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diff --git a/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex b/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex new file mode 100644 index 00000000000..44bd5ede6f4 --- /dev/null +++ b/Master/texmf-dist/source/latex/formation-latex-ul/mathematiques.tex @@ -0,0 +1,2050 @@ +\chapter{Mathématiques} +\label{chap:math} + + +S'il est un domaine où {\LaTeX} brille particulièrement, c'est bien +dans la préparation et la présentation d'équations mathématiques --- +des plus simples aux plus complexes. Après tout, l'amélioration de la +qualité typographique des équations mathématiques dans son ouvrage +phare \emph{The Art of Computer Programming} figurait parmi les +objectifs premiers de Knuth lorsqu'il a développé {\TeX}. + + +\section{Principes de base du mode mathématique} +\label{sec:math:base} + +La mise en forme d'équations mathématiques requiert d'indiquer à +l'ordinateur, dans un langage spécial, le contenu des dites équations +et la position des symboles: en exposant, en indice, sous forme de +fraction, etc. L'ordinateur peut ensuite assembler le tout à partir de +règles typographiques portant, par exemple, sur la représentation des +variables et des constantes, l'espacement entre les symboles ou la +disposition des équations selon qu'elles apparaissent au fil du texte +ou hors d'un paragraphe. + +On indique à {\LaTeX} que l'on change de «langage», par l'utilisation +d'un mode mathématique. Il y a deux grandes manière d'activer le mode +mathématique: +\begin{enumerate} +\item en insérant le code entre les symboles \verb=$ $= pour générer + une équation «en ligne», ou au fil du texte; + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +on sait que $(a + b)^2 = +a^2 + 2ab + b^2$, d'où +on obtient... +\end{lstlisting} + \producing + on sait que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ d'où on obtient... + \end{texample} + \end{demo} +\item en utilisant un environnement servant à créer une équation hors + paragraphe; + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +on sait que +\begin{equation*} + (a + b)^2 + = a^2 + 2ab + b^2, +\end{equation*} +d'où on obtient... +\end{lstlisting} + \producing + on sait que + \begin{equation*} + (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, + \end{equation*} + d'où on obtient... + \end{texample} + \end{demo} +\end{enumerate} + +Dans l'exemple ci-dessus, l'environnement \Pe{equation*} (tiré du +paquetage \pkg{amsmath}, voir la section suivante) crée une +équation hors paragraphe, centrée sur la ligne et non numérotée. Avec +l'environnement \Ie{equation} (donc sans \verb=*= dans le nom), +{\LaTeX} ajoute automatiquement un numéro d'équation séquentiel aligné +sur la marge de droite: +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +on sait que +\begin{equation} + (a + b)^2 = a^2 + b^2, +\end{equation} +d'où on obtient... +\end{lstlisting} + \producing + on sait que + \begin{equation} + (a + b)^2 = a^2 + b^2, + \end{equation} + d'où on obtient... + \end{texample} +\end{demo} +Cette disposition est la plus usuelle dans les ouvrages mathématiques. +Le type de numérotation diffère selon qu'un document comporte des +chapitres ou non. + +En mode mathématique, les chiffres sont automatiquement considérés +comme des constantes, les lettres comme des variables et une suite de +lettres comme un produit de variables (nous verrons plus loin comment +représenter des fonctions mathématiques comme $\sin$, $\log$ ou +$\lim$). Ceci a trois conséquences principales: +\begin{enumerate} +\item conformément aux conventions typographiques, les chiffres sont + représentés en caractère \textrm{romain} et les variables, en + italique; + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$123xyz$ +\end{lstlisting} + \producing + $123xyz$ + \end{texample} + \end{demo} +\item l'espace entre les constantes, les variables et les opérateurs + mathématiques est géré automatiquement; + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$z = 2 x + 3 x y$ +\end{lstlisting} + \producing + $z = 2 x + 3 x y$ + \end{texample} + \end{demo} +\item les espaces dans le code source n'ont aucun impact sur la + disposition d'une équation. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$z=2x + 3xy$ +\end{lstlisting} + \producing + $z=2x + 3xy$ + \end{texample} + \end{demo} +\end{enumerate} + +Quant au langage retenu par {\LaTeX} pour décrire les équations +mathématiques, il est très similaire à celui que l'on utiliserait pour +le faire à voix haute. Il faut simplement recourir à des commandes +pour identifier les symboles mathématiques que l'on ne retrouve pas +sur un clavier usuel, comme les lettres grecques, les opérateurs +d'inégalité ou les symboles de sommes et d'intégrales. + + +\section{Un paquetage incontournable} +\label{sec:math:amsmath} + +Le paquetage \pkg{amsmath} \citep{amsmath} produit par la prestigieuse +\emph{American Mathematical Society} fournit diverses extensions à +{\LaTeX} pour faciliter encore davantage la saisie d'équations +mathématiques complexes et en améliorer la présentation. L'utilisation +de ce paquetage doit être considérée incontournable pour tout document +contenant plus que quelques équations très simples. + +Au chapitre des améliorations fournies par \pkg{amsmath}, notons +particulièrement: +\begin{itemize} +\item plusieurs environnements pour les équations hors paragraphe, en + particulier pour les équations multilignes; +\item une meilleure gestion de l'espacement autour des symboles de + relation (comme les signes d'égalité) dans les équations + multilignes; +\item une commande pour faciliter l'entrée de texte à l'intérieur du + mode mathématique; +\item un environnement pour la saisie des matrices et des coefficients + binomiaux; +\item des commandes pour les intégrales multiples; +\item la possibilité de définir de nouveaux opérateurs mathématiques. +\end{itemize} +Nous décrivons certaines de ces fonctionnalités dans la suite, mais +tout utilisateur du paquetage devrait impérativement consulter sa % +\doc[documentation complète]{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath}. + + +\section{Principaux éléments du mode mathématique} +\label{sec:math:bases} + +Cette section explique comment créer et assembler divers éléments +d'une formule mathématique: exposants, indices, fractions, texte, etc. +Les seuls symboles utilisés sont pour le moment les chiffres et les +lettres latines. La présentation d'une partie de l'éventail de +symboles mathématiques offerts par {\LaTeX} fera l'objet de la +\autoref{sec:math:symboles}. + +\subsection{Exposants et indices} +\label{sec:math:bases:exposants} + +{\LaTeX} permet de créer facilement et avec la bonne taille de +symboles n'importe quelle combinaison d'exposants et d'indices. + +On place un caractère en \textsuperscript{exposant} avec la +commande \verb=^= et en \textsubscript{indice} avec la commande +\verb=_=. Les indices et exposants se combinent naturellement. +\begin{demo} + \def\strut{\rule[-0.4ex]{0pt}{2ex}} + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +x^2 +\end{lstlisting} + \producing\strut $x^2$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +a_n +\end{lstlisting} + \producing\strut $a_n$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.63\linewidth] +\begin{lstlisting} +x_i^k +\end{lstlisting} + \producing\strut $x_i^k$ + \end{texample} + \end{minipage} +\end{demo} +(L'ordre de saisie n'a pas d'importance; le troisième exemple +donnerait le même résultat avec \verb=x^k_i=.) + +Si l'exposant ou l'indice compte plus d'un caractère, il faut +regrouper le tout entre accolades \verb={ }=. +\begin{demo} + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +x^{2k + 1} +\end{lstlisting} + \producing\strut $x^{2k + 1}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +x_{i,j} +\end{lstlisting} + \producing\strut $x_{i,j}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.63\linewidth] +\begin{lstlisting} +x_{ij}^{2n} +\end{lstlisting} + \producing\strut $x_{ij}^{2n}$ + \end{texample} + \end{minipage} +\end{demo} + +Toutes les combinaisons d'exposants et d'indices sont possibles, y +compris les puissances de puissances ou les indices d'indices. +\begin{demo} + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +e^{-x^2} +\end{lstlisting} + \producing\strut $e^{-x^2}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.6\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +A_{i_s, k^n}^{y_i} +\end{lstlisting} + \producing\strut $A_{i_s,k^n}^{y_i}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad \mbox{} % pour alignement avec bloc d'exemples ci-dessus +\end{demo} + +\begin{important} + Les commandes \verb=^= et \verb=_= sont permises dans le mode + mathématique seulement. En fait, si {\TeX} rencontre l'une de ces + commandes en mode texte, il tentera automatiquement de passer au + mode mathématique après avoir émis l'avertissement +\begin{verbatim} +! Missing $ inserted. +\end{verbatim} + Il est assez rare que le résultat soit celui souhaité. +\end{important} + +\subsection{Fractions} +\label{sec:math:bases:fractions} + +Il y a plusieurs façons de représenter une fraction selon qu'elle se +trouve au fil du texte, dans une équation hors paragraphe ou à +l'intérieur d'une autre fraction. + +Pour les fractions au fil du texte, il vaut souvent mieux utiliser +simplement la barre oblique \verb=/= pour séparer le numérateur du +dénominateur, quitte à utiliser des parenthèses. Ainsi, on utilise +\verb=$(n + 1)/2$= pour obtenir $(n + 1)/2$. + +De manière plus générale, la commande +\begin{lstlisting} +\frac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}' +\end{lstlisting} +dispose \meta{numérateur} au-dessus de \meta{dénominateur}, séparé par +une ligne horizontale. La taille des caractères s'ajuste +automatiquement selon que la fraction se trouve au fil du texte ou +dans une équation hors paragraphe, ainsi que selon la position de la +fraction dans l'équation. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +% taille au fil du texte +On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et +$z_2 = xy$. +\end{lstlisting} + \producing On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et $z_2 = xy$. + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +% taille hors paragraphe +On a +\begin{equation*} + z_1 = \frac{x}{y} +\end{equation*} +et $z_2 = xy$. +\end{lstlisting} + \producing On a + \begin{equation*} + z_1 = \frac{x}{y} + \end{equation*} + et $z_2 = xy$. + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +% deux tailles combinées +Soit +\begin{equation*} + z = \frac{\frac{x}{2} + + 1}{y}. +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \producing Soit + \begin{equation*} + z = \frac{\frac{x}{2} + 1}{y}. + \end{equation*} + \end{texample} +\end{demo} + +Les commandes +\begin{lstlisting} +\dfrac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}' +\tfrac`\marg{numérateur}\marg{dénominateur}' +\end{lstlisting} +de \pkg{amsmath} permettent de forcer une fraction à adopter la taille +d'une fraction hors paragraphe (\emph{displayed}) dans le cas de +\cmd{\dfrac}, ou de celle d'une fraction au fil du texte (\emph{text}) +dans le cas de \cmd{\tfrac}. Consulter l'\autoref{ex:math:matrices} à +la \autopageref{ex:math:matrices} pour visualiser l'effet de la +commande \cmd{\dfrac}. + +\begin{conseil} + Il est parfois visuellement plus intéressant, surtout au fil du + texte, d'écrire une fraction comme $1/x$ sous la forme $x^{-1}$. +\end{conseil} + +\subsection{Racines} +\label{sec:math:bases:racines} + +La commande +\begin{lstlisting} +\sqrt`\oarg{n}\marg{radicande}' +\end{lstlisting} +construit un symbole de radical autour de \meta{radicande}, par défaut +la racine carrée. Si l'argument optionnel \meta{n} est spécifié, c'est +plutôt un symbole de racine d'ordre $n$ qui est tracé. La longueur et +la hauteur du radical s'adapte toujours à celles du radicande. +\begin{demo} + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +\sqrt{2} +\end{lstlisting} + \producing $\sqrt{2}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +\sqrt{625} +\end{lstlisting} + \producing + $\sqrt{625}$ + \end{texample} + \end{minipage} + \quad + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +\sqrt[3]{8} +\end{lstlisting} + \producing + $\sqrt[3]{8}$ + \end{texample} + \end{minipage} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\sqrt[n]{x + y + z} +\end{lstlisting} + \producing + $\sqrt[n]{x + y + z}$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}} +\end{lstlisting} + \producing + $\displaystyle \sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}$ + \end{texample} +\end{demo} + +\subsection{Sommes et intégrales} +\label{sec:math:bases:sommes-et-integrales} + +Les sommes et les intégrales requièrent un symbole spécial ainsi que +des limites inférieures et supérieures, le cas échéant. + +Les commandes \cmd{\sum} et \cmd{\int} servent respectivement à tracer +les symboles de somme $\sum$ et d'intégrale $\int$. Le paquetage +\pkg{amsmath} fournit également des commandes comme \cmd{\iint} et +\cmd{\iiint} pour obtenir des symboles d'intégrales multiples finement +disposés ($\iint$ et $\iiint$). + +On entre les éventuelles limites inférieures et supérieures comme des +indices et des exposants. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\sum_{i = 0}^n x_i +\end{lstlisting} + \producing $\displaystyle \sum_{i = 0}^n x_i$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\int_0^{10} f(x)\, dx +\end{lstlisting} + \producing $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\, dx$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\iint_D f(x, y)\, dx dy +\end{lstlisting} + \producing $\displaystyle \iint_D f(x, y)\, dx dy$ + \end{texample} +\end{demo} + +La taille des symboles et la position des limites s'ajustent +automatiquement selon le contexte. Au fil du texte, la somme et +l'intégrale simple ci-dessus apparaîtraient comme $\sum_{i = 0}^n x_i$ +et $\int_0^{10} f(x)\, dx$. + +Dans une intégrale il est recommandé de séparer l'intégrande de +l'opérateur de différentiation $dx$ par une espace fine. C'est ce à +quoi sert la commande \cmd{\,} ci-dessus; voir aussi le +\autoref{tab:math:espaces} de la \autopageref{tab:math:espaces}. + +\subsection{Points de suspension} +\label{sec:math:bases:dots} + +Les formules mathématiques comportent fréquemment des points de +suspension dans des suites de variables ou d'opérations. On recommande +d'éviter de les entrer comme trois points finaux consécutifs, car +l'espacement entre les points sera trop petit et le résultat, jugé +disgracieux\footnote{% + Le résultat exact dépend de la police utilisée.} % +d'un point de vue typographique: $...$ + +Le \autoref{tab:math:dots} fournit les commandes {\LaTeX} servant à +générer divers types de points de suspension. + +\begin{table} + \caption{Points de suspension} + \label{tab:math:dots} + \centering + \begin{tabular}{lll} + \toprule + commande & type de points & exemple \\ + \midrule + \cmd{\dots} & sélection automatique \\ + \cmd{\ldots} & points à la ligne de base & $x_1, \ldots, x_n$ \\ + \cmd{\cdots} & points centrés & $x_1 + \cdots + x_n$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\vdots} & points verticaux & $ + \begin{matrix} + x_1 \\ \vdots \\ x_n + \end{matrix}$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\ddots} & points diagonaux & $ + \begin{matrix} + x_1 &&\\ &\ddots& \\ && x_n + \end{matrix}$ \\ + \bottomrule + \end{tabular} +\end{table} + +Avec \pkg{amsmath}, la commande \cmd{\dots} tâche de sélectionner +automatiquement entre les points à la ligne de base ou les points +centrés selon le contexte. Comme le résultat est en général le bon, +nous recommandons d'utiliser principalement cette commande pour +insérer des points de suspension en mode mathématique. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$x_1, \dots, x_n$ +\end{lstlisting} + \producing $x_1, \dots, x_n$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$x_1, \ldots, x_n$ +\end{lstlisting} + \producing $x_1, \ldots, x_n$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$x_1 + \dots + x_n$ +\end{lstlisting} + \producing $x_1 + \dots + x_n$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$x_1 + \cdots + x_n$ +\end{lstlisting} + \producing $x_1 + \cdots + x_n$ + \end{texample} +\end{demo} +Le paquetage définit également les commandes sémantiques suivantes: +\begin{itemize} +\item \cmd{\dotsc} pour des «points avec des virgules» (\emph{commas}); +\item \cmd{\dotsb} pour des «points avec des opérateurs binaires»; +\item \cmd{\dotsm} pour des «points de multiplication»; +\item \cmd{\dotsi} pour des «points avec des intégrales»; +\item \cmd{\dotso} pour d'«autres points» (\emph{other}). +\end{itemize} + +\subsection{Texte et espaces} +\label{sec:math:bases:texte} + +On l'a vu, en mode mathématique {\LaTeX} traite les lettres comme des +variables et gère automatiquement l'espacement entre les divers +symboles. Or, il n'est pas rare que des formules mathématiques +contiennent du texte (notamment des mots comme «où», «si», «quand»). +De plus, il est parfois souhaitable de pouvoir ajuster les blancs +entre des éléments. + +La commande de \pkg{amsmath} +\begin{lstlisting} +\text`\marg{texte}' +\end{lstlisting} +insère \meta{texte} dans une formule mathématique. Le texte est inséré +tel quel, sans aucune gestion des espaces avant ou après le texte. Si +des espaces sont nécessaires, ils doivent faire partie de +\meta{texte}. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +f(x) = a e^{-ax} +\text{ pour } x > 0 +\end{lstlisting} + \producing $f(x) = a e^{-ax} \text{ pour } x > 0$ + \end{texample} +\end{demo} + +Les commandes +\begin{lstlisting} +\quad +\qquad +\end{lstlisting} +insèrent un blanc de largeur variable selon la taille de la police en +vigueur. La commande \cmd{\quad} insère un blanc de $1$~em (la largeur de +la lettre M dans la police en vigueur), alors que \cmd{\qquad} +insère le double de cette longueur\footnote{% + Bien qu'elles soient surtout utilisées dans le mode mathématique, + les commandes \cmd{\quad} et \cmd{\qquad} sont également valides + dans le mode texte.}. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +f(x) = a e^{-ax}, +\quad x > 0 +\end{lstlisting} + \producing + $f(x) = a e^{-ax}, \quad x > 0$ + \end{texample} +\end{demo} + +Le \autoref{tab:math:espaces} répertorie et compare les différentes +commandes qui permettent d'insérer des espaces plus ou moins fines +entre des éléments dans le mode mathématique. + +\begin{table} + \caption{Espaces dans le mode mathématique} + \label{tab:math:espaces} + \centering + \begin{tabular}{lll} + \toprule + Commande & Longueur & Exemple \\ + \midrule + & pas d'espace & \spx{} \\ + \cmd{\,} & $3/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\,} \\ + \cmd{\:} & $4/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\:} \\ + \cmd{\;} & $5/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\;} \\ + \pixabang & $-3/18$ de \cmdprint{quad} & \spx{\!} \\ + \cmd{\quad} & $1$~em & \spx{\quad} \\ + \cmd{\qquad} & $2$~em & \spx{\qquad} \\ + \bottomrule + \end{tabular} +\end{table} + +\subsection{Fonctions et opérateurs} +\label{sec:math:bases:fonctions} + +Les règles de typographie pour les équations mathématiques exigent que +les variables apparaissent en \textit{italique}, mais que les noms de +fonctions, eux, apparaissent en \textrm{romain}, comme le texte +standard. Pensons, ici, à des fonctions comme $\sin$ ou $\log$. + +On sait que {\LaTeX} interprétera un nom de fonction saisi tel quel +comme un produit de variables: +\begin{demo} + \begin{minipage}{0.45\linewidth} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$2 sin 30$ +\end{lstlisting} + \producing + $2 sin 30$ + \end{texample} + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.45\linewidth} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$3 log 2$ +\end{lstlisting} + \producing + $3 log 2$ + \end{texample} + \end{minipage} +\end{demo} +La commande \cmdprint{\text} permettrait d'afficher les noms de +fonction en romain, mais l'utiliser à répétition se révélerait +rapidement peu pratique. De plus, un nom de fonction n'est pas du +texte à proprement parler, mais plutôt un opérateur mathématique. + +La solution de {\LaTeX} consiste à définir des commandes pour un grand +nombre de fonctions et d'opérateurs mathématiques standards: +\begin{lstlisting} +\arccos \cosh \det \inf \limsup \Pr \tan +\arcsin \cot \dim \ker \ln \sec \tanh +\arctan \coth \exp \lg \log \sin +\arg \csc \gcd \lim \max \sinh +\cos \deg \hom \liminf \min \sup +\end{lstlisting} +L'espacement autour des fonctions et opérateurs est géré par {\LaTeX}. +\begin{demo} + \begin{minipage}{0.45\linewidth} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$2 \sin30$ +\end{lstlisting} + \producing + $2 \sin30$ + \end{texample} + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.45\linewidth} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +$3 \log 2$ +\end{lstlisting} + \producing + $3 \log 2$ + \end{texample} + \end{minipage} +\end{demo} + +Certaines des fonctions ci-dessus, notamment \cmd{\lim}, acceptent des +limites comme les symboles de somme et d'intégrale. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +% au fil du texte +\lim_{x \to 0} x = 0 +\end{lstlisting} + \producing $\lim_{x \to 0} x = 0$ + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +% hors paragraphe +\lim_{x \to 0} x = 0 +\end{lstlisting} + \producing $\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$ + \end{texample} +\end{demo} + +La commande \cmd{\DeclareMathOperator} de \pkg{amsmath} permet de +définir de nouveaux opérateurs mathématiques lorsque nécessaire; +consulter la % +\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} % +du paquetage (section~5.1) pour les détails. + + +\begin{exemple} + Le matériel passé en revue jusqu'à maintenant permet déjà + de composer des équations élaborées --- sous réserve qu'elles + tiennent sur une seule ligne comme dans le présent exemple. + + On présente ci-dessous, pièce par pièce, le code {\LaTeX} pour créer + l'équation suivante: + \begin{equation*} + \int_x^\infty (y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy = + \frac{1}{1 - F_X(x)} \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy. + \end{equation*} + \begin{demo} + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\begin{equation*} +\end{lstlisting} + \producing + \emph{équation hors paragraphe} + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\int_x^\infty +\end{lstlisting} + \producing + $\displaystyle \int_x^\infty$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +(y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy = +\end{lstlisting} + \producing + $(y - x) f_{X|X > x}(y)\, dy =$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\frac{1}{1 - F_X(x)} +\end{lstlisting} + \producing + $\dfrac{1}{1 - F_X(x)}$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy +\end{lstlisting} + \producing + $\displaystyle \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \producing + \emph{fin de l'environnement} + \end{texample} + \end{demo} + \qed +\end{exemple} + + +\section{Symboles mathématiques} +\label{sec:math:symboles} + +Outre les chiffres et les lettres de l'alphabet, les claviers +d'ordinateurs ne comptent normalement que les symboles +mathématiques suivants: +\begin{center} +%\begin{verbatim} +\verb0+ - = < > / : ! ' | [ ] ( ) { }0 +%\end{verbatim} +\end{center} +Ils s'emploient directement dans les équations, sauf les accolades +\verb={ }= qui sont des symboles réservés par {\LaTeX}. Il faut donc +entrer celles-ci avec \cmdprint{\{} et \cmdprint{\}}, comme dans du +texte normal. + +Pour représenter les innombrables autres symboles mathématiques, on +aura recours à des commandes qui débutent, comme d'habitude, par le +symbole {\bs} et dont le nom est habituellement dérivé de la +signification mathématique