\chapter{B.a.-ba du mode mathématique} De manière générale, soit $x$ un nombre (entier pour le moment) dans la base de numération $b$ composé de $m$ chiffres ou symboles, c'est-à-dire \begin{equation*} x = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0, \end{equation*} où $0 \leq x_i \leq b - 1$. On a donc \begin{equation} \label{eq:ordinateurs:def_base} x = \sum_{i = 0}^{m - 1} x_i b^i. \end{equation} Lorsque le contexte ne permet pas de déterminer avec certitude la base d'un nombre, celle-ci est identifiée en indice du nombre par un nombre décimal. Par exemple, $10011_2$ est le nombre binaire $10011$. Soit le nombre décimal $348$. Selon la notation ci-dessus, on a $x_0 = 8$, $x_1 = 4$, $x_2 = 3$ et $b = 10$. En effet, et en conformité avec \eqref{eq:ordinateurs:def_base}, \begin{displaymath} 348 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 8 \times 10^0. \end{displaymath} Ce nombre a les représentations suivantes dans d'autres bases. En binaire: \begin{align*} 101011100_{2} &= 1 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 1 \times 2^6 \\ &\phantom{=} + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 \\ &\phantom{=} + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0. \end{align*} En octal: \begin{equation*} 534_{8} = 5 \times 8^2 + 3 \times 8^1 + 4 \times 8^0. \end{equation*} En hexadécimal: \begin{equation*} 15\mathrm{C}_{16} = 1 \times 16^2 + 5 \times 16^1 + 12 \times 16^0. \end{equation*} Des représentations ci-dessus, l'hexadécimale est la plus compacte: elle permet de représenter avec un seul symbole un nombre binaire comptant jusqu'à quatre chiffres. C'est, entre autres, pourquoi c'est une représentation populaire en informatique.% Dans un ordinateur réel (par opposition à théorique), l'espace disponible pour stocker un nombre est fini, c'est-à-dire que $m < \infty$. Le plus grand nombre que l'on peut représenter avec $m$ chiffres ou symboles en base $b$ est \begin{align*} x_{\text{max}} &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\ &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\ &= (b - 1) \left( \frac{b^m - 1}{b - 1} \right) \\ &= b^m - 1. \end{align*}