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & 0 & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & & - & & - & \dbarre & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{3}{3}f(x) &+\infty &\decroit &0 &\decroit &\discont{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline \end{tabvar}\] Le codage du tableau est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & &0 & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &- & &- &\dbarre &- & 0 &+ & \\ \hline \niveau{3}{3}f(x) &+\infty &\decroit &0 &\decroit &\discont{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} L'argument optionnel de \verb|\discont| n'a pas été utilisé, on obtiendrait une meilleure présentation en lui donnant la valeur~1, ce qui écarterait d'un interligne les valeurs $+\infty$ et~$-\infty$, mettant ainsi les trois valeurs~$+\infty$ sur la même ligne. D'autre part, $f(x)$ est placé au niveau~3 par la commande \verb|\niveau|. Si on souhaitait que $f(x)$ soit placé plus bas, au niveau~2 par exemple, il faudrait coder :\\ \verb|\niveau{2}{3}f(x)} &\niveau{3}{3}+\infty}| Voici le résultat obtenu avec ces deux modifications : \[\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & &0 & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &- & &- &\dbarre &- & 0 &+ & \\ \hline \niveau{2}{3}f(x) &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &0 &\decroit &\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline \end{tabvar}\] Une présentation plus traditionnelle du tableau de variations serait la suivante (on renonce à l'utilisation de \verb|\discont| et on remplace la colonne \texttt{C} par trois colonnes \texttt{LCR}, la colonnne centrale contenant une double barre). On ajoute également des filets verticaux pour les valeurs remarquables de la fonction ou de sa dérivée grâce à la commande \verb|\barre{}|% \footnote{Cette commande n'est disponible que depuis la version 1.1 (mai~2007) de \texttt{tabvar}.} (argument \emph{obligatoire}, éventuellement vide). \[\begin{tabvar}{|C|CCCCLCRCCCC|} \hline x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &- & \barre{} &- & &\dbarre & &- & \barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{2}{3}f(x) &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{0} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline \end{tabvar}\] Le codage est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCCCLCRCCCC|} \hline x &-\infty & &-\sqrt[3]{2} & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &- & \barre{} &- & &\dbarre & &- & \barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{2}{3}f(x) &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{0} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} Noter la présence de la seconde commande \verb|\niveau| pour positionner le terme \verb|+\infty| au niveau~3 après la discontinuité. \newpage Un exemple de courbe paramétrée : $\displaystyle x(t)= t + \frac{1}{t}\qquad y(t) = t + \frac{1}{2t^2}$. \[ \begin{tabvar}{|C|CCRCCCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & 0 & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ & 0 & - & \dbarre & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &-2 &\decroit &\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit &2 &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 & + & \dbarre & - & 0 &+ & \\ \hline \end{tabvar} \] Le codage est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & 0 & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ & 0 & - & \dbarre & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &-2 &\decroit &\discont[1]{-\infty}{<}{+\infty} &\decroit &2 &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 & + & \dbarre & - & 0 &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} \newpage Le même tableau de variations en présentation \og traditionnelle \fg. \[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ &\barre{0} &- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &\barre{-2} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{2} &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] Le codage est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ &\barre{0} &- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &\barre{-2} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{2} &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} Noter que le type de la colonne $t=-1$ a dû être changé de \texttt{R} à \texttt{C} pour permettre l'ajout du filet vertical. \newpage Il est possible de choisir entre quatre types de flèches grâce aux commandes \verb+\FlechesPS1+ (flèches « à moustaches » obtenues par défaut) \dots{} \verb+\FlechesPS4+. Voici le même tableau avec des flèches assorties à la