%% This doc can be redistributed and/or modified under the terms %% of the LaTeX Project Public License Distributed from CTAN %% archives in directory macros/latex/base/lppl.txt. \documentclass[12pt, draft]{report} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[usenames]{pstcol} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pst-plot} \usepackage{ifthen} \usepackage{calc} \usepackage{array} \usepackage{moreverb} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage[dvips]{changebar} \usepackage{xspace} \usepackage{fancyhdr} \expandafter\ifx\csname PDF\endcsname\relax\else \usepackage{pslatex}%for generating a pdf-file with ps2pdf \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% QQ DEFINITIONS \newcommand{\Vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\hspace{.3em}}}}% \newcommand{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}}% \makeatletter \newcommand{\Arg}[1]{{\normalfont$\{$\@Arg{#1}$\}$}}% \newcommand{\Argsans}[1]{\@Arg{#1}}% \newcommand{\OptArg}[1]{{\normalfont[{\@Arg{#1}}]}}% \newcommand{\@Arg}[1]% {$\protect\langle${\itshape\mdseries\rmfamily#1}$\protect\rangle$}% \makeatother %% le backslash \ \newcommand{\bs}{\symbol{'134}}% \newcommand{\defcom}[2]% {\begin{trivlist}\item\fbox{\texttt{\upshape\bs#1}#2}\end{trivlist}}% \newcommand{\defcomdeux}[4]% {% \begin{center}% \begin{minipage}[t]{.45\linewidth}% \begin{trivlist}\item\fbox{\texttt{\upshape\bs#1}#2}\end{trivlist}% \end{minipage}% \hfill% \begin{minipage}[t]{.45\linewidth}% \begin{trivlist}\item\fbox{\texttt{\upshape\bs#3}#4}\end{trivlist}% \end{minipage} \end{center}}%end defcomdeux \newenvironment{tabexemple}[1]% [@{}m{.3\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.677\linewidth}@{}]% {\vspace{1em}\noindent\small\begin{center}% \noindent\begin{tabular}{#1}}% {\mbox{}\vspace{-1.5em}\end{tabular}\end{center}}% \newcommand{\tabex}[2]% [@{}m{.3\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.677\linewidth}@{}]% {% \begin{tabexemple}[#1]% \input{Exemples/#2}&\verbatiminput{Exemples/#2_in}% \end{tabexemple}% }% \newcommand{\param}[1]{\texttt{#1}} \newcommand{\com}[1]{\texttt{\bs #1}} \newcommand{\DefaultVal}[1]{(\texttt{#1} par défaut)} \newcommand{\PStricks}{\texttt{PSTricks}\xspace} \newcommand{\Postcript}{\textsf{PostScript}\xspace} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{Extension \texttt{pst-eucl}\\ Géométrie euclidienne avec \PStricks} \author{Version $0.\beta.5$\\Dominique \textsc{Rodriguez}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \geometry{bottom=1cm, left=1cm, headheight=15.5pt}%, verbose} \psset{subgriddiv=0,griddots=5} \setlength{\changebarsep}{10pt} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% entête et pied de page \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %\lhead{version $\beta.5$ -- Mars 2002} %\chead{} %\rhead{Extension \texttt{pst-eucl} -- D. \textsc{Rodriguez}} %\cfoot{\thepage} \lfoot{version $\beta.5$ -- Mars 2002} \rfoot{Extension \texttt{pst-eucl} -- D. \textsc{Rodriguez}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{i} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\twocoltoc}{% \chapter*{\contentsname \@mkboth{% \MakeUppercase\contentsname}{\MakeUppercase\contentsname}}% \begin{multicols}{2} \@starttoc{toc}% \end{multicols}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \cbstart \begin{abstract} L'extension \texttt{pst-eucl} permet de dessiner des figures géométriques en spécifiant des contraintes mathématiques. Il est ainsi possible de définir des points au moyen de transformations ou d'intersection. L'emploi des coordonnées est donc limité aux points de départ qui paramètrent en quelque sorte le dessin. \vfill \begin{center}\bfseries Remerciements \end{center} Je tiens à remercier tout particulièrement les personnes suivantes pour leur aide dans l'élaboration de ce paquetage : \begin{itemize} \item Denis \textsc{girou} pour ses critiques pertinentes et ses encouragement lors de la découverte de l'embryon initial et pour sa relecture du présent manuel ; \item Manuel \textsc{Luque} et Olivier \textsc{Reboux} pour leurs remarques et leurs exemples. \end{itemize} \end{abstract} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\abstractname}{Avertissement} \begin{abstract} Ceci est une version $\beta$, elle est encore en cours de développement, le nom des fonctions peut et va changer sans maintient de la compatibilité ascendante. \end{abstract} \cbend \twocoltoc{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Manuel de l'utilisateur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Spécifications particulières} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Options de \PStricks} L'extension active le mode \com{SpecialCoor}. Ce mode permet d'étendre la manière dont les coordonnées sont spécifiées en plus des classiques coordonnées cartésiennes. D'autre part le mode de tracé est mis à \texttt{dimen=middle}, c'est-à-dire que le positionnement des tracés est fait par rapport à leur milieu. Pour ces deux modes, je vous renvoie au manuel de l'utilisateur. Enfin, il est supposé que le repère de travail est (ortho)normé. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Conventions} Pour la rédaction de ce manuel, j'ai utilisé les conventions géométriques de nommage des points classiques en France : \begin{itemize} \item $O$ est un centre (cercle, repère, symétrie, homotéthie, rotation) ; \item $I$ est l'unité de l'axe des abscisses, ou un milieu ; \item $J$ est l'unité de l'axe des ordonnées ; \item $A$, $B$, $C$, $D$ sont des points ; \item $M$ est un point \emph{paramètre} ; \item $M'$ l'image de $M$ par une transformation ; \end{itemize} Enfin, bien que s'agissant de n\oe uds au sens de \PStricks, je les ai résolument confondus avec des points dans le texte. \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Objets de base} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Les points} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Repère par défaut} \defcom{pstGeonode}{\OptArg{par}$(x,y)$\Arg{$A$}} Cette commande définit un point géométrique associé avec un n\oe ud. Le point possède un nom de n\oe ud \Argsans{$A$}, qui définit par défaut l'étiquette placée sur le dessin. D'autre part, celle-ci est par défaut traitée en mode mathématique, le paramètre booléen \param{PtNameMath} permet de modifier ce traitement et de traiter l'étiquette en mode normal. Elle est positionnée à une distance de \texttt{1em} du n\oe ud, avec un angle de \param{PosAngle}\DefaultVal{0}. Il est également possible de proposer une étiquette différente du nom de n\oe ud avec le paramètre \param{PointName}, et une étiquette vide se spécifie en positionnant ce paramètre à \texttt{none} ; dans ce cas le point n'aura pas de nom sur le dessin. Le symbole du point est donné par le paramètre \param{PointSymbol} \DefaultVal{*}. \cbstart Le symbole est celui utilisé pour la commande \com{psdot}. \cbend Il peut être également positionné à \texttt{none}, auquel cas le point n'est pas affiché sur la figure y compris son étiquette. \cbstart Voici en rappel les valeurs possibles du symbole : \begin{multicols}{3} \begin{itemize}\psset{dotscale=2} \item \param{*} : \psdots(.5ex,.5ex) \item \param{o} : \psdots[dotstyle=o](.5ex,.5ex) \item \param{+} : \psdots[dotstyle=+](.5ex,.5ex) \item \param{x} : \psdots[dotstyle=x](.5ex,.5ex) \item \param{asterisk} : \psdots[dotstyle=asterisk](.5ex,.5ex) \item \param{oplus} : \psdots[dotstyle=oplus](.5ex,.5ex) \item \param{otimes} : \psdots[dotstyle=otimes](.5ex,.5ex) \item \param{triangle} : \psdots[dotstyle=triangle](.5ex,.5ex) \item \param{triangle*} : \psdots[dotstyle=triangle*](.5ex,.5ex) \item \param{square} : \psdots[dotstyle=square](.5ex,.5ex) \item \param{square*} : \psdots[dotstyle=square*](.5ex,.5ex) \item \param{diamond} : \psdots[dotstyle=diamond](.5ex,.5ex) \item \param{diamond*} : \psdots[dotstyle=diamond*](.5ex,.5ex) \item \param{pentagon} : \psdots[dotstyle=pentagon](.5ex,.5ex) \item \param{pentagon*} : \psdots[dotstyle=pentagon*](.5ex,.5ex) \item \param{|} : \psdots[dotstyle=|](.5ex,.5ex) \end{itemize} \end{multicols} \cbend % EXEMPLE GEONODE \tabex{geonode} Il est évident que les n\oe uds ainsi définis sont utilisables par toutes les commandes utilisant les n\oe uds de \PStricks. Ainsi, il est possible de les réferencer \rnode{ici}{d'ici}. \nccurve[arrowscale=2]{->}{ici}{B_1} %l existe un bug lié à la définition de point, il faut impérativement %aire suivre la commande par un \verb$%$, sinon il se crée un décalage %es points sur le graphiques, comme le montre le dessin suivant : % % \begin{center} % \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)\psgrid % \pstGeonode(0,0){A} % \pstGeonode[PosAngle=-90, PointName=B_1](1,2){B1} % \pstGeonode[PointSymbol=pstSmallCircle, PointName=B_2, % linecolor=red](-2,1){B2}% % \end{pspicture} % \end{center} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Repère personnalisé} \defcom{pstOIJGeonode}{\OptArg{par}$(x,y)$\Arg{$A$}\Arg{$O$}\Arg{$I$}\Arg{$J$}} Cette commande permet de placer des points dans un repère quelconque non forcément normé ni orthogonal, défini par le triplet $(O;I;J)$. %% EXEMPLE \tabex{oij} \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Marquage des segments} Il est possible de tracer des segments en utilisant la commande \texttt{\bs ncline}. Pour en plus marquer les segments afin d'associer ceux ayant la même longueur, il existe la commande : \defcom{pstSegmentMark}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Le symbole placé sur le segment est donné par le paramètre \param{SegmentSymbol}. Il prend comme valeur une commande utilisable en mode mathématique. Par défaut, sa valeur est \texttt{pstslashslash}, et produit deux barres sur le segment. Le segment est également tracé. %% EXEMPLE \tabex{segmentmark} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Triangles} Figures étudiées par excellence, elles possèdent leur macro pour les tracer rapidement : \defcom{pstTriangle}{% \OptArg{par} $(x_A;y_A)$\Arg{$A$}$(x_B;y_B)$\Arg{$B$}$(x_C;y_C)$\Arg{$C$}} Afin de pouvoir placer avec précision les noms des points, il existe trois paramètres \param{PosAngleA}, \param{PosAngleB} et \param{PosAngleC}, qui s'associent respectivement aux n\oe uds \Argsans{$A$}, \Argsans{$B$} et \Argsans{$C$}. Ils ont le même rôle que le paramètre \param{PosAngle} vu précédemment. Si un ou plusieurs de ces paramètres ne sont pas spécifiés la valeur de \param{PosAngle} est prise. Il existe également des paramètres pour contrôler le symbole utilisé pour représenter les points : \param{PointSymbolA}, \param{PointSymbolB} et \param{PointSymbolC}, et des paramètres pour le nom de chacun des points : \param{PointNameA}, \param{PointNameB} et \param{PointNameC}. Ces deux ensembles de paramètres sont liés à \param{PointSymbol} et \param{PointName}. La gestion de la valeur par défaut suit les mêmes règles que celles vues précédemment. \tabex{triangle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Angles} Chaque angle est déterminé par trois points. Le sommet de l'angle est le second. L'ordre a de l'importance en sachant que le sens direct ou trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Tout d'abord, il est possible de marquer un angle droit avec le symbole standard : \defcom{pstRightAngle}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}} L'unique paramètre auquel est sensible cette commande, hormis bien entendu ceux de contrôle du trait, est \param{RightAngleSize} qui permet de contrôler la longueur du carré