% \iffalse meta-comment % % Copyright (C) 2017--2020 by Xiangdong Zeng % % This work may be distributed and/or modified under the % conditions of the LaTeX Project Public License, either % version 1.3c of this license or (at your option) any later % version. The latest version of this license is in: % % http://www.latex-project.org/lppl.txt % % and version 1.3 or later is part of all distributions of % LaTeX version 2005/12/01 or later. % % This work has the LPPL maintenance status `maintained'. % % The Current Maintainer of this work is Xiangdong Zeng. % % \fi %********************************************************************* % fduthesis: 复旦大学论文模板 % 2020/08/30 v0.7e % % 重要提示: % 1. 请确保使用 UTF-8 编码保存 % 2. 请使用 XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译 % 3. 请仔细阅读用户文档 % 4. 修改、使用、发布本文档请务必遵循 LaTeX Project Public License % 5. 不需要的注释可以尽情删除 %********************************************************************* \documentclass{fduthesis} % 模板选项: % type = doctor|master|bachelor 论文类型,默认为本科论文 % oneside|twoside 论文的单双面模式,默认为 twoside % draft = true|false 是否开启草稿模式,默认关闭 % 带选项的用法示例: % \documentclass[oneside]{fduthesis} % \documentclass[twoside, draft=true]{fduthesis} % \documentclass[type=bachelor, twoside, draft=true]{fduthesis} \fdusetup{ % 参数设置 % 允许采用两种方式设置选项: % 1. style/... = ... % 2. style = { ... = ... } % 注意事项: % 1. 不要出现空行 % 2. “=” 两侧的空格会被忽略 % 3. “/” 两侧的空格不会被忽略 % 4. 请使用英文逗号 “,” 分隔选项 % % style 类用于设置论文格式 style = { % font = times, % 西文字体(包括数学字体) % 允许选项: % font = garamond|libertinus|lm|palatino|times|times*|none % % cjk-font = fandol, % 中文字体 % 允许选项: % cjk-font = adobe|fandol|founder|mac|sinotype|sourcehan|windows|none % % 注意: % 1. 中文字体设置高度依赖于系统。各系统建议方案: % windows:cjk-font = windows % mac: cjk-font = mac % linux: cjk-font = fandol(默认值) % 2. 除 fandol 和 sourcehan 外,其余字体均为商用字体,请注意版权问题 % 3. 但 fandol 字体缺字比较严重,而 sourcehan 没有配备楷体和仿宋体 % 4. 这里中西文字体设置均注释掉了,即使用默认设置: % font = times % cjk-font = fandol % 5. 使用 font = none / cjk-font = none 关闭默认字体设置,需手动进行配置 % font-size = 5, % 字号 % 允许选项: % font-size = -4|5 % % fullwidth-stop = catcode, % 是否把全角实心句点 “.” 作为默认的句号形状 % 允许选项: % fullwidth-stop = catcode|mapping|false % 说明: % catcode 显式的 “。” 会被替换为 “.”(e.g. 不包括用宏定义保存的 “。”) % mapping 所有的 “。” 会被替换为 “.”(使用 LuaLaTeX 编译则无效) % false 不进行替换 % footnote-style = xits, % 脚注编号样式 % 允许选项: % footnote-style = plain|libertinus|libertinus*|libertinus-sans| % pifont|pifont*|pifont-sans|pifont-sans*| % xits|xits-sans|xits-sans* % % hyperlink = color, % 超链接样式 % 允许选项: % hyperlink = border|color|none % % hyperlink-color = default, % 超链接颜色 % 允许选项: % hyperlink-color = default|classic|elegant|fantasy|material| % business|science|summer|autumn|graylevel|prl % 默认与西文字体保持一致 % bib-backend = bibtex, % 参考文献支持方式 % 允许选项: % bib-backend = bibtex|biblatex % % bib-style = numerical, % 参考文献样式 % 允许选项: % bib-style = author-year|numerical|<其他样式> % 说明: % author-year 著者—出版年制 % numerical 