From bdcf20b378a4042c8ee2e4a5e9fb9aee2542642c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Karl Berry <karl@freefriends.org>
Date: Mon, 18 Dec 2017 22:33:25 +0000
Subject: aomart (17dec17)

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+++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/aomart/aomfrench.tex
@@ -0,0 +1,235 @@
+\documentclass{aomart}
+\usepackage[utf8]{inputenx}
+\usepackage[english,frenchb]{babel}
+\title{Théorème intégral de Cauchy}
+\author{Wikip\'edia}
+\address{\url{https://fr.wikipedia.org/}}
+\copyrightnote{Droit d'auteur: les textes sont disponibles sous
+  licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes
+  conditions; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les
+  conditions d’utilisation pour plus de détails, ainsi que les crédits
+  graphiques. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez
+  comment citer les auteurs et mentionner la licence.} 
+\volumenumber{160}
+\issuenumber{1}
+\publicationyear{2017}
+\papernumber{12}
+\startpage{17}
+\endpage{}
+
+\begin{document}
+
+{\selectlanguage{french}% We really do not need this since French is
+                        % the main language of the paper
+\begin{abstract}
+  En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de
+  Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales
+  curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après
+  ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes
+  points et si une fonction est holomorphe «entre» les deux chemins,
+  alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont
+  égales.
+\end{abstract}}
+
+{\selectlanguage{english}%
+  \begin{abstract}
+    In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the
+    Cau\-chy–Gou\-r\-sat theorem) in complex analysis, named after
+    Augustin-Louis Cauchy, is an important statement about line
+    integrals for holomorphic functions in the complex
+    plane. Essentially, it says that if two different paths connect
+    the same two points, and a function is holomorphic everywhere in
+    between the two paths, then the two path integrals of the function
+    will be the same.
+  \end{abstract}}
+
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+
+\section{Énoncé}
+
+Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (c'est-à-dire
+les chemins dont le point de départ est confondu avec le point
+d'arrivée) de la manière suivante.
+
+\begin{description}
+\item[Soient]
+  \begin{enumerate}
+  \item $U$ un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$;
+  \item $f : U \to \mathbb{C}$ une fonction continue sur $U$ et
+    possédant une dérivée complexe sauf éventuellement en un nombre
+    fini de points; 
+  \item $\gamma$ un lacet rectifiable dans $U$.
+  \end{enumerate}
+
+  \item[Alors]
+    \begin{displaymath}
+      \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.
+    \end{displaymath}
+  \end{description}
+
+\section{Condition de simple connexité}
+
+La condition que $U$ est simplement connexe signifie que $U$ n'a pas
+de «trou»; par exemple, tout disque ouvert
+$U=\{z,\mid z-z_{0}\mid <r\}$, satisfait à cette condition.
+
+La condition est cruciale; par exemple, si $\gamma$ est le cercle
+unité alors l'intégrale sur ce lacet de la fonction $f(z) = 1/z$ est
+non nulle; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici
+puisque $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$.
+
+\section{Démonstration}
+
+Par des arguments de continuité uniforme de $f$ sur des
+$\epsilon$-voisinages compacts de l'image de $\gamma$ dans $U$,
+l'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est limite d'intégrales de $f$ sur des
+lacets polygonaux~\cite[p.~111]{Hahn96}. Il suffit alors, pour
+conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.
+
+On peut également dans le cas où f est holomorphe en tout point de $U$
+considérer la famille de lacets  $\gamma _{{\alpha
+  }}(t)=z_{0}+(1-\alpha )(\gamma (t)-z_{0})$ avec $\alpha \in [0,1]$.
+
+\section{Conséquences}
+
+\begin{enumerate}
+\item Sous les hypothèses du théorème, $f$ possède sur $U$ une
+  primitive complexe $F$. En effet, quitte à remplacer $U$ par l'une
+  de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En
+  fixant alors un point arbitraire $z_0$ de U et en posant
+  \begin{displaymath}
+    F(z)=\int _{{P(z)}}f(\xi )\,{\mathrm  d}\xi ,
+  \end{displaymath}
+  où $P(z)$ est n'importe quel chemin rectifiable dans $U$ de $z_0$ à
+  $z$ (d'après le théorème, la valeur de $F(z)$ ne dépend pas du choix
+  de $P(z)$) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du
+  premier théorème fondamental de l'analyse, on en déduit alors que
+  $F$ est holomorphe sur $U$ et que $F’ = f$.
+
+
+\item Pour une telle primitive on a immédiatement: pour tout chemin
+  continûment différentiable par morceaux $\gamma$ de $a$ à $b$ dans
+  $U$:
+  \begin{displaymath}
+    \int _{\gamma }f(z)\,{\mathrm  {d}}z=F(b)-F(a).
+  \end{displaymath}
+
+  \item Le peu d'hypothèses requises sur $f$ est très intéressant, parce
+    qu'on peut alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces
+    fonctions, et en déduire qu'elles sont en fait indéfiniment
+    dérivables.
+    
+  \item Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé
+    par le théorème des résidus.
+      
+  \item Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme
+    légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que
+    $U$ soit un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$ dont la
+    frontière est un lacet simple rectifiable $\gamma$. Si $f$ est une
+    fonction holomorphe sur $U$ et continue sur l'adhérence de $U$,
+    alors l'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est nulle~\cite[p.~396
+    et~420]{Lin11}.