utilisé \DefaultVal{0.28 unit}. Le symbole est placé sur l'angle de sommet \Argsans{$B$}. Pour les autres angles, il y a la commande : \defcom{pstMarkAngle}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{label}} L'étiquette définie par le paramètre \param{label} peut être tout texte \TeX. Elle est placée à \param{LabelSep} \DefaultVal{1~unit} du point \cbstart dans la direction angulaire de la bissectrice intérieure modifié par \param{LabelAngleOffset} \DefaultVal{0} et positionnée par rapport à \param{LabelRefPt} \DefaultVal{c}. \cbend D'autre part l'arc de cercle utilisé pour le marquage a pour rayon \param{MarkAngleRadius} \DefaultVal{.4~unit}. Enfin, il est posible de placer une flèche en début ou fin d'arc en utilisant le paramètre \param{arrows}. \tabex{angle} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droites, demi-droites et segments} \cbend Rien de plus utile qu'une droite ! \defcom{pstLineAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Afin de contrôler sa longueur\footnote{Ce qui est le comble pour une droite !}, les deux paramètres \param{nodesepA} et \param{nodesepB} indiquent l'abscisse des extrémités de la droite. Une abscisse négative spécifie un dépassement au-delà des points, tandis qu'une abscisse positive indique le contraire. Si les deux valeurs sont identiques, on peut utiliser alors le paramètre \param{nodesep}. La valeur par défaut de ces paramètres est nulle. \tabex{droite} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercles} Un cercle peut être défini soit par son centre et un point de sa circonférence, soit par deux points diamètralement opposés. Il existe donc deux fonctions : \defcomdeux{pstCircleOA}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}}% {pstCircleAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Pour la première fonction, il est également possible d'omettre le second point, et de spécifier un rayon ou un diamètre avec les paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} au moyen des deux fonctions suivantes : \defcomdeux{pstDistAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}% {pstDistVal}{\OptArg{par}\Arg{x}} La première permet de spécifier une distance entre deux points. Le paramètre \param{DistCoef} permet de donner un coefficient multiplicatif à appliquer sur cette distance. Afin d'être pris en considération, ce paramètre doit être spécifié avant la distance. La seconde fonction permet de spécifier directement une valeur numérique qui peut être un calcul en code \Postcript. Nous verrons plus loin comment tracer le cercle passant par trois points. \vspace{1.1\baselineskip} \begin{minipage}[m]{.4\linewidth} Avec cette extension, il devient possible de tracer : \begin{itemize} \item {\color{red} le cercle de centre $A$ passant par $B$ ;} \item \cbstart{\color{green} le cercle de centre $A$ de rayon les deux tiers de $AC$ ;}\cbend \item {\color{blue} le cercle de centre $A$ de rayon $BC$ ;} \item {\color{Sepia} le cercle de centre $B$ de rayon $AC$ ;} \item {\color{Aquamarine} le cercle de centre $B$ de diamètre $AC$ ;} \item {\color{RoyalBlue} le cercle de diamètre $BC$ ;} \end{itemize} \end{minipage} \hfill% \input{Exemples/cercle} \verbatiminput{Exemples/cercle_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Arcs de cercles} \defcomdeux{pstArcOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}% {pstArcnOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Ces deux fonctions tracent des arcs de cercle, le centre étant donné par $O$, le rayon par $OA$, l'angle de départ par $A$ et celui d'arrivée par $B$. Enfin la première trace l'arc dans le sens direct et la seconde dans le sens indirect. Il n'est pas nécessaire que les deux points soient à égales distances de $O$. \tabex{arc} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Abscisse curviligne} Un point peut être positionné sur un cercle au moyen d'une abscisse curviligne. \defcom{pstCurvAbsNode}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{Abs}} Le point \Argsans{$B$} est placé sur le cercle de centre \Argsans{$O$} passant par \Argsans{$A$}, avec l'abscisse curviligne \Argsans{Abs}. L'origine est en \Argsans{$A$}, et le sens est par défaut le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). Le paramètre \param{CurvAbsNeg} \DefaultVal{false} permet de modifier le sens de parcours du cercle. \tabex{abscur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Courbe générique} Il est tout à fait possible de générer des points au moyen d'une boucle et de leur donner à chacun un nom générique composé d'un radical et d'un nombre. La commande suivante permet de relier ces points au moyen d'une courbe interpolée. \defcom{pstGenericCurve}{\OptArg{par}\Arg{Radical}\Arg{$n_1$}\Arg{$n_2$}} La courbe est tracée sur les points dont le nom comporte le radical \Argsans{Radical}, et comme suffixe un nombre allant de \Argsans{$n_1$} à \Argsans{$n_2$}. Pour gérer les effets de bords, les paramètres \param{GenCurvFirst} et \param{GenCurvLast} permettent de désigner explicitement le premier et le dernier point. Le paramètre \param{GenCurvInc} permet de spécifier l'incrément de boucle pour passer d'un point à un autre \DefaultVal{1}. \tabex{gencur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Transformations} Les transformations du plan permettent de coder facilement des propriétés géométriques. Il est donc possible de construire les images de points par toutes les transformations classiques du plan. Toutes ces commandes partagent le paramètre \param{CodeFig} qui permet de faire apparaître les propriétés caractéristiques liées à la tranformation et à la construction de l'image. Par défaut, ce paramètre a pour valeur \param{false}, il doit être mis à \param{true} pour activer ce tracé optionnel. Ce