顺序编码制 % <其他样式> 使用其他 .bst(bibtex)或 .bbx(biblatex)格式文件 % % cite-style = {}, % 引用样式 % 默认为空,即与参考文献样式保持一致 % 仅适用于 biblatex;如要填写,需保证相应的 .cbx 格式文件能被调用 % bib-resource = {fduthesis-template.bib}, % 参考文献数据源 % 可以是单个文件,也可以是用英文逗号 “,” 隔开的一组文件 % 如果使用 biblatex,则必须明确给出 .bib 后缀名 % % logo = {fudan-name.pdf}, % 封面中的校名图片 % 模版已自带,通常不需要额外配置 % % logo-size = {0.5\textwidth}, % 只设置宽度 % logo-size = {{}, 3cm}, % 只设置高度 % logo-size = {8cm, 3cm}, % 设置宽度和高度 % 设置校名图片的大小 % 通常不需要调整 % % auto-make-cover = true % 是否自动生成论文封面(封一)、指导小组成员名单(封二)和声明页(封三) % 除非特殊需要(e.g. 不要封面),否则不建议设为 false }, % % info 类用于录入论文信息 info = { title = {论文标题}, % 中文标题 % 长标题建议使用 “\\” 命令手动换行(不是指在源文件里输入回车符,当然 % 源文件里适当的换行可以有助于代码清晰): % title = {最高人民法院、最高人民检察院关于适用\\ % 犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得\\ % 没收程序若干问题的规定}, % title* = {Thesis Title}, % 英文标题 % author = {王二}, % 作者姓名 % % author* = {Your name}, % 作者姓名(英文 / 拼音) % 目前不需要填写 % supervisor = {某某某\quad 教授}, % 导师 % 姓名与职称之间可以用 \quad 打印一个空格 % major = {物理学}, % 专业 % degree = academic, % 学位类型 % 允许选项: % degree = academic|professional % 说明: % academic 学术学位 % professional 专业学位 % department = {物理系}, % 院系 % student-id = {12300000000}, % 作者学号 % % date = {2020 年 1 月 1 日}, % 日期 % 注释掉表示使用编译日期 % % secret-level = ii, % 密级 % 允许选项: % secret-level = none|i|ii|iii % 说明: % none 不显示密级与保密年限 % i 秘密 % ii 机密 % iii 绝密 % % secret-year = {五年}, % 保密年限 % secret-level = none 时该选项无效 % instructors = { {张\quad 三 \quad 教\quad 授}, {李\quad 四 \quad 教\quad 授}, {王五六 \quad 研究员} }, % 指导小组成员 % 使用英文逗号 “,” 分隔 % 如有需要,可以用 \quad 手工对齐 % keywords = {不确定关系, 量子力学, 理论物理}, % 中文关键字 % 使用英文逗号 “,” 分隔 % keywords* = {Uncertainty principle, quantum mechanics, theoretical physics}, % 英文关键字 % 使用英文逗号 “,” 分隔 % clc = {O413.1} % 中图分类号 } } % 需要的宏包可以自行调用 \usepackage{physics} % 需要的命令可以自行定义 \newcommand{\hilbertH}{\symcal{H}} \newcommand{\ee}{\symrm{e}} \newcommand{\ii}{\symrm{i}} \begin{document} % 这个命令用来关闭版心底部强制对齐,可以减少不必要的 underfull \vbox 提示,但会影响排版效果 % \raggedbottom % 前置部分包含目录、中英文摘要以及符号表等 \frontmatter % 目录 \tableofcontents % 插图目录 \listoffigures % 表格目录 % \listoftables \begin{abstract} 中文摘要 \end{abstract} \begin{abstract*} English abstract \end{abstract*} % 符号表 % 语法与 LaTeX 表格一致:列用 & 区分,行用 \\ 区分 % 如需修改格式,可以使用可选参数: % \begin{notation}[ll] % $x$ & 坐标 \\ % $p$ & 动量 % \end{notation} % 可选参数与 LaTeX 标准表格的列格式说明语法一致 % 这里的 “ll” 表示两列均为自动宽度,并且左对齐 \begin{notation}[ll] $x$ & 坐标 \\ $p$ & 动量 \\ $\psi(x)$ & 波函数 \\ $\bra{x}$ & 左矢(bra) \\ $\ket{x}$ & 右矢(ket) \\ $\ip{\alpha}{\beta}$ & 内积 \\ \end{notation} % 主体部分是论文的核心 \mainmatter % 建议采用多文件编译的方式 % 比较好的做法是把每一章放进一个单独的 tex 文件里,并在这里用 \include 导入,例如 % \include{chapter1} % \include{chapter2} % \include{chapter3} \chapter{介绍} \strong{量子力学}是物理学的分支学科。它主要描写微观的事物,与相对论一起被认为是现代物理学的两大 基本支柱,许多物理学理论和科学,如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科, 都是以其为基础\cite{曾谨言2013量子力学,feynman2011feynman}。 \section{量子力学历史概要} \section{研究对象} \section{研究方法} \chapter{数学基础} \section{基础公设} 整个量子力学的数学理论可以建立于五个基础公设。