du symbole. + +Si un symbole mathématique a été utilisé quelque part dans une +publication, il y a de fortes chances que sa version existe dans +{\LaTeX}. Il serait donc utopique de tenter de faire ici une recension +des symboles disponibles. Nous nous contenterons d'un avant goût des +principales catégories. + +L'ouvrage de référence pour connaître les symboles disponibles dans +{\LaTeX} est la bien nommée \emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List} +\citep{comprehensive}. La liste comprend près de \nombre{6000} +symboles répartis sur plus de 160 pages! On y trouve de tout, des +symboles mathématiques aux pictogrammes de météo ou d'échecs, en +passant par\dots\ des figurines des Simpsons. + +\begin{important} + Les moteurs {\XeTeX} et {\LuaTeX} supportent nativement le code + source en format Unicode UTF-8 \citep{Unicode:5.0}. Ce standard + contient des définitions pour plusieurs symboles mathématiques + \citep{wikipedia:unicode-math}. Cela signifie qu'il est possible + d'entrer une partie au moins des équations mathématiques avec des + caractères visibles à l'écran, plutôt qu'avec des commandes + {\LaTeX}. Nous ne saurions toutefois recommander cette pratique qui + rend les fichiers source moins compatibles d'un système à un autre. +\end{important} + +\subsection{Lettres grecques} +\label{sec:math:symboles:grecques} + +On obtient les lettres grecques en {\LaTeX} avec des commandes +correspondant au nom de chaque lettre. Lorsque la commande débute par +une capitale, on obtient une lettre grecque majuscule. Les commandes +de certaines lettres grecques majuscules n'existent pas lorsque celles-ci +sont identiques aux lettres romaines. + +Les tableaux \ref{tab:math:grecques} et \ref{tab:math:Grecques} +présentent l'ensemble des lettres grecques disponibles dans {\LaTeX}. + +\begin{table} + \caption{Lettres grecques minuscules} + \label{tab:math:grecques} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX} + $\alpha$ & \cmd{\alpha} & $\theta$ & \cmd{\theta} & + $o$ & o & $\tau$ & \cmd{\tau} \\ + $\beta$ & \cmd{\beta} & $\vartheta$ & \cmd{\vartheta} & + $\pi$ & \cmd{\pi} & $\upsilon$ & \cmd{\upsilon} \\ + $\gamma$ & \cmd{\gamma} & $\iota$ & \cmd{\iota} & + $\varpi$ & \cmd{\varpi} & $\phi$ & \cmd{\phi} \\ + $\delta$ & \cmd{\delta} & $\kappa$ & \cmd{\kappa} & + $\rho$ & \cmd{\rho} & $\varphi$ & \cmd{\varphi} \\ + $\epsilon$ & \cmd{\epsilon} & $\lambda$ & \cmd{\lambda} & + $\varrho$ & \cmd{\varrho} & $\chi$ & \cmd{\chi} \\ + $\varepsilon$ & \cmd{\varepsilon} & $\mu$ & \cmd{\mu} & + $\sigma$ & \cmd{\sigma} & $\psi$ & \cmd{\psi} \\ + $\zeta$ & \cmd{\zeta} & $\nu$ & \cmd{\nu} & + $\varsigma$ & \cmd{\varsigma} & $\omega$ & \cmd{\omega} \\ + $\eta$ & \cmd{\eta} & $\xi$ & \cmd{\xi} + \end{tabularx} +\end{table} + +\begin{table} + \caption{Lettres grecques majuscules} + \label{tab:math:Grecques} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX} + $\Gamma$ & \cmd{\Gamma} & + $\Lambda$ & \cmd{\Lambda} & + $\Sigma$ & \cmd{\Sigma} & + $\Psi$ & \cmd{\Psi} \\ + $\Delta$ & \cmd{\Delta} & + $\Xi$ & \cmd{\Xi} & + $\Upsilon$ & \cmd{\Upsilon} & + $\Omega$ & \cmd{\Omega} \\ + $\Theta$ & \cmd{\Theta} & + $\Pi$ & \cmd{\Pi} & + $\Phi$ & \cmd{\Phi} + \end{tabularx} +\end{table} + +\subsection{Lettres modifiées} +\label{sec:math:symboles:mathcal} + +Les lettres de l'alphabet, principalement en majuscule, servent +parfois en mathématiques dans des versions modifiées pour représenter +des quantités, notamment les ensembles. + +La commande \cmd{\mathcal} permet de transformer un ou plusieurs +caractères en version dite «calligraphique» dans le mode mathématique. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\mathcal{ABC\, xyz} +\end{lstlisting} + \producing + %% pris de lucidaot.tex; apparemment lent + \setmathfont[RawFeature=+ss04]{Lucida Bright Math OT} + $\mathscr{ABC\, xyz}$ + \end{texample} +\end{demo} + +La commande \cmd{\mathbb} fournie par les paquetages \pkg{amsfonts} et +\pkg{unicode-math}, entre autres, génère des versions majuscule +ajourée (\emph{blackboard bold}) des lettres de l'alphabet. Elles sont +principalement utilisée pour représenter les ensembles de nombres. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\mathbb{NZRC} +\end{lstlisting} + \producing $\mathbb{NZRC}$ + \end{texample} +\end{demo} + +Le tableau~213 de la % +\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{comprehensive}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive} % +présente plusieurs autres alphabets spéciaux disponibles en mode +mathématique. + +\begin{conseil} + Certaines polices OpenType contiennent plusieurs + versions des symboles mathématiques. Par exemple, la police utilisée + dans le présent document contient deux versions de la police + calligraphique, celle présentée ci-contre et celle-ci: % + \setmathfont[RawFeature=-ss04]{Lucida Bright Math OT} + $\mathscr{ABC\, xyz}$. Consulter éventuellement la documentation de + la police pour les détails. +\end{conseil} + +\subsection{Opérateurs binaires et relations} +\label{sec:math:symboles:binaires+relations} + +Les opérateurs binaires combinent deux quantités pour en former une +troisième; pensons simplement aux opérateurs d'addition $+$ et de +soustraction $-$ que l'on retrouve sur un clavier d'ordinateur normal. +Les relations, quant à elles, servent pour la comparaison entre deux +quantités, comme $<$ et $>$. Le \autoref{tab:math:binaires} +présente une sélection d'opérateurs binaires et +le \autoref{tab:math:relations} une sélection de relations. + +La % +\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive} % +consacre plus d'une dizaine de tableaux aux opérateurs binaires et +près d'une quarantaine aux relations. C'est dire à quel point les +tableaux \ref*{tab:math:binaires} et \ref*{tab:math:relations} de la +\autopageref{tab:math:binaires} ne présentent que les principaux +éléments à titre indicatif. + +Certaines relations existent directement en version opposée, ou +négative (comme $\neq$ ou $\notin$) soit dans {\LaTeX} de base, soit +avec \pkg{amsmath} ou un autre paquetage. Autrement, il est possible +de préfixer toute relation de \cmd{\not} pour y superposer une barre +oblique $/$. + +\begin{table}[p] + \caption{Quelques opérateurs binaires} + \label{tab:math:binaires} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX} + $\times$ & \cmd{\times} & + $\div$ & \cmd{\div} & + $\pm$ & \cmd{\pm} & + $\cdot$ & \cmd{\cdot} \\ + $\cup$ & \cmd{\cup} & + $\cap$ & \cmd{\cap} & + $\setminus$ & \cmd{\setminus} & + $\circ$ & \cmd{\circ} \\ + $\wedge$ & \cmd{\wedge} & + $\vee$ & \cmd{\vee} & + $\oplus$ & \cmd{\oplus} & + $\otimes$ & \cmd{\otimes} \\ + $\ast$ & \cmd{\ast} & + $\star$ & \cmd{\star} & + $\boxplus$ & \cmd{\boxplus}$^\dagger$ & + $\boxtimes$ & \cmd{\boxtimes}$^\dagger$ \\ + \addlinespace + \end{tabularx} + \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}} +\end{table} + +\begin{table}[p] + \caption{Quelques relations et leur négation} + \label{tab:math:relations} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX} + $\leq$ & \cmd{\leq} & + $\geq$ & \cmd{\geq} & + $\neq$ & \cmd{\neq} & + $\equiv$ & \cmd{\equiv} \\ + $\subset$ & \cmd{\subset} & + $\subseteq$ & \cmd{\subseteq} & + $\in$ & \cmd{\in} & + $\notin$ & \cmd{\notin} \\ + $\nless$ & \cmd{\nless}$^\dagger$ & + $\ngtr$ & \cmd{\ngtr}$^\dagger$ & + $\nleq$ & \cmd{\nleq}$^\dagger$ & + $\ngeq$ & \cmd{\ngeq}$^\dagger$ \\ + \addlinespace + \end{tabularx} + \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}} +\end{table} + +\subsection{Flèches} +\label{sec:math:symboles:fleches} + +Les flèches de différents types sont souvent utilisées en notation +mathématique, notamment dans les limites ou pour les expressions +logiques. Le \autoref{tab:math:fleches} en présente une sélection. + +On retrouve les flèches utilisables en notation mathématique dans les +tableaux 102 à 119 de la % +\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive}. % +Le document contient divers autres types