+
+  \end{enumerate}
+
+\section{Exemple}
+
+Pour tout complexe $\alpha$ , la fonction $f(z):=\frac {{\mathrm {e}
+    }^{\mathrm {i} z}}{z^{\alpha }}$, où l'on a choisi la
+détermination principale de la fonction puissance, est holomorphe sur
+le plan complexe privé de la demi-droite $ \mathbb {R} ^{-}$. Son
+intégrale sur tout lacet de ce domaine est donc nulle. Ceci permet de
+montrer que les intégrales semi-convergentes
+\begin{displaymath}
+J_{c}(\alpha ):=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos t}{t^{\alpha
+    }}}\,\mathrm {d} t\quad {\text{et}}\quad J_{s}(\alpha ):=\int
+_{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t^{\alpha }}}\,\mathrm {d} t\quad
+{\text{pour}}\quad \mathrm {Re} (\alpha )\in \left]0,1\right[
+\end{displaymath}
+(où $\mathrm {Re}$ désigne la partie réelle) sont respectivement
+égales à
+\begin{displaymath}
+J_{c}(\alpha )=\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha )\quad
+{\text{et}}\quad J_{s}(\alpha )=\sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma
+(1-\alpha ),
+\end{displaymath}
+où $\Gamma$ \  désigne la fonction gamma et  $\cos$, $\sin$ sont les
+fonctions cosinus et sinus de la variable complexe.
+
+Notons $\alpha =a+\mathrm {i} b$ avec $a\in \left]0,1\right[$ et $b\in
+\mathbb {R}$. On intègre $f$ (l'intégrale est nulle) sur le lacet
+formé du segment réel $\left[\varepsilon ,R\right]$ et du segment
+imaginaire pur $\mathrm {i} \left[R,\varepsilon \right]$, joints par
+les quarts de cercles $R\mathrm {e} ^{\left[0,\mathrm {i} \pi
+    /2\right]}$ et $\varepsilon \mathrm {e} ^{\left[\mathrm {i} \pi /2,0\right]}$, puis on fait tendre $R$ vers $ +\infty $ et $\varepsilon$  vers $0$.
+
+Les intégrales sur les deux quarts de cercles tendent vers $0$ car
+\begin{multline*}
+\left|\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} R\mathrm
+        {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}{R^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm
+        {i} \alpha \theta }}}\mathrm {i} R\mathrm {e} ^{\mathrm {i}
+    \theta }\,\mathrm {d} \theta \right| \\
+\leq R^{1-a}\int _{0}^{\pi
+  /2}{\mathrm {e} }^{-R\sin \theta }\,\mathrm {d} \theta \leq
+R^{1-a}\int _{0}^{\pi /2}{\mathrm {e} }^{-2R\theta /\pi }\,\mathrm {d}
+\theta ={\frac {\pi }{2}}R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R})
+\end{multline*}
+et
+\begin{displaymath}
+\lim _{R\to +\infty }R^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-R})=\lim _{\varepsilon
+  \to 0^{+}}\varepsilon ^{-a}(1-\mathrm {e} ^{-\varepsilon })=0.
+\end{displaymath}
+L'intégrale sur le segment imaginaire est égale à
+\begin{displaymath}
+\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {{\mathrm {e} }^{-y}}{y^{\alpha
+    }\mathrm {e} ^{\alpha \mathrm {i} \pi /2}}}\mathrm {i} \,\mathrm
+{d} y=-\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\int _{\varepsilon
+}^{R}y^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-y}\,\mathrm {d} y\to -\mathrm {e}
+^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha ).
+\end{displaymath}
+L'intégrale sur le segment réel tend vers
+$J_{c}(\alpha )+\mathrm {i} J_{s}(\alpha )$, qui est donc égal à
+$\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$.
+
+De même (en rempaçant $b$ par $-b$,
+$J_{c}({\overline {\alpha }})+\mathrm {i} J_{s}({\overline {\alpha
+  }})=\mathrm {e} ^{(1-{\overline {\alpha }})\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
+(1-{\overline {\alpha }})$ donc (en prenant les conjugués des deux
+membres) $J_{c}(\alpha )-\mathrm {i} J_{s}(\alpha
+)=\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma (1-\alpha )$.
+
+On a donc bien
+\begin{multline*}
+2J_{c}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
+(1-\alpha )+\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi /2}\Gamma
+(1-\alpha )=\\
+2\cos((1-\alpha )\pi /2)\Gamma (1-\alpha )
+\end{multline*}
+et
+\begin{multline*}
+2\mathrm {i} J_{s}(\alpha )=\mathrm {e} ^{(1-\alpha )\mathrm {i} \pi
+  /2}\Gamma (1-\alpha )-\mathrm {e} ^{-(1-\alpha )\mathrm {i} \pi
+  /2}\Gamma (1-\alpha )=\\
+2\mathrm {i} \sin((1-\alpha )\pi /2)\Gamma
+(1-\alpha ).
+\end{multline*}
+Par exemple,
+$\frac {1}{2}J_{c}(1/2)={\frac {1}{2}}J_{s}(1/2)={\frac {1}{2}}{\sqrt
+{\frac {\pi }{2}}}$ (l'intégrale de Fresnel). On peut de plus
+remarquer que
+$\lim _{\mathrm {Re} (\alpha )<1,\alpha \to 1}J_{s}(\alpha )={\frac
+  {\pi }{2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$
+(l'intégrale de Dirichlet).
+
+\section{Surfaces de Riemann}
+
+Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la
+géométrie des surfaces de Riemann.
+
+\bibliography{aomsample}
+\bibliographystyle{aomplain}
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