这些公设不能被严格推导出来的,而是从实验结果仔细分析 归纳总结而得到的。从这五个公设,可以推导出整个量子力学。假若量子力学的理论结果不符合实验结果, 则必须将这些基础公设加以修改,直到没有任何不符合之处。至今为止,量子力学已被实验核对至极高准确度, 还没有找到任何与理论不符合的实验结果,虽然有些理论很难直觉地用经典物理的概念来理解,例如,波粒 二象性、量子纠缠等等\cite{zurek2014quantum,cohen2013claude,zettili2003quantum}。 \begin{enumerate} \item 量子态公设:量子系统在任意时刻的状态(量子态)可以由希尔伯特空间 $\hilbertH$ 中的态矢量 $\ket{\psi}$ 来设定,这态矢量完备地给出了这量子系统的所有信息。这公设意味着量子系统遵守% \emph{态叠加原理},假若 $\ket*{\psi_1}$、$\ket*{\psi_2}$ 属于希尔伯特空间 $\hilbertH$,则 $c_1\ket*{\psi_1} + c_2\ket*{\psi_2}$ 也属于希尔伯特空间 $\hilbertH$。 \item 时间演化公设: 态矢量为 $\ket{\psi(t)}$ 的量子系统,其动力学演化可以用薛定谔方程表示: \begin{equation} \ii\hbar \pdv{t} \ket{\psi(t)} = \hat{H} \ket{\psi(t)}. \end{equation} 其中,哈密顿算符 $\hat{H}$ 对应于量子系统的总能量,$\hbar$ 是约化普朗克常数。根据薛定谔方程, 假设时间从 $t_0$ 变化到 $t$,则态矢量从 $\ket*{\psi(t_0)}$ 演化到 $\ket{\psi(t)}$,该过程以 方程表示为 \begin{equation} \ket{\psi(t)} = \hat{U}(t,\,t_0) \ket*{\psi(t_0)}. \end{equation} 其中 $\hat{U}(t,\,t_0) = \ee^{-\ii\hat{H}(t-t_0) / \hbar}$ 是时间演化算符。 \item 可观察量公设:每个可观察量 $A$ 都有其对应的厄米算符 $\hat{A}$,而算符 $\hat{A}$ 的所有 本征矢量共同组成一个完备基底。 \item 坍缩公设:对于量子系统测量某个可观察量 $A$ 的过程,可以数学表示为将对应的厄米算符 $\hat{A}$ 作用于量子系统的态矢量 $\ket{\psi}$,测量值只能为厄米算符 $\hat{A}$ 的本征值。 在测量后,假设测量值为 $a_i$,则量子系统的量子态立刻会坍缩为对应于本征值 $a_i$ 的本征态 $\ket*{e_i}$。 \item 波恩公设:对于这测量,获得本征值 $a_i$ 的概率为量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态 $\ket*{e_i}$ 的概率幅的绝对值平方。\footnote{% 使用可观察量 $A$ 的基底 $\qty{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n}$,量子态 $\ket{\psi}$ 可以表示为 $\ket{\psi} = \sum_j c_j \ket*{e_j}$,其中 $c_j$ 是量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态 $\ket*{e_j}$ 的概率幅。根据波恩定则,对于此次测量,获得本征值 $a_i$ 的概率为 $\abs*{\ip*{e_i}{\psi}}^2 = \abs*{c_i}^2$。} \end{enumerate} \section{量子态与量子算符} 量子态指的是量子系统的状态,态矢量可以用来抽象地表现量子态。采用狄拉克标记,态矢量表示为右矢 $\ket{\psi}$;其中,在符号内部的希腊字母 $\psi$ 可以是任何符号、字母、数字,或单字。例如, 沿着磁场方向测量电子的自旋,得到的结果可以是上旋或是下旋,分别标记为 $\ket{\uparrow}$ 和 $\ket{\downarrow}$。 \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fduthesis-template-image.png} \caption[施特恩—格拉赫实验]{% 设定施特恩—格拉赫实验仪器的磁场方向为 $z$-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道 银原子束代表一种量子态,上旋 $\ket{\uparrow}$ 或下旋 $\ket{\downarrow}$% \cite{wikimedia:stern-gerlach-experiment}。} \label{fig:stern-gerlach-experiment} \end{figure} 对量子态做操作定义,量子态可以从一系列制备程序来辨认,即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。例如, 使用施特恩—格拉赫实验仪器,设定磁场朝着 $z$-轴方向,如图~\ref{fig:stern-gerlach-experiment} 所示, 可以将入射的银原子束,依照自旋的 $z$-分量分裂成两道,一道为上旋,量子态为 $\ket{\uparrow}$;另一道 为下旋,量子态为 $\ket{\downarrow}$,这样,可以制备成量子态为 $\ket{\uparrow}$ 的银原子束,或量子态 为 $\ket{\downarrow}$ 的银原子束。原本银原子束的态矢量可以按照态叠加原理表示为 \begin{equation} \ket{\psi} = \alpha \ket{\uparrow} + \beta \ket{\downarrow}. \end{equation} 其中,$\alpha$、$\beta$ 是复值系数,$\abs{\alpha}^2$、$\abs{\beta}^2$ 分别为入射银原子束处于上旋、 下旋的概率,且有 \begin{equation} \abs{\alpha}^2 + \abs{\beta}^2 = 1. \end{equation} \section{动力学演化} \chapter{总结与展望} % 后置部分包含参考文献、声明页(自动生成)等 \backmatter % 打印参考文献列表 \printbibliography \end{document}