diff options
author | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2020-06-24 21:02:12 +0000 |
---|---|---|
committer | Karl Berry <karl@freefriends.org> | 2020-06-24 21:02:12 +0000 |
commit | cf5df100ef322bec28122992b958aecc0dfdb48f (patch) | |
tree | fc104247f80d3d804f0a8e77e0adeb1e88ca4d96 /Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex | |
parent | 98b7e4f8db29af032e25477adfea7b0283f90a32 (diff) |
fontsetup (24jun20)
git-svn-id: svn://tug.org/texlive/trunk@55649 c570f23f-e606-0410-a88d-b1316a301751
Diffstat (limited to 'Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex')
-rw-r--r-- | Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex | 27 |
1 files changed, 15 insertions, 12 deletions
diff --git a/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex b/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex index b9783698540..5a8f9f04635 100644 --- a/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex +++ b/Master/texmf-dist/doc/latex/fontsetup/fspsample.tex @@ -1,3 +1,6 @@ +%% after xelatex run +%% pdfcrop fspsample.pdf output.pdf +%% to crop it \documentclass{article} \pagestyle{empty} \usepackage{xgreek,graphicx} @@ -24,7 +27,7 @@ %\usepackage[minion]{fontsetup} %\usepackage[neoeuler]{fontsetup} %\usepackage[libertinus]{fontsetup} - +%\usepackage[olddefault]{fontsetup} @@ -38,21 +41,21 @@ %Let $g$ be an Assume that $g$ is an in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat - $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that - $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere + $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that + $|\,f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ \end{theorem} \textit{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma -we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and -$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have -$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so -$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ +we have that $\int(g-f\,)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|\,f\,|\leq g$ and +$|\,f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have +$$\int g-\int f\,\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so +$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$ \par \begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] Έστω ότι η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο -$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε -$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ +$E$ και η $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε +$|\,f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε $$\lim \int f_n =\int f.$$ @@ -60,10 +63,10 @@ $$\lim \int f_n =\int f.$$ \textit{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από το Λήμμα του Fatou ισχύει $\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή -$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε -$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ +$|\,f\,| ≤ g$ και $|\,f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε +$$\int g −\int f\, ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ άρα -$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ +$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$ |