tracé se fait en utilisant le style \param{CodeFigStyle} \DefaultVal{dashed} et suivant la couleur \param{CodeFigColor} \DefaultVal{cyan}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Symétrie centrale} \defcom{pstSymO}% {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M$}\Arg{$M'$}} Construit le point symétrique par rapport au point\Argsans{$O$}. Les paramètres classiques de la création de point sont utilisables comme dans toutes les fonctions suivantes. Elle peut servir à la construction d'un parallélogramme de centre connu. \tabex{symcentrale} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Symétrie orthogonale} \defcom{pstOrtSym}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M$}\Arg{$M'$}} Construit le point symétrique de $M$ par rapport à la droite $(AB)$. \tabex{symorthogonale} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Rotation} \defcom{pstRotation}% {\OptArg{par}\Arg{centre}\Arg{M}\Arg{M'}} Construit l'image d'un point par rotation. L'angle de rotation est donné par le paramètre \param{RotAngle} \DefaultVal{60}. Celui-ci peut-être un angle orienté défini par trois points. Il faut alors utiliser la fonction : \defcom{pstAngleABC}{\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}} Pensez à l'utiliser pour construire un carré ou un triangle équilatéral. \tabex{rotation} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Translation} \defcom{pstTranslation}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M$}\Arg{$M'$}} Construit le translaté de vecteur \Vecteur{AB} du point \Argsans{$M$}. À utiliser pour construire la parallèle passant par un point. \tabex{translation} Il est également possible d'utiliser le paramètre \param{DistCoef} pour modifier le vecteur de translation avec un coefficient multiplicatif. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Homothétie} \defcom{pstHomO}% {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M$}\Arg{$M'$}} Construit l'image d'un point par homothétie. Le coefficient se spécifie avec le paramètre \param{HomCoef}. Incontournable pour les situations de \textsc{Thalès}. \tabex{homothetie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Projection orthogonale} \defcom{pstProjection}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M$}\Arg{$M'$}} Projette orthogonalement le point $M$ sur la droite $(AB)$. Très important pour tracer les hauteurs d'un triangle. \tabex{projection} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Objets particuliers} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Milieu} \defcom{pstMiddleAB}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}} Construit le milieu d'un segment. \tabex{milieu} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Centre de gravité d'un triangle} \defcom{pstCGravABC}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$G$}} Construit le centre de gravité d'un triangle. \tabex{grav} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle circonscrit d'un triangle et son centre} \defcom{pstCircleABC}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$O$}} Cette commande permet de tracer le cercle passant par trois points et de positionner le centre. Le tracé du cercle est contrôlé par le paramètre booléen \param{DrawCirABC} \DefaultVal{true}. La création du point est sensible à tous les paramètres classiques déjà vus. \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {ccirc} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Médiatrice d'un segment} \defcom{pstMediatorAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}\Arg{$M$}} La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au milieu de ce segement. Le segment est $[AB]$, le milieu est $I$, et $M$ est un point de la médiatrice, construit par une rotation de $90$\degres\ du point point $B$ par rapport à $I$. L'ordre des deux points est important, il permet de contrôler la position de la médiatrice. La commande crée les points $M$ et $I$. La construction est sensible aux paramètres suivant : \begin{itemize} \item \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor} et \param{SegmentSymbol} pour marquer l'angle droit et le milieu ; \item \param{PointSymbol} et \param{PointName} pour contrôler l'apparence des deux nouveaux points, chacun pouvant être spécifiés séparément au moyen des paramètres \param{...A} et \param{...B} ; \item les paramètres de tracés des droites. \end{itemize} \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {mediator} \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Bissectrices d'un angle} \defcom{pstBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}} \defcom{pstOutBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}} Il existe deux bissectrices pour un angle géométrique donné : l'intérieure et l'extérieure ; donc il y a deux commandes. L'angle est spécifié dans le sens trigonométrique. Les résultats de ces deux commandes sont la bissectrice et un point de celle-ci qui est positionné par une rotation du point $B$. \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {bissec} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Intersections} Un autre moyen de définir un point est de spécifier une intersection. Trois types d'intersections sont gérées : \begin{itemize} \item l'intersection droite-droite ; \item l'intersection droite-cercle ; \item l'intersection cercle-cercle. \end{itemize} Une intersection peut ne pas exister : cas des droites parallèles par exemple. Dans ce cas, le ou les points concernés se retrouvent placés à l'origine. En fait, il est supposé que l'utilisation de ces commandes implique l'existence de l'intersection. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droite-droite} \cbstart \defcom{pstInterLL}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$D$}\Arg{$M$}} \cbend Construit le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec la droite $(CD)$. Option essentielle de la construction de figures du triangle, elle permet de positionner les points remarquables. Les paragraphes suivants proposent différents exemples : \begin{description} \item[basique] \tabex{interDD} \item[orthocentre] \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}] {orthocentre} \end{description} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle--droite} \defcom{pstInterLC}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$O$}\Arg{$C$}% \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}} Construit le ou les points d'intersection de la droite $(AB)$ avec le cercle de centre $O$ et de rayon $OC$. L'intersection entre un cercle et une droite donne en cas d'existence un ou deux points. En fait le cas tangent représente un point double au sens des racines d'un polynôme. Le cercle est spécifié avec son centre et soit un point de sa circonférence, soit son rayon ou diamètre spécifié au moyen des paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} et modulé par le paramètre coefficient multiplicatif \param{DistCoef}. \tabex [@{}m{.4\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.5777\linewidth}@{}] {interDC} La position des points n'étant pas spécifiée, il faudra bien regarder si cela correspond à votre choix. Il arrive aussi, qu'après la modification de la position d'un point, un dessin ne représente plus la même figure à cause de l'échange entre les deux points d'une intersection droite-cercle comme le montre l'exemple suivant sur le léger déplacement du point $C$ : \hfill\rule[-\baselineskip]{0pt}{5cm+2\baselineskip} \begin{pspicture}(5,5)\psgrid \pstGeonode(2,2){O}\pstGeonode(3,1){A}% \pstGeonode(1,2){B}\pstGeonode(1.1,4){C}% \pstCircleOA{O}{A}% \pstInterLC{B}{C}{O}{A}{D}{E} \end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(5,5)\psgrid \pstGeonode(2,2){O}\pstGeonode(3,1){A}% \pstGeonode(1,2){B}\pstGeonode(.9,4){C}% \pstCircleOA{O}{A}% \pstInterLC{C}{B}{O}{A}{D}{E} \end{pspicture} \hspace*{\fill} Ce traitement se retrouve pour les points d'intersections entre deux cercles. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle--cercle} \defcom{pstInterCC}% {\OptArg{par}\Arg{$O_1$}\Arg{$B$}\Arg{$O_2$}\Arg{$C$}% \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}} Fonction au comportement identique à la précédente. Les paramètres booléens \param{CodeFigA} et \param{CodeFigB} permettent de faire apparaître les arcs au niveau des intersections. Par cohérence \param{CodeFig} permet de faire apparaître les deux arcs. Afin de contrôler dans quel sens vont-être ces arcs, les paramètres booléens \param{CodeFigAarc} et \param{CodeFigBarc} permettent de choisir dans le sens direct ou indirect. \tabex{interCC} Et un deuxième exemple plus complet, intégrant les spécifications de cercle avec des rayons et des diamètres. Il existe dans ce cas des paramètres \param{RadiusA}, \param{RadiusB}, \param{DiameterA} et \param{DiameterB}. \cbstart Toutefois, même dans le cas où le diamètre est spécifié, il faut donner un centre. On ne peut pas spécifier un cercle avec deux points diamétralement opposé. \cbend \begin{center} \rule[-.5cm]{0pt}{8cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(7,3)\psgrid \input{Exemples/interCC_bis_in} \end{pspicture} \end{center} \verbatiminput{Exemples/interCC_bis_in} \pagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Galerie d'exemples} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Géométrie élémentaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tracé de la bissectrice} \nopagebreak[4] \tabex{gal_biss} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Angle droit allemand} En Allemagne, on utilise une autre convention pour les angles droits (remarque de U. \textsc{Dirr}). \nopagebreak[4] \tabex{german_ra} \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droites remarquables du triangle}\nopagebreak[4] \begin{center} \psset{unit=2cm} \input{Exemples/remarq} \end{center}\nopagebreak[4] \verbatiminput{Exemples/remarq_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle d'\textsc{Euler}} \begin{center} \psset{unit=2cm} \input{Exemples/euler} \end{center}\nopagebreak[4] \verbatiminput{Exemples/euler_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Orthocentre et hyperbole} L'orthocentre d'un triangle dont les points sont situés sur les branches de l'hyperbole ${\mathscr H} : y=a/x$ appartient à cette hyperbole. \nopagebreak[4] \begin{center} \psset{unit=.5cm} \input{Exemples/orthoethyper} \end{center}\nopagebreak[4] \verbatiminput{Exemples/orthoethyper_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Polygone régulier à 17 côtés} Remarquable construction due à K. F. \textsc{Gauss}. Il a démontré qu'il était possible de construire les polygones à $2^{2^p}+1$ côtés, le suivant est donc à 257 côtés ! \nopagebreak[4] %% Polygone à 17 côtés \begin{center} \psset{unit=1.5cm, CodeFig=true, RightAngleSize=.14, CodeFigColor=red, CodeFigB=true, linestyle=dashed, dash=2mm 2mm} \begin{pspicture}(-5.5,-5.5)(5.5,6)%\psgrid \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){O} %% picture correct for x>0 and y<=0 for P_1!! \pstGeonode[PosAngle=0](5,0){P_1} \pstCircleOA{O}{P_1} \pstSymO[PointSymbol=none, CodeFig=false]{O}{P_1}{PP_1} \ncline[linestyle=solid]{PP_1}{P_1} \pstRotation[RotAngle=90, PosAngle=90]{O}{P_1}{B} \pstRightAngle[linestyle=solid]{B}{O}{PP_1}\ncline[linestyle=solid]{O}{B} \pstHomO[HomCoef=.25]{O}{B}{J} \ncline{J}{P_1} \pstBissectBAC[PointSymbol=none]{O}{J}{P_1}{PE1} \pstBissectBAC[PointSymbol=none]{O}{J}{PE1}{PE2} \pstInterLL[PosAngle=-90]{O}{P_1}{J}{PE2}{E} \pstRotation[PosAngle=-90, RotAngle=-45, PointSymbol=none]{J}{E}{PF1} \pstInterLL[PosAngle=-90]{O}{P_1}{J}{PF1}{F} \pstMiddleAB[PointSymbol=none]{F}{P_1}{MFP1} \pstCircleOA{MFP1}{P_1} \pstInterLC[PointSymbolB=none]{O}{B}{MFP1}{P_1}{K}{H} \pstCircleOA{E}{K} \pstInterLC{O}{P_1}{E}{K}{N_4}{N_6} \pstRotation[RotAngle=90, PointSymbol=none]{N_6}{E}{PP_6}{} \pstInterLC[PosAngleA=90, PosAngleB=-90, PointNameB=P_{13}] {N_6}{PP_6}{O}{P_1}{P_6}{P_13} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=wedge]{N_6}{P_6} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=wedge]{P_13}{N_6} \pstRotation[RotAngle=90, PointSymbol=none]{N_4}{E}{PP_4}{} \pstInterLC[PosAngleA=90, PosAngleB=-90, PointNameB=P_{15}] {N_4}{PP_4}{O}{P_1}{P_4}{P_15} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=cup]{N_4}{P_4} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=cup]{P_15}{N_4} \pstRightAngle[linestyle=solid]{P_1}{N_6}{P_6} \pstRightAngle[linestyle=solid]{P_1}{N_4}{P_4} \pstBissectBAC[PosAngle=90, linestyle=none]{P_4}{O}{P_6}{P_5} \pstOrtSym[PosAngle=-90, PointName=P_{14}]{O}{P_1}{P_5}{P_14} \pstInterCC[PosAngleB=90, PointSymbolA=none, PointNameA=none]{O}{P_1}{P_4}{P_5}{H}{P_3} \pstOrtSym[PosAngle=-90, SegmentSymbol=pstslash, PointName=P_{16}] {O}{P_1}{P_3}{P_16} \pstInterCC[PosAngleB=90, PointSymbolA=none]{O}{P_1}{P_3}{P_4}{H}{P_2} \pstOrtSym[PosAngle=-90, SegmentSymbol=pstslashslashslash, PointName=P_{17}]{O}{P_1}{P_2}{P_17} \pstInterCC[PosAngleA=90, PointSymbolB=none]{O}{P_1}{P_6}{P_5}{P_7}{H} \pstOrtSym[PosAngle=-90, SegmentSymbol=circ, PointName=P_{12}]{O}{P_1}{P_7}{P_12} \pstInterCC[PosAngleA=100, PointSymbolB=none]{O}{P_1}{P_7}{P_6}{P_8}{H} \pstOrtSym[PosAngle=-100, SegmentSymbol=times, PointName=P_{11}]{O}{P_1}{P_8}{P_11} \pstInterCC[PosAngleA=135, PointSymbolB=none]{O}{P_1}{P_8}{P_7}{P_9}{H} \pstOrtSym[PosAngle=-135, SegmentSymbol=equiv, PointName=P_{10}]{O}{P_1}{P_9}{P_10} \pspolygon[linecolor=green, linestyle=solid, linewidth=2\pslinewidth] (P_1)(P_2)(P_3)(P_4)(P_5)(P_6)(P_7)(P_8)(P_9) (P_10)(P_11)(P_12)(P_13)(P_14)(P_15)(P_16)(P_17) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tangentes de cercles} Construction des tangentes à un cercle passant par un point donné. \nopagebreak[4] \begin{center} \begin{pspicture}(15,10)%\psgrid \pstGeonode(5, 5){O} \pstCircleOA[Radius=\pstDistVal{4}]{O}{} \pstGeonode(14,2){M} \pstMiddleAB[PointSymbol=none]{O}{M}{O'} \pstInterCC[RadiusA=\pstDistVal{4}, DiameterB=\pstDistAB{O}{M}, CodeFigB=true, CodeFigColor=magenta, PosAngleB=45] {O}{}{O'}{}{A}{B} \psset{linecolor=red, linewidth=1.3\pslinewidth, nodesep=-2} \pstLineAB{M}{A}\pstLineAB{M}{B} \end{pspicture} \end{center} Construction des tangentes à deux cercles. \nopagebreak[4] \begin{center} \begin{pspicture}(-2,0)(13,9)%\psgrid %% tangente à deux cercles \pstGeonode(9,3){O}\pstGeonode(3,6){O'}\psset{PointSymbol=none} \pstCircleOA[Radius=\pstDistVal{3}] {O}{}\pstCircleOA[Radius=\pstDistVal{1}]{O'}{} \pstInterLC[Radius=\pstDistVal{3}]{O}{O'}{O}{}{M}{toto} \pstInterLC[Radius=\pstDistVal{1}]{O}{O'}{O'}{}{M'}{toto} \pstRotation[RotAngle=30]{O}{M}{N} \pstRotation[RotAngle=30]{O'}{M'}{N'} \pstInterLL[PointName=\Omega]{O}{O'}{N}{N'}{Omega} \pstMiddleAB{O}{Omega}{I} \pstInterCC{I}{O}{O}{M}{A}{B} \psset{nodesepA=-1, nodesepB=-3, linecolor=blue, linewidth=1.3\pslinewidth} \pstLineAB[nodesep=-2]{A}{Omega}\pstLineAB[nodesep=-2]{B}{Omega} \pstRotation[RotAngle=-150]{O'}{M'}{N''} \pstInterLL[PointName=\Omega']{O}{O'}{N}{N''}{Omega'} \pstMiddleAB{O}{Omega'}{J} \pstInterCC{J}{O}{O}{M}{A'}{B'} \psset{nodesepA=-1, nodesepB=-3, linecolor=red} \pstLineAB{A'}{Omega'}\pstLineAB{B'}{Omega'} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Point de \textsc{Fermat} d'un triangle} Figure de Manuel \textsc{Luque}.\nopagebreak[4] \begin{pspicture}(-7,-6)(5,5)%\psgrid \psset{PointSymbol=none} \pstTriangle[PosAngleA=-160, PosAngleB=90, PosAngleC=-25]% (-3,-2){B}(0,3){A}(2,-1){C}% \psset{RotAngle=-60} \pstRotation[PosAngle=-90]{B}{C}{A'} \pstRotation{C}{A}{B'} \pstRotation[PosAngle=160]{A}{B}{C'} \pstLineAB{A}{B'} \pstLineAB{C}{B'} \pstLineAB{B}{A'} \pstLineAB{C}{A'} \pstLineAB{B}{C'} \pstLineAB{A}{C'} \pstCircleABC[linecolor=red]{A}{B}{C'}{O_1} \pstCircleABC[linecolor=blue]{A}{C}{B'}{O_2} \pstCircleABC[linecolor=Aquamarine]{A'}{C}{B}{O_3} \pstInterCC[PointSymbolA=none]{O_1}{A}{O_2}{A}{E}{F} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercles ex-insrits et inscrit d'un triangle} Les centres de ces cercles sont les intersections des bissectrices intérieures et extérieures. %% cercles inscrit et exinscrits d'un triangle \bgroup\centering \psset{unit=1cm, dash=5mm 4mm}%, PointSymbolA=none, PointSymbolB=none} \begin{pspicture}(-6,-5)(11,15)%\psgrid \psframe(-6,-5)(11,15) \pstTriangle[linewidth=2\pslinewidth, PosAngleA=-75, PosAngleB=180, PosAngleC=45, linecolor=red] (4,1){A}(0,3){B}(5,5){C} \psset{linecolor=blue} \pstBissectBAC[PointSymbol=none]{C}{A}{B}{AB} \pstBissectBAC[PointSymbol=none]{A}{B}{C}{BB} \pstBissectBAC[PointSymbol=none]{B}{C}{A}{CB} \pstInterLL{A}{AB}{B}{BB}{I} \psset{linecolor=magenta, linestyle=dashed} \pstProjection[PosAngle=-90]{A}{B}{I}{I_C} \pstLineAB{I}{I_C}\pstRightAngle[linestyle=solid]{A}{I_C}{I} \pstProjection{A}{C}{I}{I_B} \pstLineAB{I}{I_B}\pstRightAngle[linestyle=solid]{C}{I_B}{I} \pstProjection[PosAngle=80]{C}{B}{I}{I_A} \pstLineAB{I}{IA}\pstRightAngle[linestyle=solid]{B}{I_A}{I} \pstCircleOA[linecolor=yellow, linestyle=solid]{I}{I_A} %% BISSECTRICES EXTÉRIEURES \psset{linecolor=magenta, linestyle=none} \pstOutBissectBAC[PointSymbol=none]{C}{A}{B}{AOB} \pstOutBissectBAC[PointSymbol=none]{A}{B}{C}{BOB} \pstOutBissectBAC[PointSymbol=none]{B}{C}{A}{COB} \pstInterLL[PosAngle=-90]{A}{AOB}{B}{BOB}{I_1} \pstInterLL{A}{AOB}{C}{COB}{I_2} \pstInterLL[PosAngle=90]{C}{COB}{B}{BOB}{I_3} \psset{linecolor=magenta, linestyle=dashed} \pstProjection[PosAngle=50, PointName=I_{1C}]{A}{B}{I_1}{I1C} \pstLineAB{I_1}{I1C}\pstRightAngle[linestyle=solid]{I_1}{I1C}{A} \pstProjection[PointName=I_{1B}]{A}{C}{I_1}{I1B} \pstLineAB{I_1}{I1B}\pstRightAngle[linestyle=solid]{A}{I1B}{I_1} \pstProjection[PosAngle=110, PointName=I_{1A}]{C}{B}{I_1}{I1A} \pstLineAB{I_1}{I1A}\pstRightAngle[linestyle=solid]{I_1}{I1A}{C} \pstProjection[PointName=I_{2B}]{A}{C}{I_2}{I2B} \pstLineAB{I_2}{I2B}\pstRightAngle[linestyle=solid]{A}{I2B}{I_2} \pstProjection[PosAngle=-90, PointName=I_{2C}]{A}{B}{I_2}{I2C} \pstLineAB{I_2}{I2C}\pstRightAngle[linestyle=solid]{I_2}{I2C}{A} \pstProjection[PosAngle=90, PointName=I_{2A}]{B}{C}{I_2}{I2A} \pstLineAB{I_2}{I2A}\pstRightAngle[linestyle=solid]{C}{I2A}{I_2} \pstProjection[PosAngle=130, PointName=I_{3A}]{C}{B}{I_3}{I3A} \pstLineAB{I_3}{I3A}\pstRightAngle[linestyle=solid]{C}{I3A}{I_3} \pstProjection[PosAngle=-90, PointName=I_{3C}]{A}{B}{I_3}{I3C} \pstLineAB{I_3}{I3C}\pstRightAngle[linestyle=solid]{A}{I3C}{I_3} \pstProjection[PointName=I_{3B}]{C}{A}{I_3}{I3B} \pstLineAB{I_3}{I3B}\pstRightAngle[linestyle=solid]{I_3}{I3B}{A} \psset{linecolor=yellow, linestyle=solid} \pstCircleOA{I_1}{I1C} \pstCircleOA{I_2}{I2B} \pstCircleOA{I_3}{I3A} \psset{linecolor=red, linestyle=solid, nodesepA=-1, nodesepB=-1} \pstLineAB{I1B}{I3B}\pstLineAB{I1A}{I2A}\pstLineAB{I2C}{I3C} \end{pspicture} \egroup %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Quelques lieux de points} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Parabole} \begin{minipage}[m]{.33\linewidth} La parabole est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point : le foyer, et d'une droite : la directrice. \end{minipage} \newcommand{\NbPt}{11} \input{Exemples/parabole}\nopagebreak[4] \verbatiminput{Exemples/parabole_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Hyperbole} \begin{minipage}[m]{.33\linewidth} L'hyperbole est composée des points dont la différence des distances avec les foyers est constant. \end{minipage} %% QQ DEFINITIONS %% RAPPELS : a=\Sommet, c=\PosFoyer, b^2=c^2-a^2, e=c/a %% pour une hyperbole -> e>1, donc c>a %% a=\sqrt{2}, c=2, e=\sqrt{2} %% M est sur H <=> MF-MF'=2a ou MF'-MF=2a \newcommand{\Sommet}{1.4142135623730951}\newcommand{\PosFoyer}{2} \newcommand{\HypAngle}{0} \setcounter{i}{1}\newcounter{CoefDiv}\setcounter{CoefDiv}{20} \newcounter{Inc}\setcounter{Inc}{2}\newcounter{n}\setcounter{n}{2} %% rayon des cercles successifs utilisés pour trouver les points de H %% on choisi \Rii=\Ri+2\Sommet (définition de l'hyperbole) \newcommand{\Ri}{% \PosFoyer\space\Sommet\space% sub \arabic{i}\space\arabic{CoefDiv}\space% div add} \newcommand{\Rii}{\Ri\space\Sommet\space 2 mul add}% .001 add} \begin{pspicture}[.5](-4,-4)(4,4)%\psgrid \pstGeonode[PosAngle=90](0,0){O} \pstGeonode(\PosFoyer;\HypAngle){F} \pstSymO[PosAngle=180]{O}{F}{F'} \pstLineAB{F}{F'} %% TRACÉ DES ASYMPTOTES %\psset{PointSymbol=none} \pstCircleOA{O}{F} %% positionnement des deux sommets de H \pstGeonode[PosAngle=-135](\Sommet;\HypAngle){S} \pstGeonode[PosAngle=-45](-\Sommet;\HypAngle){S'} %% l'intersection de la droite perpendiculaire à (FF') %% passant par S, coupe les asymptotes sur le cercle %% de diamètre [FF'] (cette droite est une tangente) \pstRotation[RotAngle=90, PointSymbol=none]{S}{O}{B} \pstInterLC[PosAngleA=90, PosAngleB=-90]{S}{B}{O}{F}{A_1}{A_2} \pstLineAB[nodesepA=-3,nodesepB=-5]{A_1}{O} \pstLineAB[nodesepA=-3,nodesepB=-5]{A_2}{O} %% cos(\Psi)=OS/OF (c-a-d \Sommet/\PosFoyer) %% ici \sqrt(2)/2, donc \Psi=45 => hyperbole équilatère \pstMarkAngle[LabelSep=.8, MarkAngleRadius=.7, arrows=->, LabelSep=1.1]{F}{O}{A_1}{$\Psi$} \ncline[linecolor=red]{A_1}{A_2} \pstRightAngle[RightAngleSize=.15]{A_1}{S}{O} \psset{PointName=none} \whiledo{\value{n}<8}{% \psset{RadiusA=\pstDistVal{\Ri},RadiusB=\pstDistVal{\Rii},PointSymbol=none} \pstInterCC{F}{}{F'}{}{M\arabic{n}}{P\arabic{n}} \pstInterCC{F'}{}{F}{}{M'\arabic{n}}{P'\arabic{n}} %% bcp de points au début, moins ensuite %% n -> numéro du point, i -> taille des cercles %% Inc -> incrément variable de i (2^n) \stepcounter{n}\addtocounter{i}{\value{Inc}} \addtocounter{Inc}{\value{Inc}}}%% fin de whiledo \psset{linecolor=blue} %% tracé de l'hyperbole \pstGenericCurve[GenCurvFirst=S]{M}{2}{7} \pstGenericCurve[GenCurvFirst=S]{P}{2}{7} \pstGenericCurve[GenCurvFirst=S']{M'}{2}{7} \pstGenericCurve[GenCurvFirst=S']{P'}{2}{7} %% pour vérif le trace paramètrique %\parametricplot[linecolor=black, linewidth=.25pt]{-1}{1} % {t dup tx@EcldDict begin sh exch ch end \Sommet\space mul exch % \PosFoyer\space dup mul \Sommet\space dup mul sub sqrt mul} %\parametricplot[linecolor=black, linewidth=.25pt]{-1}{1} % {t dup tx@EcldDict begin sh exch ch end neg \Sommet\space mul exch % \PosFoyer\space dup mul \Sommet\space dup mul sub sqrt mul} \end{pspicture} \pagebreak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cycloïde} La roue roule de $M$ à $A$. Les points du cercle parcourent des cycloïdes. L'intérêt de cet exemple est de faire coïncider les points de rebroussement avec des points calculés. \nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/cyclo} \end{center}\nopagebreak[4] \verbatiminput{Exemples/cyclo_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Hypocycloïdes (astroïde et deltoïde)} Une roue roule à l'intérieure d'un cercle et selon le rapport des rayons, on obtient une astroïde, une deltoïde et dans le cas générale des hypocycloïdes.\nopagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% ASTROÏDE \input{Exemples/hypocyclo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \input{Exemples/astro}\input{Exemples/delto} \end{center} \verbatiminput{Exemples/hypocyclo} \verbatiminput{Exemples/astro_in} \cbstart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Enveloppes de droites et de cercles} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Coniques} On considère un cercle et un point $A$ extérieur à ce cercle. L'ensemble des médiatrices des segments formés par $A$ et les points du cercle forme les deux coniques selon la place de $A$ : s'il est à l'intérieur du cercle l'ellipse, à l'extérieur l'hyperbole. $A$ et le centre du cercle en sont les foyers (figure d'O. \textsc{Reboux}). \begin{center}\input{Exemples/envellipse}\end{center} \verbatiminput{Exemples/envellipse_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cardioïde} La cardioïde est l'enveloppe des cercles centrés sur un cercle et passant par un point fixé de ce cercle. \begin{center}\input{Exemples/envcardi}\end{center} \verbatiminput{Exemples/envcardi_in} \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Homothéties et fractales}\nopagebreak[4] \tabex{fracthom} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Géométrie hyperbolique : triangle et ses hauteurs} Le comble pour de la géométrie euclidienne ! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Tracé de géodésique en géométrie hyperbolique %% Attention ne fonctionne que si les points ne sont pas alignés avec O %% Ceci est un cas particulier, je ne crois pas que les hauteurs %% soient concourantes pour tous les triangles hyperboliques. \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psclip{\pscircle(0,0){4}}%\psgrid %\newlength{\radius}\setlength{\radius}{0cm} %\newcounter{rapport}\setcounter{i}{1} %\whiledo{\value{i}<100}{ % \setlength{\radius}{4cm*\value{i}} % \setcounter{rapport}{\value{i}+1} % \divide\radius by \arabic{rapport} % \pscircle[linestyle=dotted, linecolor=gray]% % (0, 0){\radius} % \setcounter{i}{\value{i}*2} % } \pstGeonode(1, 2){M}\pstGeonode(-2,2){N}\pstGeonode(0,-2){P}% \psset{DrawCirABC=false, PointSymbol=none}% \pstGeonode(0,0){O}\pstGeonode(4,0){A}\pstCircleOA{O}{A}% \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{O}{A} 2 mul \pstDistAB{O}{M} sub \pstDistAB{O}{M} div]{O}{M}{M'}% \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{O}{A} 2 mul \pstDistAB{O}{P} sub \pstDistAB{O}{P} div]{O}{P}{P'}% \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{O}{A} 2 mul \pstDistAB{O}{N} sub \pstDistAB{O}{N} div]{O}{N}{N'}% \psset{linecolor=green, linewidth=1.5\pslinewidth}% \pstCircleABC{M}{N}{M'}{OmegaMN}\pstArcOAB{OmegaMN}{N}{M}% \pstCircleABC{M}{P}{M'}{OmegaMP}\pstArcOAB{OmegaMP}{M}{P}% \pstCircleABC{N}{P}{P'}{OmegaNP}\pstArcOAB{OmegaNP}{P}{N}% \psset{linecolor=blue} %% la hauteur issue de M \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{OmegaNP}{N} 2 mul \pstDistAB{OmegaNP}{M} sub \pstDistAB{OmegaNP}{M} div]{OmegaNP}{M}{MH'} \pstCircleABC{M}{M'}{MH'}{OmegaMH}\pstArcOAB{OmegaMH}{MH'}{M} %% la hauteur issue de N \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{OmegaMP}{M} 2 mul \pstDistAB{OmegaMP}{N} sub \pstDistAB{OmegaMP}{N} div]{OmegaMP}{N}{NH'} \pstCircleABC{N}{N'}{NH'}{OmegaNH}\pstArcOAB{OmegaNH}{N}{NH'} %% la hauteur issue de P \pstHomO[HomCoef=\pstDistAB{OmegaMN}{M} 2 mul \pstDistAB{OmegaMN}{P} sub \pstDistAB{OmegaMN}{P} div]{OmegaMN}{P}{PH'} \pstCircleABC{P}{P'}{PH'}{OmegaPH}\pstArcOAB{OmegaPH}{P}{PH'} \endpsclip \end{pspicture} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Une figure fractale : le flocon de \textsc{von Koch}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% TENTATIVE DE FLOCON DE VON KOCH \newcounter{nbvk}% %%%%%%%%%%%%% %% PILE LIFO% \newcounter{lifon}\setcounter{lifon}{1}%% \newcommand{\Push}[1]{%% \expandafter\edef\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname{#1}%% \addtocounter{lifon}{1}%% }% \newcommand{\Pop}{\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{nombre}\setcounter{nombre}{0}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\vonkoch}[3]{%% \setcounter{nbvk}{#1}%% \edef\Pointi{#2}\edef\Pointii{#3}%% \ifnum\value{nbvk}=1% \ncline{\Pointi}{\Pointii}% \else % ELSE% \addtocounter{nombre}{1}% %% position des nouveauX points% \pstHomO[HomCoef=1 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}1}% \pstHomO[HomCoef=2 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}2}% \pstRotation[RotAngle=60]{P\arabic{nombre}1}{P\arabic{nombre}2}{P\arabic{nombre}3}% \addtocounter{nbvk}{-1}%% \Push{\Pointi}\Push{\Pointii}\Push{\arabic{nombre}}\Push{\arabic{nbvk}}% \vonkoch{\value{nbvk}}{\Pointi}{P\arabic{nombre}1}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal1}{P\nombrelocal3}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal3}{P\nombrelocal2}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal2}{\Pointii}% \addtocounter{lifon}{-4}% \fi% }% \psset{unit=2.5cm}% \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)% \psset{PointSymbol=none} \pstGeonode(-2,-2){A}\pstGeonode(2,2){B}% \pstRotation[RotAngle=60]{B}{A}{C}% \vonkoch{5}{A}{B}\setcounter{nombre}{0}%%% \vonkoch{4}{B}{C}\setcounter{nombre}{0}%%% \vonkoch{4}{C}{A}%% \end{pspicture}% % \end{document}% \begin{pspicture*}(-4,-5)(4,5)%\psgrid \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O} \pstGeonode[PosAngle=-90](1,0.5){I} \pstGeonode[PosAngle=-180](0.5,2){J} \pstLineAB[nodesep=100]{O}{I} \pstLineAB[nodesep=100]{O}{J} \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline(0,-.15)(0,.15)}% \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline[linestyle=dotted](-10,-40)(10,40)}% \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline(-.15,0)(.15,0)}% \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline[linestyle=dotted](-10,-5)(10,5)}% %% huit points \psset{PointSymbol=x} \pstOIJGeonode(1,2){A}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(-2,1){B}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(-1,-1.5){C}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(2,-1){D}{O}{I}{J} \end{pspicture*} %