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author | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2011-06-06 17:19:18 +0000 |
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tkz-tab (5jun11)
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Le codage utilisé n'a pas d'importance, si vous préférez \tkzname{latin1}, alors remplacez \tkzname{utf8} par \tkzname{latin1}, bien évidemment \tkzname{tkz-tab} est essentielle. Si vous utilisez \tkzname{fourier} alors vous pouvez supprimer \tkzcname{usepackage[T1]\{fontenc\}} et \tkzcname{usepackage\{ammsymb\}}. - -\subsection{Variations de fonctions} - \subsubsection{Variation d'une fonction rationnelle} - - Cet exemple a été cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar} - - Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \frac{x^3+2}{2x}$ sur $]-\infty~;~+\infty[$ - -\begin{tkzexample}[vbox,very small] -\begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[] - {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} - {$-\infty$ , $0$ , $1$ , $+\infty$} -\tkzTabLine{,-,d,-,z,+,} -\tkzTabVar{+/$+\infty$ ,-D+/$-\infty$ / $+\infty$ ,-/$\frac{3}{2}$, +/$+\infty$} -\tkzTabVal{1}{2}{0.4}{$ -\sqrt[3]{2}$}{$0$} -\end{tikzpicture}\end{tkzexample} - - -\subsubsection{Variation d'une fonction irrationnelle} - -Autre exemple cité dans la documentation du package \tkzname{tabvar} - -Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ sur $]-\infty~;~-1[\cup ]1~;~+\infty[$ - -\begin{tkzexample}[vbox,very small] -\begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[] - {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} - {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$} -\tkzTabLine{,+,d,h,d,+, } -\tkzTabSlope{ 3/ /+\infty} -\tkzTabVar{-/$1$ ,+DH/$+\infty$ ,-/$0$, +/$1$} -\end{tikzpicture}\end{tkzexample} - -Un prolongement par continuité pourrait être : $f(x)=0$ sur $[-1~;~1]$ alors le tableau deviendrait - -\begin{tkzexample}[vbox,very small] -\begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[] - {$x$ /1, $f'(x)$ /1,$f$ /3} - {$-\infty$ , $-1$ , $1$ , $+\infty$} -\tkzTabLine{,+,d,0,d,+, } -\tkzTabSlope{ 3/ /+\infty} -\tkzTabVar{-/$1$ ,+D-/$+\infty$/$0$ ,-/$0$, +/$1$} -\end{tikzpicture}\end{tkzexample} - - -\subsection{Fonctions trigonométriques} -\NameFonct{Fonctions trigonométriques} - \subsubsection{Variation de la fonction tangente} - \NameFonct{Fonction tangente} - Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \tan{x}$ sur $[0~;\pi]$ - - \begin{tkzexample}[vbox] -\begin{tikzpicture} -\tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}% - {$0$ ,$\frac{\pi}{2}$ , $\pi$}% -\tkzTabLine{ ,+,d,+, } -\tkzTabVar{-/$0$ , +D-/$+\infty$/$-\infty$ , +/$0$ } -\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{4}$}{$1$} -\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{$\frac{3\pi}{4}$}{$1$} -\end{tikzpicture}\end{tkzexample} - -\subsubsection{Variation de la fonction cosinus} - \NameFonct{Fonction cosinus} - Étude de la fonction $f~:~ x \longmapsto \cos{x}$ sur $[-\pi~;~+\pi]$ - - \begin{tkzexample}[vbox] -\begin{tikzpicture} -\tkzTabInit[espcl=6]{$x$ / 1,Signe de\\f'(x)/1, Variations de\\ $f$ / 3}% - {$0$ , $\pi$}% -\tkzTabLine{ , + , } -\tkzTabVar{+/$1$ , -/$-1$ } -\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{\pi}{2}$}{$0$} -\end{tikzpicture}\end{tkzexample} - -\subsection{Fonctions paramétrées et trigonométriques} -\NameFonct{Fonctions paramétrées} \NameFonct{Fonctions trigonométriques} - -Étude sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ - \begin{equation*} -\left\{% -\begin{array}{l} - x(t) = \cos(3t)\\ - y(t) = \sin(4t) -\end{array}\right. -\end{equation*} - -\begin{tkzexample}[vbox,very small] - \begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[ lgt=3 , espcl=3]% - {$t$ /1, - Signe de\\ $x'(t)$ /1.5, - Variations de\\ $x$ /3, - Variations de\\ $y$ /3, - Signe de\\ $y'(t)$ /1.5} - {$0$ , $\frac{\pi}{8}$ , $\frac{\pi}{3}$ , - $\frac{3\pi}{8}$ , $\frac{\pi}{2}$ }% - \tkzTabLine {z , - ,-3\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) , - , z , + ,% - 3\sin\left(\frac{\pi}{8}\right),+,3} - \tkzTabVar { +/$1$ , R/ , -/$-1$/ , R/ , +/$0$ } - \tkzTabIma{1}{3}{2}{$\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)$} - \tkzTabIma{3}{5}{4}{$-\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$} - \tkzTabVar { -/$0$ , +/$1$ , R/ , -/$-1$ , +/$0$ } - \tkzTabIma{2}{4}{3}{$\frac{-\sqrt{3}}{2}$} - \tkzTabLine {4 , + , z , - , -2 , - , z ,+,4} - \end{tikzpicture} -\end{tkzexample} - -\newpage -\subsection{Baccalauréat Asie ES 1998} -\index{Baccalauréat} -Une petite astuce, en principe \tkzname{z} est le symbole à mettre dans la liste pour obtenir un zéro centré sur un trait en pointillés. Si on veut que le zéro soit sans le trait , il suffit de remplacer \tkzname{z} par \tkzname{0}. Celui-ci n'est pas un symbole reconnu, il est donc traiter comme une chaîne normale. - - Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par : - \[ - f(x)=\E^x(\E^x+a)+b - \] - où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. - - Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous. - - \medskip - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}% - {$-\infty$,$0$,$+\infty$}% - {,, z ,,}% - {+/ $-3$ , - -/ , - +/ } - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \medskip - \begin{enumerate} - \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$). - \item \begin{enumerate} - \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le - tableau ci-dessus. - \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$. - \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$. - \end{enumerate} - \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation - \[ - \E^x(\E^x-2)-3=0 - \] - (on pourra pose $X=\E^x$). - \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : - \[ - \E^x(\E^x-2)-3\geq -4 - \] - \[ - \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0 - \] - (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les - informations obtenues en 2.b) - \end{enumerate} - -\begin{tkzexample}[code only,very small] - Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$, définie sur $\mathbf{R}$ par : - \[ - f(x)=\E^x(\E^x+a)+b - \] - où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. - - Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous. - - \medskip - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \tkzTab[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$ /1,Variations de $f$ /2}% - {$-\infty$,$0$,$+\infty$}% - {,, z ,,}% - {+/ $-3$ , - -/ , - +/ } - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \medskip - \begin{enumerate} - \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$). - \item \begin{enumerate} - \item déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le - tableau ci-dessus. - \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$. - \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variations de $f$. - \end{enumerate} - \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation - \[ - \E^x(\E^x-2)-3=0 - \] - (on pourra pose $X=\E^x$). - \item Résoudre dans $\mathbf{R}$ les inéquations : - \[ - \E^x(\E^x-2)-3\geq -4 - \] - \[ - \E^x(\E^x-2)-3 \leq 0 - \] - (On utilisera le tableau de variations donné ci-dessus et en particulier les - informations obtenues en 2.b) - \end{enumerate} -\end{tkzexample} - - - - -\vfill\newpage\null -\subsection{Baccalauréat} -\index{Baccalauréat} - On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ : - - \[ - f(x)=ax+b+\ln(-2x) - \] - où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. - - \begin{enumerate} - \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. - \item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$. - - \medskip - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \tkzTab[]% - {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}% - {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}% - {,+,$0$,-,}% - {-//, - +/$2$/, - -//} - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \medskip - \begin{enumerate} - \item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent - cette fonction. - \item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer - $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$. - \item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$ - admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. - \end{enumerate} - \end{enumerate} - -\begin{tkzexample}[very small,code only] - On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty~;~0[$ : - - \[ - f(x)=ax+b+\ln(-2x) - \] - où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. - - \begin{enumerate} - \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. - \item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$. - - \medskip - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \tkzTab[]% - {$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/1.5}% - {$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$0$}% - {,+,$0$,-,}% - {-//, - +/$2$/, - -//} - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \medskip - \begin{enumerate} - \item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent - cette fonction. - \item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer - $\displaystyle \lim_{x \xrightarrow[x<0]{} 0} f(x)$. - \item Montrer que, dans l'intervalle $\Big[\dfrac{-1}{2}~;~0,01\Big]$, l'équation $f(x)=0$ - admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. - \end{enumerate} - \end{enumerate} -\end{tkzexample} - - - -\newpage - - -\subsection{Baccalauréat Guyane ES 1998 } -\index{Baccalauréat} -C'est cet exemple qui m'a obligé à penser aux commandes du style $+V+$. Sans doute, voulait-on ne pas influencer les élèves avec la vision d'une double barre (trop souvent associée à la présence d'une asymptote). - -\textbf{Le sujet :} - -{\parindent=0pt -On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations : - -\begin{center} -\begin{tikzpicture} -\tkzTab[lgt=3]% -{$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5} -{$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$} -{,-,$0$,+, ,-,} -{+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$} -\end{tikzpicture} -\end{center} - -On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe) - -\vspace{6pt} -\textbf{Première partie} - -En interprétant le tableau donné ci-dessus :% - - \begin{enumerate} - \item Préciser l'ensemble de définition de $f$. - \item Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ : - \begin{enumerate} - \item l'asymptote horizontale (D); - \item l'asymptote verticale (D'); - \item le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale. - \end{enumerate} - \end{enumerate} - -\textbf{Seconde partie} - -On donne maintenant l'expression de $f$ : -\[ -f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2} -\] -\begin{enumerate} - \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$. - \item Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant - ( recopier ce tableau sur votre copie). -\end{enumerate} -\begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1 , $f(x)$ /1}% - {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}% - \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}% - \makeatletter - \foreach \x in {1,...,5} - \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x} - \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center); -\end{tikzpicture} -} - - -\begin{tkzexample}[code only,very small] -On considère une fonction $f$ de la variable $x$, dont on donne le tableau de variations : - -\begin{center} -\begin{tikzpicture} -\tkzTab[]% -{$x$/1.25,Signe de\\ $f'(x)$/1.5, Variations\\ de $f$/2.5} -{$-\infty$,$\dfrac{-1}{2}$,$1$,$+\infty$} -{,-,$0$,+, ,-,} -{+/ $1$ , -/$\dfrac{-1}{3}$ , +V+/ $+\infty$ /$+\infty$ , -/$1$} -\end{tikzpicture} -\end{center} - - \vspace{6pt} -On appelle (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère. Le plan est muni d'un repère% - orthonormal $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe)% - -\textbf{Première partie} - -En interprétant le tableau donné ci-dessus :% - - \begin{enumerate} - \item Préciser l'ensemble de définition de $f$. - \item Placer dans le repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ : - \begin{enumerate} - \item l'asymptote horizontale (D); - \item l'asymptote verticale (D'); - \item le point $A$ où la tangente à (C) est horizontale. - \end{enumerate} - \end{enumerate} - -\textbf{Seconde partie} - -On donne maintenant l'expression de $f$ : -\[ -f(x)=1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2} -\] -\begin{enumerate} - \item Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=1$. - \item Au moyen de votre calculatrice, remplir le tableau suivant - ( recopier ce tableau sur votre copie). - \begin{tikzpicture} - \tkzTabInit[deltacl=1,espcl=1]{ $x$/1,$f(x)$ /1}% - {-1,,{-0,75},,{0,5},,2,,3,,4}% - \tkzTabLine{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}% - \makeatletter - \foreach \x in {1,...,5} - \setcounter{tkz@cnt@pred}{\x}\addtocounter{tkz@cnt@pred}{\x} - \draw (N\thetkz@cnt@pred 0.center) to (N\thetkz@cnt@pred 2.center); - \end{tikzpicture} -\end{enumerate} - -\vfill -\end{tkzexample} - -\endinput
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