\documentclass{ispit} \title{Matematika 3} \begin{document} \begin{ispit}{06.~srpnja 2006.} \begin{napomena} Matematika 3A rje\v{s}ava zadatke 1--6; Matematika 3 rje\v{s}ava 1,3, 4, 6, 7, 9; Matematika 3B rje\v{s}ava zadatke~4--9. \end{napomena} \bigskip %>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>. \begin{zadatak} Funkciju $\sin x + \sh x$ aproksimiramo u ra\v{c}unalu, kori\v{s}tenjem po\v{c}etnih komada Taylorovih redova oko $0$ za te funkcije. \v{C}lanove svakog reda zbrajamo sve dok prvi odba\v{c}eni \v{c}lan ne padne ispod zadane to\v{c}nosti $\varepsilon$, $0 < \varepsilon \ll 1$. Ho\'{c}e li za $x = 10$ takva aproksimacija biti pribli\v{z}no to\v{c}na ili ne? Objasnite. \end{zadatak} \begin{zadatak} Profesor Senilkovi\'{c} na\v{s}ao se u problemima, jer je zaboravio je li LR faktorizaciju matrice radio s parcijalnim pivotiranjem ili bez njega. Dobivena matrica $L$ bila je \begin{displaymath} L = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & & \\ 2 & 1 & \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]. \end{displaymath} Pomozite prof.\ Senilkovi\'{c}u i objasnite mu zbog \v{c}ega je odmah vidljivo je li koristio pivotiranje ili ne. \end{zadatak} \begin{zadatak} Na\dj ite koliko je podintervala potrebno (po ocjeni gre\v{s}ke), a zatim produljenom Simpsonovom metodom izra\v{c}unajte pribli\v{z}nu vrijednost integrala \begin{displaymath} \int_1^2 \left( \frac{x^5}{60} + \frac{x^4}{4} + 2x^2 - x \right) \, dx \end{displaymath} tako da gre\v{s}ka bude manja od $10^{-4}$. \end{zadatak} %>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>. \begin{zadatak} Bacamo dvije igra\'ce kocke. Dobiveni zbroj na njima je 8. Koja je vjerojatnost da je na jednoj od njih (svejedno kojoj) pala 2-ojka? \end{zadatak} \begin{zadatak} Za slu\v{c}ajnu varijablu $X$ koja ima normalnu razdiobu $\mathcal{N}(\mu =100, \sigma)$ odredite standardnu devijaciju $\sigma$ tako da vrijedi $$P(99 < X < 101)=0.5 .$$ \end{zadatak} \begin{zadatak} Predsjedni\v{c}ki kandidat $A$ pobijediti \'ce kandidata $B$ na predsjedni\v{c}kim izborima sa $55\%$ glasova. \begin{compactenum}[a)] \item Kolika je vjerojatnost da slu\v{c}ajni uzorak veli\v{c}ine $N=200$ glasa\v{c}a predvidi krivi ishod izbora -- odnosno da u tom uzorku $A$ dobije manje od $50\%$ glasova? \item Kolika mora biti veli\v{c}ina uzorka da vjerojatnost krive prognoze izbora bude manja od $5\%$? \end{compactenum} \end{zadatak} \begin{zadatak} Polo\v{z}aji dviju \v{c}estica koje se gibaju u prostoru dani su parametrizacijama $$\vec{r}_1(t) = (2t^3, 1-t, t^2), \qquad \vec{r}_2 = (1+t, t^2+2, t^3)\ .$$ \begin{compactenum}[a)] \item Kolika je me\dj{}usobna udaljenost \v{c}estica u trenutku $t=0$? \item Koja \v{c}estica ima ve\'ce ubrzanje u trenutku $t=1$? \end{compactenum} \end{zadatak} \begin{zadatak} Neka je $U$ skalarno polje zadano s $ U = xyz + yz + z-1$. Izra\v cunajte $$\int_{K} U |d\overrightarrow{r}|$$ gdje je $K$ du\v zina koja spaja to\v cke $A(3,0,1)$ i $B(3,1,2)$. \end{zadatak} \begin{zadatak} Izra\v{c}unajte $$\oint_C \vec{F} d\vec{r}$$ za polje $\overrightarrow{F}=(y^2, zy, xy)$. Krivulja $C$ je pozitivno orijentirani rub kvadrata s vrhovima $(1,1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$, $(1,-1)$ u $xy$-ravnini. % \bodovi{20 bodova} \end{zadatak} \end{ispit} \end{document}