%% This doc can be redistributed and/or modified under the terms %% of the LaTeX Project Public License Distributed from CTAN %% archives in directory macros/latex/base/lppl.txt. \documentclass[12pt, draft, dvips]{report} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[french]{euclide} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{Extension \texttt{pst-eucl}\\ Géométrie euclidienne avec \PStricks} \author{\Version\\Dominique \textsc{Rodriguez}\thanks{domino.rodriguez@laposte.net}} \date{\Date} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{abstract} L'extension \texttt{pst-eucl} permet de dessiner des figures géométriques en spécifiant des contraintes mathématiques. Il est ainsi possible de définir des points au moyen de transformations ou d'intersection. L'emploi des coordonnées est donc limité aux points de départ qui paramètrent en quelque sorte le dessin. \vfill \begin{center}\bfseries Remerciements \end{center} Je tiens à remercier tout particulièrement les personnes suivantes pour leur aide dans l'élaboration de ce paquetage : \begin{itemize} \item Denis \textsc{Girou} pour ses critiques pertinentes et ses encouragement lors de la découverte de l'embryon initial et pour sa relecture du présent manuel ; \item Michael \textsc{Vulis} pour sa rapidité à tester la doc avec V\TeX\ et il a ainsi permis de corriger un bug du code PostScript ; \item Manuel \textsc{Luque} et Olivier \textsc{Reboux} pour leurs remarques et leurs exemples. \item Alain \textsc{Delplanque} pour ses propositions de modifications sur le placement automatique des noms des points dans diverses fonctions et la possibilité de donner une suite de points dans \com{pstGeonode}. \end{itemize} \end{abstract} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\abstractname}{Avertissement} \begin{abstract} Ceci est la première version officiellement déposée sur le site d'archives \texttt{CTAN}. \vfill \begin{center}\bfseries LICENCE \end{center} Ce programme et sa documentation peuvent être distribués et/ou modifiés selon les termes de la «~\LaTeX{} Project Public License~» disponible sur le site d'archives \texttt{CTAN} au répertoire \texttt{macros/latex/base/lppl.txt}. Toutefois, vous pouvez m'envoyer un Email avec un petit commentaire. Ensuite vous devriez réfléchir à une donation\footnote{surtout si vous utilisez un système d'exploitation payant (\texttt{des fenêtres} ou \texttt{MacOS}) ! D'autre part, n'oubliez pas que \LaTeX{} est utilisable gratuitement et que de nombreux utilisateurs achètent plusieurs centaines d'euros des logiciels de bien moins bonne qualité.} : \begin{enumerate} \item directement à l'équipe \LaTeX3 ; \item et/ou à moi pour le support de l'extension\footnote{je me satisfais amplement de 1~\MonEuro, £1 ou \$1, mais j'accepte plus.}. \end{enumerate} Une donation en temps selon compétence est possible : correction de la documentation, test des fonctionnalités, proposition d'améliorations... \end{abstract} \twocoltoc{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Manuel de l'utilisateur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Spécifications particulières} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Options de \PStricks} L'extension active le mode \com{SpecialCoor}. Ce mode permet d'étendre la manière dont les coordonnées sont spécifiées en plus des classiques coordonnées cartésiennes. D'autre part le mode de tracé est mis à \texttt{dimen=middle}, c'est-à-dire que le positionnement des tracés est fait par rapport à leur milieu. Pour ces deux modes, je vous renvoie au manuel de l'utilisateur. Enfin, il est supposé que le repère de travail est (ortho)normé. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Conventions} Pour la rédaction de ce manuel, j'ai utilisé les conventions classiques de dénomination des points en France : \begin{itemize} \item $O$ est un centre (cercle, repère, symétrie, homothétie, rotation) ; \item $I$ est l'unité de l'axe des abscisses, ou un milieu ; \item $J$ est l'unité de l'axe des ordonnées ; \item $A$, $B$, $C$, $D$ sont des points ; \item $M$ est un point \emph{paramètre} ; \item $M'$ l'image de $M$ par une transformation ; \end{itemize} Enfin, bien que s'agissant de n\oe uds au sens de \PStricks, je les ai résolument confondus avec des points dans le texte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Objets de base} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Les points} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Repère par défaut} \defcom[Création d'une liste de points dans le repère d'origine. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}] {pstGeonode}{\OptArg{par}$(x_1,y_1)$\Arg{$A_1$}$(x_2,y_2)$\Arg{$A_2$}\ldots$(x_n,y_n)$\Arg{$A_n$}} Cette commande définit un ou plusieurs points géométriques associés avec un n\oe ud. Chaque point possède un nom de n\oe ud \Argsans{$A_i$}, qui définit par défaut l'étiquette placée sur le dessin. D'autre part, celle-ci est traitée par défaut en mode mathématique, le paramètre booléen \param{PtNameMath} \DefaultVal{true} permet de modifier ce traitement et de traiter l'étiquette en mode normal. Elle est positionnée à une distance de \cbstart\param{PointNameSep} \DefaultVal{1em}\cbend{} du n\oe ud, avec un angle de \param{PosAngle} \DefaultVal{0}. Il est également possible de proposer une étiquette différente du nom de n\oe ud avec le paramètre \param{PointName} \DefaultVal{default}, et une étiquette vide se spécifie en positionnant ce paramètre à \texttt{none} ; dans ce cas le point n'aura pas de nom sur le dessin. Le symbole du point est donné par le paramètre \param{PointSymbol} \DefaultVal{*}. Le symbole est celui utilisé pour la commande \com{psdot}. Il peut être également positionné à \texttt{none}, auquel cas le point \cbdelete n'est pas affichés sur la figure. Voici en rappel les valeurs utilisable pour le symbole : \begin{multicols}{3} \begin{itemize}\psset{dotscale=2} \item \param{*} : \psdots(.5ex,.5ex) \item \param{o} : \psdots[dotstyle=o](.5ex,.5ex) \item \param{+} : \psdots[dotstyle=+](.5ex,.5ex) \item \param{x} : \psdots[dotstyle=x](.5ex,.5ex) \item \param{asterisk} : \psdots[dotstyle=asterisk](.5ex,.5ex) \item \param{oplus} : \psdots[dotstyle=oplus](.5ex,.5ex) \item \param{otimes} : \psdots[dotstyle=otimes](.5ex,.5ex) \item \param{triangle} : \psdots[dotstyle=triangle](.5ex,.5ex) \item \param{triangle*} : \psdots[dotstyle=triangle*](.5ex,.5ex) \item \param{square} : \psdots[dotstyle=square](.5ex,.5ex) \item \param{square*} : \psdots[dotstyle=square*](.5ex,.5ex) \item \param{diamond} : \psdots[dotstyle=diamond](.5ex,.5ex) \item \param{diamond*} : \psdots[dotstyle=diamond*](.5ex,.5ex) \item \param{pentagon} : \psdots[dotstyle=pentagon](.5ex,.5ex) \item \param{pentagon*} : \psdots[dotstyle=pentagon*](.5ex,.5ex) \item \param{|} : \psdots[dotstyle=|](.5ex,.5ex) \end{itemize} \end{multicols} \cbstart D'autre part, ces symboles sont paramétrables avec des paramètres de \PStricks dont entre autre : \begin{itemize} \item son échelle avec le paramètre \param{dotscale}, la valeur de celui-ci est soit deux nombres différenciant ainsi le facteur d'échelle horizontale et verticale, ou soit un seul qui est la valeur identique pour les deux ; \item son angle de rotation avec le paramètre \param{dotangle}. \end{itemize} N'hésitez pas à consulter la documentation de \PStricks pour de plus amples détails.\cbend Les paramètres se spécifient explicitement dans la partie \Argsans{par}. Les paramètres \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PointName} et \param{PointNameSep} peuvent recevoir : \begin{itemize} \item soit une valeur unique, commune à tous les points ; \item soit une liste de valeurs délimitée par des accolades \texttt{\{ ... \}} et séparées par des virgules \textit{sans blancs}, permettant alors de différencier la valeur pour chaque point. \end{itemize} Dans le cas ou une liste est spécifiée, elle peut comporter moins de valeurs que de points, dans ce cas la dernière valeur de la liste sera utilisée pour les points suivants. \cbstart Enfin, le paramètre \param{CurveType} \DefaultVal{none} permet de relier les points au moyen d'une ligne : \begin{itemize} \item brisée ouverte \verb$polyline$ ; \item brisée fermée \verb$polygon$ ; \item courbe ouverte \verb$curve$. \end{itemize}\cbend % EXEMPLE GEONODE \tabex{geonode} Il est évident que les n\oe uds ainsi définis sont utilisables par toutes les commandes utilisant les n\oe uds de \PStricks. Ainsi, il est possible de les référencer \rnode{ici}{d'ici} : {\small\verb$\nccurve{->}{ici}{B_1}$}. \nccurve[arrowscale=2, linestyle=dotted]{->}{ici}{B_1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Repère personnalisé} \defcom[Création d'une liste de points dans le repère $(O;I;J)$. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}] {pstOIJGeonode} {\OptArg{par}$(x_1,y_1)$\Arg{$A_1$}\Arg{$O$}\Arg{$I$}\Arg{$J$}$(x_2,y_2)$\Arg{$A_2$}\ldots$(x_n,y_n)$\Arg{$A_n$}} Cette commande permet de placer des points dans un repère quelconque non forcément normé ni orthogonal, défini par le triplet $(O;I;J)$. On retrouve des traitements identiques à la commande précédente pour l'utilisation des paramètres. %% EXEMPLE \tabex{oij} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Marquage des segments} Il est possible de tracer des segments en utilisant la commande \texttt{\bs ncline}. Pour en plus marquer les segments afin d'associer ceux ayant la même longueur, il existe la commande : \defcom[Permet de marquer le segment \Segment{AB} en son milieu avec la marque définie par \protect\param{SegmentSymbol}. \protect\ParamList{\param{SegmentSymbol}}] {pstSegmentMark}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Le symbole placé sur le segment est donné par le paramètre \param{SegmentSymbol}. Il prend comme valeur une commande utilisable en mode mathématique. Par défaut, sa valeur est \texttt{pstslashh}, et produit deux barres sur le segment. Le segment est également tracé. Il existe plusieurs commandes prédéfinies dans ce paquetage pour marquer les segments : \begin{multicols}{3} \psset{PointSymbol=none, PointName=none, unit=.8} \newcommand{\Seg}[1]{% \com{#1} : \begin{pspicture}[.3](2,1) \pstGeonode(0.3,.5){A}(1.7,.5){B}\pstSegmentMark[SegmentSymbol=#1]{A}{B} \end{pspicture}}% \begin{itemize} \item \Seg{pstslash} ; \item \Seg{pstslashh} ; \item \Seg{pstslashhh} ; \item \Seg{MarkHash} ; \item \Seg{MarkHashh} ; \item \Seg{MarkHashhh} ; \item \Seg{MarkCros} ; \item \Seg{MarkCross} ; \end{itemize} \end{multicols} Les trois commandes de la famille \texttt{MarkHash} produise une barre dont l'inclinaison est contrôlée par le paramètre \param{MarkAngle} \DefaultVal{45}. D'autre part, leur taille et leur couleur dépendent de l'épaisseur et de la couleur du trait au moment du tracé, comme le montre l'exemple suivant. %% EXEMPLE \tabex{segmentmark} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Triangles} Figures étudiées par excellence, elles possèdent leur macro pour les tracer rapidement : \defcom[Définit et trace un triangle. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PointSymbol}, \param{PointNameA}, \param{PosAngleA}, \param{PointSymbolA}, \param{PointNameB}, \param{PosAngleB}, \param{PointSymbolB}, \param{PointNameC}, \param{PosAngleC}, \param{PointSymbolC}}] {pstTriangle}{\OptArg{par}$(x_A,y_A)$\Arg{$A$}$(x_B,y_B)$\Arg{$B$}$(x_C,y_C)$\Arg{$C$}} Afin de pouvoir placer avec précision les noms des points, il existe trois paramètres \param{PosAngleA}, \param{PosAngleB} et \param{PosAngleC}, qui s'associent respectivement aux n\oe uds \Argsans{$A$}, \Argsans{$B$} et \Argsans{$C$}. Ils ont le même rôle que le paramètre \param{PosAngle} vu précédemment. %Si un ou plusieurs de ces paramètres ne sont pas spécifiés la valeur de \param{PosAngle} est prise. Toutefois, si pour un point donné, aucun angle n'est spécifié, son nom va se positionner sur la bissectrice du sommet. Il existe également des paramètres pour contrôler le symbole utilisé pour représenter les points : \param{PointSymbolA}, \param{PointSymbolB} et \param{PointSymbolC}, et des paramètres pour le nom de chacun des points : \param{PointNameA}, \param{PointNameB} et \param{PointNameC}. Ces deux ensembles de paramètres sont liés à \param{PointSymbol} et \param{PointName}. La gestion de la valeur par défaut suit les mêmes règles que celles vues précédemment. \tabex{triangle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Angles} Chaque angle est déterminé par trois points. Le sommet de l'angle est le second. L'ordre a de l'importance en sachant que le sens direct ou trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Tout d'abord, il est possible de marquer un angle droit \cbdelete : \defcom[Marque l'angle droit \protect\Angle{ABC} spécifié dans le sens trigonométrique. \protect\ParamList{\param{RightAngleType}, \param{RightAngleSize}, \param{RightAngleSize}}]{pstRightAngle}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}} \cbstart Le symbole utilisé est contrôlé par le paramètre \param{RightAngleType} \DefaultVal{default}. Ses valeurs possibles sont : \begin{itemize} \item \verb$default$ : symbole standard ; \item \verb$german$ : symbole allemand (proposé par U. \textsc{Dirr}) ; \item \verb$suisseromand$ : symbole suisse romand (proposé par P. \textsc{Schnewlin}). \end{itemize}\cbend L'autre paramètre auquel est sensible cette commande, hormis bien entendu ceux de contrôle du trait, est \param{RightAngleSize} qui permet de contrôler la longueur du carré utilisé \DefaultVal{0.28~unit}. Le symbole est placé sur l'angle de sommet \Argsans{$B$}. Pour les autres angles, il y a la commande : \defcom[Marque l'angle \protect\Angle{ABC} spécifié dans le sens trigonométrique \protect\ParamList{\param{MarkAngleRadius}, \param{LabelAngleOffset}, \param{Mark}}] {pstMarkAngle}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{label}} L'étiquette définie par le paramètre \param{label} peut être tout texte \TeX. Elle est placée à \param{LabelSep} \DefaultVal{1~unit} du point dans la direction angulaire de la bissectrice intérieure modifiée par \param{LabelAngleOffset} \DefaultVal{0} et positionnée par rapport à \param{LabelRefPt} \DefaultVal{c}. D'autre part l'arc de cercle utilisé pour le marquage a pour rayon \param{MarkAngleRadius} \DefaultVal{.4~unit} et il est possible d'y adjoindre une flèche en début ou fin d'arc en utilisant le paramètre \param{arrows}. Enfin, on peut marquer l'angle avec un marqueur produit par une commande \TeX{} donnée en argument du paramètre \param{Mark}. \tabex% [@{}m{.25\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.727\linewidth}@{}]% {angle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droites, demi-droites et segments} Rien de plus utile qu'une droite ! \defcom[Trace la droite $(AB)$.] {pstLineAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Afin de contrôler sa longueur\footnote{Ce qui est le comble pour une droite !}, les deux paramètres \param{nodesepA} et \param{nodesepB} indiquent l'abscisse des extrémités de la droite. Une abscisse négative spécifie un dépassement au-delà des points, tandis qu'une abscisse positive indique le contraire. Si les deux valeurs sont identiques, on peut utiliser alors le paramètre \param{nodesep}. La valeur par défaut de ces paramètres est nulle. \tabex{droite} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercles} Un cercle peut être défini soit par son centre et un point de sa circonférence, soit par deux points diamétralement opposés. Il existe donc deux fonctions : \renewcommand{\ComUnDescr}{Construit le cercle de centre $O$ passant par $A$. \protect\ParamList{\param{Radius}, \param{Diameter}}.} \renewcommand{\ComDeuxDescr}{Construit le cercle de diamètre $AB$. \protect\ParamList{\param{Radius}, \param{Diameter}}.} \defcomdeux{pstCircleOA}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}}% {pstCircleAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Pour la première fonction, il est également possible d'omettre le second point, et de spécifier un rayon ou un diamètre avec les paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} au moyen des deux fonctions suivantes : \renewcommand{\ComUnDescr}{Permet de spécifier la distance $AB$ pour les paramètres \protect\param{Radius} et \protect\param{Diameter}. \protect\ParamList{\param{DistCoef}}.} \renewcommand{\ComDeuxDescr}{Permet d'utiliser une valeur numérique pour les paramètres \protect\param{Radius} et \protect\param{Diameter}. \protect\ParamList{\param{DistCoef}}.} \defcomdeux{pstDistAB}{\Arg{$A$}\Arg{$B$}}% {pstDistVal}{\Arg{x}} La première fonction permet de spécifier une distance entre deux points et la seconde directement une valeur numérique qui peut être un calcul en code \PostScript. Cette dernière distance est spécifiée en multiple de l'unité \com{unit} et elle n'est pas une distance. Ces distances peuvent être modifiées par un coefficient multiplicatif spécifié préalablement par le paramètre \param{DistCoef}. Ce paramètre peut être un calcul en code \PostScript. \vspace{1.1\baselineskip} \begin{minipage}[m]{.4\linewidth} Avec cette extension, il devient possible de tracer : \begin{itemize} \item {\color{red} le cercle de centre $A$ passant par $B$ ;} \item {\color{green} le cercle de centre $A$ de rayon les deux tiers de $AC$ ;} \item {\color{blue} le cercle de centre $A$ de rayon $BC$ ;} \item {\color{Sepia} le cercle de centre $B$ de rayon $AC$ ;} \item {\color{Aquamarine} le cercle de centre $B$ de diamètre $AC$ ;} \item {\color{RoyalBlue} le cercle de diamètre $BC$ ;} \end{itemize} \end{minipage} \hfill% \input{Exemples/cercle} \smallverbatiminput{Exemples/cercle_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Arcs de cercles} \renewcommand{\ComUnDescr}{Trace l'arc de cercle de centre $O$, de rayon $OA$, délimité par l'angle $\protect\Angle{AOB}$ dans le sens trigonométrique.} \renewcommand{\ComDeuxDescr}{Trace l'arc de cercle de centre $O$, de rayon $OA$, délimité par l'angle $\protect\Angle{AOB}$ dans le sens trigonométrique inverse.} \defcomdeux{pstArcOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}}% {pstArcnOAB}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}} Ces deux fonctions tracent des arcs de cercle, le centre étant donné par $O$, le rayon par $OA$, l'angle de départ par $A$ et celui d'arrivée par $B$. Enfin la première trace l'arc dans le sens direct et la seconde dans le sens indirect. Il n'est pas nécessaire que les deux points soient à égales distances de $O$. \tabex{arc} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Abscisse curviligne} Un point peut être positionné sur un cercle au moyen d'une abscisse curviligne. \defcom[Place un point sur un cercle au moyen de son abscisse curviligne. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{CurvAbsNeg}}] {pstCurvAbsNode}{\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{Abs}} Le point \Argsans{$B$} est placé sur le cercle de centre \Argsans{$O$} passant par \Argsans{$A$}, avec l'abscisse curviligne \Argsans{Abs}. L'origine est en \Argsans{$A$}, et le sens est par défaut le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). Le paramètre \param{CurvAbsNeg} \DefaultVal{false} permet de modifier le sens de parcours du cercle. Si le paramètre \param{PosAngle} n'est pas spécifié, l'étiquette associée au point va se placer automatiquement de manière à être aligné avec le centre du cercle et le point. \tabex{abscur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Courbe générique} Il est tout à fait possible de générer des points au moyen d'une boucle et de leur donner à chacun un nom générique composé d'un radical et d'un nombre. La commande suivante permet de relier ces points au moyen d'une courbe interpolée. \defcom[Trace une courbe interpolée au moyen d'une famille de points ayant une convention de dénomination utilisant un radical et un numéro. \protect\ParamList{\param{GenCurvFirst}, \param{GenCurvInc}, \param{GenCurvLast}}] {pstGenericCurve}{\OptArg{par}\Arg{Radical}\Arg{$n_1$}\Arg{$n_2$}} La courbe est tracée sur les points dont le nom comporte le radical \Argsans{Radical}, et comme suffixe un nombre allant de \Argsans{$n_1$} à \Argsans{$n_2$}. Pour gérer les effets de bords, les paramètres \param{GenCurvFirst} et \param{GenCurvLast} permettent de désigner explicitement le premier et le dernier point. Le paramètre \param{GenCurvInc} permet de spécifier l'incrément de boucle pour passer d'un point à un autre \DefaultVal{1}. \tabex{gencur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Transformations} Les transformations du plan permettent de coder facilement des propriétés géométriques. Il est donc possible de construire les images de points par toutes les transformations classiques du plan. \cbstart Toutes ces commandes partagent le même schéma syntaxique et deux paramètres. La syntaxe commune place en fin de description deux listes de points, dont la seconde est optionnelle et de cardinal plus faible ou égal. Ces deux listes contiennent les points antécédents et les points images. Dans le cas ou les images sont absentes dans leur totalité ou pour une partie (liste moins longue), le nom de l'image sera automatiquement calqué sur l'antécédent auquel sera adjoint un \verb$'$. Le premier paramètre commun est \param{CodeFig}. Il permet de faire apparaître les propriétés caractéristiques liées à la transformation et à la construction de l'image. Par défaut, ce paramètre a pour valeur \param{false}, il doit être mis à \param{true} pour activer ce tracé optionnel. Ce tracé se fait en utilisant le style \param{CodeFigStyle} \DefaultVal{dashed} et suivant la couleur \param{CodeFigColor} \DefaultVal{cyan}. Le second paramètre est \param{CurveType} qui permet de faire apparaître une courbe passant par les images, et donc de pouvoir rapidement tracer le transformé d'une figure.\cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Symétrie centrale} \defcom[Construit le symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à $O$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstSymO}% {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Construit le point symétrique par rapport au point $O$. Les paramètres classiques de la création de point sont utilisables comme dans toutes les fonctions suivantes. Elle peut servir à la construction d'un parallélogramme de centre connu. \tabex{symcentrale} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Symétrie orthogonale} \defcom[Construit le symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à la droite $(AB)$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstOrtSym}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Construit le point symétrique $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rapport à la droite $(AB)$. \tabex{symorthogonale} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Rotation} \defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par rotation d'angle \protect\param{RotAngle} autour de $O$ dans le sens trigonométrique. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{RotAngle}}]{pstRotation}% {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Construit l'image d'un point par rotation. L'angle de rotation est donné par le paramètre \param{RotAng|e} \DefaultVal{60}. Celui-ci peut-être un angle orienté défini par trois points. Il faut alors utiliser la fonction : \defcom[Permet d'utiliser la mesure te \protect\Angle{AOB} (orienté) pour le paramètre \protect\param{RotAngle}. \protect\ParamList{\param{AngleCoef}}] {pstAngleAOB}{\Arg{$A$}\Arg{$O$}\Arg{$B$}} Pensez à l'utiliser pour construire un carré ou un triangle équilatéral.\cbstart Le paramètre booléen \param{CodeFig} permet de placer un arc avec une flèche (en bout) entre le point et son image, et si le paramètre \param{TransformLabel} \DefaultVal{none} contient un texte il est placé sur l'angle correspondant en mode mathématique. \tabex{rotation}\cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Translation} \defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par la translation de vecteur \protect\Vecteur{AB}. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{DistCoef}}] {pstTranslation}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Construit le translaté de vecteur \Vecteur{AB} du point \Argsans{$M$}. À utiliser pour construire la parallèle passant par un point. \tabex{translation} Il est également possible d'utiliser le paramètre \param{DistCoef} pour modifier le vecteur de translation avec un coefficient multiplicatif. \cbstart Le paramètre booléen \param{CodeFig} permet de placer le vecteur de translation entre le point et son image avec au milieu un texte qui par défaut est les deux points ou le contenu du paramètre \param{TransformLabel} \DefaultVal{none}.\cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Homothétie} \defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport \protect\param{HomCoef}. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{HomCoef}}] {pstHomO}% {\OptArg{par}\Arg{$O$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Construit l'image d'un point par homothétie. Le coefficient se spécifie avec le paramètre \param{HomCoef}. Incontournable pour les situations de \textsc{Thalès}. \tabex{homothetie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Projection orthogonale} \defcom[Construit l'image $M'_i$ de chacun des $M_i$ par projection orthogonale sur $(AB)$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstProjection}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$M_1, M_2, \cdots, M_n$}\OptArg{$M'_1, M'_2, \cdots, M'_p$}} Projette orthogonalement les point $M_i$ sur la droite $(AB)$. Très important pour tracer les hauteurs d'un triangle. Le nom est aligné avec le point et son projeté comme le montre l'exemple. \tabex{projection} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Objets particuliers} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Milieu} \defcom[Construit le milieu $I$ du segment \Segment{AB}. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{SegmentSymbol}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}}]{pstMiddleAB}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}} Construit le milieu $I$ du segment $[AB]$. Par défaut, le nom du point est positionné automatiquement sous (ou sur) le segment. \tabex{milieu} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   \subsection{Centre de gravité d'un triangle} \defcom[Construit le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}}]{pstCGravABC}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$G$}} Construit le centre de gravité d'un triangle. \tabex{grav} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle circonscrit d'un triangle et son centre} \defcom[Construit le centre $O$ äu cercle ciconscrit du triangle $ABC$. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}, \param{DrawCirABC}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}, \param{SegmentSymbolA}, \param{SegmentSymbolB}, \param{SegmentSymbolC}}] {pstCircleABC}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$O$}} Cette commande permet de tracer le cercle passant par trois points et de positionner le centre. Le tracé du cercle est contrôlé par le paramètre booléen \param{DrawCirABC} \DefaultVal{true}.\cbstart D'autre part, les traits de constructions peuvent être apparent (médiatrices) avec le paramètre \param{CodeFig}. Les milieux sont aussi marqué sur chacun des segments avec trois marques différentes donnés par les paramètres \param{SegmentSymbolA}, \param{SegmentSymbolB} et \param{SegmentSymbolC}.\cbend La création du point est sensible à tous les paramètres classiques déjà vus. \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {ccirc} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Médiatrice d'un segment} \defcom[Construit la médiatrice du segment \Segment{AB}, son milieu $I$ et un point $M$ de la médiatrice qui est l'image par quart de tour de $B$. \protect\ParamList{\param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PosAngle}, \param{PointSymbol}, \param{PtNameMath}, \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor}, \param{CodeFigStyle}, \param{SegmentSymbol}}] {pstMediatorAB}{\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$I$}\Arg{$M$}} La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au milieu de ce segment. Le segment est $[AB]$, le milieu est $I$, et $M$ est un point de la médiatrice, construit par une rotation de $90$\degres\ du point point $B$ par rapport à $I$. L'ordre des deux points est important, il permet de contrôler la position de la médiatrice. La commande crée les points $M$ et $I$. La construction est sensible aux paramètres suivant : \begin{itemize} \item \param{CodeFig}, \param{CodeFigColor} et \param{SegmentSymbol} pour marquer l'angle droit et le milieu ; \item \param{PointSymbol} et \param{PointName} pour contrôler l'apparence des deux nouveaux points, chacun pouvant être spécifiés séparément au moyen des paramètres \param{...A} et \param{...B} ; \item les paramètres de tracés des droites. \end{itemize} \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {mediator} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Bissectrices d'un angle} \defcom[Construit la bissectrice intérieure de l'angle \protect\Angle{BAC} ainsi qu'un point $M$ de la bissectrice image de $B$ par rotation autour de $A$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}] {pstBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}} \defcom[Construit la bissectrice extérieure d'un angle ainsi qu' un point $M$ de la bissectrice image de $B$ par rotation autour de point $A$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}] {pstOutBissectBAC}{\OptArg{par}\Arg{$B$}\Arg{$A$}\Arg{$C$}\Arg{$M$}} Il existe deux bissectrices pour un angle géométrique donné : l'intérieure et l'extérieure ; donc il y a deux commandes. L'angle est spécifié dans le sens trigonométrique. Les résultats de ces deux commandes sont la bissectrice et un point de celle-ci qui est positionné par une rotation du point $B$. \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {bissec} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Intersections} Un autre moyen de définir un point est de spécifier une intersection. Six types d'intersections sont gérées : \begin{itemize} \item droite-droite ; \item droite-cercle ; \item cercle-cercle ; \item fonction-fonction ; \item fonction-droite ; \item fonction-cercle. \end{itemize} Une intersection peut ne pas exister : cas des droites parallèles par exemple. Dans ce cas, le ou les points concernés se retrouvent placés à l'origine. En fait, il est supposé que l'utilisation de ces commandes implique l'existence de l'intersection. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droite-droite} \defcom[Place le point d'intersection entre les droites $(AB)$ et $(CD)$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}}] {pstInterLL}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$C$}\Arg{$D$}\Arg{$M$}} Construit le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec la droite $(CD)$. Option essentielle de la construction de figures du triangle, elle permet de positionner les points remarquables. Les paragraphes suivants proposent différents exemples : \begin{description} \item[basique] \tabex{interDD} \item[orthocentre] \tabex% [@{}m{.35\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}] {orthocentre} \end{description} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle--droite} \defcom[Place le(s) point(s) d'intersection entre la droite $(AB)$ et le cercle de centre $O$ passant par $C$. \protect\ParamList{\param{PointSymbol}, \param{PosAngle}, \param{PointName}, \param{PointNameSep}, \param{PtNameMath}, \param{PointSymbolA}, \param{PosAngleA}, \param{PointNameA}, \param{PointSymbolB}, \param{PosAngleB}, \param{PointNameB}, \param{Radius}, \param{Diameter}}] {pstInterLC}% {\OptArg{par}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$O$}\Arg{$C$}% \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}} Construit le ou les points d'intersection de la droite $(AB)$ avec le cercle de centre $O$ passant par $OC$. L'intersection entre un cercle et une droite donne en cas d'existence un ou deux points. En fait le cas tangent représente un point double au sens des racines d'un polynôme. Le cercle est spécifié avec son centre et soit un point de sa circonférence, soit son rayon ou diamètre spécifié au moyen des paramètres \param{Radius} et \param{Diameter} et modulé par le paramètre coefficient multiplicatif \param{DistCoef}. La place des deux points est telle que les vecteurs \Vecteur{AB} et \Vecteur{M_1M_2} soient colinéaires. Ainsi si on échange les points qui définissent la droite, les deux points d'intersection seront aussi échangés. Si l'intersection n'existe pas, les deux points sont placés au centre du cercle. \tabex [@{}m{.4\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.5777\linewidth}@{}] {interDC} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle--cercle} \defcom[Place le(s) point(s) d'intersection entre le cercle de centre $O_1$ passant par $B$ et le cercle de centre $O_2$ passant par $C$ .] {pstInterCC}% {\OptArg{par}\Arg{$O_1$}\Arg{$B$}\Arg{$O_2$}\Arg{$C$}% \Arg{$M_1$}\Arg{$M_2$}} Fonction au comportement identique à la précédente. Les paramètres booléens \param{CodeFigA} et \param{CodeFigB} permettent de faire apparaître les arcs au niveau des intersections. Par cohérence \param{CodeFig} permet de faire apparaître les deux arcs. Afin de contrôler dans quel sens vont-être ces arcs, les paramètres booléens \param{CodeFigAarc} et \param{CodeFigBarc} permettent de choisir dans le sens direct ou indirect. \tabex{interCC} Voici un deuxième exemple plus complet, intégrant les spécifications de cercle avec des rayons et des diamètres. Il existe dans ce cas des paramètres \param{RadiusA}, \param{RadiusB}, \param{DiameterA} et \param{DiameterB}. Toutefois, même dans le cas où le diamètre est spécifié, il faut donner un centre. On ne peut pas spécifier un cercle avec deux points diamétralement opposés. \begin{center} \rule[-.5cm]{0pt}{8cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(7,3)\psgrid \input{Exemples/interCC_bis_in} \end{pspicture} \end{center} \smallverbatiminput{Exemples/interCC_bis_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Fonction--fonction} \defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre les deux courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. À priori l'abscisse du point sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]% {pstInterFF}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$g$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}} Cette fonction permet de positionner un point à une intersection entre les deux fonctions $f$ et $g$. La valeur $x_0$ est une valeur approchée de l'abscisse de cette intersection. Il est donc tout à fait possible de l'utiliser plusieurs fois si plusieurs intersections existent. Chacune des fonctions est décrite en \PostScript de manière identique à la fonction \com{psplot} de \PStricks. Il est évidemment possible de spécifier une fonction constante, et par exemple de chercher des racines. La recherche de l'intersection se fait en utilisant l'algorithme de \textsc{Newton}, et évidemment il peut arriver que cela n'aboutisse pas. Dans ce cas, le point est placé à l'origine. D'autre part, la recherche peut tomber dans un \textit{piège} (minimum local proche de zéro), ou encore se mettre à osciller et donc ne jamais finir, il faudra alors modifier $x_0$. \tabex{interFF} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Fonction--droite} \defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre la droite $(AB)$ et la courbe représentative de la fonction $f$. À priori l'abscisse du point sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]% {pstInterFL}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$A$}\Arg{$B$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}} Positionne un point à une intersection de la fonction $f$ et de la droite $(AB)$. \tabex{interFL} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Fonction--cercle} \defcom[Place \textit{un} point d'intersection entre le cercle de centre $O$ passant par $A$ et la courbe représentative de la fonction $f$. À priori l'abscisse du point sera proche de $x_0$ (valeur initiale de l'algorithme de \textsc{Newton}).]% {pstInterFC}{\OptArg{par}\Arg{$f$}\Arg{$O$}\Arg{$A$}\Arg{$x_0$}\Arg{$M$}} Positionne un point à une intersection de la fonction $f$ et du cercle de centre $O$ passant par $A$. L'intersection est trouvée en utilisant l'algorithme itératif de \textsc{Newton} avec comme valeur initale $x_0$. Le poit aura donc une abscisse \textit{proche} de $x_0$. \tabex{interFC} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Galerie d'exemples} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Géométrie élémentaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tracé de la bissectrice} \tabex{gal_biss} \cbdelete%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% \subsection{Angle droit allemand} %% %% En Allemagne, on utilise une autre convention pour les angles %% droits (remarque de U. \textsc{Dirr}). %% \nopagebreak[4] %% %% \tabex{german_ra} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \cbstart\subsection{Transformation de polygones et courbes} Voici comment utiliser le paramètre \param{CurveType} avec des tranformations. \nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/curvetype} \end{center}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/curvetype_in}\cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Droites remarquables du triangle}\nopagebreak[4] \begin{center} \psset{unit=2cm} \input{Exemples/remarq} \end{center}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/remarq_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercle d'\textsc{Euler}} \begin{center} \psset{unit=2cm} \input{Exemples/euler} \end{center}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/euler_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Orthocentre et hyperbole} L'orthocentre d'un triangle dont les points sont situés sur les branches de l'hyperbole ${\mathscr H} : y=a/x$ appartient à cette hyperbole. \begin{center} \psset{unit=.5cm} \input{Exemples/orthoethyper} \end{center} \smallverbatiminput{Exemples/orthoethyper_in} \pagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Polygone régulier à 17 côtés} Remarquable construction due à K. F. \textsc{Gauss} qui a démontré par ailleurs qu'il était possible de construire les polygones à $2^{2^p}+1$ côtés avec en prime la méthode général de construction. Le polygone régulier suivant de cette famille possède donc 257 côtés ! \nopagebreak[4] \begin{center} \psset{unit=1.5cm, CodeFig=true, RightAngleSize=.14, CodeFigColor=red, CodeFigB=true, linestyle=dashed, dash=2mm 2mm} \input{Exemples/gauss} \end{center} \pagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tangentes de cercles} Construction des tangentes à un cercle passant par un point donné. \nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/tg1c} \end{center} Construction des tangentes à deux cercles. \nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/tg2c} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Point de \textsc{Fermat} d'un triangle} Figure de Manuel \textsc{Luque}.\nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/ptfermat} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cercles ex-insrits et inscrit d'un triangle} Les centres de ces cercles sont les intersections des bissectrices intérieures et extérieures. %% cercles inscrit et exinscrits d'un triangle \begin{center} \psset{unit=1cm, dash=5mm 4mm}%, PointSymbolA=none, PointSymbolB=none} \input{Exemples/cinscex} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Quelques lieux de points} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Parabole} \begin{minipage}[m]{.33\linewidth} La parabole est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point : le foyer, et d'une droite : la directrice. \end{minipage} \newcommand{\NbPt}{11} \input{Exemples/parabole}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/parabole_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Hyperbole} \noindent \begin{minipage}[b]{.55\linewidth} L'hyperbole est composée des points dont la différence des distances avec les foyers est constant. Pour se rafraîchir la mémoire, on peut aller voir le «~Cours de mathématiques spéciales~», vol.~2, \textsc{Ramis, Deschamps, Odoux}, pp{.} 226--227. \begin{verbatim} %% QQ RAPPELS : a=\Sommet, c=\PosFoyer, %% b^2=c^2-a^2, e=c/a %% pour une hyperbole -> e>1, donc c>a, %% ici on choisi a=\sqrt{2}, c=2, e=\sqrt{2} %% M est sur H <=> |MF-MF'|=2a \end{verbatim} \end{minipage} \hfill \input{Exemples/hyperbole}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/hyperbole_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cycloïde} La roue roule de $M$ à $A$. Les points du cercle parcourent des cycloïdes. L'intérêt de cet exemple est de faire coïncider les points de rebroussement avec des points calculés. \nopagebreak[4] \begin{center} \input{Exemples/cyclo} \end{center}\nopagebreak[4] \smallverbatiminput{Exemples/cyclo_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Hypocycloïdes (astroïde et deltoïde)} Une roue roule à l'intérieure d'un cercle et selon le rapport des rayons, on obtient une astroïde, une deltoïde et dans le cas générale des hypocycloïdes.\nopagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% ASTROÏDE \input{Exemples/hypocyclo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \input{Exemples/astro}\input{Exemples/delto} \end{center} \smallverbatiminput{Exemples/hypocyclo} \smallverbatiminput{Exemples/astro_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Enveloppes de droites et de cercles} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Coniques} On considère un cercle et un point $A$ extérieur à ce cercle. L'ensemble des médiatrices des segments formés par $A$ et les points du cercle forme les deux coniques selon la place de $A$ : s'il est à l'intérieur du cercle l'ellipse, à l'extérieur l'hyperbole. $A$ et le centre du cercle en sont les foyers (figure d'O. \textsc{Reboux}). \begin{center}\input{Exemples/envellipse}\end{center} \smallverbatiminput{Exemples/envellipse_in} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cardioïde} La cardioïde est l'enveloppe des cercles centrés sur un cercle et passant par un point fixé de ce cercle. \tabex% [@{}m{.5\linewidth}@{\hspace{.013\linewidth}}>{\small}m{.627\linewidth}@{}]% {envcardi} \pagebreak[4] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Homothéties et fractales}\nopagebreak[4] \tabex{fracthom} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Géométrie hyperbolique : triangle et ses hauteurs} Le comble pour de la géométrie euclidienne ! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Tracé de géodésique en géométrie hyperbolique %% Attention ne fonctionne que si les points ne sont pas alignés avec O %% Ceci est un cas particulier, je ne crois pas que les hauteurs %% soient concourantes pour tous les triangles hyperboliques. \input{Exemples/geohyper} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \appendix \chapter{Glossaire des commandes}%%\markboth{GLOSSAIRE DES COMMANDES}{\thepage}% %%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}Glossaire des commandes}% Voici la liste des commandes définies par \texttt{pst-eucl}. Chacune est proposée avec une courte description ainsi que la liste des paramètres \texttt{pst-eucl} qui permettent de la contrôler. Il est tout à fait possible que d'autres paramètres \PStricks puissent être utilisé, en particulier ceux contrôlant le trait (épaisseur, couleur, style). \input{euclide_macros.ind} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Les paramètres de \texttt{pst-eucl}} \begin{longtable}{|l|l|p{10cm}|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Paramètre}}& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Défaut}}& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Signification}} \\\hline\hline \endfirsthead \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Paramètre}}& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Défaut}}& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Signification}} \\\hline\hline \endhead \hline \multicolumn{3}{|c|}{$\ldots$ à suivre $\ldots$}\\ \hline \endfoot \hline \endlastfoot \param{PointSymbol}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un point.\\\hline \param{PointSymbolA}&\verb$default$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline \param{PointSymbolB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline \param{PointSymbolC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline \param{PointName}&\verb$default$&Étiquette placé auprès du point.\\\hline \param{PointNameA}&\verb$default$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline \param{PointNameB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline \param{PointNameC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline \param{PtNameMath}&\verb$true$¶mètre booléen spécifiant si le style mathématique doit être utilisé pour l'étiquette d'un point.\\\hline \param{SegmentSymbol}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un segment\\\hline \param{SegmentSymbolA}&\verb$default$&idem pour le premier segment d'une commande en marquant plusieurs.\\\hline \param{SegmentSymbolB}&\verb$default$&pour le second...\\\hline \param{SegmentSymbolC}&\verb$default$&pour le troisième...\\\hline \param{Mark}&\verb$default$&Symbole utilisé pour marquer un angle...\\\hline \param{MarkAngle}&\verb$default$&Angle à utiliser pour le symbole précédent...\\\hline \param{PointNameSep}&\verb$1em$&Distance séparant le symbole du point de son étiquette.\\\hline \param{PosAngle}&\verb$undef$&Position de l'étiquette autour du point.\\\hline \param{PosAngleA}&\verb$undef$&idem pour le premier point d'une commande en créant plusieurs.\\\hline \param{PosAngleB}&\verb$undef$&pour le second...\\\hline \param{PosAngleC}&\verb$undef$&pour le troisième...\\\hline \param{RightAngleSize}&\verb$.4$&Taille du symbole de l'angle droit\\\hline \param{RightAngleType}&\verb$default$&Type de la marque de l'angle droit, valeur possible : \verb$german$ et \verb$suisseromand$\\\hline \param{MarkAngleRadius}&\verb$.4$&Rayon de l'arc de cercle marquant un angle.\\\hline \param{LabelAngleOffset}&\verb$0$&Offset angulaire permettant de décaler l'étiquette d'un angle.\\\hline \param{LabelSep}&\verb$1$&Distance entre le sommet de l'angle et l'étiquette.\\\hline \param{LabelRefPt}&\verb$c$&Point de référence \TeX\ utilisé pour placer l'étiquette d'un angle.\\\hline \param{HomCoef}&\verb$.5$&Coefficient de l'homothétie.\\\hline \param{RotAngle}&\verb$60$&Angle utilisé pour la rotation.\\\hline \param{DrawCirABC}&\verb$true$&Paramètre booléen indiquant si le cercle circonscrit doit être tracé.\\\hline \param{CodeFig}&\verb$false$&Paramètre booléen indiquant si la construction doit être codée.\\\hline \param{CodeFigA}&\verb$false$&idem pour la première construction d'une commande en générant plusieurs.\\\hline \param{CodeFigB}&\verb$false$&La seconde.\\\hline \param{CodeFigColor}&\verb$cyan$&Couleur du trait pour coder la construction.\\\hline \param{CodeFigStyle}&\verb$dashed$&Style du trait pour coder la construction.\\\hline \param{CodeFigAarc}&\verb$true$¶mètre booléen spécifiant le sens de l'arcau niveau de la première intersection entre deux cercles.\\\hline \param{CodeFigBarc}&\verb$true$&idem pour la seconde.\\\hline \param{Radius}&\verb$none$&Spécification du rayon du cercle.\\\hline \param{RadiusA}&\verb$undef$&Spécification du rayon du premier cercle.\\\hline \param{RadiusB}&\verb$undef$&Spécification du rayon du second cercle.\\\hline \param{Diameter}&\verb$none$&Spécification du diamètre du cercle.\\\hline \param{DiameterA}&\verb$undef$&Spécification du rayon du premier cercle.\\\hline \param{DiameterB}&\verb$undef$&Spécification du rayon du second cercle.\\\hline \param{DistCoef}&\verb$none$&Coefficient multiplicatif permettant de modifier une distance/vecteur.\\\hline \param{AngleCoef}&\verb$none$&Coefficient multiplicatif permettant de modifier la mesure d'un angle.\\\hline \param{CurvAbsNeg}&\verb$false$&Paramètre booléen indiquant que les abscisses curvilignes sont dans le sens anti-trigonométrique\\\hline \param{GenCurvFirst}&\verb$none$&Nom du premier point d'une courbe générique (effet de bord).\\\hline \param{GenCurvLast}&\verb$none$&Nom du dernier point d'une courbe générique (effet de bord).\\\hline \param{GenCurvInc}&\verb$none$&valeur à utiliser comme incrément dans une courbe générique.\\\hline \cbstart% \param{CurveType}&\verb$none$&Mode de tracé de courbe pour relier une liste de points.\\\hline \param{TransformLabel}&\verb$none$&étiquette utilisée pour marquer la rotation ou la translation.\\\hline \end{longtable} \cbend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \cbstart\chapter{Compatibilité ascendantes de \texttt{pst-eucl}} Nouveauté pour cette version, des commandes ont changé de syntaxe sans changer de nom, la compatibilité ascendante n'est donc pas maintenue. Toutefois, pour éviter àà certains utilisateurs pressés de mettre à jour leur fichier dans l'urgence, il est possible de retrouver l'ancienne syntaxe en activant l'option \texttt{old} à l'inclusion de l'extension \verb$\usepackage[old]{pst-eucl}$. Pour cette version cela concerne toutes les commandes des transformations. Il faut donc se reporter à l'ancien manuel pour avoir la syntaxe. \cbend \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Une figure fractale : le flocon de \textsc{von Koch}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% TENTATIVE DE FLOCON DE VON KOCH \newcounter{nbvk}% %%%%%%%%%%%%% %% PILE LIFO% \newcounter{lifon}\setcounter{lifon}{1}%% \newcommand{\Push}[1]{%% \expandafter\edef\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname{#1}%% \addtocounter{lifon}{1}%% }% \newcommand{\Pop}{\csname lifocmd\roman{lifon}\endcsname}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{nombre}\setcounter{nombre}{0}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\vonkoch}[3]{%% \setcounter{nbvk}{#1}%% \edef\Pointi{#2}\edef\Pointii{#3}%% \ifnum\value{nbvk}=1% \ncline{\Pointi}{\Pointii}% \else % ELSE% \addtocounter{nombre}{1}% %% position des nouveauX points% \pstHomO[HomCoef=1 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}1}% \pstHomO[HomCoef=2 3 div]{\Pointi}{\Pointii}{P\arabic{nombre}2}% \pstRotation[RotAngle=60]{P\arabic{nombre}1}{P\arabic{nombre}2}{P\arabic{nombre}3}% \addtocounter{nbvk}{-1}%% \Push{\Pointi}\Push{\Pointii}\Push{\arabic{nombre}}\Push{\arabic{nbvk}}% \vonkoch{\value{nbvk}}{\Pointi}{P\arabic{nombre}1}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal1}{P\nombrelocal3}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal3}{P\nombrelocal2}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nbvklocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\nombrelocal{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointii{\Pop}% \addtocounter{lifon}{-1}\edef\Pointi{\Pop}% \addtocounter{lifon}{4}% \vonkoch{\nbvklocal}{P\nombrelocal2}{\Pointii}% \addtocounter{lifon}{-4}% \fi% }% \psset{unit=2.5cm}% \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)% \psset{PointSymbol=none} \pstGeonode(-2,-2){A}\pstGeonode(2,2){B}% \pstRotation[RotAngle=60]{B}{A}{C}% \vonkoch{5}{A}{B}\setcounter{nombre}{0}%%% \vonkoch{4}{B}{C}\setcounter{nombre}{0}%%% \vonkoch{4}{C}{A}%% \end{pspicture}% % \end{document}% \begin{pspicture*}(-4,-5)(4,5)%\psgrid %% \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O} %% \pstGeonode[PosAngle=-90](1,0.5){I} %% \pstGeonode[PosAngle=-180](0.5,2){J} \pstGeonode[PosAngle={-135,-90,-180}]{O}(1,0.5){I}(0.5,2){J} \pstLineAB[nodesep=100]{O}{I} \pstLineAB[nodesep=100]{O}{J} \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline(0,-.15)(0,.15)}% \multips(-5,-2.5)(1,0.5){11}{\psline[linestyle=dotted](-10,-40)(10,40)}% \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline(-.15,0)(.15,0)}% \multips(-2,-8)(0.5,2){9}{\psline[linestyle=dotted](-10,-5)(10,5)}% %% huit points \psset{PointSymbol=x} \pstOIJGeonode(1,2){A}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(-2,1){B}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(-1,-1.5){C}{O}{I}{J} \pstOIJGeonode(2,-1){D}{O}{I}{J} \end{pspicture*} %