de flèches, mais celles-ci ne +sont généralement pas appropriées pour les mathématiques (pensons à +{\manerrarrow} ou {\faArrowRight}). + +Le paquetage \pkg{amsmath} fournit plusieurs flèches additionnelles +ainsi que la négation des plus communes. Ces dernières apparaissent +d'ailleurs dans le \autoref{tab:math:fleches}. + +\begin{table}[p] + \caption{Quelques flèches et leur négation} + \label{tab:math:fleches} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlX} + $\gets$ & \cmd{\leftarrow}\quad \cmd{\gets} & + $\longleftarrow$ & \cmd{\longleftarrow} \\ + $\Leftarrow$ & \cmd{\Leftarrow} & + $\Longleftarrow$ & \cmd{\Longleftarrow} \\ + $\to$ & \cmd{\rightarrow}\quad \cmd{\to} & + $\longrightarrow$ & \cmd{\longrightarrow} \\ + $\Rightarrow$ & \cmd{\Rightarrow} & + $\Longrightarrow$ & \cmd{\Longrightarrow} \\ + $\uparrow$ & \cmd{\uparrow} & + $\downarrow$ & \cmd{\downarrow} \\ + $\Uparrow$ & \cmd{\Uparrow} & + $\Downarrow$ & \cmd{\Downarrow} \\ + $\updownarrow$ & \cmd{\updownarrow} & + $\Updownarrow$ & \cmd{\Updownarrow} \\ + $\leftrightarrow$ & \cmd{\leftrightarrow} & + $\longleftrightarrow$ & \cmd{\longleftrightarrow} \\ + $\Leftrightarrow$ & \cmd{\Leftrightarrow} & + $\Longleftrightarrow$ & \cmd{\Longleftrightarrow} \\ + $\nleftarrow$ & \cmd{\nleftarrow}$^\dagger$ & + $\nleftrightarrow$ & \cmd{\nleftrightarrow}$^\dagger$ \\ + $\nrightarrow$ & \cmd{\nrightarrow}$^\dagger$ & + $\nLeftarrow$ & \cmd{\nLeftarrow}$^\dagger$ \\ + $\nLeftrightarrow$ & \cmd{\nLeftrightarrow}$^\dagger$ & + $\nRightarrow$ & \cmd{\nRightarrow}$^\dagger$ \\ + \addlinespace + \end{tabularx} + \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}} +\end{table} + +\subsection{Accents et autres symboles utiles} +\label{sec:math:symboles:autres} + +Le \autoref{tab:math:autres} présente quelques uns des accents +disponibles dans le mode mathématique, ainsi que divers symboles +fréquemment utilisés en mathématiques. + +Pour connaître l'ensemble des accents du mode mathématique de +{\LaTeX}, consulter le tableau~164 de la % +\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{http://texdoc.net/pkg/comprehensive}. % +Les versions extensibles de certains accents se trouvent au +tableau~169. Quant aux symboles mathématiques divers, on en trouve de +toutes les sortes dans les tableaux 201--212. + +\begin{table}[p] + \caption{Accents et symboles mathématiques divers} + \label{tab:math:autres} + \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX} + $\hat{a}$ & \cmd{\hat}\verb={a}= & + $\bar{a}$ & \cmd{\bar}\verb={a}= & + $\tilde{a}$ & \cmd{\tilde}\verb={a}= & + $\ddot{a}$ & \cmd{\ddot}\verb={a}= \\ + $\infty$ & \cmd{\infty} & + $\nabla$ & \cmd{\nabla} & + $\partial$ & \cmd{\partial} & + $\ell$ & \cmd{\ell} \\ + $\forall$ & \cmd{\forall} & + $\exists$ & \cmd{\exists} & + $\emptyset$ & \cmd{\emptyset} & + $\prime$ & \cmd{\prime} \\ + $\neg$ & \cmd{\neg} & + $\backslash$ & \cmd{\backslash} & + $\|$ & \pixbar & + $\angle$ & \cmd{\angle} + \end{tabularx} +\end{table} + + +\begin{exemple} + L'équation suivante contient plusieurs des éléments présentés dans + cette section et la précédente: + \begin{equation*} + \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} = + \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, + dx, + \quad + \alpha > 0 \text{ et } \lambda > 0. + \end{equation*} + \begin{demo} + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\begin{equation*} +\end{lstlisting} + \producing + \emph{équation hors paragraphe} + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\frac{\Gamma(\alpha)}{ + \lambda^\alpha} = +\end{lstlisting} + \producing + $\dfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1} +\end{lstlisting} + \producing + $\displaystyle \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx +\end{lstlisting} + \producing + $\displaystyle x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +, \quad \alpha > 0 \text{ et } +\lambda > 0. +\end{lstlisting} + \producing + $, \quad \alpha > 0 \text{ et } \lambda > 0.$ + \end{texample} + + \begin{texample}[0.58\linewidth] +\begin{lstlisting} +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \producing + \emph{fin de l'environnement} + \end{texample} + \end{demo} + \qed +\end{exemple} + + +\section{Équations sur plusieurs lignes et numérotation} +\label{sec:math:align} + +Dans ce qui précède, nous n'avons présenté que des équations tenant +sur une seule ligne en mode hors paragraphe. Cette section se penche +sur la manière de représenter des groupes d'équations du type +\begin{align} + y &= 2x + 4 \\ + y &= 6x - 1 +\end{align} +ou des suites d'équations comme +\begin{align*} + x_{\text{max}} + &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\ + &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\ + &= b^m - 1. +\end{align*} + +Nous recommandons fortement les environnements de \pkg{amsmath} pour +les équations sur plusieurs lignes: ils sont plus polyvalents, plus +simples à utiliser et leur rendu est meilleur. Le +\autoref{tab:math:displays} --- repris presque intégralement de la +documentation de ce paquetage --- compare les différents +environnements pour les équations hors paragraphe. + +\begin{table}[p] + \caption{Comparaison des environnements pour les équations hors + paragraphe de \pkg{amsmath} (les lignes verticales indiquent les + marges logiques).} + \label{tab:math:displays} + \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{equation*} + a = b +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + a = b + \end{equation*} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{equation} + a = b +\end{equation} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation} + a = b + \end{equation} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{equation} + \label{eq:5} + \begin{split} + a &= b + c - d \\ + &\phantom{=} + e - f \\ + &= g + h \\ + &= i + \end{split} +\end{equation} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation}\label{eq:math:5} + \begin{split} + a& =b+c-d\\ + &\phantom{=} +e-f\\ + & =g+h\\ + & =i + \end{split} + \end{equation} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{multline} + a + b + c + d + e + f \\ + + i + j + k + l + m + n +\end{multline} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{multline} + a+b+c+d+e+f\\ + +i+j+k+l+m+n + \end{multline} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{gather} + a_1 = b_1 + c_1 \\ + a_2 = b_2 + c_2 - d_2 + e_2 +\end{gather} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{gather} + a_1=b_1+c_1\\ + a_2=b_2+c_2-d_2+e_2 + \end{gather} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{align} + a_1 &= b_1 + c_1 \\ + a_2 &= b_2 + c_2 - d_2 + e_2 +\end{align} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{align} + a_1& =b_1+c_1\\ + a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2 + \end{align} + \end{eqxample} + + \begin{eqxample} +\begin{lstlisting} +\begin{align} + a_{11} &= b_{11} & + a_{12} &= b_{12} \\ + a_{21} &= b_{21} & + a_{22} &= b_{22} + c_{22} +\end{align} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{align} + a_{11}& =b_{11}& + a_{12}& =b_{12}\\ + a_{21}& =b_{21}& + a_{22}& =b_{22}+c_{22} + \end{align} + \end{eqxample} +\end{table} + +\begin{itemize} +\item L'environnement de base pour les équations alignées sur un + symbole de relation (en une ou plusieurs colonnes) est \Ie{align}. + C'est l'environnement le plus utilisé en mode mathématique hormis + \Pe{equation}. +\item Les environnements \Pe{multline}, \Pe{gather} et \Pe{align} + existent également en version étoilée (\Ie{multline*}, \Ie{gather*}, + \Ie{align*}) qui ne numérotent pas les équations. +\item Dans les environnements \Pe{align} et \Ie{split}, les équations + successives sont alignées sur le caractère se trouvant immédiatement + après le marqueur de colonne \verb=&=. +\item Comme dans les tableaux, la commande {\pixbsbs} sert à + délimiter les lignes de la suite d'équations. +\item Remarquer, dans le troisième exemple du + \autoref{tab:math:displays}, comment la commande \cmd{\phantom} sert + à insérer un blanc exactement de la largeur du symbole $=$ au début + de la seconde ligne de la suite d'égalités. +\item Pour supprimer la numérotation d'une ligne dans une série + d'équations numérotées, placer la commande \cmd{\notag} juste avant + la commande de changement de ligne {\bs\bs}. + \begin{demo} + \begin{texample}[0.53\linewidth] +\begin{lstlisting} +\begin{align} + a_1 &= b_1 + c_1 \notag \\ + a_2 &= b_2 + c_2 - d_2 + e_2 +\end{align} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{align} + a_1& =b_1+c_1 \notag \\ + a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2 + \end{align} + \end{texample} + \end{demo} +\item Les renvois vers des équations numérotées fonctionnent, comme + partout ailleurs en {\LaTeX}, avec le système d'étiquettes et de + références (\autoref{sec:tableaux:floats}). Le paquetage + \pkg{amsmath} fournit également la pratique commande \cmd{\eqref} + qui place automatiquement le numéro d'équation entre parenthèses. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +L'équation \eqref{eq:5} du +tableau `\ref*{tab:math:displays}' démontre que... +\end{lstlisting} + \producing + L'équation \eqref{eq:math:5} du tableau + \ref*{tab:math:displays} démontre que\dots + \end{texample} + \end{demo} +\item L'environnement \Ie{split} sert à apposer un seul numéro à une + équation affichée sur plusieurs lignes. Il doit être employé à + l'intérieur d'un autre environnement d'équations hors paragraphe. +\end{itemize} +Consulter le chapitre 3 de la % +\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} % +du paquetage \pkg{amsmath} pour les détails sur +l'utilisation des environnements du \autoref*{tab:math:displays}. + +\begin{conseil} + Veillez à respecter les règles suivantes pour la composition des + équations. + \begin{enumerate} + \item Qu'elles apparaissent en ligne ou hors paragraphe, les + équations font partie intégrante de la phrase. Ainsi, les règles + de ponctuation usuelles s'appliquent-elles aux équations. + \item Lorsqu'une équation s'étend sur plus d'une ligne, couper + chaque ligne \emph{avant} un opérateur de sorte que chaque ligne + constitue une expression mathématique complète (voir les troisième + et quatrième exemples du \autoref{tab:math:displays}). + \item Ne numéroter que les équations d'un document auxquelles le + texte fait référence. + \end{enumerate} +\end{conseil} + +\begin{exemple} + Nous avons réalisé les deux suites d'équations au début de la + section avec les extraits de code ci-dessous, dans l'ordre. +\begin{lstlisting} +\begin{align} + y &= 2x + 4 \\ + y &= 6x - 1 +\end{align} +\end{lstlisting} +\begin{lstlisting} +\begin{align*} + x_{\text{max}} + &= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\ + &= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\ + &= b^m - 1. +\end{align*} +\end{lstlisting} + \qed +\end{exemple} + + +\section{Délimiteurs de taille variable} +\label{sec:math:delimiteurs} + +Les délimiteurs en mathématiques sont des symboles généralement +utilisés en paire tels que les parenthèses $(~)$, les crochets $[~]$ +ou les accolades $\{~\}$ et qui servent à regrouper des termes d'une +équation. La taille des délimiteurs doit s'adapter au contenu entre +ceux-ci afin d'obtenir, par exemple, +\begin{equation*} + \left( 1 + \frac{1}{x} \right) +\end{equation*} +plutôt que la peu esthétique composition +\begin{equation*} + (1 + \frac{1}{x}). +\end{equation*} + +La paire de commandes +\begin{lstlisting} +\left`\meta{delim\_g}' ... \right`\meta{delim\_d}' +\end{lstlisting} +définit un délimiteur gauche \meta{delim\_g} et un délimiteur droit +\meta{delim\_d} dont la taille s'ajustera automatiquement au contenu +entre les deux commandes. +\begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\left( 1 + \frac{1}{x} \right) +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + \left( 1 + \frac{1}{x} \right) + \end{equation*} + \end{texample} + + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\left( + \sum_{i = 1}^n x_i^2 +\right)^{1/2} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + \left( + \sum_{i = 1}^n x_i^2 + \right)^{1/2} + \end{equation*} + \end{texample} +\end{demo} +Les commandes \cmd{\left} et \cmd{\right} doivent toujours former une +paire, c'est-à-dire qu'à \emph{toute} commande \cmdprint{\left} doit +absolument correspondre une commande \cmdprint{\right}. Cette +contrainte est facile à oublier! + +\begin{itemize} +\item Il est possible d'imbriquer des paires de commandes les unes à + l'intérieur des autres, pour autant que l'expression compte toujours + autant de \cmdprint{\left} que de \cmdprint{\right}. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\left[ + \int + \left( + 1 + \frac{x}{k} + \right) dx +\right] +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + \left[ + \int + \left( + 1 + \frac{x}{k} + \right) dx + \right] + \end{equation*} + \end{texample} + \end{demo} +% +\item Les symboles \meta{delim\_g} et \meta{delim\_d} n'ont pas à + former une paire logique; toute combinaison de délimiteurs est + valide. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\int_0^1 x\, dx = +\left[ + \frac{x^2}{2} +\right|_0^1 +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + \int_0^1 x\, dx = + \left[ + \frac{x^2}{2} + \right|_0^1 + \end{equation*} + \end{texample} + \end{demo} +% +\item Il arrive qu'un seul délimiteur soit nécessaire. Pour respecter + la règle de la paire ci-dessus, on aura recours dans ce cas à un + délimiteur \emph{invisible} représenté par le caractère «\verb=.=». + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +f(x) = +\left\{ + \begin{aligned} + 1 - x, &\quad x < 1 \\ + x - 1, &\quad x \geq 1 + \end{aligned} +\right. +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + f(x) = + \left\{ + \begin{aligned} + 1 - x, &\quad x < 1 \\ + x - 1, &\quad x \geq 1 + \end{aligned} + \right. + \end{equation*} + \end{texample} + \end{demo} + (L'environnement \Ie{aligned} utilisé ci-dessus provient de + \pkg{amsmath}.) On notera au passage que l'environnement \Ie{cases} + de \pkg{amsmath} rend plus simple la réalisation de constructions + comme celle ci-dessus. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +f(x) = +\begin{cases} + 1 - x, & x < 1 \\ + x - 1, & x \geq 1 +\end{cases} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{cases} + 1 - x, & x < 1 \\ + x - 1, & x \geq 1 + \end{cases} + \end{equation*} + \end{texample} + \end{demo} +% +\item La règle de la paire est tout spécialement délicate dans les + équations sur plusieurs lignes car elle s'applique à chaque ligne + d'une équation. Par conséquent, si la paire de délimiteurs s'ouvre + sur une ligne et se referme sur une autre, il faudra ajouter un + délimiteur invisible à la fin de la première ligne ainsi qu'au début + de la seconde. + \begin{demo} + \begin{texample} +\begin{lstlisting} +\begin{align*} + a + &= \left( + b + \frac{c}{d} + \right. \\ + &\phantom{=} \left. + + \frac{e}{d} - f + \right) +\end{align*} +\end{lstlisting} + \producing + \begin{align*} + a + &= \left( + b + \frac{c}{d} + \right. \\ + &\phantom{=} \left. + + \frac{e}{d} - f + \right) + \end{align*} + \end{texample} + \end{demo} +% +\item Quand les choix de taille de délimiteurs de {\LaTeX} ne + conviennent pas pour une raison ou pour une autre, on peut + sélectionner leur taille avec les commandes % + \cmd{\big}, % + \cmd{\Big}, % + \cmd{\bigg} et % + \cmd{\Bigg}. % + Ces commandes s'utilisent comme \cmdprint{\left} et + \cmdprint{\right} en les faisant immédiatement suivre d'un + délimiteur. Le \autoref{tab:math:big_et_al} contient des exemples de + délimiteurs pour chaque taille. + + \begin{table} + \centering + \caption{Tailles des délimiteurs mathématiques} + \label{tab:math:big_et_al} + \begin{tabular}{ll} + \toprule + taille standard & $(~) \quad [~] \quad \{~\}$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\big} & $\big(~\big) \quad \big[~\big] \quad \big\{~\big\}$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\Big} & $\Big(~\Big) \quad \Big[~\Big] \quad \Big\{~\Big\}$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\bigg} & $\bigg(~\bigg) \quad \bigg[~\bigg] \quad \bigg\{~\bigg\}$ \\ + \addlinespace[0.5\normalbaselineskip] + \cmd{\Bigg} & $\Bigg(~\Bigg) \quad \Bigg[~\Bigg] \quad \Bigg\{~\Bigg\}$ \\ + \addlinespace[4pt]\bottomrule + \end{tabular} + \end{table} +\end{itemize} + +La section~14 de la % +\doc{amsldoc}{http://texdoc.net/pkg/amsmath} % +de \pkg{amsmath} traite de divers enjeux typographiques en lien +avec les délimiteurs et on y introduit des nouvelles commandes pour +contrôler leur taille. C'est une lecture suggérée. + +\begin{exemple} + Le développement de la formule d'approximation de Simpson comporte + plusieurs des éléments discutés jusqu'à maintenant: + \begin{align*} + \int_a^b f(x)\, dx + &\approx \sum_{j = 0}^{n - 1} + \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\ + &= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1} + \left[ + f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)}) + \right] + \displaybreak[0] \\ + &= \frac{h}{3} + \left[ + f(x_0) + + \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) + + 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) + \right. \displaybreak[0] \\ + &\phantom{=} + \left. + \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) + + f(x_{2n}) + \right] \\ + &= \frac{h}{3} + \left[ + f(a) + + 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) + + 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) + + f(b) + \right]. + \end{align*} + On compose ce bloc d'équations avec le code source ci-dessous. +\begin{lstlisting} +\begin{align*} + \int_a^b f(x)\, dx + &\approx \sum_{j = 0}^{n - 1} + \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\ + &= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1} + \left[ + f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)}) + \right] \\ + &= \frac{h}{3} + \left[ + f(x_0) + + \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) + + 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) + \right. \\ + &\phantom{=} + \left. + \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) + + f(x_{2n}) + \right] \\ + &= \frac{h}{3} + \left[ + f(a) + + 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) + + 4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) + + f(b) + \right]. +\end{align*} +\end{lstlisting} + \qed +\end{exemple} + +\begin{conseil} + De manière générale, il est déconseillé de scinder une suite + d'équations entre deux pages. Le chargement du paquetage + \pkg{amsmath} désactive d'ailleurs cette possibilité. Cependant, + c'est parfois inévitable pour les longs blocs d'équations. + + La commande \cmd{\displaybreak}, placée immédiatement avant {\bs\bs} + dans un environnement comme \Ie{align} permet d'indiquer à {\LaTeX} + la possibilité d'insérer un saut de page après la ligne courante + dans le bloc d'équations. + + La commande accepte en argument optionnel un entier entre $0$ et $4$ + indiquant à quel point un saut de page est désiré: + \cmdprint{\displaybreak[0]} signifie «il est permis de changer de + page ici» sans que ce ne soit obligatoire; + \cmdprint{\displaybreak[4]} ou, de manière équivalente, + \cmdprint{\displaybreak} force un saut de page. + + À moins d'en être vraiment aux toutes dernières étapes d'édition + d'un document, il est conseillé d'utiliser la commande + \cmdprint{\displaybreak} avec parcimonie et avec un argument + optionnel faible. +\end{conseil} + + +\section{Caractères gras en mathématiques} +\label{sec:math:gras} + +Les caractères gras sont parfois utilisés en mathématiques, +particulièrement pour représenter les vecteurs et les matrices: +\begin{equation*} + \symbf{A} \symbf{x} = \symbf{b} \Leftrightarrow + \symbf{x} = \symbf{A}^{-1} \symbf{b} +\end{equation*} + +Pourquoi consacrer une section spécialement à cette convention +typographique? Parce que la création de symboles mathématiques en +gras doit certainement figurer parmi les questions les plus +fréquemment posées par les utilisateurs de {\LaTeX}\dots\ et que la +réponse n'est pas unique! + +La commande +\begin{lstlisting} +\mathbf`\marg{symbole}' +\end{lstlisting} +place \meta{symbole} en caractère gras en mode mathématique. C'est +donc l'analogue de la commande \cmd{\textbf} du mode texte. Dans +{\LaTeX} de base, la commande n'a toutefois un effet que sur les +lettres latines et, parfois, les lettres grecques majuscules. +\begin{demo} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +\theta \mathbf{\theta} + +\Gamma \mathbf{\Gamma} \mathbf{+} +A \mathbf{A} +\end{lstlisting} + \producing + %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec + %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard + $\theta {\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} {+} A \symbfup{A}$ + \end{texample} +\end{demo} +On remarquera aussi que \verb=\mathbf{A}= produit une lettre +majuscule droite plutôt qu'en italique. + +La manière la plus standard et robuste d'obtenir des symboles +mathématiques (autres que les lettres) en gras semble être, au moment +d'écrire ces lignes, via la commande +\begin{lstlisting} +\bm`\marg{symbole}' +\end{lstlisting} +fournie par le paquetage \pkg{bm} \citep{bm}. +\begin{demo} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +\theta \bm{\theta} + +\Gamma \bm{\Gamma} \bm{+} +A \bm{A} +\end{lstlisting} + \producing + %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec + %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard + $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbfup{\Gamma} \symbf{+} A + \symbf{A}$ + \end{texample} +\end{demo} + +Les utilisateurs de {\XeLaTeX} chargent normalement le paquetage +\pkg{unicode-math} \citep{unicode-math} pour sélectionner la police +pour les mathématiques. Ce paquetage fournit la commande +\begin{lstlisting} +\symbf`\marg{symbole}' +\end{lstlisting} +pour placer un \meta{symbole} mathématique en gras. Le paquetage offre +différentes combinaisons de lettres latines et grecques droites ou +italiques en gras selon la valeur de l'option \code{bold-style}; +consulter la section~5 de la % +\doc{unicode-math}{http://texdoc.net/pkg/unicode-math}. % +\begin{demo} + \begin{texample}[0.6\linewidth] +\begin{lstlisting} +% XeLaTeX + paquetage unicode-math +% avec l'option bold-style=ISO +\theta \symbf{\theta} + +\Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+} +A \symbf{A} +\end{lstlisting} + \producing + $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+} A + \symbf{A}$ + \end{texample} +\end{demo} + +\begin{conseil} + \label{conseil:math:mat} + Si le gras est fréquemment utilisé dans un document pour une + notation particulière, il est fortement recommandé de définir une + nouvelle commande\footnotemark\ + sémantique plutôt que d'utiliser à répétition l'une ou l'autre des + commandes ci-dessus. + + Par exemple, si le gras est utilisé pour les vecteurs et matrices, + on pourrait définir une nouvelle commande \cmdprint{\mat} en + insérant dans le préambule du document +\begin{lstlisting} +\newcommand[1]{\mat}{\bm{#1}} +\end{lstlisting} +\end{conseil} +% +\footnotetext{% + La définition de nouvelles commandes est couvert plus en détail au + \autoref{chap:commandes}.