police Fourier (\verb+\FlechesPS2+) : \FlechesPS2 \[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ &\barre{0} &- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &\barre{-2} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{2} &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] Une autre variante (\verb+\FlechesPS3+) \FlechesPS3 : \[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ &\barre{0} &- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &\barre{-2} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{2} &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] et une dernière (\verb+\FlechesPS4+) \FlechesPS4 : \[\begin{tabvar}{|C|CCCCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ &\barre{0} &- & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &\barre{-2} &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &\barre{2} &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\barre{\frac{3}{2}} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 &+ & &\dbarre & &- &\barre{0} &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] \newpage Le même tableau encore, mais cette fois on utilise les flèches dessinées en MetaPost. Celles-ci sont conservées uniquement pour préserver la compatibilité ascendante, l'utilisation des flèches PostScript est de loin préférable (les flèches MetaPost sont des \emph{dessins}, leur couleur ne change pas avec la couleur du texte contrairement aux flèches PostScript qui sont des \emph{caractères}). Le flèches MetaPost sont obtenues avec \verb|\usepackage[FlechesMP]{tabvar}| ou la commande \verb|\FlechesMPtrue| placée dans le préambule ou dans le fichier \texttt{tabvar.cfg}. \begingroup \newsavebox{\arup}% \newsavebox{\ardown}% \newsavebox{\arhor}% \sbox{\arup}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.1}}% \sbox{\ardown}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.2}}% \sbox{\arhor}{\includegraphics[scale=\TVarrowscale]{tabvar.3}}% \makeatletter \renewcommand{\FlecheC}{% \TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\arup}}}}% \renewcommand{\FlecheD}{% \TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\ardown}}}}% \renewcommand{\FlecheH}{% \TV@arrowcol@stretch{\raisebox{.5ex}{\usebox{\arhor}}}}% \makeatother \[\begin{tabvar}{|C|CCRCRCLCCCC|} \hline t &-\infty & &-1 & & &0 & & & 1 & &+\infty \\ \hline x'(t) & &+ & 0 & - & &\dbarre & & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{1}{3} x(t) &-\infty &\croit &-2 &\decroit &-\infty &\dbarre &\niveau{3}{3}+\infty &\decroit &2 &\croit &+\infty \\ \hline \niveau{1}{3} y(t) &-\infty &\croit &-\frac{1}{2} &\croit &+\infty &\dbarre &+\infty &\decroit &\frac{3}{2} &\croit &+\infty \\ \hline y'(t) & &+ &2 & + & & \dbarre & & - & 0 &+ & \\ \hline \end{tabvar}\] \endgroup Un exemple de fonction non définie partout : $\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$. \[\begin{tabvar}{|C|CCRNLCC|} \hline x &-\infty & &-1 &\hspace*{15mm} & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & & + & & &+\infty & + & \\ \hline \niveau{1}{2} f(x) &1 &\croit &+\infty & &\niveau{1}{2}0 &\croit & 1 \\ \hline \end{tabvar}\] Le codage est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCRNLCC|} \hline x &-\infty & &-1 &\hspace*{15mm} & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &+ & & &+\infty &+ & \\ \hline \niveau{1}{2} f(x) &1 &\croit &+\infty & &\niveau{1}{2}0 &\croit & 1 \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} La largeur de la colonne grisée est fixée à~15mm par le \verb|\hspace*{15mm}| placé dans une ligne quelconque du tableau. Certains visualiseurs (Xdvi par exemple) n'affichent pas correctement les couleurs ; en cas de doute, vérifier sur une sortie PostScript ou PDF. Noter l'emploi d'une seconde commande \verb|\niveau{1}{2}| pour positionner la valeur de~$f$ au point~1 (sans celle-ci, cette valeur serait placée au niveau de la valeur précédente, ici~$+\infty$. Si on prolongeait la définition de $f$ en posant $f(x)=0$ sur $[-1,1]$ on aurait le tableau suivant : \[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCC|} \hline x &-\infty & & &-1 & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &+ & &\dbarre & 0 &+\infty &+ & \\ \hline \niveau{1}{2} f(x) &1 &\croit &+\infty &\niveau{1}{2}0 &\constante &0 &\croit & 1 \\ \hline \end{tabvar}\] Le codage est le suivant : \begin{verbatim} \[\begin{tabvar}{|C|CCRCCCCC|} \hline x &-\infty & & &-1 & & 1 & &+\infty \\ \hline f'(x) & &+ & &\dbarre & 0 &+\infty &+ & \\ \hline \niveau{1}{2} f(x) &1 &\croit &+\infty &\niveau{1}{2}0 &\constante &0 &\croit & 1 \\ \hline \end{tabvar}\] \end{verbatim} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% coding: latin-1 %%% End: