From ec3a1bbf576519b69cf12fcc14267ade3068da69 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Karl Berry Date: Thu, 25 Jul 2019 21:48:26 +0000 Subject: witharrows (25jul19) git-svn-id: svn://tug.org/texlive/trunk@51728 c570f23f-e606-0410-a88d-b1316a301751 --- .../doc/latex/witharrows/witharrows-french.pdf | Bin 0 -> 251565 bytes .../doc/latex/witharrows/witharrows-french.tex | 2244 ++++++++++++++++++++ .../texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows.pdf | Bin 389748 -> 553254 bytes 3 files changed, 2244 insertions(+) create mode 100644 Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.pdf create mode 100644 Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.tex (limited to 'Master/texmf-dist/doc') diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.pdf new file mode 100644 index 00000000000..642c9f86139 Binary files /dev/null and b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.pdf differ diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.tex new file mode 100644 index 00000000000..65f0355dfb7 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows-french.tex @@ -0,0 +1,2244 @@ +% -*- coding: utf-8 ; -*- +\documentclass[dvipsnames]{article}% dvipsnames est pour xcolor (chargé par Tikz) +\usepackage{xltxtra} +\usepackage[french]{babel} + +\usepackage[xetex]{geometry} +\geometry{left=2.8cm,right=2.8cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm,papersize={21cm,29.7cm}} + +\usepackage{amsmath} +\usepackage{color} +\usepackage{verbatim} +\usepackage{mathtools} +\usepackage[footnotehyper]{witharrows} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{varwidth} +\usetikzlibrary{calc} +\usepackage[only,llbracket,rrbracket]{stmaryrd} + +\usepackage{fancyvrb} +\fvset{commandchars=\~\#\@,formatcom={\color{gray}}} + +\usepackage{titlesec} +\titlespacing*{\section}{0pt}{6.5ex plus 1ex minus .2ex}{4.3ex plus .2ex} +\titlespacing*{\subsection}{0pt}{4.5ex plus 1ex minus .2ex}{2ex plus .2ex} + + +\def\interitem{\vskip 7mm plus 2 mm minus 3mm} +\def\emphase{\bgroup\color{RoyalPurple}\let\next=} + +\skip \footins = 2 \bigskipamount + +\usepackage[hyperfootnotes = false]{hyperref} + +\hypersetup{ + pdfinfo = { + Title = { L’extension witharrows }, + Subject = { Une extension LaTeX } , + Author = { F. Pantigny } + } +} + +\NewDocumentEnvironment {scope} {} {} {} + +\NewDocumentCommand {\pkg} {m} {\textsf{#1}} +\NewDocumentCommand {\cls} {m} {\textsf{#1}} + +\setlength{\parindent}{0pt} + + +\begin{document} + +\VerbatimFootnotes + +\title{L'extension \pkg{witharrows}\thanks{Ce document correspond à la +version~\myfileversion\space de \pkg{witharrows}, à la date du~\myfiledate.}} \author{F. Pantigny \\ +\texttt{fpantigny@wanadoo.fr}} + +\maketitle + +\begin{abstract} +L'extension LaTeX \pkg{witharrows} fournit des environments \verb|{WithArrows}| et +\verb|{DispWithArrows}| similaires aux environnements \verb|{aligned}| et \verb|{align}| de +l'\pkg{amsmath} mais avec la possibilité de dessiner des flèches sur le côté droit. +Ces flèches sont habituellement utilisées pour donner des explications concernant +le calcul mathématique présenté. +\end{abstract} + + +\vspace{1cm} +Cette extension peut être utilisée avec \verb|xelatex|, \verb|lualatex|, \verb|pdflatex| +mais aussi avec le cheminement classique \verb|latex|-\verb|dvips|-\verb|ps2pdf| (ou Adobe +Distiller). Plusieurs compilations peuvent être nécessaires. Cette extension nécessite les +extensions \pkg{expl3}, \pkg{xparse} et \pkg{tikz}. Les extensions Tikz +\pkg{arrows.meta} et \pkg{bending} sont également requises. Toutes sont chargées par \pkg{witharrows}. + +\bigskip +Cette extension fournit un environnement \verb|{WithArrows}| pour construire des alignements d'équations +avec des flèches pour les explications sur le côté droit. + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 ~emphase#\Arrow{on développe}@ \\ + & = a^2 + 2a + 1 % ne pas mettre de \\ ici +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + + + +\medskip +La flèche a été tracée avec la commande \verb|\Arrow| dans la rangée dont la flèche part. La commande \verb|\Arrow| +doit être utilisée dans la seconde colonne (le mieux est de la mettre à la fin de la ligne comme dans l'exemple +précédent). + + +\medskip +Comme on le voit, l'environnement \verb|{WithArrows}| est proche de l'environnement +\verb|{aligned}| de l'\pkg{amsmath}. L'extension \pkg{witharrows} +propose aussi un environnement \verb|{DispWithArrows}| qui est similaire à l'environnement \verb|{align}| de +l'\pkg{amsmath}: cf. p. \pageref{DispWithArrows}. + + +\section{Options pour la forme des flèches} + +La commande \verb|\Arrow| a plusieurs options. Ces options peuvent être placées entre crochets, avant, ou après, +l'argument obligatoire. + +L'option \verb|jump| indique le nombre\footnote{Il n'est pas possible de donner une valeur négative à \verb|jump|. +Voir plus loin (p.~\pageref{Backwards}) la manière de tracer une flèche qui remonte.} de rangées que la flèche doit sauter (la valeur par défaut est, bien +entendu,~$1$). + + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 \Arrow[~emphase#jump=2@]{on développe} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 \Arrow[jump=1+1]{on développe} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Il est possible de faire partir plusieurs flèches d'une même rangée. +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 ~emphase#\Arrow{}\Arrow{}[jump=2]@ \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 \Arrow{}\Arrow{}[jump=2] \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +L'option \verb|xoffset| décale la flèche vers la droite (habituellement, on ne souhaite pas que les flèches soient +collées au texte). La valeur par défaut de \verb|xoffset| est de $3$~mm. +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 +\Arrow[~emphase#xoffset=1cm@]{avec \texttt{xoffset=1cm}} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 +\Arrow[xoffset=1cm]{avec \texttt{xoffset=1cm}} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +Les flèches sont tracées avec Tikz. C'est pourquoi la commande \verb|\Arrow| a une option +\verb|tikz| qui peut être utilisée pour donner à la flèche (en fait, à la commande \verb|\path| de +Tikz) les options proposées par Tikz pour une telle flèche. L'exemple suivant fournit une flèche en trait épais. +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[~emphase#tikz=thick@]{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[tikz=thick]{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Il est également possible de changer les pointes de flèche. Par exemple, nous pouvons tracer une flèche +qui remonte vers le haut avec l'option Tikz~\verb|<-|.\label{Backwards} + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow~emphase#[tikz=<-]@{on factorise} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[tikz=<-]{on factorise} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Il est aussi possible de supprimer les deux pointes de flèche avec l'option Tikz «\verb|-|». +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[~emphase#tikz=-@]{très classique} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[tikz=-]{très classique} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Pour avoir des flèches droites et non incurvées, il convient d'utiliser l'option Tikz +«\verb|bend left = 0|». +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow~emphase#[tikz={bend left=0}]@{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[tikz={bend left=0}]{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\smallskip +En fait, il est possible de modifier de manière plus drastique la forme des flèches avec l'option +\verb|tikz-code| (présentée p.~\pageref{tikz-code}). + +\interitem +Il est possible d'utiliser l'option «\verb|text width|» pour contrôler la largeur du texte associé à la +flèche.\footnote{Il est possible d'éviter les coupures de mots dans ces étiquettes +avec l'option «\verb|align = flush left|» de Tikz.} +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 +\Arrow[jump=2,~emphase#tikz={text width=5.3cm}@]{Nous avons développé...} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 +\Arrow[jump=2,tikz={text width=5.3cm}]{Nous avons développé en deux étapes mais il aurait été plus habile + d'utiliser la formule du multinôme.} \\ +& = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \\ +& = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Dans les environnements \verb|{DispWithArrows}| et \verb|{DispWithArrows*}|, il y a une +option \verb|wrap-lines|. Lorsque cette option est utilisée, les lignes des étiquettes sont +automatiquement coupées sur la marge droite : voir p.~\pageref{wrap-lines}. + +\interitem +Si on veut changer la fonte du texte associé à une flèche, on peut, bien entendu, placer une commande comme +\verb|\bfseries|, \verb|\large| ou \verb|\sffamily| au début du texte. +Mais, par défaut, les étiquettes sont composées avec une combinaison +de \verb|\small| et \verb|\itshape|. En ajoutant \verb|\bfseries| au début du texte, on ne va pas supprimer le +\verb|\small| et le \verb|\itshape| et, par conséquent, on aura un texte en gras, italique et petite taille. +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{~emphase#\bfseries@ on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{\bfseries on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Il est possible de placer des commandes \verb|\\| dans le texte pour forcer des retours à la ligne\footnote{Par +défaut, ce n'est pas possible dans un nœud Tikz. Néanmoins, dans \pkg{witharrows}, +les nœuds sont construits avec l'option \verb|align=left|, et, ainsi, cela devient possible.}. Néanmoins, si on utilise des commandes \verb|\\|, une instruction de fonte placée au début +du texte aura un effet seulement jusqu'à la première occurrence de~\verb|\\| (comme +dans un environnement \verb|{tabular}|). C'est pourquoi Tikz fournit une option +\verb|font| pour modifier la fonte de tout le texte de l'étiquette. Cette fois-ci, si on utilise une option +\verb|tikz={font={\bfseries}}|, la spécification par défaut constituée par \verb|\small| et \verb|\itshape| va être +écrasée. +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[~emphase#tikz={font={\bfseries}}@]{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow[tikz={font={\bfseries}}]{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\medskip +Si on veut exactement le même résultat que précédemment, on doit donner à l'option \verb|font| la valeur +\verb|\itshape\small\bfseries|. + + +\interitem +Presque toutes les options peuvent être données entre crochets à l'environnement \verb|{WithArrows}|. Il ne doit +pas y avoir d'espace entre le \verb|\begin{WithArrows}| et le crochet ouvrant (\verb|[|) des options de +l'environnement. Ces options s'appliquent à toutes les flèches de l'environnement.\footnote{Elles s'appliquent + aussi aux environnements imbriqués dans un environnement \verb|{WithArrows}| donné (avec des exceptions attendues + pour les options \verb|interline|, \verb|code-before| et \verb|code-after|).} +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#tikz=blue@] +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 \Arrow{premier développement} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \Arrow{second développement} \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[tikz=blue] +A & = \bigl((a+b)+1\bigr)^2 \Arrow{premier développement} \\ + & = (a+b)^2 + 2(a+b) +1 \Arrow{second développement} \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b +1 +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +L'environnement \verb|{WithArrows}| a une option \verb|displaystyle|. Avec cette option, +tous les éléments sont composés en \verb|\displaystyle| (comme dans un environnement +\verb|{aligned}| de l'\pkg{amsmath}). + +\medskip +Sans l'option \verb|displaystyle|: +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +\int_0^1 (x+1)^2 dx +& = \int_0^1 (x^2+2x+1) dx +\Arrow{linéarité de l'intégration} \\ +& = \int_0^1 x^2 dx + 2 \int_0^1 x dx + \int_0^1 dx \\ +& = \frac13 + 2\frac12 + 1 \\ +& = \frac73 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +\int_0^1 (x+1)^2 dx +& = \int_0^1 (x^2+2x+1) dx +\Arrow{linéarité de l'intégration} \\ +& = \int_0^1 x^2 dx + 2 \int_0^1 x dx + \int_0^1 dx \\ +& = \frac13 + 2\frac12 + 1 \\ +& = \frac73 +\end{WithArrows}$ + + +\medskip +Le même exemple avec l'option \verb|displaystyle|:\par\nobreak + +$\begin{WithArrows}[displaystyle] +\int_0^1 (x+1)^2 dx +& = \int_0^1 (x^2+2x+1) dx +\Arrow{linéarité de l'intégration} \\ +& = \int_0^1 x^2 dx + 2 \int_0^1 x dx + \int_0^1 dx \\ +& = \frac13 + 2\frac12 + 1 \\ +& = \frac73 +\end{WithArrows}$ + + + +\interitem +Presque toutes les options peuvent aussi être fixées au niveau du document avec la commande +\verb|\WithArrowsOptions|. Dans ce cas, la portée des déclarations est le groupe TeX courant (de telles +déclarations sont parfois qualifiées de «semi-globales»). Par exemple, si nous voulons que tous les environnements +\verb|{WithArrows}| soient composés en \verb|\displaystyle| avec des flèches bleues, nous pouvons écrire +\verb|\WithArrowsOptions{displaystyle,tikz=blue}|.\footnote{Il est aussi possible de configurer \pkg{witharrows} en + modifiant le style Tikz \verb|WithArrows/arrow| qui est le style utilisé par \pkg{witharrows} lors du tracé d'une + flèche. Par exemple, pour avoir les étiquettes en bleu et en caractères droits, on peut utiliser l'instruction + suivante : \verb|\tikzset{WithArrows/arrow/.append style = {blue,font = {}}}|.} + +\begin{Verbatim} +~emphase#\WithArrowsOptions{displaystyle,tikz=blue}@ +$\begin{WithArrows} +\sum_{i=1}^n (x_i+1)^2 +& = \sum_{i=1}^n (x_i^2+2x_i+1) \Arrow{par linéarité}\\ +& = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2\sum_{i=1}^nx_i+ n +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +\begin{scope} +\WithArrowsOptions{displaystyle,tikz=blue} +$\begin{WithArrows} +\sum_{i=1}^n (x_i+1)^2 +& = \sum_{i=1}^n (x_i^2+2x_i+1) \Arrow{par linéarité}\\ +& = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2\sum_{i=1}^nx_i+ n +\end{WithArrows}$ +\end{scope} + + +\interitem +La commande \verb|\Arrow| est reconnue seulement dans les environnements \verb|{WithArrows}|. Si on +dispose d'une commande \verb|\Arrow| précédemment définie, il est possible de continuer à l'utiliser à +l'extérieur des environnements \verb|{WithArrows}|. + +Néanmoins, une commande \verb|\Arrow| définie précédemment pourrait encore être utile dans un environnement \verb|{WithArrows}|. +Si vous voulez l'utiliser dans un tel environnement, il est possible de changer le nom de la commande \verb|\Arrow| de +l'extension \pkg{witharrows} grâce à une option \verb|command-name|\footnote{Pour des raisons historiques, il y a + un alias pour cette option : \verb|CommandeName|.} dédiée. Le nouveau nom de la commande doit être fourni à +l'option \emph{sans} la contre-oblique. +% +\begin{Verbatim} +\NewDocumentCommand {\Arrow} {} {\longmapsto} +$\begin{WithArrows}[~emphase#command-name=Explication@] +f & = \bigl(x \Arrow (x+1)^2\bigr) +~emphase#\Explication{on travaille directement sur les fonctions}@\\ +& = \bigl(x \Arrow x^2+2x+1\bigr) +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} +% +\begin{scope} +\NewDocumentCommand {\Arrow} {} {\longmapsto} +$\begin{WithArrows}[command-name=Explication] +f & = \bigl(x \Arrow (x+1)^2\bigr) +\Explication{on travaille directement sur les fonctions}\\ +& = \bigl(x \Arrow x^2+2x+1\bigr) +\end{WithArrows}$ +\end{scope} + + +\interitem +L'environnement \verb|{WithArrows}| fournit aussi deux options \verb|code-before| et +\verb|code-after|\footnote{Pour des raisons historiques, il y a aussi des alias pour ces options : + \verb|CodeBefore| et \verb|CodeAfter|.} pour du code LaTeX qui sera exécuté au début et à la fin de +l'environnement. Ces options ne sont pas conçues pour être utilisées comme des \emph{hooks} (elles sont disponibles +uniquement au niveau de l'environnement et ne s'appliquent pas aux environnements imbriqués). +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#code-before = \color{blue}@] +A & = (a+b)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[code-before = \color{blue}] +A & = (a+b)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2ab + b^2 +\end{WithArrows}$ + +\medskip +Des commandes spéciales sont disponibles dans le \verb|code-after| : une commande \verb|\WithArrowsNbLines| qui +indique le nombre de lignes (=rangées) de l'environnement courant (pour TeX, il s'agit d'une commande et non d'un +compteur), une forme spéciale de la commande \verb|\Arrow| et la commande \verb|\MultiArrow| : ces commandes sont +décrites à partir de la page~\pageref{NestedEnv}. + +\section{Nombre et formats des colonnes} + +Jusqu'à présent, nous n'avons utilisé l'environnement \verb|{WithArrows}| qu'avec deux colonnes. Néanmoins, il est +possible de l'utiliser avec un nombre arbitraire de colonnes grâce à l'option \verb|format|. La valeur +donnée à cette option est similaire au préambule d'un environnement \verb|{array}|: il s'agit d'une séquence de +lettres \verb|r|, \verb|c| et \verb|l|. La valeur par défaut de cette option \verb|format| est, en fait, \verb|rl|. + + +\bigskip +Par exemple, si on veut seulement une colonne alignée à gauche, on peut utiliser l'option \verb|format=l|. +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#format = l@] +f(x) \ge g(x) \Arrow{on élève les deux membres au carré} \\ +f(x)^2 \ge g(x)^2 \Arrow{on fait tout passer à gauche} \\ +f(x)^2 - g(x)^2 \ge 0 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[format = l] +f(x) \ge g(x) \Arrow{on élève les deux membres au carré} \\ +f(x)^2 \ge g(x)^2 \Arrow{on fait tout passer à gauche} \\ +f(x)^2 - g(x)^2 \ge 0 +\end{WithArrows}$ + +\interitem +Dans l'exemple suivant, on utilise cinq colonnes toutes centrées (l'environnement +\verb|{DispWithArrows*}| utilisé est présenté p.~\pageref{DispWithArrows}). + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*}[~emphase#format = ccccc@, + wrap-lines, + tikz = {align = flush left}, + interline=1mm] +k & \;\le\; & t & \;\le\; & k+1 \\ +\frac{1}{k+1} & \le & \frac{1}{t} & \le & \frac{1}{k} +\Arrow{nous pouvons intégrer les inégalités puisque $k \leq k+1$ } \\ +\int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{k+1} +& \le & \int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{t} +& \le & \int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{k} \\ +\frac{1}{k+1} & \le & \ln(k+1)-\ln(k) & \le & \frac{1}{k} +\end{DispWithArrows*} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*}[format = ccccc, + wrap-lines, + tikz = {align = flush left}, + interline=1mm] +k & \;\le\; & t & \;\le\; & k+1 \\ +\frac{1}{k+1} & \le & \frac{1}{t} & \le & \frac{1}{k} +\Arrow{nous pouvons intégrer les inégalités puisque $k \leq k+1$} \\ +\int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{k+1} +& \le & \int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{t} +& \le & \int\limits_k^{k+1} \frac{dt}{k} \\ +\frac{1}{k+1} & \le & \ln(k+1)-\ln(k) & \le & \frac{1}{k} +\end{DispWithArrows*} + + +\section{Positionnement précis des flèches} + +L'environnement \verb|{WithArrows}| construit, lors de la composition du tableau, +deux séries de nœuds représentés en rouge dans l'exemple suivant.\footnote{L'option +\verb|show-nodes| peut être utilisée pour visualiser ces nœuds. Les nœuds sont en fait des nœuds Tikz de forme +rectangulaire et de largeur nulle. Une flèche entre deux nœuds part de l'ancre sud (\emph{south + anchor}) du premier nœud et arrive à l'ancre nord (\emph{north anchor}) du deuxième nœud.} + + +\smallskip +$\begin{WithArrows}[displaystyle,show-nodes] +I +& = \int_{\frac{\pi}4}^0 \ln\Bigl(1+\tan\left(\tfrac{\pi}4-u\right)\Bigr)(-d u) \\ +& = \int_0^{\frac{\pi}4} \ln\Bigl(1+\tan\left(\tfrac{\pi}4-u\right)\Bigr)d u \\ +& = \int_0^{\frac{\pi}4}\ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right)\, d u \\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4}\ln\left(\frac{1+\tan u+1-\tan u}{1+\tan u}\right) d u \\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4} \ln\left(\frac2{1+\tan u}\right)\, d u\\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4}\bigl(\ln2-\ln(1+\tan u)\bigr)\, d u \\ +& =\frac{\pi}4\ln2-\int_0^{\frac{\pi}4}\ln(1+\tan u)\, d u \\ +& =\frac{\pi}4\ln2-I +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +Les nœuds sur la gauche sont à la fin de chaque ligne de texte. Ces nœuds seront appelés \emph{nœuds de gauche}. Les +nœuds du côté droit sont alignés verticalement sur le bord droit de l'alignement d'équations. Ces nœuds seront +appelés \emph{nœuds de droite}. + + +Par défaut, les flèches utilisent les nœuds de droite. Nous dirons que ces flèches sont dans le mode \verb|rr| (\emph{r} +for \emph{right} en anglais). Ces flèches sont verticales (nous dirons qu'une flèche est \emph{verticale} lorsque +ses deux extrémités sont à la même abscisse). + + + +\smallskip +Néanmoins, il est possible d'utiliser les nœuds de gauche, ou une combinaison de nœuds de gauche et de droite avec +l'une des options \verb|lr|, \verb|rl| et \verb|ll| (\emph{l} for \emph{left} en anglais). Ces flèches sont, la +plupart du temps, non verticales. + + +Therefore +$\begin{WithArrows}[displaystyle] +I +& = \int_{\frac{\pi}4}^0 \ln\Bigl(1+\tan\left(\tfrac{\pi}4-u\right)\Bigr)(-d u) +\Arrow[lr]{Cette flèche utilise une option \texttt{lr}.}\\ +& = \int_0^{\frac{\pi}4} \ln\Bigl(1+\tan\left(\tfrac{\pi}4-u\right)\Bigr)d u \\ +& = \int_0^{\frac{\pi}4}\ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right)\, d u \\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4}\ln\left(\frac{1+\tan u+1-\tan u}{1+\tan u}\right) d u +\Arrow[ll,jump=2,tikz={text width = 5cm}]{Cette flèche utilise une option \texttt{ll} +et une option \texttt{jump} fixée à $2$}\\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4} \ln\left(\frac2{1+\tan u}\right)\, d u\\ +& =\int_0^{\frac{\pi}4}\bigl(\ln2-\ln(1+\tan u)\bigr)\, d u \\ +& =\frac{\pi}4\ln2-\int_0^{\frac{\pi}4}\ln(1+\tan u)\, d u \\ +& =\frac{\pi}4\ln2-I +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +Il y a aussi une option nommée \verb|i| (\emph{i} pour \emph{intermédiaire}). Avec cette option, la flèche est +verticale et calée à gauche. + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib) +& = (a+b)(a-b)\cdot(a+ib)(a-ib) \\ +& = (a^2-b^2)(a^2+b^2) \Arrow~emphase#[i]@{parce que $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$}\\ +& = a^4-b^4 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib) +& = (a+b)(a-b)\cdot(a+ib)(a-ib) \\ +& = (a^2-b^2)(a^2+b^2) \Arrow[i]{parce que $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$}\\ +& = a^4-b^4 +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +L'environnement \verb|{WithArrows}| propose aussi une option \verb|group|. Avec cette option, +\emph{toutes} les flèches de l'environnement sont regroupées sur une même verticale calée à gauche. +% +\begin{Verbatim}[formatcom=\small\color{gray}] +$\begin{WithArrows}[~emphase#displaystyle,group@] +2xy'-3y=\sqrt x +& \Longleftrightarrow 2x(K'y_0+Ky_0')-3Ky_0 = \sqrt x \\ +& \Longleftrightarrow 2xK'y_0 + K(2xy_0'-3y_0) = \sqrt x \\ +& \Longleftrightarrow 2x K'y_0 = \sqrt x \Arrow{...}\\ +... +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +$\begin{WithArrows}[displaystyle,group] +2xy'-3y=\sqrt x +& \Longleftrightarrow 2x(K'y_0+Ky_0')-3Ky_0 = \sqrt x \\ +& \Longleftrightarrow 2xK'y_0 + K(2xy_0'-3y_0) = \sqrt x \\ +& \Longleftrightarrow 2x K'y_0 = \sqrt x \Arrow{on remplace $y_0$ par sa valeur}\\ +& \Longleftrightarrow 2xK'x^{\frac32} = x^{\frac12} \Arrow{simplification par $x$}\\ +& \Longleftrightarrow K' = \tfrac1{2x^2} \Arrow{on primitive}\\ +& \Longleftrightarrow K = -\tfrac1{2x} +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +L'environnement \verb|{WithArrows}| fournit encore une autre option, nommée \verb|groups| (avec un \emph{s} dans le +nom). Avec cette option, les flèches sont divisées en plusieurs «groupes». Chaque groupe est un ensemble de flèches +connectées entre elles\footnote{Plus précisément : pour chaque flèche $a$, notons $i(a)$ le numéro de sa rangée de + départ et + $f(a)$ le numéro de sa rangée d'arrivée ; pour deux flèches $a$ et $b$, nous noterons $a \sim b$ lorsque + $\llbracket i(a),f(a)\rrbracket \cap \llbracket i(b),f(b)\rrbracket \neq \varnothing$ ; les groupes sont les + classes d'équivalence de la clôture transitive de la relation $\sim$.}. Toutes les flèches d'un même groupe sont placées sur +une même verticale qui est calée à gauche. + + +\bigskip +$\begin{WithArrows}[groups] +A & = B \Arrow{one} \\ + & = C+D \Arrow{two} \\ + & = D' \\ + & = E+F+G+H+I \\ + & = K + L + M \Arrow{three}\\ + & = N \Arrow{four}\\ + & = O +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +Dans un environnement qui utilise l'option \verb|group| ou l'option \verb|groups|, il est encore possible de donner +une option de position (\verb|ll|, \verb|lr|, \verb|rl|, \verb|rr| ou \verb|i|) à une flèche individuelle. Une +telle flèche sera tracée indépendamment des groupes. Il est aussi possible de commencer un nouveau groupe avec +l'option \verb|new-group| pour une certaine flèche. + + +\bigskip +Si on le souhaite, on peut passer l'option \verb|group| ou \verb|groups| à la commande \verb|WithArrowsOptions| de +telle sorte qu'elle deviendra la valeur par défaut (jusqu'à la fin du groupe TeX). Dans ce cas, il est encore +possible de revenir au comportement par défaut pour un environnement \verb|{WithArrows}| donné avec l'option +\verb|rr|: \verb|\begin{WithArrows}[rr]|. + + +\vspace{1cm} +Dans l'exemple suivant, nous avons utilisé l'option \verb|group| pour l'environnement +et l'option \verb|rr| pour la dernière flèche (c'est pourquoi cette dernière flèche n'est pas alignée avec les +premières). + +$\begin{WithArrows}[interline=1mm,group] +\sum\limits_{k=0}^n\frac{\cos kx}{\cos^k x} +& = \sum\limits_{k=0}^n \frac{\Re (e^{ikx})}{(\cos x)^k} +\Arrow{$(\cos x)^k$ est réel} \\ +& = \sum\limits_{k=0}^n \Re\left(\frac{e^{ikx}}{(\cos x)^k}\right) +\Arrow{$\Re(z+z')=\Re(z)+\Re(z')$}\\ +& = \Re \left(\sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{e^{ix}}{\cos x}\right)^k\right) +\Arrow{somme de termes d'une suite géométrique} \\ +& = \Re \left(\frac{1-\left(\frac{e^{ix}}{\cos x}\right)^{n+1}}{1-\frac{e^{ix}}{\cos x}} \right) +\Arrow{calcul algébrique} \\ +& = \Re \left(\frac{1-\frac{e^{i(n+1)x}}{\cos^{n+1}x}}{1-\frac{e^{ix}}{\cos x}}\right) +\Arrow{réduction au même dénominateur} \\ +& = \Re \left(\frac{\frac{\cos^{n+1}x-e^{i(n+1)x}}{\cos^{n+1}x}}{\frac{\cos x-e^{ix}}{\cos x}}\right) +\Arrow{$\Re(kz) = k\cdot\Re(z)$ lorsque $k$ est réel} \\ +& = \frac1{\cos^n x}\Re \left(\frac{\cos^{n+1}x-e^{i(n+1)x}}{\cos x-e^{ix}}\right) +\Arrow[rr]{forme algébrique des nombres complexes} \\ +& =\frac1{\cos^n x}\Re\left(\frac{\cos^{n+1}x-(\cos(n+1)x+i\sin(n+1)x)}{\cos x-(\cos x+i\sin x)}\right) \\ +& =\frac1{\cos^n x}\Re\left(\frac{(\cos^{n+1}x-\cos(n+1)x)-i\sin(n+1)x}{-i\sin x}\right) \\ +& = \frac1{\cos^nx}\cdot\frac{\sin(n+1)x}{\sin x} +\end{WithArrows}$ + +\interitem + +\section{Les options «up» et «down» pour des flèches individuelles} + +\label{up-and-down} +Au niveau local, il y a deux options pour les flèches individuelles, nommée «\verb|up|» et «\verb|down|». L'exemple +suivant illustre ces types de flèches: + + +\begin{Verbatim} +\(\begin{WithArrows} +A & = B +\Arrow~emphase#[up]@{une flèche de type \texttt{up}} \\ + & = C + C + C + C + C + C + C + C \\ + & = C + C + C + C + C + C + C + C +\Arrow~emphase#[down]@{une flèche de type \texttt{down}} \\ + & = E + E +\end{WithArrows}\) +\end{Verbatim} + +\vspace{1cm} +\(\begin{WithArrows} +A & = B +\Arrow[up]{une flèche de type \texttt{up}} \\ + & = C + C + C + C + C + C + C + C \\ + & = C + C + C + C + C + C + C + C +\Arrow[down]{une flèche de type \texttt{down}} \\ + & = E + E +\end{WithArrows}\) + + +\vspace{1cm} +Les options \verb|up| et \verb|down| nécessitent l'extension \pkg{varwidth} et l'extension Tikz +\pkg{calc}. Si elles ne sont pas chargées, une erreur sera levée. + + +\interitem + +\section{Comparaison avec l'environnement \{aligned\}} + +L'environnement \verb|{WithArrows}| présente des similitudes avec l'environnement \verb|{aligned}| de l'extension +\pkg{amsmath}. Ce sont seulement des similitudes car \verb|{WithArrows}| n'a pas été écrit en s'appuyant sur +\verb|{aligned}|.\footnote{En fait, il est +possible d'utiliser l'extension \pkg{witharrows} sans l'extension \pkg{amsmath}.} + +\interitem +Comme dans les environnements de l'\pkg{amsmath}, il est possible de changer l'espacement entre deux rangées avec +l'option de la commande \verb|\\| de fin de ligne (il est aussi possible d'utiliser \verb|\\*| mais cela a +exactement le même effet que \verb|\\| puisqu'un environnement \verb|{WithArrows}| est toujours insécable). Cette +option est conçu pour être utilisée avec des valeurs positives uniquement. +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} ~emphase#\\[2ex]@ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\*[2ex] +\noalign{\vspace{3mm}} + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +Dans les environnements de l'\pkg{amsmath} (ou de \pkg{mathtools}), l'espace entre deux rangées +est fixé par un paramètre appelé \verb|\jot| (il s'agit d'une dimension et non d'un ressort). C'est aussi le cas +pour l'environnement \verb|{WithArrows}|. Une option \verb|jot| a été ajoutée à l'environnement \verb|{WithArrows}| +dans le but de changer ce paramètre \verb|\jot| pour un environnement donné.\footnote{Il est aussi possible de +changer \verb|\jot| avec l'environnement \verb|{spreadlines}| de \pkg{mathtools}.} +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[displaystyle,~emphase#jot=2ex@] +F & = \frac12G \Arrow{on développe}\\ + & = H + \frac12K \Arrow{on continue}\\ + & = K +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +$\begin{WithArrows}[displaystyle,jot=2ex] +F & = \frac12G \Arrow{on développe}\\ + & = H + \frac12K \Arrow{on continue}\\ + & = K +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Néanmoins, cette nouvelle valeur de \verb|\jot| sera aussi utilisée dans les nouveaux alignements +inclus dans l'environnement~\verb|{WithArrows}|: +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[jot=2ex] +\varphi(x,y) = 0 & \Leftrightarrow (x+y)^2 + (x+2y)^2 = 0 +\Arrow{$x$ et $y$ sont réels}\\ +& \Leftrightarrow \left\{ +\begin{aligned} +x+y & = 0 \\ +x+2y & = 0 +\end{aligned} +\right. +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +$\begin{WithArrows}[jot=2ex] +\varphi(x,y) = 0 & \Leftrightarrow (x+y)^2 + (x+2y)^2 = 0 +\Arrow{$x$ et $y$ sont réels}\\ +& \Leftrightarrow \left\{ +\begin{aligned} +x+y & = 0 \\ +x+2y & = 0 +\end{aligned} +\right. +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +Peut-être que cela ne correspond pas au résultat souhaité. C'est pourquoi une option +\verb|interline| est fournie. Il est possible d'utiliser un ressort (\emph{skip}) pour cette option. +% +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#interline=2ex@] +\varphi(x,y) = 0 & \Leftrightarrow (x+y)^2 + (x+2y)^2 = 0 +\Arrow{$x$ et $y$ sont réels}\\ +& \Leftrightarrow \left\{ +\begin{aligned} +x+y & = 0 \\ +x+2y & = 0 \\ +\end{aligned} +\right. +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +$\begin{WithArrows}[interline=2ex] +\varphi(x,y) = 0 & \Leftrightarrow (x+y)^2 + (x+2y)^2 = 0 +\Arrow{$x$ et $y$ sont réels}\\ +& \Leftrightarrow \left\{ +\begin{aligned} +x+y & = 0 \\ +x+2y & = 0 \\ +\end{aligned} +\right. +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +De même que l'environnement \verb|{aligned}|, \verb|{WithArrows}| a une option de placement qui peut prendre les valeurs +\verb|t|, \verb|c| ou \verb|b|. Néanmoins, la valeur par défaut n'est pas \verb|c| mais \verb|t|. +Si on le souhaite, il est possible d'avoir la valeur \verb|c| comme valeur par défaut +en utilisant l'instruction \verb|\WithArrowsOptions{c}| au début du document. +% +\begin{Verbatim} +Ainsi\enskip +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +Ainsi\enskip +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +La valeur \verb|c| peut être utile, par exemple, si on souhaite mettre une accolade : + +\smallskip +\begin{Verbatim} +On pose\enskip $~emphase#\left\{@ +\begin{WithArrows}[~emphase#c@] +f(x) & = 3x^3+2x^2-x+4 +\Arrow[tikz=-]{les deux sont des polynômes}\\ +g(x) & = 5x^2-5x+6 +\end{WithArrows} +~emphase#\right.@$ +\end{Verbatim} + + +On pose\enskip $\left\{ +\begin{WithArrows}[c] +f(x) & = 3x^3+2x^2-x+4 +\Arrow[tikz=-]{les deux sont des polynômes}\\ +g(x) & = 5x^2-5x+6 +\end{WithArrows} +\right.$ + + +\interitem +Contrairement à \verb|{aligned}|, l'environnement \verb|{WithArrows}| utilise \verb|\textstyle| par +défaut. + +Là aussi, il est possible de changer ce comportement avec \verb|\WithArrowsOptions|: + +\quad \verb|\WithArrowsOptions{displaystyle}|. + + +\smallskip +L'exemple suivant est composé avec \verb|{aligned}|:\par\nobreak + +\smallskip +$\left\{ +\begin{aligned} +\sum_{i=1}^n (x_i+1)^2 +& = \sum_{i=1}^n (x_i^2 + 2x_i+1) \\ +& = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^nx_i + n +\end{aligned} +\right.$ + + +\medskip +L'exemple suivant est composé avec \verb|{WithArrows}[c,displaystyle]|. Les résultats +sont parfaitement identiques.\footnote{Dans les versions de l'\pkg{amsmath} antérieures au +5~novembre~2016, un espace fin était ajouté sur la gauche de l'environnement \verb|{aligned}|. +Les versions plus récentes n'ajoutent pas d'espace et \verb|{WithArrows}| non plus.}\par\nobreak + +\smallskip +$\left\{ +\begin{WithArrows}[c,displaystyle] +\sum_{i=1}^n (x_i+1)^2 +& = \sum_{i=1}^n (x_i^2 + 2x_i+1) \\ +& = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^nx_i + n +\end{WithArrows} +\right.$ + + +\section{Les flèches dans les environnements imbriqués} + +\label{NestedEnv} + +Les environnements \verb|{WithArrows}| peuvent être imbriqués. Dans ce cas, les options fournies +à l'environnement englobant s'appliquent aussi aux environnements imbriqués (avec des +exceptions tout à fait attendues pour \verb|interline|, \verb|code-before| et \verb|code-after|). La commande +\verb|Arrow| peut être utilisée dans chaque environnement \verb|{WithArrows}|. + +\begin{Verbatim}[formatcom=\small\color{gray}] +$~emphase#\begin{WithArrows}@ +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \Arrow{les nombres sont réels}\\ + & \Leftrightarrow + \left\{~emphase#\begin{WithArrows}@[c] + x+2y & = 0 \\ + 2x+4y & = 0 + ~emphase#\end{WithArrows}@\right. \\ + & \Leftrightarrow + \left\{~emphase#\begin{WithArrows}@[c] + x+2y & = 0 \Arrow[tikz=-]{la même équation}\\ + x+2y & = 0 + ~emphase#\end{WithArrows}@\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +~emphase#\end{WithArrows}@$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows} +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \Arrow{les nombres sont réels}\\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + 2x+4y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \Arrow[tikz=-]{la même équation}\\ + x+2y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +Néanmoins, on peut souhaiter tracer une flèche entre des rangées qui ne sont pas dans le même +environnement. Par exemple, on pourrait souhaiter tracer la flèche suivante : + +\bigskip +$\begin{WithArrows}[code-after = \Arrow[v]{1-2}{2-2}{division par $2$} ] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + 2x+4y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + x+2y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Une telle construction est possible en utilisant \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after| : +dans le \verb|code-after|, une version spéciale de la commande \verb|\Arrow| est disponible +(nous l'appellerons «\verb|\Arrow| dans le \verb|code-after|»). + +\smallskip +Une commande \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after| prend trois arguments : +\begin{itemize} +\item une spécification pour la rangée de départ de la flèche ; +\item une spécification pour la rangée d'arrivée ; +\item une étiquette pour la flèche. +\end{itemize} +Comme d'habitude, il est possible de donner des options entre crochets avant ou après les trois arguments +obligatoires. Néanmoins, ces options sont limitées (voir plus bas). + +\interitem +La spécification de rangée est construite avec la position de l'environnement conidéré dans l'arbre des +imbrications, suivie, après un trait d'union, par le numéro de la rangée. + +\bigskip +Dans l'exemple précédent, il y a deux environnements \verb|{WithArrows}| imbriqués dans l'environnement +\verb|{WithArrows}| principal. + +\medskip +$\begin{WithArrows}[tikz-code = {\path (#1) to node {#3} (#2) ; }] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ + & \Leftrightarrow \color{blue} + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \Arrow{environnement \no 1}\\ + 2x+4y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow \color{red} + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \Arrow{environnement \no 2}\\ + x+2y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +La flèche que nous voulons tracer part de la rangée~$2$ du sous-environnement +\no $1$ (et, par conséquent, la spécification est \verb|1-2|) et arrive à la rangée~$2$ +du sous-environnement \no $2$ (et, par conséquent, la spécification est \verb|2-2|). +Nous pouvons tracer la flèche avec une commande \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after| de la manière suivante : +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#code-after = \Arrow{1-2}{2-2}{division par $2$}@ ] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ +......... +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[code-after = \Arrow{1-2}{2-2}{division par $2$} ] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + 2x+4y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + x+2y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +Les options autorisées pour une commande \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after| sont : \verb|ll|, \verb|lr|, +\verb|rl|, \verb|rr|, \verb|v|, \verb|xoffset|, \verb|tikz| et \verb|tikz-code|. Exceptée \verb|v|, qui est +spécifique à \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after|, toutes ces options ont leur signification habituelle. + + +Avec l'option \verb|v|, la flèche tracée est verticale à une abscisse calculée avec +la rangée de départ et la rangée d'arrivée uniquement : les lignes intermédiaires ne sont pas prises en compte +contrairement à ce qui se passe avec l'option \verb|i|. Pour le moment, l'option \verb|i| n'est pas disponible +pour la commande~\verb|\Arrow| dans le \verb|code-after|. Néanmoins, il est toujours possible +de déplacer une flèche avec \verb|xoffset| (ou \verb|xshift| de Tikz). +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[code-after=\Arrow~emphase#[v]@{1-2}{2-2}{division by $2$}] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ +......... +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[code-after = \Arrow[v]{1-2}{2-2}{division par $2$} ] +\varphi(x,y)=0 + & \Leftrightarrow (x+2y)^2+(2x+4y)^2 = 0 \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + 2x+4y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow + \left\{\begin{WithArrows}[c] + x+2y & = 0 \\ + x+2y & = 0 + \end{WithArrows}\right. \\ + & \Leftrightarrow x+2y=0 +\end{WithArrows}$ + + +\interitem +L'extension \pkg{witharrows} fournit une autre commande disponible dans le \verb|code-after| : la commande +\verb|\MultiArrow|. Cette commande dessine un «rateau». La liste des rangées concernées par ce rateau +est donnée dans le premier argument de la commande \verb|\MultiArrow|. La syntaxe utilisée pour décrire cette liste +est celle de la commande \verb|\foreach| de \pkg{pgffor}. + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[tikz = rounded corners, + code-after = {~emphase#\MultiArrow{1,...,4}{text}@} ] +A & = B \\ + & = C \\ + & = D \\ + & = E \\ + & = F +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +$\begin{WithArrows}[tikz = rounded corners, + code-after = {\MultiArrow{1,...,4}{text}}] +A & = B \\ + & = C \\ + & = D \\ + & = E \\ + & = F +\end{WithArrows}$ + +\medskip +Pour le moment, aucune option n'est disponible pour cette commande \verb|\MultiArrow|. + + +\medskip +\section{Dessiner des flèches depuis l'extérieur des environnements \{WithArrows\}} + +Si on désire dessiner des flèches depuis l'extérieur des environnements \verb|{WithArrows}|, il est possible de le +faire en utilisant les nœuds Tikz créés par ces environnements. + +Le nom d'un nœud Tikz crée par \pkg{witharrows} est préfixé par \verb|wa-|. Ensuite, on trouve une liste de nombres +qui indique quelle est la position de l'environnement dans l'arbre d'imbrication des environnements. À la fin, on a +le suffixe \verb|l| pour un nœud de gauche et le suffixe \verb|r| pour un nœud de droite. + +\smallskip +À titre d'illustration, nous donnons un exemple d'environnements \verb|{WithArrows}| imbriqués et, pour chaque nœud +de droite, le nom de ce nœud.\footnote{Il existe une option \verb|show-node-names| pour faire afficher les noms de + ces nœuds.} + + +\medskip +\[\begin{WithArrows}[show-nodes,show-node-names] +A & \vartriangleleft B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B \\ +& \vartriangleleft \left\{ +\begin{WithArrows}[c] +C & \vartriangleleft D \\ +E & \vartriangleleft F +\end{WithArrows} +\right. \\ + & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows}[c] +G & \vartriangleleft H+H+H+H+H+H+H \\ +I & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows} +J &\vartriangleleft K \\ +L &\vartriangleleft M +\end{WithArrows} +\right. +\end{WithArrows} +\right. \\ + & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows}[c] +N & \vartriangleleft O \\ +P & \vartriangleleft Q +\end{WithArrows} +\right. +\end{WithArrows}\] + +\medskip +The package \pkg{witharrows} fournit quelques outils pour faciliter l'utilisation de ces nœuds : +\begin{itemize} +\item la commande \verb|\WithArrowsLastEnv| donne le numéro du dernier environnement de niveau~$0$ (c'est-à-dire +non imbriqué dans un autre environnement de \pkg{witharrows}) ; + +\item un nom peut être donné à un environnement avec l'option \verb|name| et, dans ce cas, les nœuds créés dans +l'environnement auront des alias construits en utilisant ce nom ; + +\item le style Tikz \verb|WithArrows/arrow| est le style utilisé par \pkg{witharrows} pour dessiner une +flèche\footnote{Plus précisément, ce style est passé à Tikz via l'option «\verb|every path|» avant le dessin de la + flèche (qui se fait avec l'instruction Tikz stockée dans \verb|tikz-code|). Ce style est modifié par l'option + \verb|tikz| de \pkg{witharrows} (avec une portée correspondant au groupe TeX courant).} ; + +\item le style Tikz \verb|WithArrows/arrow/tips| est le style utilisé pour la pointe de flèche (ce style est +lui-même chargé par le style \verb|WithArrows/arrow|). +\end{itemize} + +Par exemple, nous pouvons tracer une flèche allant de \texttt{wa-\WithArrowsLastEnv-2-1-2-r.south} +à \texttt{wa-\WithArrowsLastEnv-3-2-r.north} avec l'instruction Tikz suivante : + +\begin{Verbatim} +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +\draw [WithArrows/arrow] + ([xshift=3mm]wa-\WithArrowsLastEnv-2-1-2-r.south) + to ([xshift=3mm]wa-\WithArrowsLastEnv-3-2-r.north) ; +\end{tikzpicture} +\end{Verbatim} + +\[\begin{WithArrows} +A & \vartriangleleft B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B+B \\ +& \vartriangleleft \left\{ +\begin{WithArrows}[c] +C & \vartriangleleft D \\ +E & \vartriangleleft F +\end{WithArrows} +\right. \\ + & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows}[c] +G & \vartriangleleft H+H+H+H+H+H+H \\ +I & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows} +J &\vartriangleleft K \\ +L &\vartriangleleft M +\end{WithArrows} +\right. +\end{WithArrows} +\right. \\ + & \vartriangleleft +\left\{ +\begin{WithArrows}[c] +N & \vartriangleleft O \\ +P & \vartriangleleft Q +\end{WithArrows} +\right. +\end{WithArrows}\] + +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +\draw [WithArrows/arrow] + ([xshift=3mm]wa-\WithArrowsLastEnv-2-1-2-r.south) + to ([xshift=3mm]wa-\WithArrowsLastEnv-3-2-r.north) ; +\end{tikzpicture} + +\medskip +Dans le cas présent, il aurait été plus facile d'utiliser une commande \verb|\Arrow| dans le \verb|code-after| mais +c'était seulement un exemple pour expliquer comment les nœuds Tikz créés par \pkg{witharrows} peuvent être utilisés. + +\bigskip +Dans l'exemple suivant, on crée deux environnements \verb|{WithArrows}| nommés +«\verb|premier|» et «\verb|second|» et on dessine une flèche entre un nœud du premier et un nœud du second. + +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#name=premier@] +A & = B \\ + & = C +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +$\begin{WithArrows}[~emphase#name=second@] +A' & = B' \\ + & = C' +\end{WithArrows}$ + +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +\draw [WithArrows/arrow] + ([xshift=3mm]~emphase#premier@-1-r.south) + to ([xshift=3mm]~emphase#second@-1-r.north) ; +\end{tikzpicture} +\end{Verbatim} + + +\begin{center} +$\begin{WithArrows}[name=premier] +A & = B \\ + & = C +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +$\begin{WithArrows}[name=second] +A' & = B' \\ + & = C' +\end{WithArrows}$ +\end{center} + +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +\draw [WithArrows/arrow] + ([xshift=3mm]premier-1-r.south) + to ([xshift=3mm]second-1-r.north) ; +\end{tikzpicture} + +\section{L'environnement \{DispWithArrows\}} +\label{DispWithArrows} + +Comme dit précédemment, l'environnement \verb|{WithArrows}| présente des similitudes avec l'environnement +\verb|{aligned}| de l'\pkg{amsmath} (et de \verb|mathtools|). L'extension \pkg{witharrows} +fournit aussi un environnement \verb|{DispWithArrows}| qui est similaire aux +environnements \verb|{align}| et \verb|{flalign}| de l'\pkg{amsmath}. + +\medskip +L'environnement \verb|{DispWithArrows}| doit être utilisé \emph{hors} du mode mathématique. Comme +\verb|{align}|, il doit être utilisé en mode horizontal. +\begin{Verbatim} +\begin{~emphase#DispWithArrows@} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{~emphase#DispWithArrows@} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{DispWithArrows} + +\medskip +Il est possible d'utiliser la commande \verb|\notag| (ou \verb|\nonumber|) pour supprimer un numéro d'équation. + +Il est possible d'utiliser la commande \verb|\tag| pour placer une étiquette spéciale (par ex. $\star$). + +Il est aussi possible de placer un label pour une ligne de l'environnement avec la commande +\verb|\label|. + +Ces commandes doivent être utilisées dans la dernière colonne de l'environnement. +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} ~emphase#\notag@ \\ + & = a^2 + 2a + 1 ~emphase#\tag{$\star$} \label{mon-équation}@ +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \notag \\ + & = a^2 + 2a + 1 \tag{$\star$} \label{mon-équation} +\end{DispWithArrows} +Un lien vers l'équation \eqref{mon-équation}. On a obtenu ce lien avec la commande +\verb|\eqref{mon-équation}| (la commande \verb|\eqref| est une commande de l'extension \pkg{amsmath}). + +\medskip +Si \pkg{amsmath} (ou \pkg{mathtools}) est chargée, il est toujours possible d'utiliser +\verb|\tag*| qui, comme dans l'extension\pkg{amsmath}, compose le label sans les parenthèses. +Par exemple, il est possible de l'utiliser pour mettre le symbole \verb|\square| de +\pkg{amssymb}. Ce symbole est souvent utilisé pour marquer la fin d'une démonstration.\footnote{Signalons que l'environnement \verb|{DispWithArrows}| est compatible +avec la commande \verb|\qedhere| de \pkg{amsthm}.} +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \notag \\ + & = a^2 + 2a + 1 ~emphase#\tag*{$\square$}@ +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \notag \\ + & = a^2 + 2a + 1 \tag*{$\square$} +\end{DispWithArrows} + +\medskip +Il est également possible de supprimer tous les numéros d'équations avec l'option booléenne \verb|notag| (ou +\verb|nonumber|), au niveau global ou bien au niveau d'un environnement. + +Enfin, il existe aussi +un environnement \verb|{DispWithArrows*}| qui supprime tous les numéros.\footnote{Même dans ce cas, il est possible +de mettre une étiquette manuellement avec la commande \verb|\tag|.} +\begin{Verbatim} +\begin{~emphase#DispWithArrows*@} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{~emphase#DispWithArrows*@} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{DispWithArrows*} + +\medskip +En fait, il y a une autre option, nommée \verb|tagged-lines|, qui peut être utilisée pour contrôler quelles lignes +seront numérotées. La valeur de cette option est la liste des numéros de lignes (dans l'environnement) qui seront +numérotées (par le système de numérotage des équations). Par exemple, avec l'option +\verb|tagged-lines = {first,3,last}|, seulement la première, la troisième et la dernière lignes seront numérotées. +Il y a aussi une valeur spéciale \verb|all| qui signifie que toutes les lignes doivent être numérotées. +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[~emphase#tagged-lines = last@] +A & = A_1 \Arrow{première étape} \\ + & = A_2 \Arrow{deuxième étape} \\ + & = A_3 +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[tagged-lines = last] +A & = A_1 \Arrow{première étape} \\ + & = A_2 \Arrow{deuxième étape} \\ + & = A_3 +\end{DispWithArrows} + +\bigskip +Avec l'option \verb|fleqn|, l'environnement est composé calé à gauche (d'une manière similaire +à l'option \verb|fleqn| des classes standard de LaTeX). Dans ce cas, la marge gauche peut être réglée avec +l'option \verb|mathindent| (qui a un nom inspiré du paramètre \verb|\mathindent| de LaTeX). La valeur par défaut +pour cette option est de 25~pt. + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[~emphase#fleqn,mathindent = 1cm@] +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[fleqn,mathindent = 1cm] +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{DispWithArrows} + +\medskip +\emph{Remarque} : Par conception, l'option \verb|fleqn| de \pkg{witharrows} est +indépendante de l'option de classe \verb|fleqn| de LaTeX. En effet, puisque les environnement de +\pkg{witharrows} sont conçus pour être utilisés avec des flèches sur le côté droit, l'utilisateur +peut souhaiter utiliser \pkg{witharrows} avec l'option \verb|fleqn| (de manière à avoir plus de place sur la droite +des équations pour les flèches) tout en continuant à centrer les équations classiques. + +\medskip +Si l'option \verb|leqno| est utilisée comme option de classe, les labels seront composés +à gauche également pour les environnements \verb|{DispWithArrows}|.\footnote{L'extension \pkg{amsmath} a une option \verb|leqno| +mais \pkg{witharrows}, bien entendu, ne tient pas compte de cette option : \pkg{witharrows} +vérifie seulement l'option \verb|leqno| de la classe du document.} + + +\medskip +Si l'extension \pkg{amsmath} est chargée, il est possible d'utiliser la commande \verb|\intertext| dans les +environnements \verb|{DispWithArrows}|. Il est également possible d'utiliser l'environnement \verb|{subequations}|. +Néanmoins, il existe pour les environnements \verb|{DispWithArrows}| une option \verb|subequations| qui demande +d'encapsuler l'environnement dans un environnement \verb|{subequations}|. + + +\medskip +Dans l'exemple suivant, l'option \verb|subequations| est fixée via la commande \verb|\WithArrowsOptions|. Chacun +des environnements suivants sera alors sous-numéroté (dans la portée de la commande \verb|WithArrowsOptions|). + +\begin{Verbatim} +~emphase#\WithArrowsOptions{subequations}@ +Premier environnement. +\begin{DispWithArrows} +A & = B \\ + & = C +\end{DispWithArrows} +Deuxième environnement. +\begin{DispWithArrows} +D & = E \\ + & = F +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +% +\begin{scope} +\WithArrowsOptions{subequations} +Premier environnement. +\begin{DispWithArrows} +A & = B \\ + & = C +\end{DispWithArrows} +Deuxième environnement. +\begin{DispWithArrows} +D & = E \\ + & = F +\end{DispWithArrows} +\end{scope} + +\bigskip +S'il n'y a pas suffisamment de place pour faire appraraître le numéro d'équation à la fin de la ligne, il n'y a pas +de positionnement automatique de ce numéro sur la ligne suivante (comme dans les environnements de +l'\pkg{amsmath}) : il y aura surimpression de texte. Néanmoins, dans \verb|{DispWithArrows}|, l'utilisateur peut +utiliser la commande \verb|\tagnextline| pour demander manuellement la composition du numéro sur la ligne suivante. +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[displaystyle] +S_{2(p+1)} +& =\sum_{k=1}^{2(p+1)} (-1)^k k^2 \\ +& \smash[b]{=\sum_{k=1}^{2p}(-1)^kk² + +(-1)^{2p+1}(2p+1)^2+(-1)^{2p+2}(2p+2)^2} ~emphase#\tagnextline@ \\ +&= S_{2p}-(2p+1)^2+(2p+2)^2\\ +&=p(2p+1)-(2p+1)^2+(2p+2)^2\\ +&= 2p^2+5p+3 +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +\begin{center} +\color{gray}\vrule% +\begin{minipage}{275pt}\color{black} +\begin{DispWithArrows}[displaystyle] +S_{2(p+1)} +& =\sum_{k=1}^{2(p+1)} (-1)^k k^2 \\ +& \smash[b]{=\sum_{k=1}^{2p}(-1)^kk^2+(-1)^{2p+1}(2p+1)^2+(-1)^{2p+2}(2p+2)^2} +\tagnextline \\ +&= S_{2p}-(2p+1)^2+(2p+2)^2\\ +&= 2p^2+p-4p^2-4p-1+4p^2+8p+4\\ +&= 2p^2+5p+3 +\end{DispWithArrows} +\end{minipage}% +\color{gray}\vrule +\end{center} + + + +\bigskip +Les environnements \verb|{DispWithArrows}| et \verb|{DispWithArrows*}| fournissent également une option +\verb|wrap-lines|. Avec cette option, les lignes de l'étiquette sont automatiquement coupées à droite.\footnote{Il + est possible d'éviter la coupure des mots avec l'option «\verb|align = flush left|» de Tikz.}\label{wrap-lines} + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*}[displaystyle,~emphase#wrap-lines@] +S_n +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{somme des termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\frac{2\pi}n}$}\\ +& = \frac1n \Re \left( \frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n} + {1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\Arrow{cette ligne de texte a été coupée automatiquement} \\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows*} +\end{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*}[displaystyle,wrap-lines] +S_n +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{somme des termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\frac{2\pi}n}$}\\ +& = \frac1n \Re \left( +\frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}} \right) +\Arrow{cette ligne de texte a été coupée automatiquement} \\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows*} + +\bigskip +L'option \verb|wrap-lines| ne s'applique pas aux environnements \verb|{WithArrows}| +imbriqués dans un environnement \verb|{DispWithArrows}| ou \verb|{DispWithArrows*}|. Néanmoins, +elle s'applique aux instructions \verb|\Arrow| et \verb|\MultiArrow| du \verb|code-after| +de l'environnement englobant. + +\vspace{1cm} +Nous avons dit que les environnements \verb|{DispWithArrows}| et \verb|{DispWithArrows*}| +devaient être utilisés en mode horizontal et non en mode vertical. Il y a néanmoins +une exception. Ces environnements peuvent être utilisés directement après un \verb|\item| d'une liste +LaTeX. Dans ce cas, aucun espace vertical n'est ajouté avant l'environnement.\footnote{Il est possible de désactiver + cette fonctionnalité avec l'option \verb|standard-behaviour-with-items|.} + +\medskip +Voici un exemple où, avec \verb|{DispWithArrows}|, on peut insérer l'équation dans un environnement +\verb|{enumerate}| tout en utilisant l'option \verb|wrap-lines|. + +\begin{Verbatim} +~emphase#\begin{enumerate}@ +~emphase#\item @ +\begin{DispWithArrows}% + [displaystyle, wrap-lines, tagged-lines = last, fleqn, mathindent = 0 pt] +S_n +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{on utilise la formule pour la somme de termes d'une suite géométrique de raison +$e^{i\frac{2\pi}n}$} \\ +& = \frac1n \Re \left( \frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n} + {1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\Arrow{$\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n = e^{i\frac{\pi}2}=i$} \\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows} +~emphase#\end{enumerate}@ +\end{Verbatim} +\begin{enumerate} +\item +\begin{DispWithArrows}[displaystyle, wrap-lines, tagged-lines = last, fleqn, mathindent = 0 pt] +S_n +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{on utilise la formule pour la somme de termes d'une suite géométrique de raison +$e^{i\frac{2\pi}n}$}\\ +& = \frac1n \Re \left( +\frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}} \right) +\Arrow{$\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n = e^{i\frac{\pi}2}=i$} \\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows} +\end{enumerate} + +\vspace{1cm} +L'environnement \verb|{DispWithArrows}| est similaire à l'environnement \verb|{align}| de +l'\pkg{amsmath}. Néanmoins, \verb|{DispWithArrows}| n'est pas construit en utilisant \verb|{align}| +(en fait, il est possible d'utiliser \pkg{witharrows} sans \pkg{amsmath}). + +Il y a quelques différences entre \verb|{DispWithArrows}| et \verb|{align}|. +\begin{itemize} +\item L'environnement \verb|{DispWithArrows}| ne peut pas être inséré dans un environment +\verb|{gather}| de l'\pkg{amsmath}. +\item Un environment \verb|{DispWithArrows}| est toujours insécable (même avec +\verb|\allowdisplaybreaks| de l'\pkg{amsmath}). +\item Les commandes \verb|\label|, \verb|\tag|, \verb|\notag| et \verb|\nonumber| ne sont autorisées +que dans la dernière colonne. +\item Après un \verb|\item| d'une liste LaTeX, aucun espace vertical n'est ajouté (cela peut être +modifié avec l'option \verb|standard-behaviour-with-items|). +\item +\begin{bfseries} +Enfin, par défaut, les éléments d'un environnement \verb|\{DispWithArrows\}| +sont composés en \verb|textstyle| et non en \verb|displaystyle| (il est possible de modifier +ce point avec l'option \verb|displaystyle|). +\end{bfseries} +\end{itemize} + +\bigskip +En ce qui concerne les références, l'extension \pkg{witharrows} est compatible avec les +extensions \pkg{autonum}, \pkg{cleveref}, \pkg{fancyref}, \pkg{fncylab}, +\pkg{hyperref}, \pkg{listlbls}, \pkg{prettyref}, \pkg{refcheck}, +\pkg{refstyle}, \pkg{showlabels}, \pkg{smartref}, \pkg{typedref} et +\pkg{varioref} et avec les options \verb|showonlyrefs| et \verb|showmanualtags| de +\pkg{mathtools}.\footnote{Rappelons que \pkg{varioref}, \pkg{hyperref}, +\pkg{cleveref} et \pkg{autonum} doivent être chargés dans cet ordre. L'extension +\pkg{witharrows} peut être chargée n'importe où.} + +Elle n'est pas compatible avec \pkg{showkeys} (certains labels ne sont pas affichés). + + + + +\subsection*{L'option <...> de DispWithArrows} + +L'environnement \verb|{DispWithArrows}| propose une option \verb|left-brace|. Si cette option est présente, son +contenu est composé à gauche, suivi d'une accolade (d'où le nom) puis du corps de +l'environnement.\footnote{L'option \verb|left-brace| peut aussi être utilisée sans valeur: dans ce cas, seule + l'accolade est tracée.} + +Pour la lisibilité, cette option \verb|left-brace| est aussi disponible avec une syntaxe spéciale : on peut la +rentrer en la mettant entre chevrons (\verb|<| et \verb|>|) juste après le \verb|{DispWithArrows}| (et donc avant +les éventuels arguments optionnels entre crochets). + +\bigskip +On peut alors faire des constructions avec distinctions de cas, comme dans l'exemple +suivant.\footnote{L'environnement \verb|{cases}| de l'\pkg{amsmath} permet de réaliser de telles distinctions de + cas mais on ne peut pas utiliser la numérotation automatique des équations. L'environnement \verb|{numcases}| de + l'extension \pkg{cases} (de Donald Arseneau) permet d'utiliser ces numéros d'équations, mais, bien entendu, il + n'y a pas de composition de flèches.} + + + +\medskip + +\begin{BVerbatim} +\begin{DispWithArrows}~emphase#< \binom{n}{p} = >@[format = ll,fleqn,displaystyle] +0 & \quad \text{si } p > n +\Arrow{ce cas peut en fait rentrer\\ dans le suivant} \\ +\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!} & \quad \text{si } 0 \leq p \leq n \\ +0 & \quad \text{si } p < 0 +\end{DispWithArrows} +\end{BVerbatim} +% +\begin{DispWithArrows}< \binom{n}{p} = >[format = ll,fleqn,displaystyle] +0 & \quad \text{si } p > n +\Arrow{ce cas peut en fait rentrer\\ dans le suivant} \\ +\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!} & \quad \text{si } 0 \leq p \leq n \\ +0 & \quad \text{si } p < 0 +\end{DispWithArrows} + +\interitem +Dans l'exemple suivant, on sous-numérote les équations d'un système avec l'option \verb|subnumerate| (disponible +quand l'\verb|amsmath| est chargé). + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}~emphase#< \label{système} (\ref*{système}) \Leftrightarrow >@% + [format = l, subequations] +x+y+z = -3 \Arrow[tikz=-,jump=2]{3 equations} \\ +xy+xz+yz=-2 \\ +xyz = -15 \label{dernière-équation} +\end{DispWithArrows} +\end{Verbatim} +% +\begin{DispWithArrows}< \label{système} (\ref*{système}) \Leftrightarrow >% + [format = l, subequations] +x+y+z = -3 \Arrow[tikz=-,jump=2]{3 équations} \\ +xy+xz+yz=-2 \\ +xyz = -15 \label{dernière-équation} +\end{DispWithArrows} + +\bigskip +Le système complet est l'équation \eqref{système} (cette référence a été obtenue avec +\verb|\eqref{système}|) et la dernière équation est l'équation \eqref{dernière-équation} (référence obtenue +avec \verb|\eqref{dernière-équation}|). Notons que \verb|\ref*|, utilisé dans le code ci-dessus, est une variante +de \verb|ref| proposée par \pkg{hyperref} pour composer une référence sans créer de lien. + +\bigskip +On peut souhaiter remplacer l'accolade gauche par un autre délimiteur extensible (gauche). On peut le faire +avec l'option \verb|replace-curly-brace-by|. + +\bigskip +\section{Fonctionnalités avancées} + +\subsection{L'option tikz-code : comment changer la forme des flèches} + +\label{tikz-code} + +L'option \verb|tikz-code|\footnote{Pour des raisons historiques, l'option \verb|tikz-code| a un alias : + \verb|TikzCode|.} permet à l'utilisateur de changer la forme des flèches.\footnote{Si l'option \verb|wrap-lines| + est utilisée dans un environnement \verb|{DispWithArrows}| ou \verb|{DispWithArrows*}|, l'option \verb|tikz-code| + n'aura pas d'effet sur les flèches de cet environnement mais uniquement sur les flèches des environnements + \verb|{WithArrows}| imbriqués.} + +\smallskip +Par exemple, les options «\verb|up|» et «\verb|down|» décrites précédemment (cf. +p.~\pageref{up-and-down}) sont programmées en interne avec \verb|tikz-code|. + +\smallskip +La valeur de cette option doit être une instruction de tracé Tikz valide (avec le point-virgule final) où les trois +marqueurs \verb|#1|, \verb|#2| et \verb|#3| représentent le point de départ, le point d'arrivée et l'étiquette de +la flèche. + + +\bigskip +Par défaut, la valeur de \verb|tikz-code| est la suivante : + +\smallskip +\qquad \verb|\draw (#1) to node {#3} (#2) ;| + + +\bigskip +Dans l'exemple suivant, nous remplaçons le chemin par défaut par un chemin avec trois segments (et un +nœud recouvrant le deuxième segment). +\begin{Verbatim} +\begin{WithArrows}[format=c,ygap=5pt,interline=4mm, + ~emphase#tikz-code = {\draw[rounded corners]@ + ~emphase# (~#1) -- ([xshift=5mm]~#1)@ + ~emphase# -- node[circle,@ + ~emphase# draw,@ + ~emphase# auto = false,@ + ~emphase# fill = gray!50,@ + ~emphase# inner sep = 1pt] {\tiny ~#3}@ + ~emphase# ([xshift=5mm]~#2)@ + ~emphase# -- (~#2) ; }@] +3 (2x+4) = 6 \Arrow{$\div 3$} \\ +2x+4 = 2 \Arrow{$-4$} \\ +2x = -2 \Arrow{$\div 2$} \\ + x = -1 +\end{WithArrows} +\end{Verbatim} + + +\[\begin{WithArrows}[format=c, + ygap=5pt, + interline=4mm, + tikz-code = {\draw[rounded corners] + (#1) + -- + ([xshift=5mm]#1) + -- node[circle, + draw, + auto=false, + fill=gray!50, + inner sep = 1pt] {\tiny #3} + ([xshift=5mm]#2) + -- + (#2) ; }] +3 (2x+4) = 6 \Arrow{$\div 3$} \\ +2x+4 = 2 \Arrow{$-4$} \\ +2x = -2 \Arrow{$\div 2$} \\ + x = -1 +\end{WithArrows}\] + +\bigskip +L'environnement \verb|{DispWithArrows}| et sa version étoilée \verb|{DispWithArrows*}| fournissent une commande +\verb|\WithArrowsRightX| qui peut être utilisée dans l'option \verb|tikz-code|. Cette commande fournit +l'abscisse de la marge droite de la boîte de composition courante (en prenant en compte les éventuels numéros des +équations). Pour un exemple d'utilisation, voir p.~\pageref{example-WithArrowsRightX}. + + +\bigskip +\subsection{La commande \textbackslash WithArrowsNewStyle} + +L'extension \pkg{witharrows} fournit une commande \verb|\WithArrowsNewStyle| pour définir +des styles d'une manière similaire aux «styles» de Tikz. + +La commande \verb|\WithArrowsNewStyle| prend deux arguments obligatoires. Le premier est +le nom du style et le second est une liste de couples clé-valeur. La portée +de la definition ainsi faite par \verb|\WithArrowsNewStyle| est le groupe TeX courant. + +Le style peut être utilisé comme une clé au niveau du document (avec \verb|\WithArrowsOptions|), au niveau d'un +environnement (via les arguments optionnels) ou bien encore dans une autre commande \verb|\WithArrowsNewStyle|. + +Pour un exemple d'utilisation, voir p.~\pageref{example-WithArrowsRightX}. + + +\bigskip +\subsection{Postionnement vertical des flèches} + +Il y a quatre paramètres pour ajuster finement la position verticale des flèches : +\verb|ygap|, \verb|ystart|, \verb|start-adjust| et \verb|end-adjust|. + +\medskip +Nous expliquons d'abord le comportement quand les paramètres \verb|start-adjust| et \verb|end-adjust| sont égaux à +zéro: +\begin{itemize} +\item l'option \verb|ystart| représente la distance verticale entre la ligne de base du +texte et le début de la flèche (valeur par défaut : $0.4$~ex); +\item l'option \verb|ygap| représente la distance verticale entre deux flèches consécutives +(valeur par défaut : $0.4$~ex). +\end{itemize} + + +\bigskip +$\begin{WithArrows}[interline=1mm, adjust = 0pt] + (\cos x + \sin x)^2 & = \cos^2 x +2 \cos x \sin x + \sin^2 x\Arrow{}\tikz[remember picture] \coordinate (A) ; \\ + & = \cos^2x + \sin^2x + 2\sin x\cos x \Arrow{} \\ + & = 1 + \sin(2x) +\end{WithArrows}$ + +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,blue] +\draw (wa-\WithArrowsLastEnv-1-r.south) to ++(1,0) coordinate (B) to ++(0.1,0) ;; +\draw (A) to ++(1,0) coordinate (C) to ++(0.1,0) ;; +\draw (B) -- (C) ; +\draw[<-] (B) to ++(0,0.2) ; +\draw[<-] (C) to ++(0,-0.2) ; +\path (C) node[right=1mm] {\texttt{ystart}} ; +\draw (wa-\WithArrowsLastEnv-2-r.north) to ++(3,0) coordinate (E) to ++(0.1,0); +\draw (wa-\WithArrowsLastEnv-2-r.south) to ++(3,0) coordinate (F) to ++(0.1,0); +\draw (E) -- (F) ; +\draw[<-] (E) to ++(0,0.2) ; +\draw[<-] (F) to ++(0,-0.2) ; +\path (F) node[right=1mm] {\texttt{ygap}} ; +\end{tikzpicture} + +\interitem +Néanmoins, pour des raisons esthétiques, quand il est possible, \pkg{witharrows} commence +la flèche un peu plus haut (d'une quantité \verb|start-adjust|) et termine la flèche un peu plus +bas (par une quantité \verb|end-adjust|). Par défaut, ces deux paramètres \verb|start-adjust| +est \verb|end-adjust| sont égaux à $0.4$~ex. + +\bigskip +Voici par exemple le comportement sans le mécanisme de \verb|start-adjust| et +\verb|end-adjust| (c'était le comportement par défaut dans les version antérieures à la version 1.13). +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}~emphase#[start-adjust=0pt, end-adjust=0pt]@ +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +$\begin{WithArrows}[start-adjust=0pt, end-adjust=0pt] +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Voici le comportement par défaut depuis la version 1.13 (les paramètres +\verb|start-adjust| et \verb|end-ajust| sont utilisés avec la valeur par défaut $0.4$~ex). La flèche +est plus longue et le résultat est plus esthétique. + +\medskip +$\begin{WithArrows} +A & = (a+1)^2 \Arrow{on développe} \\ + & = a^2 + 2a + 1 +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Il est possible d'utiliser l'option \verb|adjust| qui fixe à la fois \verb|start-adjust| et \verb|end-ajust|. + +\bigskip +Puisque le mécanisme de \verb|start-adjust| et \verb|end-ajust| a été ajouté dans la +version 1.13 of \pkg{witharrows}, cette version n'est pas strictement compatible avec +les versions précédentes. Néanmoins, il est possible de retrouver le comportement précédent +en fixant simplement \verb|start-adjust| et \verb|end-adjust| à $0$~pt: +\begin{Verbatim} +\WithArrowsOptions{adjust = 0pt} +\end{Verbatim} + +\bigskip +\subsection{Notes de pied de page dans les environnements de witharrows} + +Si vous voulez mettre des notes de pied de page dans un environnement de \pkg{witharrows}, +vous pouvez utiliser une paire \verb|\footnotemark|--\verb|\footnotetext|. + +\smallskip +Il est aussi possible d'extraire les notes de pieds de page avec l'extension \pkg{footnote} ou bien l'extension +\pkg{footnotehyper}. + +\smallskip +Si \pkg{witharrows} est chargée avec l'option \verb|footnote| (avec \verb|\usepackage[footnote]{witharrows}| ou +avec \verb|\PassOptionsToPackage|), l'extension \pkg{footnote} est chargée (si elle ne l'est pas déjà) et elle est +utilisée pour extraire les notes de pied de page. + +\smallskip +Si \pkg{witharrows} est chargée avec l'option \verb|footnotehyper|, l'extension \pkg{footnotehyper} est chargée (si +elle ne l'est pas déjà) et elle est utilisée pour extraire les notes de pied de page. + +\smallskip +Attention : Les extensions \pkg{footnote} et \pkg{footnotehyper} sont incompatibles. +L'extension \pkg{footnotehyper} est le successeur de l'extension \pkg{footnote} +et devrait être utilisée préférentiellement. L'extension \pkg{footnote} a quelques défauts ; +en particulier, elle doit être chargée après l'extension \pkg{xcolor} et elle n'est pas parfaitement +compatible avec \pkg{hyperref}. + +\medskip +Dans ce document, l'extension \pkg{witharrows} a été chargée avec l'option \verb|footnotehyper| et nous donnons un +exemple avec une note de pied de page dans l'étiquette d'une flèche : + + +\smallskip +$\begin{WithArrows} +A & = (a+b)^2 +\Arrow{on développe\,\footnote{Une note de pied de page.}} \\ + & = a^2+b^2+2ab +\end{WithArrows}$ + +\bigskip +\subsection{L'option no-arrows} + +L'option \verb|no-arrows| est une facilité donnée à l'utilisateur. Avec cette option, +les flèches ne sont pas tracées. Néanmoins, une analyse des flèches est effectuée et certains erreurs sont +détectées (par exemple, si une flèche arrive après la dernière ligne de l'environnement). + + +\bigskip +\subsection{Note pour les développeurs} + +Si vous définissez un environnement s'appuyant sur un environnement de +\pkg{witharrows}, nous recommandons de faire appel à l'environnement de \pkg{witharrows} avec +\verb|\WithArrows|--\verb|\endWithArrows| ou \verb|\DispWithArrows|--\verb|\endDispWithArrows| (et +non \verb|\begin{WithArrows}|--\verb|\end{WithArrows}|, etc.). + +\smallskip +En faisant ainsi, les messages d'erreur affichés par \pkg{witharrows} mentionneront (le cas échéant) le nom de +votre environnement et seront plus faciles à comprendre pour l'utilisateur final. + +\smallskip +Par exemple, vous pouvez définir un environnement \verb|{DWA}| qui va être un alias de \verb|{DispWithArrows}|: +\begin{BVerbatim} +\NewDocumentEnvironment {DWA} {} {\DispWithArrows}{\endDispWithArrows} +\end{BVerbatim} + +\smallskip +Si vous utilisez cet environnement \verb|{DWA}| en mode mathématique, vous aurez le message d'erreur suivant : + +\begin{BVerbatim} +L'environnement {DWA} should be used only outside math mode. +\end{BVerbatim} + +\interitem +Une autre exemple est donné en interne par la définition de l'environnement \verb|{DispWithArrows*}| +dans l'extension \pkg{witharrows} avec le code suivant: +\begin{Verbatim} +\NewDocumentEnvironment {DispWithArrows*} {} + {\WithArrowsOptions{notag}% + \DispWithArrows} + {\endDispWithArrows} +\end{Verbatim} + + + +\section{Examples} + +\subsection{\textbackslash MoveEqLeft} + +Il est possible d'utiliser \verb|\MoveEqLeft| de \pkg{mathtools}. Dans ce cas, on doit se souvenir que la commande +\verb|\MoveEqLeft| a aussi la valeur d'une esperluette (\verb|&|). Il faut en tenir compte pour le positionnement +d'une éventuelle commande \verb|\Arrow|. + + +% +\begin{Verbatim}[formatcom=\small\color{gray}] +$\begin{WithArrows}[interline=0.5ex] +~emphase#\MoveEqLeft@ \arccos(x) = \arcsin \frac45 + \arcsin \frac5{13} +\Arrow{parce que les deux sont dans $[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$} \\ +& \Leftrightarrow x = \sin\left(\arcsin\frac45 + \arcsin\frac5{13}\right) \\ +& \Leftrightarrow x = \frac45\cos\arcsin\frac5{13} + \frac5{13} \cos\arcsin\frac45 +\Arrow{$\forall x \in [-1,1], \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$} \\ +& \Leftrightarrow x = \frac45\sqrt{1-\bigl(\frac5{13}\bigr)^2} ++ \frac5{13}\sqrt{1-\bigl(\frac45\bigr)^2} +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + + +\medskip +$\begin{WithArrows}[interline=0.5ex] +\MoveEqLeft \arccos(x) = \arcsin \frac45 + \arcsin \frac5{13} +\Arrow{parce que les deux sont dans $[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$} \\ +& \Leftrightarrow x = \sin\left(\arcsin\frac45 + \arcsin\frac5{13}\right) \\ +& \Leftrightarrow x = \frac45\cos\arcsin\frac5{13} + \frac5{13} \cos\arcsin\frac45 +\Arrow{$\forall x \in [-1,1], \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$} \\ +& \Leftrightarrow x = \frac45\sqrt{1-\bigl(\frac5{13}\bigr)^2} ++ \frac5{13}\sqrt{1-\bigl(\frac45\bigr)^2} +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +\subsection{Modifier la forme des nœuds} + +Il est possible de changer la forme des étiquettes, qui sont des nœuds Tikz, en +modifiant la clé «\verb|every node|» de Tikz. + +\begin{Verbatim} +\begin{WithArrows}% + [format = c, + interline = 4mm, + tikz = {~emphase#every node/.style = {circle,@ + ~emphase# draw,@ + ~emphase# auto = false,@ + ~emphase# fill = gray!50,@ + ~emphase# inner sep = 1pt,@ + ~emphase# font = \tiny}@}] + 3 (2x+4) = 6 \Arrow{$\div 3$} \\ + 2x+4 = 2 \Arrow{$-4$} \\ + 2x = -2 \Arrow{$\div 2$} \\ + 2x = -1 +\end{WithArrows} +\end{Verbatim} + +\[\begin{WithArrows}[% + format = c, + interline = 4mm, + tikz = {every node/.style = {circle, + draw, + auto = false, + fill = gray!50, + inner sep = 1pt, + font = \tiny}}] + 3 (2x+4) = 6 \Arrow{$\div 3$} \\ + 2x+4 = 2 \Arrow{$-4$} \\ + 2x = -2 \Arrow{$\div 2$} \\ + 2x = -1 +\end{WithArrows}\] + + +\bigskip +\subsection{Exemples avec l'option tikz-code} + +Rappelons que l'option \verb|tikz-code| est le code Tikz utilisé par \pkg{witharrows} +pour tracer les flèches.\footnote{Si un environnement \verb|{DispWithArrows}| ou +\verb|{DispWithArrows*}| est utilisé avec l'option \verb|wrap-lines|, la valeur de l'option +\verb|tikz-code| n'est pas utilisée pour cet environnement (mais est utilisée pour les +environnements imbriqués à l'intérieur).} + +\smallskip +La valeur par défaut de \verb|tikz-code| est \verb|\draw (#1) to node {#3} (#2) ;| +où les trois marqueurs \verb|#1|, \verb|#2| et \verb|#3| représentent le point de départ, le point d'arrivée +et l'étiquette de la flèche. + + +\bigskip +\subsubsection{Exemple 1} +Dans l'exemple suivant, nous définissons la valeur de \verb|tikz-code| avec deux +instructions \verb|\path| : la première instruction trace la flèche elle-même et la seconde +place l'étiquette dans un nœud Tikz dans le rectangle délimité par la flèche. + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows*}% + [displaystyle, + ygap = 2mm, + ystart = 0mm, + ~emphase#tikz-code = {\draw (~#1) -- ++(4.5cm,0) \verb|- (~#2) ;@ + ~emphase# \path (~#1) -- (~#2) @ + ~emphase# node[text width = 4.2cm, right, midway] {~#3} ;}@] +S_n +& = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1}\cos\bigl(\tfrac{\pi}2\cdot\tfrac kn\bigr) +........... +\end{Verbatim} + + +\bigskip +\begin{DispWithArrows*}[ + displaystyle, + ygap = 2mm, + ystart = 0mm, + tikz-code = {\draw (#1) -- ++(4.5cm,0) |- (#2) ; + \path (#1) -- (#2) + node[text width = 4.2cm, right, midway] {#3} ;}] +S_n +& = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1}\cos\bigl(\tfrac{\pi}2\cdot\tfrac kn\bigr) +\Arrow{$\cos x = \Re(e^{ix})$}\\ +& = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \Re\left(e^{i\frac{k\pi}{2n}}\right) +\Arrow{$\Re(z+z')=\Re(z)+\Re(z')$}\\ +& = \frac1n \Re\left(\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{2n}}\right) +\Arrow{$\exp$ est un morphisme pour $\times$ et $+$} \\ +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{somme de termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\frac{2\pi}n}$}\\ +& = \frac1n \Re \left( \frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right)\\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows*} + +\bigskip +\subsubsection{Exemple 2} + +\label{example-WithArrowsRightX} +Il est possible de modifier l'exemple précédent pour avoir «\verb|text width|» calculé automatiquement en fonction +de la marge droite (d'une manière similaire à l'option \verb|wrap-lines|) dans les environnements +\verb|{DispWithArrows}| et \verb|{DispWithArrows*}|. Dans la définition de \verb|tikz-code|, nous utilisons la commande +\verb|\WithArrowsRightX| qui donne l'abscisse de la marge droite de la boîte de composition (pour TeX, il s'agit d'une commande +et non d'une dimension). Pour la lisibilité, nous avons utilisé un style de \pkg{witharrows}. Cet exemple nécessite +l'extension Tikz \pkg{calc}. + +\begin{Verbatim} +\WithArrowsNewStyle{MonStyle} + {displaystyle, + ygap = 2mm, + xoffset = 0pt, + ystart = 0mm, + tikz-code = {\path let \p1 = (~#~#1) + in (~#~#1) + -- node [anchor = west, + text width = {~emphase#\WithArrowsRightX@ - \x1 - 0.5 em}] + {~#~#3} + (~#~#2) ; + \draw let \p1 = (~#~#1) + in (~#~#1) -- ++(~emphase#\WithArrowsRightX@ - \x1,0) |- (~#~#2) ; }} +\end{Verbatim} + +\begin{Verbatim} +\begin{DispWithArrows}[MonStyle] + S_n + & = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1}\cos\bigl(\tfrac{\pi}2\cdot\tfrac kn\bigr) + \Arrow{$\cos x = \Re(e^{ix})$}\\ +........... +\end{Verbatim} + +\WithArrowsNewStyle{MonStyle} +{displaystyle, + ygap = 2mm, + xoffset = 0pt, + ystart = 0mm, + tikz-code = {\path let \p1 = (##1) + in (##1) + -- node [anchor = west, + text width = {\WithArrowsRightX - \x1 - 0.5 em}] {##3} + (##2) ; + \draw let \p1 = (##1) + in (##1) -- ++(\WithArrowsRightX - \x1,0) |- (##2) ; }} + +\begin{DispWithArrows}[MonStyle] +S_n +& = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1}\cos\bigl(\tfrac{\pi}2\cdot\tfrac kn\bigr) +\Arrow{$\cos x = \Re(e^{ix})$}\\ +& = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \Re\left(e^{i\frac{k\pi}{2n}}\right) +\Arrow{$\Re(z+z')=\Re(z)+\Re(z')$}\\ +& = \frac1n \Re\left(\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{2n}}\right) +\Arrow{$\exp$ est un morphisme pour $\times$ et $+$} \\ +& = \frac1n \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^k\right) +\Arrow{somme de termes d'une suite géométrique $e^{i\frac{2\pi}n}$}\\ +& = \frac1n \Re \left( \frac{1-\bigl(e^{i\frac{\pi}{2n}}\bigr)^n}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right)\\ +& = \frac1n \Re \left(\frac{1-i}{1-e^{i\frac{\pi}{2n}}}\right) +\end{DispWithArrows} + + + +\bigskip +\subsubsection{Exemple 3} + +Dans l'exemple suivant, nous changeons la forme de la flèche selon que la rangée de départ est plus longue ou +plus courte que la rangée d'arrivée. Cet exemple nécessite l'extension \pkg{calc} de Tikz. + + +\begin{Verbatim} +\begin{WithArrows}[ll,interline=5mm,xoffset=5mm, + ~emphase#tikz-code = {\draw[rounded corners,@ + ~emphase# every node/.style = {circle,@ + ~emphase# draw,@ + ~emphase# auto = false,@ + ~emphase# inner sep = 1pt,@ + ~emphase# fill = gray!50,@ + ~emphase# font = \tiny }]@ + ~emphase# let \p1 = (~#1),@ + ~emphase# \p2 = (~#2)@ + ~emphase# dans \ifdim \x1 > \x2@ + ~emphase# (\p1) -- node {~#3} (\x1,\y2) -- (\p2)@ + ~emphase# \else@ + ~emphase# (\p1) -- (\x2,\y1) -- node {~#3} (\p2)@ + ~emphase# \fi ;}@] +E & \Longleftrightarrow \frac{(x+4)}3 + \frac{5x+3}5 = 7 +\Arrow{$\times 15$}\\ + & \Longleftrightarrow 5(x+4) + 3(5x+3) = 105 \\ + & \Longleftrightarrow 5x+20 + 15x+9 = 105 \\ + & \Longleftrightarrow 20x+29 = 105 +\Arrow{$-29$}\\ + & \Longleftrightarrow 20x = 76 +\Arrow{$\div 20$}\\ + & \Longleftrightarrow x = \frac{38}{10} +\end{WithArrows} +\end{Verbatim} + + +\[\begin{WithArrows}[ll,interline=5mm,xoffset=5mm, + tikz-code = {\draw[rounded corners, + every node/.style = {circle, + draw, + auto = false, + inner sep = 1pt, + fill = gray!50, + font = \tiny}] + let \p1 = (#1), + \p2 = (#2) + in \ifdim \x1 > \x2 + (\p1) -- node {#3} (\x1,\y2) -- (\p2) + \else + (\p1) -- (\x2,\y1) -- node {#3} (\p2) + \fi ;}] +E & \Longleftrightarrow \frac{(x+4)}3 + \frac{5x+3}5 = 7 +\Arrow{$\times 15$}\\ + & \Longleftrightarrow 5(x+4) + 3(5x+3) = 105 \\ + & \Longleftrightarrow 5x+20 + 15x+9 = 105 \\ + & \Longleftrightarrow 20x+29 = 105 +\Arrow{$-29$}\\ + & \Longleftrightarrow 20x = 76 +\Arrow{$\div 20$}\\ + & \Longleftrightarrow x = \frac{38}{10} +\end{WithArrows}\] + + + +\subsection{Boucle numérotée automatique} + +Supposons que nous voulions tracer une boucle avec des flèches numérotées. Dans ce but, il est +possible d'écrire une commande dédiée \verb|\BoucleNumérotée| qui fera le travail quand elle +sera utilisée dans le \verb|code-after|. Dans l'exemple suivant, nous avons écrit cette commande avec +\verb|\NewDocumentCommand| de \pkg{xparse} et \verb|\foreach| de \pkg{pgffor} (ces deux +extensions sont chargées quand \pkg{witharrows} est chargé.). + +\begin{Verbatim} +\NewDocumentCommande \NombreedLoop {} + {\foreach \j dans {2,...,\WithArrowsNbLines} + { \pgfmathtruncatemacro{\i}{\j-1} + \Arrow[rr]{\i}{\j}{\i} } + \Arrow[rr,xoffset=1cm,tikz=<-]{1}{\WithArrowsNbLines}{\WithArrowsNbLines}} +\end{Verbatim} + +La commande \verb|\WithArrowsNbLines| est une commande disponible dans le \verb|code-after| qui donne +le nombre total de lignes (=rangées) dans l'environnement courant (pour TeX, il s'agit d'une commande et non d'un +compteur). + + +\bigskip +\begin{Verbatim} +$\begin{WithArrows}[~emphase#code-after = \BoucleNumérotée@] +a.\;& f \text{ est continue sur } E \\ +b.\;& f \text{ est continue en } 0 \\ +c.\;& f \text{ est bornée sur la sphère unité} \\ +d.\;& \exists K > 0\quad \forall x \in E\quad \|f(x)\| \le K \|x\| \\ +e.\;& f \text{ est lipschitzienne} +\end{WithArrows}$ +\end{Verbatim} + +\bigskip +\begin{scope} +\NewDocumentCommand \BoucleNumérotée {} + {\foreach \j in {2,...,\WithArrowsNbLines} + { \pgfmathtruncatemacro{\i}{\j-1} + \Arrow[rr]{\i}{\j}{\i} } + \Arrow[rr,xoffset=1cm,tikz=<-]{1}{\WithArrowsNbLines}{\WithArrowsNbLines}} + + +$\begin{WithArrows}[code-after = \BoucleNumérotée] +a.\;& f \text{ est continue sur } E \\ +b.\;& f \text{ est continue en } 0 \\ +c.\;& f \text{ est bornée sur la sphère unité} \\ +d.\;& \exists K > 0\quad \forall x \in E\quad \|f(x)\| \le K \|x\| \\ +e.\;& f \text{ est lipschitzienne} +\end{WithArrows}$ + + +\bigskip +Comme d'habitude, il est possible changer les caractéristiques des flèches et des nœuds +avec l'option \verb|tikz|. Néanmoins, si nous voulons changer le style pour avoir, par +exemple, les numéros entre parenthèses, le moyen le plus rapide est de changer la valeur de +\verb|tikz-code|: + +\begin{Verbatim} +tikz-code = {\draw (~#1) to node {\footnotesize (~#3)} (~#2) ;} +\end{Verbatim} + +\WithArrowsOptions{tikz-code = {\draw (#1) to node {\footnotesize (#3)} (#2) ;}} + +$\begin{WithArrows}[code-after = \BoucleNumérotée] +a.\;& f \text{ est continue on } E \\ +b.\;& f \text{ est continue dans } 0 \\ +c.\;& f \text{ est bornée sur la sphère unité} \\ +d.\;& \exists K > 0\quad \forall x \in E\quad \|f(x)\| \le K \|x\| \\ +e.\;& f \text{ est lipschitzienne} +\end{WithArrows}$ + +\end{scope} + + + + + +\end{document} diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows.pdf b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows.pdf index cdd7c11f9e0..a93bca1ae42 100644 Binary files a/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows.pdf and b/Master/texmf-dist/doc/latex/witharrows/witharrows.pdf differ -- cgit v1.2.3