} + + +\begin{information} + On l'a vu ci-dessus: le paquetage \pkg{unicode-math} offre l'option + \code{ISO} pour le traitement du gras dans les mathématiques. En + fait, c'est toute la composition des mathématiques qui fait l'objet + d'un standard ISO! + + Plusieurs prescriptions du standard --- comme les noms de variables + en italique --- sont déjà prises en compte par {\LaTeX}. Le respect + de certaines autres règles est moins répandu, notamment celle qui + veut que les constantes mathématiques dont la valeur de change pas + (ce sont des constantes, après tout) soient représentées en police + droite. On pense, par exemple, au nombre d'Euler $\mathrm{e}$, au + nombre imaginaire $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$. Même chose pour les + opérateurs mathématiques, dont le $\mathrm{d}$ dans les dérivées et + les intégrales. + + Voici un exemple d'intégrale composée avec ces règles: + \begin{equation*} + \int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z}\, \mathrm{d}z = 2 \pi \mathrm{i}. + \end{equation*} + Pour en savoir plus sur l'utilisation du standard ISO dans {\LaTeX}, + consulter \citet{Beccari:ISO} ou, pour un sommaire rapide, l'% + \link{https://nickhigham.wordpress.com/2016/01/28/typesetting-mathematics-according-to-the-iso-standard/}{entrée de blogue} % + de Nick Higham. +\end{information} + +\begin{exemple} + \label{ex:math:matrices} + Le paquetage \pkg{amsmath} fournit quelques environnements qui + facilitent la mise en forme de matrices; ils diffèrent simplement + par le type de délimiteur autour de la matrice. + + Considérer le bloc d'équations suivant: + \begin{align*} + \mat{J}(\mat{\theta}) + &= + \begin{bmatrix} + \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} & + \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} \\[12pt] + \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} & + \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} + \end{bmatrix} \\ + &= + \left[ + \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j} + \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2. + \end{align*} + Le code pour composer ces équations est: +\begin{lstlisting} +\begin{align*} + \mat{J}(\mat{\theta}) + &= + \begin{bmatrix} + \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} & + \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} + \\[12pt] % augmenter l'espace entre les lignes + \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} & + \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} + \end{bmatrix} \\ + &= + \left[ + \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j} + \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2. +\end{align*} +\end{lstlisting} + On remarquera l'utilisation de la commande \cmd{\dfrac} + (\autoref{sec:math:bases:fractions}) pour composer des grandes + fractions à l'intérieur des matrices. Nous avons également eu + recours à la commande \cmdprint{\mat} mentionnée dans la + rubrique Conseil du {\TeX}pert de la \autopageref{conseil:math:mat}. % + \qed +\end{exemple} + + +%%% +%%% Exercices +%%% + +\section{Exercices} +\label{sec:math:exercices} + +\Opensolutionfile{solutions}[solutions-mathematiques] + +\begin{Filesave}{solutions} +\section*{Chapitre \ref*{chap:math}} +\addcontentsline{toc}{section}{Chapitre \protect\ref*{chap:math}} + +\end{Filesave} + +\begin{exercice} + Utiliser le gabarit de document \fichier{exercice\_gabarit.tex} pour + reproduire le texte suivant: + \begin{quote} + La dérivée de la fonction composée $f \circ g(x) = f[g(x)]$ est + $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)] g^\prime(x)$. La dérivée + seconde du produit des fonctions $f$ et $g$ est + \begin{equation*} + [f(x) g(x)]^{\prime\prime} = + f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) + + f(x) g^{\prime\prime}(x). + \end{equation*} + \end{quote} + \begin{sol} + On trouve la commande pour produire le symbole $\circ$ dans le + \autoref{tab:math:binaires}. On peut produire les symboles de + dérivée $\prime$ avec la commande \cmd{\prime} + (\autoref{tab:math:autres}) ou simplement avec le caractère + \verb='=. +\begin{lstlisting} +La dérivée de la fonction composée $f \circ g(x) = +f[g(x)]$ est $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)] +g^\prime(x)$. La dérivée seconde du produit des +fonctions $f$ et $g$ est +\begin{equation*} + [f(x) g(x)]^{\prime\prime} = + f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) + + f(x) g^{\prime\prime}(x). +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \end{sol} +\end{exercice} + +\begin{exercice} + Composer l'équation suivante avec l'environnement \Pe{align*}: + \begin{align*} + f(x +& h, y + k) + = f(x, y) + + \left\{ + \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h + + \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k + \right\} \\ + &+ + \frac{1}{2} + \left\{ + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 + + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh + + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2 + \right\} \\ + &+ + \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots + \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n. + \end{align*} + Aligner les deuxième et troisième lignes de l'équation sur divers + caractères de la première ligne afin que l'équation ne dépasse pas + les marges du document. + \begin{sol} + Nous avons aligné les lignes de l'équation juste à droite du + premier symbole $+$ à la première ligne. Remarquer l'usage des + commandes \cmd{\cdots} et \cmd{\dots} dans la dernière ligne: + {\LaTeX} choisit correctement la position centrée des points entre les + opérateurs d'addition, mais pas entre les accolades. +\begin{lstlisting} +\begin{align*} + f(x +& h, y + k) = f(x, y) + + \left\{ + \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h + + \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k + \right\} \\ + &+ + \frac{1}{2} + \left\{ + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 + + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh + + \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2 + \right\} \\ + &+ + \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots + + \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n. +\end{align*} +\end{lstlisting} + \end{sol} +\end{exercice} + +\begin{exercice} + Composer à l'aide de l'environnement \Ie{cases} + (\autoref{sec:math:delimiteurs}) la définition de la fonction + $\tilde{f}(x)$: + \begin{equation*} + \tilde{f}(x) = + \begin{cases} + 0, & x \leq c_0\\ + \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} = + \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, & c_{j-1} < x \leq c_j\\ + 0, & x > c_r. + \end{cases} + \end{equation*} + Il est nécessaire d'imposer la taille des fractions dans la seconde + branche de la définition à l'aide des fonctions de la + \autoref{sec:math:bases:fractions}. + \begin{sol} + Il faut utiliser \cmd{\dfrac} pour obtenir des fractions dans une + branche de \Pe{cases} de la même taille que dans une équation hors + paragraphe: +\begin{lstlisting} +\begin{equation*} + \tilde{f}(x) = + \begin{cases} + 0, & x \leq c_0\\ + \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} = + \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, & + c_{j-1} < x \leq c_j \\ + 0, & x > c_r. + \end{cases} +\end{equation*} +\end{lstlisting} + \end{sol} +\end{exercice} + +\begin{exercice}[nosol] + Le fichier \fichier{exercice\_mathematiques.tex} contient un exemple + complet de développement mathématique. Étudier le contenu du fichier + puis compiler celui-ci tel quel avec {pdf\LaTeX} ou {\XeLaTeX}. + Effectuer ensuite les modifications suivantes. + \begin{enumerate} + \item Charger le paquetage \pkg{amsfonts} dans le préambule, puis + remplacer \verb=$R^+$= par \verb=$\mathbb{R}^+$= à la ligne + débutant par «Le domaine». + \item Dans l'équation du Jacobien de la transformation, remplacer + successivement l'environnement \Ie{vmatrix} par % + \Ie{pmatrix}, % + \Ie{bmatrix}, % + \Ie{Bmatrix} et % + \Ie{Vmatrix}. Observer l'effet sur les délimiteurs de la matrice. + \item Toujours dans la même matrice, composer successivement les + deux fractions avec les commandes \cmd{\frac}, \cmd{\tfrac} et + \cmd{\dfrac}. Observer le résultat. + \item Réduire l'espacement de part et d'autre du symbole + $\Leftrightarrow$ dans la seconde équation hors paragraphe. + \item À l'aide de la fonction Rechercher et remplacer de l'éditeur + de texte, remplacer toutes les occurrences du symbole $\theta$ par + $\lambda$. + \end{enumerate} +\end{exercice} + +\Closesolutionfile{solutions} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-engine: xetex +%%% TeX-master: "formation-latex-ul" +%%% coding: utf-8 +%%% End: |